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数学物理学报, 2020, 40(1): 10-19 doi:

论文

KP和mKP可积系列的平方本征对称和Miura变换

耿露敏, 陈慧展, 李娜, 程纪鹏

The Squared Eigenfunction Symmetries and Miura Transformations for the KP and mKP Hierarchies

Geng Lumin, Chen Huizhan, Li Na, Cheng Jipeng

通讯作者: 程纪鹏

收稿日期: 2018-09-27  

基金资助: 中国博士后科学基金.  2016M591949
江苏省博士后科学基金.  1601213C

Received: 2018-09-27  

Fund supported: 中国博士后科学基金.  2016M591949
江苏省博士后科学基金.  1601213C

摘要

该文讨论了KP和mKP可积系列及其约束情形的平方本征对称与Miura变换和反-Miura变换的关系.

关键词： KP和mKP可积系列 ; 约束KP和约束mKP可积系列 ; 平方本征对称 ; Miura变换和反-Miura变换

Abstract

In this paper, we discuss the relations of the squared eigenfunction symmetry and the Miura and auti-Miura transformations for the KP and mKP hierarchies and their constrained cases.

Keywords： KP and mKP hierarchies ; Constrained KP and constrained mKP hierarchies ; Squared eigenfunction symmetry ; Miura and auti-Miura transformations

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本文引用格式

耿露敏, 陈慧展, 李娜, 程纪鹏. KP和mKP可积系列的平方本征对称和Miura变换. 数学物理学报[J], 2020, 40(1): 10-19 doi:

Geng Lumin, Chen Huizhan, Li Na, Cheng Jipeng. The Squared Eigenfunction Symmetries and Miura Transformations for the KP and mKP Hierarchies. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(1): 10-19 doi:

1 引言

KP可积系列[1-2]是一类重要的经典可积系列,在数学和物理领域有很广泛的应用.约束KP(cKP)可积系列[3-9]可以看做是KP可积系列的约化.另一个重要的可积系列是mKP可积系列[10-14],它通过Miura变换和反- Miura变换[12, 15-16]与KP可积系列相联系.存在许多版本的mKP可积系列,但在本文只考虑Kupershmidt-Kiso版本[13-14]的mKP可积系列.近年来,有很多关于Kupershmidt-Kiso版本的mKP可积系列的结果,例如:规范变换[17], tau函数[18],平方本征对称[19-20]和附加对称[18]等.

平方本征(SE)对称[19-22]又叫作"ghost"对称[22],通过本征函数和共轭本征函数来定义,在可积系列中是一种重要的对称. SE对称有两个很重要的应用: 1) SE对称可以看作是附加对称[22-24]的生成算子,附加对称是依赖于时间和空间变量的对称; 2) SE对称可以用来定义对称约束[20]和扩展可积系列[25-26].近期,已经研究了BKP可积系列的SE对称[27], Toda晶格可积系列以及B和C类型的子可积系列[28-29].本文研究KP和mKP可积系列及其约束的平方本征对称, Miura变换和反- Miura变换.

Miura变换[12, 15-16, 30-31]在经典可积系列中扮演着重要的角色,它展示了不同可积性质[15, 30, 32-33]之间的联系.本文中, Miura变换是指从mKP可积系列到KP可积系列,反- Miura变换是从KP可积系列到mKP可积系列.存在两种类型的反- Miura变换,分别由本征函数和共轭本征函数生成.相应的也有两种类型的Miura变换.研究Miura变换和反- Miura变换下SE对称的变化是很有趣的.尽管在文献[19-20]中已经研究了由本征函数生成的反- Miura变换,但它缺乏对其它Miura变换和反- Miura变换的研究.本文将考虑这个问题.

