近年来,自Kermack和McKendrick等人开展工作以来,数学模型在描述传染病行为以及提供有效的控制措施上发挥了重要作用,参见文献[1-3].一些传染病拥有暂时性或永久性免疫力,这些疾病可以通过SIR或SIRS模型来模拟,参见文献[4-6].而其他一些疾病,康复后的个体可能会随着潜在感染而复发,并重新成为感染者,这些疾病可以通过SIRI模型来模拟,其中, S是易感者, I是感染者, R是恢复者.在这种模型中,易感者变成感染者,然后一部分感染者获得暂时的免疫力后移除感染者类，但过后又变得具有传染性.疾病的复发是人类疾病的一个重要特征,例如,人和牛的结核病和疱疹,参见文献[7-9].在文献[7]中, Blower考虑了生殖器疱疹的分区模型,并假设疾病传播的标准发生率和固定的输入率.在文献[9]中, Tudor建立了双线性发生率与总人口数不变的复发性流行病模型.确定性SIRI流行病模型可以表示如下,参见文献[10]

(1.1) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{lll} \dot{S} = \mu-\mu S-\beta SI, \\ \dot{I} = \beta SI-(\lambda+\mu)I+\gamma R, \\ \dot{R} = \lambda I-(\mu+\gamma)R, \end{array}\right. \end{align} $

其中,参数$ \beta $是疾病的传播系数; $ \mu $是与出生和转移相对应的易感者的输入率,我们假定这等于人口的自然死亡率; $ \lambda $表示感染者的恢复率; $ \gamma $表示非传染性个体恢复到感染状态的比率.系统(1.1)所涉及的所有参数都是正常数.参数

$ {\cal R}_{0} = \frac{\beta}{\lambda+\mu-\frac{\lambda\gamma}{\mu+\gamma}} $

是系统(1.1)的基本再生数,是易感人群中的单个传染性个体二次传播的平均数.系统(1.1)已在文献[10]中被Vargas-De-León研究.作者根据阈值$ {\cal R}_{0} $,给出了疾病的动力学行为.

$ \bullet $如果$ {\cal R}_{0}<1 $,系统(1.1)有唯一的无病平衡点$ E_{0} = (1, 0, 0) $,且这个点是全局渐近稳定的.

$ \bullet $如果$ {\cal R}_{0}>1 $,除了无病平衡点$ E_{0} $,系统(1.1)还有唯一的正平衡点$ E^{*}(S^{*}, I^{*}, R^{*}) $,其中

$ S^{*} = \frac{1}{{\cal R}_{0}}, \; I^{*} = \frac{\mu}{\beta}({\mathcal R}_{0}-1), \; R^{*} = \frac{\mu\lambda}{\beta(\mu+\gamma)}({\mathcal R}_{0}-1), $

而且$ E^{*} $是全局渐近稳定的.

然而,由于环境噪声的存在,系统(1.1)所涉及的参数不是绝对不变的常数,由于环境的持续波动,它们总是在一些平均值附近波动.因此,有必要考虑流行病模型的随机性.迄今为止,各种类型的随机SIS, SIRS模型都已经被研究,参见文献[11-14],例如,文献[11]的Gray等人建立了具有固定人口规模的随机SIS流行病模型,他们证明了正解的存在唯一性并且还为该疾病在人口中的灭绝性和持久性建立了条件.文献[12]的林等人研究了一类具有免疫接种的随机SIS流行病模型,他们证明了在适当的条件下,解的分布密度在$ L^{1} $里可以收敛到一个不变密度,并且他们还发现了不变密度的支撑条件.文献[13]的Lahrouz等人通过干扰传播速率$ \beta $,将环境噪声引入具有饱和发病率的SIRS流行病模型,他们对概率1和$ p $阶矩的渐近稳定性进行了详细的分析.考虑到环境随机波动的影响,我们采用了Gray等人使用的方法,参见文献[11].我们假设环境波动主要表现为参数$ \beta $的波动,即

$ \beta\rightarrow\beta+\sigma\dot{B}(t). $

因此, $ \beta {\rm d}t\rightarrow\beta {\rm d}t+\sigma {\rm d}B(t) $,其中$ (B(t), t\geq0) $是一维标准布朗运动且$ B(0) = 0 $, $ \sigma>0 $是白噪声的标准差.则对应于系统(1.1)的随机模型可表示如下

(1.2) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{lll} {\rm d}S(t) = [\mu-\mu S(t)-\beta S(t)I(t)]{\rm d}t-\sigma S(t)I(t){\rm d}B(t), \\ {\rm d}I(t) = [\beta S(t)I(t)-(\lambda+\mu)I(t)+\gamma R(t)]{\rm d}t+\sigma S(t)I(t){\rm d}B(t), \\ {\rm d}R(t) = [\lambda I(t)-(\mu+\gamma)R(t)]{\rm d}t. \end{array}\right. \end{align} $

然而,众所周知的是,常系数确定性模型并不符合实际情况,当他们预测疾病的阻尼振荡时,它们可以接近稳定的平衡状态.传染病传播系数的季节波动表明,相应的模型可能有周期解.因此,研究流行病模型中非平凡正周期解的存在性是很有意义的,参见文献[15-21].据我们所知,对于具有复发的随机SIRI流行病模型,没有任何与非平凡正周期解的存在性有关的结果.因此,在本文中,我们尝试在这一领域做一些工作,以填补这一空白.

