生物学, 化学和物理学中的许多问题都可以用反应-扩散方程来描述^{[10],[11],[16]}. 近年来, 在全球气候变暖的影响下, 许多物种原本的栖息地不再适宜生存, 迫使它们以一定的速度迁徙到适合生存的地区^[1],[5]. 研究物种在栖息地变化下的动力学行为可以更好地解释迁徙对物种生存的影响, 从而判断该物种在未来是继续生存还是灭绝^{[1],[2],[3],[4],[8],[9],[12],[13], [14], [15],[18],[19],[21]}. 预测物种的生存状态, 可以及时有效地对濒临灭绝的生物种群采取保护措施, 从而维持自然界的生态平衡. Berestyckiet等^[1]引入反应扩散方程

其中 $u(x,t)$ 表示在空间 $x$ 上 $t$ 时刻的种群密度, 常数 $d>0$ 为种群扩散率, $f(u,x-ct)$ 描述物种对栖息地变化做出的反应. 他们考虑了气候变化的影响, 应用极大值原理和比较原理研究了微分方程 (1.1) 的种群动力学. Berestyckiet 与其合作者发现, 当有利栖息地向北移动时, 种群会向北集聚, 种群数量的最大值将出现在种群分布图的北部边界附近. Li 等^[12]研究了方程

其中 $r(x-ct)$ 是与时间 $t$ 和空间 $x$ 有关的种群增长率. 他们借助方程 (1.2) 讨论了气候变化时种群的扩散问题, 其中假设 $r(\xi)(\xi=x-ct)$ 是连续非减的, 并且满足 $r(-\infty)<0<r(\infty)$. 同时, 种群的生存区域可分为有利于生存的区域 $({x\in\mathbb{R}:r(x-ct)>0})$ 和不适合生存的区域 $({x\in\mathbb{R}:r(x-ct)<0})$. 他们证明存在一个临界速度 $c$, 如果栖息地边缘移动的速度大于这个临界速度, 种群会走向灭绝; 反之, 会持续生存. 生态系统中物种之间常见的相互作用包括合作, 竞争和捕食. 特别地, 在合作系统的研究中, Yang 等^[21] 利用上、下解方法和 Schauder 不动点定理证明了 Lotka-Volterra 合作系统

存在连接平凡平衡点和正平衡点的强迫波, 其中 $u_1$, $u_2$ 表示两个合作种群的种群密度, $d_1,d_2>0$ 表示扩散率, $a_1,a_2$ 均为正常数.

在种群动力学中, 格微分方程可以描述离散空间中的种群增长和入侵过程, Hu 和 Li^[8] 利用上下解方法证明了格微分方程

行波解的存在性. 由于温度和可用资源会随着季节的变化而产生变化, 这会对生物种群的生存环境产生一定的影响, 因此对时间周期移动环境下种群动力学的探究显得十分重要. 2021 年, Wu 和 Pang^[14]. 应用上、下解方法并结合单调迭代技巧证明了一维格微分方程

周期强迫波的存在性, 借助滑动技巧及比较原理证明了周期强迫波的唯一性和稳定性. Meng, Yu 和 Zhang^[13] 研究了具有移动环境的 Lotka-Volterra 竞争系统在一维格上的行波解的存在性和唯一性. Wu 和 Guo^[7] 利用上下解方法和单调迭代技巧证明了二维格微分方程

行波解的存在性, 他们证明当且仅当行波的速度大于最小波速时, 行波解存在. Gu 和 Shi^[6] 考虑了在二维格上, 具有移动环境的单种群模型

周期强迫波的存在性.

Lotka-Volterra 系统是物理学, 化学, 生物学等领域衍生出来的重要模型, 也是单调动力系统领域的主要研究对象. 因此, 研究具有时间周期的 Lotka-Volterra 系统的空间传播动力学具有重要的理论意义和现实意义. 本文主要研究在二维格上, 具有移动环境的 Lotka-Volterra 合作系统

周期强迫波的存在性, 其中, $x=i\cos\theta+j\sin\theta$, $i,j\in\mathbb{Z}$, $a_i$ 是正常数, $\theta\in [\frac{\pi}{2}]$ 表示波的传播方向, $d_i>0$ 是扩散率, $c>0$ 是气候变化的速度, $u_1$, $u_2$ 表示一对合作种群的种群密度, $r_i(x-ct,t)$ 是与时间和空间相关的种群增长率. 假设 $r_i(\xi,t),\ \xi=x-ct$ 满足以下条件

