本文研究如下具$ p(x)- $Laplacian算子的波动方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-{\rm div}(|\nabla{u}|^{p(x)-2}\nabla{u})-\Delta u_t = |u|^{q(x)-2}u, &\quad(x, t)\in\Omega\times(0, T): = Q_T, \\ u(x, t) = 0, &\quad(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T): = \Gamma_T, \\ u(x, 0) = u_0(x), u_t(x, 0) = u_1(x), &\quad x\in\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \Omega\subset {{\Bbb R}} ^n(n\geqslant 1) $是有界区域, $ \partial\Omega $是Lipschitz连续边界, $ T > 0 $.指数$ p(x) $和$ q(x) $是两个连续函数且满足

(1.2) $ \begin{equation} |p(x)-p(y)|+|q(x)-q(y)|\leqslant \omega(|x-y|), x, y\in\Omega, |x-y|<1, \end{equation} $

其中$ \lim\limits_{\tau\rightarrow 0^+}\sup\omega(\tau)\ln\frac{1}{\tau} = C < \infty. $

具非标准增长条件的非线性双曲方程是对各种物理现象的数学刻画,例如电流变液或随温度变化的黏性流体的流动,非线性粘弹性,通过多孔介质过滤的过程和图像处理,更多的物理背景和理论推导可参见文献[1-2, 6, 15-16].这类问题解的存在性、唯一性、爆破性的研究，引起很多学者的兴趣.如Pinasco在文献[4]首次讨论了当源项的形式为$ a(x)u^{p(x)} $或$ a(x)\int_\Omega u^{q(y)}(y, t){\rm d}y $时解的爆破现象.随后, Haehnle和Prohl在文献[9]中利用差分逼近技术证明了无源项时解的存在性.之后,在2011年, Antontsev在文献[3-4]中研究了下列具$ p(x, t) $-Laplacian算子和强阻尼项的拟线性波动方程

$ \begin{eqnarray*} u_{tt} = {\rm div}(a(x, t)|\nabla u|^{p(x, t)-2}\nabla u)+\alpha \Delta u_t+b(x, t)|u|^{q(x, t)-2}u+f(x, t), \end{eqnarray*} $

其中$ \alpha > 0 $是常数.假定系数$ a(x, t), \; b(x, t) $和函数$ f, \; p, \; q $满足合适的条件,利用Galerkin方法和能量估计,证明了解的局部存在性和全局存在性,进一步还利用Levine凸方法和能量估计法证明了当初始能量为负时解在有限时刻发生爆破.随后,郭斌和高文杰在文献[7]中通过构造一个新的控制函数且结合Sobolev嵌入不等式,建立了初始能量和源项之间的定性关系,进而证明当初始能量为正时,解在有限时间也爆破.此外,关于解爆破时间的下界估计,郭斌在文献[8]中应用插值不等式和能量不等式得到了当源项是超线性时爆破时间的下界估计. 2018年,李方和刘芳在文献[10]中给出了高初始能量下解的爆破结果.

然而,对于问题$ (1.1) $的渐近稳定性问题相关的结果却很少.所谓问题$ (1.1) $的解是渐近稳定性当且仅当

$ \mbox{对问题$(1.1)$的所有解}\ u(t) = u(x, t), \ \mbox{有}\ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}E(u(t)) = 0, $

其中$ E(u(t)) = \frac12\int_\Omega u_t^2{\rm d}x+ \int_\Omega {\frac{1}{p(x)}|\nabla u|^{p(x)}}{\rm d}x-\int_\Omega{\frac{1}{q(x)}|u|^{q(x)}}{\rm d}x, $这个概念首次被Pucci和Serrin在文献[13]中提出.因此,对于问题$ (1.1) $而言,自然的问题就是

●问题$ (1.1) $存在整体解吗?如果存在,是否可以给出其衰减估计呢?

●对于问题$ (1.1) $, $ u = 0 $是否是渐近稳定呢?

事实上,众所周知,阻尼项使问题的解趋于稳定,而源项却使得问题的解趋于不稳定,因此，当源项存在时,这个问题的解是否是稳定的取决于阻尼项和源项之间的竞争关系.当问题$ (1.1) $中无源项时, Messaoudi等作者在文献[12]中讨论了解的衰减估计与变指数和初始能量之间的定性关系.而当源项存在时,由于初始能量的非负性并不能蕴含能量泛函的非负性,所以我们不能直接用文献[12]中的方法来讨论这个问题.

