设 $\varphi$ 是复平面${\Bbb C}$中单位圆盘 ${\Bbb D}$上的解析自映射. 该文刻画了一般Hardy型空间$H^{p,q,s}({\Bbb D})$上使得复合算子$C_{\varphi}$有界或者紧时的符号函数 $\varphi$.

该文研究了$\Bbb R ^n$中Laplace算子在有界域$\Omega$上的Dirichlet 特征值和的下界.众所周知:第$k$个Dirichlet特征值$\lambda_k(\Omega)$服从Weyl渐近公式,即 $ \lambda_k(\Omega)\sim\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n} \qquad\hbox{当}\,\,k\rightarrow\infty\,\,\hbox{时}, $ 其中$\omega_n$和$V(\Omega)$分别为是$\Bbb R ^n$中$n$维单位球的体积和$\Omega$的体积.根据上述公式,Pólya猜测 $ \lambda_k(\Omega)\geq\frac{4\pi^2}{[\omega_nV(\Omega)]^\frac{2}{n}}k^\frac{2}{n}, \quad\forall\,\,k\in{\Bbb N}. $ 这就是著名的Pólya猜想.对这一问题的研究由来已久,已有很多的工作.特别是,近几十年来最显著的成就之一是由Berezin^[4], 以及李伟光和丘成桐^[3] 分别独立取得的.他们部分解决了Pólya猜想,只是多了一个因子$n/(n+2)$.后来, Melas^[7] 改进了Berezin-Li-Yau的估计,在不等式右边增加了一个正的$k$阶项. 该文采用与 Melas几乎相同的论证,进一步完善了 Melas 的估计.

记$H^{2}$是单位圆盘${\Bbb D}=\{\xi\in{\Bbb C}:|\xi|<1\}$上的经典Hardy空间. 设$u$和$v$是内函数且至少其中一个是非常值的, 调和Hardy空间$H_{u,v}^{2}$定义为$H_{u,v}^{2}=uH^{2}\oplus\overline{v}(H^{2})^{\perp}=uH^{2}\oplus\overline{vzH^{2}}$. 对任意的$x\in H_{u,v}^{2},$ 定义$H_{u,v}^{2}$上的调和Toeplitz算子 $\widehat{T}_{\varphi}x=Q_{u,v}(\varphi x),$ 其中, $Q_{u,v}:L^{2}\rightarrow H_{u,v}^{2}$为正交投影. 该文刻画了调和Toeplitz算子和对偶截断Toeplitz算子的酉等价性, 并给出了两个调和Toeplitz算子可交换的充要条件, 调和Toeplitz代数的性质以及$\widehat{T}_{z}$的换位子的刻画. 最后, 该文还得到了有限多个连续符号的调和 Toeplitz算子乘积的本质谱.

设 $M$ 为单位球面 $S^{n+1}$ 中的Willmore超曲面(或极值超曲面). 该文证明了, 若 $M$ 与Willmore环面 $W_{m,n-m}$ (或Clifford环面$C_{m,n-m}$)具有相同的第二基本形式模长, 并且 $Spec^p(M)=Spec^p(W_{m,n-m})$ (或$Spec^p(M)=Spec^p(C_{m,n-m})$),其中 $p=0,1,2$, 则有 $M=W_{m,n-m}$ (或$M=C_{m,m}$).

该文研究广义 Douglas-Weyl 喷射. 证明了一个喷射 $G$ 是广义 Douglas-Weyl 喷射当且仅当它的 Weyl 张量是二次型的. 由此得到一个推论, 一个芬斯勒度量是广义Douglas-Weyl 度量当且仅当它的 Weyl 张量是二次型的. 进一步, 该文研究具有二次型的黎曼曲率张量的喷射, 证明了一个喷射具有二次型的黎曼曲率张量当且仅当 $\dot{B}^{~i}_{j~kl}=0$.

该文研究了具有半正非线性项和脉冲项的高阶Riemann-Liouville型分数阶脉冲微分方程积分边值问题. 利用不动点指数理论, 在超线性增长和次线性增长等条件下获得了该问题正解的存在性结论, 推广了近期这方面一些已有的成果.

