Hurst指数为$ H\in (0, 1) $的分数Brown动动的严格数学定义是1940年由Kolmogorov给出的,它是指概率空间$ (\Omega, {\cal F}, P) $上满足下列条件的Gaussian过程$ \{B^H(t), t\geq 0\} $

(1) $ B^H(0) = 0 $;

(2) $ \forall t\geq 0, \, E[B^H(t)] = 0;\, $

(3) $ \forall s, \, t\geq 0, \, E[B^{H}(s)B^H(t)] = {1\over 2}\{|t|^{2H}+|s|^{2H|}-|t-s|^{2H}\} $.

由于当Hurst指数$ H\neq {1\over 2} $时,分数布朗运动不是半鞅,所以,经典的It$ \hat{\mbox{o}} $积分不再适应.迄今为止,人们已经建立了关于分数布朗运动的多种不同的随机积分定义,见文献[1-2]等.有了关于分数Brown动动的随机积分,人们就可以用这些积分来研究带分数Brown动动的随机微分方程和倒向随机微分方程.近年来,带分数Brown运动的随机微分方程在物理、金融、经济、管理等众多领域的应用越来越广泛,其理论日臻完善,所得结果数不胜数,例如文献[3-4]等. 1998年, Z$ \ddot{\mbox{a}} $hle在文献[5]中定义了一种广义Stieltjes积分,这种积分对标准Brown运动和分数Brown运动均适用.从此很多人开始用这种积分来讨论带分数Brown运动的随机微分方程或倒向随机微分方程,例如文献[6-9]等. 2008年, Guerra和Nualart在文献[8]中利用这种积分方法证明了SDE

(1.1) $ \begin{equation} X_t = X_0+\int_0^tb(s, X_s)\mbox{d}s+\int_0^t\sigma_W(s, X_s)\mbox{d}W_s+\int_0^t\sigma_H(s, X_s)\mbox{d}B_s^H, \end{equation} $

当$ b $, $ \sigma_W $, $ \sigma_H $均满足全局Lipschitz增长条件时,适应解的存在唯一性结果. 2016年,我们在文献[9]中建立了方程(1.1)当$ 0\leq t\leq T $, $ b $满足非Lipschitz条件, $ \sigma_W $不含$ x $,且$ \sigma_H $满足文献[8]中条件时,适应解的存在唯一性结果.

通常情况下,讨论随机微分方程解的存在唯一性需要Lipschitz条件,但将Lipschitz条件进行推广的文献数不胜数,如文献[10-14]. 2010年,文献[13]证明了当漂移数$ b(x) $满足非Lipschitz增长条件时,方程

(1.2) $ \begin{equation} X_t = X_0+\int_0^tb(X_s)\mbox{d}s+\int_0^t\sigma_W(X_s)\mbox{d}W_s+\int_0^t\int_{U_0}g(X_s-, z) \tilde{N}_P({\rm d}s, {\rm d}z) \end{equation} $

存在唯一适应解. 2016年,文献[14]给出了当漂移数$ b(x) $满足单侧局部Lipschitz增长条件时,方程(1.2)适应解的存在唯一性结果.

受文献[8-9, 13-14]的启发,我们给出了当$ b $, $ \sigma_W $满足局部线性增长条件时,方程(1.1)适应解的存在唯一性结果.

下面,我们介绍广义Stieltjes积分的定义及SDE(1.1)解空间的定义.

设$ (\Omega, {\cal F}, P) $是一个完备的概率空间, $ W\triangleq\{W_t, 0\leq t\leq T\} $是其上的$ d $ -维标准Brown运动, $ B^H\triangleq\{B^H_t, 0\leq t\leq T\} $是其上的Hurst指数为$ H\in ({1\over 2}, 1) $的$ d $ -维分数Brown运动,且$ X_0 $, $ W $, $ B^H $相互独立.记

$ {\mathfrak F}\triangleq \Big\{{\cal F}_t\triangleq\sigma\{X_0, B^H_s, W_s;0\leq s\leq t\}\vee {\cal N}, 0\leq t\leq T\Big\}, $

其中$ {\cal N} $表示$ {\cal F} $的所有$ P $零集.为了定义SDE的解空间,还需要一个比$ {\mathfrak F} $更大的$ \sigma $ -代数流$ {\mathfrak L}\triangleq \{{\mathfrak L}_t, 0\leq t\leq T\} $,使得:$ {\mathfrak L} $是右连续的, $ {\mathfrak L}_0 $包含$ {\cal F} $的所有$ P $零集,且$ X_0 $, $ B^H $是$ {\mathfrak L}_0 $可测的, $ W $是一个$ {\mathfrak L} $-Brown运动.又表示

$ \widehat{{\mathfrak F}}\triangleq \Big \{ \widehat{{\cal F}}_t\triangleq\sigma\{X_0, B^H, W_s;0\leq s\leq t\}\vee {\cal N}, 0\leq t\leq T\Big\}, $

显然,对任意$ 0\leq t\leq T $, $ \widehat{{\cal F}}_t\subset {\mathfrak L}_t $.

本文中,我们用$ C $表示不同的正常数.为了定义广义Stieljes积分和SDE(1.1)的解空间,需要下列记号.

