考虑下列带有陡峭位势的临界 Kirchhoff 型方程

其中 $a,b > 0$ 是常数且 $\lambda > 0$. 假设位势 $V$ 满足

(V$_1)$ $V(x)\in C(\mathbb{R}^{4}, \mathbb{R})$ 且对于所有 $x\in\mathbb{R}^{4}$, 有 $V(x)\geqslant 0$.

(V$_{2})$ 存在 $V_{0} > 0$ 使得 $\nu_{0}:=\{x \in\mathbb{R}^{4}: V (x) \leqslant V_{0}\}$ 是非空的且有有限测度.

(V$_3)$ $\Omega:=\mathrm{int}V ^{-1}(0)$ 是具有局部 Lipschitz 边界的非空开集且 $\overline{\Omega}= V^{-1}(0)$.

Bartsch 和 Wang^[1] 最早提出了关于陡峭位势 (V$_1)$-(V$_3)$ 的假设, 并且由 Bartsch-Pankov-Wang 在文献 [2] 中考虑非线性 Schrödinger 问题得到了进一步的发展, 同时陡峭位势的假设引起了国内外许多学者的广泛关注, 关于陡峭位势的应用, 参见文献 [2],[3],[4],[5] 及其参考文献. 此外, 假设 (V$_1)$-(V$_3)$ 表明 $\lambda V$ 是一个底部为 $V ^{-1}(0)$ 的位势, 其陡峭程度由参数 $\lambda$ 控制.

方程 (1.1) 是新的, 可以看作是下列方程的一种具体形式

近年来, 大多数作者对方程 (1.2) 的平稳问题进行了广泛的研究, 参见文献 [6],[7],[8] 等. 方程 (1.2) 与下列问题的平稳模型有关

其中 $f(x, u)$ 表示外力, $a$ 与弦的固有特性有关, $b$ 表示初始张力且 $u$ 是位移. 下列方程是 Kirchhoff 型方程的一般形式

其中 $\rho$ 是质量密度, $P_{0 }$ 表示初始张力, $h$ 代表横截面积, $E$ 是材料的杨氏模量, $L$ 表示弦长. Kirchhoff^[9] 首次提出弦长, 用于表示拉伸弦的横向振动, 特别是考虑振动引起的弦长变化. 更多关于 Kirchhoff 型方程的物理背景, 可见文献 [9],[10] 及其参考文献. 此外, Bernstein^[11] 和 Pohožaev^[12] 也发现了关于 Kirchhoff 问题一些早期经典的研究. 在 Lions^[13] 之后, 许多研究人员十分关注方程 (1.2), 并且提出了一种抽象的分析框架来解决问题. 同时发现了一些有趣的结果, 例如, He 和 Zou^[14] 处理临界 Kirchhoff 型方程时, 应用变分法将解的数量与集合的拓扑结构联系起来, 得到了正解的存在性和集中行为. Wang 等^[15]考虑了半线性 Kirchhoff 型方程正解的多重性和集中性, 结合极大极小定理和 Ljusternik-Schnirelmann 理论, 获得了涉及临界 Sobolev 指数的 Kirchhoff 型方程正解的多重性和集中性. 文献 [16],[17],[18] 利用变分方法和拓扑方法引入了有界域上 Kirchhoff 型方程非平凡解的存在性和多重性.

2021 年, Luo 和 Tang^[19] 研究了下列非线性 Kirchhoff 型方程

其中 $a,b > 0$ 是常数且 $\lambda > 0$. 假设非负连续位势 $V$ 是底部为 $V^{-1}(0)$ 的陡峭位势且 $f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 满足一定的条件. 利用变分方法, 获得了至少存在一个基态解. 此外, 还研究了当 $|x|\rightarrow\infty$ 时, 基态解的集中行为.

2022 年, Zeng 和 Huang^[20] 考虑了 Kirchhoff 型方程

其中 $a, b$ 为正常数且 $g \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}).$ 在函数 $g$ 的临界增长假设下, 通过研究与新约束的极小化有关问题, 获得了最小能量解的存在性. 此外, 在不考虑 $\frac{g(s)}{s}$ 单调性假设的情况下, 研究了最小能量解的山路特征.