(A1) $r_i(\xi,t)$ 是连续函数, 关于 $\xi$ 非减且满足 $-\infty<L_i=r_i(-\infty,t)<0<r_i(+\infty,t)=K_i<+\infty,$, $r_i(\xi,t)=r_i(\xi,t+\omega)$, 其中 $i=1,2$, $\omega$ 为正常数;

(A2) $a_1a_2<1$, $L_1(1-a_1a_2)+a_1(K_2+a_2K_1)<0$, $L_2(1-a_1a_2)+a_2(K_1+a_1K_2)<0$.

显然, 系统 (1.8) 有四个平衡点, $E_0(0,0), E_1(K_1,0)$, $E_2(0,K_1), E_*(u_1^*,u_2^*)$, 其中

本文结构如下: 第二节, 研究系统 (1.8) 对应初值问题解的存在性与唯一性. 第三节, 首先构造系统 (3.3) 的一对上下解, 利用上、下解方法并结合单调迭代技巧, 证明了在二维格上, 具有移动环境的 Lotka-Volterra 合作系统 (1.8) 周期强迫波的存在性.

本节研究系统 (1.8) 的初值问题 (2.2) 解的存在性和唯一性, 并建立比较原理. 令 $\mathcal{BC}=C(\mathbb R)\bigcap L^{\infty}(\mathbb R)$ 为从 $\mathbb{R}$ 映射到 $\mathbb{R}$ 的所有连续有界函数的集合. 定义 $\mathbb{X}=\mathcal{BC}\times \mathcal{BC}$ 为所有满足 $||\mathbf{u}||_{\mathbb{X}}:=||u_1||+||u_2||$ 的连续向量函数构成的集合, 其中 $||u_i||:=\sup_{x\in\mathbb{R}}|u_i(x)|$. 定义 $\mathbb{X}_{+}:=\{\mathbf{u} =(u_{1},u_{2})\in \mathbb{X}:u_{i}(x)\geq0,\forall x\in \mathbb{R},i=1,2\}$. 对任意的 $S>0$, $\mathbb{X}_{S}:=\{\mathbf{u}=(u_{1},u_{2})\in\mathbb{X}:0\leq u_{i}(x)\leq S,\forall x\in \mathbb{R},i=1,2\}$. 为了简便, 记

下面研究系统 (1.8) 的初值问题

首先, 研究与系统 (1.8) 相对应的齐次线性微分方程的初值问题

其中, 假设初值 $u_{i0}(x)\in L^{\infty}(\mathbb{T})$, $\mathbb{T}$ 可以是离散空间或者连续空间.

定义 $\Delta_{1}$, $\Delta_{-1}$, $\Delta_{2}$, 和 $\Delta_{-2}$ 为移动算子, 对任意的 $u_i\in L^{\infty}(\mathbb{T})$, 满足 $(\Delta_{1}u_i)=u_i(x+\cos\theta)$, $(\Delta_{-1}u_i)=u_i(x-\cos\theta)$, $(\Delta_{2}u_i)=u_i(x+\sin\theta)$, $(\Delta_{-2}u_i)=u_i(x-\sin\theta)$. 令 $I$ 为 $L^{\infty}(\mathbb{T})$ 的恒等算子. 显然, $\Delta_{1}\cdot \Delta_{-1}=\Delta_{-1}\cdot \Delta_{1}=I$, $\Delta_{2}\cdot \Delta_{-2}=\Delta_{-2}\cdot \Delta_{2}=I$, 称 $\Delta=\Delta_{1}+\Delta_{-1}+\Delta_{2}+\Delta_{-2}-4I$ 为离散的 Laplace 算子, 则初值问题 (2.3) 的解 $u_i(x,t)$ 为

