具有不同磁化方向的磁畴之间的连续过渡区域称为磁畴壁或畴壁^{[18],[21],[23],[27]}, 它是一维孤立子, 是数学上用来描述两个不同基态之间的相变过程最简单但应用最广泛方式. 各向异性的磁畴之间和磁极之间的相互作用使系统总能量达到最小^[11]从而形成畴壁. Néel 型和 Bloch 型是两类有利于能量的畴壁, 它们的磁化方向与畴壁垂直或平行^[12],[20]. 一维经典的 Sine-Gordon 方程是最早的畴壁模型之一, 其控制方程是 Landau-Lifshitz 磁学中最简单的. 因为 Sine-Gordon 模型可积, 所以它成了优美的数学实验, 为经典场论和量子场论中许多深刻概念的产生提供了灵感和启示^{[14],[15],[26]}. 遗憾的是, 由于畴壁结构过于复杂, 只有少数控制方程是可积的.

非线性电磁学亦被称为 Born-Infeld 理论, 它是经典 Maxwell 线性电磁学的扩展. 在现代理论物理学中, Born-Infeld 理论及其各种各样的推广出现在超导^[28]、膜理论^[1],[8],[17]、带电黑洞^{[30],[31],[32]}和宇宙学^[31]等的研究中. 众所周知, 在畴壁理论背景下, 对阿贝尔和非阿贝尔规范场中 Born-Infeld 理论的各种推广, 一直是人们感兴趣的课题^{[2],[10],[13],[16]}.

本文着重对出现在 Born-Infeld 理论中的阿贝尔 Higgs 模型, 研究其 BPS 方程畴壁解的存在唯一性. 采用合适的变换 (Ansatz), 相应的 BPS 方程可化为拟线性微分方程, 然后利用动态射击法证明该拟线性微分方程解的存在唯一性.

本文剩余部分的安排如下: 在第二节中, 回顾了来自于 Born-Infeld 理论中的阿贝尔 Higgs 模型并导出其自对偶的畴壁方程; 在第三节中, 对描述两类相变的边界条件, 证明了自对偶畴壁方程两点边值问题解的存在唯一性. 进而, 对所得到的解建立了在无穷远处的渐近估计; 在第四节中, 对本文进行了总结.

在这项工作中, 关注出现在 Born-Infeld 理论^{[4],[5],[6],[7]}中的阿贝尔 Higgs 模型^[19],[25], 其拉格朗日作用量密度为

其中 $b>0$ 被称为 Born 参数, $\phi$ 是复值标量场. $F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ 是由 $A_\mu$ 所诱导的电磁场, $D_\mu\phi=\partial_\mu\phi-\text{i} A_\mu\phi$ 为规范协变导数, 而 $V\geq 0$ 是势密度函数. 一般地, 时空取为 $\mathbb{R}^{1,n}$.

特别地, 在二维静态和时间规范 $A_0=0$ 的条件下, (2.1)式的欧拉-拉格朗日方程为

这里 $i,j=1,2$. (2.2)-(2.3) 式的解是如下能量泛函的临界点

其中 $A=(A_i)$, $\beta=\frac{1}{b^2}$, 使得 (2.2)-(2.3) 式的有限能量解满足下面的 Derrick-Pohozaev 型的恒等式

利用恒等式

则 (2.1) 式的汉密尔顿密度可以写成

在 $\beta<4$ 的条件下, 取

如果在 $|\phi|^2=\phi_0^2>0$ 处, $V=0$, 那么在阿贝尔 Higgs 理论体系中有一种自发的 $U(1)$ 对称破缺. 为方便起见, 不妨设 $\phi_0^2=1$, $V(1)=0$. 此外, 由 $|\phi(x)|\rightarrow 1 (|x|\rightarrow\infty)$ 可知, $D_1\phi$ 和 $D_2\phi$ 在无穷远处快速消失, 所以

由此可导出如下拓扑能量下界

当下面的方程组被满足时, 上述拓扑能量下界可达.

