为了模拟犯罪活动的时空动态, Short 等^{[35],[36],[37]}建立了如下趋向性犯罪模型

其中 $\chi_1>0$, $\kappa_1>0$, $u(x,t)$ 刻画了犯罪密度, $v(x,t)$ 表示抽象的犯罪吸引力, $h_i$ 为相应源项, $i=1,2$. 模型 (1.1) 的相关背景及推导过程, 可参看文献 [2],[4],[13],[39],[38],[42]. 更多犯罪模型和趋向性模型可参看综述文献 [3],[8].

模型 (1.1) 一被建立, 在有界光滑域 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$上的初边值问题便受到了广泛的关注: 其经典解的局部存在性可参看文献 [31]; 如果进一步假设 $n=1$^[32],[45], 或者 $n\geq2$ 且 $\chi_1<\frac2n$^[10],[34], 或者初始值和 $h_i$ 都小^[1],[40], $i=1,2$, 则该解也是全局存在的. 在广义可解框架下, 趋化敏感系数 $\chi_1$ 的范围能被进一步扩大: 如果 $n=2$^[48], 或者 $n=3$ 且 $\chi_1\in(0,\sqrt{3})$^[16], 则重整化解是全局存在的; 对任意的 $\chi_1>0$, 二维的广义下解是全局存在的^[22]. 另外, 非线性扩散 (i.e., $\Delta u^m$) 或 logistic 源 (i.e., $au-bu^\alpha$) 并入 (1.1) 式的第一个方程都能在适当意义下扩大趋化系数的范围: 假设 $m>\frac32$^[33], 或者 $m>1$ 且 $\chi_1<\frac{\sqrt{3}}{2}$^[52], 则相应的二维初边值问题具有全局弱解; 当 $n=2$ 且 $\alpha=2$ 时, 相应问题有全局广义解^[14], 其最终光滑性参见文献 [30], 经典解的全局存在性则至少需要 $\alpha>2$^[14],[44]. 另一方面, 解的无界性探讨则可参见文献 [11]; 解的长时间行为的研究则可参见文献 [1],[16],[32],[34],[40],[48]; 更多相关稳态问题的研究则可参见文献 [5],[7],[18],[26],[27],[28],[37],[43].

最近, 多种警察策略被并入 Short et al 模型 (1), 具体可参见文献 [17],[36],[53],[29],[37]. 特别地, 假设警察随机移动的同时也定向向高犯罪率区域移动, Jones 等^[17]建立了如下带警察策略的趋向性犯罪模型

其中 $\tau\geq0$, $\chi_1>0$, $\chi>0$, $\kappa_i>0$, $i=1,2,3$. 这里, $w(x,t)$ 表示警察密度, $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是一个带光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界域, $\nu$ 为边界的外法向量. 值得指出的是, 文献 [17] 中的数值结果表明警察策略是可以减少犯罪活动的, 但目前还没有这方面的理论结果.

为了填补这方面的空白, 本文在 $\tau=0$ 情况下探讨警察策略对相关问题解的正则效应. 类似于文献 [41], 在这种情况下三组分的系统 (1.2) 能被转化为两组分的系统. 事实上, 把 (1.2) 式中的第三个方程乘以 $\ln w- \chi\ln v$, 并通过分部积分可得

注意, 最值原理表明 $w>0$; 据此, 进一步可得

其中 $m_w:=\int_\Omega w dx>0$ 表示总警察人数. 为了简单, 设 $\kappa_1=\kappa_2=1$, $\kappa:=\kappa_3 m_w$, 此时三组分的系统 (1.2) 可以简化为如下带非局部阻尼的两组分趋化模型

相较于 (1.1), (1.3) 式中出现了一个非局部阻尼项 $-\frac{\kappa uv^\chi}{\int_\Omega v^\chi{\rm d}x}$, 该项潜在地刻画了警察威慑效应. 故接下来我们将集中探讨该非局部阻尼项对解性质的正则效应.

