在微分几何中, 很常见的一类问题是几何映照的存在性, 譬如调和映照、极小曲面等等. 为了解决这个问题, 一个常见的方法是做弱解的正则性先验估计以得到紧性, 尤其是通过研究该类型映照所满足的某种偏微分方程从而得到映照的各种范数估计, 感兴趣的读者可以阅读 Sacks 与 Uhlenbeck 的著名工作^[24]. 从这一动机出发, 本文的目的之一是研究一类双调和映照的正则性估计, 并在此基础上对一类比较一般的四阶椭圆偏微分方程组建立正则性理论. 由于正则性估计是在局部区域上即可研究的问题, 因此只需要在有界的区域上考虑这一类问题, 为此本文总是假设映照的定义区域是 $n$ 维欧氏空间中的单位开球 $B_{1}=\{x\in\mathbb{R}^{n}:|x|<1\}$, 其中维数 $n\ge4$ (当维数 $n\le 3$ 时, 相应的正则性问题比较简单, 本文不再考虑).

双调和映照是指一类四阶能量泛函的临界点, 具有多种类型 (参见文献 [7],[8],[21],[26],[33] 等). 本文仅考虑其中的两种类型, 为此先介绍其具体定义. 用 $N\subset \mathbb{R}^L$ 表示一个等距嵌入到 $\mathbb{R}^L$ 的紧致无边的子流形. 定义

分别称之为外蕴双调和映照能量与内蕴双调和映照能量, 其中函数空间分别定义为

这里的 $D^u$ 表示拉回丛 $u^{-1}TN$ 上的拉回联络. 下面给出双调和映照的严格定义.

定义1.1 (1) 如果映照 $u\in H^2(B_1,N)$ 满足

那么我们就称 $u:B_1\to N$ 是一个弱外蕴双调和映照, 其中 $\pi_N$ 为关于靶流形 $N$ 的最近点投影映射 (参见文献 [28,第2.12节]).

(2) 如果 $u\in H^2(B_1,N)$ 是一个弱外蕴双调和映照, 且还满足

则称 $u$ 为稳态外蕴双调和映照.

(3) 最后, 若对所有在边界上满足 $v=u$ 与 $Dv=Du$ (在迹的意义上) 的映射 $v\in H^2(B_1,N)$ 都有 $E(u)\leq E(v),$ 则称 $u:B_1\rightarrow N$ 是极小外蕴双调和映照.

(4) 类似定义弱内蕴双调和映照、稳态内蕴双调和映照与极小内蕴双调和映照. 在不需要区分内蕴外蕴的情况下, 均统一称双调和映照.

外蕴双调和映照最早由 Chang-Wang-Yang^[4] 考虑, 并给出了部分正则性理论, 后来被 Wang^{[31],[32],[33]} 推广到一般的靶流形情形. 这种双调和映照的优点是分析上比较方便, 验证该映照的存在性也比较容易, 缺点是与靶流形的几何联系不够紧密. 本文考虑的内蕴双调和映照则由 Moser^[21] 率先提出, 并给出了存在性与部分正则性, 随后 Scheven^[26] 对正则性与紧性理论做了进一步的发展. 这种双调和映照的优点之一在于与靶流形的几何联系紧密, 因此也得到了比较多的关注和研究. 实际上, 在 Wang 的系列论文^{[31],[32],[33]}中, 还有一种内蕴双调和映照研究的比较多, 即泛函 $\int_{B_1}|( △ u)^T|^2,\,u\in H^2(B_1, N)$ 的临界点, 其中 $( △ u)^T$ 表示 $△ u$ 在切空间 $T_uN$ 上的正交投影. 由于这种类型的内蕴双调和映照非常复杂, 为了获得单调性公式, 目前还需要假定靶流形的曲率非正 (参见文献 [21] 中的介绍), 因此对于一般的靶流形而言理论尚不完备. 本文暂不考虑这种类型, 有兴趣的读者可以阅读 Wang^{[31],[32],[33]} 所研究的相关理论并做进一步的发展. 双调和映照的想法进一步发展到高阶的调和映照, 就产生了多调和映照与奇数阶甚至分数阶调和映照, 感兴趣的读者可以参阅文献 [1],[2],[10],[17],[19],[20] 及其中文献, 本文不再赘叙.

