众所周知,经典的Sobolev不等式和Hardy-Littlewood-Sobolev (HLS)不等式是分析和几何研究中的基本工具,它们的最佳常数在研究流形的几何性质等问题中起到了非常重要的作用,从而在过去的几十年中,精确Sobolev不等式和精确HLS不等式被广泛用于曲率方程的研究,见文献[1, 3, 5, 15-17, 28]以及文中引用到的文献.

近年来,分数阶算子作为一种全局定义算子,得到了非常多的研究,例如分数阶Yamabe问题、分数阶预定曲率问题、分数阶Paneitz算子等研究(见文献[12-14, 21-24]及其中引用的文献).实际上,分数阶算子与奇异积分算子理论密切相关,而HLS不等式在奇异积分算子的研究中发挥了重要的作用.特别地,朱梅俊教授^[33]从积分方程的角度研究曲率问题,可将一些经典的曲率方程包含在一个统一的框架下研究,且包括了一些新的情形(如含负指数的曲率方程).然后在文献[7-8]中利用精确HLS不等式和逆向的精确HLS不等式研究了有界区域上的积分方程.所以精确HLS不等式是许多几何算子的全局分析中的重要工具.

鉴于经典HLS不等式的重要性,近年来得到了多种研究和推广,例如半空间上HLS不等式、紧黎曼流形上的HLS不等式、逆向HLS不等式、Heisenberg群上的HLS不等式等等,具体见文献[6, 9-11, 18, 30-31].而本文主要讨论无边紧黎曼流形上的HLS不等式的极值问题.

设$ (M^n, g) $为无边紧黎曼流形,参数$ \alpha $满足$ \alpha\in (0, n) $, $ |x-y|_g $表示$ M^n $上两点$ x, \ y $在度量张量$ g $下的测地距离. 2016年,本文第二作者和朱梅俊教授^[18]引入一类积分算子

(1.1) $ \begin{equation} I_\alpha f(x) = \int_{M^n} \frac{f(y)} {|x-y|_g^{n-\alpha}} {\rm d}V_y, \end{equation} $

然后建立了$ M^n $上的HLS不等式.

命题1.1^{[18, Proposition 1.1]}  设$ \alpha \in (0, n), \ 1<p<\frac n\alpha $, $ q $满足

(1.2) $ \begin{equation} \frac1q = \frac1p-\frac\alpha n, \end{equation} $

则存在正常数$ C(\alpha, p, M^n, g) $,对任意$ f\in L^p({M}^n) $有

(1.3) $ \begin{equation} ||I_{\alpha} f||_{L^q(M^n)} \le C(\alpha, p, M^n, g)||f||_{L^p(M^n)}. \end{equation} $

进一步,对任意$ r\in (1, q) $,映射$ I_{\alpha} : L^p(M^n) \to L^r(M^n) $为紧嵌入.

注1.2  如许多文献所取,参数$ p, q $的取法也可以先取定$ q>\frac{n}{n-\alpha} $,然后令$ p = \frac{nq}{n+\alpha q} $,则$ p $满足$ \frac\alpha n<\frac 1p = \frac 1q+\frac\alpha n<1 $.下文中我们将采取此种取法.

如上所述, (1.3)式的最佳常数和极值函数在分析和几何研究中非常重要,故而下面研究其极值问题.首先,定义(1.3)式的最佳常数为

(1.4) $ \begin{eqnarray} N_{q, \alpha, M}&: = &\sup\{\|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}:\ \|f\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)} = 1\} \\ & : = &\sup \biggl\{ \frac{\|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}} {\|f\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}}:\ f\in L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n) \backslash \{0\}\biggr\}. \end{eqnarray} $

特别,记$ N_{q, \alpha, {{\Bbb R}} ^n} $为$ N_{q, \alpha} $.

对上述极值问题,本文第二作者和朱梅俊教授^[18]讨论了极值问题(1.4)的保形情形,即$ p = t, \ f = g $的情形;最近,我们利用集中列紧原理讨论了全部情形^[32],结论如下.