2 KP和mKP可积系列

为了叙述方便,首先介绍一些符号.考虑拟微分算子[2]

g={∑i≪∞ui∂i},

这里∂=∂x且系数为ui=ui(t1≡x,t2,⋯).任给函数f, ∂i与f的乘积满足Leibnitz规则[2]

∂if=∑j≥0(ij)f(j)∂i−j,i∈Z,
(2.1)

这里f(j)=fx⋯x⏟j=∂jf∂xj.假设A,B∈g且f是一个函数.共轭∗定义如下: (AB)∗=B∗A∗, ∂∗=−∂, f∗=f. Af表示A乘f, A(f)表示A作用于f.若A=∑iai∂i∈g,记res∂A=a−1, A≥k=∑i≥kai∂i且A<k=∑i<kai∂i.

通过Lax方程[2, 12]介绍KP和mKP可积系列

Ltm=[(Lm)≥k,L],k=0,1.
(2.2)

Lax算子L为

L={∂+u1∂−1+u2∂−2+u3∂−3+⋯,k=0(KP),∂+v0+v1∂−1+v2∂−2+v3∂−3+⋯,k=1(mKP).
(2.3)

KP和mKP可积系列的Lax算子L可以分别通过dressing算子S和Z[2, 17]给出

L={S∂S−1,S=1+s1∂−1+s2∂−2+s3∂−3+⋯,k=0,Z∂Z−1,Z=z0+z1∂−1+z2∂−2+z3∂−3+⋯,k=1.
(2.4)

系数si和zj都是具有无穷多变量t=(t1=x,t2,t3,⋯)的函数.

定义本征函数ϕ和共轭本征函数ψ如下[19-20]

ϕtm=(Lm)≥k(ϕ),ψtm=−(∂−k(Lm)∗≥k∂k)(ψ),k=0,1.
(2.5)

约束KP和约束mKP可积系列通过在Lax算子上施加以下约束来定义

(Ln)<k=l∑j=1qj∂−1rj∂k,k=0,1.
(2.6)

平方特征函数势Ω和ˆΩ定义如下[19-20]

Ω(ψ(k),ϕ)x=ψ(k)ϕ,Ω(ψ(k),ϕ)tn=res∂(∂−1ψ(k)(Ln)≥kϕ∂−1),
(2.7)

ˆΩ(ψ,ϕ(k))x=ψϕ(k),ˆΩ(ψ,ϕ(k))tn=res∂(∂−1ψ(Ln)≥kϕ(k)∂−1),
(2.8)

这里ψ(k)为ψ, ψx当k=0,1时(ϕ(k)类似).它们关系为

ˆΩ(ψ,ϕ(k))={Ω(ψ,ϕ),k=0,Ω(ψx,ϕ)−ψϕ,k=1.
(2.9)

引理2.1  对于任意的拟微分算子A∈g和任意函数f,有

(f−1Af)≥1=f−1A≥0f−f−1A≥0(f),
(2.10)

(∂−1fAf−1∂)≥1=∂−1fA≥0f−1∂−∂−1A∗≥0(f)f−1∂.
(2.11)

3 无约束情形下的平方本征对称和Miura变换的关系

首先介绍Miura变换和反- Miura变换的定义.

命题3.1[12, 15-16]  令L, ϕ, ˉϕ分别是KP可积系列的Lax算子,本征函数和共轭本征函数.从KP可积系列到mKP可积系列有两种类型的反- Miura变换

L→˜L={TmLT−1m,Tm=ϕ−1,TnLT−1n,Tn=∂−1ˉϕ.
(3.1)

这里˜L是mKP可积系列的Lax算子.

命题3.2[15-16]   令L是mKP可积系列的Lax算子,且z0是dressing算子Z中∂0前面的系数.从mKP可积系列到KP可积系列的Miura变换有以下形式

L→˜L={TμLT−1μ,Tμ=z−10,TνLT−1ν,Tν=z−10∂,
(3.2)

这里˜L是KP可积系列的Lax算子.

现在考虑KP和mKP可积系列的SE对称和反- Miura变换的关系.对于反- Miura变换的m情形,在文献[19]中已经研究过了,由下面的命题给出.