事实所驱,我们假定系统(1.2)中的所有系数都是正$ T $周期连续函数,可以表示如下

(1.3) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{lll} {\rm d}S(t) = [\mu(t)-\mu(t)S(t)-\beta(t)S(t)I(t)]{\rm d}t-\sigma(t)S(t)I(t){\rm d}B(t), \\ {\rm d}I(t) = [\beta(t)S(t)I(t)-(\lambda(t)+\mu(t))I(t)+\gamma(t)R(t)]{\rm d}t+\sigma(t)S(t)I(t){\rm d}B(t), \\ {\rm d}R(t) = [\lambda(t)I(t)-(\mu(t)+\gamma(t))R(t)]{\rm d}t. \end{array}\right. \end{align} $

当然,系统(1.3)可以简化为以下系统

(1.4) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{lll} {\rm d}I(t) = [\beta(t)S(t)I(t)-(\lambda(t)+\mu(t))I(t)+\gamma(t)R(t)]{\rm d}t+\sigma(t)S(t)I(t){\rm d}B(t), \\ {\rm d}R(t) = [\lambda(t)I(t)-(\mu(t)+\gamma(t))R(t)]{\rm d}t, \end{array}\right. \end{align} $

其中$ S = 1-I-R $, $ \Gamma_{0} = \{(I, R)\in{\mathbb R}_{+}^{2}:I+R<1\} $是系统(1.4)的正不变集.

本文的其余部分按以下方式组织.在第2节,我们介绍了一些需要用到的结果.在第3节,我们证明了在任意正初值下,系统(1.4)正解的存在唯一性.在第4节,我们给疾病的灭绝性建立了充分的条件.在第5节,我们证明了系统(1.4)至少存在一个周期为$ T $的非平凡正解.在第6节,我们给出了两个例子和一些数据来证明我们主要结果的有效性.最后,我们总结了一些结论并提出未来的发展方向.

贯穿全文,除非另有说明,令$ (\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0}, {\mathbb P}) $表示带$ \{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0} $流一般条件(当$ {\cal F}_{0} $包含所有的$ {\mathbb P} $空集时$ \{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0} $是右连续且递增的)的完备概率空间.另外,令$ B(t) $是定义在完备概率空间和$ {\mathbb R}_{+}^{d} = \{(x_{1}, \cdots, x_{d})\in{\mathbb R}^{d}:x_{i}>0, i = 1, \cdots, d\} $上的标准布朗运动.为简单起见,我们首先给出一些符号.如果$ f(t) $是定义在$ [0, \infty) $上的积分函数,定义

$ \langle f\rangle_{t} = \frac{1}{t}\int_{0}^{t}f(s){\rm d}s, {\quad} t>0. $

如果$ f(t) $在$ [0, \infty) $是一个有界函数,定义

$ { } f^{l} = \inf\limits_{t\in[0, \infty)}f(t){\quad} \mbox{且}{\quad} f^{u} = \sup\limits_{t\in[0, \infty)}f(t). $

通常情况下,对任意的$ t\geq t_{0} $,考虑$ d $维的随机微分方程

(2.1) $ \begin{equation} {\rm d}x(t) = f(x(t), t){\rm d}t+g(x(t), t){\rm d}B(t), \end{equation} $

其中初值$ x(0) = x_{0}\in{\mathbb R}^{d} $,且$ B(t) $是定义在完备概率空间$ (\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_{t}\}_{t\geq0}, {\mathbb P}) $上的$ n $维标准布朗运动.用$ C^{2, 1}({\mathbb R}^{d}\times[t_{0}, \infty);{\mathbb R}_{+}) $表示所有定义在$ {\mathbb R}^{d}\times[t_{0}, \infty) $上的非负函数族$ V(x, t) $,使它们对$ x $连续二阶可微,对$ t $一阶可微,那么,方程(2.1)的拉普拉斯微分算子定义如下,参见文献[22]

$ L = \frac{\partial}{\partial t}+\sum\limits_{i = 1}^{d}f_{i}(x, t)\frac{\partial}{\partial x_{i}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j = 1}^{d}[g^{T}(x, t)g(x, t)]_{ij}\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}. $

如果拉普拉斯微分算子作用于$ V\in C^{2, 1}({\mathbb R}^{d}\times[t_{0}, \infty];{\mathbb R}_{+}) $,那么

$ LV(x, t) = V_{t}(x, t)+V_{x}(x, t)f(x, t)+\frac{1}{2}trace[g^{T}(x, t)V_{xx}(x, t)g(x, t)], $

其中$ V_{t} = \frac{\partial V}{\partial t} $, $ V_{x} = (\frac{\partial V}{\partial x_{1}}, \cdots, \frac{\partial V}{\partial x_{d}}) $, $ V_{xx} = (\frac{\partial^{2}V}{\partial x_{i}\partial x_{j}})_{d\times d} $.根据Ito公式,如果$ x(t)\in{\mathbb R}^{d} $,那么

$ {\rm d}V(x(t), t) = LV(x(t), t){\rm d}t+V_{x}(x(t), t)g(x(t), t){\rm d}B(t). $

接下来,我们将给出关于周期马尔可夫过程存在性的一些辅助结果,参见文献[23].

