具有分数阶耗散的三维温度相关不可压缩 MHD-Boussinesq 方程的全局强解

具有分数阶耗散的三维温度相关不可压缩 MHD-Boussinesq 方程的全局强解

刘辉¹, 林琳², 孙成峰^,³^,^*

¹济南大学数学科学学院济南 250022

²上海电机学院文理学院上海 201306

³南京财经大学应用数学学院南京 210023

Global Strong Solution of 3D Temperature-Dependent Incompressible MHD-Boussinesq Equations with Fractional Dissipation

Liu Hui¹, Lin Lin², Sun Chengfeng^,³^,^*

¹School of Mathematical Sciences, University of Jinan, Jinan 250022

²School of Arts and Sciences, Shanghai Dianji University, Shanghai 201306

³School of Applied Mathematics, Nanjing University of Finance and Economics, Nanjing 210023

通讯作者: * 孙成峰，E-mail:sch200130@163.com

收稿日期: 2023-10-24 修回日期: 2024-09-25

基金资助:

国家自然科学基金(12271293)
国家自然科学基金(11901342)
国家自然科学基金(12371445)
国家自然科学基金(11901302)
国家自然科学基金(11701269)
山东省高校青年创新团队项目(2023KJ204)
山东省自然科学基金(ZR2023MA002)
江苏省自然科学基金(BK20231301)

Received: 2023-10-24 Revised: 2024-09-25

Fund supported:

NSFC(12271293)
NSFC(11901342)
NSFC(12371445)
NSFC(11901302)
NSFC(11701269)
Project of Youth Innovation Team of Universities of Shandong Province(2023KJ204)
Natural Science Foundation of Shandong Province(ZR2023MA002)
Natural Science Foundation of Jiangsu Province(BK20231301)

摘要

该文研究了具有与温度相关的热扩散率和电阻率的三维广义不可压缩 MHD-Boussinesq 方程. 在 Sobolev 空间 $H^{s}$ 中, 对于任意 $s>2$ , 证明了具有温度相关热扩散率和电阻率的三维广义不可压缩 MHD-Boussinesq 方程存在唯一的全局强解.

关键词： MHD-Boussinesq方程; 强解; 热扩散率

Abstract

The 3D generalized incompressible MHD-Boussinesq equations with temperature-dependent thermal diffusivity and electrical resistivity are considered in this paper. We prove that there is a unique global strong solution of the 3D generalized incompressible MHD-Boussinesq equations with temperature-dependent thermal diffusivity and electrical resistivity in the Sobolev spaces $H^{s}$ for any $s>2$ .

Keywords： MHD-Boussinesq equations; strong solution; thermal diffusivity

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本文引用格式

刘辉, 林琳, 孙成峰. 具有分数阶耗散的三维温度相关不可压缩 MHD-Boussinesq 方程的全局强解[J]. 数学物理学报, 2025, 45(2): 418-433

Liu Hui, Lin Lin, Sun Chengfeng. Global Strong Solution of 3D Temperature-Dependent Incompressible MHD-Boussinesq Equations with Fractional Dissipation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(2): 418-433

1 引言

在本文中, 我们研究以下具有与温度相关热扩散率和电阻率的三维广义不可压缩 MHD-Boussinesq 方程

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\partial_{t}u+(-\Delta)^{\frac{3}{2}}u+(u\cdot\nabla)u-(b\cdot\nabla)b+\nabla p=\theta e_{3},\\\partial_{t}b-\nabla\cdot(\nu(\theta)\nabla b)+(u\cdot\nabla)b-(b\cdot\nabla)u=0,\\\partial_{t}\theta-\nabla\cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta)+(u\cdot\nabla)\theta=0,\\\nabla\cdot u=0,\nabla\cdot b=0,\\u(x,0)=u_{0}(x), b(x,0)=b_{0}(x), \theta(x,0)=\theta_{0}(x),\end{array}\right.\end{array}$

(1.1)

其中 $x\in\mathbb{R}^{3}$ , $t>0$ . $u=u(x,t)$ 为速度场, $b=b(x,t)$ 为磁场, $\theta=\theta(x,t)$ 为标量温度, $p=p(x,t)$ 为标量压力. $\nu(\theta)$ 表示流体的电阻系数, $\kappa(\theta)$ 为热扩散系数, $e_{3}=(0,0,1)^{T}$ . 设 $\Lambda:=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$ . 在本文中, 我们假设 $\nu(\theta)$ 和 $\kappa(\theta)$ 为光滑函数, 并且当 $|\theta|\leq C_{2}$ 时, 对于某些正常数 $0<C_{0}\leq C_{1}$ 和 $C_{2}>0$ , 有

$\begin{align} 0<C_{0}\leq \nu(\theta),\quad \kappa(\theta)\leq C_{1}<\infty. \end{align}$

(1.2)

我们定义 $C$ 为逐行不同的常数. 当 $\nu(\theta)$ 为正常数且 $\theta=0$ , 系统 (1.1) 简化为广义 MHD 方程. 引入以下广义 MHD 方程

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\partial_{t}u+(-\Delta)^{\alpha}u+(u\cdot\nabla)u-(b\cdot\nabla)b+\nabla p=0,\\ [1mm]\partial_{t}b+(-\Delta)^{\beta}b+(u\cdot\nabla)b-(b\cdot\nabla)u=0,\\ [1mm]\nabla\cdot u=0,\nabla\cdot b=0,\\ [1mm]u(x,0)=u_{0}(x), b(x,0)=b_{0}(x).\end{array}\right.\end{array}$

文献 [29],[30],[31],[34] 中证明了广义 MHD 方程在 $\alpha\geq\frac{5}{4}$ , $\beta>0$ 以及 $\alpha+\beta\geq\frac{5}{2}$ 的适定性, 并给出了正则性准则, 其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 分别对应于速度场 $(-\Delta)^\alpha u$ 和磁场 $(-\Delta)^\beta b$ 的分数阶耗散参数. 当 $\beta=1$ , 本文将取临界值 $\alpha=\frac{3} {2}$ . 在文献 [26] 中, Tran, Yu 和 Zhai 证明了在 $0\leq\alpha<\frac{1} {2}$ , $2\alpha+\beta>2$ 或 $\alpha\geq\frac{1}{3}$ , $\beta\geq1$ 时, 二维广义磁流体动力学方程的全局正则性. 文献 [15] 中证明了三维广义磁流体动力学方程的全局存在性和渐近稳定性. 在文献 [23] 中, Liu, Sun 和 Xin 证明了多维超粘性磁微极方程的适定性. 同时, 文献 [22] 中证明了具有阻尼项的广义 Navier-Stokes 方程的存在唯一性.

当 $b=0$ 时, 系统 (1.1) 简化为具有温度相关热扩散率的三维广义 Boussinesq 方程. 在文献 [27] 中, Wang 和 Zhang 证明了具有温度依赖粘度和热扩散率的二维 Boussinesq 方程解在全空间上全局时间存在唯一性. 同时, 在文献 [25] 中, Sun 和 Zhang 证明了具有变粘度和热扩散率的二维 Boussinesq 方程的全局正则性. 在文献 [9] 中, Chen 和 Jiang 证明了具有温度相关热扩散率的二维 Boussinesq 方程的全局适定性. 文献 [11],[12] 中证明了具有温度依赖粘度和热扩散率的二维或三维 Boussinesq 方程的正则性准则. 文献 [8],[14] 中获得了具有混合部分粘度和热扩散率的二维 Boussinesq 方程的全局适定性. 通过先验和能量估计, Abidi 和 Zhang 在文献 [1],[2] 证明了二维或三维变粘度 Boussinesq 方程的全局适定性. 在文献 [33] 中, Ye 证明了无扩散率的二维温度相关 Boussinesq 方程模型的全局适定性.