如果 $u$ 是外蕴双调和映照, 则 (从几何的角度看) 满足欧拉-拉格朗日方程 $△ ^2 u\bot T_u N.$ 应用投影映射 $\pi_N$ 与 $N$ 在 $\mathbb{R}^L$ 中的第二基本形式, 可以具体写出 $u$ 所满足的非常复杂的偏微分方程, 见文献 [4],[21],[29],[31],[32],[33] 及其中的参考文献. 为了简便起见, 考虑靶流形 $N$ 是标准球面 $\S^{L-1}$ 的情形, 此时欧拉-拉格朗日方程具有最为简洁的形式, 可以写为

采用分量表示即

内蕴双调和映照的欧拉-拉格朗日方程也能够类似写出来, 但是通常更加复杂, 感兴趣的读者可以参阅文献 [21],[33] 及其文献. 同时, 从上面这一个典型的方程可以窥见, 方程右端的非线性项 $| △ u|^2$ 具有临界增长的特点, 即从弱解的定义马上可知, $| △ u|^2$ 只具备最低的 $L^1$ 可积性, 这导致常见的椭圆方程正则性理论 (如 Calderon-Zygmund 理论等) 无法直接应用. 因此想要获得双调和映照解的正则性, 必须进一步深入挖掘该映照的结构信息或者其它方面的信息.

为了克服上述困难, 国内外同行引进了多种多样的方法, 譬如文献 [4],[29] 针对上述球面情形引进了守恒律方法, 将方程改写为等价的守恒律方程 $\operatorname{div}(E^{\alpha\beta})=0$, 其中 $E^{\alpha\beta}=E^{\alpha\beta}$ $(u, ▽ u, ▽^2u)$; 为了去掉靶流形 $N$ 是球面的限制, Wang^[33] 引进了移动标架法, 研究解的梯度分量所满足的方程, 得到了一般的部分正则性理论; Lamm 与 Rivière^[15] 引入了 Riviere 型方程组的方法, 将方程改写为 $△ ^2 u= △ (V\cdot ▽ u)+\operatorname{div}(E ▽ u)+( ▽ \omega+F)\cdot ▽ u$ 的形式, 其中的核心观察是 $\omega$ 具有反对称性, 但是缺点在于只对 4 维的双调和映照研究比较有用, 对于高维的情况仍然非常吃力; He 与 Jiang^[13] 引入了扰动与位势相结合的方法直接研究具有特定临界增长性的四阶椭圆方程组, 但是他们的工作对解的正则性假设略显得比较强, 在高维的情形限制性比较强 (后文我们还要再次讨论); Breiner 与 Lamm^[3] 则通过引进由 Cheeger 与 Naber^[5],[6] 等所发展的量化分层方法, 进一步获得了整体的正则性; 最近, Guo, Jiang, Zheng 与本文的第三位作者向长林合作, 在文献 [12] 中通过引进 Naber 与 Valtorta^[22] 的方法将 Breiner^[3] 关于外蕴双调和映照的结果推广到了最优, 并获得了奇点集的可求长性质. 关于内蕴双调和映照的类似结果可以参考文献 [14]. 通过上述各种方法的引进, 极小与稳态双调和映照的正则性理论得到了比较完善的研究. 然而, 尽管已经具备了如此完善的理论体系, 但是上述种种复杂的方法, 基本上都需要一个最重要的条件: 就是双调和映照必须满足单调性公式. 这对某些双调和映照来说, 并不总是成立 (参见文献 [21] 中的例子). 因此, 寻找更为一般的方法, 并使之满足更广泛种类的双调和映照仍然是一个未完成的任务. 这是本文的动机之一.

