Processing math: 100%

数学物理学报, 2025, 45(2): 321-333

一类可分 Markov 映射的迭代

李倪洲,, 赵思颐,, 张佳玲,*

西南交通大学数学学院 成都 611756

Iteration of a Class of Separable Markov Mappings

Li Nizhou,, Zhao Siyi,, Zhang Jialing,*

School of Mathematics, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756

通讯作者: * 张佳玲,E-mail: matzjl@163.com

收稿日期: 2023-12-23   修回日期: 2024-12-23  

基金资助: 中央高校基本科研业务费专项资金(202310613061)

Received: 2023-12-23   Revised: 2024-12-23  

Fund supported: Fundamental Research Funds for the Central Universities(202310613061)

作者简介 About authors

李倪洲,E-mail:pinkfloweryaky@163.com;

赵思颐,E-mail:zhaosiyi350@163.com

摘要

迭代是同一种运算的简单重复, 但对多项式这样的简单映射其迭代的计算都是复杂的. 该文研究了一类特殊的非单调映射, 即 Markov 映射的迭代, 分别给出具有一个、两个和多个非单调点的映射的迭代及其具体表达式.

关键词: 迭代; Markov 映射; 严格逐段单调映射; 不动点

Abstract

Iteration is a simple repetition of the same operation. However, it may be complex in some simple mappings such as polynomial mappings. In this paper, we discuss the iteration of a special class of nonmonotonic mappings called Markov mappings, and give the concrete expressions of iteration of the mappings which have either one, or two, or finitely many nonmonotonic points respectively.

Keywords: iteration; Markov mapping; piecewise monotone mapping; fixed point

PDF (798KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

李倪洲, 赵思颐, 张佳玲. 一类可分 Markov 映射的迭代[J]. 数学物理学报, 2025, 45(2): 321-333

Li Nizhou, Zhao Siyi, Zhang Jialing. Iteration of a Class of Separable Markov Mappings[J]. Acta Mathematica Scientia, 2025, 45(2): 321-333

1 引言

给定一个非空集合 X, f:XX 是一个自映射, 记

fn(x)=ffn1(x),f0(x)=x,xX,

其中 n 为正整数, 称 fnfn 次迭代. 迭代是自然界和人类生活中的普遍现象. 许多物理, 力学, 生物学以及天文学问题的数学模型都是通过迭代描述, 因此研究迭代具有十分重要的意义, 迭代理论也日渐丰富[6],[16]. 近几十年来, 学者们关心特殊映射的迭代, 比如形式幂级数[8], 全纯映射[14], 多项式函数[17], 集值函数[19]等. 1988 年, Milnor[9] 提出了一种描述区间上分段单调映射连续迭代定性行为的演算方法. 此外 Reich 等[10]总结了包括周期循环, 迭代映射的随机扰动等许多与迭代相关的内容.

近几十年来, 学者们围绕逐段单调映射展开了对其相关性质的大量研究, 其中满足所有非单调点和区间端点的走出的轨道是有限的 Markov 映射就是一类特殊的这样的映射. 1979 年 Rufus[11] 研究了 Markov 映射并给出了其严格定义. 随后在 1985 年, Bugiel[2] 给出了满足扩张条件的两个 Markov 映射的例子. 1987 年 Blokh[1] 进一步研究了线性 Markov 映射的共轭问题. 近些年来, 对于 Markov 映射可测性, 扩张性以及其迭代根的研究也取得一些进展[3],[5],[12],[13],[15].

本文研究了可分逐段严格单调的 Markov 映射的迭代, 即存在特殊的不动点将映射划分为在多个子区间上逐段严格单调的 Markov 自映射, 将整体的迭代简化为对局部的迭代, 并分别给出子区间上映射的迭代与具体表达式.

2 准备工作

给定映射 f:I:=[a,b]I, 如果 fx0I 的小邻域内严格单调, 则称 x0f 的 "单调点", 否则为 f 的 "非单调点" (参见文献 [18]). 令集合 PM(I,I) 表示定义在区间 I 上的所有具有有限多非单调点的连续自映射, S(f)fPM(I,I) 的所有非单调点集合. 下面给出可分映射与可拼接映射的定义.

定义2.1 fPM(I,I), 若存在不动点 x0 使得

f(x)={f1(x),xI1:=[a,x0],f2(x),xI2:=[x0,b],

其中 f1(I1)I1, f2(I2)I2, 则称 f 为可分映射, x0f 的可分不动点 (如图 2.1). 令集合 F(f) 表示 f 的所有可分不动点.