定义2.1  如果对于任意的有限序列$ t_{1} $, $ t_{2} $, $ \cdots $, $ t_{n} $,随机变量$ \xi(t_{1}+h) $, $ \xi(t_{2}+h) $, $ \cdots $, $ \xi(t_{n}+h) $的联合分布是与$ h $无关的,其中$ h = kT $, $ k = \pm1 $, $ \pm2 $, $ \cdots $,那么称随机过程$ \xi(t) = \xi(t, \omega) $$ (-\infty<t<\infty) $的周期为$ T $.

注2.1  在文献[23]中,已经给出当且仅当它的转移概率函数的周期为$ T $,并且函数$ {\mathbb P}_{0}(t, A) = {\mathbb P}\{x(t)\in A\} $满足方程

$ {\mathbb P}_{0}(s, A) = \int_{{\mathbb R}^{d}}{\mathbb P}_{0}(s, {\rm d}x){\mathbb P}(s, x, s+T, A) = {\mathbb P}_{0}(s+T, A) $

时,马尔可夫过程$ x(t) $的周期也是$ T $.

考虑以下方程

(2.2) $ \begin{equation} X(t) = X(t_{0})+\int_{t_{0}}^{t}b(s, X(s)){\rm d}s+\sum\limits_{r = 1}^{k}\int_{t_{0}}^{t}\sigma_{r}(s, X(s)){\rm d}B_{r}(s), \; X \in{\mathbb R}^{d}. \end{equation} $

引理2.1  假设方程(2.2)的系数在$ t $上周期为$ T $并在每个$ I\times U $里满足条件

$ |b(s, x)-b(s, y)|+\sum\limits_{r = 1}^{k}|\sigma_{r}(s, x)-\sigma_{r}(s, y)|\leq B|x-y|, $

$ |b(s, x)|+\sum\limits_{r = 1}^{k}|\sigma_{r}(s, x)|\leq B(1+|x|), $

其中, $ B $是常数且$ I $是$ {\mathbb R}_{+} $的子集.并进一步假设在$ {\mathbb R}^{d} $上存在函数$ V(t, x)\in C^{2} $在$ t $上的周期为$ T $,并满足条件:当$ R\rightarrow\infty $时

(2.3) $ \begin{equation} \inf\limits_{|x|>R}V(t, x)\rightarrow\infty, \end{equation} $

且在某些紧集外

(2.4) $ \begin{equation} LV(t, x)\leq-1, \end{equation} $

其中, $ L $定义为

$ L = \frac{\partial}{\partial t}+\sum\limits_{i = 1}^{d}b_{i}(t, x)\frac{\partial}{\partial x_{i}}+\frac{1}{2}\sum\limits_{i, j = 1}^{d}a_{ij}(t, x)\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}, \; a_{ij} = \sum\limits_{r = 1}^{k}\sigma_{r}^{i}(t, x)\sigma_{r}^{j}(t, x). $

那么,方程(2.2)的解是一个$ T $周期的马尔可夫过程.

注2.2  根据引理$ 2.1 $的证明,通常用线性增长条件来保证方程(2.2)解的存在唯一性.

为了研究流行病模型的动力学行为,首先考虑该模型的解是否为全局正解.我们在下面的工作中对全局正解的存在唯一性给出了证明,这也是研究模型(1.3)长期行为的前提.

定理3.1  对任意初值$ X(0) = (S(0), I(0), R(0))\in{\mathbb R}_{+}^{3} $,系统$ (1.3) $在$ t\geq0 $时存在唯一的正解$ X(t) = (S(t), I(t), R(t)) $,且这个解以概率$ 1 $存在于$ {\mathbb R}_{+}^{3} $中.

证  由于系统(1.3)的系数是局部Lipschitz连续的,因此,对任意的初值$ X(0) = (S(0), I(0), R(0))\in{\mathbb R}_{+}^{3} $在$ t\in[0, \tau_{e}) $上存在唯一的局部解$ X(t) = (S(t), I(t), R(t)) $,这里的$ \tau_{e} $表示爆破时间,参见文献[22].为了证明这个解是全局解,我们只需证明当$ \tau_{e} = \infty $时,结论也成立.首先,我们证明$ S(t) $, $ I(t) $, $ R(t) $不会在有限的时间内爆破.令$ k_{0}>0 $充分大,使得$ S(0) $, $ I(0) $和$ R(0) $都位于区间$ [\frac{1}{k_{0}}, k_{0}] $内.对于每个整数$ k\geq k_{0} $,定义停时

$ \tau_{k} = \inf\bigg\{t\in[0, \tau_{e}):\min\{S(t), I(t), R(t)\}\leq\frac{1}{k} \; \mbox{或}\; \max\{S(t), I(t), R(t)\}\geq k\bigg\}, $