基于上述的动机, 本文的想法是再次回到比较一般的四阶椭圆方程, 采取类似于 Simon^[28] 研究调和映照方程正则性理论的比较方法直接研究这一类方程解的正则性, 而不是要求方程具备各种特殊的结构. 参照 He 与 Jiang^[13] 的工作, 我们考虑如下的四阶椭圆方程组

其中方程右端的非线性项 $Q_{1},\boldsymbol{Q}_{2}$ 满足增长性条件

可以验证上述方程囊括了双调和映照的方程, 参见文献 [13]. 我们称 $u:B_{1}\to\mathbb{R}^{m}$ 是方程 (1.1) 的一个弱解, 如果 $u\in W^{2,2}\cap{\rm BMO}(B_{1},\mathbb{R}^{m})$ 并且

注意到上述定义中的函数空间 $W^{2,2}\cap{\rm BMO}(B_{1},\mathbb{R}^{m})$ 并没有带来很强的限制性. 当 $n=4$ 时, 由 Sobolev 空间的嵌入定理可知 $W^{2,2}(B_{1})\subset{\rm BMO}(B_{1})$ 自动成立; 在高维 $n\ge5$ 的情况下, 后文引理 2.2 中的插值不等式表明弱解 $▽ u\in L^4_\text{loc}(B_1)$, 从而方程 (3) 右端的积分总是良好定义的.

注1.1 读者可能观察到, 内蕴双调和映照所在的函数空间 $H^2_N(B_1)$ 并不是 $H^2(B_1,N)$, 所以在上述定义中似乎不能包括内蕴双调和映照的情形. 实际上, 这里的确可以囊括. 原因是, 在文献 [21],[26] 中作者已证明内蕴双调和映照具备 $H^2_\text{loc}(B_1,N)$ 的正则性, 因此可以直接假设内蕴双调和映照也在 $H^2(B_1,N)$ 中. 所以在接下来的整个文章中, 都直接假设两种双调和映照属于函数空间 $H^2(B_1,N)$.

在介绍我们的结果之前, 让我们回顾文献中已经取得的部分结果. Wang^[32] 考虑了问题 (1.1) 的特殊情形

其中 $Q$ 满足临界非线性增长条件: $|Q(x,u, ▽ u)|\le\beta| ▽ u|^{4}$. 在 $n=4$ 的情形, Wang^{[32,定理 B]} 证明了方程 (1.4) 在 $W^{2,2}(B_{1})$ 中的每个弱解是局部 Hölder 连续的. 对于 $n\ge4$ 的情形, Strzelecki 和 Zatorska-Goldstein^[30] 通过假设小性条件

证明了每一个弱解 $u\in W^{2,2}\cap L^{∞}(B_{1})$都是局部光滑的. 对于本文考虑的问题 (1), 已知结果非常少. 在 He 和 Jiang^{[13,定理 1.5]} 的研究中, 他们考虑了问题 (1.1) 在函数空间 $W^{2,n/2}(B_{1})$ 中的弱解, 在此基础上证明了弱解的局部 Hölder 连续性. 注意到, 在上述文献中, 定义解的函数空间 $W^{2,2}\cap L^{∞}(B_{1})$ 和 $W^{2,n/2}(B_{1})$ 各有差别: 前者直接假设解的 $L^∞$ 有界性, 后者则假设解的二阶导函数具有达到临界条件的高可积性. 从 Sobolev 空间嵌入定理的角度来看, 这两种函数空间都可以连续嵌入到空间 $W^{2,2}\cap{\rm BMO}(B_{1})$, 即

因此本文所考虑的弱解可以包含上述两种情况, 从而本文下述主要结果可以看作是对文献 [13],[30] 的上述结果的推广.

回到双调和映照本身, 文献 [3,引理 4.8] 给了下面这样一个结果. 与上面文献中的结果相比, 其新颖之处在于只需假定映照本身具有某种小性, 而不需假定映照的梯度或者二阶导数具有小性.

定理1.1 (Breiner-Lamm^[3]) 设 $u\in H^2(B_1,N)$ 是一个极小双调和映照, 或是一个稳态双调和映照且 $N$ 中不存在从 $\mathbb{R}^{5}\backslash\{0\}$ 到 $N$ 的非平凡 0-齐次光滑稳态双调和映射, 且 $\|u\|_{H^2(B_1)}\le$ $\Lambda$, 其中 $\Lambda>0$ 是一给定常数. 则存在 $\epsilon=\epsilon(n,N,\Lambda)>0$, 使得对任意的点 $c\in N$, 只要 $\int_{B_1}$ $|u-c|^2{\rm d}x\le \epsilon,$ 就有 $u\in C^∞(B_{1/2})$.