假设源函数满足

初始值 $(u_0,v_0)$ 满足

基于假设 (1.4)-(1.5) 式, 设 $n\geq3$ 且

据此, 初边值问题 (1.3) 的经典解的全局存在性可表述如下

定理1.1 令 $n\geq3$, $\chi_1>0$, $\kappa>0$, $\chi>0$ 且 (1.4)- (1.5) 式成立. 假设 $\widetilde{\chi}_1$ 由 (1.6) 式确定且 $\chi_1<\widetilde{\chi}_1$, 则初边值问题 (1.3) 拥有唯一的经典解 $(u,v)$. 该解满足 $u,v>0$, 且对任意的 $r>n$ 都有

注1.1 一个直接的计算可知: $\widetilde{\chi}_1:=\widetilde{\chi}_1(\chi)$ 是关于 $\chi$ 单增的且连续的 ($\chi$ 刻画了警察执法效率). 据此, 若 $\chi>1$, 则 $\widetilde{\chi}_1>\frac2n$. 注意, 条件 $\chi_1<\frac2n$ 能确保不带警察威慑的系统具有全局经典解^[10]. 因此, 相较于文献 [10] 中结果, 定理 1.1 表明: 在某种意义下警察威慑有利于镇压犯罪热点的形成; 且警察威慑效应越大, 犯罪热点越难形成. 此外, 当 $\chi\rightarrow+\infty$ 时, $\sqrt{\frac{2}{n}}>\widetilde{\chi}_1\rightarrow\sqrt{\frac2n}$; 条件 $\chi_1<\sqrt{\frac2n}$ 能确保具线性信号产出的对数 Keller-Segel 系统

拥有全局经典解^[47]. 这也从数学上表明了当 (1.3) 式中的 $\chi$ 充分大时, 非局部项 $-\frac{\kappa uv^\chi}{\int_\Omega v^\chi{\rm d}x}$ 似乎能消除由非线性产出项 $+uv$ 带来的非光滑效应.

在适当增加关于 $h_2$ 的假设下, 如

我们能得到经典解的一致有界性. 除此之外, 如果进一步假设

则该有界解将在时间充分大时收敛于相应的平衡态. 具体而言, 经典解的有界性和长时间行为能被刻画如下

定理1.2 令定理 1.1 中条件和 (1.7) 式都成立, 且 $(u,v)$ 源至定理 1.1. 对于任意的 $r>n$, 存在独立于 $t$ 的 $C>0$ 使得

更进一步假设 (1.8) 和 (1.9) 式成立, 则当 $t\rightarrow\infty$ 时有

其中 $v_\infty$ 为椭圆问题

的解. 这里, $h_{2,\infty}\in \mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$ 且满足 (1.9) 式.

本文的第一个目的是, 调查初边值问题 (1.3) 经典解的全局存在性. 注意, (1.3) 式中第一个方程的非局部项显然破坏了一些已知方法, 如被用于 (1.1) 式^[10], 或具线性信号产出的对数 Keller-Segel 模型^[49],[47], 或线性产出项 $+u$ 代替了 (1.1) 式中非线性信号产出项 $+uv$^[23],[25] 的方法. 据此, 为了发展一个可解性理论, 我们的出发点是, 利用

的有界性 (参见 (2.8) 式), 考察 $\|v(\cdot,t)\|_{L^\chi}$ ($\chi>1$) 的时间演化且建立其一致有界性, 细节参见引理 3.1. 进而联立第 3 节中建立的一致先验估计, 可找到 $p_1>\frac n2$ 使得 $\|u(\cdot,t)\|_{L^{p_1}}$ 是有界的, 其中难点是怎么确定趋化系数 $\chi_1$ 的范围, 细节可参看引理 3.2 和引理 3.3. 基于这些得到的有界性, 通过迭代策略可得经典解的全局可解性. 值得指出的是, 相较于不具警察威慑效应的 Short et al 模型 (1), 我们扩大了趋化系数 $\chi_1$ 的范围. 因此, 我们的结果是先前数值结果 (警察威慑有益于镇压犯罪热点的形成^[17]) 的一个理论补充.

本文的第二个目标是, 探讨解的大时间行为. 为此, 我们首先利用解成分 $v$ 的点态下界建立解的有界性, 参见引理 5.1. 其次, 利用此有界性, 我们可得 $\|u(\cdot,t)\|_{L^1}$ 和 $\|v(\cdot,t)-v_\infty(\cdot)\|_{L^2}$ 的衰减估计, 其中 $v_\infty$ 为椭圆问题 (1.12) 的解. 最后, 我们进一步发展文献 [12],[30] 中的方法, 并利用迭代法得到了期望的解的长时间行为.

本文剩下部分内容安排如下: 第 2 节将证明 (1.3) 式经典解的局部存在性; 一些关键的先验估计将在第 3 节建立; 在第 4 节中, 我们构建了初边值问题 (1.3) 经典解的全局存在性; 第 5 节致力于证明定理 1.2 中期望的解的长时间行为.

符号说明: 除了特别说明之外, 通篇文章中 $c_i$ 和 $C_i$ 都表示某个正常数, 这些常数在不同的地方可能是不同的.

