1973年, Gvoss, Politzer以及Wilczek共同发现,由于胶子带色荷,因此胶子之间的相互作用产生反屏蔽效应,从而导致强相互作用的渐近自由性,由此建立了强相互作用量子场论—量子色动力学(QCD)理论^[1].量子色动力学是描述夸克胶子之间强相互作用的规范理论,它是粒子物理标准模型的一个基本组成部分^[2-5].通常情况下,手征对称性破缺,夸克在强子内部不能以自由状态分离出来,当两个夸克之间的距离增大时,耦合常数变大,耦合强度变为无穷大,这使得夸克之间的相互作用随着距离增加而增加,夸克和胶子被束缚在强子内部,也就是通常说的"夸克禁闭".但是,当温度足够高,能量足够大时,手征对称性保持,夸克和胶子从质子和中子中解放出来,夸克禁闭解除,并使夸克和胶子重新结合形成"夸克—胶子等离子体"^[6]. "夸克-胶子等离子体"是与质子和中子不同的另一种新型物质形态^[7]. 2000年,欧洲核子研究中心通过重离子对撞实验观测到解禁闭现象,并且发现了一种新的物质形态,这种物质形态的特征和理论预测的"夸克-胶子等离子体"相符,这为深入研究宇宙早期演化迈出了重要一步.理论核物理的发展对天体物理学的研究有重要的意义.因为利用精确的核理论将会更清晰的计算、分析、研究宇宙中子星、超新星、早期宇宙的物质形态演化等^[8].

Schwinger-Dyson (SD)积分方程为量子场论的发展和应用提供了重要的非微扰研究方法,因此SD方程作为经典的方法被广泛地应用在固体物理学、粒子物理学等领域^[9-10].众所周知,在QCD理论中,手征对称性破缺是非微扰的独特现象,众多学者已经把SD方程作为研究QCD的有效工具.王昆仑^[6]从QCD基本理论出发,利用SD方程的方法,研究QCD在不同情况下可能存在的物相和相变,给出了物相的性质. Xu等人^[11]在SD方程的框架内,讨论了零温度下2+1味夸克的状态方程,显示了每一味夸克都存在临界化学势,在此过程中夸克密度数将发生由零到非零的变化.魏金标等人^[12]则在SD模型中研究了双味夸克的物相性质. Zhou^[13]给出了代表费米自能的线性化SD方程的精确解.近年来, SD方程又有很多新的应用与发展.例如, Foissy对组合的SD方程进行分类,给出所考虑的量子场论的Feynman图的Hopf代数的Hopf子代数^[14]. Kondo和Yoshida^[15]研究了实时、虚时框架下,有限温度、有限密度的SD方程问题.

在虚时框架下,作为SD方程的解的费米传播子具有如下形式^[15]

$ \begin{eqnarray*} {\cal S}^{-1}(p) = \tilde{p}+\sum(\gamma, p), \qquad p_0 = (2\gamma+1)\pi T -{\rm i}\mu. \end{eqnarray*} $

这里$ \sum(\gamma, p) $是依赖频率$ \gamma $、动量$ p $的自能函数, $ T $是温度, $ \mu $是化学势或密度.

采取瞬时交换逼近

$ \begin{eqnarray*} D_{\mu\mu}(k_0, \vec{K})\simeq D_{\mu\mu}(k_0 = 0, \vec{K}). \end{eqnarray*} $

自能函数$ \sum(\gamma, p) $变成与频率无关的$ \sum(p) $,得到

(1.1) $ \begin{eqnarray} \sum (p) = e_0^2\int \frac{{\rm d}^{n-1}q}{(2\pi)^{n-1}}D_{\mu\mu}(0, \vec{p}-\vec{q})\frac{\sum(q)}{4E_q} \left[\tanh\frac{\beta(E_q+\mu)}{2}+\tanh\frac{\beta(E_q-\mu)}{2}\right], \end{eqnarray} $

这里$ e_0^2 = 4\pi\alpha $为耦合常数, $ n $是空间维数, $ \alpha>0 $是规范场参数. $ p = |\vec{p}|\, , \, q = |\vec{q}| $为动量. $ \beta = 1/T>0 $. $ E_q = \sqrt{q^2+\sum^2(q)} $.选择