这一结论既是对 Wang^[33] 的部分正则性理论的推广, 也在 Breiner 与 Lamm^[3] 与 Guo 等^[12] 的研究中找到了重要的应用. 然而上述结果只是一个定性的结果, 缺乏定量估计. 这是因为该定理的证明依赖于 Scheven 在文献 [25],[26] 中对双调和映照所建立的紧性理论. 在文献 [25],[26] 中, 作者结合 Wang^[33] 与 Moser^[21] 的部分正则性理论与 Lin^[16] 缺陷测度的方法, 分析了极小与稳态双调和映照有界序列的弱收敛性态, 证明了有界极小双调和映照一定有强收敛的子列, 并给出了稳态双调和映照强收敛的充分必要条件. 在调和映照的情形, 首先研究紧性理论的是 Schoen 与 Uhlenbeck^[27], Luckhaus^[18] 后来给出了新的证明, Simon 的经典著作 [28] 中也有讲述. 本文的结果将进一步深化上述定理并给出定量估计.

下面陈述我们的结果与证明方法. 以下总是用 $B_{r}(x)=\{y\in\mathbb{R}^{n}:|y-x|<r\}$ 表示 $n$ 维开球, 用 $B_{r}=B_{r}(0)$ 表示球心在原点的开球, 用 $u_{B_{r}(x)}=f_{B_{r}(x)}u$ 表示 $u$ 在 $B_{r}(x)$ 上的积分平均值.

定理1.2 对任意的 $\alpha\in(0,1)$ 和 $\beta,M>0$, 总存在常数 $\delta=\delta(\alpha,\beta,n,M)>0$ 与 $C=C(\alpha,\beta,n,M)>0$, 使得下述性质成立. 设 $Q_{1},\boldsymbol{Q}_{2}$ 满足增长条件 (2), $u\in W^{2,2}\cap{\rm BMO}(B^{n},\mathbb{R}^{m})$ 是方程 (1.1) 的一个弱解并且 $\|u\|_{{\rm BMO}(B_{1})}\le M$. 如果, 对于任意的 $B_{\rho}(y)\subset B_{1}$, 弱解 $u$ 都满足如下反向 Poincaré 不等式

与小性条件

则 $u\in C^{0,\alpha}(\bar{B}_{1/4})$, 并且有如下的先验估计成立

且 $\max_{x\in\bar{B}_{1/4}}|u(x)|\le C\|u\|_{L^{2}(B_{1})}$.

为了解释上述定理的证明方法, 我们以下述二阶椭圆方程组为例, 考虑方程

其中方程右端满足增长性条件 $F(x,u, ▽ u)=O(| ▽ u|^{2})$. 一个典型的例子即调和映照方程 $△ u=A(u)( ▽ u, ▽ u),$ 其中 $A$ 是靶流形的第二基本形式, 参见文献 [28] 关于调和映照方程的计算. 一般来说, 方程 (1.7) 的弱解不具有处处连续性, 哪怕加上 $L^∞$ 的有界性也不行. Freshe 在文献 [9] 中考虑了 2 维的情况, 即 $B_1\subset \mathbb{R}^2$. 他在函数空间 $W^{1,2}\cap L^{∞}(B_{1})$ 中为方程 (1.7) 构造了一个在原点不连续的弱解. 高维的情形还可以更糟糕: Rivière 在文献 [23] 中为上述类型的方程构造了一个处处不连续的弱解 (更准确地说, 是一个弱调和映照), 其中定义域 $B_1\subset \mathbb{R}^3$, 解的取值范围是 $\S^2$. 问题 (1.1) 与方程 (1.7) 非常类似, 文献,[13,定理 1.4] 给了一个不连续的弱解例子. 然而, 在许多重要的情况下, 如调和映照方程组和双调和映照方程组, 由于相应的几何背景通常会带来一些额外的附加结构, 这些结构允许弱解具备部分正则性. 这就是数学家对方程组 (1.1) 和 (1.7) 感兴趣的原因. 事实上, 如果假定 (1.7) 式的弱解 $u\in W^{1,2}(B_{1})$ 满足某种小性条件, 则弱解能够具有局部 Hölder 连续性, 见 Simon 精彩的著作 [28,第 1.8 节]. 证明的基本思想非常简单, 就是把方程 (1.7) 右端当作左端的扰动项, 只要具备某种小性, 则方程的弱解应当与调和函数非常 "接近", 从而得到连续性的估计. 我们将这一想法推广到本文考虑的方程组 (1), 由此得到定理 1.2 的证明.