容易验证, (2.11) 式蕴含着 (2.12) 式, 因此这两个方程可以压缩为一个方程

在远离 $\phi$ 的零点处, 解方程 (2.13), 可得

用 $p_1,\cdots,p_k$ 表示 $\phi$ 的孤立零点, 相应的重数记为 $n_1,\cdots,n_k$, 联合方程 (2.14) 和 (2.15), 并利用变换 $u=\ln|\phi|^2$, 可得方程

方程 (2.16) 带有拓扑边界条件 $u=0 (|x|\to\infty)$ 的边值问题, Yang 在文献 [29] 中证明了其 $N$ 涡旋解的存在唯一性, 但对于非拓扑边界条件目前尚没有结果. 特别地, 当 $\beta=0$ 时，方程 (2.16) 退化为经典的阿贝尔 Higgs 理论^[19], 有时也称其为 Taubes 方程^[24].

问题 (2.11)-(2.13) 在一维磁畴产生中具有突出的意义, 接下来将集中精力对来自于 Born-Infeld 理论中的阿贝尔 Higgs 模型构造包含磁畴结构的解. 为此, 假设场 $\phi$ 和 $A_i$ 仅依赖于 $x^1=x$, 并取Ansatz^[3]

则 (2.13) 式变成 $f'\pm af=0$. 在非平凡情况下, $f$ 不会为零. 不失一般性, 可设 $f>0$. 于是, 有 $a=\mp(\ln f)'$, 进而有 $F_{12}=a'$. 将它们代入方程 (2.14), 并令 $u=2\ln f$, 则可得自对偶磁畴方程

根据文献 [3], 描述有关相变的边界条件包括 Higgs 到磁

和磁到磁

当 $\beta=0$ 时, (2.18) 式是一维 Liouville 型方程^[22], 我们在文献 [9] 中对该方程进行过研究.

本文将对方程 (2.18) 分别带有边界条件 (2.19) 和 (2.20) 的两点边值问题, 证明其解的存在唯一性, 并给出解 $u(x)$ 在无穷远处的渐近估计.

在这一节里, 将利用射击法构造非线性两点边值问题 (2.18)-(2.19) 或 (2.20) 在整个区间 $(-\infty,\infty)$ 上的解.

本文的主要结论:

定理3.1 设参数 $\beta<4$, 则非线性两点边值问题 (2.18)-(2.19) 或 (2.20) 在区间 $(-\infty,\infty)$ 上有唯一解, 并具有如下性质

(i) 在边界条件 (2.19) 下, 解 $u(x)$ 严格单调递减, 且 $u(x)<0, \forall x\in (-\infty,\infty)$, 并服从下面的渐近估计

(ii) 在边界条件 (2.20) 下, 对任意 $x$, 有 $u(x)\leq 0$, 且存在 $x_0$ 使得 $u$ 在 $x_0$ 处达到它唯一整体最大值 $u_0$. 该解由 (3.18) 式给出, 并服从渐近估计

显然, 方程 (2.18) 带有边界条件 (2.19) 或 (2.20) 的解必满足 $u(x)\leq 0$. 若不然, 设 $u(x)>0$, 则 $\exists x_0\in\mathbb{R}$, 使得 $u(x)$ 在点 $x_0$ 达到它正的局部极大值, 因此 $u"(x_0)\leq 0$, 这与 (2.18) 式矛盾.

特别地, 方程 (2.18) 满足边界条件 (2.19) 的解 $u$ 一定是负的. 事实上, 若存在 $x_1\in\mathbb{R}$ 使得 $u(x_1)=0$, 由 $u(-\infty)=0$ 可知, 或者 $u$ 在 $(-\infty,x_1)$ 内恒为零, 或者 $u$ 在 $(-\infty,x_1)$ 在中的某点处小于零. 对前一种情况, 在 $(-\infty,x_1)$ 中任取一点 $x_2$, 则 $u(x_2)=u'(x_2)=0$. 由常微分方程初值问题解的唯一性定理, $u\equiv 0, x\in\mathbb{R}$, 这与条件 $u(\infty)=-\infty$ 矛盾; 对后一种情况, $\exists x_3\in(-\infty,x_1)$, 使得 $u$ 在 $x_3$ 处达到负的局部极小值, 因此 $u"(x_3)\geq 0$, 这与 (2.18) 式矛盾.

进一步, 还必须要求 (2.18) 式右端中的 $1-\frac{\beta}{4}(\text{e}^u-1)^2>0$ 成立. 也就是说, 仅当 $\beta< 4$ 时, 边值问题 (2.18)-(2.19) 或 (2.20) 才可解.