$ \begin{eqnarray*} {\cal D}_{\mu\nu}(0, \vec{K} = \vec{p}-\vec{q}) = \frac{g_{\mu\nu}}{-\vec{K}^2-m^2}, \end{eqnarray*} $

得到瞬时逼近下的SD方程

(1.2) $ \begin{equation} \sum (p) = \frac{\alpha}{\pi}\int _{0}^{\Lambda}{\rm d}q \frac{q\sum(q)}{pE_q} \left[\tanh\frac{\beta(E_q+\mu)}{2}+\tanh\frac{\beta(E_q-\mu)}{2}\right]\ln\frac{(p+q)^{2}+m^{2}}{(p-q)^{2}+m^{2}}, \end{equation} $

这里$ m^2 = m^2(T, \mu) $是依赖温度和密度的光子质量, $ \Lambda $是紫外动量截断值.

在实时框架或热场动力学中,考虑瞬时交换逼近自洽方式下的SD积分方程

(1.3) $ \begin{equation} M(p) = \frac{\alpha}{2\pi}\int_{0}^{\Lambda} {\rm d}q \frac{qM(q)}{pE_q} \left[\tanh\frac{\beta(E_q+\mu)}{2}+\tanh\frac{\beta(E_q-\mu)}{2}\right]\ln\frac{(p+q)^{2}+m^{2}}{(p-q)^{2}+m^{2}}, \end{equation} $

这里$ M(p) $是费米质量函数.

若$ \mu = 0 $,得到

(1.4) $ \begin{equation} M(p) = \frac{\alpha}{\pi}\int_{0}^{\Lambda}{\rm d}q\frac{q}{p}\ln\left(\frac{(p+q)^{2}+m^{2}_{T}}{(p-q)^{2}+m^{2}_{T}}\right) \frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}E_q\right)}{E_q}M(q), \end{equation} $

这里光子质量$ m_T $为

(1.5) $ \begin{equation} m_T^2 = \frac{1}{3}e_0^2T^2 = \frac{4\pi}{3}\alpha T^2. \end{equation} $

文献[15]在量子动力学、4 -费米模型的基础上建立了有限温度和密度下费米传播子满足的SD间隙方程,用数值计算得到了手征对称自发破缺-保持的相变临界线,显示了从低温相位的手征对称性破缺转变到高温相位的手征对称性保持的存在性.但文献[15]并没有做深入的数学分析.本文将借鉴文献[16]的方法,对方程(1.4)做进一步的数学分析.我们将运用上下解方法,研究有限温度下的SD方程解的适定性,证明临界温度$ T_c> 0 $的存在唯一性.我们的主要结果如下.

定理1.1  存在唯一的临界温度$ T_c>0 $,当$ 0< T = 1/\beta<1/\beta_c\equiv T_c $时, SD积分方程(1.4)有唯一的正解$ M(p)>0 $;当$ T = 1/\beta>1/\beta_c = T_c $时, SD积分方程(1.4)仅有平凡解$ M(p) = 0 $.

我们的理论结果与文献[6, 15]的数值分析是吻合的,即低温相位时,费米质量$ M>0 $,手征对称自发破缺发生;高温相位时,费米质量$ M = 0 $,手征对称保持.

本文结构:第1部分给出SD积分方程的相关物理背景;第2部分是引理及其证明;第3部分给出定理1.1的证明.

方程(1.4)可重新写为

(2.1) $ \begin{eqnarray} M(p)& = &({\cal F}(M))(p) = \frac{\alpha}{\pi}\int_{0}^{\Lambda}\frac{q}{p}\ln\left[\frac{(p+q)^{2}+m^{2}_{T}}{(p-q)^{2}+m^{2}_{T}}\right] \frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+M^{2}(q)}\right)}{\sqrt{q^{2}+M^{2}(q)}}M(q){\rm d}q\\ & = &\int_{0}^{\Lambda} K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+M^{2}(q)}\right)}{\sqrt{q^{2}+M^{2}(q)}}M(q){\rm d}q, \end{eqnarray} $