本章结构如下:在第2节,给出了Orlicz-Sobolev类型的Banach空间的一些性质.同时,介绍了关于问题$ (1.1) $的已存在的一些结果.在第3节,分析了能量泛函和源项之间的关系.随后,应用文献[11,引理1]中的Komornik不等式,得到了整体弱解的衰减估计.最后,证明了$ u = 0 $是渐近稳定的.

首先,我们介绍Orlicz-Sobolev类型的Banach空间

$ L^{p(x)}(\Omega) = \left\{u\Big|u\; \mbox{是实值函数}, \; \int_{\Omega}{|u(x)|^{p(x)}}{\rm d}x<\infty\right\}. $

赋予如下范数

$ \|u\|_{p(x)} = {\rm inf}\left\{\lambda>0\Big|\int_{\Omega}{\Big|\frac{u}{\lambda}\Big|^{p(x)}}{\rm d}x \leqslant1\right\}. $

另外, $ L^{p(x)}(\Omega) $空间的对偶空间为$ L^{q(x)}(\Omega) $,其中$ \frac{1}{q(x)}+\frac{1}{p(x)} = 1 $, $ \forall \; x \in \Omega $.

变指数Sobolev空间$ W^{1, p(x)}(\Omega) $定义为

$ W^{1, p(x)}(\Omega) = \left\{u\in L^{p(x)}(\Omega);\; |\nabla u|\in L^{p(x)}(\Omega)\right\}, $

其上范数为

$ \|u\|_{W^{1, p(x)}(\Omega)} = \|u\|_{L^{p(x)}(\Omega)}+\|\nabla u\|_{L^{p(x)}(\Omega)}. $

进一步,定义$ W_0^{1, p(x)}(\Omega) $是$ C_0^\infty(\Omega) $是在范数$ \|\cdot\|_{W^{1, p(x)}(\Omega)} $下的完备化空间.为了下文叙说方便,我们先给出一些必要的引理.

引理2.1^[5]  (1) (Hölder不等式)对任意$ u\in{L^{p(x)}(\Omega)} $和$ v\in{L^{q(x)}(\Omega)} $,有

$ \Big|\int_{\Omega}uv{\rm d}x\Big|\leqslant {\left(\frac{1}{p^-}+\frac{1}{q^-}\right)\|u\|_{p(x)}\|v\|_{q(x)}} \leqslant {2\|u\|_{p(x)}\|v\|_{q(x)}}. $

(2)如果对任意$ x\in \Omega $,有$ p_1(x), p_2(x)\in C_+(\overline\Omega) = \{h\in C(\overline\Omega):{ }\min_{x\in \overline\Omega}h(x) > 1\} $, $ p_1(x)\leqslant p_2(x) $,则存在连续嵌入$ L^{p_2(x)}(\Omega)\hookrightarrow L^{p_1(x)}(\Omega) $,其嵌入常数不超过$ |\Omega|+1 $.

引理2.2^[5]  如果记$ \rho{(u)} = \int_{\Omega}{|u(x)|^{p(x)}}{\rm d}x, \; \forall\; u\in{L^{p(x)}(\Omega)}, $则

$ \begin{eqnarray*} &&{\rm (1)}{\quad} \|u\|_{p(x)}<1( = 1;>1)\Longleftrightarrow \rho{(u)}<1( = 1;>1); \\ &&{\rm (2)}{\quad} \|u\|_{p(x)}<1\Longleftrightarrow \|u\|_{p(x)}^{p^+}\leqslant \rho{(u)}\leqslant \|u\|_{p(x)}^{p^-};\\ &&{\rm (3)}{\quad} \|u\|_{p(x)}>1\Longleftrightarrow \|u\|_{p(x)}^{p^-}\leqslant \rho{(u)}\leqslant \|u\|_{p(x)}^{p^+}. \end{eqnarray*} $

引理2.3^[5]  令$ p, \; q\in C_+(\overline\Omega) $.设

$ q(x)< p^*(x): = \left\{\begin{array}{ll}{ }\frac{np(x)}{n-p(x)}, & \mbox{如果}\ p(x)<n;\\ +\infty, &\mbox{如果}\ p(x)\geqslant n, \end{array}\right. $

则连续紧嵌入$ W^{1, p(x)}(\Omega)\hookrightarrow L^{q(x)}(\Omega) $成立.

由于主部算子是退化的,方程一般没有古典解,为此我们先给出弱解的定义.