首先, 我们关注于初边值问题 (1.3) 的局部可解性以及延拓准则.

引理2.1 令 $\chi,\chi_1,\kappa>0$ 以及 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ ($n\geq3$) 是一有界光滑域. 对任意满足 (1.4)- (1.5) 式的 $h_i$ 和初始值, 存在一个时间 $T_{\max}\in(0,\infty]$ 以及对任意 $r>n$ 存在唯一 $(u,v)$ 满足

使得 $(u,v)$ 是初边值问题 (1.3) 在 $\Omega\times[0,T_{\max})$ 上的经典解. 进一步, 若 $T_{\max}<\infty$, 则有

证 令 $T\in(0,1)$ 且充分小. 对给定的非负函数 $\overline{u} \in \mathcal{C}^{\theta, \frac{\theta}2} (\overline{\Omega}\times(0,T))$ ($\theta\in(0,1)$), 由 (1.4)-(1.5) 式可知初边值问题

拥有唯一非负经典解 $v:=v[\overline{u}]\in\mathcal{C}^0\big([0,T); W^{1,p}(\overline{\Omega})\big)\cap\mathcal{C}^{2+\theta_1,1+\frac{\theta_1}{2}}\big(\overline{\Omega}\times(0,T)\big)$, 这里, $p>n$ 和 $\theta_1\in(0,1)$. 进一步, 利用最值原理和 Neumann 热半群的性质可得

据此, 我们有

以及

因此, 对于 $v:=v[\overline{u}]$ 再次利用 (1.4)-(1.5) 式和抛物 Schauder 估计^[20]可知

拥有唯一非负经典解 $u:=u[v]\in\mathcal{C}^0\big([0,T);L^\infty(\overline{\Omega})\big)\cap\mathcal{C}^{2+\theta_2,1+\frac{\theta_2}{2}}\big(\overline{\Omega}\times(0,T)\big)$, 这里 $\theta_2\in(0,1)$. 据此, 对于任意的 $\overline{u}\in X_R$ 我们能定义映射 $\Psi(\overline{u})=u$, 这里

以及 $R$ 仅依赖于初始值 $(u_0,v_0)$. 对于充分小的 $T$, 易证明 $u\in X_R$ 以及 $\Psi$ 是映 $X_R$ 到自身的压缩映射, 这也表明 $(u,v)$ 是初边值问题 (1.3) 在 $\overline{\Omega}\times(0,T)$ 上的经典解. (2.2) 式确保了 $v$ 的正性. 为了验证 $u$ 的正性, 记 $z$ 是如下问题

的经典解, 这里 $a(x,t):=\chi_1\nabla\ln v$ 以及 $b(x,t):=-v-1-\frac{\kappa v^\chi}{\int_\Omega v^{\chi}{\rm d}x}$. 接下来, 我们证明 $z>0$. 事实上, 据边界条件可得 $a\cdot\nu|_{\partial\Omega}=0$; 基于假设 (4), 可找到 $K>0$ 使得 $0\leq z_0\leq K$ 且 $\int_\Omega z_0 {\rm d}x \geq K^{-1}$; 利用 (2.2) 式和 $v$ 的正则性, 存在 $p_1\geq2,p_2\geq1, q_1>2, q_2>1$ 满足

使得对给定的 $T>0$ 都有

基于此, 利用文献 [50,命题 1.1] 可得在 $\Omega\times(0,T)$ 上都有 $z(x,t)\geq C(T,K,p_1,p_2,q_1,q_2)>0$. 另一方面, 由比较原理和 $h_1\geq0$ 易知 $z$ 是初边值问题 (2.3) 的一个下解; 故 $u\geq z>0$.

类似于映射 $\Psi$ 的压缩性证明, 易知初边值问题 (1.3) 的经典解是唯一的.

更进一步, 利用迭代策略可将 $(u,v)$ 延拓到最大时间区间 $[0,T_{\max})$ 上, 这里要么 $T_{\max}=\infty$ 要么 $T_{\max}<\infty$. 如果 $T_{\max}<\infty$, 则延拓准则 (2.1) 式成立.

为了展示 $T_{\max}=\infty$, 我们开始于一些基本的先验估计.

引理2.2 假设 $(u,v)$ 源至引理 2.1, 则有

且对任意的 $t \in(0,T_{\max})$ 以及 $s\in[t]$ 有

其中

以及

证 事实上, 类似于 (2.2) 式, 直接可得 (2.5) 式. 另外, 对 (1.3) 式中的第一个方程积分可得

结合 (1.4) 式可知对任意的 $t\in(0,T_{\max})$ 都有

这也表明了 (2.6) 式对 (2.9) 式进行时间积分, 则对任意的 $t\in(0,T_{\max})$ 及 $0\le s\le t$ 都有

因此, (2.8) 式成立.