定理1.3^{[32, Proposition 1.2 & Theorem 1.3]}  设命题1.1的条件成立,则$ N_{q, \alpha, M}\geq N_{q, \alpha} $.进一步,如果$ N_{q, \alpha, M}>N_{q, \alpha} $,则最佳常数$ N_{q, \alpha, M} $可达,即存在某个函数$ f(x)\in L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n) $使得

$ N_{q, \alpha, M} = \frac{\|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}} {\|f\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}}. $

众所周知,在Yamabe问题的讨论中,利用次临界问题逼近临界问题是一种非常重要的方法,故而本文拟采用次临界逼近法来重新证明定理1.3.在利用次临界逼近法讨论Yamabe问题中,次临界极值函数的一致估计非常重要,这也是Trudinger指出Yamabe出现错误的地方,具体描述见文献[25]及其中引用文献.而对于HLS的极值问题,次临界情形则对应于指数大于临界指数的情形,即$ p>\frac{nq}{n+\alpha q} $的情形,从而次临界极值函数$ \{f_p\} $在$ L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n) $中一致有界,为次临界逼近法提供了有效的讨论基础.在第四节,我们首先证明函数列$ \{f_p\} $为临界情形的极值列,然后利用集中列紧原理证明函数列$ \{f_p\} $存在收敛子列,从而完成证明.

本文计划如下:首先在第2节引入一些已知结论;然后在第3节给出一类紧性定理,从而得到次临界情形的极值函数;最后在第4节利用次临界逼近法和集中列紧原理完成定理1.3的证明.

首先给出$ {{\Bbb R}} ^n $上HLS不等式的极值问题的研究结果如下.

定理2.1^{[29, Theorem 2.3] & [27, Theorem 2.1]}  存在函数$ f\in L^{\frac{nq}{n+\alpha q}}({{\Bbb R}} ^n) $满足

$ N_{q, \alpha} = \|I_\alpha f\|_{L^q({{\Bbb R}} ^n)}, \quad \|f\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}({{\Bbb R}} ^n)} = 1, $

从而$ f $满足下列Euler-Lagrange方程

$ N_{q, \alpha}^q f^{\frac{nq}{n+\alpha q}-1}(x) = \int_{{{\Bbb R}} ^n} \frac{(I_\alpha f)^{q-1}(y)}{|x-y|_g^{n-\alpha}} {\rm d}y. $

若记$ r = \frac{nq}{n+\alpha q}, \ t = \frac{q}{q-1}, \ g^{t-1}(x) = N_{q, \alpha}^{-1}I_\alpha f(x) $,则$ \frac 1r+\frac 1t+\frac{n-\alpha}n = 2 $,函数对$ f\in L^r({{\Bbb R}} ^n) $, $ g\in L^t({{\Bbb R}} ^n) $满足

(2.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} |x|^{\alpha-n}*g = N_{q, \alpha} f^{r-1}(x), \\ |x|^{\alpha-n}*f = N_{q, \alpha} g^{t-1}(x). \end{array}\right. \end{equation} $

特别对于保形情形,即当$ r = t = \frac{2n}{n+\alpha} $时,则$ f\equiv g $,且除常数因子、伸缩和平移外,

$ f\equiv g = (1+|x|^2)^{-\frac nt}, \quad N_{q, \alpha} = \pi^{\frac{n-\alpha}2} \frac{\Gamma(\alpha/2)}{\Gamma((n+\alpha)/2)} \left(\frac{\Gamma(n)}{\Gamma(n/2)}\right)^{\alpha/n}, $

此时$ q = \frac{2n}{n-\alpha} $.

下面给出无边紧黎曼流形上的一些结果.

