在过去的几十年里, 由于安德森模型在物理学上的重要背景, 其局域化问题得到了广泛的研究^{[2],[4],[6],[5],[8],[13],[21],[27],[28]}. 单位圆上的正交多项式理论 (OPUC) 的发展使一类被称为 CMV 矩阵的重要性得到了重视. CMV 矩阵是 2003 年由 Cantero, Moral 和 Velázquez^[11] 提出的一类特殊的五对角酉矩阵. 2010 年, Cantero, Grünbaum, Moral 和 Velázquez^[10] 发现了 CMV 矩阵与量子漫步之间具有深层关系. 虽然 CMV 矩阵中的部分元素为正实数, 而量子漫步中的所有元素都为复数, 但文献 [10] 证明两者其实是酉等价的. 通过 RAGE 定理的酉类比可知, 漫步者的状态与 CMV 矩阵的谱性质密切相关. 自然地, CMV 矩阵的局域化问题引起了人们的关注. 但据我们所知, 关于 CMV 矩阵的安德森局域化问题的研究结果是很少的, 甚至可以说刚刚开始, 参见文献 [12],[25],[29],[31].

2018 年, 王凤朋和 Damanik^[29] 对几乎所有频率由平移 (shift) 定义的拟周期 CMV 矩阵得到了安德森局域化. 该文是对 Bourgain 和 Goldstein^[5] 关于拟周期薛定谔算子证明的安德森局域化结果的 CMV 推广. 在该文基础上, 国书筝和朴大雄^[19]进一步证明了由平移定义的 Verblunsky 系数给出的解析拟周期 CMV 矩阵在大多数频率下表现出李雅普诺夫行为和动态局域化.

最近, 通过利用文献 [5] 中的方法, Cedzich 和 Werner^[12] 证明了放置在均匀电场中的一维量子漫步的安德森局域化, 这意味着对于几乎所有频率具有特殊斜移 (skew-shift) Verblunsky 系数生成的 CMV 矩阵满足安德森局域化. 斜移 (skew-shift) 模型是薛定谔算子谱理论中一种重要的模型, 得到了广泛的研究^{[1], [6], [14], [22], [23], [28]}. 2024 年, 朱晓雯^[31]证明了独立同分布的随机 CMV 矩阵的安德森局域化和动态局域化. 随后, 林艳雪等^[25]证明了由斜移定义的 Verblunsky 系数给出的 CMV 矩阵在大多数频率下有安德森局域化现象. 受上述研究工作的启发, 本文证明斜移定义的 Verblunsky 系数生成的 CMV 矩阵的李雅普诺夫行为和动态局域化.

考虑扩展的 CMV 矩阵, 即以下形式的五对角酉矩阵

其中 $\alpha=\{\alpha_n\}_{n\in\mathbb{Z}}\subset\mathbb{D}$, 被称为 Verblunsky 系数, 并且 $\rho_n=\sqrt{1-|\alpha_n|^2}$, $n\in\mathbb{Z}$. 令 $\alpha_{-1}=-1$, 该矩阵可分为两个半轴矩阵, 其中右半轴上的矩阵为

称其为标准的或半轴上的 CMV 矩阵.

令 $\mu$ 是单位圆周 $\partial\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}$ 上的非平凡概率测度, 这就意味着 $\mu$ 的支集包含无穷多个点. 由非平凡的假设, 函数 $1, z, z^2, \cdots$ 在希尔伯特空间 $\mathcal{H} = L^2(\partial\mathbb{D}, {\rm d}\mu)$ 上是线性无关的, 因此通过 Gram-Schmidt 正交化过程, 我们可以得到一列首一正交多项式 $\Phi_n(z)$, 其 Szegő 对偶定义为 $\Phi_n^{*} = z^n\overline{\Phi_n({1}/{\overline{z}})}$. 存在 $\mathbb{D}=\{z\in\mathbb{C}:|z|<1\}$ 中的常数序列 $\{\alpha_n\}_{n=0}^{\infty}$, 使得

