令 $p\geqslant 2$ 为一素数, $\mathbb{Z}_p$ 为 $p$-adic 整数环. 对任意的 $\alpha,\beta,z\in \mathbb{Z}_p$, 定义 $\ f_{\alpha,\beta}(z)=\alpha z+\beta$. 该文第一部分研究了当$\ f_{\alpha_1,\beta_1}$ 和 $f_{\alpha_2,\beta_2}$ 交换时的半群动力系统$\ (\mathbb{Z}_p,G)$ 的所有极小块, 这里半群 $G=\{f_{\alpha_1,\beta_1}^n \circ f_{\alpha_2,\beta_2}^m: m,n \in \mathbb{N}\}$. 特别地, 我们找出了$\ (\mathbb{Z}_p,G)\ (p\geqslant 3)$ 是极小系统的充要条件是系统$\ (\mathbb{Z}_p,f_{\alpha_1,\beta_1})$ 或$\ (\mathbb{Z}_p,f_{\alpha_2,\beta_2})$ 极小并且找出了 $(\mathbb{Z}_2,G)$ 是极小的所有情况. 第二部分, 考察了 $\mathbb{Z}_p$ 上的弱本质极小的仿射半群动力系统, 这是一类半群中每个作用都不具有极小性但整体具有极小性的仿射系统. 我们证明了: $p\geqslant 3$ 时这样的半群一定是非交换的. 更进一步, 给定素数 $p$, 我们想知道 $\mathbb{Z}_p$ 上弱本质极小仿射半群的生成元个数最少是多少. 我们已经证明 $p=2$ 和 $p=3$ 时答案分别是 $2$ 和 $3$, 对于一般的 $p$, 我们证明了这个数不超过 $p$.

迭代是同一种运算的简单重复, 但对多项式这样的简单映射其迭代的计算都是复杂的. 该文研究了一类特殊的非单调映射, 即 Markov 映射的迭代, 分别给出具有一个、两个和多个非单调点的映射的迭代及其具体表达式.

该文主要证明对几乎所有频率, 当李雅普诺夫指数为正时, 斜移定义的 Verblunsky 系数生成的 CMV 矩阵的李雅普诺夫行为和动态局域化.

该文主要研究 Ginzburg-Landau 方程组的整体无粘性极限, 其中初值属于 $L^2(\mathbb{R}^n)\times L^2(\mathbb{R}^n)$ 或 $H^1(\mathbb{R}^n)\times H^1(\mathbb{R}^n)$. 具体来说, 研究 Ginzburg-Landau 方程组与非线性薛定谔方程组解的差值, 利用能量估计对差值进行处理, 从而得到 Ginzburg-Landau 方程组的无粘性极限是非线性薛定谔方程组的解.

以带引力项的可压缩 Euler 方程组为模型, 该文研究了三维球对称扩张管道中跨音速激波解的存在唯一性. 假设流体受引力影响充分小, 在管道入口处给定特殊的超音速初值条件, 当管道出口处的压力 $p$ 在某个确定范围内时, 通过证明出口处压力是激波位置的严格单调函数, 从而证明了管道内跨音速激波解的存在唯一性.

该文研究一类具有非等熵 Dusty 气体的两相流模型 Riemann 解在压力消失时的极限行为. 首先, 针对该模型的黎曼问题, 利用特征分析法得到基本波的表达式并在 $(p, u, s)$ 坐标系中构造了黎曼熵解. 然后, 证明了在压力消失时该模型的黎曼解收敛于带相同初值的一维常压力流体模型的黎曼解. 最后, 对该模型的黎曼解在压力消失过程中 $\delta$-激波和真空状态的形成进行数值模拟, 验证了上述理论分析的结果.

该文旨在研究带变系数和边界阻尼的强耦合波动方程的间接镇定. 值得注意的是, 系统中只有一个方程直接受到边界阻尼的影响. 利用黎曼几何方法和高阶能量方法, 证明了全局耦合系统的衰减速率受边界条件类型的影响. 研究结果表明, 当无阻尼方程具有 Dirichlet 边界条件时, 系统表现出指数稳定性, 而当无阻尼方程具有 Neumann 边界条件时, 系统仅有多项式稳定性. 最后, 在 Dirichlet 和 Neumann 边界条件下建立了局部耦合系统的指数稳定性.

