令(Mn,g)为n维无边紧黎曼流形, 0<α<n, q>nn−α,该文研究了下列Hardy-Littlewood-Sobolev(HLS)不等式
的极值问题.首先,利用算子Iα:Lp(Mn)→Lq(Mn)在次临界情形(即p>nqn+αq)时的紧致性,证明p>nqn+αq时极值函数fp∈Lp(Mn)的存在性;进而证明函数列{fp}为临界情形时HLS不等式的最佳常数的极值列;最后,结合极值列{fp}在Lnqn+αq(Mn)中的一致有界性,利用文献[32]建立的集中列紧原理证明{fp}在Lnqn+αq(Mn)中存在收敛子列,从而给出临界情形(即p=nqn+αq)时极值函数的存在性.