成立. (1.2) 式被称为 Szegő 递推. 将正交多项式标准化, 可得

其中 $\|\cdot\|_{\mu}$ 为 $L^{2}(\partial\mathbb{D},{\rm d}\mu)$ 中定义的范数, 则 Szegő 递推 (1.2) 式等价于

其中 $\rho_n(x,y)=\sqrt{1-|\alpha_n(x,y)|^2}.$

矩阵形式为

其中

由于 $\det S(x,y;z)=z$, 考虑行列式为 1 的矩阵

该式称为 Szegő cocycle 映射. 接下来定义 $n$ 步转移矩阵为 $M_n(x,y;z) \! =\! \prod^{0}_{j=n-1}M(T^{j}_{\omega}(x,y);z).$ 进一步定义 $L_{N}(z)=\frac{1}{N}\int_{\mathbb{T}^2}\log \|M_{N}(x,y;z)\|{\rm d}x{\rm d}y.$ 由 Kingman 的次可加遍历定理^[20]可知, 由以下极限定义的李雅普诺夫指数是存在的,

考虑一列由解析函数 $\alpha(\cdot,\cdot):\mathbb{T}^2\rightarrow\mathbb{D}$ 生成的 Verblunsky 系数, 即 $\alpha_n(x,y)=\lambda\alpha(T_\omega^n(x,y))$, 其中 $\alpha$ 的实部和虚部都是实解析的, $\lambda\in(0,1]$ 为耦合常数, $T_\omega(x,y)=(x+y,y+\omega)$ 为二维环面 $\mathbb{T}^2$ 上的斜移变换. $(x,y)\in\mathbb{T}^2$, $\omega\in\mathbb{T}$ 分别称为相位和频率. 这里 $\mathbb{T}:= \mathbb{R}/\mathbb{Z}$, $\mathbb{T}^d:=\mathbb{R}^d/\mathbb{Z}^d, d\geq 2$. 我们假设 $\alpha(x,y)$ 满足

假设频率 $\omega$ 满足丢番图条件 (DC)

其中 $\varepsilon>0$ 为任意小的常数. 用 $\Omega_\varepsilon$ 表示所有那些满足 (1.4) 式的 $\omega$ 构成的集合, 易知

其中 $C$ 为常数.

由解析性知, $\alpha(x,y)$ 可有界地延拓到复带形区域^{[3,第二章,定理 6]}

其中 $h_1,h_2>0$, 对应的范数为

根据上述 $\{\alpha_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$ 以及 $T_{\omega}(x,y)$, 可动态定义 CMV 矩阵 $\mathcal{E}_{\omega}(x,y)$. 记 $\mathcal{E}_{\omega}$ 的广义特征值集合为 $\mathcal{G}(\mathcal{E}_{\omega})$. 现在来叙述第一个主要定理

定理1.1 对任意的 $\omega \in \mathcal{I}$ 和 $z\in\mathcal{K}$, 假设李雅普诺夫指数满足

其中, $\mathcal{I}\subset \mathbb{T}$ 和 $\mathcal{K}\in\partial\mathbb{D}$ 是紧区间, 则对 $(x,y)\in\mathbb{T}^2$, 任意的$0<\varepsilon<1$, 几乎每个 $\omega\in \mathcal{I}\bigcap\Omega_{\varepsilon}$ 和任意的 $z \in \mathcal{G}(\mathcal{E}_{\omega})\bigcap \mathcal{K}$, 有

注1.1 根据文献 [25] 的结果知, 存在一个 $\lambda\in(\lambda_0,1)$ 使得 $m_0(\lambda):=\inf_{z}L(z).$

注1.2 根据 Oseledec-Ruelle 定理知, 定理 1.1 意味着特征函数有李雅普诺夫行为, 即, 特征函数的衰减速度恰好是 $L(z)$.