图 2.1

图 2.1   x0f 的可分不动点


定义2.2 fPM(I,I), I=[a,b], 若 f(a)=af(b)=b, 且区间 I 内部无可分不动点, 则称 f 为可拼接映射 (如图 2.2).

图 2.2

图 2.2   可拼接映射


由定义 2.1 和定义 2.2 可知一个可分映射可以被可分不动点划分为一些可拼接映射, 从而可分映射的 n 次迭代可以转化为这些可拼接自映射的 n 次迭代. 特别地, 我们只考虑 f 可分不动点有限的情形, 否则一定存在区间 [a,b]I 使得 f 为恒等映射, 其任意次迭代仍为恒等映射, 从而

F(f):={x1,x2,,xm},其中a=x0<x1<<xm<xm+1=b,

那么显然有 I=mi=0Ii:=mi=0[xi,xi+1], 对 f:II

f=fi,其中fi:IiIi为可拼接映射,i=0,1,,m.
(2.1)

接下来我们将给出可分映射与 Markov 映射之间的关系.

定义2.3 (参见文献 [13]) 设 fPM(I,I), S(f):={a1,a2,,am}a0=a,am+1=b, 若 E(f)={fn(ai)|nZ+,i=0,1,,m+1} 是个有限集, 则称 f 为 Markov 自映射.

接下来我们将给出可分映射与 Markov 映射之间的关系.

定理2.1 fPM(I,I) 且定义在 (2.1) 式中, 则 f 为 Markov 映射当且仅当对任意的 i=0,1,,m 都有 fi 为 Markov 映射.

必要性. 由假设 f 为 Markov 映射和定义 2.3 知 E(f) 为有限集, 且对任意的 i{0,1,,m} 都有 xiF(f), 即 {fn(xi)|nZ+}={xi}, 故 E(fi)E(f){xi,xi+1} 为有限集, 这意味着 fi:[xi,xi+1][xi,xi+1] 为 Markov 映射.

充分性. 由假设对任意的 i{0,1,,m} 都有 fi 为 Markov 映射, 可知 E(fi) 为有限集. 从而 E(f)mi=0E(fi) 为有限集. 即 f 为 Markov 映射.

现令 S(f):=S(f){a,b}, 本文我们研究 f(S(f))S(f) 的可分映射的迭代, 显然 f 也是 Markov 映射. 由定理 2.1 知可分 Markov 映射是由有限多个可拼接的 Markov 自映射构成, 而自映射的迭代仍在其定义的区间上, 故接下来我们只讨论这类自映射的迭代. 现令 gPM(I,I) 为可拼接的 Markov 自映射, 其非单调点集

S(g)={c1,c2,,cN(g)}满足a=c0<c1<<cN(g)<cN(g)+1=b,
(2.2)

其中 N(g) 表示其非单调点的个数, 并不失一般性令 I=[a,b]=[0,1]. 那么显然 g 由一系列分段单调映射组成, 即

g(x):=gi+1(x),xJi:=[ci,ci+1],i=0,1,,N(g).
(2.3)

根据区间端点的性质, 该类映射可以分为以下两类

A :={gPM(I,I)|g为 Markov 映射,g(0)=0,g(1)1g(0)0,g(1)=1},

B :={gPM(I,I)|g为 Markov 映射,g(0)=0g(1)=1}.

3 gA 的情形

由于 gAg(0)=0 的情形与 gAg(1)=1 的情形可以通过一个反向同胚相互共轭, 因此我们首先考虑前一种情形并满足 N(g)=1. 令

g(x)={g1(x),xJ0=[c1],g2(x),xJ1=[c1,1].
(3.1)

根据 g 为 Markov 映射以及定义 2.3, A 中映射可以分为 (分别见图 3.1-3.3)

A1:={gA|g(c1)=c1,g(1)=0},
A2:={gA|g(c1)=1,g(1)=0},
A3:={gA|g(c1)=1,g(1)=c1}.

图3.1

图3.1   gA1


图3.2

图3.2   gA2


图3.3

图3.3   gA3


下面我们将分别给出这 3 类映射的正整数 n 次迭代的具体表达式.

定理3.1gA1 定义在 (3.1) 式中, 则对任意 nZ+

gn(x)={g1n(x),xJ0,g1n1g2(x),xJ1.
(3.2)

由假设 gA1g1(J0)=J0,g2(J1)=J0g(c1)=c1, 于是对任意 nZ+ 都有

gn(J0)=gn1(J0)==g(J0)=J0,xJ0,gn(x)=gn1(x),gn(J1)=gn1(J0)==g(J0)=J0,xJ1,gn(x)=g1n1g2(x),

从而 (3.2) 式为 gA1n 次迭代.