其中 $d=h+k$, 定义 $I_{h}(t)=\sum\limits_{m=0}^{\infty}\frac{(t/4)^{h+2m}}{m!(h+m)!}$, 当 $h<0$ 时, $I_{h}(t)=I_{-h}(t)$. 定义 $I_{k}(t)=\sum\limits_{p=0}^{\infty}\frac{(t/4)^{k+2p}}{p!(k+p)!}$, 当 $k<0$ 时, $I_{k}(t)=I_{-k}(t)$. 因此, 初值问题 (2.3) 的解可表示为

根据文献 [8], 由 Duhammel 原则 $u_i(x,t)$ 可以表示为

即

其中 $f_i(u(x,t))=u_i(x,t)[r_i(x-ct,t)-u_1(x,t)+a_iu_j(x,t)],\ x=i\cos\theta+j\sin\theta,\ \forall t\in [0,+\infty)$, 形如 (2.6) 式的解被称为初值问题 (2.2) 的温和解.

下面给出上解和下解的定义.

定义2.1 若 $u_i(x,t)$ 满足

则对于 $0<T<+\infty$, 称 $u_i(x,t)\in C(\mathbb{X}_{+},[T])$ 为初值问题 (2.2) 的上解 (下解).

注2.1 若对任意的 $t\in [T]$, $u_i(x,t)\in C(\mathbb{X}_{+},[T])$ 关于 $t\in(0,T)$ 一阶连续可导, 同时 $u_i(x,t),\ x=i\cos\theta+j\sin\theta$ 满足

则称 $u_i(x,t)$ 为系统 (1.8) 的上解 (下解).

引理2.1 对任意的 $\mathbf{u_{0}}\in \mathbb{X}_{+}$, 初值问题 (2.2) 存在唯一非负有界的古典解 $\mathbf{u}(x,0;\mathbf{u_{0}})$, 且对任意的 $t\geq0$, 有 $\mathbf{u}(x,0;\mathbf{u_{0}})=\mathbf{u_{0}}$.

证 对任意的 $0\leq u_{i},v_{i}\leq r_{i}(\infty), -\infty<x<\infty$, $t\geq 0$, 有

其中 $\rho_i=2r_i(\infty)-L_i+a_i(r_1(\infty)+r_2(\infty))+4d_i$, 使得 $f_1(x,u_1,u_2),f_2(x,u_1,u_2)$ 关于 $u_i$ 是 Lipschitz 连续的. 将系统 (1.8) 中的等式两边同时加上 $\rho_i u_i(x,t)$, 则有

其中 $x\in \mathbb{T},\ t>0$. 显然, 对任意的 $0\leq u_i\leq r_i(\infty)$, $u_i(\rho_i+r_i(x-ct,t)-u_1(x,t)+a_iu_j(x,t))$ 关于 $u_i$ 非减. 令 $r(\infty):=\max\{r_1(\infty),r_2(\infty)\}$, 则对任意的 $0\leq u_{i}\leq v_{i}\leq r_i(\infty)$, 有

因此, $(0,0)$ 为方程 (2.10) 的平凡下解且 $(r_1(\infty),r_2(\infty))$ 为方程 (2.10) 的上解.

令 $L_{r(\infty)}:=\{(u_1,u_2)\in\mathbb{X}:(0,0)\leq (u_1,u_2)(x)\leq (r_1(\infty),r_2(\infty))\ \text{对所有的 $x$ 成立}\}.$ 由 (2.6) 式知, 方程 (2.10) 满足 $\mathbf{u}(x,0)=\mathbf{u_0}(x)\in L_{r(\infty)}$ 的行波解可以表示为下列方程

在 $C(L_{r(\infty)},\mathbb{R}^{+})$ 的不动点. 考虑序列 $(u_1^{n}(x,t),u_2^{n}(x,t))$, 满足

其中 $(u_1^{0}(x,t),u_2^{0}(x,t))=(0,0)$ 或 $(u_1^{0}(x,t),u_2^{0}(x,t))=(r_1(\infty),r_2(\infty))$. 定义 $\underline{u}_i^{n+1}=(T_i[\underline{u}^{n}])$ $(x,t)$ 满足 $\underline{u}_i^{0}(x,t)=0$, 且 $\overline{u}_i^{n+1}=(T_i[\overline{u}^{n}])(x,t)$ 满足 $\overline{u}_i^{0}(x,t)=r_i(\infty)$. 易证序列 $\{\underline{u}_i^{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 和 $\{\overline{u}_i^{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 满足不等式