贯穿全文,我们令$ \inf\emptyset = \infty $ ($ \emptyset $表示空集).容易看出$ \tau_{k} $是随着$ k $的增大而增大的.令$ { }\tau_{\infty} = \lim_{k\rightarrow\infty}\tau_{k} $,那么$ \tau_{\infty}\leq\tau_{e} $.如果$ \tau_{\infty} = \infty $成立,那么$ \tau_{e} = \infty $也成立,并且当$ t\geq0 $时$ X(t) = (S(t), I(t), R(t))\in{\mathbb R}_{+}^{3} $.更确切地说,要完成证明,我们只需要验证$ \tau_{\infty} = \infty $成立.如果此断言不正确,则存在一对常量$ T>0 $和$ \epsilon\in(0, 1) $使得

$ {\mathbb P}\{\tau_{\infty}\leq T\}>\epsilon. $

因此,存在整数$ k_{1}\geq k_{0} $使得对任意的$ k\geq k_{1} $,有

(3.1) $ \begin{equation} {\mathbb P}\{\tau_{k}\leq T\}\geq\epsilon\; . \end{equation} $

定义$ C^{2} $函数$ V:{\mathbb R}_{+}^{3}\rightarrow{\mathbb R}_{+} $:

$ V(S, I, R) = S-1-\ln S+I-1-\ln I+R-1-\ln R. $

因为对任意的$ u>0 $, $ u-1-\ln u\geq0, $所以这是一个非负函数.

令$ k\geq k_{0} $且$ T>0 $,结合Ito公式,参见文献[22],可得

$ {\rm d}V(S, I, R) = LV(S, I, R){\rm d}t+\sigma(t)(I-S){\rm d}B(t), $

其中$ LV:{\mathbb R}_{+}^{3}\rightarrow{\mathbb R}_{+} $定义为

$ \begin{eqnarray} LV(S, I, R)& = &-\beta(t)S+\lambda(t)+\mu(t)-\frac{\gamma(t)R}{I}+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t)S ^{2}-\frac{\lambda(t)I}{R}+\mu(t)\\&&+\gamma(t)-\frac{\mu(t)}S+\mu(t)+\beta(t)I+\frac{1}{2}\sigma^ {2}(t)I^{2}\\&\leq&\lambda^{u}+\mu^{u}+\frac{1}{2}\sigma^{2u}+\mu^{u}+\gamma^{u}+\mu^{u}+\beta^{u}+\frac {1}{2}\sigma^{2u}\\& = &\lambda^{u}+3\mu^{u}+\gamma^{u}+\beta^{u}+\sigma^{2u}{}\\ &: = &K, \end{eqnarray} $

这里$ K $是独立于$ S $, $ I $, $ R $和$ t $的正常数.这样我们就可以得到

(3.2) $ \begin{equation} {\rm d}V(S, I, R)\leq K{\rm d}t+\sigma(t)(I-S){\rm d}B(t). \end{equation} $

从0到$ \tau_{k}\wedge T = \min\{\tau_{k}, T\} $上积分,然后取(3.2)式两边的期望可得

$ {\mathbb E}V(S(\tau_{k}\wedge T), I(\tau_{k}\wedge T), R(\tau_{k}\wedge T))\leq V(S(0), I(0), R(0))+K{\mathbb E}(\tau_{k}\wedge T), $

所以

(3.3) $ \begin{equation} {\mathbb E}V(S(\tau_{k}\wedge T), I(\tau_{k}\wedge T), R(\tau_{k}\wedge T))\leq V(S(0), I(0), R(0))+KT. \end{equation} $

当$ k\geq k_{1} $时,集合$ \Omega_{k} = \{\tau_{k}\leq T\} $,并且鉴于(3.1)式,我们有$ {\mathbb P}(\Omega_{k})\geq\epsilon $.注意到,对每一个$ \omega\in\Omega_{k} $,存在$ I(\tau_{k}, \omega) $或$ R(\tau_{k}, \omega) $或$ S(\tau_{k}, \omega) $等于$ k $或$ \frac{1}{k} $.因此, $ V(S(\tau_{k}, \omega), I(\tau_{k}, \omega), R(\tau_{k}, \omega)) $不小于$ k-1-\ln k $或$ \frac{1}{k}-1-\ln\frac{1}{k} = \frac{1}{k}-1+\ln k. $所以,容易得到

$ V(S(\tau_{k}, \omega), I(\tau_{k}, \omega), R(\tau_{k}, \omega))\geq(k-1-\ln k)\wedge\bigg(\frac{1}{k}-1+\ln k\bigg). $

通过不等式(3.3),计算可得

$ \begin{eqnarray} V(S(0), I(0), R(0))+KT&\geq&{\mathbb E}[1_{\Omega_{k}(\omega)}V(S(\tau_{k}, \omega), I(\tau_{k}, \omega), R(\tau_{k}, \omega))] \\&\geq&\epsilon(k-1-\ln k)\wedge\bigg(\frac{1}{k}-1+\ln k\bigg), \end{eqnarray} $

其中$ 1_{\Omega_{k}} $是$ \Omega_{k} $的指示函数.令$ k\rightarrow\infty $得

$ \infty>V(S(0), I(0), R(0))+KT = \infty, $

与假设矛盾,所以必然有$ \tau_{\infty} = \infty $.证明完成.