其中

(2.2) $ \begin{eqnarray} K(p, q) = \frac{\alpha}{\pi}\frac{q}{p}\ln\left[\frac{(p+q)^{2}+m^{2}_{T}}{(p-q)^{2}+m^{2}_{T}}\right] \end{eqnarray} $

为非线性SD积分方程(2.1)的核函数.当$ p, q\in(0, \Lambda], \alpha, \beta>0 $时, $ K(p, q)>0 $是连续函数.当$ p = 0 $时, $ K(p, q) $有奇性.但是

$ \lim\limits_{p \rightarrow 0^{+}}K(p, q) = \frac{4\alpha q^2}{\pi(q^{2}+m^{2}_{T})}. $

于是当$ p = 0 $时,定义: $ K(p, q) = \frac{4\alpha q^2}{\pi(q^{2}+m^{2}_{T})} $.所以,当$ p\in[0, \Lambda] , q\in(0, \Lambda] $时, $ K(p, q)>0 $为连续函数.这样,算子

$ {\cal F}: L^\infty ([0, \Lambda])\longrightarrow L^\infty([0, \Lambda]) $

是有定义的.

引理2.1  $ \forall p\in[0, \Lambda] $,若$ M_{1}(p), M_{2}(p)\in L^\infty([0, \Lambda]) $,且$ 0\leq M_{1}\leq M_{2} $,则$ {\cal F}(M_{1})(p)\leq {\cal F}(M_{2})(p) $.

证  定义

$ \begin{eqnarray*} \varphi_{\beta}(p, M) = \frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{p^{2}+M^{2}}\right)}{\sqrt{p^{2}+M^{2}}}M = f_{1}(p, M)\cdot f_{2}(p, M), \quad 0<\beta<\infty, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} f_{1}(p, M) = \frac{M}{\sqrt{p^{2}+M^{2}}}, \quad f_{2}(p, M) = \tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{p^{2}+M^{2}}\right), \quad M(p)\in L^\infty([0, \Lambda]). \end{eqnarray*} $

易得$ f_{1}(p, M)>0 $, $ f_{2}(p, M)>0 $关于$ M $都是增函数,并且$ \varphi_{\beta}(p, M)>0 $,因此得到$ \varphi_{(\beta)}(p, M) $关于$ M $也是增函数,也就是说$ \forall p\in[0, \Lambda] $,当$ 0\leq M_{1}(p)\leq M_{2}(p) $时,有$ {\cal F}( M_{1})(p)\leq {\cal F}(M_{2})(p) $.引理2.1得证.

引理2.2  如果$ \beta>0 $足够大,那么存在一个函数$ M_{*}\geq0 $,满足$ M_{*}\in L^{\infty}[0, \Lambda] $,使得$ {\cal F}( M_{*})>M_{*} $.也就是说$ M_{*}\geq0 $是方程(2.1)的下解.

证  考虑$ p, q\in [\frac{\Lambda}{3}, \Lambda] $,则

$ A = \inf\limits_{p, q\in[\frac{\Lambda}{3}, \Lambda]}K(p, q) = \frac{\alpha}{3\pi}\ln\left[\frac{(\frac{4\Lambda}{3})^{2} +m^{2}_{T}}{(\frac{2\Lambda}{3})^{2}+m^{2}_{T}}\right] = \frac{m^2_T\beta^2}{4\pi^2}\ln\left(1+\frac{\frac{4}{3}\Lambda^2 }{(\frac{2\Lambda}{3})^{2}+m^{2}_{T}}\right), $

只要$ \beta>0 $足够大,就有$ A>2 $.当$ \varepsilon\rightarrow 0^+ $时

$ \begin{eqnarray*} \inf\limits_{p\in[\frac{\Lambda}{3}, \Lambda]}\int_{\frac{\Lambda}{3}}^{\Lambda}\frac{K(p, q)}{\sqrt{q^{2}+\varepsilon^{2}}}{\rm d}q \geq A\int_{\frac{\Lambda}{3}}^{\Lambda}\frac{{\rm d}q}{\sqrt{q^{2}+\varepsilon^{2}}} = A\left[\ln\left(q+\sqrt{q^{2}+\varepsilon^{2}}\right)\right]_{\frac{\Lambda}{3}}^{\Lambda} \rightarrow A\ln3. \end{eqnarray*} $

