设$ X $, $ Y $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ X^{\ast} $和$ Y^{\ast } $分别表示$ X $和$ Y $的共轭空间,分别赋予弱$ ^{\ast } $拓扑$ w^{\ast }(X^{\ast}, X) $和$ w^{\ast}(Y^{\ast }, Y) $. $ K $是$ Y $中的闭凸锥且$ Y $是由$ K $所定义的序空间.设$ f:X\rightarrow \overline {{\Bbb R}}: = {{{\Bbb R}} }\cup \{+\infty \} $是真凸函数, $ g:Y\rightarrow \overline {{\Bbb R}} $是真凸$ K $ -增函数, $ h:X\rightarrow Y $是真$ K $ -凸映射且满足$ h({\rm dom} \; f)\cap {\rm dom}\; g\neq \emptyset $.近年来,复合凸优化问题

(1.1) $ \begin{equation} (P_f)\quad\quad \inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(h(x))\} \end{equation} $

引起了学者们的广泛关注,许多优化和逼近问题都可以转化成问题(1.1)的形式(参看文献[1, 3-4, 7-10, 12-13, 15-18]及文中的参考文献).特别地,当$ h $为线性算子时,问题(1.1)即为经典的无约束优化问题(参看文献[2, 5-6, 14, 17])

(1.2) $ \begin{equation} ( {\cal P})\quad \inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}. \end{equation} $

对于问题$ (P_f) $,我们可以定义不同的对偶问题.通常,学者们主要研究经典的Fenchel对偶问题,通过引入新的正则条件,建立了问题$ (P_f) $及其Fenchel对偶问题之间的强对偶.例如,文献[3]利用闭性条件刻画了$ (P_f) $的Fenchel强对偶,文献[1]利用共轭函数的上图性质,引入新的正则条件,研究了$ (P_f) $的$ \epsilon $ -对偶间隙性质.近来,凸优化问题的Fenchel-Lagrange型对偶受到了学者们的高度重视.然而,据我们所知,很少有学者研究复合优化问题$ (P_f) $的Fenchel-Lagrange强对偶和Fenchel-Lagrange稳定强对偶.

受上述文献的启发,本文研究复合凸优化问题$ (P_f) $及其Fenchel-Lagrange对偶问题

(1.3) $ \begin{equation} (D_f)\quad\quad \sup\limits_{x^\ast\in X^\ast, y^\ast\in Y^\ast} \left\{-f^\ast(-x^\ast) -g^\ast(y^\ast)-(y^\ast h)^\ast(x^\ast) \right\} \end{equation} $

之间的强对偶和稳定强对偶.设$ v(P_f) $和$ v(D_f) $分别表示问题$ (P_f) $和$ (D_f) $的最优值,则$ v(P_f)\ge v(D_f) $,即$ (P_f) $和$ (D_f) $之间的弱对偶成立.但是,这两个值不总是相等的.因此,寻找合适的约束规范条件,使得Fenchel-Lagrange强对偶(即$ v(P_f) = v(D_f) $且对偶问题$ (D_f) $有最优解)成立就成为了凸分析中的一个热点和难点问题.本文在一般假设下,即$ f $, $ g $和$ h $是真凸函数(不一定是下半连续函数),研究问题$ (P_f) $和$ (D_f) $之间的Fenchel-Lagrange强对偶.通过引入新的约束规范条件$ (FRC) $和$ (CC) $并建立$ (FRC) $和$ (CC) $成立的充分和(或)必要条件,等价刻画了问题$ (P_f) $和$ (D_f) $之间的强对偶和稳定强对偶.