定理3.2 gA2 定义在 (3.1) 式中, 且满足 g1,g2C1 和扩张的, 则对任意 nZ+

gn(x)=q((1)i2nq1(x)+(1)i+12[i+12]),x[q(i2n),q(i+12n)],
(3.3)

其中 i=0,1,,2n1, q 是满足共轭方程 gq=qT 的保向同胚解以及

T(x)={2x,x[12],2x+2,x[12,1].
(3.4)

由文献 [4,定理 2.7] 可知, 若 g 满足假设条件, 则一定存在逐段线性映射 T 与之拓扑共轭, 即共轭方程 gq=qT 存在保向同胚解 q:II, 其中 T:II 定义在 (3.4) 式中, 从而

gn=qTq1qTq1qTq1=qTnq1.
(3.5)

至于映射 Tn 次迭代, 由文献 [7,引理 2.3] 有

S(Tn)=S(T){xI|T(x)S(Tn1)}.
(3.6)

特别地, 我们可以验证当 n=2 时, S(T2)={14,12,34}, 于是归纳可得 N(Tn)=2n1 以及 S(Tn)={12n,22n,,2n12n}, 并计算可得

Tn(x)=(1)i2nx+(1)i+12[i+12],x[i2n,i+12n],i=0,1,,2n1,

其中 [i+12] 表示对 i+12 取整, 进一步将其代入 (3.5) 式即可得 (3.3) 式为 gn 次迭代.

注3.1gA2 不满足在极大单调区间上扩张, 则其非单调点的原像在 I 中未必稠密, 从而共轭方程 gq=qT 的保向同胚解的存在性难以验证. 对于 gA2g 更一般的情形, 其非单调点的存在情况在 n 次迭代后就会变得非常复杂.

定理3.3gA3 且定义在 (3.1) 式中, 则对任意 nZ+gn(x)=g2nkg1k(x),x[αk,αk1],k=0,1,,n, 其中 αk={gk1(c1),k=0,1,n1,0,k=n.

证 第一步: 计算 S(gn).

我们断言

S(gn)={α0,α1,,αn1}.
(3.7)

由于 gA3, 故 g(0)=0,g(c1)=1,g(1)=c1, 从而可验证 g(J0)=I,g(J1)=J1g 分别在 J0J1 上单调递增和递减. 故存在 1J1 和唯一 α1=g11(c1)J0 使得 g(1)=g(α1)=c1. 而 1 是区间端点, 故由 (3.6) 式知

S(g2)=S(g){xI|g(x)S(g)}={c1}{xI|g(x)S(g)}={α0,α1}.

又因 α1<c1gJ0 上严格递增, 故存在唯一 α2(0,α1) 使得 g2(α2)=g(α1)=c1, 即

S(g3)=S(g){xI|g(x)S(g2)}={α0,α1,α2}.

从而利于归纳总结可证得断言成立. 特别地从证明过程中还有对任意 k=1,2,,n1 都有 αk<αk1g(αk)=αk1.

第二步: 利用 S(gn) 中的点划分区间并研究区间相关性质.

J0k:=[αk,αk1], 其中 k=1,2,,n, 则由 (3.7) 式和 αn=0J0=nk=1J0k. 当 k=1 时, 由 g(α1)=α0=c1g(c1)=1g(J01)=J1. 当 k{2,3,,n1} 时, 由 g(αk)=αk1 我们有

g(J0k)=J0k1以及gk(J0k)==g(J01)=J1.
(3.8)

k=n 时, 由 g(0)=0g(J0n)=g([αn,αn1])=g([αn1])=[αn2], 进而

gn(J0n)=gn1([αn2])==g([α0])=g(J0).
(3.9)

第三步: 计算 gn.

首先由 g(J1)=J1 知对任意 xJ1gn(x)=gn2(x). 当 k=1 时, 由第二步中 g(J01)=J1 知对任意 xJ01gn(x)=gn1g(x)=gn12g1(x). 当 k{2,3,,n1} 时, 由 (3.8) 式可知对任意 xJ0kgn(x)=gnk2gk1(x). 当 k=n 时, 由 (3.9) 式可知对任意 xJ0ngn(x)=gn1(x). 由上我们可归纳总结为

gn(x)=g2nkg1k(x),x[αk,αk1],k=0,1,,n.
(3.10)

其次易验证 I=J0J1=nk=1J0kJ1, 从而 (3.10) 式即为 gA3n 次迭代.