最近, 许多作者在文献 [5],[18],[21],[24],[28] 中研究了 MHD-Boussinesq 方程. 在文献 [6],[7] 中得到了具有分层效应的 MHD 对流二维 Boussinesq 方程的全局弱解和指数衰减率. 在文献 [32] 中, Ye 得到了具有零热扩散率的二维温度相关修正 MHD-Boussinesq 方程的全局正则性. 在文献 [13] 中证明了具有分数阶热扩散的 MHD 对流的 $n$ 维 Boussinesq 方程的局部适定性.

为了得到系统 (1.1) 的全局强解, 主要困难在于对 $(u\cdot\nabla)u$ , $(b\cdot\nabla)b$ , $\nabla\cdot(\nu(\theta)\nabla b)$ , $(u\cdot\nabla)b$ , $(b\cdot\nabla)u$ , $\nabla\cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta)$ 和 $(u\cdot\nabla)\theta$ 的估计. 为了得到 $\theta$ 的 $L^{\infty} ([T];\dot{H}^{1}(\mathbb{R}^3))$ 界, 我们引入了新的量 (3.16). 通过对一致抛物方程的 Amann $L^{p}$ 估计和 Gagliardo-Nirenberg 不等式, 我们得到了 $(u,b,\theta)$ 的 $L^{\infty} ([T];\dot{H}^{2}(\mathbb{R}^3))$ 界和 $s>2$ 时的 $L^ {\infty} ([T];\dot{H}^{s}(\mathbb{R}^3))$ 界.

本文的结构如下. 在第 2 节中, 我们回顾了一些基本不等式和主要结果. 在第 3 节中, 我们得到了定理 2.1 的证明.

2 预备知识

在本节中, 介绍了以下经典交换子估计和双线性估计(见文献 [4],[16],[17]).

引理2.1 设 $p,p_{1},p_{3}\in(1,\infty)$ 且 $p_{2},p_{4}\in[\infty]$ 满足

$\begin{align*} \frac{1}{p}=\frac{1}{p_{1}}+\frac{1}{p_{2}}=\frac{1}{p_{3}}+\frac{1}{p_{4}}, \end{align*}$

则对于 $s>0$ , 存在 $C>0$ 使得

$\begin{matrix} \|[J^{s},f]g\|_{L^{p}}&\leq C(\|J^{s-1}g\|_{L^{p_{1}}}\|\nabla f\|_{L^{p_{2}}}+\|J^{s}f\|_{L^{p_{3}}}\|g\|_{L^{p_{4}}}),\end{matrix}$

(2.1)

$\begin{matrix}\|J^{s}(fg)\|_{L^{p}}&\leq C(\|J^{s}g\|_{L^{p_{1}}}\|f\|_{L^{p_{2}}}+\|J^{s}f\|_{L^{p_{3}}}\|g\|_{L^{p_{4}}}). \end{matrix}$

(2.2)

现在, 介绍以下主要的结果.

定理2.1 设 $s>2$ , $(u_{0},b_{0},\theta_{0})\in H^{s}(\mathbb{R}^{3})$ 且 $\nabla\cdot u_{0}=\nabla\cdot b_{0}=0$ . 如果 (1.2) 成立, 对于任意给定的 $T>0$ , 系统 (1.1) 存在唯一的全局强解 $(u,b,\theta)$ , 使得

$\begin{align*} u&\in C([T];H^{s}(\mathbb{R}^{3}))\cap L^{2}([T];H^{s+\frac32}(\mathbb{R}^{3})),\\ (b,\theta)&\in C([T];H^{s}(\mathbb{R}^{3}))\cap L^{2}([T];H^{s+1}(\mathbb{R}^{3})). \end{align*}$

3 定理 2.1 的证明

在本节中, 我们将给出定理 2.1 的证明. 先引入以下先验估计.

引理3.1 假设 $(u_{0},b_{0},\theta_{0})$ 满足定理 2.1 中定义的条件, 对于任意的 $t\geq0$ , 得到以下估计

$\begin{matrix}\label{8} & \|u(t)\|^{2}_{L^{2}}+\|b(t)\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta(t)\|^{2}_{L^{2}}+\int_{0}^{t}(\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\nabla b\|^{2}_{L^{2}}+\|\nabla\theta\|^{2}_{L^{2}}){\rm d}s\nonumber\\ &\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.1)

证分别取 (1.1) 式的第一个方程与 $u$ , (1.1) 式的第二个方程与 $b$ , (1.1) 式的第三个方程与 $\theta$ 的 $L^{2}$ -内积, 并通过分部积分可以得出

$\begin{matrix}\label{3} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^{2}_{L^{2}}+\|b\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}-\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\cdot b{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta) \theta{\rm d}x\nonumber\\ &=\int_{\mathbb{R}^{3}}\theta e_{3}\cdot u{\rm d}x\nonumber\\ &\leq \|\theta\|_{L^{2}}\|u\|_{L^{2}}\leq \|\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|u\|_{L^{2}}^{2}, \end{matrix}$

(3.2)

其中我们使用了以下结果

$\begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)b\cdot u{\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)u\cdot b{\rm d}x=0. \end{align*}$

由 (1.2) 式以及分部积分, 可得

$\begin{matrix}\label{4} -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\cdot b{\rm d}x =\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu(\theta)|\nabla b|^{2}{\rm d}x\geq C_{0}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.3)

类似地, 我们有

$\begin{matrix}\label{5} -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta)\theta{\rm d}x =\int_{\mathbb{R}^{3}}\kappa(\theta)|\nabla \theta|^{2}{\rm d}x\geq C_{0}\|\nabla \theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.4)

将 (3.3) 式和 (3.4) 式代入 (3.2) 式, 可以得到

$\begin{matrix} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^{2}_{L^{2}}+\|b\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla \theta\|_{L^{2}}^{2}\nonumber\\ &\leq C(\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|\theta\|_{L^{2}}^{2}). \end{matrix}$

(3.5)

应用 Gronwall 不等式, 容易得到

$\begin{align*} & \|u(t)\|^{2}_{L^{2}}+\|b(t)\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta(t)\|^{2}_{L^{2}}+\int_{0}^{t}(\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\nabla b\|^{2}_{L^{2}}+\|\nabla\theta\|^{2}_{L^{2}}){\rm d}s\nonumber\\ &\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{align*}$

这样就完成了引理 3.1 的证明.