注1.3 已知当 $1\le a\le b$, 有 $\mathcal{C}_{[a,b]}=\mathcal{E}_{[a,b]}$ 以及 $\mathcal{C}_{[b]}=\mathcal{E}_{[b]}$, 其中给定 $\alpha_{-1}=-1$. 通过类似的证明, 可得到半轴情形的结果.

由于 $M(x,y;z)$ 与 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 矩阵 $A(x,y;z)$ 共轭, 即, $A(x,y;z)=Q^*M(x,y;z)Q\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$, 其中

直接计算可知 $\log{\|M(x,y;z)\|}$ 是次调和的, 因此 $\log{\|A(x,y;z)\|}$ 也是次调和的. 由共轭性, 可知 $\|A(x,y;z)\|=\|M(x,y;z)\|$ 并且 $\|A_n(x,y;z)\|=\|M_n(x,y;z)\|$, 其中

容易看出

而且 $L(z)=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}L_{n}(z)$, 即为李雅普诺夫指数.

引入尺度因子

其中 $C_{\alpha}$ 是只与 $\alpha$ 有关的常数, 使得对所有的 $n$, 有

本文所需的大偏差估计已在文献 [25] 中被证明, 在此只给出陈述.

引理2.1 固定 $\varepsilon > 0$ 充分小, $\omega \in \Omega_\varepsilon$, 见 (1.4) 式. 假设 $\alpha(x,y)$ 是 $\mathbb{T}^{2}$ 上的非常值解析函数 (其实部和虚部均为实解析), 则对任意的 $\sigma<\frac{1}{24}$, 存在 $\tau=\tau(\sigma)>0$, $\lambda\in(0,1)$ 足够大, 以及常数 $n_0=n_0(\varepsilon,\sigma)$, 使得当 $n\geq n_0$ 时, 有

转移矩阵范数的一致上界为

引理2.2^{[6,推论 3.5]} 假设 $\omega$ 满足丢番图条件 (4). 对任意的 $N>N_0^C$, 以及所有的 $z\in \mathbb{C}$, 有

因此有

引理2.3 假设 $\omega\in \Omega_\varepsilon$. 则对任意的 $\kappa\in(0,1)$, 存在充分大的 $n$, 使得

注2.1 由引理 2.3 知,

因此, 只需证明

就可得定理 1.1 成立.

下面我们给出定理 1.1 的证明. 在证明过程中, 雪崩原理 (avalanche principle) 发挥着重要的作用, 它是能更好地利用转移矩阵 $M_{N}(x,y;z)$ 结构的工具. 关于该原理的证明可参见 Goldstein-Schlag^[18]. 之后该原理被张正鹤^[30]加以改进, 本文使用该版本.

引理2.4^{[30,命题 2]} 设 $A^{(j)}$, $j \in \mathbb{Z}$ 是 $\mathrm{SL}(2, \mathbb{R})$ 中的无穷序列. 假设存在 $\nu>C$, 充分大的 $n$, 使得对每一个 $j$, 有以下不等式成立

则序列 $A^{(j)}$, $j \in \mathbb{Z}$ 是一致双曲的, 并且对每一个 $j\in\mathbb{Z}$ 及每一个 $n\in\mathbb{Z}_{+}$, 有

回顾扩展的 CMV 矩阵 $\mathcal{E}$ 可以被分解为以下形式的 $2\times2$ 矩阵的直和

令

那么, $\mathcal{E}=\mathcal{L}\mathcal{M}$.