定义2.1  如果函数$ u(x, t)\in {L^\infty(0, T;H_0^1(\Omega)\cap W_0^{1, p(x)}(\Omega))} $, $ u_t\in L^2(0, T;H_0^1(\Omega)) $,并且对任意$ \varphi\in C^{\infty}(0, T;C_0^{\infty}(\Omega)) $, $ \varphi(x, T) = 0, \; x\in\Omega $, $ t\in(0, T) $,下式成立

$ \begin{eqnarray*} &&{{\int\!\!\!\int}}_{Q_T}(-u_t\varphi_t+|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u\nabla\varphi+\nabla u_t \nabla \varphi){\rm d}x{\rm d}t\\ & = &\int_\Omega u_1(x)\varphi(x, 0) {\rm d}x+{{\int\!\!\!\int}}_{Q_T}|u|^{q(x)-2}u\varphi {\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray*} $

另外,当$ t\to 0 $时,有

$ u(x, t)\to u_0(x)\mbox{在}\ H_0^1(\Omega)\cap W_0^{1, p(x)}(\Omega), \; u_t(x, t)\to u_1(x)\ \mbox{在}\ L^2(\Omega), $

则称函数$ u(x, t) $为问题$ (2.1) $在$ \Omega\times(0, T) $上的弱解,

对于问题$ (2.1) $局部解的存在性, Antontsev在2011年给出了如下结果.

定理2.1^[3]  假设$ (2.2) $和下列条件成立

$ (H_1)\quad \max\left\{\frac{2n}{n+2}, 1\right\}< p^-\leqslant p(x)\leqslant p^+<+\infty; 2< q^-\leqslant q(x)\leqslant q^+<\frac{n+2}{n}p^-, $

则对任意$ u_0\in H_0^1(\Omega)\cap W_0^{1, p(x)}(\Omega) $和$ u_1\in L^2(\Omega) $,存在某个时间$ T_0 > 0 $使得问题$ (2.1) $存在局部弱解.

定义能量泛函

(2.1) $ \begin{equation} E(t) = \frac12\int_\Omega u_t^2{\rm d}x+ \int_\Omega {\frac{1}{p(x)}|\nabla u|^{p(x)}}{\rm d}x-\int_\Omega{\frac{1}{q(x)}|u|^{q(x)}}{\rm d}x. \end{equation} $

引理2.4^[3]  假设$ u(x, t) $是问题$ (2.1) $的解,则能量泛函$ E(t) $非增且

(2.2) $ \begin{equation} E(t)+\int_0^t\int_\Omega|\nabla u_t(x, s)|^2 {\rm d}x{\rm d}s = E(0). \end{equation} $

为了叙说方便,引入下述记号.定义

(3.1) $ \begin{eqnarray} E_1 = \left(\frac{q^–p^+}{q^-p^+}\right)\alpha_1, \alpha_1 = B_1^{\frac{q^+p^+}{p^+-q^-}}, \end{eqnarray} $

其中$ B_1 = \max\{1, B\} $, $ B $为Sobolev嵌入$ W_0^{1, p(x)}(\Omega)\hookrightarrow L^{q(x)}(\Omega) $的嵌入常数.

引理3.1  设$ u(x, t) $是问题$ (1.1) $的解.如果下述条件成立

$ \begin{eqnarray*} (H_2)&&\quad 2\leqslant p^-< p^+< q^-< q^+<\frac{n+2}{n}p^-.\\ (H_3)&&\quad 0<E(0)<E_{1}, \int_\Omega|\nabla u_0|^{p(x)}{\rm d}x<\alpha_1, \end{eqnarray*} $

则存在正常数$ \alpha_2 $满足$ 0 < \alpha_2 < \alpha_1 $使得

(3.2) $ \begin{equation} \int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x<\alpha_2, \; \; \forall\; t>1. \end{equation} $