引理2.2(Young不等式^{[18, Lemma 2.1]})  对紧黎曼流形$ (M^n, g) $,定义一类卷积如下

$ g*h(x) = \int_{M^n} g(y) h(|y-x|_g) {\rm d}V_y, $

则存在常数$ C>0 $使得下列Young不等式成立

$ ||g*h||_{L^q} \le C||g||_{L^p} \cdot ||h||_{L^r}, $

其中$ p, q, r \in (1, \infty) $满足$ 1+\frac 1q = \frac 1r+\frac 1p. $

引理2.3(第二集中列紧原理^{[32, Lemma 3.1]})  取有界列$ \{f_m\}\subset L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n) $和函数$ f\in L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n) $满足

$ f_m\ \mbox{在} \ L^{\frac{nq}{n+\alpha q}}(M^n)\ \mbox{中弱收敛于}\ f. $

若$ |I_\alpha f_m|^q {\rm d}V_x $, $ |f_m|^p {\rm d}V_x $在测度意义下,分别弱收敛于$ M^n $上有界非负测度$ \nu, \ \mu $,则

ⅰ)存在$ M^n $上可列点集$ \{P_j\in M^n: j\in J\} $ (其中$ J $为一个可列集)和可列个非负实数$ \{\nu_j: j\in J\} $,使得

(2.2) $ \begin{equation} \nu = |I_\alpha f|^q {\rm d}V_x+\sum\limits_{j\in J} \nu_j\delta_{P_j}, \end{equation} $

其中$ \delta_{P_j} $表示以$ P_j\in M^n $为集中点的Dirac测度;

ⅱ)存在可列个非负实数$ \{\mu_j>0: j\in J\} $,使得

(2.3) $ \begin{equation} \mu\geq |f|^{\frac{nq}{n+\alpha q}}{\rm d}V_x+\sum\limits_{j\in J} \mu_j\delta_{P_j}, \end{equation} $

其中$ \mu_j $满足

(2.4) $ \begin{equation} \nu_j^{1/q}\leq N_{p, \alpha}\mu_j^{(n+\alpha q)/(nq)} \quad \mbox{for all} \quad j\in J. \end{equation} $

特别$ \sum\limits_{j\in J}\nu_j^{n/(n+\alpha q)}<+\infty $.

命题3.1(紧致性)  如果$ 1<p<\frac n\alpha, \ \frac 1q>\frac 1p-\frac\alpha n $,则存在常数$ C>0 $,对任意$ f\in L^p(M^n) $有

(3.1) $ \begin{equation} \|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}\leq C\|f\|_{L^p(M^n)}, \end{equation} $

且算子$ I_\alpha: L^p(M^n)\rightarrow L^q(M^n) $为紧算子.

证  取$ r\in (1, +\infty) $满足$ 1+\frac 1q = \frac 1p+\frac 1r $,则$ 1<r<\frac{n-\alpha}n $.对给定$ x\in M^n $,则

$ \int_{M^n} |x-y|_g^{(\alpha-n)r}{\rm d}V_y<C, $

且常数$ C $与$ x $无关,故结合Young不等式(引理2.2)可得(3.1)式.

而对于紧致性的讨论,证明过程与文献[32]中命题2.3的证明过程相同,故而略去.

给定$ q>\frac{n}{n-\alpha} $,取$ p $满足$ \frac\alpha n<\frac 1p<\frac 1q+\frac\alpha n $,即$ \frac n\alpha>p>\frac{nq}{n+q\alpha} $,则$ 1<p<\frac n\alpha, \ \frac 1q>\frac 1p-\frac\alpha n $.定义次临界HLS不等式(2.1)的极值问题如下

(3.2) $ \begin{eqnarray} N_{q, p, \alpha, M}&: = &\sup\{\|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}:\ \|f\|_{L^p(M^n)} = 1\} \\ & : = &\sup \biggl\{ \frac{\|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}} {\|f\|_{L^p(M^n)}}:\ f\in L^p(M^n) \backslash \{0\}\biggr\}. \end{eqnarray} $

则可得如下存在性定理.