因此, 序列 $\{\underline{u}_i^{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 和 $\{\overline{u}_i^{n}\}_{n=0}^{\infty}$ 是单调有界的. 由单调有界定理, 得

且 $\underline{u}_i, \overline{u}_i\in {C(\mathbb{R}^{+},L_{r(\infty)})}$ 是方程 (2.11) 的解. 下面, 只需证方程 (2.11) 解的唯一性. 由于

其中 $\rho=\min\{\rho_1,\rho_2\}$, 且有

则

因此, 由 Gronwall 不等式可得, 对任意的 $t\in \mathbb{R}^{+}$, $x\in \mathbb{T}$, 有 $\overline{u}(x,t)=\underline{u}(x,t)$.

引理2.2 (比较原理) 令 $\mathbf{\overline{u}}(x,t)$ 和 $\mathbf{\underline{u}}(x,t)$ 为系统 (1.8) 的一对上下解. 若在 $\mathbb{X}_{+}$ 内 $\mathbf{\overline{u}}(x,0)\geq\mathbf{\underline{u}}(x,0)$, 则对任意的 $t\geq0$, 有 $\mathbf{\overline{u}}(\cdot,t)\geq\mathbf{\underline{u}}(\cdot,t)$.

此引理的证明与文献 [14,引理 2.5] 类似, 此处省略.

本节主要讨论在二维格上, 具有移动环境的 Lotka-Volterra 合作系统 (1.8) 周期强迫波的存在性.

首先, 给出周期强迫波的定义.

定义3.1 若 $U_i(\xi,t), \xi=x-ct$, 满足

同时 $U_i(\xi,t)=U_i(\xi,t+\omega)$ 且波速 $c$ 与环境移动的速度一致, 则称 $\mathbf{u}(x,t)=(u_{1}(x,t),u_{2}(x,t))$ 为系统 (1.8) 的 $\omega$-周期强迫波, 其中 $u_i(x,t)=U_i(x-ct,t),\ x=i\cos\theta+j\sin\theta$.

下面将研究系统 (1.8) 满足边界条件

的周期强迫波. 根据文献 [17,定理 7.3], 构造系统 (3.1) 适当的下解. 对任意的向量函数 $\mathbf{f}\in\mathbb{R}^{n}$, 记 $||\mathbf{f}||=\sum_{i=1}^n |f_i|$. 对任意以 $a_{ij}$ 为元素的 $n\times n$ 阶矩阵 $\bf A$, 有 $||\bf A||=\sum_{i,j=1}^n |a_{ij}|$.

引理3.1 对任意的 $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n$, 考虑方程

$\bf A$ 为 $n\times n$ 阶常数矩阵, 其特征值至少有一个有正实部; $\bf B(t)$ 为连续的 $n\times n$ 阶矩阵, 且满足

向量函数 $\mathbf{P}(x,t)$ 关于 $t$ 和 $x$ 连续且在 $U(0)$ 上关于 $x$ 是 Lipschitz 连续的, 且

$\lim\limits_{||\mathbf{x}||\to 0}\frac{||\mathbf{P}(x,t)||}{||\mathbf{x_0}||}=0,\ \text{关于 $t$ 一致收敛}.$

因此, 存在常数 ${\delta,\ \gamma}>0$ 且 $M\ge1$, 使得 $||x_0||<\delta$, 有

对任意的 $t>0,\ \xi\in \mathbb{R}$, 令 $V_i(\xi,t)=U_i(-\xi,t)$, 则 $V_i(\xi,t)$ 满足方程

其中, $V_i(\xi,t)=V_i(\xi,t+\omega)$ 且

令 ${\bf x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{\rm T}$, 其中

则系统 (3.3) 可以表示为一阶微分方程

因此, 方程 (3.5) 可表示为方程

其中

并且 $\mathbf{P(x)}=(0,\frac{1}{d_1}[x_1(x_1-a_1x_3)+\partial_t x_1],0,\frac{1}{d_2}[x_3(x_3-a_2x_1)+\partial_t x_3])^{\rm T}$. 显然, $\bf{A},\bf{B(\cdot)},\bf{P(\cdot)}$ 满足引理 3.1 中的条件. 因此, 存在常数 $\delta,\ \gamma>0$ 且 $M\ge1$, 使得 $||\mathbf{x_0}||\le\delta$ 时, 有