定理 3.1-3.3 得到了当 gA 满足 g(0)=0g(1)1g 的迭代的具体表达式. 接下来我们利用共轭的方法给出 hA 满足 h(0)0h(1)=1h 的迭代.

注3.2 现给定任意映射 hAh(1)=1, 其非单调点集为 S(h)={d1,d2,,dN(h)} 以及 d0=0, dN(h)+1=1. 令 g(x):=ϕ1hϕ(x),x[0,1], 其中 ϕ(x)=1x, 即 g(x)=1h(1x). 首先易验证 g(0)=0 以及对任意 i=0,1,,N(h)+1 都有 ci:=1dig 的所有非单调点和端点. 其次由 h 是 Markov 映射我们知道所有 dih 作用下的正半轨是有限的, 那么由 g(ci)=1h(di)cig 作用下的正半轨也是有限的, 即 gA 且满足定理 3.1-3.3, 进而

hn(x)=(ϕgϕ1)(ϕgϕ1(x))=ϕgnϕ1(x),x[0,1].

4 gB 的情形

接下来讨论 gB 的情形, 即 g 是一个可拼接的 Markov 映射且满足 g(0)=0g(1)=1. 若 g 定义在 (2.3) 式中, 则由 g(0)=0gJ0=[c1]=[c0,c1] 上单调递增. 又因为 g(1)=1, 所以 gJN(g)=[cN(g),1] 上也单调递增, 这暗示了 N(g) 为一个偶数. 因此我们讨论 gBN(g)=2 的情形, 即 S(g):={c1,c2}. 令

g(x)={g1(x),xJ0:=[c1],g2(x),xJ1:=[c1,c2],g3(x),xJ2:=[c2,1].
(4.1)

根据 g 为 Markov 映射以及定义 2.3, B 中映射可以分为 (分别见图 4.1-4.4)

B1:={gB|g(c1)=c1,g(c2)=0g(c1)=1,g(c2)=c2},
B2:={gB|g(c1)=c2,g(c2)=c1},
B3:={gB|g(c1)=1,g(c2)=0},
B4:={gB|g(c1)=c2,g(c2)=0g(c1)=1,g(c2)=c1}.

图4.1

图4.1   gB1


图4.2

图4.2   gB2


图4.3

图4.3   gB3


图4.4

图4.4   gB4


下面我们将分别给出这 4 类映射的正整数 n 次迭代.

定理4.1 gB1 定义在 (4.1) 式中且 g(c1)=c1, 则对任意 nZ+

gn(x)={g1n(x),x[c1],g1n1g2(x),x[c1,c2],g1nkg3k(x),x[α2k2,α2k1],g1n1kg2g3k(x),x[α2k1,α2k],g3n(x),x[α2n2,1],
(4.2)

其中对所有 k=0,1,n1α2k1=g3k(c1)α2k=g3k(c2).

证 第一步: 计算 S(gn).

我们断言

S(gn)={α1,α0,α1,α2,,α2n2}.
(4.3)

在假设 gB1 下我们可验证

g(J0)=J0,g(J1)=J0,g(J2)=I
(4.4)

gJ0J2 上递增, 在 J1 上递减, 那么一定唯一存在 α1=g13(c1)J2α2=g13(c2)J2 使得g(α1)=c1,g(α2)=c2. 此外由 gJ2 上单调递增我们有 α1<α2, 从而由 (3.6) 式知

S(g2)=S(g){xI|g(x)S(g)}={c1,c2}{α1,α2}={α1,α0,α1,α2}.

又因 α1<α0<α1<α2g([α1,α2])=[c1,c2], 故由 (4.4) 式知存在唯一 α3,α4(α2,1)J2 使得 g2(α3)=g(α1)=c1,g2(α4)=g(α2)=c2, 同样易验证 α3<α4 以及

S(g3)=S(g){xI|g(x)S(g2)}={α1,α0,α1,α2,α3,α4}.

从而归纳可得断言成立. 此外从证明过程中还知对任意 k=1,2,,2n2

αk1<αkg(αk)=αk2.
(4.5)

第二步: 利用 S(gn) 中的点划分区间并研究区间相关性质.