引理3.2 假设 $(u_{0},b_{0},\theta_{0})$ 满足定理 2.1 中定义的条件, 对于任意的 $t\geq0$ 和 $r\in(2,\infty)$ , 我们得到如下估计

$\begin{matrix}\label{22} \|b(t)\|_{L^{r}}+\|\theta(t)\|_{L^{r}}+\|\theta(t)\|_{L^{\infty}}\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.6)

证取 (1.1) 式的第二个方程与 $|b|^{r-2}b$ 的内积, 由分部积分可得

$\begin{matrix}\label{6} & \frac{1}{r}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|b\|^{r}_{L^{r}} -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\cdot(|b|^{r-2}b){\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &=\int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)u \cdot|b|^{r-2}b{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\leq \|\nabla u\|_{L^{3}}\|b\|_{L^{\frac{3r}{2}}}^{r}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|b\|_{L^{r}}^{\frac{r}{2}}\|b\|_{L^{3r}}^{\frac{r}{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|b\|_{L^{r}}^{\frac{r}{2}}\|\nabla|b|^{\frac{r}{2}}\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}(r-2)}{r^{2}}\|\nabla|b|^{\frac{r}{2}}\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|b\|_{L^{r}}^{r}. \end{matrix}$

(3.7)

通过分部积分并运用 (1.2) 式, 容易得到

$\begin{matrix}\label{7} -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\cdot(|b|^{r-2}b){\rm d}x &=\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu(\theta)|\nabla b|^{2}|b|^{r-2}{\rm d}x+\frac{4(r-2)}{r^{2}}\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu(\theta)|\nabla|b|^{\frac{r}{2}}|^{2}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\geq C_{0}\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla b|^{2}|b|^{r-2}{\rm d}x+\frac{4C_{0}(r-2)}{r^{2}}\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla|b|^{\frac{r}{2}}|^{2}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &=C_{0}\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla b|^{2}|b|^{r-2}{\rm d}x+\frac{4C_{0}(r-2)}{r^{2}}\|\nabla|b|^{\frac{r}{2}}\|^{2}_{L^{2}}. \end{matrix}$

(3.8)

将 (3.8) 式代入 (3.7) 式, 可得

$\begin{matrix} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|b\|^{r}_{L^{r}} \leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|b\|_{L^{r}}^{r}. \end{matrix}$

(3.9)

由 Gronwall 不等式和 (3.1) 式, 可得

$\begin{matrix}\label{11} \|b(t)\|_{L^{r}}^{r}\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.10)

将 (1.1) 式的第三个方程乘以 $|\theta|^{r-2}\theta$ , 在 $\mathbb{R}^{3}$ 上积分, 再进行分部积分, 可得

$\begin{matrix}\label{9} \frac{1}{r}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\theta\|^{r}_{L^{r}} -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla\cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta)(|\theta|^{r-2}\theta){\rm d}x =0. \end{matrix}$

(3.11)

通过上述不等式 (3.8) 和类似的方法, 我们推导出

$\begin{matrix}\label{10} -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta)(|\theta|^{r-2}\theta){\rm d}x \geq C_{0}\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla \theta|^{2}|\theta|^{r-2}{\rm d}x+\frac{4C_{0}(r-2)}{r^{2}}\|\nabla|\theta|^{\frac{r}{2}}\|^{2}_{L^{2}}. \end{matrix}$

(3.12)

将 (3.12) 式代入 (3.11) 式并且应用 Gronwall 不等式, 得到

$\begin{matrix}\label{12} \|\theta(t)\|_{L^{r}}^{r}\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.13)

由文献 [10],[19] 中的命题 2.3 和文献 [11] 中的定理 1.2 最大值原理的启发, 得到

$\begin{matrix}\label{13} \|\theta(t)\|_{L^{\infty}}\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.14)

由 (3.10), (3.13) 和 (3.14) 式, 完成了引理 3.2 的证明.

引理3.3 假设 $(u_{0},b_{0},\theta_{0})$ 满足定理 2.1 中定义的条件, 则对于任意的 $t\geq0$ , 我们得到如下估计

$\begin{matrix}\label{38} \|\nabla\theta(t)\|_{L^{2}}^{2}+\int_{0}^{t}\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.15)

证由文献 [20] 中定理 1.1 的启发, 我们定义

$\begin{matrix}\label{52} \tilde{\Theta}(x,t):=\int_{0}^{\theta}\kappa(s){\rm d}s. \end{matrix}$

(3.16)

此外, 我们有

$\begin{matrix}\label{15} \partial_{t}\tilde{\Theta}=\kappa(\theta)\partial_{t}\theta, \partial_{i}\tilde{\Theta}=\kappa(\theta)\partial_{i}\theta, \Delta\tilde{\Theta}=\partial_{i}(\kappa(\theta)\partial_{i}\theta). \end{matrix}$

(3.17)

我们将 (1.1) 式的第三个方程改写为如下形式

$\begin{matrix}\label{14} \partial_{t}\tilde{\Theta}+(u\cdot\nabla)\tilde{\Theta}-\kappa(\theta)\Delta\tilde{\Theta}=0. \end{matrix}$

(3.18)

将方程 (3.18) 式乘以 $-\Delta\tilde{\Theta}$ , 并在 $\mathbb{R}^{3}$ 上积分, 由分部积分和 (1.2) 式, 可得

$\begin{align*} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\tilde{\Theta}\|^{2}_{L^{2}}+C_{0}\|\Delta\tilde{\Theta}\|^{2}_{L^{2}} &\leq\int_{\mathbb{R}^{3}}(u\cdot\nabla)\tilde{\Theta}\Delta\tilde{\Theta}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\leq \|\nabla u\|_{L^{3}}\|\nabla \tilde{\Theta}\|_{L^{3}}^{2}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|\nabla \tilde{\Theta}\|_{L^{2}}\|\Delta\tilde{\Theta}\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{2}\|\Delta\tilde{\Theta}\|^{2}_{L^{2}}+C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|\nabla \tilde{\Theta}\|_{L^{2}}^{2}, \end{align*}$

而且, 有

$\begin{align*} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla\tilde{\Theta}\|^{2}_{L^{2}}+\|\Delta\tilde{\Theta}\|^{2}_{L^{2}} &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|\nabla \tilde{\Theta}\|_{L^{2}}^{2}. \end{align*}$

根据 Gronwall 不等式和 (3.1) 式, 有

$\begin{matrix}\label{16} \|\nabla\tilde{\Theta}(t)\|^{2}_{L^{2}}+\int_{0}^{t}\|\Delta\tilde{\Theta}\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}s \leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.19)

由 (3.17) 式, 易得

$\begin{matrix} \partial_{i}\theta=\frac{\partial_{i}\tilde{\Theta}}{\kappa(\theta)}, \Delta\theta= \frac{\Delta\tilde{\Theta}-\kappa'(\theta)|\nabla\theta|^{2}}{\kappa(\theta)}. \end{matrix}$

(3.20)

由 (1.2) 式和 (3.19) 式, 我们得到如下不等式

$\begin{matrix} \|\tilde{\Theta}\|_{L^{\infty}}=\left\|\int_{0}^{\theta}\kappa(s){\rm d}s\right\|_{L^{\infty}}\leq C \end{matrix}$

(3.21)

和

$\begin{matrix}\label{17} \|\nabla\theta\|_{L^{2}}^{2}=\left\|\frac{\nabla\tilde{\Theta}}{\kappa(\theta)}\right\|_{L^{2}}^{2} \leq C\|\nabla\tilde{\Theta}\|_{L^{2}}^{2} \leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}), \end{matrix}$

(3.22)

以及

$\begin{matrix}\label{18} \int_{0}^{t}\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s&=\int_{0}^{t}\left\|\frac{\Delta\tilde{\Theta}-\kappa'(\theta)|\nabla\theta|^{2}}{\kappa(\theta)} \right\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s\nonumber\\ [1mm] &\leq C\int_{0}^{t}\|\Delta\tilde{\Theta}\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s+C\int_{0}^{t}\|\nabla\theta\|_{L^{4}}^{4}{\rm d}s\nonumber\\ [1mm] &\leq C\int_{0}^{t}\|\Delta\tilde{\Theta}\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s+C\int_{0}^{t}\|\nabla\tilde{\Theta}\|_{L^{4}}^{4}{\rm d}s\nonumber\\ [1mm] &\leq C\int_{0}^{t}\|\Delta\tilde{\Theta}\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s+C\int_{0}^{t}\|\tilde{\Theta}\|_{L^{\infty}}^{2}\|\Delta\tilde{\Theta}\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s\nonumber\\ [1mm] &\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.23)

将 (3.22) 式和 (3.23) 式相加, 这就完成了引理 3.3 的证明.