受上述文献的启发, 本文研究 $\mathbb{R}^{4}$ 中一类带有陡峭位势的临界Kirchhoff 型方程 (1.1). 更确切地说, 当方程 (1.1) 满足适当的假设时, 将证明基态解的存在性. 此外, 还探讨了当 $|x| \rightarrow\infty$ 时, 基态解的集中行为以及当 $\mu \rightarrow 0$, $\lambda \rightarrow\infty$ 时, 基态解的渐近行为. 目前为止, 还没有关于 $\mathbb{R}^{4}$ 中带有陡峭位势的临界 Kirchhoff 型方程基态解的存在性的结果. 本文的结果在某种意义上可以看作是文献 [19] 结果的推广. 本文首次考虑了 $\mathbb{R}^{4}$ 中一类带有陡峭位势的临界 Kirchhoff 型方程 (1.1) 基态解的存在性. 假设函数 $f$ 满足

$(f_{1})$ $f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$ 且 $\lim_{t\rightarrow0} \frac{f(t)}{t}= 0$;

$(f_{2})$ $\lim_{|t|\rightarrow\infty} \frac{f(t)}{|t|^{2}t}= 0$;

$(f_{3})$ $\lim_{t\rightarrow+\infty} \frac{F(t)}{|t|^{3}}=+\infty$;

$(f_{4})$ 对于所有 $t \in \mathbb{R},$ $f(t)t \geqslant 3F(t) \geqslant 0.$

本文的主要结论如下

定理1.1 假设 $(f_{1})$-$(f_{4})$, (V$_1)$-(V$_3)$ 成立, 则存在 $\lambda_{0} > 0$ 使得对于任意 $\lambda>\lambda_{0},$ 方程 (1.1) 至少存在一个基态解.

注1.1 关于带有陡峭位势的次临界和临界 Kirchhoff 型方程存在正解和多重解的结果很多. 然而, 关于 $\mathbb{R}^4$ 中带有陡峭位势的临界 Kirchhoff 方程解的存在性和收敛性的研究结果相对较少. 因为本文的非线性项是针对低幂次的纯幂非线性项, 所以与文献 [19] 的结果相比, 本文的条件与其不同. 本文的主要困难在于涉及临界 Sobolev 指数的非线性项引起的紧性的缺失. 为了获得本文的结果, 利用 Lions 引理^[21]得到 $(\mathrm{PS})_{c}$ 条件.

定理1.2 假设 $u_{\lambda_n}$ 是定理 1.1 的解, $\Omega$ 在 (V$_{3})$ 中定义了, 则当 $\lambda_n\rightarrow\infty$ 时, 在 $H^{1}(\mathbb{R}^4)$ 中 $u_{\lambda_n}\rightarrow\bar{u}$, 其中 $\bar{u} \in H_{0}^{1}(\Omega)$ 是下列方程的非平凡解

定理1.3 假设 $u_{\lambda_n}$ 是定理 1.1 的解, 则当 $b \rightarrow0$ 时, 在 $E_{\lambda}$ 中 $u_{\lambda_n} \rightarrow u_{\lambda}$, 其中 $u_{\lambda}\in E_{\lambda}$ 是下列方程的非平凡解

定理1.4 假设 $u_{\lambda_n}$ 是定理 1.1 的解, $\Omega$ 在 (V$_{3})$ 中定义了, 则当 $b \rightarrow0$, $\lambda \rightarrow \infty$ 时, 在 $H^{1} (\mathbb{R}^4)$ 中 $u_{\lambda_n} \rightarrow u_{0}$, 其中 $u_{0} \in H_{0}^{1}(\Omega)$ 是下列方程的非平凡解

本文的剩余部分组织如下. 第 2 节将给出一些符号并证明一些重要的引理. 第 3 节给出定理 1.1、1.2、1.3 和 1.4 的证明.

在本文中, 将使用下列符号

在 $H^1(\mathbb{R}^4) =\{u\in L^2(\mathbb{R}^4):\nabla u\in L^2(\mathbb{R}^4)\}$ 上赋予范数

$L^s(\mathbb{R}^4)$ 是一般的 Lebesgue 空间, 其范数定义为

设 $\mathcal{D}^{1,2}(\mathbb{R}^4):=\{u\in L^4(\mathbb{R}^4):\nabla u\in L^2(\mathbb{R}^4)\}$ 表示 $C_{0}^{\infty}(\mathbb{R}^4)$ 的完备化空间, 其范数定义为

设 $S$ 表示 $D^{1,2}(\mathbb{R}^4) \hookrightarrow L^{4}(\mathbb{R}^4)$ 最佳 Sobolev 常数, 即

$D^{1,2}(\mathbb{R}^4)\hookrightarrow L^{4}(\mathbb{R}^4)$ 是连续的 (参见文献 [21]).