类似地, 对 (1.3) 式中第二个方程积分, 则有

结合 (1.4) 式进一步可得

又因 (2.10) 式, 可得

因此, (2.7) 式成立.

作为准备, 我们将利用文献 [21],[47] 中策略建立 $\int_\Omega u^pv^{-r}{\rm d}x$ ($p>1$, $r>0$) 的有界性.

引理2.3 设 $\chi_1<1$ 及 $(u,v)$ 来自引理 2.1. 令

对任意的 $p\in(1,\frac{1}{\chi_1^2})$ 和 $r\in(r_{-}(p),r_{+}(p))$ 存在 $c_4>0$ 使得

证 基于 (1.3) 式, 直接的计算表明

利用分部积分可得

运用 Hölder 不等式和 Young 不等式可知

其中 $C_1:=\left(\frac{2(p-1)}{p}\right)^{p-1}\|h_1\|_{L^\infty(\Omega\times(0,\infty))}^p$, 联立 (2.5) 式, 进一步可知

这里 $C_2:=C_1c_1^{-r}|\Omega|$ 且 $c_1$ 源至 (2.5) 式. 类似地, 我们有

其中

由于 $u,v$ 和 $h_2$ 的非负性, 记 $C_4:=C_2+C_3$ 则有

这进一步表明

其中

接下来, 我们还需证明 $g(p,r)$ 的非负性. 事实上, 易知

据此, 对任意的 $r\in(r_{-}(p),r_{+}(p))$, 都有 $4(p-1)g(p,r)>0$, 进一步可得

由常微分方程比较原理易得 (2.12) 式.

为了探讨警察威慑对解性质的正则效应, 关键步骤是利用 (1.3) 式中非局部项建立一系的先验估计. 这里我们的出发点和创新点是追踪泛函 $\int_\Omega v^\chi(\cdot,t){\rm d}x$ ($\chi>1$) 的时间演化估计.

引理3.1 令 $\chi>1$. 对任意的 $t\in(0,T_{\max})$ 存在独立于 $t$ 的正常数 $c_5$ 使得

证 基于 (1.3) 式中第二个方程, 由分部积分易得

据此, 利用 Young 不等式可得

再运用 Gagliardo-Nirenberg 不等式可知

这里 $\theta=\frac{1}{\frac{\chi n}2+1-\frac{n}2}$, $C_1>0$ 依赖于 $\chi$ 和 $\Omega$. 由于 (2.7) 式, 记 $C_2:=C_1\max\{c_3^{\chi\theta},c_3^\chi\}$, 其中 $c_3$ 源至 (2.7) 式, 我们有

对 (3.3) 式应用 Young 不等式可知: 对来自 (2.6) 式的 $c_2$ 和

我们有

联立 (3.2) 式和记 $g(t):=\chi\int_\Omega u v^\chi(\cdot,t){\rm d}x\left\{\int_\Omega v^\chi (\cdot,t){\rm d}x\right\}^{-1}$, 则有

由上述微分不等式可得

回顾 (2.8) 式, 对于任意的 $t\in(0,T_{\max})$ 和 $s\in[t]$ 我们有

进而可得

这表明了 (3.1) 式.

找到 $p_1>\frac n2$ 并得到 $\|u\|_{L^{p_1}}$ 的有界性是证明经典解全局存在的核心. 为了利用引理 2.2, 引理 2.3 和引理 3.1 建立所需有界性, 关键点是确定趋化系数 $\chi_1$ 的范围, 其方法不同于文献 [47],[49] 中用于具线性信号产出的对数 Keller-Segel 模型的方法, 也不同于文献 [10] 中用于 (1.1) 式的方法, 还不同于文献 [23],[25] 中用于 (1.1) 式中 $+uv$ 被 $+u$ 代替情形下的方法.

引理3.2 设 $n\geq3$, $\chi>1$, $\chi_1>0$ 以及 $\widetilde{\chi}_1$ 定义于 (5). 若 $\chi_1<\widetilde{\chi}_1$, 则存在 $p\in(\frac n2,\frac{1}{\chi_1^2})$ 使得

证 我们将根据 (3.5) 式右手边的正负性分开证明. 如果右手边非正, 由于$p>1$, 则有

若 $\chi>\max\{1,\frac n4\}$, 则对任意的 $\chi_1<\sqrt{\frac{4\chi-n}{(2\chi-1)n}}$ 都有 $\frac{1}{\chi_1^2}>\frac{(2\chi-1)n}{4\chi-n}$. 据此, 存在 $p\in(\frac n2,\frac{1}{\chi_1^2})$ (例如, $p=\frac{(2\chi-1)n}{4\chi-n}$) 使得 (3.5) 式成立.