引理 3.4 假设 $(u_{0},b_{0},\theta_{0})$ 满足定理 2.1 中定义的条件, 对于任意的 $t\geq0$ , 可以得到如下估计

$\begin{matrix}\label{39} \|\nabla u(t)\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla b(t)\|_{L^{2}}^{2}+\int_{0}^{t}(\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}){\rm d}s\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.24)

证将 (1.1) 式的第一个方程与 $-\Delta u$ 作 $L^{2}$ -内积, 通过分部积分, 可得

$\begin{matrix}\label{19} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla u\|^{2}_{L^{2}} +\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|^{2}_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &=\int_{\mathbb{R}^{3}}(u\cdot\nabla)u\cdot \Delta u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)b\cdot\Delta u{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}\theta e_{3}\cdot\Delta u{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &:=\sum\limits_{i=1}^{3}I_{i}(t). \end{matrix}$

(3.25)

对于 $I_{1}(t)$ , 应用 Hölder 不等式和 Young 不等式, 有

$\begin{matrix}\label{20} I_{1}(t)&\leq \|u\|_{L^{2}}\|\nabla u\|_{L^{6}}\|\Delta u\|_{L^{3}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|u\|_{L^{2}}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{\frac{1}{3}}\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|_{L^{2}}^{\frac{5}{3}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{1}{4}\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+C\|u\|_{L^{2}}^{6}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.26)

对于 $I_{2}(t)$ , 再一次应用 Hölder 不等式和 Young 不等式, 得到

$\begin{matrix} I_{2}(t)&\leq \|b\|_{L^{6}}\|\nabla b\|_{L^{2}}\|\Delta u\|_{L^{3}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|b\|_{L^{6}}\|\nabla b\|_{L^{2}}\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{1}{4}\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+C\|b\|_{L^{6}}^{2}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.27)

对于 $I_{3}(t)$ , 类似的, 有

$\begin{matrix}\label{21} I_{3}(t)&\leq \|\nabla u\|_{L^{2}}\|\nabla \theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ &\leq \|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.28)

将 (3.26)-(3.28) 式代入 (3.25) 式, 可以得到

$\begin{matrix} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla u\|^{2}_{L^{2}} +\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}\leq C(1+\|u\|_{L^{2}}^{6})\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}+C\|b\|_{L^{6}}^{2}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\nabla\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.29)

由 Gronwall 不等式以及 (3.1) 式和 (3.6) 式, 得到

$\begin{matrix}\label{23} \|\nabla u(t)\|_{L^{2}}^2+\int_{0}^{t}\|\Lambda^{\frac{5}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.30)

取 (1.1) 式的第二个方程与 $-\Delta b$ 的 $L^{2}$ -内积, 由分部积分可得

$\begin{align*} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla b\|^{2}_{L^{2}} +\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\cdot\Delta b{\rm d}x \nonumber\\ [1mm] &=\int_{\mathbb{R}^{3}}(u\cdot\nabla)b\cdot\Delta b{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)u\cdot\Delta b{\rm d}x. \end{align*}$

由直接计算, 易得

$\begin{align*} \int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\Delta b{\rm d}x &=\int_{\mathbb{R}^{3}}\partial_{i}(\nu(\theta)\partial_{i}b_{j})\Delta b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &=\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu(\theta)|\Delta b|^{2}{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu'(\theta)\partial_{i}\theta\partial_{i}b_{j}\Delta b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\geq C_{0}\|\Delta b\|^{2}_{L^{2}}+\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu'(\theta)\partial_{i}\theta\partial_{i}b_{j}\Delta b_{j}{\rm d}x. \end{align*}$

此外, 有

$\begin{matrix}\label{24} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla b\|^{2}_{L^{2}} +C_{0}\|\Delta b\|^{2}_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &\leq\int_{\mathbb{R}^{3}}(u\cdot\nabla)b\cdot\Delta b{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)u\cdot\Delta b{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu'(\theta)\partial_{i}\theta\partial_{i}b_{j}\Delta b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &:=\sum\limits_{i=4}^{6}I_{i}(t). \end{matrix}$

(3.31)

对于 $I_{4}(t)$ , 应用 Hölder 不等式和 Young 不等式, 可得

$\begin{matrix}\label{25} I_{4}(t)&\leq \|\nabla u\|_{L^{3}}\|\nabla b\|_{L^{3}}^{2}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|\nabla b\|_{L^{2}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{8}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.32)

对于 $I_{5}(t)$ , 由 Hölder 不等式和 Young 不等式, 得到

$\begin{matrix} I_{5}(t)&\leq \|b\|_{L^{6}}\|\nabla u\|_{L^{3}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|\nabla b\|_{L^{2}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{8}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.33)

对于 $I_{6}(t)$ , 类似的, 有

$\begin{matrix}\label{26} I_{6}(t)&\leq C\|\nabla\theta\|_{L^{4}}\|\nabla b\|_{L^{4}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\nabla\theta\|_{L^{4}}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{\frac{1}{4}}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{\frac{7}{4}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{4}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\nabla\theta\|_{L^{4}}^{8}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.34)

将 (3.32)-(3.34) 式代入 (3.31) 式, 可得

$\begin{matrix}\label{27} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\nabla b\|^{2}_{L^{2}} +\|\Delta b\|^{2}_{L^{2}}\leq C(\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\theta\|_{L^{4}}^{8})\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.35)

对于 (1.1) 式的第三个方程, 由文献 [3],[11] 中抛物方程解的梯度估计以及 (3.1) 式, (3.6) 式和 (3.30) 式, 得到

$\begin{matrix}\label{28} \|\nabla\theta\|_{L^{8}([T];L^{4}(\mathbb{R}^{3}))}&\leq C\|u\theta\|_{L^{8}([T];L^{4}(\mathbb{R}^{3}))}+C\nonumber\\ &\leq C\|\theta\|_{L^{\infty}([T];L^{\infty})}\|u\|_{L^{8}([T];L^{4}(\mathbb{R}^{3}))}+C\nonumber\\ &\leq C\|u\|_{L^{8}([T];L^{4}(\mathbb{R}^{3}))}+C\nonumber\\ &\leq C\int_{0}^{T}\|u\|^{2}_{L^{2}}\|\nabla u\|^{6}_{L^{2}}{\rm d}s+C\nonumber\\ &\leq C(T,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.36)

将 (3.35) 式应用 Gronwall 不等式, 以及 (3.1) 式和 (3.36) 式, 有

$\begin{matrix}\label{29} \|\nabla b(t)\|_{L^{2}}+\int_{0}^{t}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}{\rm d}s\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.37)

将 (3.30) 式和 (3.37) 式相加, 就完成了引理 3.4 的证明.