接下来介绍本文主要的工作空间

赋予内积和范数如下

对于任意 $\lambda > 0$, 有

设 $E_{\lambda}=(E,\|\cdot\|)_{\lambda}.$ 根据 (V$_{1})$ 和 (V$_{2})$, 得到

通过 (2.1) 式, Hölder 不等式和 Sobolev 不等式, 存在常数 $C_{S}$ (与 $\lambda$ 无关) 使得

其中 $\lambda \geqslant1$, $s\in [2,4]$. 这意味着 $E_{\lambda}\hookrightarrow H^{1}(\mathbb{R}^4)$ 是连续的.

方程 (1.1) 对应的能量泛函为

容易验证 $I_{\lambda}(u)\in C^1$, 因此, 对于任意的 $u, v\in E_{\lambda}$

易知, 泛函 $I_{\lambda}$ 的非平凡临界点是方程 (1.1) 的非平凡解.

现在, 考虑方程 (1.1) 的山路几何结构.

引理2.1 假设 $(f_{1}), (f_{2}), (f_{4})$ 和 (V$_{1})$, (V$_{2})$ 成立, 泛函 $I_{\lambda}$ 满足下列性质

(i) 存在 $\alpha > 0$, $\rho > 0$ 使得对于 $\|u\|_{\lambda} = \rho,$ 有 $I_{\lambda}(u) \geqslant \alpha$;

(ii) 存在 $e_{0} \in E_{\lambda}\backslash\{0\}$ 使得 $I_{\lambda}(e_{0}) < 0.$

证 (i) 利用 $(f_{1})$ 和 $(f_{2})$, 对于任意的 $\varepsilon > 0$, 存在常数 $C_{\varepsilon} > 0$ 使得

选择 $\varepsilon = \frac{1}{2C_{S}}$, 结合 (2.2) 和 (2.3) 式, 当 $s \in [2,4]$ 时, 可推出

因此, 可取 $\alpha > 0$和足够小的 $\rho > 0$ 使得对于 $\|u\|_{\lambda} = \rho,$ 有 $I_{\lambda}(u) \geqslant \alpha$.

(ii) 对于固定的 $u \in E_{\lambda}\backslash\{0\},$ 根据 $(f_{4})$, 可得

选择足够小的 $b^{*} > 0$ 使得对于 $b\in (0, b^{*})$, 有

因此, 对于足够大的 $t$, 可取 $e_{0} = tu$, 得到 $I_{\lambda}(e_{0}) < 0.$

接下来, 定义 $I_{\lambda}$ 的山路水平值 $c_{\lambda}$

其中

为了证明定理 1.1, 下面将研究 $I_{\lambda}$ 的极小化序列, 这需要 Lions^[21] 给出的紧性结果.

引理2.2 ^[21] 假设 $r > 0$. 如果在 $H^{1}(\mathbb{R}^4)$ 中 $\{u_{n}\}$ 有界且

那么对于任意的 $s\in(2, 4)$, 在 $L^{s}(\mathbb{R}^4)$ 中 $u_{n}\rightarrow0$.

引理2.3 假设 $(f_{1})$-$(f_{4})$ 和 (V$_1)$-(V$_3)$ 成立, 则有 $u_{\varepsilon}\in E_{\lambda}\backslash\{0\}$ 使得

其中 $bS^{2}<1.$

证 根据

众所周知 $S$ 的达到函数

是方程 $-\Delta u= u^{3}, x\in \mathbb{R}^4$ 的解且 $\int_{\mathbb{R}^4}|\nabla U_{\varepsilon}|^2\mathrm{d}x =\int_{\mathbb{R}^4}| U_{\varepsilon}|^4\mathrm{d}x=S^{2}.$ 设 $u_{\varepsilon}(x) = \varphi(x)U_{\varepsilon}(x)$, 其中 $\varphi \in C_{0}^{\infty}\left(\mathbb{R}^4,[0,1]\right)$ 且