Gesztesy-Zinchenko (GZ) 矩阵是更好的将 $\mathcal{E}_\omega$ 的广义特征方程 $\mathcal{E}u=zu$ 的解与 Szegő 矩阵联系起来的重要工具, 因此可将对 CMV 矩阵的研究转换为对 Szegő 矩阵的研究. 具体来说, 对于 $z\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$, GZ 矩阵定义为

如果 $u$ 是使得 $\mathcal{E}u=zu$ 和 $v=\mathcal{M}u$ 成立的一个复数序列, 易知 $\mathcal{E}^{\top}v=zv$ 成立. Gesztesy-Zinchenko 的推导表明

其中

另一方面, 由文献 [(18) 式] 知, 对所有的 $\alpha,\beta \in \mathbb{D}$ 以及 $z\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$, 有

其中 $S(\alpha; z)$, $S(\beta; z)$ 为 Szegő 矩阵.

定义 $\mathcal{E}_{[a,b]}$ 为扩展的 CMV 矩阵在有限区间 [a,b] 上的截断, 即

其中 $P_{[a,b]}:\ell^{2}(\mathbb{Z})\rightarrow \ell^{2}([a,b])$ 是正交投影. 类似地, 可定义 $\mathcal{L}_{[a,b]}$ 与 $\mathcal{M} _{[a,b]}$. 更多细节参考文献 [26,定理 4.2.5].

但是, 由于 $\alpha_{a-1}$ 与 $\alpha_b$ 满足 $|\alpha_{a-1}|<1$ 与 $|\alpha_b|<1$, 矩阵 $\mathcal{E}_{[a,b]}$ 不再满足酉性质, 因此我们要改进边界条件, 详见文献 [31,第 3.2,3.3 节]. 设 $\beta,\gamma \in \partial \mathbb{D}$, 如下定义 Verblunsky 系数列

相应的 CMV 矩阵定义为 $\tilde{\mathcal{E}}$ 以及 $\mathcal{E}^{\beta,\gamma}_{[a,b]}=P_{[a,b]}\tilde{\mathcal{E}}\left(P_{[a,b]}\right)^*.$ 只要 $\beta,\gamma \in \partial\mathbb{D}$, 可验证 $\mathcal{E}^{\beta,\gamma}_{[a,b]}$ 是酉算子.

对于 $z\in\mathbb{C}$, $\beta,\gamma\in\partial\mathbb{D}$, 定义多项式

由于方程 $\mathcal{E}\psi=z \psi$ 等价于 $(z\mathcal{L}^{\ast}-\mathcal{M})\psi=0$, 相应的格林函数为

以及

根据文献 [31,章节 B1], 格林函数可有表达式

根据文献 [29,引理 3.5], 可得以下估计

引理2.5 假设对充分大的 $n$ 和任意的 $\varepsilon>0$, 以下不等式成立

则对任意的 $\beta_0,\gamma_0\in\partial\mathbb{D}$, 存在 $\beta\in\{\beta_0,-\beta_0\}$ 以及 $\gamma\in\{\gamma_0,-\gamma_0\}$, 使得对所有的 $j,k\in[0,n)$, $z\in\partial\mathbb{D}\backslash \mathrm{spec}\left(\mathcal{E}_{\omega,[0,n)}^{\beta,\gamma}\right)$, 有 $\left|G_{\omega,[0,n)}^{\beta,\gamma}(j,k;z)\right|\leq {\rm e}^{-|j-k|L_n(z)+C\varepsilon n}.$

以下引理可以看作是文献 [6,引理 3.6] 的 CMV 版本.

引理2.6 固定 $y_0 \in \mathbb{T}$, $\beta, \gamma \in \partial \mathbb{D}$, 以及 $\varepsilon>0$. 令 $C_{1}\geq1$, $N$ 为任意正整数. 定义 $S_N\subset \mathbb{T}^{4}\times \partial \mathbb{D}$ 为满足以下条件的 $(\omega,y_{0},x,y;z)$ 构成的集合: 存在 $N_{1}<N^{C_1}$ 使得

其中 $C_2$ 为与 $\alpha$ 有关的充分大的常数, 则

此外, 我们还需要证明不等式 (2.9) 和 (2.10) 可以用次数最多不超过 $N^C$ 次的多项式不等式来代替, 而测度估计 (2.11) 式的上界增加最多不超过两倍.