另一方面, 我们考虑 (3.6) 式右手边为正的情形. 事实上, 要么当 $n=3,4$ 时, 对任意的 $\chi>1$ 都有 $p\in (\frac n2, \frac{(2\chi-1)n}{4\chi-n})$; 要么当 $n\geq5$ 时, 对任意的 $\chi>\frac n4$ 都有 $p\in (\frac n2, \frac{(2\chi-1)n}{4\chi-n})$; 要么当 $n\ge5$ 时, 对任意的 $\chi\in(1,\frac n4]$ 都有 $p>\frac n2$, 则有

在此情形下, (3.5) 式等价于

直接计算表明

如果 $1<\chi<\frac n2$, 则 $\frac n2<n-1<\frac{(2\chi-1)n}{4\chi-n}$. 因此, 我们能取 $p=n-1$ 使得 (3.7) 式成立. 这进一步表明只要 $\chi_1<\frac{2}{n}\cdot\sqrt{\frac{\chi(n-\chi)}{n-1}}$ 就有 (3.5) 式成立.

最后, 我们比较上述两个阀值 $\frac{2}{n}\cdot\sqrt{\frac{\chi(n-\chi)}{n-1}}$ 和 $\sqrt{\frac{4\chi-n}{(2\chi-1)n}}$ 的大小, 就可以得到 (1.6) 中 $\widetilde{\chi}_1$ 的定义并结束引理的证明.

对于 $\chi>1$ 情形运用引理 3.2 且对 $\chi\in(0,1]$ 情形运用文献 [10,定理 1] 可得任意 $\chi>0$ 情形下 $\|u\|_{L^{p_1}}$ ($p_1>\frac n2$) 的有界性.

引理3.3 令 $n\geq3$, $\chi_1<\widetilde{\chi}_1$, $\widetilde{\chi}_1$ 定义于 (1.6) 式. 则存在 $p_1>\frac n2$ 及 $c_6=c_6(p_1)>0$ 使得

证 设 $r_{\pm}(\cdot)$ 定义于 (2.11) 式. 根据引理 2.3, 如果 $\chi_1<\sqrt{\frac 2n}$, 则对任意 $p\in(\frac n2,\frac{1}{\chi_1^2})$ 和 $r\in(r_{-}( p),r_{+}( p))$ 都有

其中 $c_4$ 源于 (2.12) 式. 对 $p_1\in(\frac n2, p)$, 利用 Hölder 不等式可得

联立 (3.9) 式, 确保存在 $C_1:=\frac{p_1r}{p}$ 和 $C_2:=c_4^{\frac{p_1}{p}}$ 使得

如果 $\chi\leq1$, 据 (2.7) 式, 只要 $\chi_1<\frac 2n$ 就可根据文献 [10,定理 1] 的证明找到 $p,p_1,r$ 使得

这进一步表明对任意的 $\chi\leq1$ 都有 (3.8) 式成立.

对于 $\chi>1$ 的情形, 我们已经在 (3.1) 式中建立了 $\|v\|_{L^\chi}$ 的有界性, 现只需验证在相应参数范围内能得到 $\|v\|_{L^\frac{p_1r}{ p-p_1}}$ 的有界性, 即, 能找到 $p,p_1,r$ 使得

事实上, (3.11) 式等价于 $p_1\leq \frac{ p\chi}{r+\chi}$, 据此我们仅需找到 $p$ 和 $r$ 使得 $\frac n2<\frac{ p\chi}{r+\chi}$. 令 $r$ 充分靠近 $r_{-}( p)$, 只需验证 $\frac n2<\frac{ p\chi}{r_{-}( p)+\chi}$ 成立. 因此, 根据 (2.11) 式我们只需验证如下不等式

即验证

回顾引理 3.2, 对任意的 $\chi>1$ 我们能找到 $p\in(\frac n2,\frac{1}{\chi_1^2})$ ($\chi_1<\widetilde{\chi}_1$) 使得 (3.12) 式成立, 这里 $\widetilde{\chi}_1$ 定义于 (1.6) 式. 这确保了 (3.11) 式, 再联立 (3.10) 和 (3.1) 式, 可知对任意 $p_1\in(\frac n2, p)$ 有

其中 $C_3:=C_2c_5^{\frac{p_1r}{p}}|\Omega|^{\frac{(p-p_1)\chi-p_1r}{p_1r\chi}}$, $c_5$ 确定于 (3.1) 式. 我们因此得到了 (3.8) 式.