下面, 根据文献 [22], 当 $\varepsilon \rightarrow 0^{+}$ 时, 可得

和

显然, $S = K_{1}K_{2}^{-\frac{1}{2}}$. 通过 (2.6) 和 (2.7) 式, 存在足够小的 $\varepsilon_{1}$ 使得对于 $\varepsilon<\varepsilon_{1}$, 有

取足够小的 $t_{1}$ (与 $\varepsilon$ 无关), 通过 (2.9) 式, 可推出

结合 (2.4) 和 (2.9) 式, 得到 $\lim _{t\rightarrow\infty}I_{\lambda}(tu_{\varepsilon})=-\infty$. 因此, 存在足够大的 $t_{2}>0$ (与 $\varepsilon$ 无关) 使得

根据 (2.10) 和 (2.11) 式, 得出

设

易知 $h(0) = 0,$ 当 $t >0$ 充分小时, 有 $h(t) > 0$. 与引理 2.1(ii) 相似, 可得 $h(t) \leqslant 0.$ 进而, 存在 $t_{\varepsilon}> 0$ 使得 $h(t_{\varepsilon}) = \max_{t\geqslant0} h(t)$, 则 $\frac{{\rm d}h (t)}{{\rm d}t}\mid_{t=t_{\varepsilon}} =0$, 从而

因此

利用 $(f_{3})$, 对于任意 $M >0,$ 存在 $T_{M} > 0$ 使得当 $t \in [T_{M}, +\infty)$ 时, 有 $F(t) \geqslant Mt^{3}$. 此外, 对于所有 $t > 0$, 存在 $L \geqslant 0$ 使得

然后, 存在 $\varepsilon > 0$ 使得对于 $|x| \leqslant \varepsilon^{\frac{1}{2}},$ $t \in[t_{1},t_{2}]$, 有

从 (2.14) 和 (2.15) 式, 对于所有 $t \in[t_{1},t_{2}]$, 可推出

因此, 结合 (2.8), (2.13) 和 (2.16) 式, 对于足够大的 $M$, 推出

由引理 2.1 和 $c_{\lambda}$ 的定义, 可以得到 $c_{\lambda} \leqslant\sup_{t\geqslant0} I_{\lambda}(tu_{\varepsilon}).$ 从而, 由 (2.12) 和 (2.17) 式得引理 2.3 证毕.

引理2.4 假设 $(f_{1})$, $(f_{2})$ 和 $(f_{4})$ 成立. 则存在一个有界 Palais-Smale 序列 $\{u_{n}\}\subset E_{\lambda}$ 满足在 $E^{-1}_{\lambda}$ 中, 当 $n \rightarrow\infty$ 时, 有

证 根据引理 2.1 和 Ekeland 变分原理^[21], 当 $n \rightarrow\infty$ 时, 有

利用 $(f_{4})$, 可得

因此, 在 $E_{\lambda}$ 中 $\{u_{n}\}$ 有界.

引理 2.5 的证明可以应用文献 [23] 的一些思想来推导.

引理2.5^[19] 对于任意的 $s, t>0$, 下面系统

有唯一解 $(t_{0}, s_{0})$. 此外, 如果

那么 $t\geqslant t_{0}$ 且 $s\geqslant s_{0},$ 其中

设

引理2.6 若 $J^{'}_{\lambda}(u)=0,$ 则

证 由 $\left\langle J^{'}_{\lambda}(u),u \right\rangle=0,$ 可得

利用 $(f_{4})$, 推出

引理2.7 假设 $(f_{1})$-$(f_{4})$ 和 (V$_1)$-(V$_3)$ 成立. 如果 $c_{\lambda} \in (0,c^{*})$, $\{u_{n}\}$ 是 $I_{\lambda}(u)$ 的一个有界 $(\mathrm{PS})_{c_{\lambda}}$ 序列, 那么 $\{u_{n}\}$ 有一个强收敛子列.

证 类似引理 2.3 的证明, 得到 $\{u_{n}\}$ 在 $E_{\lambda}$ 中是有界的. 从中提取一个序列, 仍记为 $\{u_{n}\}$.