J2k:=[αk,αk+1], 其中 k=0,1,,2n3, 则由 (4.3) 式知 J2=(nk=0J2k)[α2n2,1]. 当 k=0 时, 由 g(α0)=0g(α1)=c1 可知 g(J20)=J0. 当 k=1 时, 由 g(α1)=c1g(α2)=c2g(J21)=J1. 当 k{2,3,,2n3} 时, 由 (4.5) 式有 g(J2k)=J2k2 以及

gj(J22j2)==g(J20)=J0,gj(J22j1)==g(J21)=J1.
(4.6)

其中 j=1,2,,n1. 此外当 x[α2n2,1] 时, 由 gB1g(1)=1, 从而

gn([α2n2,1])=gn1([α2n4,1])==g([α0,1])=g(J2).
(4.7)

第三步: 计算 gn.

首先由 (4.4) 式有对任意 xJ0gn(x)=gn1(x); 对任意 xJ1gn(x)=gn11g2(x).

k=0 时, 由 g(J20)=J0 知对任意 xJ20gn(x)=gn1g(x)=gn11g3(x).

k=1 时, 由 g(J21)=J1 知对任意 xJ21gn(x)=gn1g(x)=gn21g2g3(x).

k=2j2,j{1,2,,n1} 时, 由 (4.6) 式知对任意 xJ22j2gn(x)=gnj1gj3(x).

k=2j1,j{1,2,,n1} 时, 由 (4.6) 式知对任意 xJ22j1gn(x)=gnj11g2gj3(x).

x[α2n2,1] 时, 由 (4.7) 式知对任意 x[α2n2,1]gn(x)=gn3(x).

其次易验证

I=J0J1J2=J0J1(2n3k=0J2k)[α2n2,1],

从而 (4.2) 式就是 gB1 时的 n 次迭代.

类似于注记 3.2, fB1f(c2)=c2 时的情形可通过共轭转化为 gB1g(c1)=c1 时的情形得到其整数次迭代.

定理4.2 gB2 且定义在 (4.1) 式中, 则对任意 nZ+

gn(x)={g2nkg1k(x),x[α1k+1,α1k],g2n(x),x[c1,c2],g2nkg3k(x),x[α2k,α2k+1],
(4.8)

其中当 k=0,1,,n1α1k=g1k(c1), α2k=g3k(c2), 当 k=nα1n=0,α2n=1.

证 第一步: 计算 S(gn).

gB2g(J1)=J1gJ1 上单调递减, 故不存在 x0(c1,c2) 使得 g(x0)=c1c2. 此外还有 g(J0)=J0J1, g(J2)=J1J2, 则存在唯一 α11J0 使得 g1(α11)=c1 和唯一 α21J2 使得 g3(α21)=c2, 进而类似于定理 3.3 证明过程第一步可得

S(gn)={α10,α11,,α1n1,α20,α21,,α2n1}
(4.9)

满足 0=α1n<α1n1<<α11<α10=c1<c2=α20<α21<<α2n1<α2n=1 以及当 k=1,2,n1 时有 g1(α1k)=α1k1g3(α2k)=α2k1.

第二步: 利用 S(gn) 中的点划分区间并研究区间相关性质.

J0k:=[α1k,α1k1],J2k:=[α2k1,α2k], 其中 k=1,2,,n. 由 (4.9) 知 J0=nk=1J0kJ2=nk=1J2k. 此外由 g1(α1k)=α1k1g3(α2k)=α2k1 可得

g1(J1k)=J1k1以及gk1(J0k)=gk11(J0k1)==J1,
(4.10)
g3(J2k)=J2k1以及gk3(J2k)=gk13(J2k1)==J1,
(4.11)

其中 k=1,2,,n1. 特别地, 当 k=n 时,

gn1(J0n)=g1(J0),gn3(J2n)=g3(J2).
(4.12)

第三步: 计算 gn.

类似于定理 3.3 证明过程第三步可得: 当 xJ0 时, 由 (4.10) 和 (4.12) 知对任意 x[α1k,α1k1] 和任意 k=1,2,,ngn(x)=g2nkg1k(x). 当 xJ1 时, 由 g(J1)=J1 知对任意 xJ1gn(x)=gn2(x). 当 xJ2 时, 由 (4.11) 和 (4.12) 式知对任意 x[α2k1,α2k] 和任意 k=1,2,,ngn(x)=g2nkg3k(x). 其次易验证

I=J0J1J2=(nk=1J0k)J1(nk=1J2k),

从而 (4.8) 式就是 gB2 时的 n 次迭代.

