该文参考 Fourier 变换的性质研究了离散分数阶 Fourier 变换的测不准原理以及连续分数阶 Fourier 变换在 Lebesgue 测度下的测不准原理, 使得分数阶 Fourier 变换的测不准原理性质更一般化.

研究了在 Hilbert 空间中两个一般的正则拟微分算式乘积的对称实现问题, 刻画了由其确定对称算子的两点边界条件, 得到两个高阶正则微分算子的乘积算子是对称算子的充分必要条件, 所得结论包括了乘积算子的自共轭域的刻画这一结果作为其特殊情形. 给出了乘积算子为对称算子的几个例子.

哈代希尔伯特空间上复 Volterra 算子数值域的探究一直是数学家们关注的热点课题, 却一直未得到解决. 该文主要给出了哈代希尔伯特空间上一个权序列为 $ (h, k, j, b, a, b, a, \cdots ) $, 其中 $ a, b, h, k, j>0 $ 的单边加权移位算子的数值半径计算公式. 尤其将该结果应用于求解哈代希尔伯特空间上复 Volterra 算子的数值域范围. 这些研究结果可以有效促进对具有扰动周期权或调和权的加权移位算子数值域的进一步研究, 并为哈代希尔伯特空间上有界线性算子数值域的研究提供典型实例.

该文研究了多线性 $ \omega$ 型 Calderón-Zygmund 算子与带变量增长条件的广义 Campanato 空间函数 $ \vec{b}$ 生成的交换子 $ [\vec{b},T]$ 在广义 Morrey 空间的紧性, 给出了 $ [\vec{b},T]$ 是从广义 Morrey 空间的乘积空间到广义 Morrey 空间的紧算子的充分条件.

利用时标理论中的 Nabla 积分建立了含参数 Nabla 积分比

以及变限含参数 Nabla 积分比

的单调性法则. 在含参数 Nabla 积分比部分中, 还详细研究了一些特殊情形, 包括时标下的多项式之比以及 Nabla 拉普拉斯变换之比. 利用这些单调性法则, 证明了函数 $ s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n \mathcal{J}_{\bar{u}}(s)} $, $ s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{v}(u_is)}{n \mathcal{J}_{v}(\bar{u}s)} $, $ s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)} $, $ s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{u_i}(s)}{n \mathcal{Y}_{\bar{u}}(s)} $ 和 $ s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{v}(u_is)}{n \mathcal{Y}_{v}(\bar{u}s)} $ 的单调性, 其中 $ \bar{u}=\sum\limits_{i=1}^n u_i/n $, $ I_u(\cdot), K_u(\cdot) $ 分别为第一类和第二类修正的贝塞尔函数, $ \mathcal{J}_u(s):= \big( \frac{s}{2} \big)^{-u} I_{u}(s) $ 和 $ \mathcal{Y}_u(s):=K_u(s)-K_0(s) $.

已有的迭代函数方程解结论主要是关于它的连续性和光滑性. 然而在函数方程与动力系统的共轭和线性化理论研究中, 解的同胚性质起到重要作用. 对这一问题虽然已取得部分结论, 但还未有一个完整的描述. 该文首先利用构造和逼近的方法考虑一般类型的迭代函数方程的同胚解, 然后将得到的结论应用到研究多项式型迭代方程.

迄今为止, 几乎没有学者研究 Schrödinger 或 Klein-Gordon 方程的概自守动力学. 该文结合 Galerkin 方法、 Laplace 变换、Fourier 级数和 Picard 迭代研究了带有非局部 Laplace 算子饱和 Schrödinger-Klein-Gordon 方程的概自守弱解的一些结果. 此外, 还考虑了该方程的全局指数收敛性.

该文研究了一类双曲椭圆混合型趋化模型的黎曼问题. 该方程组在$v$-轴上是线性退化的. 我们在相平面上得到了初始左右状态在不同区域时黎曼解存在的可解域. 特别地, 当左状态在第二象限, 右状态在第一象限时, 该混合型方程组的初值问题都是黎曼可解的.

该文主要研究 Banach 空间 $ X $ 上一类有限时滞微分方程 $u'(t)=Au(t)+Lu_t+f(t,u_t),\ t\in \mathbb {R}$ 的概自守性, 其中 $ A $ 为非稠定的 Hille-Yosida 算子, $ L $ 为有界线性算子, $ f $ 为二元 $ S^p$-概自守函数. 相比已有相关研究结果, 该文不要求 Hille-Yosida 算子生成的半群具有紧性, 且仅在 $ f $ 具有更弱的 Lipschitz 假设和比概自守性更弱的 $ S^p$-概自守性假设下, 得到了上述时滞微分方程的解具有紧概自守性 (比概自守性更强). 此外, 该文还把抽象结果应用到一类来源于年龄结构模型的偏微分方程.