引理3.5 假设 $(u_{0},b_{0},\theta_{0})$ 满足定理 2.1 中定义的条件, 对于任意的 $t\geq0$ , 我们得到如下估计

$\begin{matrix} & \|\Delta u(t)\|_{L^{2}}+\|\Delta b(t)\|_{L^{2}}+\|\Delta \theta(t)\|_{L^{2}}+\int_{0}^{t}(\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}+\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\Delta \theta\|_{L^{2}}^{2}){\rm d}s\nonumber\\ &\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.38)

此外, 得到

$\begin{matrix}\label{53} \int_{0}^{t}(\|\nabla b\|_{L^{\infty}}^{2}+\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}^{2}){\rm d}s \leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.39)

证将 $\Delta$ 应用于 (1.1) 式的第三个方程, 并与 $\Delta\theta$ 作 $L^{2}$ -内积, 由分部积分以及 (1.2) 式, 得到

$\begin{align*} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta \theta\|^{2}_{L^{2}} +C_{0}\|\nabla\Delta \theta\|^{2}_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &\leq\int_{\mathbb{R}^{3}}\partial_{i}(u\cdot\nabla \theta)\partial_{i}\Delta \theta{\rm d}x+C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}\|\Delta\theta\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}+C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}^{3}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\nabla u\|_{L^{3}}\|\nabla\theta\|_{L^{6}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}} +C\|u\|_{L^{6}}\|\Delta\theta\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] & +C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}\|\Delta\theta\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}} +C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}^{2}\|\Delta\theta\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|\Delta\theta\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}} +C\|\nabla u\|_{L^{2}}\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\nonumber\\ [1mm] & +C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}} +C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}^{2}\|\Delta\theta\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{2}\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}+C(\|\nabla u\|_{L^{2}}^{4}+\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\theta\|_{L^{6}}^{4})\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{align*}$

此外, 有

$\begin{matrix}\label{40} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta \theta\|^{2}_{L^{2}} +\|\nabla\Delta \theta\|^{2}_{L^{2}} \leq C(\|\nabla u\|_{L^{2}}^{4}+\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\theta\|_{L^{6}}^{4})\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.40)

对于 (1.1) 式的第三个方程, 通过对文献 [3],[11] 中抛物方程解的梯度估计以及 (3.6) 式和 (3.30) 式, 得到

$\begin{matrix}\label{41} \|\nabla\theta\|_{L^{4}([T];L^{6}(\mathbb{R}^{3}))}&\leq C\|u\theta\|_{L^{4}([T];L^{6}(\mathbb{R}^{3}))}+C\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\theta\|_{L^{\infty}([T];L^{\infty})}\|u\|_{L^{4}([T];L^{6}(\mathbb{R}^{3}))}+C\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|u\|_{L^{4}([T];L^{6}(\mathbb{R}^{3}))}+C\nonumber\\ [1mm] &\leq C\int_{0}^{T}\|\nabla u\|^{4}_{L^{2}}{\rm d}s+C\nonumber\\ [1mm] &\leq C(T,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.41)

对 (3.40) 式上应用 Gronwall 不等式, 结合 (3.1) 式, (3.24) 式和 (3.41) 式, 得到

$\begin{matrix}\label{42} \|\Delta \theta(t)\|^{2}_{L^{2}} +\int_{0}^{t}\|\nabla\Delta \theta\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}s \leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.42)

将 $\Delta$ 应用于 (1.1) 式的第二个方程, 并与 $\Delta b$ 作 $L^{2}$ -内积, 通过分部积分和 (1.2) 式, 得到

$\begin{align*} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta b\|^{2}_{L^{2}} +C_{0}\|\nabla\Delta b\|^{2}_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &\leq\int_{\mathbb{R}^{3}}\partial_{i}(u\cdot\nabla b)\partial_{i} \Delta b{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}\partial_{i}(b\cdot\nabla u)\partial_{i}\Delta b{\rm d}x+C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}\|\Delta b\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] & +C\|\nabla b\|_{L^{6}}\|\Delta \theta\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}+C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}^{2}\|\nabla b\|_{L^{6}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\nabla u\|_{L^{3}}\|\nabla b\|_{L^{6}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}} +C\|u\|_{L^{6}}\|\Delta b\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}+C\|b\|_{L^{6}}\|\Delta u\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] & +C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}\|\Delta b\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}} +C\|\nabla b\|_{L^{6}}\|\Delta \theta\|_{L^{3}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}+C\|\nabla\theta\|_{L^{6}}^{2}\|\nabla b\|_{L^{6}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}} +C\|\nabla u\|_{L^{2}}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\nonumber\\ [1mm] & +C\|\nabla b\|_{L^{2}}\|\Lambda^{\frac{5}{2}} u\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}+C\|\Delta\theta\|_{L^{2}}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}^{\frac{3}{2}}\nonumber\\ [1mm] & +C\|\Delta b\|_{L^{2}}\|\Delta \theta\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta \theta\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}+C\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}\|\Delta b\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq\frac{C_{0}}{2}\|\nabla\Delta b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}\|\Lambda^{\frac{5}{2}} u\|_{L^{2}}^{2}\nonumber\\ [1mm] & +C(\|\nabla u\|_{L^{2}}^{4}+\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{4} +\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2})\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}. \end{align*}$

此外, 有

$\begin{matrix} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta b\|^{2}_{L^{2}}+ \|\nabla\Delta b\|^{2}_{L^{2}} \leq C\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}\|\Lambda^{\frac{5}{2}} u\|_{L^{2}}^{2}\nonumber\\ [1mm] &+C(\|\nabla u\|_{L^{2}}^{4}+\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{4} +\|\nabla\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2})\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.43)

应用 Gronwall 不等式, 结合 (3.1) 式, (3.15) 式, (3.24) 式以及 (3.42) 式, 得到

$\begin{matrix}\label{43} \|\Delta b(t)\|^{2}_{L^{2}}+ \int_{0}^{t}\|\nabla\Delta b\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}s\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.44)

由 (3.1) 式, (3.42) 式和 (3.44) 式, 可得

$\begin{align*} \int_{0}^{t}(\|\nabla b\|_{L^{\infty}}^{2}+\|\nabla\theta\|_{L^{\infty}}^{2}){\rm d}s \leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{align*}$

将 $\Delta$ 应用于 (1.1) 式的第一个方程, 并与 $\Delta u$ 作 $L^{2}$ -内积, 由分部积分, 得到

$\begin{align*} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta u\|^{2}_{L^{2}} +\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|^{2}_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &=-\int_{\mathbb{R}^{3}}\Delta(u\cdot\nabla u)\cdot \Delta u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}\Delta(b\cdot\nabla b)\cdot\Delta u{\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^{3}}\Delta(\theta e_{3})\cdot\Delta u{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\leq \|u\|_{L^{6}}\|\Delta u\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta u\|_{L^{3}}+\|\nabla u\|_{L^{3}}^{2}\|\nabla\Delta u\|_{L^{3}} +\|b\|_{L^{6}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta u\|_{L^{3}}\nonumber\\ [1mm] & +\|\nabla b\|_{L^{3}}^{2}\|\nabla\Delta u\|_{L^{3}}+\|\Delta\theta\|_{L^{2}}\|\Delta u\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}\|\Delta u\|_{L^{2}}\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|_{L^{2}} +C\|b\|_{L^{6}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] & +C\|\nabla b\|_{L^{2}}\|\Delta b\|_{L^{2}}\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|_{L^{2}}+\|\Delta\theta\|_{L^{2}}\|\Delta u\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq\frac{1}{2}\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+C(1+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2})\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2} \\ [1mm] & +C(\|b\|_{L^{6}}^{2}+\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2})\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{align*}$