根据引理 3.3, 利用适当的迭代策略我们能得到更高的正则性估计, 进一步可以证明定理 1.1. 据 Neumann 热半群性质可知有界性 (3.8) 式可确保 $\|\nabla v\|_{L^{q_1}}$ ($q_1>n$) 的有界性.

引理4.1 设引理 3.3 中条件都成立. 对任意的 $\chi>0$ 存在 $q_1>n$ 和 $c_7>0$ 使得

证 令 $q_1=2p_2$, $p_2\in(\frac n2,p_1)$, $p_1$ 来自 (3.8) 式. 据 Neumann 热半群性质 (参见文献 [6,引理 2.1], 文献 [46,引理 1.3]) 及

我们能找到 $C_1>0$ 使得

运用 Hölder 不等式可知

联合 (1.5) 和 (3.8) 式, 我们能找到 $C_2:=C_2(h_2,c_6)>0$ 满足

因 $\frac {n}{2}(\frac{1}{p_2}-\frac{1}{q_1})<\frac12$, 存在 $C_3:=C_3(C_1, v_0)>0$ 使得

利用 Gagliardo-Nirenberg 不等式, 存在 $C_4>0$ 服从

其中

联立 (2.7) 式, 可找到 $C_5>0$ 使得

据此, 存在 $C_i>0$, $i=6,7,8$, 使得

令 $K(T):=\sup_{t\in(0, T)}\|\nabla v(\cdot, t)\|_{L^{q_1}}$, 对任意的 $T\in (0, T_{\max})$ 存在 $C_9>0$ 满足

因为 $0<\varrho<1$, 利用 Young 不等式可知: 存在 $C_{10}>0$ 使得

这已足够确保 (4.1) 式.

接下来, 我们将建立 $\|u\|_{L^\infty}$ 的有界性.

引理4.2 设引理 4.1 中条件都成立. 则存在 $c_8>0$ 使得

证 类似于引理 4.1 的证明, 利用最值原理以及 $uv$ 和 $\kappa\{\int_\Omega v^\chi{\rm d}x\}^{-1}uv^{\chi}$ 的非负性, 对任意的 $q_2\in(n,q_1)$ ($q_1$ 源至 (4.1) 式) 存在 $C_1>0$ 使得

运用 Hölder 不等式, 我们有

联立 (4.1) 和 (2.5) 式, 进一步可证: 存在 $C_2>0$ 使得

据此, 我们能从 (1.4) 式推得: 存在 $C_3>0$ 使得

利用插值不等式和 (2.6) 式, 则有

其中 $\sigma:=1-\frac{q_1-q_2}{q_1q_2}$ 且 $C_4>0$. 综上, 存在 $C_5>0$ 使得

设 $G(T):=\sup_{t\in(0, T)}\|u(\cdot, t)\|_{L^\infty}$, 对任意的 $T\in (0, T_{\max})$ 存在 $C_6>0$ 使得

这里利用了 $\int_0^t\left(1+(t-s)^{-\frac12-\frac{n}{2q_2}}\right){\rm e}^{-(t-s)}{\rm d}s<\infty$ 和 $q_2>n$ 的事实. 由于 $0<\sigma<1$, 利用 Young 不等式可知存在 $C_7>0$ 使得

这进一步表明了期望的 (4.3) 式.

基于已建立的先验估计, 我们可将 (4.1) 式中的有界性扩展到任意的 $r>n$.

引理4.3 设引理 4.2 中条件都成立. 则对任意的 $r>n$ 存在 $c_9>0$ 使得

证 设 $q_1$ 取自 (4.1) 式, 类似于引理 4.1 的证明, 对任意的 $r\geq q_1$ 再次利用 (4.2) 式, 可知存在 $C_1>0$ 使得

基于 Hölder 不等式, (1.4) 和 (4.3) 式, 存在 $C_2>0$ 满足

联立 Gagliardo-Nirenberg 不等式, (2.7) 和 (4.1) 式, 我们能找到 $C_3>0$ 使得

这里由于 $q_1>n$ 故 $0<\sigma:=\frac{q_1n}{q_1n+q_1-n}<1$. 进一步, 存在 $C_4,C_5>0$ 使得

注意 $r\ge q_1>n$, 故对任意的 $r\ge q_1$ 不等式 (4.4) 都成立. 至于 $r\in(n,q_1)$, 利用 (4.1) 式和 Hölder 不等式则可知结论仍成立.