定理3.2(存在性)  在引理3.1的条件下,最佳常数$ N_{q, p, \alpha, M} $可达,即存在$ f\in L^p(M^n) $使得

(3.3) $ \begin{equation} N_{q, p, \alpha, M} = \|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}, \quad \|f\|_{L^p(M^n)} = 1. \end{equation} $

证任取$ \{f_j:\ \|f\|_{L^p(M^n)} = 1, \ j = 1, 2, \cdots\} $为一个极大值列,即

$ N_{q, p, \alpha, M} = \lim\limits_{j\rightarrow +\infty}\|I_\alpha f_j\|_{L^q(M^n)}. $

结合自反性和$ I_\alpha $的紧致性,则存在子列(仍记为$ \{f_j\} $)和函数$ f\in L^p(M^n) $满足

$ \begin{eqnarray*} f_j\rightharpoonup f \quad \mbox{weakly in} \quad L^p(M^n), \\ I_\alpha f_m\rightarrow I_\alpha f\quad \mbox{strongly in} \quad L^q(M^n). \end{eqnarray*} $

由$ L^p $范数的弱下半连续性,有

$ N_{q, p, \alpha, M} = \lim\limits_{j\rightarrow +\infty} \frac{\|I_\alpha f_j\|_{L^q(M^n)}}{\|f_j\|_{L^p(M^n)}}\leq \frac{\|I_\alpha f\|_{L^q(M^n)}}{\|f\|_{L^p(M^n)}}, $

从而由$ N_{q, p, \alpha, M} $的定义知$ f $为一个极值函数.

注3.3  若$ f $为一个极值函数,则$ |f| $也为一个极值函数,故而下文中所取极值函数均为非负函数.进一步,若极值函数还满足$ \|f\|_{L^p(M^n)} = 1 $,则$ f $恒大于零.实际上,此时$ f $满足下列Euler-Lagrange方程

(3.4) $ \begin{equation} N_{q, p, \alpha, M}f^{p-1}(x) = \int_{M^n} \frac{(I_\alpha f)^{q-1}(y)} {|x-y|_g^{n-\alpha}}{\rm d}V_y, \quad \|f\|_{L^p(M^n)} = 1, \end{equation} $

若存在$ x_0\in M^n $使得$ f(x_0) = 0 $,则可由$ f $的非负性推出$ f $几乎处处等于零,与$ \|f\|_{L^p(M^n)} = 1 $矛盾,故而$ f $恒大于零.

引理4.1  当$ p\rightarrow \big(\frac{nq}{n+q\alpha}\big)^+ $时, $ N_{q, p, \alpha, M}\rightarrow N_{q, \alpha, M} $.

注  由定理3.2,存在非负函数$ f_p\in L^p(M^n) $满足

$ N_{q, p, \alpha, M} = \|I_\alpha f_p\|_{L^q(M^n)}, \quad \|f_p\|_{L^p(M^n)} = 1. $

令

$ \tilde{f}_p = \frac{f_p}{\|f_p\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}}, $

则

$ \begin{eqnarray*} N_{q, p, \alpha, M} & = &\|f_p\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}} \|I_\alpha \tilde{f}_p\|_{L^q(M^n)}\\ &\leq& |M^n|^{\frac 1q+\frac\alpha n-\frac 1p} \|I_\alpha \tilde{f}_p\|_{L^q(M^n)}\\ &\leq &|M^n|^{(1-\frac{nq}{p(n+\alpha q)})\frac{n+\alpha q}{nq}} N_{q, \alpha, M}. \end{eqnarray*} $

又因

$ \lim\limits_{p\rightarrow \left(\frac{nq}{n+q\alpha}\right)^+} |M^n|^{(1-\frac{nq}{p(n+\alpha q)})\frac{n+\alpha q}{nq}} = 1, $

所以

(4.1) $ \begin{equation} \limsup\limits_{p\rightarrow \left(\frac{nq}{n+q\alpha}\right)^+} N_{q, p, \alpha, M}\leq N_{q, \alpha, M}. \end{equation} $

设光滑函数列$ \{f_k\}\subset L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n) $为$ N_{q, \alpha, M} $的一个极值列,即

$ N_{q, \alpha, M} = \lim\limits_{k\rightarrow +\infty}\frac{\|I_\alpha f_k\|_{L^q(M^n)}}{\|f_k\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}}. $