且

引理3.2 令 $\eta_i$ 是 $d_i[{\rm e}^{\lambda\cos\theta}+{\rm e}^{-\lambda\cos\theta}+{\rm e}^{\lambda\sin\theta}+{\rm e}^{-\lambda\sin\theta}-4]+c\lambda+L_i=0$ 的正根, 其中 $L_i=r_i(-\infty)<0$. 则存在 $\alpha_i>\eta_i$ 且 $\varepsilon>0$ 足够小, 给出

其中, $\mathbf{x_0}=\varepsilon(1,-\alpha_1,1,-\alpha_2)^{\rm T}$ 连续可微, 且对任意的 $\xi \in \mathbb{R}$, 满足 $0<\underline{V}_i(\xi,t)\le u_i^*$, $t>0$, $i=1,2$. 同时, 对任意的 $\xi\ne\xi_0$, 有

证 定义

其中 $M\ge1$ 与 (3.8) 式定义相同, $P=\max\{2,N\}$, $N-\eta_1-\eta_2>0$. 令 $\alpha_i$ 是方程 $d_i[{\rm e}^{\lambda\cos\theta}+{\rm e}^{-\lambda\cos\theta}+{\rm e}^{\lambda\sin\theta}+{\rm e}^{-\lambda\sin\theta}-4]+c\lambda+L_i-\varepsilon=0$ 的正根, 则 $\eta_i<\alpha_i\le2\eta_i$, $i=1,2$. 由于

故 $\underline{V}_1(\xi,t)$, $\underline{V}_2(\xi,t)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续可微. 另外, 根据 (2.9) 式和方程 (3.5) 解的唯一性，当初值 $\mathbf{x_0}$ 为正时, $V(\xi,t)>0,\ i=1,2$. 若 $\xi>\xi_0$, 则 $\underline{V}_i(\xi,t)=\varepsilon {\rm e}^{\alpha_i(\xi_0-\xi)}<\varepsilon\le u_i^*$. 对 $i\ne j\in\{1,2\}$, 有

若 $\xi<\xi_0$, 则 $\underline{V}_1(\xi,t)=x_1(\xi,t;\xi_0,x_0)\le M||x_0||\le M\varepsilon(2-\eta_1-\eta_2)\le M\varepsilon(P-\eta_1-\eta_2)\le u_1^*$. 类似地, $\underline{V}_2(\xi,t)\le u_2^*$. 同时,

且

下面将构造系统 (3.3) 的上解. 根据假设 (A1), 存在常数 $\xi_{0}>0$ 足够大, 使得 $r(-\xi_{0},t)<0,\ t\in \mathbb{R}$. 则对任意的 $c\in \mathbb{R}$, 考虑下列方程

其中 $r_i(-\xi_i)+a_iu_j^*<0, i\ne j\in\{1,2\}$. 易知方程 (3.16) 有实根.

定义

其中 $\psi_i(t)={\rm e}^{\int_{0}^{t}[r_i(-\xi_{0},s)-r_i(-\xi_i,s)]{\rm d}s}$ 且 $\eta>0$ 满足 $\max\limits_{t\in[\omega]}u_i^*\leq\eta\min\limits_{t\in[\omega]}\psi_i(t).$

由于 $r(\xi,t)$ 关于 $t$ 是 $\omega$-周期的函数, 故 $\psi(t)$ 连续且关于 $t$ 是 $\omega$-周期的.