基于以上的准备, 我们现将完成定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 对任意的 $\chi>0$, 基于延拓准则 (2.1), 联立估计 (2.5), (4.3) 和 (4.4) 式则可得初边值问题 (1.3) 经典解的全局存在性, 据此我们完成了定理 1.1 的证明.

本节将致力于经典解的有界性和长时间行为. 为此, 我们首先建立如下有界性.

引理5.1 设定理 1.1 的条件和 (1.7) 式都成立. 对任意的 $r>n$ 存在独立于 $t$ 的 $C>0$ 使得

注5.1 条件 (1.7) 被用于获取解成分 $v$ 的点态正下界. 利用 $\Omega$ 的凸性和文献 [51,引理 2.3] (或者文献 [15,引理 3.1]), 通过修正文献 [23,推论 3.1] (或者文献 [24,引理 4.1]) 的证明, 条件 (1.7) 可以被放宽到 $\inf_{t>0}\int_\Omega h_2(x,t){\rm d}x>0$.

证 首先建立 $v$ 的点态正下界. 事实上, 设 $\widehat{c}_1:=\{\inf _{x \in \overline{\Omega}} v_{0}(x),\delta\}$ ($\delta$ 取自 (1.7) 式), 对 (1.3) 式中第二个方程运用最值原理, 可知 $\widehat{c}_1$ 是如下初边值问题

的一个下解. 基于 (5.2) 式, 类似于引理 2.3, 对任意的 $p\in(1,\frac{1}{\chi_1^2})$ 和 $r\in(r_{-}(p),r_{+}(p))$ 存在 $\widehat{c}_2>0$ 使得

其中 $r_{\pm}(p)$ 定义于 (2.11) 式. 基于 (5.3) 式, 类似于引理 3.3 的证明, 对 $n\ge3$ 若 $\widetilde{\chi}_1$ 取自于 (1.6) 式使得 $\chi_1<\widetilde{\chi}_1$, 则存在 $p_1\in(\frac n2,\frac{1}{\chi_1^2})$ 和 $\widehat{c}_3>0$ 使得

据此, 适当地修正引理 4.1, 引理 4.2 和引理 4.3 的证明可以得到

这里 $r>n$ 且 $\widehat{c}_4>0$. 联立 (5.2), (2.7) 式以及 Gagliardo-Nirenberg 不等式表明了期望的 (5.1) 式.

为了探讨解的长时间行为, 我们首先关注椭圆问题 (6), 其可解性可直接据文献 [19] 可得.

引理5.2 对给定的 $h_{2,\infty}\in \mathcal{C}^1(\overline{\Omega})$, 椭圆问题 (1.12) 拥有唯一经典解 $v_\infty$, 且存在 $\theta\in(0,1)$ 使其属于$\mathcal{C}^{2+\theta}(\overline{\Omega})$.

作为准备, 我们也需要如下源至微分不等式的衰减估计, 其证明参见文献 [9,引理 4.6] (或文献 [23,引理 2.5]).

引理5.3 令

若存在 $0\leq g(t)\in \mathcal{C}([0, \infty))\cap L^\infty([0,\infty))$ 满足

以及对某个 $\lambda>0$ 服从

则当 $t\rightarrow \infty$ 时有

引理 5.3 的一个直接的推论是, 可得 $\|u\|_{L^1}$ 的衰减估计.

引理5.4 设引理 5.1 中的条件都成立. 进一步假设 (1.8) 式成立, 则当 $t\rightarrow \infty$ 时有

证 由 (2.9), (5.2) 式以及 $u$ 和 $v$ 非负性, 可得

联立 (1.8) 式和引理 5.3, 可知 (5.6) 式成立.

把 (5.8) 式关于时间变量在 $[t,t+1]$ 上积分可得

再次利用 (1.8) 和 (5.6) 式, 知期望的 (5.7) 式成立.

再次利用引理 5.3, (5.6) 和 (5.7) 式, 可得 $v-v_\infty$ 的 $L^2$ 衰减估计, 其中 $v_\infty$ 是椭圆问题 (1.12) 的唯一经典解. 为了方便, 记 $\widehat{v}:=v-v_\infty$. 由定理 1.1 和引理 5.2, 下列初边值问题

拥有唯一经典解 $\widehat{v}$.