证  引理3.3和引理3.2表明

(3.3) $ \begin{eqnarray} E(t) &\geqslant& \frac12\int_\Omega u_t^2{\rm d}x+\frac{1}{p^+}\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x-\frac{1}{q^-}\max\{\|u\|_{q(x)}^{q^+}, \|u\|_{q(x)}^{q^-}\}{}\\ &\geqslant &\frac{1}{p^+}\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x-\frac{1}{q^-}\max\{B_1^{q^+}\|\nabla u\|_{p(x)}^{q^+}, B_1^{q^-}\|\nabla u\|_{p(x)}^{q^-}\}{}\\ &\geqslant &\frac{1}{p^+}\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x-\frac{B_1^{q^+}}{q^-}\max \bigg\{\max\bigg\{\bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^+}{p^+}}, \bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^+}{p^-}}\bigg\}, {}\\ && \max \bigg\{\bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^-}{p^+}}, \bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^-}{p^-}}\bigg\}\bigg\}{}\\ &: = & \frac{\alpha(t)}{p^+}-\frac{B_1^{q^+}}{q^-}\max\left\{\max\{\alpha^{\frac{q^+}{p^+}}(t), \alpha^{\frac{q^+}{p^-}}(t)\}, \max\{\alpha^{\frac{q^-}{p^+}}(t), \alpha^{\frac{q^-}{p^-}}(t)\}\right\}{}\\ & = &G(\alpha(t)), \end{eqnarray} $

其中$ \alpha(t) = \int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x $.

通过简单计算,显然验证$ G(\alpha) $满足下列性质

$ G'(\alpha) = \left\{\begin{array}{ll} { } \frac{1}{p^+}-\frac{B_1^{q^+}q^+}{q^-p^-}\alpha^{\frac{q^+-p^-}{p^-}}<0, &\alpha>1;\\ { } \frac{1}{p^+}-\frac{B_1^{q^+}}{p^+}\alpha^{\frac{q^–p^+}{p^+}}, &0<\alpha<1, \end{array}\right. $

$ G'_+(1) = \frac{1}{p^+}-\frac{B_1^{q^+}q^+}{p^-q^-}<0, \quad G'_-(1) = \frac{1}{p^+}-\frac{B_1^{q^+}}{p^+}<0, $

$ G'(\alpha_1) = 0, \quad0<\alpha_1<1. $

通过上述结论,我们容易证明$ G(\alpha) $在区间$ (0, \alpha_1) $上严格单调递增,在区间$ (\alpha_1, +\infty) $上严格单调递减.当$ \alpha\rightarrow +\infty $时,有$ G(\alpha)\rightarrow -\infty $,并且$ G(\alpha_1) = E_1 $.显然,存在两个常数$ \alpha_2 $和$ \alpha_3 $满足$ 0 < \alpha_2 < \alpha_1 < \alpha_3 $使得$ G(\alpha_2) = E(0) = G(\alpha_3) > 0 $.如果(3.2)式不成立,则存在某个$ t_0 > 0 $使得$ \alpha(t_0)\geqslant \alpha_2 $.分以下三种情形讨论.

情形一  如果$ \alpha_2 < \alpha(t_0) < \alpha_3 $,则根据函数$ G(\alpha) $的单调性可得$ G(\alpha(t_0)) > \min\{G(\alpha_2), $$ G(\alpha_3)\} = E(0) $,这与$ E(t_0)\leqslant E(0) $相矛盾.

情形二  如果$ \alpha_2 = \alpha(t_0) $,则根据$ \alpha(t) $的连续性可得$ \forall \varepsilon > 0, \; \exists\delta > 0 $使得$ t_0 < t < t_0+\delta $时,有$ 0 < \alpha(t)-\alpha(t_0) < \varepsilon $.令$ \varepsilon = \alpha_3-\alpha_2 $并且$ t_1 = t_0+\frac{\delta}{2} $,则$ \alpha_2 < \alpha(t_1) < \alpha_3 $.类似情形一的证明,可得$ G(\alpha(t_1)) > \min\{G(\alpha_2), G(\alpha_3)\} = E(0) $,这与$ E(t_1)\leqslant E(0) $相矛盾.

情形三  如果$ \alpha(t_0)\geqslant \alpha_3 $,则根据条件$ \alpha(0) = \int_\Omega |\nabla u_0|^{p(x)}{\rm d}x < \alpha_1 $和$ G(\alpha) $的连续性可得存在$ t_2 $满足$ 0 < t_2 < t_0 $使得$ \alpha_2 < \alpha(t_2) < \alpha_3 $.类似情形一的证明,可得$ G(\alpha(t_2)) > \min\{G(\alpha_2), G(\alpha_3)\} = E(0) $,这与$ E(t_2)\leqslant E(0) $相矛盾.

