该文参考 Fourier 变换的性质研究了离散分数阶 Fourier 变换的测不准原理以及连续分数阶 Fourier 变换在 Lebesgue 测度下的测不准原理, 使得分数阶 Fourier 变换的测不准原理性质更一般化.
该文研究了拟周期函数的增长性相关性质, 并对这些性质加以应用. 在附加条件下, 解决了杨重骏提出的猜想.
该文主要讨论了一类内部点条件含有谱参数的二阶微分算子的自伴性和特征值的依赖性. 首先, 在适当的 Hilbert 空间中定义一个与问题相关的线性算子 $T$, 将所要研究的问题转化为对此空间中算子 $T$ 的研究, 并根据自伴算子的定义证明了算子 $T$ 是自伴的. 另外, 在自伴的基础上, 证明了特征值不仅连续依赖而且可微依赖于问题的各个参数, 并给出相应的微分表达式. 同时, 还讨论了特征值关于问题部分参数的单调性.
该文研究了由算子值函数符号和余解析算子值函数符号诱导的向量值指数型权Bergman空间 $A^{2}_{\varphi}(\mathcal{H})$ 上Hankel算子的一些性质. 主要结果包括Hankel算子的有界性和紧性.
该文研究了如下 Kirchhoff 型方程
$\begin{cases} -\left(a+b\int_{\mathbb{R}^{3}}|\nabla u|^{2}dx\right)\Delta u=\lambda u+|u|^{p-2}u, \quad x\in \mathbb{R}^{3},\\ \|u\|^2_{2}=\rho,\end{cases}$
其中 $a$, $b$, $\rho>0$, $\lambda\in\mathbb{R}$ 是与质量约束 $\|u\|^2_{2}=\rho$ 有关的 Lagrange 乘子. 当 $p\in\left(2,\frac{10}{3}\right)$ 或者 $p\in\left(\frac{14}{3},6\right)$ 时, 利用亏格理论证明了上述方程 $L^2$-正规化解的多重性. 此外, 该文证明了上述解关于参数 $b\rightarrow 0^+$ 时的渐近行为.
该文研究了闵可夫斯基空间中矩阵的 $\mathfrak{m}$-WG 逆的性质和计算. 首先,利用值域和零空间给出了 $\mathfrak{m}$-WG 逆的刻画.其次, 给出了 $\mathfrak{m}$-WG 逆与非奇异加边矩阵之间的关系, 并讨论了 $\mathfrak{m}$-WG 逆的扰动界. 最后, 利用逐次矩阵平方算法给出了 $\mathfrak{m}$-WG 逆的计算.
该文考虑三维空间中粘性依赖密度的可压缩 Navier-Stokes 方程组, 得到了具有小能量大振荡初值的全局轴对称强解的存在唯一性, 其中流体区域为周期域 $\Omega=\{(r,z)\vert r=\sqrt{x^2+y^2},(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,r\in I\subset(0,+\infty),z\in(-\infty,+\infty)\}$. 当 $z\rightarrow\pm\infty$ 时, 初始密度保持非真空状态.结果还表明,只要初始密度远离真空, 解在任何时间内都不会发展成真空状态; 并且该文给出了解的精确的衰减速率.