$ \bullet $设$ \alpha\in (0, {1\over 2}) $是给定常数, $ f:[0, T]\to {\mathbb R}^d \mbox{是可测函数} $,记

$ \| f(t)\| _\alpha\triangleq |f(t)|+\int_0^t{{|f(t)-f(s)|}\over (t-s)^{\alpha +1}}\mbox{d}s. $

$ \bullet $对$ \alpha\in (0, {1\over 2}) $,用$ W^{\alpha, T}_0 $表示

$ W^{\alpha, T}_{0}\triangleq \bigg\{f|f:[0, T]\to {\mathbb R}^d \mbox{是可测函数}, \mbox{且} \| f\| _{\alpha, T}\triangleq \sup\limits_{t\in [0, T]}\| f(t)\| _\alpha<\infty\bigg\}. $

$ \bullet $对$ \alpha\in (0, {1\over 2}) $,用$ W^{1-\alpha, \infty}_T $表示

$ \begin{eqnarray*} W^{1-\alpha, \infty}_T&\triangleq &\bigg\{g|g:[0, T]\to {\mathbb R}^d \mbox{是可测函数}, \mbox{且}\\ &&{\quad} \| g\| _{1-\alpha, \infty;T}\triangleq \sup\limits_{0<s<t<T}\bigg[{|g(t)-g(s)|\over (t-s)^{1-\alpha}}+\int_0^t{{|g(y)-g(s)|}\over (y-s)^{2-\alpha }}\mbox{d}y\bigg]<\infty\bigg\}. \end{eqnarray*} $

$ \bullet $对$ \alpha\in (0, {1\over 2}) $,用$ W^{\alpha, 1}_0 $表示

$ \begin{eqnarray*} W^{\alpha, 1}_0&\triangleq &\bigg\{f|f:[0, T]\to {\mathbb R}^d \mbox{是可测函数}, \mbox{且} \\ &&{\quad} \| f\| _{\alpha, 1}\triangleq \int_0^T{|f(s)|\over s^{\alpha}}\mbox{d}s+\int_0^T\int_0^s{{|f(s)-f(y)|}\over (s-y)^{\alpha +1}}\mbox{d}y\mbox{d}s<\infty\bigg\}. \end{eqnarray*} $

$ \bullet $对$ \mu\in (0, 1] $,用$ C^\mu $表示$ \mu\mbox{-H}\ddot{\mbox{o}}\mbox{lde} $连续函数空间,且

$ \| f\| _\mu\triangleq \| f\| _\infty+\sup\limits_{0\leq s<t\leq T}{{|f(t)-f(s)|}\over (t-s)^{\mu}}<\infty, $

其中

$ \| f\| _\infty\triangleq \sup\limits_{0\leq t\leq T}|f(t)|. $

根据上述记号,下列性质是直接的.

引理2.1   (1)对任意$ 0<\epsilon<\alpha $,有$ C^{\alpha+\epsilon}\subset W^{\alpha, T}_{0}\subset C^{\alpha-\epsilon} $; (2)对任意$ \epsilon>0 $,有$ C^{1-\alpha+\epsilon}\subset W^{1-\alpha, \infty}_{T}\subset C^{1-\alpha} $; (3)当$ H\in ({1\over 2}, 1) $时, $ \{B^H_t, 0\leq t\leq T\} $及$ \{W_t, 0\leq t\leq T\} $的所有路径均属于$ W^{\alpha, T}_{0} $.

定义2.1  设$ f\in L^1(a, b) $, $ \alpha>0 $,称

$ I^\alpha_{a^+}f(x)\triangleq {1\over \Gamma(\alpha)}\int_0^x(x-y)^{\alpha-1}f(y)\mbox{d}y, \, \, \mbox{a.e.}\; \; x\in (a, b) $

为$ f $的$ \alpha $阶分数Riemann-Liouville左积分;称

$ I^\alpha_{b^-}f(x)\triangleq {1\over \Gamma(\alpha)}\int_x^b(y-x)^{\alpha-1}f(y)\mbox{d}y, \, \, \mbox{a.e.}\; \; x\in (a, b) $

为$ f $的$ \alpha $阶分数Riemann-Liouville右积分.

分别用$ I^\alpha_{a^+}(L^p) $, $ I^\alpha_{b^-}(L^p) $表示算子$ I^\alpha_{a^+} $, $ I^\alpha_{b^-} $作用于函数空间$ L^p(a, b) $后的像空间.在$ I^\alpha_{a^+}(L^p) $, $ I^\alpha_{b^-}(L^p) $中分别引入范数

$ \| f\| _{I^\alpha_{a^+}(L^p)}\triangleq \| f\| _{L^p}+\| D^{\alpha}_{a^+}f\| _{L^p}\sim \| D^{\alpha}_{a^+}f\| _{L^p}, $

$ \| f\| _{I^\alpha_{b^-}(L^p)}\triangleq \| f\| _{L^p}+\| D^{\alpha}_{b^-}f\| _{L^p}\sim \| D^{\alpha}_{b^-}f\| _{L^p}, $

则$ (I^\alpha_{a^+}(L^p), \| \cdot\| _{I^\alpha_{a^+}(L^p)}) $, $ (I^\alpha_{b^-}(L^p), \| \cdot\| _{I^\alpha_{b^-}(L^p)}) $均为Banach空间.