引理3.2  假设引理$ 3.1 $的所有条件成立,则对于任意$ t > 0 $,下列不等式成立

(3.4) $ \begin{equation} \int_\Omega\frac{1}{q(x)}|u|^{q(x)}{\rm d}x \leqslant \frac{{ B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+} }{q^– B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+}E(t), \end{equation} $

(3.5) $ \begin{equation} \frac12\int_\Omega u_t^2{\rm d}x+\int_\Omega\frac{1}{p(x)}|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\leqslant \frac{q^-}{q^– B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+}E(t) \leqslant \frac{q^-E(0)}{q^– p^+}. \end{equation} $

证   (3.2)式, (3.3)式和$ (1.1) $式表明

$ \begin{eqnarray*} \int_\Omega\frac{1}{q(x)}|u|^{q(x)}{\rm d}x &\leqslant& \frac{B_1^{q^+}}{q^-}\max \bigg\{\max\bigg\{\bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^+-p^+}{p^+}}, \bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^+-p^-}{p^-}}\bigg\}, \\ &&\max\bigg\{\bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^–p^+}{p^+}}, \bigg(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg)^{\frac{q^–p^-}{p^-}}\bigg\}\bigg\}\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\\ &\leqslant& \frac{B_1^{q^+}}{q^-}\max \bigg\{\max\{\alpha_2^{\frac{q^+-p^+}{p^+}}, \alpha_2^{\frac{q^+-p^-}{p^-}}\}, \max\{\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}, \alpha_2^{\frac{q^–p^-}{p^-}}\} \bigg\}\\ && \times p^+\left(E(t)+\int_\Omega\frac{1}{q(x)}|u|^{q(x)}{\rm d}x-\frac12\int_\Omega u_t^2{\rm d}x\right)\\ &\leqslant & \frac{B_1^{q^+}}{q^-}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+\left(E(t)+\int_\Omega\frac{1}{q(x)}|u|^{q(x)}{\rm d}x\right), \end{eqnarray*} $

这蕴含了$ (3.4) $式成立.再利用$ (1.1) $式和$ (3.4) $式,可知$ (3.5) $式也成立.

注3.1  引理$ 3.2 $表明在引理$ 3.1 $的条件下,问题$ (1.1) $的弱解$ u $整体存在.

接下来,给出如下衰减估计.

定理3.1  假设引理3.1的所有条件和$ E(0) < E_2 = \big(\frac{1}{p^+}-\frac{1}{q^+}\big) \big(\frac{q^-}{q^+}\frac{p^-}{p^+}\big)^{\frac{p^+}{q^–p^+}}\alpha_1 $成立,则$ E(t) $满足

(3.6) $ \begin{equation} E(t)\leqslant \left\{\begin{array}{ll} { } E(0)\left(\frac{2p^+-2}{p^++(p^+-2)Kt}\right)^{\frac{p^+-2}{p^+}}, &\quad p^+>2, \\ E(0)e^{1-K t}, &\quad p(x) = 2, \end{array}\right. \end{equation} $

其中正系数$ K $的定义可见(3.15)式.

证  在问题$ (1.1) $的第一个等式两边同乘以$ E^\gamma(t)u (\gamma > 0) $,并且在$ \Omega\times(s, T) $$ (s < T) $上积分,则有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_s^T E^\gamma(t)\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega uu_t{\rm d}x{\rm d}t+\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega\nabla u\nabla u_t{\rm d}x{\rm d}t+\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega|\nabla{u}|^{p(x)}{\rm d}x{\rm d}t\\ & = &\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega |u|^{q(x)}{\rm d}x{\rm d}t+\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega u_t^2{\rm d}x{\rm d}t. \end{eqnarray*} $

注意到(1.1)式和引理3.2 (表明$ E(t) $的非负性),则有

(3.7) $ \begin{eqnarray} p^-\int_s^T E^{\gamma+1}(t){\rm d}t &\leqslant&-\int_s^T E^\gamma(t)\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega uu_t{\rm d}x{\rm d}t-\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega\nabla u\nabla u_t{\rm d}x{\rm d}t{}\\ &&+\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega \Big(1-\frac{p^-}{q(x)}\Big)|u|^{q(x)}{\rm d}x{\rm d}t+\frac{p^-+2}{2}\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega u_t^2{\rm d}x{\rm d}t{}\\ & = &-\int_{s}^{T}\frac{\rm d}{d t}\bigg[E^{\gamma}(t)\int_{\Omega}uu_{t}{\rm d}x\bigg]{\rm d}t+ \gamma\int_{s}^{T}E^{\gamma-1}(t)E'(t)\int_{\Omega}uu_{t}{\rm d}x{\rm d}t {}\\ &&-\int_s^T E^\gamma(t)\int_\Omega\nabla u\nabla u_t{\rm d}x{\rm d}t +\frac{p^-+2}{2}\int_{s}^{T}E^{\gamma}(t)\int_{\Omega}u_{t}^{2}{\rm d}x{\rm d}t {}\\ &&+\int_{s}^{T}E^{\gamma}(t)\int_{\Omega}\Big(1-\frac{p^-}{q(x)}\Big)|u|^{q(\cdot)}{\rm d}x{\rm d}t{}\\ &: = &J_{1}+J_{2}+J_{3}+J_{4}+J_{5}. \end{eqnarray} $