特别地,存在一个$ \varepsilon_{0}>0 $,使得

$ \begin{eqnarray*} \inf\limits_{p\in[\frac{\Lambda}{3}, \Lambda]}\int_{\frac{\Lambda}{3}}^{\Lambda}\frac{K(p, q)}{\sqrt{q^{2}+\varepsilon_{0}^{2}}}{\rm d}q\geq 2. \end{eqnarray*} $

只要$ \beta>0 $足够大,就有

(2.3) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{p\in[\frac{\Lambda}{3}, \Lambda]}\int_{\frac{\Lambda}{3}}^{\Lambda}K(p, q) \frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+\varepsilon_{0}^{2}}\right)}{\sqrt{q^{2}+\varepsilon_{0}^{2}}}{\rm d}q> 1. \end{eqnarray} $

定义

(2.4) $ \begin{eqnarray} M_{*}(p) = \left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon_{0}, {\quad} &{ } \frac{\Lambda}{3}\leq p \leq \Lambda, \\ 0, &{ } 0\leq p< \frac{\Lambda}{3}. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

于是由(2.3)式和(2.4)式可以得到

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}(M_{*})(p)& = &\varepsilon_{0}\int_{\frac{\Lambda}{3}}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+\varepsilon_{0}^{2}}\right)}{\sqrt{q^{2}+\varepsilon_{0}^{2}}}{\rm d}q\\ &\geq&\varepsilon_{0}\inf\limits_{p\in[\frac{\Lambda}{3}, \Lambda]}\int_{\frac{\Lambda}{3}}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+\varepsilon_{0}^{2}}\right)}{\sqrt{q^{2}+\varepsilon_{0}^{2}}}{\rm d}q\\ &>& \varepsilon_{0} \geq M_{*}, \qquad \forall p\in [0, \, \Lambda]. \end{eqnarray*} $

因此$ M_{*}\geq0 $(但$ M_{*}\not\equiv0 $)是方程(2.1)的一个下解.引理2.2得证.

引理2.3  对于任意的$ 0<\beta<\infty $,存在一个函数$ M^{*}>0 $,满足$ M^{*}\in L^{\infty}[0, \Lambda] $,使得$ {\cal F}( M^{*})<M^{*} $.也就是说$ M^{*}>0 $是方程(2.1)的一个正的上解.

证  当$ \delta\rightarrow \infty $时

$ \int_{0}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+\delta^{2}}\right)}{\sqrt{q^{2}+\delta^{2}}}{\rm d}q \leq \int_{0}^{\Lambda}K(p, q)\frac{1}{\sqrt{q^{2}+\delta^{2}}}{\rm d}q \leq B \int_{0}^{\Lambda}\frac{1}{\sqrt{q^{2}+\delta^{2}}}{\rm d}q\rightarrow 0, $

这里$ { } B = \sup_{p, q\in[0, \Lambda]}K(p, q) $.由上式知,存在一个$ \delta_{0}>0 $,当$ \delta\geq\delta_{0} $时,有

(2.5) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2} +\delta^{2}}\right)}{\sqrt{q^{2}+\delta^{2}}}{\rm d}q<1. \end{eqnarray} $

定义$ $

(2.6) $ \begin{eqnarray} M^{*}(p) = \delta , \quad 0\leq p\leq\Lambda, \quad \delta\geq\delta_0, \end{eqnarray} $

得到

$ \begin{eqnarray*} {\cal F}(M^{*})(p) = \delta\int_{0}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+\delta^{2}}\right)}{\sqrt{q^{2}+\delta^{2}}}{\rm d}q < \delta = M^{*}. \end{eqnarray*} $

因此$ M^{*}>0 $是方程(2.1)的一个正的上解.引理2.3得证.

引理2.4  当$ \beta\in(0, \infty) $,引理$ 2.3 $中所定义的$ \delta_{0} $是方程(2.1)中所有非负下解的先验界.