命题3.3  [19]假设L是KP可积系列的Lax算子,满足Lax方程Ltn=[(Ln)≥0,L]和SE对称

Lα=[l∑i=1ϕi∂−1ψi,L],
(3.3)

这里ϕi和ψi分别是本征函数和共轭本征函数.令ϕ是本征函数并且满足ϕα=l∑i=1ϕiΩ(ψi,ϕ).则˜L=ϕ−1Lϕ满足mKP可积系列的SE对称流

˜Lα=[l∑i=1˜ϕi∂−1˜ψi∂,˜L],
(3.4)

这里˜ϕi=ϕ−1ϕi和˜ψi=−Ω(ψi,ϕ)分别是本征函数和共轭本征函数.

现在讨论反- Miura变换的n情形.

命题3.4   KP可积系列中Lax算子L的SE对称流定义为Lα=[l∑i=1ϕi∂−1ψi,L],这里ϕi和ψi分别是本征函数和共轭本征函数.则˜L=∂−1ˉϕLˉϕ−1∂ (ˉϕ为共轭本征函数)满足mKP可积系列的SE对称流

˜Lα=[l∑i=1˜ϕi∂−1˜ψi∂,˜L],
(3.5)

这里˜ϕi=∂−1(ˉϕϕi)和˜ψi=ˉϕ−1ψi分别是˜L的本征函数和共轭本征函数.

证  首先,需要证明˜ϕi和˜ψi分别是mKP可积系列的本征函数和共轭本征函数.根据(2.11)式,有

(˜Lm)≥1(˜ϕi)=(∂−1ˉϕ(Lm)≥0ˉϕ−1∂−∂−1(Lm)∗≥0(ˉϕ)ˉϕ−1∂)(∂−1(ˉϕϕi))=∂−1(ˉϕϕitm)+∂−1(ˉϕtmϕi)=˜ϕitm
(3.6)

和

∂−1(˜Lm)∗≥1∂(˜ψi)=(ˉϕ−1(Lm)∗≥0ˉϕ−(Lm)∗≥0(ˉϕ)ˉϕ−1)(ˉϕ−1ψi)=−ˉϕ−1ψitm−(ˉϕ−1)tmψi=−˜ψitm.
(3.7)

现在讨论˜L的SE对称

˜Lα=∂−1ˉϕαLˉϕ−1∂+∂−1ˉϕLαˉϕ−1∂−∂−1ˉϕLˉϕ−1ˉϕαˉϕ−1∂=[∂−1ˉϕαˉϕ−1∂+l∑i=1∂−1ˉϕϕi∂−1ψiˉϕ−1∂,˜L]=[l∑i=1˜ϕi∂−1˜ψi∂,˜L].
(3.8)

证毕.

接下来考虑从mKP可积系列到KP可积系列在Miura变换下的SE对称的变化.

命题3.5  令L是mKP可积系列的Lax算子,且满足Lax方程Ltn=[(Ln)≥1,L]和SE对称Lα=[l∑i=1ϕi∂−1ψi∂,L]. Miura变换T=Tμ或T=Tν (见命题3.2), ˜L=TLT−1满足KP可积系列的SE对称

˜Lα=[l∑i=1˜ϕi∂−1˜ψi,˜L],
(3.9)

这里˜ϕi=T(ϕi)和˜ψi=−(∂T−1)∗(ψi)分别是KP可积系列的本征函数和共轭本征函数.