首先估计$ J_{1} $的值.通过Cauchy不等式,引理3.1和(3.5)式,有

(3.8) $ \begin{eqnarray} |J_{1}|& = & \Bigg|E^\gamma(s)\int_{\Omega}uu_t(\cdot, s){\rm d}x-E^\gamma(T)\int_{\Omega}uu_t(\cdot, T){\rm d}x\Bigg|{}\\ &\leqslant& \frac{E^\gamma(s)}{2}\Bigg[\int_{\Omega}u^2(\cdot, s){\rm d}x+\int_{\Omega}u_t^2(\cdot, s){\rm d}x +\int_{\Omega}u^2(\cdot, T){\rm d}x+\int_{\Omega}u_t^2(\cdot, T){\rm d}x\Bigg]{}\\ &\leqslant& E^\gamma(s)\Bigg\{\frac{B^{2}_{1}}{2} \bigg[\Big (\int_{\Omega}|\nabla u(\cdot, s)|^{p(x)}{\rm d}x\Big)^{\frac{2}{p^+}}+ \Big(\int_{\Omega}|\nabla u(\cdot, T)|^{p(x)}{\rm d}x\Big)^{\frac{2}{p^+}}\bigg]{}\\ &&+\frac{1}{2}\int_{\Omega}\Big(u_t^2(\cdot, s)+u_t^2(\cdot, T)\Big){\rm d}x\Bigg\}{}\\ &\leqslant& \Bigg[\Bigg(\frac{B_1^{p^+}q^-p^+}{q^– p^+}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}} +\frac{2q^-E^{\frac{p^+-2}{p^+}}(0)} {q^– p^+} \Bigg]E^{\gamma+\frac{2}{p^+}-1}(0)E(s), \end{eqnarray} $

其次,估计$ J_{2} $的值.

(3.9) $ \begin{eqnarray} |J_{2}| & = &-\gamma\int_{s}^{T}E^{\gamma-1}(t)E'(t)\int_{\Omega}|u||u_{t}|{\rm d}x{\rm d}t{}\\ &\leqslant&-\frac{\gamma}{2}\int_{s}^{T}E^{\gamma-1}(t)E'(t)\int_{\Omega}(u^{2}+u_{t}^{2}){\rm d}x{\rm d}t{}\\ &\leqslant&-\frac{\gamma B^{2}_{1}}{2}\int_{s}^{T}E^{\gamma-1}(t)E'(t)\Big(\int_{\Omega}|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\Big)^{\frac{2}{p^+}}{\rm d}t -\frac{\gamma }{2}\int_{s}^{T}E^{\gamma-1}(t)E'(t)\int_{\Omega}u_{t}^{2}{\rm d}x{\rm d}t{}\\ &\leqslant&-\Bigg(\frac{\gamma^{\frac{p^+}{2}}B_1^{p^+}q^-p^+}{2^{\frac{p^+}{2}}(q^– p^+)}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}} \int_{s}^{T}E^{\gamma+\frac{2}{p^+}-1}(t)E'(t){\rm d}t -\frac{\gamma q^-}{q^– p^+}\int_{s}^{T}E^{\gamma}(t)E'(t){\rm d}t{}\\ &\leqslant&\Bigg(\frac{\gamma^{\frac{p^+}{2}}B_1^{p^+}q^-p^+}{2^{\frac{p^+}{2}}(q^– p^+)}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}}\frac{p^+}{\gamma p^++2}\Big[E^{\gamma+\frac{2}{p^+}}(s)-E^{\gamma+\frac{2}{p^+}}(T)\Big]{}\\ && +\frac{\gamma q^-}{(q^– p^+)(\gamma+1)}\Big[E^{\gamma+1}(s)-E^{\gamma+1}(T)\Big]{}\\ &\leqslant&\Bigg[\Bigg(\frac{\gamma^{\frac{p^+}{2}}B_1^{p^+}q^-p^+}{2^{\frac{p^+}{2}}(q^– p^+)}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}}\frac{p^+}{\gamma p^++2}E^{\gamma+\frac{2}{p^+}-1}(0) +\frac{\gamma q^-E^{\gamma}(0)}{(q^– p^+)(\gamma+1)}\Bigg]E(s). \end{eqnarray} $