注3.1  由定理3.1容易看出

$ {\rm d}(S(t)+I(t)+R(t)) = [\mu(t)-\mu(t)(S(t)+I(t)+R(t))]{\rm d}t. $

我们得到,如果

$ S(0)+I(0)+R(0) = 1, $

那么

$ S(t)+I(t)+R(t)\equiv 1. $

因此,区域

$ \Gamma = \{(S, I, R)\in{\mathbb R}_{+}^{3}:S+I+R = 1\} $

是系统(1.3)的正不变集.

本节中,通过利用Lyapunov函数方法,我们建立了该疾病绝灭的充分条件.我们将研究无病平衡点$ E_{0}(0, 0) $的全局稳定性.为此,建立了以下定理.

定理4.1  对任意初值$ (I(0), R(0))\in\Gamma_{0} $,如果$ {\mathcal R}_{0}^{S}: = \frac{\beta^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}}{\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac{\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l} +\gamma^{l}}}<1 $,那么无病平衡点$ E_{0} $依概率全局渐近稳定.

证  由系统(1.4),可得

$ \begin{eqnarray*} {\rm d}\bigg(I+\frac{\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}R\bigg) &\leq&\bigg[\beta(t)(1-I-R)I-(\lambda(t)+\mu(t))I+\frac{\lambda(t)\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}I\bigg]{\rm d}t \\ && +\sigma(t)(1-I-R)I{\rm d}B(t)\nonumber\\ & = &I\bigg[\beta(t)-\bigg(\lambda(t)+\mu(t)-\frac{\lambda(t)\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)\bigg]{\rm d}t-\beta(t)I^{2} {\rm d}t-\beta(t)IR{\rm d}t \nonumber \\ &&+\sigma(t)(1-I-R)I{\rm d}B(t).\nonumber \end{eqnarray*} $

首先,定义

$ V_{1}(I, R) = \frac{1}{2}\bigg(I+\frac{\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}R\bigg)^{2}, $

然后利用Ito公式可得

(4.1) $ \begin{eqnarray} LV_{1}(I, R)&\leq&\bigg(I+\frac{\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}R\bigg)I\bigg[\beta(t)-\bigg( \lambda(t)+\mu(t)-\frac{\lambda(t)\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)\bigg]+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t)I^{2} \\ &\leq&\bigg[\beta^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}-\bigg(\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac{\lambda^{u}\gamma^{u} }{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)\bigg]I^{2}{}\\ &&+\frac{\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg[\beta^{u}-\bigg(\lambda^{l }+\mu^{l}-\frac{\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)\bigg]IR. \end{eqnarray} $

定义

$ V_{2}(R) = \frac{R^{2}}{2}, $

结合Ito公式,可得

(4.2) $ \begin{equation} LV_{2}(R) = \lambda(t)IR-(\mu(t)+\gamma(t))R^{2}\leq\lambda^{u}IR-(\mu^{l}+\gamma^{l})R^{2}. \end{equation} $

定义下列Lyapunov函数

$ V(I, R) = \lambda^{u}V_{1}(I, R)+\frac{\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg[\bigg(\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac {\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)-\beta^{u}\bigg]V_{2}(R). $

通过(4.1)和(4.2)式,可得

$ \begin{eqnarray*} LV(I, R)&\leq&\lambda^{u}\bigg[\beta^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}-\bigg(\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac {\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)\bigg]I^{2}-\gamma^{u}\bigg[\bigg(\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac {\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)-\beta^{u}\bigg]R^{2}\nonumber\\ & = &-\bigg\{\lambda^{u}\bigg[ \bigg(\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac{\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg)-\beta^{u}-\frac{\sigma^{2u}} {2}\bigg]I^{2}+\gamma^{u}\bigg[\bigg(\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac{\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\bigg) -\beta^{u}\bigg]R^{2}\bigg\}\nonumber\\ &\leq&-c_{1}V(I, R), \nonumber \end{eqnarray*} $

其中, $ c_{1} = \beta^{u}+\frac{\beta^{u}(\mu^{l}+\gamma^{l})^{2}}{\lambda^{u}\gamma^{u}}+\frac{\sigma^{2u}}{2} $,并且在最后一个不等式中,我们使用了以下条件$ {\cal R}_{0}^{S} = \frac{\beta^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}}{\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac{\lambda^{u}\gamma^{u}} {\mu^{l}+\gamma^{l}}}<1 $.也就是说,我们已经得到

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}I(t) = 0, \; \lim\limits_{t\rightarrow\infty}R(t) = 0, $

这就意味着如果$ \frac{\beta^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}}{\lambda^{l}+\mu^{l}-\frac{\lambda^{u}\gamma^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}}<1 $,那么无病平衡点$ E_{0} $在概率上是全局渐近稳定的.证明完成.

本节我们将研究系统(1.4)中非平凡正$ T $周期解的存在性.首先,我们证明下面的定理.

定理5.1  假设$ R_{0}^{S}: = \frac{\langle\beta\rangle_{T}}{\langle\lambda+\mu-\frac{\lambda\gamma}{\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}} {2}\rangle_{T}}>1 $,那么系统$ (1.4) $存在至少一个非平凡的正$ T $周期解.