此时一个自然的问题是, 方程组 (1.1) 的弱解什么时候可以满足反向 Poincaré 不等式 (1.5) 在二阶情况下, 一个著名的结果是极小调和映射满足这一性质, 即如果 $u\in H^1(B^n,N)$ 是极小调和映照, 则

证明参见文献 [18] 或者文献 [28,第 2.8 节]. 由于反向 Poincaré 不等式深刻地体现了映照的正则性, 所以我们希望将这一性质推广到极小双调和映照与某些条件下的稳态双调和映照. 事实上, 在同行交流过程中, 大家普遍相信, 如果 $u\in H^2(B_{2},N)$ 是极小双调和映照, 则应该有下面的反向 Poincare 不等式成立

本文作者将在未来继续思考并尝试解决该问题.

最后简单介绍一下本文将要用到的部分记号. 用 $f_{E}u=\frac{1}{|E|}\int_{E}u$ 表示当 $|E|>0$ 时 $u$ 在 $E$ 上的积分平均值. 如果

则称函数 $u:\Omega\to\mathbb{R}$ 属于有界平均振荡函数空间 ${\rm BMO}(\Omega)$. $C$ 经常用于表示不重要的常数, 不同行之间都可能不同.

我们需要用扰动方法来证明定理 1.2. 下面的引理起着核心作用.

引理2.1 (双调和逼近) 对于任意 $\epsilon>0$, 存在 $\delta_{0}=\delta_{0}(n,\epsilon)>0$ 使得如果

和

成立, 那么在 $B_{\rho}(y)$ 上有一个双调和函数 $v$ 使得

和

成立.

证 通过一个简单的平移和缩放论证, 我们可以假设 $y=0$ 和 $\rho=1$.

下面用反证法. 假设存在 $\epsilon_{0}>0$ 和序列 $u_{i}\in W^{2,2}(B_{1})$, 满足 $\|▽^{2}u_{i}\|_{L^{2}(B_{1})}+\| ▽ u_{i}\|_{L^{2}(B_{1})}\le1$ 且

但对 $B_{1}$ 上的任何双调和函数 $v$ 都有

令 $(u_{i})_{B_{1}}=f_{B_{1}}u_{i}$ 表示 $u_{i}$ 在 $B_{1}$ 上的积分平均值, 并且令 $\bar{u}_{i}=u_{i}-(u_{i})_{B_{1}}$. 由 Poincaré 不等式可得

因此 $\{\bar{u}_{i}\}_{i\ge1}$ 是 $W^{2,2}(B_{1})$ 中的有界序列. 因此, 我们可以假设存在一个子序列在 $W^{2,2}(B_{1})$ 中 $\bar{u}_{i}\rightharpoonup v$, 在 $L^{2}(B_{1})$ 中 $\bar{u}_{i}\to v$. 由于 $\bar{u}_{i}$ 满足估计 (2.1) 式, 令 $i\to∞$ 得到

这等价于 $v$ 是 $B_{1}$ 中的双调和函数. 但是, $\bar{u}_{i}\to v$ 在 $L^{2}(B_{1})$ 中 (强收敛) 意味着当 $i\gg1$ 时有

因为 $(u_{i})_{B_{1}}+v$ 是双调和函数, 所以与假设 (2.2) 矛盾.

接下去的证明过程还需要以下的插值不等式.

引理2.2 (Strzelecki-Goldstein^{[30,引理 2.6]}) 存在 $C=C(n)>0$ 使得对任意 $r>0$ 和 $u\in W^{2,2}\cap{\rm BMO}(B_{r}(y))$, 有

下面证明定理 1.2.

证 我们将证明分为以下几个步骤.

步骤 1 注意到通过引理 2.2 和反向 Poincaré 不等式 (1.5) 有

对任意 $B_{\rho}(y)\subset B_{1}$ 都成立.