接下来,估计$ J_{3} $的值.引理3.1,引理3.1,引理3.4,带$ \varepsilon_1 $的Cauchy不等式和(3.5)式告诉我们

(3.10) $ \begin{eqnarray} |J_3|&\leqslant & \int_s^T 2E^\gamma(t)\|\nabla u\|_{p(x)}\|\nabla u_t\|_{\frac{p(x)}{p(x)-1}}{\rm d}t{}\\ &\leqslant &2(1+|\Omega|)\int_s^T E^\gamma(t)\Big(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{p^+}}\|\nabla u_t\|_2{\rm d}t{}\\ &\leqslant &2(1+|\Omega|)\varepsilon_1\int_s^T \left[E^\gamma(t)\Big(\int_\Omega|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\Big)^{\frac{1}{p^+}}\right]^2{\rm d}t+ \frac{2(1+|\Omega|)}{4\varepsilon_1}\int_s^T \|\nabla u_t\|_2^2{\rm d}t{}\\ &\leqslant &2(1+|\Omega|)\varepsilon_1 \left(\frac{p^+q^-}{q^– p^+}\right)^{\frac{2}{p^+}} \int_s^T E^{2\gamma+\frac{2}{p^+}}(t){\rm d}t+ \frac{2(1+|\Omega|)}{4\varepsilon_1}\int_s^T(-E'(t)){\rm d}t{}\\ &\leqslant &2(1+|\Omega|)\varepsilon_1 \left(\frac{p^+q^-}{q^– p^+}\right)^{\frac{2}{p^+}} \int_s^T E^{2\gamma+\frac{2}{p^+}}(t){\rm d}t+ \frac{2(1+|\Omega|)}{4\varepsilon_1}E(s). \end{eqnarray} $

再而,通过Poincaré不等式和引理3.4,可得

(3.11) $ \begin{eqnarray} |J_4|&\leqslant &\frac{(p^-+2)B_1^2}{2}\int_{s}^{T}E^{\gamma}(t)\|\nabla u_t\|_2^2{\rm d}t = -\frac{(p^-+2)B_1^2}{2}\int_{s}^{T}E^{\gamma}(t)E'(t){\rm d}t{}\\ &\leqslant& \frac{(p^-+2)B_1^2}{2(\gamma+1)} E^{\gamma}(0)E(s). \end{eqnarray} $

另外, (3.4)式表明

(3.12) $ \begin{equation} |J_5|\leqslant (q^+-p^-)\frac{{ B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+} }{q^– B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+}\int_s^TE^{\gamma+1}(t){\rm d}t. \end{equation} $

综合(3.7)式和(3.8)–(3.12)式,有

(3.13) $ \begin{eqnarray} \int_s^T E^{\gamma+1}(t){\rm d}t &\leqslant &\frac{1}{p^-}\Bigg[\Bigg(\frac{B_1^{p^+}q^-p^+}{q^– p^+}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}}+\frac{2q^-E^{\frac{p^+-2}{p^+}}(0)} {q^– p^+} \Bigg]E^{\gamma+\frac{2}{p^+}-1}(0)E(s){}\\ &\quad&+ \frac{1}{p^-}\Bigg[\Bigg(\frac{\gamma^{\frac{p^+}{2}}B_1^{p^+}q^-p^+}{2^{\frac{p^+}{2}}(q^– p^+)}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}}\frac{p^+}{\gamma p^++2}E^{\gamma+\frac{2}{p^+}-1}(0) +\frac{\gamma q^-E^{\gamma}(0)}{(q^– p^+)(\gamma+1)}\Bigg]E(s){}\\ &\quad&+\frac{2(1+|\Omega|)\varepsilon_1}{p^-} \left(\frac{p^+q^-}{q^– p^+}\right)^{\frac{2}{p^+}} \int_s^T E^{2\gamma+\frac{2}{p^+}}(t){\rm d}t+ \frac{2(1+|\Omega|)}{4p^-\varepsilon_1}E(s){}\\ &\quad&+\frac{(p^-+2)B_1^2}{2(\gamma+1)p^-} E^{\gamma}(0)E(s)+ \frac{q^+-p^-}{p^-}\frac{{ B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+} }{q^– B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+}\int_s^TE^{\gamma+1}(t){\rm d}t.{}\\ \end{eqnarray} $