证  在以下研究中,为了方便起见,我们分别将$ I(t) $, $ R(t) $定义为$ I $和$ R $.很明显,系统(1.4)的系数满足局部Lipschitz条件.通过引理2.1和注2.2,要证明这个定理,只需要构造一个在$ t $和紧集$ U $上是$ T $周期的$ C^{2} $函数$ V(t, x) $,使得(2.3)和(2.4)式成立即可.

定义$ C^{1, 2} $函数$ V:{\mathbb R}_{+}\times\Gamma_{0}\rightarrow{\mathbb R} $

$ \begin{eqnarray} V(t, I, R)& = &M\bigg(-\ln I-c_{2}\ln R+\omega(t)+\frac{\beta^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}R\bigg) -\ln(1-I-R)-\ln R\\& = :&M\bigg(V_{1}+\omega(t)+\frac{\beta^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}V_{2}\bigg)+V_{3}+V_{4}, \end{eqnarray} $

其中

(5.1) $ \begin{equation} \sqrt{c_{2}} = \frac{\langle\sqrt{\lambda\gamma}\rangle_{T}}{\langle\mu+\gamma\rangle_{T}}, \end{equation} $

$ M $是足够大的正常数并满足条件

(5.2) $ \begin{equation} -M\bigg\langle \lambda+\mu-\frac{\lambda\gamma}{\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}}{2}\bigg\rangle_{T}(R_{0}^{S}-1)+2\mu^{u} +\beta^{u}+\gamma^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}\leq-2. \end{equation} $

$ \omega\in C^{1}({\mathbb R}_{+};{\mathbb R}) $是一个待定的$ T $周期函数.容易得到$ V(t, I, R) $在$ t $上是一个$ T $周期函数,并且满足

$ \liminf\limits_{k\rightarrow\infty, (I, R)\in\Gamma_{0}\setminus U_{k}}V(t, I, R) = \infty, $

其中$ U_{k} = \{(I, R)\in\Gamma_{0}:\frac{1}{k}<I, \frac{1}{k}<R, I+R<1-\frac{1}{k}\} $且$ k>1 $是一个足够大的数.

通过Ito公式,我们得到

(5.3) $ \begin{eqnarray} LV_{1}& = &L(-\ln I-c_{2}\ln R)\\ & = &-\beta(t)(1-I-R)+\lambda(t)+\mu(t)-\frac{\gamma(t)R} {I}+\frac{\sigma^{2}(t)(1-I-R)^{2}}{2}-\frac{c_{2}\lambda(t)I}{R}{}\\ &&+c_{2}(\mu(t)+\gamma(t))\\ &\leq&-\frac {\gamma(t)R}{I}-\frac{c_{2}\lambda(t)I}{R}+c_{2}(\mu(t)+\gamma(t))-\bigg[\beta(t)-\bigg(\lambda(t)+\mu(t)+\frac{ \sigma^{2}(t)}{2}\bigg)\bigg]+\beta^{u}I+\beta^{u}R\\&\leq&-2\sqrt{c_{2}\lambda(t)\gamma(t)}+c_{2}(\mu (t)+\gamma(t))-\bigg[\beta(t)-\bigg(\lambda(t)+\mu(t)+\frac{\sigma^{2}(t)}{2}\bigg)\bigg]+\beta^{u}I+\beta^{u}R \\& = :&R_{0}(t)+\beta^{u}I+\beta^{u}R. \end{eqnarray} $

定义$ T $周期函数$ \omega(t) $满足条件

$ \omega'(t) = \langle R_{0}\rangle_{T}-R_{0}(t). $

然后结合(5.1)和(5.3)式,可得

(5.4) $ \begin{eqnarray} L(V_{1}+\omega(t))&\leq&\langle R_{0}\rangle_{T}+\beta^{u}I+\beta^{u}R{}\\ & = &-\bigg\langle \lambda+\mu-\frac{\lambda\gamma}{\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}}{2}\bigg\rangle_{T}(R_{0}^{S}-1)+\beta^{u}I+\beta ^{u}R. \end{eqnarray} $

同样,我们得到

(5.5) $ \begin{equation} LV_{2} = L(R) = \lambda(t)I-(\mu(t)+\gamma(t))R\leq\lambda^{u}I-(\mu^{l}+\gamma^{l})R. \end{equation} $

根据(5.4)和(5.5)式,可得

(5.6) $ \begin{equation} L\bigg(V_{1}+\omega(t)+\frac{\beta^{u}}{\mu^{l}+\gamma^{l}}V_{2}\bigg)\leq-\bigg\langle\lambda+\mu-\frac{ \lambda\gamma}{\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}}{2}\bigg\rangle_{T}(R_{0}^{S}-1)+\frac{\beta^{u}(\lambda^{u}+\mu ^{l}+\gamma^{l})}{\mu^{l}+\gamma^{l}}I. \end{equation} $

应用Ito公式,我们得到

(5.7) $ \begin{equation} LV_{3} = -\frac{\mu(t)}{1-I-R}+\mu(t)+\beta(t)I+\frac{1}{2}\sigma^{2}(t)I^{2}\leq-\frac{\mu^{l}}{1-I-R}+\mu ^{u}+\frac{1}{2}\sigma^{2u}+\beta^{u} \end{equation} $