下面定义一个矩阵的 Hilbert-Schmidt 范数

在文献 [5] 中, 作者考虑了具有三角多项式势函数的薛定谔算子, 通过将两个共振不等式 (见文献 [5,(4.4),(4.5)]) 代替为 $(\cos\omega, \sin\omega, \cos\theta, \sin\theta, E)$ 的多项式不等式, 得到了引起双共振的集合中连通分支个数的上界, 因而得到进一步的结果. 对于一般的解析势能函数, 上述方法也是成立的, 只需要将解析函数的傅里叶展开截断到 $n^2$ 项, 由于解析函数的傅里叶系数具有指数衰减这一性质, 我们得到误差小于 ${\rm e}^{-cn^2}$, 因此, 不影响我们对引起双共振的参数集合的测度估计.

对于解析 CMV 算子, 由于相应的 $n$ 步转移矩阵与 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ 矩阵共轭, 并且该 CMV 算子的 Hilbert-Schmidt 范数是实解析的 (因为 $\mathrm{Re}\alpha(x,y)$ 和 $\mathrm{Im}\alpha(x,y)$ 是实解析的). 因此上述方法同样适用. 具体来说, 不等式 (2.9) 可以被替换为

结合 Cramer 法则, 可得

其具有如下形式

其中 $P_1(\cos\omega, \sin\omega, \mathrm{Re} z, \mathrm{Im} z)$ 是关于 $\cos\omega, \sin\omega$ 次数不超过 $CN_1^2$, 关于 $\mathrm{Re} z, \mathrm{Im} z$ 次数不超过 $CN_1$ 的多项式. 这说明 (2.9) 式是次数不超过 $CN_1^3$ 的半代数表达式.

将

表示为离散平均

其中 $R<N^C$. 不等式 (2.10) 可被替换为

其具有以下形式

其中 $P_2(\cos\omega, \sin\omega, \cos x, \cos y,\sin x, \sin y, \mathrm{Re} z, \mathrm{Im}z)$ 为次数不超过 $N^C$ 的多项式.

类似于文献 [5,引理 5.13] 以及文献 [29,引理 4.2], 有

引理2.7 在引理 2.6 中, 取 $N_1<N^C$, 条件 (2.9), (2.10) 分别替换为 (2.12), (2.13), 则对于固定的 $(x,y)$, 满足 (2.8) 式的 $\omega$ 构成的集合是至多 $N^C$ 个区间的并.

回顾以下频率估计

命题2.1^{[5,引理 6.1]} 设集合 $S'\subset\mathbb{T}\times\mathbb{T}^2$ 满足对每一个 $(x,y)\in\mathbb{T}^2$, 集合 $S_{x,y}=\{\omega\in\mathbb{T}:(\omega,(x,y))\in S'\}$ 是至多 $M$ 个区间的并, 则对固定的 $(0,y_0)$ 和 $N'\gg M$, 有

结合上述命题和引理 2.7, 以及上面的计算, 可得

引理2.8 设 $\kappa\in(0,1)$, $\beta,\gamma \in \partial\mathbb{D}$ 以及 $N$ 充分大, $\Omega_N\subset\mathbb{T}$ 是满足以下条件的频率 $\omega$ 构成的集合: $\|k\omega\|\geq\varepsilon|k|^{-1}(\log k+1)^{-2}$, $k\in \mathbb{Z}$, $0<k<N$ 以及存在 $N_1<N^C_1$, $j\sim {\rm e}^{(\log N)^2}$, $z\in \partial\mathbb{D}$, 使得