证  只需证μ情形, ν情形的证明与之类似.首先需要证˜ϕi和˜ψi分别是KP可积系列的本征函数和共轭本征函数.考虑(z−10)tm=(˜Lm)≥0(z−10),可得

˜ϕitm=(z−10)tmϕi+z−10ϕitm=(˜Lm)≥0(z−10)ϕi+z−10(Lm)≥1(ϕi)=(˜Lm)≥0(z−10)ϕi+(˜Lm)≥0(z−10ϕi)−(˜Lm)≥0(z−10)ϕi=(˜Lm)≥0(z−10)ϕi+z−10(˜Lm)≥0(ϕi)=(˜Lm)≥0(˜ϕi).
(3.10)

这里用到(2.11)式.类似的有

˜ψitm=(−z0(ψi)x)tm=−z0tm(ψi)x−z0∂(−∂−1(Lm)∗≥1∂(ψi))=z20(˜Lm)≥0(z−10)(ψix)+(˜Lm≥0)∗(z0)ψix+z0(˜Lm≥0)∗(ψix)−z20(˜Lm)≥0(z−10)(ψix)=−(˜Lm)∗≥0(˜ψi).
(3.11)

最后, ˜L的SE对称可以通过以下方式计算

˜Lα=−z−10z0αz−10Lz0+z−10Lαz0+z−10Lz0z−10z0α=[−z−10z0α+l∑i=1z−10ϕi∂−1ψi∂z0,˜L]=[l∑i=1˜ϕi∂−1˜ψi,˜L].
(3.12)

证毕.

4 约束情形下的平方本征对称和Miura变换的关系

首先,在下个命题中回顾约束KP和约束mKP可积系列与SE对称的关系.

命题4.1[20]   在SE流下约束(2.6)保持不变

Lα=[l∑i=1ϕi∂−1ψi∂k,L],qjα=l∑i=1ϕiΩ(ψi,q(k)j),rjα=(−1)kl∑i=1Ω(r(k)j,ϕi)ψi,
(4.1)

如果ϕi和ψi (i=1,2,⋯,l)满足

(Ln)≥k(ϕi)+l∑j=1qjΩ(rj,ϕ(k)i)=λiϕi,
(4.2)

∂−k(Ln)∗≥k∂k(ψi)−(−1)kΩ(ψ(k)i,qj)rj=λiψi,
(4.3)

对于任意的光谱参数λi∈C.

文献[15, 20]已研究了约束KP和约束mKP可积系列的反- Miura变换.

命题4.2[15, 20]   Case I  令L满足约束KP可积系列(Ln)<0=l∑j=1qj∂−1rj的Lax方程Ltm=[(Lm)≥0,L].对于反- Miura变换T=Tm或T=Tn (见命题3.1), ˜L=TLT−1满足约束mKP可积系列(˜Ln)<1=l+1∑j=1˜qj∂−1˜rj∂有

{˜qj=ϕ−1qj,˜rj=−Ω(rj,ϕ),j=1,2,⋯,l,˜ql+1=ϕ−1((Ln)≥0(ϕ)+l∑j=1qjΩ(rj,ϕ)),˜rl+1=1,(T=Tm),
(4.4)

或

{˜qj=Ω(ˉϕ,qj),˜rj=rjˉϕ−1,j=1,2,⋯,l,˜ql+1=1,˜rl+1=(Ln)∗≥0(ˉϕ)ˉϕ−1−l∑j=1Ω(ˉϕ,qj)rjˉϕ−1,(T=Tn).
(4.5)

Case II考虑约束mKP可积系列的Lax算子(Ln)<1=l∑j=1qj∂−1rj∂,对于Miura变换T=Tμ或T=Tν (见命题3.2), ˜L=TLT−1满足约束KP可积系列(˜Ln)<0=l∑j=1˜qj∂−1˜rj.有

˜qj=T(qj),˜rj=−(∂T−1)∗(rj).
(4.6)

接下来讨论约束KP和约束mKP可积系列的SE对称与反- Backlund变换的关系.