引理5.5 设引理 5.4 中条件都成立, 且 $\widehat{v}$ 是 (5.9) 式的唯一经典解. 假设 (1.9) 式成立, 则当 $t\rightarrow\infty$ 时有

证 把 (5.9) 式中第一个方程乘以 $\widehat{v}$, 由分部积分可知

进一步结合 Hölder 不等式和 $uv$ 的非负性, 可得

利用 Sobolev 不等式, 可知对任意的 $r>n$ 存在 $C_1>0$ 使得

联立 (5.1) 式和引理 5.2, 可找到 $C_2>0$ 使得

据此, 有

注意到 (1.9) 和 (5.7) 式可表明: 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 则有

再次运用引理 5.3, 则可得期望的 (5.10) 式.

基于引理 5.1, 引理 5.4 以及引理 5.5, 我们能进一步发展文献 [12],[30] 中的方法并用此研究解的长时间行为. 我们首先建立 $\|u\|_{L^\infty}$ 的衰减估计.

引理5.6 设引理 5.5 中条件成立. 则当 $t\rightarrow\infty$ 时都有

证 基于 $u$ 的常数变易公式, $uv$ 和 $\kappa\{\int_\Omega v^\chi{\rm d}x\}^{-1}uv^{\chi}$ 的非负性以及最值原理, 对于任意的 $t>0$ 我们有

再利用 Neumann 热半群的性质可知, 存在 $\lambda>0$, $r>n$ 以及 $C_1>0$ 使得

注意, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 易有

对于 $V_2$, 利用 Hölder 不等式和 (5.1) 式, 存在 $C_2>0$ 满足

再结合插值不等式和 (5.1) 式, 可知存在 $C_3>0$ 使得

因此, 我们有

对于 $V_{21}$, 由 (2.6) 式知存在 $C_4>0$ 使得

再结合如下不等式

知存在 $C_5>0$ 使得当 $t\rightarrow\infty$ 时, 则有

现在我们估计 $V_{22}$. 事实上, 不难发现 $C_6>0$ 使得

这联立 (5.6) 式表明, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 则有 $V_{22}\rightarrow0$, 据此, 进一步结合 (5.13) 式可得

对于 $V_3$, 我们类似可得

对于 $V_{31}$, 由 (1.4) 式知存在 $C_7>0$ 使得

故当 $t\rightarrow\infty$ 时, 则有

对于 $V_{32}$, 利用 (1.4) 式和分部积分, 我们能找到 $C_9>0$ 使得

据此可得

利用 Hölder 不等式, 可知对 $n\geq3$ 和 $r>n$ 存在 $C_{10}>0$ 使得

这里我们也利用了 $\frac{n}{2(r-1)}<1$ 的事实. 再结合 (1.8) 式, 知当 $t\rightarrow\infty$ 时则有 $V_{32}\rightarrow0,$ 联立 (5.15) 式表明 $V_{3}\rightarrow0$. 最后, 再联立 (5.12) 和 (5.14) 式, 可得 (5.11) 式.

引理 5.6 的一个直接推论是, 可得期望的 $\widehat{v}$ 的衰减估计.

引理5.7 设引理 5.6 中条件以及 (1.9) 式都成立, 则当 $t\rightarrow\infty$ 时, 对任意的 $r>n$ 都有

证 基于 (5.9) 式, Neumann 热半群性质表明, 对任意的 $r>n$ 存在 $C_1>0$ 使得

显然地, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 有

另一方面, Hölder 不等式结合 (5.1) 式, 表明存在 $C_2>0$ 使得

插值不等式和 (1.4) 式确保存在 $C_3>0$ 使得

进一步联立 Hölder 不等式表明, 存在 $C_4>0$ 使得

由于 (1.4) 式, (5.1) 式且 $\frac{r}{2(r-1)}<1$, 我们能找到 $C_5>0$ 使得

再利用 (5.11)式, (1.9) 式以及

则可知, 当 $t\rightarrow\infty$ 时, 有 $\Pi_2\rightarrow0$. 联立 (5.17) 式, 表明 $\|\nabla\widehat{v}(\cdot,t)\|_{L^r} \rightarrow0$, 最后再利用 (5.10) 式和 Sobolev 不等式, 可得 (5.16) 式.

利用引理 5.6 和引理 5.7, 可立即得到定理 1.2 刻画的长时间行为.

定理 1.2 的证明 事实上, 我们仅需联立引理 5.6 和引理 5.7 和回顾 $\widehat{v}$ 的定义就可得到 (1.11) 式, 进而完成定理 1.2 的证明.