证  如果$ M $是方程(2.1)的一个下解,设

$ \begin{eqnarray*} \overline{M} = \sup\limits_{p\in[0, \Lambda]}M(p)\geq \delta_{0}. \end{eqnarray*} $

由引理$ 2.3 $可知$ \overline{M} $是方程(2.1)的一个上解,即$ {\cal F}(\overline{M})<\overline{M} $.但是由下解及$ \overline{M} $的定义, $ {\cal F}(\overline{M})\geq\overline{M} $,显然矛盾.因此$ M\leq \delta_{0} $.引理2.4得证.

引理2.5  如果$ \beta>0 $足够小,则方程(2.1)没有非平凡解,即$ M\equiv0 $.

证  如果$ M $是方程(2.1)的一个解,定义

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{M} = \sup\limits_{p\in[0, \Lambda]}|M(p)|, \end{eqnarray*} $

则$ \widetilde{M}\geq M $.由引理2.1的结论知, $ {\cal F}(\widetilde{M})(p)\geq {\cal F}(M)(p) = M(p), \, \forall p\in [0, \Lambda] $.因此

(2.7) $ \begin{eqnarray} \widetilde{M}\leq {\cal F}(\widetilde{M}). \end{eqnarray} $

另一方面,对任意的$ t>0 $,设

(2.8) $ \begin{eqnarray} f(t) = \frac{\tanh \frac{1}{2}\beta t}{t}, \end{eqnarray} $

对$ f(t) $求导得

$ f'(t) = \frac{\beta t-\sinh \beta t}{2 t^2 \cosh^2(\frac{1}{2} \beta t)} = g(t)\cdot\frac{1}{2 t^2 \cosh^2(\frac{1}{2} \beta t)}, $

这里

(2.9) $ \begin{eqnarray} g(t) = \beta t-\sinh \beta t. \end{eqnarray} $

对$ g(t) $求导,得

$ g'(t) = \beta(1-\cosh\beta t)<0. $

而$ g(0) = 0 $,因此当$ t>0 $时, $ g(t)<0 $.所以,对任意的$ t>0 $, $ f'(t)<0 $.即$ f(t) $关于$ t $单调递减.当$ t\rightarrow 0^+ $时

$ \lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}f(t) = \lim\limits_{t\rightarrow 0^{+}}\frac{\tanh \frac{1}{2}\beta t}{t} = \frac{1}{2}\beta. $

又因为$ f(t) $是关于$ t $的单调递减函数,所以

(2.10) $ \begin{eqnarray} \frac{\tanh \frac{1}{2}\beta t}{t}<\frac{1}{2}\beta. \end{eqnarray} $

从而

$ \int_{0}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+\widetilde{M}^{2}(q)}\right)}{\sqrt{q^{2}+\widetilde{M}^{2}(q)}}{\rm d}q <\frac{1}{2} \beta\int_{0}^{\Lambda}K(p, q){\rm d}q\leq\frac{1}{2} \beta B\Lambda. $

若$ \beta $足够小,我们就可以得到

(2.11) $ \begin{eqnarray} \int_{0}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2} +\widetilde{M}^{2}(q)}\right)}{\sqrt{q^{2}+\widetilde{M}^{2}(q)}}{\rm d}q<1. \end{eqnarray} $

从而得到$ {\cal F}(\widetilde{M})<\widetilde{M} $.结合(2.7)式,我们得到$ \widetilde{M}<\widetilde{M} $.若$ M\not\equiv0 $,这就是一个矛盾.因此方程(2.1)当$ \beta>0 $足够小时,没有非平凡解.引理2.5得证.

引理2.6  对于任意的$ 0<\beta<\infty $,下面两个表述是等价的

(i)方程(2.1)有一个正解.

(ii)方程(2.1)有一个下解$ M_*\geq0 $,且$ M_{*}\not\equiv0 $.

证   (i)$ \Rightarrow $(ii)解当然也是下解,这是显而易见的结论.

(ii) $ \Rightarrow $(i)对于下解$ M_* $,由引理$ 2.4 $可以得到$ M_*\leq\delta_0 $,这里的$ \delta_0 $是引理$ 2.3 $中所定义的.