定义2.2  如果$ f\in I^\alpha_{a^+}(L^p) $,其中$ 0<\alpha <1 $, $ p\geq 1 $,定义$ f $的Weyl导数为

$ D^\alpha_{a^+}f(x)\triangleq{1\over \Gamma(1-\alpha)}\bigg({f(x)\over (x-a)^\alpha}+\alpha\int_a^x{f(x)-f(y)\over (x-y)^{\alpha+1}}\mbox{d}y\bigg)1_{(a, b)}(x), $

如果$ f\in I^\alpha_{b^-}(L^p) $,其中$ 0<\alpha <1 $, $ p\geq 1 $,定义$ f $的Weyl导数为

$ D^\alpha_{b^-}f(x)\triangleq{1\over \Gamma(1-\alpha)}\bigg({f(x)\over (b-x)^\alpha}+\alpha\int_x^b{f(y)-f(x)\over (y-x)^{\alpha+1}}\mbox{d}y\bigg)1_{(a, b)}(x). $

引理2.2^[15]  (1)如果$ \alpha <{1\over p} $, $ q = {p\over 1-\alpha p} $,那么, $ I^\alpha_{a^+}(L^p) = I^\alpha_{b^-}(L^p)\subset L^q(a, b). $

(2)如果$ \alpha >{1\over p} $,那么, $ I^\alpha_{a^+}(L^p)\cup I^\alpha_{b^-}(L^p)\subset C^{\alpha-{1\over p}}(a, b). $

(3) $ I^\alpha_{a^+}(D^\alpha_{a^+}f) = f, \, \, \forall f\in I^\alpha_{a^+}(L^p) $; $ D^\alpha_{a^+}(I^\alpha_{a^+}f) = f, \, \, \forall f\in L^1(a, b). $

(4) $ I^\alpha_{b^-}(D^\alpha_{b^-}f) = f, \, \, \forall f\in I^\alpha_{b^-}(L^p) $; $ D^\alpha_{b^-}(I^\alpha_{b^-}f) = f, \, \, \forall f\in L^1(a, b). $

记

$ f(a+)\triangleq \lim\limits_{h\to 0^+}f(a+h), \, \, f(b-)\triangleq \lim\limits_{h\to 0^+}f(b-h), $

$ f_{a^+}(x)\triangleq (f(x)-f(a+))1_{(a, b)}(x), \, \, f_{b^-}(x)\triangleq (f(x)-f(b-))1_{(a, b)}(x). $

定义2.3^[5] (广义Stieltjes积分)  设$ f $, $ g $是两个定义在$ (a, b) $上的函数,满足: (1) $ f(a+) $, $ g(a+) $, $ g(b-) $存在; (2)存在$ p, \, q\geq 1 $, $ {1\over p}+{1\over q}\leq 1 $, $ 0<\alpha <1 $,使得

$f_{a^+}\in I^\alpha_{a^+}(L^p)$, $g_{b^-}\in I^{1-\alpha}_{b^-}(L^q), $

那么, $ f $关于$ g $的广义Stieltjes积分定义为

(2.1) $ \begin{equation} \int_a^bf(x)\mbox{d}g(x)\triangleq (-1)^\alpha \int_a^bD^\alpha_{a^+}f_{a^+}(x)D^{1-\alpha}_{b^-}g_{b^-}(x)\mbox{d}x+f(a+)[g(b-)-g(a+)]. \end{equation} $

特别地,如果$ \alpha p<1 $,因为$ f\in I^\alpha_{a^+}(L^p) $,所以

(2.2) $ \begin{equation} \int_a^bf(x){\rm d}g(x) = (-1)^\alpha \int_a^bD^\alpha_{a^+}f_{a^+}(x)D^{1-\alpha}_{b^-}g_{b^-}(x)\mbox{d}x. \end{equation} $

由文献[5]知:如果$ f\in C^\lambda(a, b) $, $ g\in C^\mu(a, b) $,且$ \lambda+\mu>1 $,则存在$ 1-\mu<\alpha<\lambda $,使得$ \int_a^bf(x){\rm d}g(x) $存在,满足(2.2)式,且它与普通Stieltjes积分是一致的.

由广义Stieltjes积分的定义直接得到下列结论成立.

引理2.3   (1)如果$ f\in W^{\alpha, 1}_{0} $, $ g\in W^{1-\alpha, \infty}_{T} $,那么,对任意$ t\in [0, T] $, $ \int_0^tf{\rm d}g $存在,且

(2.3) $ \begin{equation} \bigg|\int_0^tf\mbox{d}g\bigg|\leq \Lambda_{\alpha} (g)\| f\| _{\alpha, 1}, \end{equation} $

其中

$ \Lambda_{\alpha} (g) \triangleq {1\over \Gamma (1-\alpha)}\sup\limits_{0<s<t<T} |(D^{1-\alpha}_{t^-}g_{t^-})(s)| \leq {1\over \Gamma (1-\alpha)\Gamma(\alpha)}\| g\| _{1-\alpha, \infty;T}. $

本文中,我们对$ b $, $ \sigma_W $, $ \sigma_H $的假设如下.