命题4.3  令L满足约束KP可积系列(Ln)<0=l∑j=1qj∂−1rj和Ltm=[(Lm)≥0,L],则对于反- Miura变换T=Tm或T=Tn (见命题3.1), ˜L=TLT−1满足SE对称

˜Lα=[l∑i=1˜ϕi∂−1˜ψi∂,˜L],
(4.7)

这里˜ϕi=T(ϕi), ˜ψi=(T−1∂−1)∗(ψi).另外, ˜qj和˜rj (j=1,2,⋯,l+1) (见命题4.2 Case I)满足

˜qjα=l∑i=1˜ϕiΩ(˜ψi,˜qjx),˜rjα=−l∑i=1Ω(˜rjx,˜ϕi)˜ψi
(4.8)

和

(˜Ln)≥1(˜ϕi)+l+1∑j=1˜qjΩ(˜rj,˜ϕix)=λi˜ϕi,
(4.9)

∂−1(˜Ln)∗≥1∂(˜ψi)+l+1∑j=1Ω(˜ψix,˜qj)˜rj=λi˜ψi.
(4.10)

证  只需证m情形.首先

l∑i=1ϕ−1ϕi∂−1(∂−1(ψiϕ)(ϕ−1qj)x)=l∑i=1ϕ−1ϕi(∂−1(ψiϕ)ϕ−1qj−∂−1(qjψi)),
(4.11)

因此得到

˜qjα=−ϕ−1ϕαϕ−1qj+ϕ−1qjα=l∑i=1ϕ−1ϕi∂−1(∂−1(ψiϕ)(ϕ−1qj)x)=l∑i=1˜ϕiΩ(˜ψi,˜qjx)
(4.12)

和

˜rjα=−∂−1(rjαϕ)−∂−1(rjϕα)=−l∑i=1∂−1(rjϕi)∂−1(ψiϕ)=−l∑i=1Ω(˜rjx,˜ϕi)˜ψi.
(4.13)

现证明(4.9)式.根据(2.10)式,可得

(˜Ln)≥1(˜ϕi)=(ϕ−1Lnϕ)≥1(ϕ−1ϕi)=(ϕ−1(Ln)≥0ϕ−ϕ−1(Ln)≥0(ϕ))(ϕ−1ϕi)=ϕ−1(Ln)≥0(ϕi)−ϕ−1(Ln)≥0(ϕ)ϕ−1ϕi
(4.14)

和

l+1∑j=1˜qjΩ(˜rj,˜ϕix)=−l∑j=1ϕ−1qj∂−1(rjϕ)ϕ−1ϕi+l∑j=1ϕ−1qj∂−1(rjϕϕ−1ϕi)+ϕ−1(Ln)≥0(ϕ)ϕ−1ϕi+l∑j=1ϕ−1qj∂−1(rjϕ)ϕ−1ϕi,
(4.15)

因此根据(4.14), (4.15)和(4.2)式(k=0),可得

(˜Ln)≥1(˜ϕi)+l+1∑j=1˜qjΩ(˜rj,˜ϕix)=ϕ−1(Ln)≥0(ϕi)+l∑j=1ϕ−1qj∂−1(rjϕi)=λi˜ϕi.
(4.16)

接下来关键是证明(4.10)式.根据(2.10)式,有

∂−1(˜Ln)∗≥1∂(˜ψi)=∂−1(ϕ−1Lnϕ)∗≥1∂(−∂−1(ψiϕ))=−∂−1(ϕ(Ln)∗≥0(ψi))+∂−1((Ln)≥0(ϕ)ψi)
(4.17)

和

l+1∑j=1Ω(˜ψix,˜qj)˜rj=l∑j=1∂−1(ψiqj)∂−1(rjϕ)−∂−1(ψi(Ln)≥0(ϕ))−∂−1(ψil∑j=iqj∂−1(rjϕ))=l∑j=1∂−1(ψiqj)∂−1(rjϕ)−∂−1(ψi(Ln)≥0(ϕ))−l∑j=1∂−1(ψiqj)∂−1(rjϕ)+l∑j=i∂−1(∂−1(ψiqj)rjϕ).
(4.18)

利用(4.3)式(k=0),有

∂−1(˜Ln)∗≥1∂(˜ψi)+l+1∑j=1Ω(˜ψix,˜qj)˜rj=−∂−1((Ln)∗≥0(ψi)−l∑j=1∂−1(ψiqj)rj)ϕ=λi˜ψi.
(4.19)

证毕.