先研究边值问题 (2.18)-(2.19). 为了解这个问题, 我们需要考虑如下初值问题

这里 $b$ 为初始斜率. 注意到方程是自治的, 因此初始点的选取具有任意性. 我们将用动态射击法来求解该问题.

命题3.1 对任意给定的 $a>0$, 存在唯一的 $b>0$, 使得初值问题 (3.4) 有唯一解, 且该解是边值问题 (2.18)-(2.19) 的解.

我们先看 $x<0$ 的部分. 为方便起见, 令 $t=-x$, 则在 $x<0$ 上, (3.4) 变为

定义射击集合

引理3.1 ${\mathcal{B}}^{+}\cap{\mathcal{B}}^{-}={\mathcal{B}}^{+}\cap{\mathcal{B}}^{0} ={\mathcal{B}}^{-}\cap{\mathcal{B}}^{0}=\varnothing$ 且 $[0,\infty)={\mathcal{B}}^{+}\cup{\mathcal{B}}^{0}\cup{\mathcal{B}}^{-}$.

证 易知, $\mathcal{B}^{-}$, $\mathcal{B}^{0}$, 和 $\mathcal{B}^{+}$ 是彼此不交的.

设 $b\geq 0$ 但 $b\notin\mathcal{B}^{-}$, 则 $u'(t)\geq0, \forall t\geq 0$. 若存在 $t_0\geq 0$, 使得 $u'(t_0)=0$. 由 $\text{e}^{u(t_0)}-1\neq 0$ 可知 $u(t_0)\neq 0$, 否则意味着 $u$ 在 $t_0$ 处达到方程的平衡解, 这与常微分方程初值问题解的唯一性定理相矛盾. 由此可知, 或 $u"(t_0)>0$, 或 $u"(t_0)<0$. 若 $u"(t_0)>0$, 当 $t<t_0$ 接近于 $t_0$ 时, 则有 $u'(t)<0$; 若 $u"(t_0)<0$, 当 $t>t_0$ 接近于 $t_0$ 时, 仍有 $u'(t)<0$, 这与 $b\notin\mathcal{B}^{-}$ 矛盾. 这表明 $b\notin\mathcal{B}^{-}$ 蕴含着 $u'(t)>0, \forall t\geq 0$, 即 $b\in \mathcal{B}^{0}\cup\mathcal{B}^{+}$, 从而 $[0,\infty)={\mathcal{B}}^{+}\cup{\mathcal{B}}^{0}\cup{\mathcal{B}}^{-}$.

引理3.2 集合 $\mathcal{B}^{+}$ 和 $\mathcal{B}^{-}$ 均为非空开集.

证 先证: $\mathcal{B}^{+}$ 是非空开集. 对 (3.5) 式中的方程, 两边积分得

假设 $u(t)$ 具有渐近估计: $u(t)= \text{O} (\text{e}^{-t}) (t\to \infty)$ (后面的命题 3.2 将证明该假设的合理性), 则 (3.6)、(3.7) 式右端的积分当 $t\to\infty$ 和 $s\to\infty$ 时收敛. 因此, 对固定的 $t>0$, 可选取适当大的 $b>0$, 使得 $u(t)>0$. 特别地, 取 $t_1>0$, 使 $u(t_1)>0$.

$u(t)$ 在 $[0,\infty)$ 上严格单增. 事实上, 由 $b\geq 0$ 知, $u(t)$ 在点 $0$ 的右邻域内单增. 假设有 $t_2>0$ 满足 $u'(t_2)<0$, 若 $u(t_2)>0$, 则 $u(t)$ 在 $(0,t_2)$ 上达到正的局部极大值, 这与 (3.5) 式矛盾. 因此, 只能是 $u(t_2)<0$, 从而 $u(t)$ 在 $[t_2]$ 上只能取负值 (否则将会取到另一个非负局部极大值, 又与 (3.5) 式矛盾).

再由 $u(t_1)>0$ 可知, $t_1>t_2$, 结合假设 $u'(t_2)<0$ 易知, $u(t)$ 在 $(t_2,t_1)$ 内有负的局部极小值. 由 (3.5) 式, 这显然是不可能的, 所以 $u(t)$ 在 $[0,\infty)$ 上是单增的.