该文关注以下非线性耦合方程组 $\left\{\begin{array}{l} -\Delta u_{1}+\omega_{1} u_{1}-\frac{1}{2} \Delta\left(u_{1}^{2}\right) u_{1}=\mu_{1}\left|u_{1}\right|^{p-1} u_{1}+\beta\left|u_{2}\right|^{\frac{p+1}{2}}\left|u_{1}\right|^{\frac{p-3}{2}} u_{1} \\ -\Delta u_{2}+\omega_{2} u_{2}-\frac{1}{2} \Delta\left(u_{2}^{2}\right) u_{2}=\mu_{2}\left|u_{2}\right|^{p-1} u_{2}+\beta\left|u_{1}\right|^{\frac{p+1}{2}}\left|u_{2}\right|^{\frac{p-3}{2}} u_{2} \\ \int_{\Omega}\left|u_{i}\right|^{2} \mathrm{~d} x=\rho_{i}, \quad i=1,2, \quad\left(u_{1}, u_{2}\right) \in H_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{2}\right) \end{array}\right.$ 以及线性耦合方程组 $\left\{\begin{array}{l} -\Delta u_{1}+\omega_{1} u_{1}-\frac{1}{2} \Delta\left(u_{1}^{2}\right) u_{1}=\mu_{1}\left|u_{1}\right|^{p-1} u_{1}+\beta u_{2} \\ -\Delta u_{2}+\omega_{2} u_{2}-\frac{1}{2} \Delta\left(u_{2}^{2}\right) u_{2}=\mu_{2}\left|u_{2}\right|^{p-1} u_{2}+\beta u_{1} \\ \int_{\Omega}\left|u_{i}\right|^{2} \mathrm{~d} x=\rho_{i}, \quad i=1,2, \quad\left(u_{1}, u_{2}\right) \in H_{0}^{1}\left(\Omega ; \mathbb{R}^{2}\right) \end{array}\right.$ 其中 $\Omega\subset\mathbb R^N(N\geq1)$ 是一个有界光滑区域,$\omega_i,\ \beta\in\mathbb R$, $\mu_i,\ \rho_i>0,\ i=1,2.$ 而且, 若 $p>1$, $N=1,2$ 且若 $1<p\leqslant\frac{3N+2}{N-2}$, $N\geqslant3$. 应用变量替换, 一方面,证明了非线性耦合方程组正规化解的存在性和轨道稳定性, 以及当 $\beta\rightarrow-\infty$ 时正规化解的极限行为. 另一方面, 应用极小化约束方法来获得线性耦合方程组的正规化解的存在性. 与之前的一些结果相比, 将现有结果扩展到了拟线性薛定谔方程组, 并获得了线性耦合情形下的正规化解.
该文研究拟凸度量空间中的自由拟共形映射. 证明了拟凸度量空间中自由拟共形映射和粗的拟双曲映射是等价的, 并得到了拟凸度量空间中自由拟共形映射的拟对称性质.
设 $ P $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 上的Hardy 算子, $ Q $ 为 $ P $ 的对偶算子. 该文得出了 $ P $, $ Q $ 以及与 $ CMO $ 函数构成的交换子的双权不等式.
研究了在 Hilbert 空间中两个一般的正则拟微分算式乘积的对称实现问题, 刻画了由其确定对称算子的两点边界条件, 得到两个高阶正则微分算子的乘积算子是对称算子的充分必要条件, 所得结论包括了乘积算子的自共轭域的刻画这一结果作为其特殊情形. 给出了乘积算子为对称算子的几个例子.
该文考虑流感的年龄异质性, 结合流感传播机理建立了连续年龄结构的 SIR 流感模型. 引入了疫苗接种和实施治疗两种控制措施, 提出成本效益函数, 利用庞特利亚金最大值原理及 Ekland 变分原理得到最优控制的存在性. 通过向前和向后扫描算法进行数值模拟. 比较多种控制策略, 发现接种疫苗和实施治疗组合控制效果最佳; 比较成本效应, 发现低成本的控制效果最理想. 最后综合分析得出接种疫苗成本效益最高, 而同时实施接种和治疗公共卫生效率最佳.
该文通过运用谱方法和分块算子矩阵法, 研究了两个无界算子 $A$ 、$B$ 的换位子 $[A,B]=AB-BA$ 的共轭算子问题. 给出了关系式 $[A,B]^*=(AB-BA)^*=B^*A^*-A^*B^*$=$-[A^*,B^*]$ 成立的充分条件. 最后举例说明了结果的有效性.
该文研究了经典 Hardy 空间上的 Volterra 算子 $ V $ 与 Toeplitz 算子 $ T_\varphi $ 的乘积算子 $ L_\varphi= T_\varphi V $ 与 $ R_\varphi= VT_\varphi $, 得到了 $ L_\varphi $ 与 $ R_\varphi $ 的一些基本性质, 并给出了 $ L_\varphi $ 的类似于 Toeplitz 算子的 Coburn 定理的结果. 该文还给出了 $ V $ 和 $ T_\varphi $ 可交换的充分必要条件, 以及 $ L_\varphi $ 及 $ R_\varphi $ 以 $ z^jH^2 $ $ (j=1, 2, \cdots ) $ 为不变子空间的符号的充要刻画.