其中 $C_2$ 为一正常数, 则

在薛定谔算子情形, 通过将特征方程 $(H-E)\xi=0$ 限制在一个有限区间 $\Lambda=[a,b]$ 上, 可以得到两个边界项, 从而得到恒等式

但在 CMV 矩阵情形, 相应的公式依赖于有限区间端点的奇偶性. 具体地说

引理3.1^{[22,引理 3.9]} 若 $\xi$ 是方程 $\mathcal{E}\xi=z\xi$ 的解, 那么对于 $a<n<b$,

设 $\omega\in \Omega_\varepsilon$, 见 (1.4) 式. 对于充分大的 $N$, $S_N$ 如引理 2.6 定义. 由文献 [6,引理3.3] 可知, 对 $\overline{N}={\rm e}^{(\log N)^{2}}$, 有

记 (3.1) 式左端集合为 $\mathcal{B}_N$, 定义

因此 $\mathrm{mes}(\mathcal{B}^{(0)})=0$. 由于 $T^{\ell}(x,y)=(x,0)+T^{\ell}(0,y)(\mathrm{mod} 1)$, 这种构造适用于函数$\alpha(x+\cdot,\cdot)$, 得到测度为 0 的集合 $\mathcal{B}^{(x)}$. 进一步, 定义集合

其测度同样为 0.

Lin, Piao 和 Guo^[25] 证明了对于所有的 $(\omega,x,y)\in (\Omega_{\varepsilon}\times \mathbb{T}^2)\backslash \mathcal{B}$, 固定大的常数 $N$, 存在 $N_{1}<N^{C_1}$, 使得

成立, 其中 $\beta,\gamma \in \partial\mathbb{D}$, 并且对所有的 $N'\sim N$, $j\sim \overline{N}={\rm e}^{(\log N)^2}$, 有

根据 (3.3) 和 (3.4) 式, 结合之前的引理可证明谱局域化, 更多细节参见文献 [25,第 5 章].

由 注 2.1 知, 需证明

由于 $\|M_{n}(x,y;z)\|=\|A_{n}(x,y;z)\|$, 故只需证明

其中 $\kappa\in(0,1)$. 固定 $N$ 充分大, 令 $W=\lfloor\frac{1}{2}{\rm e}^{(\log N)^2}\rfloor$, 取 $W\leq m \leq 4W^2$, 并定义

令 $\nu:={\rm e}^{W(L(z)-\kappa)}$, 由 (3.4) 式可知

即

于是

即

由 (2.5) 式, 可得

因此对 $1\leq r \leq m-1$, 有

其中, 最后一步不等式要求 $\kappa$ 充分小. 令 $\hat{W}=mW$ 以及 $r_0=W$, 我们有 $\hat{W}\in [W^2,4W^3]$. 由雪崩原理知, 当 $N$ 充分大时

综上, 对于一般的 $I \in [W^2,4W^3]$, 利用插值法可以控制 $\|A_{I}(x,y;z)\|$. 具体来说, 取 $I=m_1W+p$, 其中 $0\leq p<W$ 和 $W<m_1<4W^2$, 有

其中 $\Gamma=\sup \{\left\|A(\alpha;z)\right\|: z\in\partial\mathbb{D}, \alpha(x,y) \text{在}\ \mathbb{T}^2\ \text{上解析 (其实部和虚部均实解析), 并满足 (3)}\}.$ 当 $N\rightarrow\infty$ 时, 区间 $[W^{2}, 4W^3]$ 可覆盖充分大的整数, 由上述估计可得

由于 (3.6) 式对于小的 $\kappa\in(0,1)$ 成立, 可以得到

引理4.1 (SULE) 设 $\mathcal{I}\subset\mathbb{T}$ 是一紧区间, $\Omega_\varepsilon$ 为满足丢番图条件的频率 $\omega$ 构成的集合, 见 (1.4) 式, $\mathcal{B}_\omega:=\{\omega|(x,y,\omega)\in\mathcal{B}, \mathcal{B}\ \text{如}\ (20)\ \text{式所示}\}$. 对任意的 $\kappa\in(0,1)$, 每个 $\varsigma>0$ 和 $\omega\in\mathcal{I}\bigcap(\Omega_\varepsilon\setminus\mathcal{B}_\omega)$, 存在一个依赖于 $\varsigma$ 的常数 $C_{\varsigma}$ 使得对于 $\mathcal{E}_\omega$ 的特征值 $z \in \mathcal{G}(\mathcal{E}_\omega)$ 对应的特征函数 $\xi$, 每个 $m\in\mathbb{Z}$ 以及某个依赖于 $\xi$ 的 $\iota$, 有