(H1) (局部线性增长条件)  设$ b $, $ \sigma_W $在$ [0, T]\times {\mathbb R}^d $上可测,且对任意$ R>0 $,存在对应的常数$ M_R>0 $,使得$ \forall \, t\in [0, T], x\in {\mathbb R}^d $,当$ |x|\leq R $时,有

(2.4) $ \begin{equation} |b(t, x)|^2+\| \sigma_W(t, x)\| ^2 \leq M_R[1+|x|^2]. \end{equation} $

(H2) $ \sigma_H(t, x) $在$ [0, T]\times {\mathbb R}^d $上连续,关于$ x $连续可微,且存在常数$ C>0 $, $ 0<\delta , \, \beta \leq 1 $,使得对任意$ (t, x)\in [0, T]\times {\mathbb R}^d $,有

$ \partial_{x_i}\sigma_H(t, x)\leq C, |\partial_{x_i}\sigma_H(t, x)-\partial_{x_i}\sigma_H(t, y)|\leq C|x-y|^\delta, $

$ |\sigma_H(t, x)-\sigma_H(s, x)|+|\partial_{x_i}\sigma_H(t, x)-\partial_{x_i}\sigma_H(s, x)|\leq C|t-s|^\beta . $

定义2.4  用$ H^2_{\mathfrak L}[0, T] $表示满足下列条件的$ d $ -维随机过程$ X = \{X_t, 0\leq t\leq T\} $的全体.

(1) $ X $是$ {\mathfrak L} $ -适应过程;

(2) $ X $的几乎所有路径属于$ W^{\alpha, T}_{0} $,且满足

$ \int_0^TE^W(\| X(s)\| _\alpha ^2)\mbox{d}s<\infty, $

其中, $ E^W(X) $表示条件期望$ E[X|\widehat{{\cal F}}_0]. $

由文献[8,定理2.2],下列结论成立.

引理2.4  如果$ b, \, \sigma_W $满足全局Lipschitz条件及全局线性增长条件, $ \sigma_H $满足条件(H2), $ 1-H<\alpha <\mbox{min}({1\over 4}, \beta, {\delta\over 2}) $成立,且存在常数$ B>0 $,使得$ \, \, \, E^W[|X_0|^2]\leq B, \, \, $则方程(1.1)存在唯一解$ X\in H^2_{{\mathfrak L}}[0, T] $,且对任意$ \eta <{1\over 2} $, $ X $的所有路径是$ \eta $-Hölder连续的.

我们的主要结论为如下定理.

定理2.1  如果条件(H1)–(H2)及$ 1-H<\alpha <\mbox{min}({1\over 4}, \beta, {\delta\over 2}) $成立,且存在常数$ B>0 $,使得$ \, \, \, E^W[|X_0|^2]\leq B, \, \, $则方程(1.1)存在解$ X\in H^2_{\mathfrak L}[0, T] $.

定理2.2  如果$ b, \, \sigma_W $满足局部Lipschitz条件, (H2)及$ 1-H<\alpha <\mbox{min}({1\over 4}, \beta, {\delta\over 2}) $成立,则方程(1.1)如果在$ H^2_{\mathfrak L}[0, T] $中有解,则解必唯一.

在证明主要结论前,我们需要引入几个引理.

引理3.1  设$ \alpha\in (0, {1\over 2}) $,对任意可测函数$ f:[0, T]\to {\mathbb R}^d $,记$ F_t(f)\triangleq \int_0^tf(s){\rm d}s $, $ t\in [0, T] $,则有

$ |F_t(f)|+\int_0^t{|F_t(f)-F_s(f)|\over (t-s)^{\alpha+1}}\mbox{d}s \leq C_{\alpha, T} \int_0^t{|f(s)|\over {(t-s)^\alpha}}\mbox{d}s. $

证  见文献[6,命题4.3].

引理3.2  如果条件(H2)成立,且$ 1-H<\alpha<\mbox{min}({1\over 2}, \beta) $, $ f, \, g\in W^{\alpha, T}_{0} $,那么

$ \bigg\| \int_0^t\sigma_H(s, f(s))\mbox{d}B^H_s\bigg\| _\alpha\leq C\Lambda_\alpha(B^H)\int_0^t((t-s)^{- 2\alpha}+s^{-\alpha}))(1+\| f(s)\| _\alpha )\mbox{d}s $

且

$ \begin{eqnarray*} &&\bigg\| \int_0^t\sigma_H(s, f(s))\mbox{d}B^H_s-\int_0^t\sigma_H(s, g(s))\mbox{d}B^H_s\bigg\| _\alpha\\ \\ &\leq& C\Lambda_\alpha(B^H)\int_0^t((t-s)^{-2\alpha}+s^{-\alpha})(1+\Delta f(s)+\Delta g(s))\| f(s)-g(s)\| _\alpha \mbox{d}s, \end{eqnarray*} $

其中

$ \Delta f(s) \triangleq \int_0^s{|f(s)-f(r)|^\delta\over (s-r)^{\alpha+1}}\mbox{d}r. $

证  见文献[8]的命题3.5与命题3.6.

引理3.3  设$ u = \{u(t), t\in [0, T]\} $是一个$ d\times d $ -维$ {\mathfrak L} $ -适应过程,且满足

$ \int_0^TE^W[|u(s)|^2]\mbox{d}s<\infty, $

那么,对任意$ t\in [0, T] $, a.s.意义下有

$ E^W\bigg[\bigg\| \int_0^tu(s)\mbox{d}W_s\bigg\| _\alpha^2\bigg]\leq C\int_0^t(t-s)^{-{1\over 2}-\alpha} E^W\big[|u(s)|^2\big]\mbox{d}s. $

证  见文献[88,命题3.7].