假设

设 $v_{n}:= u_{n}-u$, 根据 Brézis-Lieb 引理^[24], 得出

且

首先, 容易证明 $J^{'}_{\lambda}(u)=0$. 根据 $I^{'}_{\lambda}(u_{n})\rightarrow 0$, 对于任意的 $v \in E_{\lambda}$, 有

其次, 若在 $E_{\lambda}$ 中, $u_{n}\rightarrow0$. 则下列情况之一成立

如果 (i) 成立, 那么存在一个常数 $\alpha > 0$ 使得

根据 $v_{n}= u_{n}-u$ 和弱下半连续, 可得

然后, 利用引理 2.4, 存在一个常数 $C_{3}$ (与 $\lambda$ 无关 ) 使得

结合 (2.20) 和 (2.21) 式, 得到

设 $D_{R} := \{x \in\mathbb{R}^4\setminus B_{R} : V(x)\geqslant V_{0}\}$, 从而

下面, 可取 $\lambda \geqslant\frac{8C_{3}}{\alpha V_{0}}$, 通过 (2.22) 和 (2.23) 式, 有

设 $A_{R}:= \{x \in\mathbb{R}^4\setminus B_{R} : V(x)< V_{0}\}$, 然后利用 (V$_{2}$), 当 $R \rightarrow \infty$ 时, $|A_{R}|\rightarrow 0$. 结合 Hölder 不等式和 Sobolev 不等式, 推出

从而, 当 $R \rightarrow \infty$ 时, 得出

其中 $s \in(2, 4)$. 因为在 $L^{s}_{\rm loc}(\mathbb{R}^4), s \in(2, 4)$ 中 $v_{n} \rightarrow0$, 所以当 $R \rightarrow \infty$ 时, 有

矛盾.

如果 (ii) 成立, 根据引理 2.2, 在 $L^{s}(\mathbb{R}^4), s \in(2, 4)$ 中 $u_{n} \rightarrow 0$. 利用 $(f_{1})$ 和 $(f_{2})$, 当 $s \in(2, 4)$ 时, 对于任意的 $\varepsilon > 0$, 存在常数 $C_{\varepsilon} > 0$ 使得 $|F(u_{n})| \leqslant \varepsilon(|u_{n}|^{2} + |u_{n}|^{4}) +C_{\varepsilon}|u_{n}|^{s}$. 因此, 利用 Lebesgue 控制收敛定理, 可得

结合 (2.18), (2.19) 和 (2.25) 式, 可推出

根据 (2.25) 式和 $I'_{\lambda}(u_{n})\rightarrow 0$, 有

假设存在 $l_{i} \geqslant 0 (i = 1, 2, 3)$ 使得 $\|v_n\|^{2}_{\lambda}\rightarrow l_{1}$ 且

利用 (2.26) 和 (2.27) 式, 得出

根据 $S$ 的定义, 可得

此外

因此, 可推出

接下来, 将证明 $l_{1} = 0$. 显然, 如果 $l_{1} > 0$, 那么 $l_{2},l_{3} > 0$. 由 (2.28) 式, 引理 2.5 和引理 2.6, 得到

与 (2.5) 式矛盾. 因此 $\|v_{n}\|\rightarrow 0$.

下面研究方程 (1.1) 的基态解和解的渐近性, 并给出定理 1.1、1.2、1.3 和 1.4 的证明.

定理 1.1 的证明 根据引理 2.1 和引理 2.3, 有一个序列 $\{u_n\} \subset E_{\lambda}$ 满足 $\|u_n\|_{\lambda} < C$, $u_n\rightharpoonup u$, $I_{\lambda}(u_{n})\rightarrow c_{\lambda}$ 并且 $I^{'}_{\lambda}(u_{n})\rightarrow 0$, 此外 $0 < c_{\lambda} < c^{*}$. 然后, 通过引理 2.7, 序列 $\{u_n\}$ 有一个强收敛子列, 仍记为 $\{u_n\}$, 即, 存在 $u \in E_{\lambda}$, $u \neq 0$ 使得 $I_{\lambda}(u) = c_{\lambda}$ 且 $I^{'}_{\lambda}(u) = 0$. 接下来, 需要找到能量泛函的最小解, 定义