此外, 有

$\begin{matrix} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta u\|^{2}_{L^{2}} +\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|^{2}_{L^{2}} \nonumber\\ [1mm] &\leq C(1+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2})\|\Delta u\|_{L^{2}}^{2}+C(\|b\|_{L^{6}}^{2}+\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2})\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Delta\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.45)

由 Gronwall 不等式, (3.1) 式, (3.6) 式, (3.15) 式和 (3.24) 式, 可以得到

$\begin{matrix}\label{45} \|\Delta u(t)\|^{2}_{L^{2}} +\int_{0}^{t}\|\Lambda^{\frac{7}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}{\rm d}s \leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.46)

通过 (3.42) 式, (3.44) 式和 (3.46) 式, 完成了引理 3.5 的证明.

根据引理 3.3, 引理 3.4 和引理 3.5, 我们将给出定理 2.1 的证明.

定理 2.1 的证明 假设 $J^{s}$ 是符号为 $(1+|\xi|^{2})^{\frac{s}{2}}$ 的傅里叶乘数算子, 分别将 $J^{s}$ 应用于 (1.1) 式的第一个方程, (1.1) 的第二个方程和 (1.1) 式的第三个方程, 与 $(J^{s}u,J^{s}b,J^{s}\theta)$ 取 $L^{2}$ -内积, 得到

$\begin{matrix}\label{30} &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|J^{s}u\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}b\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &-\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\cdot J^{s}b{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}\nabla \cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta)J^{s}\theta{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] =\,&-\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(u\cdot\nabla u)\cdot J^{s}u{\rm d}x+ \int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(b\cdot\nabla b)\cdot J^{s}u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(\theta e_{3})\cdot J^{s}u{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &-\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(u\cdot\nabla b)\cdot J^{s}b{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(b\cdot\nabla u)\cdot J^{s}b{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(u\cdot\nabla \theta)J^{s}\theta{\rm d}x. \end{matrix}$

(3.47)

通过分部积分和直接计算以及 (1.2) 式, 我们得到

$\begin{matrix}\label{31} -\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}\nabla \cdot(\nu(\theta)\nabla b)\cdot J^{s}b{\rm d}x &=\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(\nu(\theta)\partial_{i}b_{j})J^{s}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &=\int_{\mathbb{R}^{3}}[J^{s},\nu(\theta)]\partial_{i}b_{j}J^{s}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu(\theta)J^{s}\partial_{i}b_{j}J^{s}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\geq\int_{\mathbb{R}^{3}}[J^{s},\nu(\theta)]\partial_{i}b_{j}J^{s}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x+C_{0}\|J^{s}\nabla b\|^{2}_{L^{2}}, \end{matrix}$

(3.48)

其中 $[J^{s},f]g=J^{s}(fg)-fJ^{s}(g)$ 是经典的交换子. 同样, 易得

$\begin{matrix}\label{32} -\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}\nabla \cdot(\kappa(\theta)\nabla \theta)J^{s}\theta{\rm d}x \geq\int_{\mathbb{R}^{3}}[J^{s},\kappa(\theta)]\partial_{i}\theta J^{s}\partial_{i}\theta{\rm d}x+C_{0}\|J^{s}\nabla \theta\|^{2}_{L^{2}}. \end{matrix}$

(3.49)

将 (3.48)-(3.49) 式代入 (3.47) 式, 得到

$\begin{matrix}\label{35} &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|J^{s}u\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}b\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &+C_{0}\|J^{s}\nabla b\|^{2}_{L^{2}}+C_{0}\|J^{s}\nabla \theta\|^{2}_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] \leq\,&-\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(u\cdot\nabla u)\cdot J^{s}u{\rm d}x+ \int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(b\cdot\nabla b)\cdot J^{s}u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(\theta e_{3})\cdot J^{s}u{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &-\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(u\cdot\nabla b)\cdot J^{s}b{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(b\cdot\nabla u)\cdot J^{s}b{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{3}}J^{s}(u\cdot\nabla \theta)J^{s}\theta{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &-\int_{\mathbb{R}^{3}}[J^{s},\nu(\theta)]\partial_{i}b_{j}J^{s}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}[J^{s},\kappa(\theta)]\partial_{i}\theta J^{s}\partial_{i}\theta{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] :=\,&\sum\limits_{i=7}^{14}I_{i}(t). \end{matrix}$

(3.50)

对于 $I_{7}(t)$ , 由 Hölder 不等式, Gagliardo-Nirenberg 不等式, Young 不等式以及 (2.1) 式, 我们推出

$\begin{matrix}\label{36} I_{7}(t)&\leq C\|J^{s}u\|_{L^{4}}\|[J^{s},u\cdot\nabla]u\|_{L^{\frac{4}{3}}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}\|J^{s}u\|_{L^{4}}^{2}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\nabla u\|_{L^{2}}\|J^{s}u\|_{L^{2}}\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{1}{8}\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+C\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}\|J^{s}u\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.51)

对于 $I_{10}(t)$ 和 $I_{12}(t)$ , 类似的, 有

$\begin{matrix} I_{10}(t)&\leq C\|J^{s}b\|_{L^{6}}\|[J^{s},u\cdot\nabla]b\|_{L^{\frac{6}{5}}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C(\|\nabla u\|_{L^{3}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}+\|\nabla b\|_{L^{3}}\|J^{s}u\|_{L^{2}})\|J^{s}b\|_{L^{6}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}+C\|\nabla b\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\Delta b\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|J^{s}u\|_{L^{2}}\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{8}\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|J^{s}b\|_{L^{2}}^{2} +C(\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2})\|J^{s}u\|_{L^{2}}^{2} \end{matrix}$

(3.52)

和

$\begin{matrix} I_{12}(t)&\leq C\|J^{s}\theta\|_{L^{6}}\|[J^{s},u\cdot\nabla]\theta\|_{L^{\frac{6}{5}}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C(\|\nabla u\|_{L^{3}}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}+\|\nabla \theta\|_{L^{3}}\|J^{s}u\|_{L^{2}})\|J^{s}\theta\|_{L^{6}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}\|J^{s}\nabla \theta\|_{L^{2}}+C\|\nabla \theta\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|\Delta \theta\|_{L^{2}}^{\frac{1}{2}}\|J^{s}u\|_{L^{2}}\|J^{s}\nabla \theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{4}\|J^{s}\nabla \theta\|_{L^{2}}^{2}+C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}^{2} +C(\|\nabla \theta\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta \theta\|_{L^{2}}^{2})\|J^{s}u\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.53)

对于 $I_{8}(t)$ , 由分部积分, Hölder 不等式, Sobolev 嵌入不等式, Young 不等式和 (2.2) 式, 我们推出

$\begin{matrix} I_{8}(t)&\leq C\|J^{s}\nabla u\|_{L^{3}}\|J^{s}(b\otimes b)\|_{L^{\frac{3}{2}}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|b\|_{L^{6}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}\|J^{s}\nabla u\|_{L^{3}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|b\|_{L^{6}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{1}{8}\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+C\|b\|_{L^{6}}^{2}\|J^{s}b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.54)