引理3.4  设$ 0\leq \alpha <1, \, C_1, \, C_2\geq 0 $, $ x:[0, \infty)\to [0, \infty) $是一个连续函数,且对任意$ t\geq 0 $,有

$ x_t\leq C_1+C_2t^\alpha \int_0^t(t-s)^{-\alpha}s^{-\alpha}x_s{\rm d}s, $

那么,必有

$ x_t\leq C_1\Gamma(1-\alpha)\sum\limits_{n = 0}^\infty{(C_2\Gamma(1-\alpha)t^{1-\alpha})^n\over \Gamma\big((n+1)(1-\alpha)\big)}\leq C_1d_\alpha {\rm exp}[c_\alpha tC_2^{1\over (1-\alpha)}], $

其中, $ c_\alpha, \, d_\alpha $是仅依赖于$ \alpha $的正常数.

证  见文献[6,引理7.6].

设$ j\in C^\infty_c({\mathbb R}^d) $是一个在$ {\mathbb R}^d $的单位球$ B(0, 1) $上有紧支集的光滑函数,且满足$ \int_{{\mathbb R}^d}j(z){\rm d}z = 1 $.对任意$ k\geq 1 $,定义

$ b^k(s, x) = \int_{{\mathbb R}^d}b(s, x-zk)j(z){\rm d}z, \, \sigma_W^k(s, x) = \int_{{\mathbb R}^d}\sigma_W(s, x-zk)j(z){\rm d}z. $

引理3.5  如果$ b(t, x), \, \, \sigma_W(t, x) $在$ [0, T]\times {\mathbb R}^d $上是有界的,即

$ |b(t, x)|+\| \sigma_W(t, x)\| \leq M, \, \, \forall\, x\in {\mathbb R}^d, \, t\in \, [0, T], $

则$ b^k, \, \sigma^k $满足全局Lipschitz条件.

证  对任意$ x, \, y\in {\mathbb R}^d $,有

(3.1) $ \begin{eqnarray} |b^k(s, x)-b^k(s, y)|& = &\bigg|\int_{{\mathbb R}^d}b(s, x-zk)j(z){\rm d}z-\int_{{\mathbb R}^d}b(s, y-zk)j(z){\rm d}z\bigg|{}\\ &\leq& {1\over k^d}\int_{{\mathbb R}^d}|b(s, w)|\bigg|j({(x-w)\over k})-j({(y-w)\over k})\bigg|{\rm d}w{}\\ &\leq &{1\over k^{d+1}}M|x-y|\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|\bigtriangledown j(w) |{\rm d}w{}\\ &\leq& M|x-y|\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|\bigtriangledown j(w)|{\rm d}w, \end{eqnarray} $

所以$ b^k $满足全局Lipschitz条件.同理可证$ \sigma^k $满足全局Lipschitz条件.

考虑SDE

(3.2) $ \begin{equation} X_t^k = X_0+\int_0^tb^k(s, X^k_s)\mbox{d}s+\int_0^t\sigma_W^k(s, X^k_s)\mbox{d}W_s+\int_0^t\sigma_H(s, X^k_s)\mbox{d}B_s^H. \end{equation} $

引理3.5证毕.

引理3.6  如果$ b(t, x), \, \, \sigma_W(t, x) $在$ [0, T]\times {\mathbb R}^d $上是有界,条件(H3)成立, $ 1-H<\alpha <\mbox{min}({1\over 4}, \beta, {\delta\over 2}) $,且存在常数$ B>0 $,使得$ \, \, \, E^W[|X_0|^2]\leq B, $由引理2.4知方程(3.2)存在唯一解$ \{X_t^k, t\geq 0\}\in H^2_{\mathfrak L}[0, T] $.现设$ \{X_t^k, t\geq 0\} $是方程(3.2)的唯一解,则存在与$ k $无关的常数$ b $,使得

$ \sup\limits_{[[0, T]]}E^W[\| X^k(t)\| _\alpha^2]\leq b. $

证  因为

$ X^k_t = X_0+\int_0^tb^k(s, X^k_s)\mbox{d}s+\int_0^t\sigma_W^k(s, X^k_s)\mbox{d}W_s+\int_0^t\sigma_H(s, , X^k_s)\mbox{d}B^H_s, $

则

(3.3) $ \begin{eqnarray} E^W[\|X^k_t\|_\alpha^2]&\leq &C \bigg\{E^W[ |X_0|^2]+E^W\bigg[\bigg\| \int_0^tb^k(s, , X^k_s)\mbox{d}s\bigg\| _\alpha^2\bigg]{}\\ &&+E^W\bigg[\bigg\| \int_0^t\sigma^k_W(s, X^k_s)\mbox{d}W_s\bigg\| _\alpha^2\bigg] +E^W\bigg[\bigg\| \int_0^t\sigma_H(s, , X^k_s)\mbox{d}B^H_s\bigg\| _\alpha^2\bigg]\bigg\}. \end{eqnarray} $

由引理3.3得

(3.4) $ \begin{equation} E^W\bigg[\bigg\| \int_0^t\sigma_W^k(s, X^k_s)\mbox{d}W_s\bigg\| _\alpha^2\bigg]\leq C, \end{equation} $

又由引理3.2有

$ \begin{eqnarray*} \bigg\| \int_0^t\sigma_H(s, X^k_s)\mbox{d}B^H_s\bigg\| _\alpha&\leq& C\Lambda_\alpha(B^H)\int_0^t((t-s)^{-2\alpha}+s^{-\alpha})(1+\| X^k_s\| _\alpha)\mbox{d}s\\ &\leq & C+C\int_0^t((t-s)^{-2\alpha}+s^{-\alpha})\|X^k_s\|_\alpha \mbox{d}s, \end{eqnarray*} $