且

(5.8) $ \begin{equation} LV_{4} = -\frac{\lambda(t)I}{R}+\mu(t)+\gamma(t)\leq-\frac{\lambda^{l}I}{R}+\mu^{u}+\gamma^{u}. \end{equation} $

所以,结合(5.6), (5.7)和(5.8)式,有

$ \begin{eqnarray} LV&\leq&-M\bigg\langle\lambda+\mu-\frac{\lambda\gamma}{\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}}{2}\bigg \rangle_{T}(R_{0}^{S}-1)+\frac{M\beta^{u}(\lambda^{u}+\mu^{l}+\gamma^{l})}{\mu^{l}+\gamma^{l}}I-\frac{\mu^{l }}{1-I-R}-\frac{\lambda^{l}I}{R}\\&&+2\mu^{u}+\beta^{u}+\gamma^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}. \end{eqnarray} $

现在,我们可以构造一个紧集$ U $使得引理2.1中的(2.4)式满足条件.定义以下有界闭集

$ U = \{(I, R)\in\Gamma_{0}:\epsilon\leq I, \epsilon^{2}\leq R, I+R\leq1-\epsilon\}, $

其中, $ 0<\epsilon<\frac{1}{2} $是足够小的常数.在集合$ \Gamma_{0}\setminus U $中,我们令$ \epsilon $足够小并使得下列条件成立

(5.9) $ \begin{equation} -\frac{\lambda^{l}}{\epsilon}+D\leq-1, \end{equation} $

(5.10) $ \begin{equation} -\frac{\mu^{l}}{\epsilon}+D\leq-1, \end{equation} $

其中$ D $是一个正常数,并且能够在(5.13)式中找到.为了方便起见,我们将$ \Gamma_{0}\setminus U $分为三个区域

$ U_{1} = \{(I, R)\in\Gamma_{0}, 0<I<\epsilon\}, \; U_{2} = \{(I, R)\in\Gamma_{0}, 0<R<\epsilon^{2}, \epsilon\leq I<1\}, $

$ U_{3} = \{(I, R)\in\Gamma_{0}, 1-\epsilon<I+R<1\}. $

显然, $ U^{C} = U_{1}\bigcup U_{2}\bigcup U_{3} $.接下来,我们证明在$ {\mathbb R}_{+}\times U^{C} $上$ LV(t, I, R)\leq-1 $,这相当于在上述三个域上进行验证.

情形1  如果$ (t, I, R)\in{\mathbb R}_{+}\times U_{1} $,我们可以发现

(5.11) $ \begin{eqnarray} LV&\leq&-M\bigg\langle\lambda+\mu-\frac{\lambda\gamma}{\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}}{2} \bigg\rangle_{T}(R_{0}^{S}-1)+\frac{M\beta^{u}(\lambda^{u}+\mu^{l}+\gamma^{l})}{\mu^{l}+\gamma^{l}}I{}\\ &&+2 \mu^{u}+\beta^{u}+\gamma^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}\\ &\leq&-M\bigg\langle\lambda+\mu-\frac{\lambda \gamma}{\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}}{2}\bigg\rangle_{T}(R_{0}^{S}-1)+\frac{M\beta^{u}(\lambda^{u}+\mu ^{l}+\gamma^{l})}{\mu^{l}+\gamma^{l}}\epsilon{}\\ &&+2\mu^{u}+\beta^{u}+\gamma^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}. \end{eqnarray} $

通过(5.2)式,可得当$ \epsilon $足够小时,对任意的$ (t, I, R)\in{\mathbb R}_{+}\times U_{1} $,有

$ LV\leq-1. $

情形2  如果$ (t, I, R)\in{\mathbb R}_{+}\times U_{2} $,那么

(5.12) $ \begin{eqnarray} LV&\leq&-\frac{\lambda^{l}I}{R}+\frac{M\beta^{u}(\lambda^{u}+\mu^{l}+\gamma^{l})}{\mu^{l}+\gamma^{l}}I+ 2\mu^{u}+\beta^{u}+\gamma^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}{}\\ &\leq&-\frac{\lambda^{l}I}{R}+D\leq-\frac{\lambda^{l}} {\epsilon}+D, \end{eqnarray} $

其中

(5.13) $ \begin{equation} D = \sup\limits_{(I, R)\in\Gamma_{0}}\bigg\{\frac{M\beta^{u}(\lambda^{u}+\mu^{l}+\gamma^{l})}{\mu^{l}+\gamma^{l}} I+2\mu^{u}+\beta^{u}+\gamma^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}\bigg\}. \end{equation} $

由(5.9)式可得,对任意的$ (t, I, R)\in{\mathbb R}_{+}\times U_{2} $,有

$ LV\leq-1. $

情形3  如果$ (t, I, R)\in{\mathbb R}_{+}\times U_{3} $,那么

(5.14) $ \begin{eqnarray} LV&\leq&-\frac{\mu^{l}}{1-I-R}+\frac{M\beta^{u}(\lambda^{u}+\mu^{l}+\gamma^{l})}{\mu^{l}+\gamma^{l}}I+ 2\mu^{u}+\beta^{u}+\gamma^{u}+\frac{\sigma^{2u}}{2}{}\\ &\leq&-\frac{\mu^{l}}{1-I-R}+D\leq-\frac{\mu^{l}}{\epsilon} +D. \end{eqnarray} $

由(5.10)式可得:在$ {\mathbb R}_{+}\times U_{3} $上, $ LV\leq-1 $.