$ \forall p\in [0, \Lambda] $,构造一个迭代序列

(2.12) $ \begin{eqnarray} M_{n+1}(p) = {\cal F}(M_n)(p) = \int_{0}^{\Lambda} K(p, q)\frac{\tanh\left(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2}+M^{2}_n }\right)}{\sqrt{q^{2}+M^{2}_n}}M_n{\rm d}q, \quad n = 1, 2, \cdots. \end{eqnarray} $

如果$ M_* = M_1\leq M_2 $,由引理$ 2.1 $的结论可以得到

$ \begin{eqnarray*} M_1(p)\leq M_2(p) \Rightarrow {\cal F}(M_1)(p)\leq {\cal F}(M_2)(p)\Rightarrow M_2(p)\leq M_3(p), \, \, \forall p\in [0, \Lambda]. \end{eqnarray*} $

依次递推下去,可以得到

(2.13) $ \begin{eqnarray} M_* = M_1\leq M_2 \leq M_3 \cdots\leq M_n\cdots\leq \delta_0. \end{eqnarray} $

或者,如果$ \delta_0 = M_1\geq M_2 $,可以得到

(2.14) $ \begin{eqnarray} \delta_0 = M_1\geq M_2 \geq M_3 \cdots\geq M_n\cdots\geq M_*. \end{eqnarray} $

从而$ \{ M_{n} \}^{\infty}_{n = 1} $是一个有界的点点收敛的序列.令

(2.15) $ \begin{eqnarray} M = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}M_n. \end{eqnarray} $

由(2.13)式或(2.14)式可以得到

(2.16) $ \begin{eqnarray} M_*\leq M \leq \delta_0. \end{eqnarray} $

由控制收敛定理,可以得到

$ \begin{eqnarray*} M = \lim\limits_{n\rightarrow\infty}M_n = \int_{0}^{\Lambda}K(p, q)\frac{\tanh(\frac{\beta}{2}\sqrt{q^{2} +M^{2}(q)})}{\sqrt{q^{2}+M^{2}(q)}}M(q){\rm d}q = {\cal F}(M). \end{eqnarray*} $

由$ K(p, q)>0 $和不等式(2.16),可以得到方程(2.1)有一个正解$ M $.引理2.6得证.

本节给出定理1.1的证明.

用$ {\cal F}^{(\beta)}, \, M^{(\beta)} $分别表示积分算子$ {\cal F}, $函数$ M $依赖参数$ \beta $, $ 0<\beta<\infty $.设

(3.1) $ \begin{eqnarray} {\cal A} = \{\beta\in {{\Bbb R}} ^+|M = {\cal F}^{(\beta)}(M)\ \mbox{有一个正解}\} . \end{eqnarray} $

对任意的$ \beta\in{\cal A} $,则$ M^{(\beta)} $是$ M = {\cal F}^{(\beta)} (M) $的一个正解.当$ \beta'>\beta, \forall p\in [0, \Lambda] $时有

(3.2) $ \begin{eqnarray} M^{(\beta)}(p) = {\cal F}^{(\beta)}(M^{(\beta)})(p)<{\cal F}^{(\beta')}(M^{(\beta)})(p). \end{eqnarray} $

因此$ M^{(\beta)} $是$ M = {\cal F}^{(\beta')}(M) $的一个正的下解.由引理$ 2.6 $知, $ M = {\cal F}^{(\beta')}(M) $有一个正解,从而$ \beta'\in {\cal A} $,即$ [\beta, \infty)\subset {\cal A} $, $ {\cal A} $是连通的.令

(3.3) $ \begin{eqnarray} \beta_c = \inf \{\beta|\beta\in{\cal A}\}, \end{eqnarray} $

这里$ \beta_c>0 $, $ \left.T_c = 1 \middle/ \beta_c>0\right. $.由引理$ 2.5 $知,当$ 0<T<T_c $,即$ \beta_c<\beta<\infty $时, $ [\beta, \infty)\subset {\cal A} $,方程(2.1)有一个正解;当$ T>T_c $,即$ 0<\beta<\beta_c $时,方程仅有平凡解$ M\equiv0 $.解的存在性已证.

下面分析解的唯一性.假设$ M' $是另外一个正解,则或者$ M'\leq M $但是$ M'\not\equiv M $;或者$ M'\equiv M $.