引理3.3 令 $\xi_1,\ \xi_2\ge\xi_0$ 且满足 $r_i(-\xi_i,t)+a_iu_j^*<0,\ i\ne j\in\{1,2\}$. 假设 $\beta_i$ 是方程 $d_i[{\rm e}^{\lambda\cos\theta}+{\rm e}^{-\lambda\cos\theta}+{\rm e}^{\lambda\sin\theta}+{\rm e}^{-\lambda\sin\theta}-4]+c\lambda+r_i(-\xi_i,t)+a_iu_j^*=0$ 的正根. 则函数 $\overline{V}_i:={\rm min}\{u_i^*,\eta\psi_i(t){\rm e}^{\beta_i(\xi_i-\xi)}\}$, $i=1,2$, 满足

证 若 $\xi<\xi_1$, 则 $\overline{V}_1(\xi,t)=u_1^*\ge\underline{V}_1(\xi,t)$. 同时满足

若 $\xi>\xi_1\ge\xi_0$, 则由 $\beta_1<\alpha_1$, 得 $\overline{V}_1(\xi,t)=\eta\psi_1(t){\rm e}^{\beta_1(\xi_1-\xi)}\ge\eta\psi_1(t){\rm e}^{\beta_1(\xi_0-\xi)}\ge\varepsilon {\rm e}^{\beta_1(\xi_0-\xi)}$ $\ge\varepsilon {\rm e}^{\alpha_1(\xi_0-\xi)}=\underline{V}_1(\xi,t)$, 且满足

类似地, 容易验证 $\overline{V}_2(\xi,t)\ge\underline{V}_2(\xi,t)$ 且对任意的 $\xi\ne\xi_2$, (3.19) 式成立.

本节利用上、下解方法并结合单调迭代技巧证明系统 (3.3) 满足边界条件 (3.4) 的非增 $\omega$-周期解存在, 这就意味着系统 (1.8) 存在连接 $(0,0)$ 和 $(u_1^*,u_2^*)$ 的非减$\omega$-周期强迫波.

定义集合

根据 $\underline{V}_i(\xi,t)$ 和 $\overline{V}_i(\xi,t)$ 的定义可知, $\underline{V}_i(\xi,t)\leq\overline{V}_i(\xi,t)$ 且 $\Gamma$ 为非空集. 定义算子 $\mathcal{F}_i$: $\Gamma\rightarrow C(\mathbb{R}^{2},\mathbb{R})$,

其中 $\rho_i=2u_i^*-L_i+a_i(u_1^*+u_2^*)+4d_i$, 则 $\mathcal{F}=(\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2)$ 关于 $V=(V_1,V_2)\in\Gamma$ 非减. 系统 (3.3) 可表示为

因此, 方程 (3.24) 等价于积分方程

因此, 要证系统 (3.3) 的解存在, 只需证算子 $\mathcal{Q}:\Gamma\rightarrow \Gamma$ 的不动点存在, 其中, $\mathcal{Q}=(\mathcal{Q}_1,\mathcal{Q}_2)$, 且

引理3.4 算子 $\mathcal{Q}$ 是从 $\Gamma$ 映射到 $\Gamma$ 的非减算子. 同时, 若 $V\in\Gamma$ 关于 $\xi$ 非增, 则算子 $\mathcal{Q}_i(V)(\xi,t)$ 关于 $\xi$ 非增.

证 对任意的 $Z,W\in\Gamma$, 假设 $Z(\xi,t)\geq W(\xi,t)$ 且 $0\le Z_i,W_i\le u_i^*$, 则

类似地, $\mathcal{F}_2$ 关于 $V$ 非减. 因此,

即对任意的 $V\in\Gamma$, $(\xi,t)\in\mathbb{R}\times[\omega]$, 有

下面, 证明 $\mathcal{Q}(\Gamma)\subseteq\Gamma$. 由 (3.10) 式, 得

同理可证

又因为 $\mathcal{F}_i(V)(\xi,t)$ 关于 $t$ 具有周期性, 故

即算子 $\mathcal{Q}_i(V)(\xi,t)$ 关于 $t$ 是 $\omega$-周期的. 因此, $\mathcal{Q}(\Gamma)\subseteq\Gamma$. 若 $V(\xi,t)\in\Gamma$ 关于 $\xi\in \mathbb{R}$ 是非增的, 则对任意的 $t\in[\omega],\ \xi\in \mathbb{R}$ 和任意的 $\alpha>0$, 有

因此,

故, 算子 $\mathcal{Q}_i(V)(\xi,t)$ 关于 $\xi$ 是非增的.

下面给出系统 (3.3) 满足边界条件 (3.4) 的$\omega$-周期解的存在性定理.