双调和映照是一类重要的几何映照, 但是满足的偏微分方程非常复杂, 导致其正则性研究很困难. 为了研究这一类问题, 该文考虑一类双调和映照型四阶椭圆偏微分方程组

其中 $B_1=\{x\in\mathbb{R}^{n}:|x|<1\}$, $n\ge4$, $Q_{1},{\boldsymbol{Q}_{2}}$ 满足关于 $\nabla u$ 和 $\nabla^2 u$ 的临界增长条件. 则在适当的小性条件假设下, 该文证明该方程组的解均具有 Hölder 正则性, 从而推广了文献中的相关结果. 该结果有助于加深对双调和映照结构的理解与正则性理论的研究.

该文研究了具有与温度相关的热扩散率和电阻率的三维广义不可压缩 MHD-Boussinesq 方程. 在 Sobolev 空间 $H^{s}$ 中, 对于任意 $s>2$, 证明了具有温度相关热扩散率和电阻率的三维广义不可压缩 MHD-Boussinesq 方程存在唯一的全局强解.

该文主要考虑一类含分数阶 $p$-Laplacian 算子基尔霍夫型方程正规化解的存在性和渐近行为. 利用能量估计技巧, 当 $q\in (p,\ p+\frac{2sp^2}{N})$ 时, 该文得到了含分数阶 $p$-Laplacian 算子基尔霍夫型方程正规化解的存在性与非线性项指数 $q$ 和预定值 $c$ (其中 $\int_{\mathbb{R}^N}|u|^p{\rm d}x=c^p$ ) 的一个完整的分类. 当 $q\geq p+\frac{2sp^2}{N}$ 时, 该文得到了方程山路型正规化解的存在性. 进一步探讨了正规化解关于 $c$ 的渐近行为.

该文致力于研究 $\mathbb{R}^4$ 中一类带有陡峭位势的临界 Kirchhoff 型方程

其中 $a,b > 0$ 是常数且参数 $\lambda > 0$. 在 4 维空间中, $|u|^{2}u$ 的非线性增长在 $2^{*}\!=\!4$ 时达到 Sobolev 临界指数. 假设非负连续位势 $V$ 是底部为 $V^{-1}(0)$ 的陡峭位势且 $f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 满足一定的条件. 利用变分方法, 获得了方程至少存在一个基态解. 此外, 还研究了当 $|x|\rightarrow\infty$ 时, 基态解的集中行为和当 $b \rightarrow0$, $\lambda \rightarrow \infty$ 时, 基态解的渐近行为.

该文研究了一类具有对数非线性源项的分数阶 $p$-Laplace 扩散方程的初边值问题. 文中利用 Galerkin 近似、势阱理论和 Nehari 流形的方法证明了方程在亚临界状态和临界状态下解的全局存在性, 然后通过构造辅助函数、应用微分不等式给出了解在有限时间内爆破的一些充分条件.

该文主要研究具有移动环境的 Lotka-Volterra 合作系统在二维格上的周期强迫波的存在性. 首先, 证明 Lotka-Volterra 系统的初值问题解的存在性与唯一性, 并建立了比较原理. 其次, 构造 Lotka-Volterra 合作系统的一对上下解, 通过单调迭代技巧并结合上、下解方法证明了与栖息地移动速度相一致的周期强迫波的存在性.

该文研究了具有预定夹角边值条件或斜导数边值条件的 Hessian 商方程. 最后得到了 $k$-允许解的整体梯度估计.

该文在有界光滑域 $\Omega\subset \mathbb{R}^n$($n\geq3$)上研究了一个带奇异灵敏度的两组分非局部模型, 该模型是三组分的 Jones-Brantingham-Chayes 趋向性模型的一个简化模型, 后者被用于模拟在警察威慑下犯罪活动的时空动态. 该文在较大趋化敏感系数范围内证明了相应初边值问题拥有全局经典解. 值得指出的是, 相较于无警察威慑效应的 Short et al 趋向性犯罪模型的相关结果, 警察威慑扩大了确保解全局存在的趋化敏感系数范围, 在某种意义下这也表明了警察威慑效应对模型解性质具有正则化效应. 注意, 先前数值结果 (Jones, Brantingham and Chayes. Math Models Methods Appl Sci, 2010) 表明警察威慑有益于镇压犯罪热点的形成, 因此该文的研究结果也是相应数值结果的一个理论支持.