该文主要研究Dirac方程周期解的存在性和多重性. 通过引入相对Morse指标对相应的线性Dirac方程进行分类, 并给出解存在的扭转性条件.

该文考虑 $\Bbb R ^{n}$ 中一类带有加权项 $V(x)$ 和分布导数的反应扩散方程解的长时间行为, 证明了 $\big(L^{2}(\Bbb R ^{n}), L^{2}(\Bbb R ^{n})\cap L^{p}(\Bbb R ^{n})\big)$ -全局吸引子的存在性; 而且对任意的 $\delta_{1}\in [0,+\infty)$, 该吸引子能够在 $L^{2}\cap L^{p+\delta_{1}}$ -拓扑下吸引 $L^{2}(\Bbb R ^{n})$ 中的有界集.

该文研究了强制位势下拟线性薛定谔方程的多解性问题. 首先利用变量代换, 将拟线性方程转化成半线性方程, 然后借助喷泉定理, 得到了该方程的无穷多个高能量解.

该文研究在无穷远处具有非零边界条件的混合 Chen-Lee-Liu 导数非线性薛定谔方程的单极解和双极解. 通过求解直散射问题, 得到了 Jost 解和散射矩阵, 并给出了它们的对称性和渐近性. 然后, 利用矩阵 Riemann-Hilbert 方法求解逆散射问题. 此外, 还得到了解析散射系数的迹公式和 $\theta$ 条件. 最后, 得到了该方程的单极解和双极解的显式表达式.

该文研究如下与时间无关的具有吸引相互作用的临界非齐次薛定谔方程 $\begin{eqnarray*} -\triangle u+ |x|^2u-\, a m(x)|u|^\frac{4}{N} u= \mu u, \ \ \mbox{in $\Bbb R^N$, $N\geq 1$,} \end{eqnarray*}$ 其中$a>0$ 且 $0< m(x)\leq 1$. 取 $\lambda>0$ 及适合的 $0\leq g(x)<1$, 令 $m(x)=1-\lambda g(x)$, 证明该方程在阈值 $a=a^*$ 处基态解的存在性, 并给出 $\lambda\rightarrow 0^+$ 时基态解的极限行为. 这些结论推广了 Deng, Guo和Lu^{[10, 11]} 的结果. 特别地, 该文使用了一种直接而更简单的方法得到能量的下界.

修正的非线性薛定谔方程(MNLS方程)与导数非线性薛定谔方程(DNLS 方程)是两个紧密相关且完全可积的非线性偏微分方程. 该文通过Hirota双线性导数变换方法, 首先求得MNLS 方程在平面简谐波背景下的空间周期解, 即Akhmediev型呼吸子解, 再通过长波极限得其Rogue波解. 根据简单的参数归零法使之自然地约化为DNLS 方程的Rogue波解, 并借助于一个积分变换将其变换为Chen-Lee-Liu方程的Rogue波解. 文章还简要讨论了MNLS方程和DNLS 方程在非局域情形整体解的存在性问题.

将 Hirota 双线性方法进行推广, 得到广义的双线性变换方法, 并应用于研究具有非局部项的非线性色散方程. 该文利用本方法研究了包括 KPII, BKP 和 (3+1) -维 gKP 的 KP -型方程, 导出了它们的非局部形式, 作为结论, 借助性质构造了 KP -型方程的孤立波解和近似解.

该文基于 Hardy-Littewood 极大函数有界性、Young 函数的 Jensen 不等式和扰动法等技巧, 获得了一类椭圆方程障碍问题弱解梯度在全空间上的全局 BMO 估计.

研究了具有非线性记忆项的Euler-Poisson-Darboux-Tricomi方程在次临界情况下解的爆破现象. 利用泛函分析方法结合修正的Bessel方程推出了其柯西问题解的迭代框架和第一下界, 然后通过迭代技巧, 获得了其解的全局非存在性以及解的生命跨度上界估计.