显而易见,由(5.11), (5.12)和(5.14)式,我们可以发现,给定一个充分小的$ \epsilon $,使得对所有的$ (t, I, R)\in{\mathbb R}_{+}\times(\Gamma_{0}\setminus U) $,有

$ LV(t, I, R)\leq-1. $

因此，引理2.1中的(2.4)式满足.由引理2.1,我们可以得到系统$ (1.4) $存在$ T $周期解.此外,根据定理3.1可得,对任意初值$ X(0) = (I(0), R(0))\in\Gamma_{0} $,存在唯一的全局解$ X(t) = (I(t), R(t))\in\Gamma_{0} $,因此,系统$ (1.4) $存在至少一个非平凡正$ T $周期解.证明完成.

注5.1  定理$ 4.1 $告诉我们,如果$ R_{0}^{S} = \frac{\langle\beta\rangle_{T}}{\langle\lambda+\mu-\frac{\lambda\gamma} {\mu+\gamma}+\frac{\sigma^{2}}{2}\rangle_{T}}>1 $.模型$ (1.4) $存在一个非平凡的正$ T $周期解.注意的是,如果不考虑白噪声和周期环境，则$ R_{0}^{S} $的表达式与确定性系统$ (1.1) $的阈值$ {\cal R}_{0} $一致.这表明我们推广了确定性系统的结果.

本节,我们将介绍两个例子和一些数值模拟来说明我们的理论结果.

通过用文献[24]里Higham等人的理论方法,我们得到了系统$ (1.4) $的离散方程

(6.1) $ \begin{align} \left\{\begin{array}{lll} I_{k+1} = I_{k}+[\beta(k\Delta t)(1-I_{k}-R_{k})I_{k}-(\lambda(k\Delta t)+\mu(k\Delta t))I_{k}+\gamma(k\Delta t)R_{k}] \Delta t+\sigma(k\Delta t)\varepsilon_{k}\\\; \; \; \; \; \; \; \; \; \times I_{k}(1-I_{k}-R_{k})\sqrt{\Delta t}+ \frac{\sigma^{2}(k\Delta t)}{2}(1-I_{k} -R_{k})I_{k}(1-2I_{k}-R_{k})(\varepsilon_{k}^{2}\Delta t-\Delta t), \\ R_{k+1} = R_{k}+[\lambda(k\Delta t)I_{k}-(\mu(k\Delta t)+\gamma(k\Delta t))R_{k}]\Delta t, \end{array}\right. \end{align} $

其中$ \varepsilon_{k} $$ (k = 1, \cdots, n) $是服从$ N(0, 1) $的高斯随机变量.

例6.1  假设系统$ (1.4) $的参数函数为: $ \beta(t) = 0.1+0.1\cos t $, $ \lambda(t) = 0.3+0.1\sin t $, $ \mu(t) = 0.3+0.1\cos t $, $ \gamma(t) = 0.3+0.2\sin t $, $ \sigma(t) = 0.1+0.1\sin t $,且初值为$ (I(0), R(0)) = (0.4, 0.6) $.通过简单的计算,可得$ {\cal R}_{0}^{S} = 0.66<1 $.从定理$ 4.1 $可以看出,疾病$ I $将会以概率$ 1 $灭绝.数值模拟$ 1 $证实了这一点,见图 1.

例6.2  假设系统$ (1.4) $的参数函数为: $ \beta(t) = 0.8+0.2\sin t $, $ \lambda(t) = 0.2+0.1\sin t $, $ \mu(t) = 0.3+0.1\sin t $, $ \gamma(t) = 0.5+0.3\sin t $, $ \sigma^{2}(t) = 0.17+0.015\cos 2t $且初值为$ (I(0), R(0)) = (0.3, 0.2) $.通过简单的计算,可得$ R_{0}^{S} = \frac{8}{7}>1 $.从定理$ 5.1 $可以看出,系统$ (1.4) $有一个非平凡的周期为$ T $的正解.数值模拟$ 2 $证实了这一点,见图 2.

本文讨论随机非自治SIRI传染病模型的动力学问题.通过构造一个合适的Lyapunov函数,我们建立了系统(1.4)的非平凡正$ T $周期解存在的充分条件.此外,我们还建立了该疾病灭绝的充分条件.据我们所知,本文首次尝试研究随机非自治SIRI流行病模型的非平凡正周期解的存在性.

当然,还有许多问题值得进一步研究.一方面,我们可以提出一些更现实但更复杂的模型,例如考虑脉冲扰动对系统(1.4)的影响;另一方面,我们模型的一个主要缺点是假设人口的自然死亡率相等,这对于本文的研究是非常必要的.然而,这种假设对系统动力学的影响仍未得到解决.我们把这些问题留待将来研究.