该文主要研究最坏框架下加权 Korobov 空间中多元 $\mathbb{L}_{\infty}$-逼近问题的指数易处理性.多元逼近问题中的算法使用的信息取自由线性泛函组成的线性信息类 $\Lambda^{\text{all}}$和函数值组成的标准信息类 $\Lambda^{\text{std}}$.该问题的指数收敛-拟多项式易处理性和指数收敛-一致弱易处理性之前并没有被研究,该文最终通过两个权参数序列给出使得多元 $\mathbb{L}_{\infty}$-逼近问题具有这两种指数收敛易处理性的充分必要条件.
该文利用物理信息神经网络 (PINNs) 对扩展的五阶 mKdV (emKdV) 方程的正反问题进行求解, 并对孤子的动力学行为进行分析、模拟. 针对正问题, 选用双曲正切函数 $\tanh$ 作为激活函数求解方程的一、二、三孤子解, 并将 PINNs 方法求得的数据驱动解与借助简化的 Hirota 方法给出的方程精确解进行比较, 一孤子解的精度为 $\mathcal{O}(10^{-4})$, 二、三孤子解的精度为 $\mathcal{O}(10^{-3})$. 针对反问题, 分别由一、二、三孤子解的数据进行驱动求解方程的两个待定系数, 并在不同的噪声下探究算法的鲁棒性. 当在训练数据中加入 1% 的初始噪声或观测噪声时, 待求系数的预测精度可分别达到 $\mathcal{O}(10^{-3})$ 和 $\mathcal{O}(10^{-2})$; 当加入 3% 的初始噪声或观测噪声时, 预测精度依然可以达到 $\mathcal{O}(10^{-2})$; 由实验数据分析可知观测噪声对 PINNs 模型的影响要略大于初始噪声.
哈代希尔伯特空间上复 Volterra 算子数值域的探究一直是数学家们关注的热点课题, 却一直未得到解决. 该文主要给出了哈代希尔伯特空间上一个权序列为 $ (h, k, j, b, a, b, a, \cdots ) $, 其中 $ a, b, h, k, j>0 $ 的单边加权移位算子的数值半径计算公式. 尤其将该结果应用于求解哈代希尔伯特空间上复 Volterra 算子的数值域范围. 这些研究结果可以有效促进对具有扰动周期权或调和权的加权移位算子数值域的进一步研究, 并为哈代希尔伯特空间上有界线性算子数值域的研究提供典型实例.
基于 Bouligand 意义下的切锥与法锥和 Clarke 意义下的切锥与法锥, 该文研究了非负组稀疏约束优化问题的最优性理论. 该文定义了非负组稀疏约束集的 Bouligand 切锥与法锥和 Clarke 切锥与法锥, 并给出了它们的等价刻画形式. 在目标函数连续可微的条件下, 借助于非负组稀疏约束集的切锥和法锥, 给出了该优化问题的四类稳定点的定义, 并讨论了它们之间的关系. 最后, 建立了非负组稀疏约束优化问题的一阶和二阶最优性条件.
该文考虑了噪声影响下单纯复形上的随机 SIS 传染病模型, 比较了 1 单形传染强度 ($\lambda$) 或 2 单形传染强度 ($\lambda_{\triangle}$) 受噪声扰动后的模型在随机稳定性和随机分岔方面的区别. 结果表明: 对于随机模型而言, 噪声作用于 $\lambda$ 所在的低次项后传染病依概率 1 灭绝的阈值与噪声强度有关, 反之作用于 $\lambda_{\triangle}$ 所在的高次项则对阈值无影响; 增大 $\lambda_{\triangle}$, 会使稳态概率密度函数靠近 1 处出现峰值、峰值变大或峰值趋近于 1, 即: 增大 $\lambda_{\triangle}$, 会促进疾病的传播.