定理4.3 gB3 定义在 (4.1) 式中满足 g1,g2,g3C1 且扩张的, 则对任意 nZ+

gn(x)=q((1)i3nq1(x)+(1)i+12[i+12]),x[q(i3n),q(i+13n)],

其中 i=0,1,,3n1, q 是满足共轭方程 gq=qT 的保向同胚解以及

T(x)={3x,x[13],3x+2,x[13,23],3x2,x[23,1].

同定理 3.2 的证明类似可得.

定理4.4 gB4 定义在 (4.1) 式中满足 g(c1)=c2,g(c2)=0g1,g2C1 并扩张的, 则对任意 nZ+

gn(x)={q((1)k2nq1(x)+(1)k+12[k+12]),x[q(k2n),q(k+12n)],q((1)j2niq1(gi3(x))+(1)j+12[j+12]),x[mij,mij+1],gn3(x),x[mn12,1],

其中 k=0,1,,2n1, q 定义在定理 3.2 中并且 mij=gi3q(j2ni), i=1,2,,n1,j=0,1,,2ni1.

h:=g|J0J1, 则易验证 h 为自映射且满足定理 3.2, 从而可得其在 J0J1 上的 nZ+ 次迭代.

故接下来我们主要考虑 gJ2 上的非单调点情况.

由于 g(J0J1)=J0J1, g(J2)=IgJ2 上单调递增, 故与定理 4.1 中证明的第一步 αkk 为偶数时的生成方式一致 (如图 4.5, z1c2 的一个原像, z1 的原像只会在其右侧产生为 z2), 存在点列

c2=z0<z1<z2<<zn1<zn=1,其中zi:=gi3(c2),i=1,2,,n1

以及 gi([zi1,zi])=gi1([zi2,zi1])==[c2]. 于是可初步得到

gn(x)=hnigi3(x),x[zi1,zi],i=1,2,,n1.

然而与定理 4.1 不一致的是 c1 不仅会在 J2 产生原像, 还会在 J0J1 上产生, 而 J0J1 上的点在 J2 上亦有原像 (如图 4.5, c2 的原像为 c1z1, 而 c1 的原像有 q(14),q(34)m12), 故增加了定理证明的困难. 接下来我们就考虑这些新产生的非单调点. 由定理 3.2 可知,

hni(x)=q((1)j2niq1(x)+(1)j+12[j+12]),x[q(j2ni),q(j+12ni)],

图4.5

图4.5   zimij 的生成


其中 j=0,1,,2ni1, 从而有 S(gni)(0,c2)={q(j2ni)|j=1,2,,2ni1}. 又因为对任意 i=1,2,,n1 都有 gi([zi1,zi])=gi3([zi1,zi])=[c2], g(J2)=IgJ2 上单调递增, 故一定存在唯一 mij[zi1,zi] 使得 gi(mij)=q(j2ni), 即 mij=gi3q(j2ni). 利用单调性易验证点列满足

zi1=mi0<mi1<mi2<<mi2ni1<mi2ni=zi,

gi([mij,mij+1])=[q(j2ni),q(j+12ni)], 从而有

gn(x)=q((1)j2niq1(gi3(x))+(1)j+12[j+12]),x[mij,mij+1],

其中 j=1,2,,2ni1. 此外类似于 (3.9) 式, 由 g(1)=1 和当 i=1,2,,n1 时有 g(zi)=zi1 知当 x[zn1,1] 时, gn(x)=gn3(x). 得证.

类似于注记 3.2, fB4f(c1)=1,f(c2)=c1 的情形可通过共轭转化为 gB4g(c1)=c2,g(c2)=0 时的情形得到其整数次迭代.

5 可分映射的迭代及举例

由定义 2.1 可知, 可分映射可以划分为有限多个可拼接自映射, 从而其迭代可以转化这些自映射的迭代. 而一类特殊的 Markov 可拼接映射的迭代在第 3 节和第 4 节已经给出, 故接下来我们将用一个例子刻画可分映射的迭代.

例5.1 定义

f(x)={x,x[0,1],x+2,x[1,2],3x6,x[2,3],2x3,x[3,4],x+9,x[4,5].

易验证 f(3)=3 以及 f([0,3])[0,3]f([3,5])[3,5]. 则由定义 2.1 可知 f 为可分映射, x=3 为其可分不动点且可分为可拼接自映射. 令 f1=f|[0,3]f2=f|[3,5], 则 f1B1,f2A3 (见图 5.1). 接下来我们分别计算 f1f2 的迭代. 首先易验证 f1B1S(f1)={c1:=1,c2:=2}, 则由定理 4.1 的断言 (4.3) 式可知 S(f31)={α1,α0,α1,α2,α3,α4} 且满足

α1=c1=1,α0=c2=2,α1=(3x6)1(c1)=(13x+2)(c1)=73,α2=(3x6)1(c2)=83,α3=(3x6)2(c1)=259,α4=(3x6)2(c2)=269.