设 $t_3<t_4$, 且 $u(t_3)=u(t_4)$, 则在 $(t_3,t_4)$ 上, $u(t)\equiv u(t_3)$. 由常微分方程初值问题解的唯一性定理, $u(t)\equiv 0, \forall t\geq 0$，这与初值矛盾. 故 $u'(t)>0, \forall t\in [0,\infty)$, 即 $u(t)$ 是严格单增的.

接下来证明 $\mathcal{B}^{+}$ 的开性. 设 $b_0\in \mathcal{B}^{+}$, 用 $u(t;b_0)$ 表示 (3.5) 式相应的解, 且满足 $u'(t;b_0)>0, \forall t\geq 0$ 和 $u(t_0;b_0)>0, t_0>0$. 由 (3.6)-(3.7) 式和常微分方程解对初值的连续依赖性定理知, 存在 $b_0$ 的邻域 $U(b_0;\delta_1)(\delta_1>0)$, 使得 $\forall b\in U(b_0;\delta_1)$, (3.5) 式相应的解 $u(t,b)$ 满足 $u'(t;b)>0, \forall t\geq 0$ 和 $u(t_0;b)>0, t_0>0$, 即 $b_0$ 是 $\mathcal{B}^{+}$ 的内点.

再证: $\mathcal{B}^{-}$ 是非空开集. 令 $b=0$, 从 (3.5) 式可以看出, 当 $t>0$ 充分小时, $u"(t)<0$, 进而 $u'(t)$ 单调递减, 且 $u'(t)<0$. 取 $t_5>0$ 满足 $u'(t_5)>0$ 和 $u(t_5)<0$, 则存在 $t_6\in (0,t_5)$ 使得 $t_6$ 是 $u(t)$ 的局部极小点且 $u(t_6)<0$, 这又与 (3.5) 式矛盾. 所以, 对任意的 $t\geq 0$, 有 $u'(t)\leq 0$. 事实上, $u(t)$ 在 $[0,\infty)$上是严格单减的, 这可用 $\mathcal{B}^{+}$ 的证明方法导出.

从证明过程看到, ${0}\in \mathcal{B}^{-}$, 即 $\mathcal{B}^{-}$ 非空.

最后证: $\mathcal{B}^{-}$ 的开性. 因为 $u'(0)=b>0$, 所以存在 $t_7>0$, 使得 $u'(t_7)=0$, $u"(t_7)<0$. 从 (3.5) 式可以看出, $u(t_7)<0$. 由于负的局部极小值不存在, 所以有

取 $t_8>t_7$, 则 $u'(t_8;b)<0$. 由 $u(t_8;b)$ 关于 $b$ 的连续依赖性, 存在 $b$ 的邻域 $U(b;\delta_2)(\delta_2>0)$, 使得 $\forall \widetilde{b}\in U(b;\delta_2)$, 有 $u'(t_8;\widetilde{b})<0$, 即 $\widetilde{b}\in \mathcal{B}^{-}$. 这表明 $b$ 是 $\mathcal{B}^{-}$ 的内点.

这就完成了引理的证明.

引理3.3 $\mathcal{B}^{0}$ 是非空闭集.

证 由区间 $[0,\infty)$ 的连通性, 易知结论成立.

引理3.4 $\mathcal{B}^{0}$ 是单点集.

证 设 $b_1,b_2\in \mathcal{B}^{0}$, 初值问题 (3.5) 相应的两个解分别记为 $u(t;b_1)$ 和 $u(t;b_2)$, 令 $w(t)=u(t;b_1)-u(t;b_2)$, 则 $w(t)$ 满足如下方程

和边界条件 $w(0)=w(\infty)=0$, 其中 $\xi$ 介于 $u(t;b_1)$ 和 $u(t;b_2)$ 之间. 由极大值原理可知 $w(t)\equiv0, \forall t\geq 0$, 所以 $b_1=b_2$, 即 $\mathcal{B}^{0}$ 是单点集.

引理3.5 设 $b\in\mathcal{B}^{0}$, 则 $\lim_{t\to\infty}u(t)=0$.