该文利用 Kato 半群理论和耗散算子的定义, 研究了带立方非线性修正 Camassa-Holm 方程的初值问题, 并在 Sobolev 空间 $ H^{s,p}(\mathbb{R}) $ ($ s\ge 1,\ p\in (1,\infty ) $) 中建立了其解的存在唯一性, 推广了 Fu 等在 Besov 空间 $ B_{p,r}^{s}(\mathbb{R}) $ $ (p,\ r\ge 1,\ s> \max \{2+\frac{1}{p},\frac{5}{2}\}) $ 中所得到的适定性结果 (J Differ Equations, 2013, 255: 1905-1938).

研究一类带参数的奇异超线性 $k$-Hessian 系统 Dirichlet 问题解的存在性. 基于 Banach 空间中的 Krasnosel'skii 型不动点定理, 建立了非平凡径向解的存在性、多解性及不存在性结果. 同时, 讨论了解依赖于参数的渐近行为.

该文考虑下列带磁场的多临界非局部椭圆方程

多解的存在性, 其中 $\Omega$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中带光滑边界的有界区域, $N\geq4$, $i$ 是虚数单位, $2^*_s=\frac{N+\alpha_s}{N-2}$, $N$-4<$\alpha_s$<$N$, $s=1,2$,$\cdots,k$ $(k\geq 2)$, $\lambda$>0 并且 $2\leq p$<$2^*=\frac{2N}{N-2}$. 假定磁向量位势 $A(x)= (A_1(x), A_2(x), \cdots, A_N(x))$ 取实值并且满足局部 Hölder 连续. 该文利用 Ljusternik-Schnirelman 理论证明了当 $\lambda$ 较小时, 方程 (1.1) 至少有 cat$_\Omega(\Omega)$ 个非平凡解.

该文研究了强制位势下非齐次拟线性薛定谔方程的多解性问题. 通过山路定理和 Ekeland 变分原理, 得到了该方程两个不同的解. 所得结论是对此类拟线性方程已有结果的补充和推广.

该文在时间依赖空间 $H_{0}^1(\Omega)\times L_{\mu_{t}}^2(\mathbb R^+; H_{0}^1(\Omega))$ 中研究了具有时间依赖记忆核的非经典扩散方程解的长时间动力学行为. 在新的理论框架下, 利用积分估计方法以及分解技术得到了解的适定性, 进而证明了时间依赖全局吸引子的存在性与正则性.

该文运用移动平面法研究了一类混合局部-非局部半线性椭圆方程奇异解的单调性和对称性.

利用 Picard 算子和动态不等式, 探讨了一类形式更普遍的一阶非线性时标动态方程的 Hyers-Ulam-Rassias 稳定性, 并且提供三个例子说明这些结论的应用.

该文主要研究一类非齐次非线性 Schrödinger 方程在质量次临界条件下驻波的存在性和轨道稳定性. 通过一个变分原理, 讨论了约束变分问题极小化序列的紧性, 并由此得到驻波的存在性, 进一步证明了驻波的轨道稳定性.

该文利用物理信息神经网络 (PINNs) 对扩展的五阶 mKdV (emKdV) 方程的正反问题进行求解, 并对孤子的动力学行为进行分析、模拟. 针对正问题, 选用双曲正切函数 $\tanh$ 作为激活函数求解方程的一、二、三孤子解, 并将 PINNs 方法求得的数据驱动解与借助简化的 Hirota 方法给出的方程精确解进行比较, 一孤子解的精度为 $\mathcal{O}(10^{-4})$, 二、三孤子解的精度为 $\mathcal{O}(10^{-3})$. 针对反问题, 分别由一、二、三孤子解的数据进行驱动求解方程的两个待定系数, 并在不同的噪声下探究算法的鲁棒性. 当在训练数据中加入 1% 的初始噪声或观测噪声时, 待求系数的预测精度可分别达到 $\mathcal{O}(10^{-3})$ 和 $\mathcal{O}(10^{-2})$; 当加入 3% 的初始噪声或观测噪声时, 预测精度依然可以达到 $\mathcal{O}(10^{-2})$; 由实验数据分析可知观测噪声对 PINNs 模型的影响要略大于初始噪声.

基于 Bouligand 意义下的切锥与法锥和 Clarke 意义下的切锥与法锥, 该文研究了非负组稀疏约束优化问题的最优性理论. 该文定义了非负组稀疏约束集的 Bouligand 切锥与法锥和 Clarke 切锥与法锥, 并给出了它们的等价刻画形式. 在目标函数连续可微的条件下, 借助于非负组稀疏约束集的切锥和法锥, 给出了该优化问题的四类稳定点的定义, 并讨论了它们之间的关系. 最后, 建立了非负组稀疏约束优化问题的一阶和二阶最优性条件.