图5.1

图5.1   例 5.1 中 f(x) 的图像


于是利用定理 4.1 可得其 3 次迭代. 其次易验证 f2A3S(f2)={4}, 类似利用定理 3.3S(f32)={α0=4,α1=72,α2=134}, 进而可得其 3 次迭代. 综上可得 f3 次迭代结果为

f3(x)={x,x[0,1],x+2,x[1,2],3x6,x[73],3x+8,x[73,83],9x24,x[83,259],9x+26,x[259,269],27x78,x[269,3],8x21,x[134],4x+18,x[134,72],2x3,x[72,4],x+9,x[4,5].

例5.2 定义

f(x)={2x3,x[0,1],2(x1)2,x[1,2],14x383x2+11512x192,x[2,6],12(x6)2+6,x[6,8],812(x8)2,x[8,10].

易验证 f(6)=6 以及 f([0,6])[0,6]f([6,8])[6,8]. 则由定义 2.1 可知 f 为可分映射, x=6 为其可分不动点且可分为可拼接自映射. 令 f1=f|[0,6]f2=f|[6,8], 则 f1B2,f2A1 (见图 5.2). 接下来我们分别计算 f1f2 的迭代. 首先易验证 f1B2S(f1)={c1:=1,c2:=2}, 则由定理 4.2 的断言 (4.9) 式可知 S(f31)={α10,α11,α12,α20,α21,α22} 且满足

α10=c1=1,α11=(2x3)1(c1)=132,α12=(2x3)1(α11)=1916α20=c2=2,α21=(14x383x2+11512x192)1(c2)=3α22=(14x383x2+11512x192)1(α21)=5.

图5.2

图5.2   例 5.2 中 f(x) 的图像


于是利用定理 4.2 可得其 3 次迭代. 其次易验证 f2A1S(f2)={8}, 利用定理 3.1 可得其 3 次迭代. 综上可得 f3 次迭代结果为

f3(x)={8192x27,x[1916],256x18+32x9+1,x[1916,132],16x12+32x916x6+2,x[132,1],x8+8x7+8x6+32x514x4+8x38x2+1,x[1,2],A(x),x[2,3],B(x),x[3,5],C(x),x[5,6],1128x838x7+638x61892x5+28354x43402x3+10206x217496x+13128,x[6,8],1128x812x7+1118x6218x5+84834x413080x3+49950x2108000x+101256,x[8,10].

其中

A(x):=1256x12+16x1120964x10+33511864x9321877110368x8+45647832592x71391293192x6+563684472592x597755417720736x4+689477996x320967743288x2+3517858x19093716
B(x):=165536x18+11024x17290598304x16+248755442368x15133548051769472x14+1007813411327104x1317741932332985984x12+2454711197663552x1188837182179947775744x10+1514502842591990656x96746620206312654208x8+27564703215833981312x77296567368552947775744x6+107240739810593981312x54440819222151911943936x4+643530527657165888x3956834208751331776x2+125774537459216x28546396099216
C(x):=167108864x2732097152x26+444167108864x25593347301989888x24+6352241150994944x2378362833113246208x22+370747869914076863488x211998732975912038431744x20+2161757922919124461180928x1955721321831011182556485632x18+107918786172811924461180928x1727367575204348449110075314176x16+4455146117132577536691771392x1514189254930793496127518828544x14+69985717099851369136691771392x1310151980264520811151165112971264x12+281322492271208717916307453952x111156215554734212006127518828544x10+129785200427941185787146767085568x9351755032016563013707220150628352x8+112626479557748012894586471424x76541006783175424464320639121408x6+51580540056312553571528823808x566225330367718987212293235712x4+12183927560837132963700992x373349876119444277962624x2+20345597301870557077888x515441363605271179648

参考文献

Blokh L, Coven E.

Topological conjugacy and transitivity for a class of piecewise monotone maps of the interval

Tran Am Math Soc, 1987, 300: 297-306

[本文引用: 1]

Bugiel P.

A note on invariant measures for Markov maps of an interval

Z Wahrscheinlichkeitstheor Verw Geb, 1985, 70: 345-349

[本文引用: 1]

Bugiel P.