任取$ p\in (\frac{nq}{n+\alpha q}, \frac{n}{\alpha}) $,令$ \tilde{f}_k = \frac{f_k}{\|f_k\|_{L^p(M^n)}} $,则

$ N_{q, p, \alpha, M}\geq \|I_\alpha \tilde{f}_k\|_{L^q(M^n)} = \frac{\|I_\alpha {f}_k\|_{L^q(M^n)}}{\|f_k\|_{L^p(M^n)}}. $

先令$ p\rightarrow \big(\frac{nq}{n+q\alpha}\big)^+ $,有

$ \liminf\limits_{p\rightarrow \left(\frac{nq}{n+q\alpha}\right)^+} N_{q, p, \alpha, M}\geq \frac{\|I_\alpha {f}_k\|_{L^q(M^n)}}{\|f_k\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}}; $

再令$ k\rightarrow +\infty $,则

(4.2) $ \begin{equation} \liminf\limits_{p\rightarrow \left(\frac{nq}{n+q\alpha}\right)^+} N_{q, p, \alpha, M}\geq N_{q, \alpha, M}. \end{equation} $

结合(4.1)式完成证明.

引理4.2  函数列$ \{f_p\} $为极值列,即满足

$ N_{q, \alpha, M} = \lim\limits_{p\rightarrow \left(\frac{nq}{n+q\alpha}\right)^+}\frac{\|I_\alpha f_p\|_{L^q(M^n)}}{\|f_p\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}}. $

证  由$ N_{q, \alpha, M} $的定义,有

$ N_{q, \alpha, M}\geq \frac{\|I_\alpha f_p\|_{L^q(M^n)}}{\|f_p\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}}\geq \frac{\|I_\alpha f_p\|_{L^q(M^n)}}{|M^n|^{\frac 1q+\frac\alpha n-\frac 1p}}, $

令$ p\rightarrow \big(\frac{nq}{n+q\alpha}\big)^+ $,结合引理4.1完成证明.

定理1.3的证明  $ N_{q, \alpha, M}\geq N_{q, \alpha} $的讨论与文献[32]中证明相同,故略去.本文主要证明第二部分,即当$ N_{q, \alpha, M}>N_{q, \alpha} $时, $ N_{q, \alpha, M} $可达.

下面的证明中,不失一般性,设在度量张量$ g $下$ M^n $的体积为$ |M^n|_g = 1 $.实际上,若$ |M^n|_g\neq 1 $,令$ g_1 = C^2g $ (其中$ C^n = |M^n|_g^{-1} $)为新的度量张量,则$ |M^n|_{g_1} = 1 $.进一步,注意到$ |x-y|_{g_1} = C|x-y|_g $,以及体积微元$ {\rm d}V_x $在两个度量张量下的变化,可以发现HLS不等式(1.3)在两个度量张量下形式不变,且最佳常数相同,故而我们可以在$ |M^n|_g = 1 $的条件下讨论极值问题.

由定理3.2知:对任意$ p\in \big(\frac{nq}{n+\alpha q}, \frac{n}\alpha\big) $,最佳常数$ N_{q, p, \alpha, M} $可达,即存在$ f_p\in L^p(M^n) $使得

(4.3) $ \begin{equation} N_{q, p, \alpha, M} = \|I_\alpha f_p\|_{L^q(M^n)}, \quad \|f_p\|_{L^p(M^n)} = 1. \end{equation} $

由Hölder不等式可得$ \|f_p\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}\leq 1, $故存在子列$ \{p_m, \ m = 1, 2, \cdots\}\subset\big(\frac{nq}{n+\alpha q}, \frac n\alpha\big) $和函数$ f\in L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n) $,使得

$ \lim\limits_{m\rightarrow +\infty} p_m = \frac{nq}{n+\alpha q}, $

$ f_{p_m} \ \mbox{在} \ L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)\ \mbox{中弱收敛于}\ f. $

又注意到

$ N_{q, \alpha, M} = \lim\limits_{p\rightarrow \left(\frac{nq}{n+q\alpha}\right)^+}N_{q, p, \alpha, M}, $