步骤 2 (双调和逼近) 令 $B_{\rho}(y)\subset B_{1}$, 并且

对于任意 $\varphi\in C_{0}^{∞}(B_{\rho/4}(y),\mathbb{R}^{m})$, 利用方程

和增长条件 (1.2) 我们得到

令 $\|\varphi\|_{\ast}=\sup_{B_{\rho/4}(y)}\left(|\varphi|+(\rho/4)|▽\varphi|\right)$. 我们得到

注意到, 我们已经假设 $\|u\|_{{\rm BMO}(B_{1})}^{2}\le M$. 将估计 (2.3) 和反向 Poincaré 不等式 (1.5) 插入到上述不等式得

然后, 固定 $\epsilon>0$. 假设 $\Phi(y,\rho)\le8^{-n}\delta_{0}^{2}$, 其中 $\delta_{0}$ 是在双调和逼近引理 2.1 中定义的常数, 以便 $\Phi(y,\rho/4)\le\delta_{0}$. 然后对函数 $u/\left(C\Phi(y,\rho)\right)$ 应用引理 2.1, 就得到一个双调和函数 $w: B_{\rho/4}(y)\to \mathbb{R}^m$ 与常数 $C=C_{n,\beta,M}$, 满足

和

步骤 3 接下来我们证明衰减估计.

断言 1 存在小常数 $\delta_{1}=\delta_{1}(\alpha,\beta,n,M)$ 和 $\theta=\theta(\alpha,\beta,n,M)\in(0,1/8)$ 使得

断言 1 的证明 通过标准缩放 $u\mapsto u(y+\rho\cdot)$, 后续我们可以假设 $y=0$ 和 $\rho=1$, 并简记 $\Phi(r)=\Phi(0,r)$.

因此我们首先固定 $\epsilon>0$（后续再来确定$\epsilon$ 的取值), 假设 $\Phi(1)\le8^{-n}\delta_{0}^{2}$, 使得 (2.4) 式对于某个双调和函数$w$ 成立. 然后, 对于任意 $0<\theta<1/8$, 由一个初等的不等式可得

根据双调和函数的标准估计, 有下列不等式成立 (参见文献 [33])

因此, 结合上述对 $w$ 的增长估计和 (2.4) 式的估计, 我们推出

现在选择 $\theta=\theta(n,\beta,M,\alpha)\ll1/8$ 使得 $2C_{n,\beta,M}\theta^{2}\le\theta^{2\alpha}$, 然后选择 $\epsilon=\epsilon(n,\beta,M,\alpha)$ 使得 $2C_{n,\beta,M}\epsilon^{2}\theta^{-n}\le\theta^{2\alpha}$. 通过选择 $\delta_{1}=8^{-n}\delta_{0}^{2}$ 我们得到了衰减估计 (2.5), 其中 $\delta_{0}$ 在 $\epsilon=\epsilon(n,\beta,M,\alpha)$ 时由引理 2.1 所确定. 这就完成了断言 1 的证明.

步骤 4 现在我们可以完成定理 1.2 的证明.

令 $\delta_{1}$ 与断言 1 中的定义一样, 再令 $\delta^{2}=4^{-n}\delta_{1}^{2}$, 则对任意 $y\in B_{1/4}$ 和 $0<\rho\le1/4$, 我们可以得到

因此, 由于 $\theta<1$, 断言 1 给出 $\Phi(y,\theta/4)\le\theta^{2\alpha}\Phi(y,1/4)\le\theta^{2\alpha}\delta_{1}^{2}\le\delta_{1}^{2}$. 这允许我们一次又一次地迭代找到

通过标准论证, 我们推断, 对于任何 $y\in B_{1/4}$ 和 $0<r\le1/4$ 都有

因此, 从 Campanato 空间的等价刻画 (参见文献 [11]) 可以得出

要估计 $\max_{x\in B_{1/4}}|u(x)|$, 注意到对于所有 $k\ge1$,

因此, 运用方程

我们得到 $\max_{x\in B_{1/4}}|u(x)|\le C\|u\|_{L^{2}(B_{1})}$. 定理 1.2 得到了完整证明.