故

(3.5) $ \begin{equation} \bigg\| \int_0^t\sigma_H(s, X^k_s)\mbox{d}B^H_s\bigg\| ^2_\alpha\leq C+C\int_0^t((t-s)^{-{1\over 2}-\alpha}+s^{-\alpha})\|X^k_s\|^2_\alpha \mbox{d}s. \end{equation} $

由引理3.1知

(3.6) $ \begin{equation} \bigg\| \int_0^tb^k(s, X_s)\mbox{d}s\bigg\| _\alpha\leq C\int_0^t{|b^k(s, X_s)|\over (t-s)^\alpha }\mbox{d}s\leq C. \end{equation} $

从而由(3.3)–(3.6)式知

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_{s\in [0, t]} E^W[\| X^k(s)\| _\alpha^2]&\leq& C+ C\int_0^t ((t-s)^{-{1\over 2}-\alpha}+s^{-\alpha}) \sup\limits_{r\in [0, s]} E^W[\| X^k(r)\| _\alpha^2]\mbox{d}s\\ &\leq & C+ C\int_0^t (t-s)^{{1\over 2}({-{1\over 2}-\alpha})}s^{-{\alpha\over 2}}\sup\limits_{r\in [0, s]} E^W[\| X^k(r)\| _\alpha^2]\mbox{d}s\\ &\leq& C+ C\int_0^t (t-s)^{-{1\over 4}-\alpha}(t-s)^{\alpha\over 2}s^{-\alpha}s^{\alpha\over 2}\sup\limits_{r\in [0, s]} E^W[\| X^k(r)\| _\alpha^2]\mbox{d}s\\ &\leq& C+ Ct^{\alpha+{1\over 4}}\int_0^t (t-s)^{-{1\over 4}-\alpha}s^{-\alpha-{1\over 4}}\sup\limits_{r\in [0, s]} E^W[\| X^k(r)\| _\alpha^2]\mbox{d}s. \end{eqnarray*} $

由引理3.4的Gronwall不等式得

$ \sup\limits_{t\in [0, T]}E^W[\| X^k(t)\| _\alpha^2]\leq b. $

引理3.6证毕.

引理3.7  设方程(1.1)的系数满$ b(t, x), \, \, \sigma_W(t, x) $在$ [0, T]\times {\mathbb R}^d $上有界,条件(H2)成立, $ 1-H<\alpha <\mbox{min}({1\over 4}, \beta, {\delta\over 2}) $,且存在常数$ B>0 $,使得$ \, \, \, E^W[|X_0|^2]\leq B, $则方程(1.1)存在解$ X\in H^2_{\mathfrak L}[0, T] $.

证  设$ \{X_t^k, t\geq 0\} $是方程(3.2)的解,我们将证明存在一个过程$ \{X_t, t\geq 0\}\in H^2_{\mathfrak L}[0, T] $,使得对任意$ t\in [0, T] $,当$ k\to \infty $时,均有$ X_t^k\to X_t\, \, (a.s.) $,且$ \{X_t, t\geq 0\} $是方程(1.1)的解.

事实上,对任意$ k, \, l\geq 1 $,有

$ \begin{eqnarray*} X_t^k-X_t^l& = &\int_0^t[b^k(s, X^k_s)-b^l(s, X^l_s)]\mbox{d}s+\int_0^t[\sigma_W^k(s, X^k_s)-\sigma_W^l(s X^l_s)]\mbox{d}W_s \\ &&+\int_0^t[\sigma_H(s, X^k_s)-\sigma_H(s, X^l_s)]\mbox{d}B_s^H, \end{eqnarray*} $

则

$ \begin{eqnarray*} \| X_t^k-X_t^l\| ^2_\alpha&\leq &3\bigg\{\bigg\| \int_0^t[b^k(s, X^k_s)-b^l(s, X^l_s)]\mbox{d}s \bigg\| ^2_\alpha+\bigg\| \int_0^t[\sigma_W^k(s, X^k_s)-\sigma_W^l(s X^l_s)]\mbox{d}W_s\bigg\| ^2_\alpha \\ &&+\bigg\| \int_0^t[\sigma_H(s, X^k_s)-\sigma_H(s, X^l_s)]\mbox{d}B_s^H\bigg\| ^2_\alpha\bigg\}. \end{eqnarray*} $

又因为

$ \begin{eqnarray*} |b^k(s, X^k(s))-b^l(s, X^l(s))| & = &\bigg|\int_{{\mathbb R}^d}b(s, X^k(s)-zk)j(z){\rm d}z-\int_{{\mathbb R}^d}b(s, X^l(s)-zl)j(z){\rm d}z\bigg| \\ & = &\bigg |\int_{{\mathbb R}^d}\bigg\{{1\over k^d}b(s, w)j({X^k(s)-w\over k})-{1\over l^d}b(s, w)j({X^l(s)-w\over l})\bigg\}{\rm d}w\bigg|\\ &\leq& M\int_{{\mathbb R}^d}\bigg|{1\over k^d}j({X^k(s)-w\over k})-{1\over l^d}j({X^k(s)-w\over k})\bigg|{\rm d}w\\ &&+M\int_{{\mathbb R}^d}\bigg|{1\over l^d}j({X^k(s)-w\over k})-{1\over l^d}j({X^l(s)-w\over l})\bigg|{\rm d}w\\ &\leq& M\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d}\bigg|\int_{{\mathbb R}^d}|j({X^k(s)-w\over k})|{\rm d}w\\ &&+M{1\over l^d}\int_{{\mathbb R}^d}\bigg|j({X^k(s)-w\over k})-j({X^l(s)-w\over l})\bigg|{\rm d}w \\ &\leq& M\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d}\bigg|\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w+2M{1\over l^d}\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w\\ & = &\bigg[\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d}\bigg|+{2\over l^d}\bigg]M\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w, \end{eqnarray*} $