证 由定理 1.1 知, 相应的特征函数 $\xi$ 呈指数衰减, 可通过假设 $\xi(\iota)=\|\xi\|_{\infty}$ 来定义局域化的中心 $\iota$. 事实上, 因为 $\xi \in \ell^{2}$, $|\xi|$ 达到最大值的次数为有限次. 当达到最大值时, $\iota$ 的取值对后面的叙述没有影响.

现固定一个小的 $\kappa>0$, 用 $T^{\iota} (x,y)$ 代替 $(x,y)$, 再次进行前面的证明过程, 可得到 (3.3), (3.4), (3.6) 式的类似估计. 当 $N$ 充分大时, 对任意的 $W^{2} \leq I \leq 4W^3$ ( $W=\lfloor\frac{1}{2}{\rm e}^{(\log N)^2}\rfloor$ ), 有

由引理 2.5 知, 对任意的 $j, k \in[0, I)$,

选取 $m \in\left[\frac{1}{4} I, \frac{1}{2}(I-1)\right]$ (注意到 $\left.I-m \geq m\right)$, 则有

其中, 最后一步需要 $\kappa$ 充分小, 具体需要多小依赖于 $\varsigma>0$ 的选取. 不难看出, 对于每一个 $m\in\left[\frac{1}{4}W^{2}, \frac{1}{2}(4W^3-1)\right]$, (4.2) 式成立. 容易看出, 当 $N$ 充分大时, 这些区间是互相交叠的, 其中 $N$ 的大小取决于 $\kappa$ (或者 $\varsigma$). 因此, 对任意的 $m\geq\frac{1}{16}{\rm e}^{2(\log N)^2}$, (4.2) 式成立. 对于 $0\leq m \leq \frac{1}{16}{\rm e}^{2(\log N)^2 }$, 我们可以估计 $|\xi(\iota+m)|$ 并且相应的调整常数, 有

利用上述 SULE 定理, 我们可以证明扩展的 CMV 矩阵的动态局域化. 即本文第二个主要定理

定理4.1 对任意的 $\omega\in\mathcal{I}\bigcap(\Omega_{\varepsilon}\backslash\mathcal{B}_\omega)$, $\epsilon > 0$ 以及 $0<\tau<m_0(\lambda)\ (\text{见注} 1.1)$, 存在常数 $\tilde{C}>0$ 使得对所有的 $m,n \in \mathbb{Z}$, 有

其中 $\mathcal{P}_{\mathbb{D}}$ 是 $\mathcal{E}_{\omega}$ 在 $\mathcal{K}$ 上的谱投射. $\Omega_\varepsilon$ 为满足丢番图条件的频率 $\omega$ 构成的集合, 见 (1.4) 式, $\mathcal{B}_\omega:=\{\omega|(x,y,\omega)\in\mathcal{B}, \mathcal{B}\ \text{如}\ (3..2)\ \text{式所示}\}$.

证 给定 $\tau$ 和 $\epsilon$, 选取 $\tau'$ 满足 $\tau<\tau'<m_0(\lambda)$ 及 $\tau'-\tau=:\eta<\epsilon$. 将 $\delta_m$ 按照 $\mathcal{E}_\omega$ 的特征函数构成的基展开, 得到

因此, 由 (4.1) 式可得

根据文献 [9,命题 6.5], 有

因此, 可得

其中 $\tilde{C}=C_{*}C_{\iota}^{2}\|\xi\|_{\infty}^{2}$.

致谢 作者感谢中国海洋大学的朴大雄老师和国书筝老师的有益建议.