通过上述的论证, 易知 $M$ 是非空的. 对于 $m_{\lambda}$, 可以选择一个极小化序列 $\{u_n\},$ 即, $I_{\lambda}(u_{n})\rightarrow m_{\lambda} < c^{*},$ $I^{'}_{\lambda}(u_n) = 0$. 下面, 将证明 $m_{\lambda} > 0.$

结合 $\left\langle I^{'}_{\lambda}(u_n),u_n \right\rangle = 0$, (2.2) 和 (2.3) 式, 取 $\varepsilon = \frac{1}{2C_{S}}$, 可得

从而

因此, 可推出

最后, 将证明 $m_{\lambda} > 0$. 通过引理 2.4 和引理 2.7, 可知 $\{u_{n}\}$ 是有界的且存在 $u\neq0$ 使得 $u_{n } \rightharpoonup u$ 和 $I^{'}_{\lambda}(u_n) = 0$. 利用 $(f_{4})$ 和 Fatou's 引理, 得到

定理 1.2 的证明 设 $u_{\lambda}$ 是定理 1.1 中方程 (1.1) 的基态解, 从而得到 $I_{\lambda}(u_{\lambda}) = m_{\lambda} <c^{*}$ 且 $I^{'}_{\lambda}(u_{\lambda}) = 0$. 定义 $u_n := u_{\lambda_{n}}$, 存在一个序列 $\{u_n\}$ 使得 $I^{'}_{\lambda_{n}}(u_{n}) = 0$ 且 $I_{\lambda_{n}} (u_n) = m_{\lambda_{n}} < c^{*}$. 类似引理 2.4 的证明, 有

因此 $\{u_n\}$ 在 $E_{\lambda}$ 中是有界的. 从而, 可以假设在 $E_{\lambda}$ 中 $u_n \rightharpoonup\bar{u}$. 事实上, 当 $\lambda_{n} \rightarrow \infty$ 时, 得出

根据 Hölder 不等式和 Sobolev 不等式, (2.2), (2.24) 和 (3.2) 式, 可推出

其中 $B^{c}_{R}=\{x \in \mathbb{R}^4:|x| \geqslant R\},$ $s \in(2, 4)$. 因此, 当 $\lambda_{n} \rightarrow \infty,$ $R\rightarrow \infty$ 时,

因为在 $L^{s}_{\rm loc}(\mathbb{R}^4)$, $s \in (2, 4)$ 中 $u_n\rightarrow \bar{u}$, 所以

从而, 当 $\lambda_{n} \rightarrow \infty$ 时, 在 $L^{s}(\mathbb{R}^4)$ 中 $u_n\rightarrow \bar{u}$. 然后, 设 $w_{n }= u_n -\bar{u},$ 类似引理 2.7 的证明, 可以推出在 $E_{\lambda}$ 中 $\|w_{n }\|_{\lambda} \rightarrow0$. 结合引理 2.7 和 (3.1) 式, 有

由 (3.3) 式和 Fatou's 引理, 可得

因此, $\int_{\mathbb{R}^4}V(x)\bar{u}^{2}\mathrm{d}x = 0.$ 从而, 利用 (V$_{3})$, 得到在 $x \in \mathbb{R}^4\setminus \Omega$ 中 $\bar{u} = 0$ 几乎处处成立且 $\bar{u} \in H^{1}_{0} (\Omega).$ 因为 $\bar{u} \in H^{1}_{0} (\Omega),$ 所以

定理 1.3 的证明 设 $u_{n}:= u_{\lambda_{n}}$ 是定理 1.1 中方程 (1.1) 的基态解.

假设在 $E_{ \lambda}$ 中 $u_n\rightharpoonup u_{\lambda}$. 因为 $I'_{\lambda}(u_{n}) = 0$, 所以类似引理 2.7 的证明, 推出在 $E_{ \lambda}$ 中 $u_{n} \rightarrow u_{\lambda}$.

为了完成证明, 需证 $u_{\lambda}$ 是方程 (1.3) 的解. 对于任意的 $v\in E_{ \lambda}$, 因为 $\left\langle I'_{\lambda}(u_{n}),v \right\rangle =0$, 所以容易验证

即 $u_{ \lambda}$ 是方程 (1.3) 的非平凡解. 然后, 由 (3.3) 式得到 $u_{ \lambda}\neq 0$.

定理 1.4 的证明 定理 1.4 的证明类似于定理 1.2 的证明.