假设$ M'\leq M $但是$ M'\not\equiv M $,定义

(3.4) $ \begin{eqnarray} \Gamma = \{\alpha>0|\inf\limits_{p\in[0, \Lambda]}[M'(p)-\alpha M(p)]\geq 0\}. \end{eqnarray} $

由于$ M $, $ M' $在$ [0 , \Lambda] $上是正的,对于足够小的$ \varepsilon $, $ \Gamma\cap[0, \varepsilon)\neq \emptyset $.另一方面$ \Gamma\cap [1, \infty) = \emptyset $.事实上,如果存在$ \alpha\geq1 $,那么$ M'-\alpha M \geq 0 $,即$ M'\geq M $,与假设矛盾.因此,定义

(3.5) $ \begin{eqnarray} \alpha_0 = \sup\{\alpha|\alpha\in\Gamma\}, \end{eqnarray} $

则$ \alpha_0\in \Gamma , 0<\alpha_0<1 $.设

(3.6) $ \begin{eqnarray} \varphi_\beta(p, M) = f(t)M, \qquad t = \sqrt{p^2+M^2}, \end{eqnarray} $

这里

(3.7) $ \begin{eqnarray} f(t) = \frac{1}{t}\tanh(\frac{1}{2} \beta t). \end{eqnarray} $

假设$ t_0 = \sqrt{p^2+(\alpha_0 M)^2} $,由$ \alpha_0 M<M $可知$ t_0<t $,由$ f(t) $关于$ t>0 $是单调递减的,得出$ f(t)<f(t_0) $,因此

$ \varphi_\beta(p, \alpha_0 M) = f(t_0)\alpha_0 M = \alpha_0 f(t_0)M>\alpha_0f(t)M = \alpha_0\varphi_\beta(p, M). $

从而

$ M'(p) = {\cal F}(M')(p)\geq {\cal F}(\alpha_0 M(p))>\alpha_0 {\cal F}(M)(p) = \alpha_0 M(p). $

因此在$ p\in[0, \Lambda] $上, $ M'>\alpha_0 M $成立.

定义

$ \varepsilon = \frac{{ }\inf\limits_{p\in[0, \Lambda]}(M'(p)-\alpha_0 M(p))}{{ }\sup\limits_{p\in[0, \Lambda]}M(p)}>0, $

得

$ \begin{eqnarray*} M'(p)-(\alpha_0+\varepsilon)M(p)& = &M'(p)-\alpha_0M(p)-\varepsilon M(p)\\ & = &M'(p)-\alpha_0M(p)-\frac{{ }\inf\limits_{p\in[0, \Lambda]}(M'(p)-\alpha_0 M(p))}{{ }\sup\limits_{p\in[0, \Lambda]}M(p)} M(p)\\ &\geq& M'(p)-\alpha_0 M(p)-\inf\limits_{p\in[0, \Lambda]}(M'(p)-\alpha_0 M(p))\geq0. \end{eqnarray*} $

因此$ \alpha_0+\varepsilon \in\Gamma $,这是不可能的.因此$ M'\equiv M $,即方程(2.1)的解是唯一的.定理1.1得证.

注3.1  $ 1^\circ $定理1.1揭示了费米质量函数$ M $的大小依赖温度的变化.相对低的温度下,存在$ M $的顶峰;然而,随温度增加, $ M $峰值消失,临界温度出现.在手征对称性保持的意义下,费米质量消失, $ M\equiv0 $.这一结果与文献[6, 15]的数值结果相符.

$ 2^\circ $依据迭代格式(2.14),即

$ \left\{ \begin{array}{ll} M_1(p) = \delta, \qquad & {\delta\geq\delta_0}, \\ M_{n+1}(p) = {\cal F}(M_n)(p), \quad & n = 1, 2, \cdots. \end{array} \right. $

可以在$ p\in [0, \Lambda], \, 0<\beta<\infty $范围内计算方程(2.1)的正解$ M $.取$ M_0 $为任一非负解,则$ M_0\leq M \leq\delta $. $ \delta_0 $可如下选取

$ \sup\limits_{p\in[0, \Lambda]}\int_{0}^{\Lambda}\frac{K(p, q)}{\sqrt{q^{2}+\delta_0^{2}}}{\rm d}q<1. $