对于 $I_{9}(t)$ , 由 Hölder 不等式和 Young 不等式, 得到

$\begin{matrix} I_{9}(t)&\leq C\|J^{s}u\|_{L^{2}}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C(\|J^{s}u\|_{L^{2}}^{2}+\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}^{2}). \end{matrix}$

(3.55)

对于 $I_{11}(t)$ , 由 Hölder 不等式, Sobolev 嵌入不等式, Young 不等式和 (2.2) 式, 有

$\begin{matrix} I_{11}(t)&\leq C\|J^{s}(b\cdot\nabla u)\|_{L^{2}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C(\|\nabla u\|_{L^{3}}\|J^{s}b\|_{L^{6}}+\|b\|_{L^{6}}\|J^{s}\nabla u\|_{L^{3}})\|J^{s}b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}+C\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}\|b\|_{L^{6}}\|J^{s} b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{1}{4}\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\frac{C_{0}}{4}\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+C(\|b\|_{L^{6}}^{2}+\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2})\|J^{s}b\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.56)

对于 $I_{13}(t)$ , 由 Hölder 不等式, Young 不等式, (2.1) 式以及文献 [10] 中引理 A.4, 有

$\begin{matrix} I_{13}(t)&\leq C\|[J^{s},\nu(\theta)]\partial_{i}b_{j}\|_{L^{2}}\|J^{s}\partial_{i}b_{j}\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C(\|\nabla\nu(\theta)\|_{L^{\infty}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}+\|\nabla b\|_{L^{\infty}}\|J^{s}\nu(\theta)\|_{L^{2}})\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq C(\|\nabla \theta\|_{L^{\infty}}\|J^{s}b\|_{L^{2}}+\|\nabla b\|_{L^{\infty}}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}})\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{8}\|J^{s}\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+C(\|\nabla b\|_{L^{\infty}}^{2}+\|\nabla \theta\|_{L^{\infty}}^{2})(\|J^{s}b\|_{L^{2}}^{2}+\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}^{2}). \end{matrix}$

(3.57)

对于 $I_{14}(t)$ , 类似的, 有

$\begin{matrix}\label{37} I_{14}(t)&\leq C\|[J^{s},\kappa(\theta)]\partial_{i}\theta\|_{L^{2}}\|J^{s}\partial_{i}\theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ &\leq C(\|\nabla\kappa(\theta)\|_{L^{\infty}}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}+\|\nabla \theta\|_{L^{\infty}}\|J^{s}\kappa(\theta)\|_{L^{2}})\|J^{s}\nabla \theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ &\leq C\|\nabla \theta\|_{L^{\infty}}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}\|J^{s}\nabla \theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ &\leq \frac{C_{0}}{4}\|J^{s}\nabla \theta\|_{L^{2}}^{2}+C\|\nabla \theta\|_{L^{\infty}}^{2}\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.58)

将 (3.51)-(3.58) 式代入 (3.50) 式, 可以得到

$\begin{matrix} &\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|J^{s}u\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}b\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &+C_{0}\|J^{s}\nabla b\|^{2}_{L^{2}}+C_{0}\|J^{s}\nabla \theta\|^{2}_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] \leq\,& C(1+\|\nabla u\|_{L^{2}}^{2}+\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|_{L^{2}}^{2}+\|b\|_{L^{6}}^{2} +\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta b\|_{L^{2}}^{2} +\|\nabla \theta\|_{L^{2}}^{2}+\|\Delta \theta\|_{L^{2}}^{2}\nonumber\\ [1mm] &+\|\nabla b\|_{L^{\infty}}^{2}+\|\nabla \theta\|_{L^{\infty}}^{2})(\|J^{s}u\|_{L^{2}}^{2}+\|J^{s}b\|_{L^{2}}^{2}+\|J^{s}\theta\|_{L^{2}}^{2}). \end{matrix}$

(3.59)

由 Gronwall 不等式, (3.1) 式, (3.6) 式, (3.15) 式, (3.24) 式和 (3.39) 式, 我们有

$\begin{matrix} & \|J^{s}u(t)\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}b(t)\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}\theta(t)\|^{2}_{L^{2}} +\int_{0}^{t}(\|J^{s}\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}} +\|J^{s}\nabla b\|^{2}_{L^{2}}+\|J^{s}\nabla \theta\|^{2}_{L^{2}}){\rm d}\tau\nonumber\\ &\leq C(t,u_{0},b_{0},\theta_{0}). \end{matrix}$

(3.60)

最后, 我们将证明 (1.1) 的强解的唯一性. 假设 $(\hat{u},\hat{b},\hat{\theta},\hat{p})$ 和 $(\tilde{u},\tilde{b},\tilde{\theta},\tilde{p})$ 是 (1.1) 的两个解且具有相同的初值. 令 $u=\hat{u}-\tilde{u}$ , $b=\hat{b}-\tilde{b}$ , $\theta=\hat{\theta}-\tilde{\theta}$ 以及 $p=\hat{p}-\tilde{p}$ . 那么我们得到下面的形式

$\begin{matrix}{l}\left\{\begin{array}{l}\partial_{t}u+(-\Delta)^{\frac{3}{2}} u+(\hat{u}\cdot\nabla)u+(u\cdot\nabla)\tilde{u}-(\hat{b}\cdot\nabla)b-(b\cdot\nabla)\tilde{b}+\nabla p=\theta e_{3},\\ [1mm]\partial_{t}b-\nabla\cdot(\nu(\hat{\theta})\nabla \hat{b}-\nu(\tilde{\theta)}\nabla \tilde{b})+(\hat{u}\cdot\nabla)b+(u\cdot\nabla)\tilde{b}-(\hat{b}\cdot\nabla)u-(b\cdot\nabla)\tilde{u}=0,\\ [1mm]\partial_{t}\theta-\nabla\cdot(\kappa(\hat{\theta})\nabla \hat{\theta}-\kappa(\tilde{\theta})\nabla \tilde{\theta})+(\hat{u}\cdot\nabla)\theta+(u\cdot\nabla)\tilde{\theta}=0,\\ [1mm]\nabla\cdot u=0,\nabla\cdot b=0.\end{array}\right.\end{matrix}$

(3.61)

分别取 (3.61) 式的第一个方程与 $u$ , (3.61) 的第二个方程与 $b$ 以及 (3.61) 式的第三个方程与 $\theta$ 的 $L^{2}$ -内积, 通过分部积分, 得出