四元数代数是一种满足结合律但不满足交换律的代数结构, 对于研究高维空间中的方程和算子具有重要的理论意义和应用价值. 通过先证明四元数分析中的含参变量的 Privalov 定理, 再证明非主值积分的换序公式, 最后采用数学分析方法两边同时取极限证明了光滑曲面上的 Poincaré-Bertrand 公式.

该文将讨论平面多项式的正规形理论. 作者利用多项式代数理论求出相应变量的最小不可约分解, 并通过全局共轭得到一类平面三次多项式的光滑分类. 作者的定理还应用于讨论平面迭代根与嵌入流问题.

该文对出现在 Born-Infeld 理论中的 Ablelian Higgs 模型所对应的 BPS 方程, 针对两类边界条件, 利用动态射击法证明了 BPS 方程两点边值问题解的存在唯一性, 最后给出了解在无穷远处的渐近估计.

针对一类奇异摄动 Volterra 积分微分方程, 在 Vulanović-Bakhvalov 网格上构造了一个一阶参数一致收敛的有限差分格式. 进一步, 基于 Richardson 外推技术, 将数值格式的收敛阶从 $O(N^{-1})$ 提高到 $O(N^{-2})$, 其中 $N$ 是网格剖分数. 最后, 数值实验证明了数值方法的有效性.

具有重复行的正交表已经得到广泛应用, 它可以降低试验的复杂性和成本, 同时提高试验结果的可靠性. 具有重复行的最优正交表有更好的统计性质和组合结构, 然而目前对此类的最优正交表知之甚少. 该文主要研究各种水平变换和列变换构造具有重复行的最优正交表的方法. 首先介绍了一种独立列构造饱和的正交表的方法, 然后利用各种水平变换和列变换提出了具有重复行的最优正交表和$m$-最优正交表的构造方法, 最后作为这些方法的应用为使用人员提供了具有重复行的最优正交表的无穷类.

该文主要借助 Abel 积分来研究一类近-Hamilton 多项式系统的极限环分支问题. 首先, 借助分析的技巧分别推出 Abel 积分在中心奇点处及异宿环附近的近似展开式并给出系数的计算表达式; 这些结果可以用来研究扰动系统的 Hopf 分支及异宿分支问题. 具体而言, 所讨论的近-Hamilton 多项式系统在中心奇点附近可产生 $[\frac{n+1}{4}]+[\frac{n-1}{4}]+1$ 个极限环及在异宿环附近可分支出 $2[\frac{n+1}{4}]+[\frac{n-1}{4}]$ 个极限环.

利用 ${{\mathbb{R}}^{n}}$ 中凸体与平坦凸体两者平均曲率积分之间的关系, 给出 $h$ 个与凸体 $K$ 相交的线性子空间彼此在 $K$ 内相交的几何概率. 在此基础上得到了在凸体 $K$ 内有一个半径为 $r$ 而和所有随机平面有公共点的球存在的概率, 并进一步讨论了一维和二维情形下点的汇聚概率.

不确定数据处理过程中常常会涉及到平方和凸凹多项式结构的分式优化问题. 该文旨在研究它的鲁棒最优解. 首先, 借助鲁棒优化方法和一类法锥型约束规格条件, 建立该不确定分式多项式优化问题的鲁棒最优解的最优性条件. 随后, 引入该不确定分式多项式优化问题的鲁棒对偶问题, 并研究它们之间的鲁棒弱对偶与强对偶性质. 最后, 刻画该不确定分式多项式优化问题的精确平方和松弛性质.

利用函数的近似次微分性质和拟凸函数的生成集的概念, 引入一类新的约束规范条件, 建立了拟凸规划问题拟 $(\alpha,\varepsilon )$-最优解的特征刻画, 近似鞍点定理及混合型对偶理论.