注意到条件$ 0 < E(0) = G(\alpha_2) < E_2 = G\Big(\big(\frac{q^-}{q^+}\frac{p^-}{p^+}\big)^{\frac{p^+}{q^–p^+}}\alpha_1 \Big) $和$ G(\alpha) $的单调性,容易验证下述不等式

$ \alpha_2<\left(\frac{q^-}{q^+}\frac{p^-}{p^+}\right)^{\frac{p^+}{q^–p^+}}\alpha_1<\alpha_1<1, $

进而,说明

$ \delta: = \frac{q^+-p^-}{p^-}\frac{{ B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+} }{q^– B_1^{q^+}\alpha_2^{\frac{q^–p^+}{p^+}}p^+}<1. $

另外,选取充分小的$ \varepsilon_1 $满足

$ \frac{2(1+|\Omega|)\varepsilon_1}{p^-} \left(\frac{p^+q^-}{q^– p^+}\right)^{\frac{2}{p^+}} = \frac{1-\delta}{2}. $

最后,令$ \gamma+1 = 2\gamma+\frac{2}{p^+} $,则有$ \gamma = \frac{p^+-2}{p^+} $.于是, (3.13)式等价于下述不等式

(3.14) $ \begin{eqnarray} \int_s^T E^{\frac{p^+-2}{p^+}+1}(t){\rm d}t\leqslant\frac {1}{K}E^{\frac{p^+-2}{p^+}}(0)E(s), \end{eqnarray} $

在这里

(3.15) $ \begin{eqnarray} K& = &1\Bigg/\Bigg\{\frac{1}{p^-}\Bigg[\Bigg(\frac{B_1^{p^+}q^-p^+}{q^– p^+}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}}+\frac{2q^-E^{\frac{p^+-2}{p^+}}(0)} {q^– p^+}\Bigg]E^{\frac{2}{p^+}-1}(0){}\\ &&+\frac{1}{p^-}\Bigg[\Bigg(\frac{\gamma^{\frac{p^+}{2}}B_1^{p^+}q^-p^+}{2^{\frac{p^+}{2}}(q^– p^+)}\Bigg)^{\frac{2}{p^+}}\frac{p^+}{\gamma p^++2}E^{\frac{2}{p^+}-1}(0) +\frac{\gamma q^-}{(q^– p^+)(\gamma+1)}\Bigg]{}\\ && +\frac{2(1+|\Omega|)}{4p^-\varepsilon_1E^{\gamma}(0)} +\frac{(p^-+2)B_1^2}{2(\gamma+1)p^-} \Bigg\}\frac{2}{1-\delta}. \end{eqnarray} $

在$ (3.14) $式中令$ T\to +\infty $,则

$ \int_s^{+\infty} E^{\frac{p^+-2}{p^+}+1}(t){\rm d}t\leqslant\frac {1}{K}E^{\frac{p^+-2}{p^+}}(0)E(s). $

应用文献[11,引理1]中的Komornik不等式,可知(3.6)式成立.证毕.

定理3.2  假设定理$ 3.1 $的所有条件成立,则$ u(x, t) = 0 $是渐近稳定的.

证  根据(3.5)式,有

$ E(t)\geqslant\frac{q^–p^+}{q^-}\bigg[\frac{1}{2}\int_{\Omega}u_{t}^{2}{\rm d}x+\int_{\Omega}\frac{1}{p(x)}|\nabla u|^{p(x)}{\rm d}x\bigg]\geqslant0, $

这表明

$ \liminf\limits_{t\rightarrow+\infty}E(t)\geqslant1. $

另一方面,根据定理3.1的结论可知

$ \limsup\limits_{t\rightarrow+\infty}E(t)\leqslant 1. $

显然,定理3.2的结论成立.

注3.2  当$ E_2\leqslant E(0) < E_1 $时,无法判断$ \delta < 1 $是否成立.主要是我们无法精确确定源项和阻尼项之间的定性关系.因此,为了解决这个问题,需要更加详细分析阻尼项的性质.