最后,考虑从约束mKP到约束KP可积系列的SE对称与Miura变换的关系.

命题4.4  约束mKP可积系列的Lax算子为(Ln)<1=l∑j=1qj∂−1rj∂,考虑Miura变换T=Tμ或T=Tν (见命题3.2), ˜L=TLT−1满足约束KP可积系列的SE对称

˜Lα=[l∑i=1˜ϕi∂−1˜ψi,˜L],
(4.20)

这里˜ϕi=T(ϕi)和˜ψi=−(∂T−1)∗(ψi).且˜qj和˜rj (见命题4.2 Case II)满足

˜qjα=l∑i=1˜ϕiΩ(˜ψi,˜qj),˜rjα=l∑i=1Ω(˜rj,˜ϕi)˜ψi
(4.21)

和

(˜Ln)≥0(˜ϕi)+l∑j=1˜qjΩ(˜rj,˜ϕi)=λi˜ϕi,
(4.22)

(˜Ln)∗≥0(˜ψi)−l∑j=1Ω(˜ψi,˜qj)˜rj=λi˜ψi.
(4.23)

证  只需证Miura变换的μ情形.首先,根据z0α=l∑i=1ϕiψiz0,有

˜qjα=−z−10l∑i=1ϕiψiz0z−10qj+z−10l∑i=1ϕi∂−1(ψiqjx)=−l∑i=1z−10ϕi∂−1(ψixz0z−10qj)=l∑i=1˜ϕiΩ(˜ψi,˜qj)
(4.24)

和

˜rjα=l∑i=1(∂−1(rjxϕi)ψi)xz0−l∑i=1rjxϕiψiz0=l∑i=1∂−1(rjxϕi)ψixz0=l∑i=1Ω(˜rj,˜ϕi)˜ψi.
(4.25)

至于(4.22)式,因为

(˜Ln)≥0=(z−10Lnz0)≥0=(z−10(Ln)≥1z0+z−10(Ln)<1z0)≥0=z−10(Ln)≥1z0+l∑j=1qjrj,
(4.26)

有

(˜Ln)≥0(˜ϕi)=(z−10(Ln)≥1z0+l∑j=1qjrj)(z−10ϕi)=z−10(Ln)≥1(ϕi)+l∑j=1qjrjz−10ϕi.
(4.27)

并且

l∑j=1˜qjΩ(˜rj,˜ϕi)=−l∑j=1z−10qjrjϕi+l∑j=1z−10qj∂−1(rjϕix).
(4.28)

因此

(˜Ln)≥0(˜ϕi)+l∑j=1˜qjΩ(˜rj,˜ϕi)=z−10(Ln)≥1(ϕi)+l∑j=1˜qjΩ(˜rj,˜ϕi)=z−10λiϕi=λi˜ϕi.
(4.29)

最后考虑(4.23)式.通过直接计算

(˜Ln)∗≥0(˜ψi)−l∑j=1Ω(˜ψi,˜qj)˜rj=(z0(Ln)∗≥1z−10+l∑j=1qjrj)(z0ψix)+l∑j=1∂−1(z0ψixz−10qj)rjxz0=z0(Ln)∗≥1(ψix)+l∑j=1qjrjz0ψix+l∑j=1∂−1(ψixqj)rjxz0.
(4.30)

如果用z0∂作用于(4.3)式(k=1)左右两端,则

z0(Ln)∗≥1(ψix)+l∑j=1∂−1(ψixqj)rjxz0+l∑j=1ψixqjrjz0=λiz0ψix.
(4.31)

可得

(˜Ln)∗≥0(˜ψi)−l∑j=1Ω(˜ψi,˜qj)˜rj=λi˜ψi.
(4.32)

证毕.

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