定理3.1 假设 (A1) 和 (A2) 成立. 则满足边界条件 (3.4) 的系统 (3.3) 存在连接 $(0,0)$ 和 $(u_1^*,u_2^*)$ 的正 $\omega$-周期解 $(v_1(x,t),v_2(x,t))=(V_1(\xi,t),V_2(\xi,t))$, 且 $V_i(\xi,t),\ \xi=x-ct$ 关于 $\xi\in \mathbb{R}$ 非增.

证 构造迭代序列

因为 $(\overline{V}_1,\overline{V}_2)\in\Gamma$ 在 $\mathbb{R}$ 上非增, 由引理 3.4 可知, $(V_1^{(k)},V_2^{(k)})\in\Gamma$, 对每个固定的 $k=1,2,\cdots$, $(V_1^{(k)},V_2^{(k)})$ 关于 $\xi$ 非增, 并且对任意的 $(\xi,t)\in\mathbb{R}\times[\omega]$, 满足

因此, $\lim\limits_{k\to\infty}V_i^{(k)}(\xi,t)=V_i(\xi,t),\ i=1,2$. 显然, $V_i(\xi,t)$ 非负且关于 $\xi$ 是非增的, 且满足

由于算子 $\mathcal{F}_i$ 连续且 $V_i^{(k)}$ 收敛于 $V_i$, 故 $\mathcal{F}_i(V_1^{(k)},V_2^{(k)})$ 逐点收敛于 $\mathcal{F}_i(V_1,V_2)$. 下面证明 $(V_1,V_2)$ 是算子 $Q=(Q_1,Q_2)$ 的不动点. 考虑方程

由 Lebesgue 控制收敛定理得,

因此, $(V_1,V_2)$ 为系统 (3.3) 的解. 下面证明 $(V_1,V_2)$ 满足边界条件 (3.4). 由于 $\partial_\xi V_i\leq 0$ 和 $V_i$ 是有界的, 故 $\lim\limits_{\xi\pm\infty}V_i(\xi,t)$ 存在. 由 $V_i$ 关于 $t$ 的周期性可知, 对任意的 $t\in[\omega]$, $\lim\limits_{\xi\rightarrow\pm\infty}V_i(\xi,t)=V_i(\pm\infty,t)$. 又由于

因此, 由 (3.37) 式可得, $(V_1(+\infty,t),V_2(+\infty,t))=(0,0)$. 记 $\lim\limits_{\xi\rightarrow-\infty}V_i(\xi,t)=k_i$, $i=1,2$. 显然, $k_i\in[u_i^*]$ 且$\lim\limits_{\xi\rightarrow-\infty}\mathcal{F}_i(V_1,V_2)(\xi,t)=\rho_i k_i+k_i[K_i-k_i+a_ik_j], i\ne j\in\{1,2\}$. 根据 L'H$\hat{\rm o}$pital 法则, 得

因此, $k_i(K_i-k_i+a_ik_j)=0, i\ne j\in\{1,2\}$. 由于 $k_i\in[u_i^*]$, 故 $k_i=0$ 或 $K_i-k_i+a_ik_j=0$. 若 $k_i=0$, 由于 $V_i(\xi,t)$ 关于 $\xi\in\mathbb{R}$ 非增且 $V_i(\pm\infty,t)=0$, 因此, $V_i(\xi,t)\equiv0, (\xi,t)\in\mathbb{R}\times[\omega]$. 这与 $V_i(\xi,t)\ge\underline{V}_i(\xi,t)$ 和 $\underline{V}_i$ 的定义相矛盾. 因此, $K_i-k_i+a_ik_j=0$ 成立, 即 $K_1-k_1+a_1k_2=0$ 且 $K_2-k_2+a_2k_1=0$. 简单计算可知, $k_1=u_1^*$ 且 $k_2=u_2^*$. 因此, 边界条件 (3.4) 成立.

由以上可得系统 (1.8) 周期强迫波的存在性, 即下列定理成立.

定理3.2 假设 (A1) 和 (A2) 成立. 系统 (1.8) 存在连接 $(0,0)$ 与 $(u_1^*,u_2^*)$ 的 $\omega$-周期强迫波, 其中, $x=i\cos\theta+j\sin\theta$. 另外, $U_i(\xi,t),\ \xi=x-ct$ 关于 $\xi\in \mathbb{R}$ 非减.