同理

$ \begin{eqnarray*} |\sigma^k(s, X^k(s))-\sigma^l(s, X^l(s))|& = &\bigg|\int_{{\mathbb R}^d}\sigma(s, X^k(s)-zk)j(z){\rm d}z-\int_{{\mathbb R}^d}\sigma(s, X^l(s)-zl)j(z){\rm d}z\bigg| \\ &\leq& \bigg[\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d}\bigg|+{2\over l^d}\bigg]M\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w, \end{eqnarray*} $

再由引理3.2,引理3.6及文献[8]的引理4.3得

$ \bigg\| \int_0^t[\sigma_H(s, X^k_s)-\sigma_H(s, X^l_s)]\mbox{d}B_s^H\bigg\| ^2_\alpha \leq C\int_0^t\psi(s, t) \| X^k(s)-X^l(s)\| ^2_\alpha {\rm d}s. $

其中, $ \psi(s, t) = (t-s)^{-{1\over 2}-\alpha}+s^{-\alpha}. $从而有

$ \begin{eqnarray*} E^W[\| X_t^k-X_t^l\| ^2_\alpha]&\leq& C\bigg\{\bigg[\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d}\bigg|+{2\over l^d}\bigg]^2M^2 \bigg(\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w\bigg)^2 \\ &&+\int_0^t\psi(s, t) E^W(\| X^k(s)-X^l(s\| ^2_\alpha){\rm d}s\bigg\}, \end{eqnarray*} $

因此,得到

$ \begin{eqnarray*} \sup\limits_{s\leq t}E^W[\| X_s^k-X_s^l\| ^2_\alpha]&\leq& C\bigg\{\bigg[\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d} \bigg|+{2\over l^d}\bigg]^2M^2\bigg(\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w\bigg)^2 \\ &&+\int_0^t\psi(s, t)\sup\limits_{r\leq s}E^W(\| X^k(r)-X^l(r)\| ^2_\alpha){\rm d}s\bigg\}, \end{eqnarray*} $

由引理3.4的Gronwall不等式得

$ \sup\limits_{s\leq t}E^W(\| X_s^k-X_s^l\| _\alpha^2)\leq C\bigg[\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d}\bigg| +{2\over l^d}\bigg]^2M^2\bigg(\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w\bigg)^2\bigg]. $

进一步有

$ \sup\limits_{s\in [[0, t]]}E^W(\| X_s^k-X_s^l\| _\alpha^2)\leq C\bigg[\bigg|{1\over k^d}-{1\over l^d}\bigg| +{2\over l^d}\bigg]^2M^2\bigg(\int_{{\mathbb R}^d}\sup\limits_{w\in {\mathbb R}^d}|j(w)|{\rm d}w\bigg)^2\bigg]. $

因而

$ \lim\limits_{k\to \infty, l\to \infty}\sup\limits_{s\in [[0, t]]}E^W(\| X_s^k-X_s^l\| _\alpha^2) = 0, $

所以,存在$ X\in H^2_{\mathfrak L}[0, T] $,使得

$ \lim\limits_{k\to \infty}\sup\limits_{s\in [[0, t]]}E^W(\| X_s^k-X_s\| _\alpha^2) = 0. $

易证$ X $为方程(1.1)的解.

引理3.8  设方程(1.1)的系数$ b $, $ \sigma_W $是局部有界的,即:对任意$ R>0 $,存在对应的常数$ M_R>0 $,使得对任意$ t\in [0, T], x\in {\mathbb R}^d $,当$ |x|\leq R $时,有

(3.7) $ \begin{equation} |b(t, x)|^2+\| \sigma_W(t, x)\| ^2\leq M^2_R, \end{equation} $

那么,对任意$ R>0 $,存在函数$ b_R: {\mathbb R}^d\mapsto {\mathbb R}^d $, $ \sigma_{W, R}: {\mathbb R}^d\mapsto {\mathbb R}^{d\times d} $满足下列性质

(i)对任意$ x\in {\mathbb R}^d $,当$ |x|<R $时,有

$ b_R(x) = b(x), \, \, \sigma_{W, R}(x) = \sigma_{W}(x); $

(ii) $ b_R, \, \, \sigma_{W, R} $是全局有界的.