所以

(4.4) $ \begin{equation} \mu_m = |f_{p_m}|^{(nq)/(n+\alpha q)}{\rm d}V_x, \quad \nu_m = |I_\alpha f_{p_m}|^q {\rm d}V_x \end{equation} $

为两族有界测度,从而存在子列(仍记为$ \{\mu_m\}, \{\nu_m\} $)和$ M^n $上非负测度$ \mu, \nu $,使得在测度意义下有弱收敛

$ \mu_m\rightharpoonup\mu, \quad \nu_m\rightharpoonup\nu. $

由第二集中列紧原理(引理2.3),存在可列点集$ \{P_j\in M^n: j\in J\} $、可列非负实数集$ \{\nu_j: j\in J\} $和$ \{\mu_j>0: j\in J\} $,使得

(4.5) $ \begin{equation} \nu = |I_\alpha f|^q {\rm d}V_x+\sum\limits_{j\in J} \nu_j\delta_{P_j}, \quad \mu\geq |f|^{\frac{nq}{n+\alpha q}}{\rm d}V_x+\sum\limits_{j\in J} \mu_j\delta_{P_j}, \end{equation} $

且$ \nu_j^{1/q}\leq N_{p, \alpha}\mu_j^{(n+\alpha q)/(nq)}, \ j\in J $.由于

$ \int_{M^n} {\rm d}\mu = \lim\limits_{m\rightarrow+\infty}\int_{M^n} |f_{p_m}|^{(nq)/(n+\alpha q)}{\rm d}V_x\leq 1, $

所以

$ \int_{M^n} |f|^{(nq)/(n+\alpha q)}{\rm d}V_x\leq 1, {\quad} \mu_j\leq 1, j\in J. $

下面将证明$ \mu_j = \nu_j = 0, j\in J $.实际上,如果不成立,则

$ \begin{eqnarray*} N_{q, \alpha, M}^q& = &\lim\limits_{m\rightarrow +\infty} N_{q, {p_m}, \alpha, M}^q = \lim\limits_{m\rightarrow +\infty} \int_{M^n}|I_\alpha f_{p_m}|^q {\rm d}V_x\\ & = &\int_{M^n} {\rm d}\nu = \int_{M^n}|I_\alpha f|^q {\rm d}V_x+\sum\limits_{j\in J}\nu_j\\ &\leq &N_{q, \alpha, M}^q \|f\|_{L^{(nq)/(n+\alpha q)}(M^n)}^q +\sum\limits_{j\in J} N_{q, \alpha}^q\mu_j^{\frac{n+\alpha q}n} \nonumber\\ &< &N_{q, \alpha, M}^q \left(\int_{M^n} |f|^{\frac{nq}{n+\alpha q}} {\rm d}V_x\right)^{\frac{n+\alpha q}n} +\sum\limits_{j\in J} N_{q, \alpha, M}^q\mu_j^{\frac{n+\alpha q}n} \nonumber\\ &\leq& N_{q, \alpha, M}^q\bigg(\int_{M^n} |f|^{\frac{nq}{n+\alpha q}} {\rm d}V_x+\sum\limits_{j\in J}\mu_j\bigg)^{\frac{n+\alpha q}n} \\ & \leq& N_{q, \alpha, M}^q \left(\int_{M^n}{\rm d}\mu\right)^{\frac{n+\alpha q}n}\nonumber\\ & = &N_{q, \alpha, M}^q \left(\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\int_{M^n}|f_{p_m}|^{\frac{nq}{n+\alpha q}} {\rm d}V_x\right)^{\frac{n+\alpha q}n} \\ &\leq& N_{q, \alpha, M}^q, \end{eqnarray*} $

产生矛盾,所以$ \mu_j = \nu_j = 0, j\in J $,从而

$ N_{q, \alpha, M}^q = \int_{M^n}|I_\alpha f|^q {\rm d}V_x, \quad \int_{M^n} |f|^{\frac{nq}{n+\alpha q}} {\rm d}V_x = 1, $

即$ f $为一个极值函数.