证 若 $b\in\mathcal{B}^{0}$, 则对任意 $t\geq 0$, 有 $u'(t)>0$, $u(t)<0$, 所以极限 $\lim_{t\to\infty}u(t)=u_\infty$ 存在, 且 $u_\infty\leq0$. 若 $u_\infty<0$, 则 $u(t)<u_\infty, \forall t>0$. 由 (3.5) 式知, 对给定的 $\varepsilon>0$, 存在充分大的 $t_0>0$, 当 $t>t_0$ 时, 有 $u"(t)<-\varepsilon<0$. 从 $t_0$ 到 $t$ 积分之, 可得

这与 $u'(t)>0, \forall t\geq 0$ 相矛盾, 故 $u_\infty=0$.

带回原变量 $x=-t$, 可知 (3.4) 式的解具有如下性质

由初值 $a,b>0$ 和 $u"(x)<0, \forall x>0$ 可推出, 对 $\forall x>0$, 成立 $u(x)<0$, $u'(x)<0$, $u"(x)<0$. 进而有

事实上, 我们有更加精确的估计

命题3.2 初值问题 (3.4) 的解具有如下渐近估计

证 由边界条件 $u(-\infty)=0$ 知, $u'(-\infty)=0$. 在 (2.18) 式两边同乘以 $u'$, 并在 $(-\infty,x)$ 上积分, 可得

注意到 $-1<\text{e} ^u-1<0 (u<0)$, 有

把 (3.10) 式代入 (3.9) 式, 整理可得

先考虑 $u(x)$ 在 $x\to \infty$ 时的渐近行为. 注意到 $u'(x)<0, \forall x\in (-\infty,\infty)$, 则 (3.11) 式可改写为

取 $x_0$ 满足 $u_0=u(x_0)<-1$, 令 $x>x_0$, 两边积分可得

对上式利用不等式: $-u-1<\text{e} ^u-u-1<-u$, 则有

由此可导出渐近估计 (3.1) 式.

类似地, 我们可以建立 $u(x)$ 在 $x\to -\infty$ 时的渐近估计. 事实上, 由 $u(-\infty)=0$ 知, 对 $\varepsilon\in(0,1)$, 存在充分负的 $x_0$, 当 $x<x_0$ 时, 有 $\text{e}^{u(x)}>1-\varepsilon$. 进而有

或

将 (3.16) 式代入 (3.12) 式, 有

积分之, 可得

由 $\varepsilon>0$ 的任意性, 利用上式可得到渐近估计 (3.2) 式.

我们可以利用上面的方法来构造方程 (2.18) 满足边界条件 (2.20) 的解. 事实上, 该边值问题的解有个整体最大值点. 注意到 (2.18) 式具有平移不变性, 不妨设 $u(x)$ 的最大值点为 $0$, 并记 $u(0)=u_0$, 则 $u"(0)\leq 0$. 从 (2.18) 式可以看出, $u_0\leq 0$, 因此 $u(x)\leq 0, \forall x\in(-\infty,\infty)$.

在 (2.18) 式两边同乘以 $u'$, 从 $0$ 到 $x$ 积分, 并利用 $u'(0)=0$, 可得

因为 (3.18) 式右端关于 $u$ 递减, 所以当 $u<u_0$ 时, 积分为正. 换句话说, 只要 $x\neq 0$, (3.18) 式右端积分始终为正. 注意到边界条件 $u(\infty)=-\infty$, 可得不等式

至于边值问题在 $x<0$ 部分的解. 注意到解 $u(x)\to-\infty (x\to-\infty)$, 可以利用反演变换 $x\mapsto-x$, 将边值问题在 $x>0$ 部分的解反演到 $x<0$ 部分上去, 从而得到方程 (2.18) 满足边界条件 (2.20) 的解.

在这篇文章中, 对电动力学中出现在 Born-Infeld 理论的阿贝尔 Higgs 模型证明了其畴壁解的存在唯一性, 该解是对相关拟线性方程初值问题通过选择正确的初始斜率而得到. 这意味着只有一种方法可以实现边界条件 $\phi(-\infty)=1$ 和 $\phi(\infty)=0$ 所对应的超导态到正常态之间, 以及边界条件 $\phi(-\infty)=\phi(\infty)=0$ 所对应的正常态到正常态之间的相变. 此外, 解在端点的渐近估计被得到. 需要说明的是, 关于方程 (2.18) 满足边界条件 (2.19) 的解的渐近估计 (3.2), 证实了在引理 3.2 中对解衰减性假设的合理性.