证  类似于文献[14,引理4]的方法,对任意$ R>0 $,先定义下列函数$ \eta_R(x) $: $ \eta_R(x) $是一个非负光滑函数,在$ {\mathbb R}^d $上有紧支集,即$ \eta_R\in C^\infty_c({\mathbb R}^d) $,且满足

$ \eta_R(x)\left\{ \begin{array}{cc}\leq 1, \, \, \forall\, x\in {\mathbb R}^d, \quad \\ = 1, \, \, \forall\, |x|\leq R, \mbox{} \quad \\ = 0, \, \, \forall\, |x|> R+1. \end{array}\right. $

然后,我们定义

$ b_R(x) = b(x)\eta_R(x), \, \, \sigma_{W, R}(x) = \sigma_{W}(x)\eta_R(x). $

显然, $ b_R(x), \, \sigma_{W, R}(x) $满足引理3.8的(i)和(ii).

定理2.1的证明  因为$ b $, $ \sigma_W $是局部线性增长的,则必是局部有界的.由引理3.7和引理3.8知:对任意自然数$ n\geq 1 $,存在$ \{X^n(t), \, t\in [0, T]\} $是下列方程的解

(3.8) $ \begin{equation} X_t^n = X_0+\int_0^tb_n(s, X^n_s)\mbox{d}s+\int_0^t\sigma_{W, n}(s, X^n_s)\mbox{d}W_s+\int_0^t\sigma_{H}(s, X^n_s)\mbox{d}B_s^H. \end{equation} $

定义停时序列$ \{\tau_n\} $如下:对任意$ n\geq 1 $,有

$ \tau_n = \inf\{t>0, \, \, |X^n(t)|\geq n\}. $

由定义知$ \{\tau_n\} $是单调递增的,即当$ m\leq n $时,有$ \tau_m\leq \tau_n $.因而,存在停时$ \tau $,使得

$ \lim\limits_{n\to \infty}\tau_n = \tau $

且

$ X_t\triangleq \lim\limits_{n\to \infty}X^n_t, \, \, \, \mbox{a.s.} \mbox{在}\, \, [0, \tau]\mbox{上有意义}, $

并且有

(3.9) $ \begin{align} X_{t\wedge \tau_n}& = X^n_{t\wedge \tau_n}{}\\ & = &X_0+\int_0^{t\wedge \tau_n}b(s, X_s)\mbox{d}s+\int_0^{t\wedge \tau_n}\sigma_W(s, X_s)\mbox{d}W_s+\int_0^{t\wedge \tau_n}\sigma_H(s, X_s)\mbox{d}B_s^H. \end{align} $

如能证明$ \tau = \infty \, \, ({\rm a.s.}) $,则结论得证.事实上,由(3.9)式类似于引理3.6知

$ E^W(\| X_{t\wedge \tau_n}\| _\alpha^2)\leq C, $

从而有

$ E(|X_{t\wedge \tau_n}|^2)\leq C. $

另一方面,因为

$ \begin{eqnarray*} E(|X_{t\wedge \tau_n}|^2)& = &E[|X_{t\wedge \tau_n}|^21_{\tau_n<t}]+E[|X_{t\wedge \tau_n}|^21_{\tau_n\geq t}] \\ & = &E[|X_{\tau_n}|^21_{\tau_n<t}]+E[|X_{t}|^21_{\tau_n\geq t}]\geq E[|X_{\tau_n}|^21_{\tau_n<t}], \end{eqnarray*} $

由$ |X_{\tau_n}|\geq n $得

$ n^2P(\tau_n<t)\leq E(|X_{t\wedge \tau_n}|^2), $

所以

$ \tau_n \to \infty\, \, (\mbox{依概率}). $

故$ \tau = \infty\, \, ({\rm a.s.}) $.证毕. \hfill\rule{0.8mm}{3.5mm}

定理2.2的证明  由于文献[8]中唯一性的证明使用的是局部化方法,因此,其过程完全适合我们的情形,这里就不重复了.

随机微分方程存在唯一性理论一直是随机微分方程的主要研究内容,而经典随机微分方程存在唯一性理论的研究是在布朗运动环境中进行的,在更广泛的环境中研究存在唯一性理论有重要的理论价值和实际应用价值. Zähle, Nualart, Rǎscanu, Maticiuc, Nie, Răscanu, Guerra, Nualart等一大批研究者对广义Stieltjes积分在随机微分方程和倒向随机微分方程中的应用做了大量基础性的工作.本文在这些研究成果的基础上,对具有Hurst指数$ H\in (0, {1\over 2}) $的分数布朗运动驱动的随机微分方程进行了研究,得到了下列结果.

1)当Hurst指数$ H>{1\over 2} $且适当接近1时,一类带分数Brown运动且系数局部线性增长的随机微分方程解的存在性定理;

2)当Hurst指数$ H>{1\over 2} $且适当接近1时,一类带分数Brown运动且系数满足局部Lipschitz条件的随机微分方程解的唯一性定理.

值得一提的是,近年来,我们所讨论的带分数Brown运动的SDE(1.1)已经被广泛使用在经济、金融、物理、控制等学科的建模中,如文献[16-17]等,我们的结果放宽了对系数的限制,从而拓展了应用范围.

本文需进一步研究的问题如下.

1)在我们的结果中,都有Hurst指数$ H $适当接近1这一限制,如何将结论推广到$ H\in (0, {1\over 2}) $中去,这是我们下一步将考虑的一个问题;

2)将方程推广为由带分数Brown运动和Poisson补偿过程共同驱动的SDE的情形;

3)可否建立相应的BSDE理论;

4)将我们所得的存在唯一性理论合理地运用于实际问题,以便更好地解决实际问题,这是我们下一步需要做的一项十分有意义的工作.