该文致力于研究如下Monge-Ampère方程边界爆破解的最优估计和严格凸解的不存在性 $ M[u](x)=K(x)f(u),\ x \in \Omega,\; u(x)\rightarrow +\infty\ \mbox{ 当 }\ {\rm dist}(x,\partial \Omega)\rightarrow 0. $ 这里 $M[u]=\det\, (u_{x_{i}x_{j}})$ 是 Monge-Ampère 算子, $\Omega$ 是$ \Bbb R^N (N\geq 2)$ 中的光滑有界严格凸区域. 文中不仅得到了$K(x)$ 和 $f(u)$ 的各种条件之间的关系, 还通过和已有文献中相关结果的比较明确了条件和估计之间的关系. 并且, 在 $\Omega$ 是一般区域的情况下给出了严格凸解不存在的结果, 而这在以往文献中尚未提及.

该文应用 Sobolev 嵌入不等式、Green 公式以及加权的能量方法, 研究了电解液中迁移率互异的可压电扩散模型(Planck-Nernest-Poisson-Navier-Stokes) 的拟中性极限.

该文针对可以包含障碍物的三维柱对称无穷管道问题, 运用流函数方法转化为椭圆方程的边值问题, 利用能量估计和闸函数方法, 证明了定常非齐次不可压 Euler 方程解的存在性和唯一性以及流线的非退化性即 $ U>0$. 通过构造比较函数和极大值原理, 在漩涡速度 $W$ 不等于 0 的情况下, 得到了两种边界的收敛速率: 若无穷管道在有限长度以外是平边界, 则方程的解以指数速率收敛到渐近状态; 若无穷管道以多项式速率收敛到平边界, 则方程的解以相同的多项式速率收敛到渐近状态.

该文在 Hilbert 空间中研究一类中立型随机偏泛函积分微分方程解的存在性与正则性. 利用预解算子理论及不动点定理获得 Hilbert 空间 $X$ 及 $X_{\alpha}$ 上 mild 解的存在性结果, 且验证在某些条件下方程的 mild 解就是其古典解, 推广已有的相关结果.

该文研究了基于连续时间状态观测的 $\alpha$ -稳定过程驱动非线性随机微分方程的参数估计问题. 首先, 讨论了加权拟合估计量的相合性和收敛速率. 随后, 建立了估计量的渐近分布.

该文考虑具 $\omega$ -周期营养 $\phi(t)$ 供给的血管化肿瘤生长模型自由边界问题, 其中肿瘤细胞繁衍速率函数为 $S(\sigma)$. 对此问题, 该文首先建立了适定性, 其次, 根据 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t$ 的符号对解的渐近性态给出了完整分类, 即若 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t\le0$, 则所有肿瘤将最终消失, 反之亦然; 若 $\frac1{\omega}\int^{\omega}_0S(\phi(t)){\rm d}t>0$, 则问题存在唯一的稳定的正周期解.

该文在Hilbert空间中提出一种新Tseng型外梯度算法, 用以求解一致连续伪单调映射的变分不等式问题与具有半封闭性拟非扩张映射的不动点问题的公共解. 在一定的假设条件下, 证明了算法所生成的序列的强收敛性. 文章最后对算法进行数值实验, 验证了算法的有效性.

交替方向乘子法是求解两块可分离凸优化问题的有效方法, 但是对于三块不可分的非凸优化问题的交替方向乘子法的收敛性可能无法保证. 该文主要研究的是用线性化广义Bregman交替方向乘子法(L-G-BADMM)求解目标函数是三块不可分的非凸极小化问题的收敛性分析. 在适当假设条件下, 对算法中子问题进行求解并构建满足Kurdyka-Lojasiewicz性质的效益函数, 经过理论证明可以得到该算法的收敛性.

利用共轭函数下端卷积性质和上图技巧, 引入新的约束规范条件, 建立了带锥约束的分式优化问题的近似Farkas引理和近似对偶理论, 推广了前人的相关结论.