$\begin{matrix}\label{46} & \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^{2}_{L^{2}}+\|b\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta\|^{2}_{L^{2}}) +\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}\nonumber\\ & -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\hat{\theta})\nabla \hat{b}-\nu(\tilde{\theta})\nabla \tilde{b})\cdot b{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\kappa(\hat{\theta})\nabla \hat{\theta}-\kappa(\tilde{\theta})\nabla \tilde{\theta})\theta{\rm d}x\nonumber\\ &=-\int_{\mathbb{R}^{3}}(u\cdot\nabla)\tilde{u}\cdot u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)\tilde{b}\cdot u{\rm d}x+\int_{\mathbb{R}^{3}}\theta e_{3}\cdot u{\rm d}x\nonumber\\ & -\int_{\mathbb{R}^{3}}(u\cdot\nabla)\tilde{b}\cdot b{\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^{3}}(b\cdot\nabla)\tilde{u}\cdot b{\rm d}x-\int_{\mathbb{R}^{3}}(u\cdot\nabla)\tilde{\theta}\theta{\rm d}x\nonumber\\ &\leq \|\nabla\tilde{u}\|_{L^{\infty}}\|u\|_{L^{2}}^{2}+2\|\nabla\tilde{b}\|_{L^{\infty}}\|u\|_{L^{2}}\|b\|_{L^{2}}+\|\theta\|_{L^{2}}\|u\|_{L^{2}} \nonumber\\ & +\|\nabla\tilde{u}\|_{L^{\infty}}\|b\|_{L^{2}}^{2}+\|\nabla\tilde{\theta}\|_{L^{\infty}}\|u\|_{L^{2}}\|\theta\|_{L^{2}}\nonumber\\ &\leq C(1+\|\nabla\tilde{u}\|_{L^{\infty}}+\|\nabla\tilde{b}\|_{L^{\infty}}+\|\nabla\tilde{\theta}\|_{L^{\infty}}) (\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|b\|_{L^{2}}^{2}+\|\theta\|_{L^{2}}^{2})\nonumber\\ &\leq C(1+\|J^{s}\nabla\tilde{u}\|_{L^{2}}+\|J^{s}\nabla\tilde{b}\|_{L^{2}}+\|J^{s}\nabla\tilde{\theta}\|_{L^{2}}) (\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|b\|_{L^{2}}^{2}+\|\theta\|_{L^{2}}^{2}), \end{matrix}$

(3.62)

其中我们使用了 $\|\phi\|_{L^{\infty}(\mathbb{R}^{3})}\leq C\|J^{s}\phi\|_{L^{2}(\mathbb{R}^{3})}$ , $s>2$ . 通过直接计算和 (1.2) 式, 很容易得到

$\begin{matrix}\label{47} & -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\nu(\hat{\theta})\nabla \hat{b}-\nu(\tilde{\theta})\nabla \tilde{b})\cdot b{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &=\int_{\mathbb{R}^{3}}(\nu(\hat{\theta})\partial_{i}\hat{b}_{j}-\nu(\tilde{\theta})\partial_{i}\tilde{b}_{j})\partial_{i}b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &=\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu(\hat{\theta})\partial_{i}b_{j}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x +\int_{\mathbb{R}^{3}}(\nu(\hat{\theta})-\nu(\tilde{\theta}))\partial_{i}\tilde{b}_{j}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\geq C_{0}\|\nabla b\|^{2}_{L^{2}}+\int_{\mathbb{R}^{3}}(\nu(\hat{\theta})-\nu(\tilde{\theta}))\partial_{i}\tilde{b}_{j}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x. \end{matrix}$

(3.63)

同样的, 有

$\begin{matrix}\label{48} & -\int_{\mathbb{R}^{3}}\nabla \cdot(\kappa(\hat{\theta})\nabla \hat{\theta}-\nu(\tilde{\theta})\nabla \tilde{\theta})\theta{\rm d}x\nonumber\\ &\geq C_{0}\|\nabla \theta\|^{2}_{L^{2}}+\int_{\mathbb{R}^{3}}(\kappa(\hat{\theta})-\kappa(\tilde{\theta}))\partial_{i}\tilde{\theta}\partial_{i}\theta{\rm d}x. \end{matrix}$

(3.64)

将 (3.63)-(3.64) 式代入 (3.62) 式, 可得

$\begin{matrix}\label{49} &\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^{2}_{L^{2}}+\|b\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta\|^{2}_{L^{2}}) \nonumber\\ [1mm] &+\|\Lambda^{\frac{3}{2}}u\|^{2}_{L^{2}}+C_{0}\|\nabla b\|^{2}_{L^{2}}+C_{0}\|\nabla \theta\|^{2}_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] \leq\,& C(1+\|J^{s}\nabla\tilde{u}\|_{L^{2}}+\|J^{s}\nabla\tilde{b}\|_{L^{2}}+\|J^{s}\nabla\tilde{\theta}\|_{L^{2}}) (\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|b\|_{L^{2}}^{2}+\|\theta\|_{L^{2}}^{2})\nonumber\\ [1mm] &-\int_{\mathbb{R}^{3}}(\nu(\hat{\theta})-\nu(\tilde{\theta}))\partial_{i}\tilde{b}_{j}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x -\int_{\mathbb{R}^{3}}(\kappa(\hat{\theta})-\kappa(\tilde{\theta}))\partial_{i}\tilde{\theta}\partial_{i}\theta{\rm d}x. \end{matrix}$

(3.65)

由中值定理和 Young 不等式, 我们推出

$\begin{matrix}\label{50} -\int_{\mathbb{R}^{3}}(\nu(\hat{\theta})-\nu(\tilde{\theta}))\partial_{i}\tilde{b}_{j}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x &=-\int_{\mathbb{R}^{3}}\nu'(\zeta)\theta\partial_{i}\tilde{b}_{j}\partial_{i}b_{j}{\rm d}x\nonumber\\ [1mm] &\leq C\|\theta\|_{L^{2}}\|\nabla\tilde{b}\|_{L^{\infty}}\|\nabla b\|_{L^{2}}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{2}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+C\|\nabla\tilde{b}\|_{L^{\infty}}^{2}\|\theta\|_{L^{2}}^{2}\nonumber\\ [1mm] &\leq \frac{C_{0}}{2}\|\nabla b\|_{L^{2}}^{2}+C\|J^{s}\nabla\tilde{b}\|_{L^{2}}^{2}\|\theta\|_{L^{2}}^{2}, \end{matrix}$

(3.66)

其中 $\zeta$ 位于 $\hat{\theta}$ 和 $\tilde{\theta}$ 之间. 同样, 我们推出

$\begin{matrix}\label{51} & -\int_{\mathbb{R}^{3}}(\kappa(\hat{\theta})-\kappa(\tilde{\theta}))\partial_{i}\tilde{\theta}\partial_{i}\theta{\rm d}x \nonumber\\ &\leq \frac{C_{0}}{2}\|\nabla \theta\|_{L^{2}}^{2}+C\|J^{s}\nabla\tilde{\theta}\|_{L^{2}}^{2}\|\theta\|_{L^{2}}^{2}. \end{matrix}$

(3.67)

将 (3.66)-(3.67) 式代入 (3.65) 式, 可得

$\begin{matrix} & \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^{2}_{L^{2}}+\|b\|^{2}_{L^{2}}+\|\theta\|^{2}_{L^{2}}) \nonumber\\ &\leq C(1+\|J^{s}\nabla\tilde{u}\|_{L^{2}}^{2}+\|J^{s}\nabla\tilde{b}\|_{L^{2}}^{2}+\|J^{s}\nabla\tilde{\theta}\|_{L^{2}}^{2}) (\|u\|_{L^{2}}^{2}+\|b\|_{L^{2}}^{2}+\|\theta\|_{L^{2}}^{2}). \end{matrix}$

(3.68)

由 Gronwall 不等式, 证明了 (1.1) 式强解的唯一性. 这样就完成了定理 2.1 的证明.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Abidi

, Zhang

On the global well-posedness of 2-D Boussinesq system with variable viscosity

Adv Math, 2016, 305: 1202-1249