Ergodic properties of Markov maps in Rd

Probab Th Rel, 1991, 88: 483-496

[本文引用: 1]

Fotiades N, Boudourides M.

Topological conjugacies of piecewise monotone interval maps

Int J Math Math Sci, 2001, 25: 119-127

[本文引用: 1]

Galeeva R, Martens M, Tresser C.

Inducing, slopes, and conjugacy classes

Isr J Math, 1997, 99: 123-147

[本文引用: 1]

Kuczma M. Functional Equations in a Single Variable. Warsaw: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1968

[本文引用: 1]

Liu L, Jarczyk W, Li L, Zhang W.

Iterative roots of piecewise monotonic functions of nonmonotonicity height not less than 2

Nonlinear Anal, 2012, 75(1): 286-303

[本文引用: 1]

Marčenko V. Questions on mathematical physics and functional analysis. Kiev: Naukova Dumka, 1976

[本文引用: 1]

Milnor J, Thurston W.

On iterated maps of the interval

Lecture Notes in Math, 1988, 1342: 465-563

[本文引用: 1]

Reich L, Smítal J, Targoński G. Iteration Theory. Graz: Karl-Franzens-Universität Graz, 1997

[本文引用: 1]

Rufus B.

Invariant measures for Markov maps of the interval

Commun Math Phys, 1979, 69: 1-17

[本文引用: 1]

Shi Y, Chen L.

Extension of iterative roots

Aequationes Math, 2015, 89(3): 485-495

[本文引用: 1]

孙太翔.

区间上满的扩张 Markov 自映射的迭代根

纯粹数学与应用数学, 2001, 17(2): 99-103

[本文引用: 2]

Sun T X.

Iterative roots of expanding Markov surjective self-maps on intervals

Pure Appl Math, 2001, 17(2): 99-103

[本文引用: 2]

Takano K.

On the iteration of holomorphic mappings

Funkcial Ekvac, 1974, 17: 107-156

[本文引用: 1]

唐肖, 李林.

非特征端点条件下 PM 函数的迭代根

数学物理学报, 2022, 42A(2): 557-569

[本文引用: 1]

Li L.

Characteristic endpoints question for piecewise monotone functions

Acta Math Sci, 2022, 42A(2): 557-569

[本文引用: 1]

Targoński G.

Progress of iteration theory since 1981

Aeq Math, 1995, 50: 50-72

[本文引用: 1]

Yu Z, Yang L, Zhang W.

Discussion on polynomials having polynomial iterative roots

J Symbolic Comput, 2012, 47(10): 1154-1162

[本文引用: 1]

张景中, 杨路.

论逐段单调连续函数的迭代根

数学学报, 1983, 26(4): 398-412

DOI:10.12386/A1983sxxb0043      [本文引用: 1]

设E是一个集,f和g是将E映射到自身的函数.f~og表示f和g的复合函数(f~og)(x)=f(g(x)),x∈E.f的迭代函数f~n的定义是 f~o(x)=x,f~(n+1)=fof~n,n=0,1,2,….如果对一个整数r≥2和一切x∈E成立着 f~r=g,我们就说f是g的一个r阶的迭代根. 关于迭代根的研究至少可以上溯到Abel,甚至更早的Babbage.多年以来这问题一直引起许多作者的注意.1950年R.Isaacs在一篇精辟的论文中完成了一个奠基

Zhang J Z, Yang L.

Iterative roots of a piecewise monotone continuous self-mapping

Acta Math Sinica, 1983, 26(4): 398-412

DOI:10.12386/A1983sxxb0043      [本文引用: 1]

设E是一个集,f和g是将E映射到自身的函数.f~og表示f和g的复合函数(f~og)(x)=f(g(x)),x∈E.f的迭代函数f~n的定义是 f~o(x)=x,f~(n+1)=fof~n,n=0,1,2,….如果对一个整数r≥2和一切x∈E成立着 f~r=g,我们就说f是g的一个r阶的迭代根. 关于迭代根的研究至少可以上溯到Abel,甚至更早的Babbage.多年以来这问题一直引起许多作者的注意.1950年R.Isaacs在一篇精辟的论文中完成了一个奠基

张萍萍, 李林.

上半连续集值函数的区间迭代

数学物理学报, 2016, 36A(2): 231-243

[本文引用: 1]

Li L.

Iteration of upper semi-continuous multifunctions on interval

Acta Math Sci, 2016, 36A(2): 231-243

[本文引用: 1]

/