设$ X $和$ Y $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ X^{\ast } $为$ X $的共轭空间并赋予弱$ ^{\ast } $拓扑$ w^{\ast }(X^{\ast }, X). $$ \langle x^{\ast }, x\rangle $表示泛函$ x^{\ast }\in X^{\ast } $在$ x\in X $处的值,即$ \langle x^{\ast }, x\rangle = x^{\ast }(x) $.对于空间$ X^{\ast }\times {{{\Bbb R}} } $,我们赋予乘积拓扑$ w^{\ast }(X^{\ast }, X) $和Euclidean拓扑.设$ f:X\to \overline{{\Bbb R}} $是真函数,定义$ f $的有效定义域,共轭函数和上图分别为

$ \mbox{dom}\, f: = \{x\in X:\; f(x)<+\infty\}, $

$ f^*(x^*): = \sup\{\langle x^*, x\rangle-f(x):\; x\in X\}\quad \forall x^*\in X^* $

和

$ {\rm epi}\, f: = \{(x, r)\in X\times {{\Bbb R}}:\; f(x)\le r\}. $

显然, $ {\rm epi}\, f^* $是弱$ ^* $闭凸集.由定义可知, Young-Fenchel不等式成立

(2.1) $ \begin{equation} f(x)+f^\ast(x^\ast)\ge \langle x, x^\ast \rangle, \; \; \forall\; (x, x^\ast)\in X\times X^\ast. \end{equation} $

若$ g, h:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $为真函数且满足$ {\rm dom}g\cap {\rm dom}h\neq\emptyset $,则

(2.2) $ \begin{equation} {\rm epi}\, g^\ast+{\rm epi}\, h^\ast\subseteq{\rm epi}\, (g+h)^\ast, \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} g\le h \Rightarrow g^\ast\ge h^\ast \Leftrightarrow {\rm epi}\, g^\ast\subseteq {\rm epi}\, h^\ast. \end{equation} $

进一步,定义$ g $与$ h $的下端卷积函数$ g\square h:X\rightarrow {{\Bbb R}}\cup \{\pm \infty\} $为

$ (g\square h)(x): = \inf\limits_{z\in X}\{g(z)+h(x-z)\}. $

若存在$ z\in X $使得$ (g\square h)(x) = g(z)+h(x-z) $,则称$ g\square h $在$ x\in X $点是精确的.注意到,若$ g\square h $在$ x $点是精确的,则$ (g\square h)(x)>-\infty $;若$ (g\square h)(x) = +\infty $,则$ g\square h $在$ x $点是精确的.

定义2.1^[6]  设$ M_{1}, M_{2}, N_{1}, N_{2} $是非空集合.定义映射$ F:M_{1}\rightarrow M_{2} $和$ G:N_{1}\rightarrow N_{2} $的乘积映射$ F\times G:M_{1}\times N_{1}\rightarrow M_{2}\times N_{2} $为

$ (F\times G)(x, y): = (F(x), G(y)). $

定义2.2^[6]  设$ A:X\rightarrow Y $是线性算子,函数$ h:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} } $.由

$ (Ah)(y): = \inf \{h(x):Ax = y\} $

所定义的函数$ Ah:Y\rightarrow { {{\Bbb R}} }\cup \{\pm \infty \} $称为$ h $在$ A $之下的像.若$ A^{-1}(y): = \{x\in X:Ax = y\} $为空集,则约定$ (Ah)(y) = +\infty . $

引理2.1^{[11, 17]}  设$ g, h:X\rightarrow \overline{{{{\Bbb R}} }} $是真凸函数且满足$ {\rm dom}\, g\cap {\rm dom}\, h\neq \emptyset $.

(ⅰ)若$ g, h $是下半连续函数,则

(2.4) $ \begin{equation} {\rm epi}\, (g+h)^{\ast } = {\rm cl}\, ({\rm epi}\, (g^{\ast }\square h^{\ast })) = {\rm cl}\, ({\rm epi}\, g^{\ast }+{\rm epi}\; h^{\ast }). \label{{lem2.1-1}} \end{equation} $

(ⅱ)若$ g $或$ h $在点$ x_{0}\in {\rm dom}\, g\cap {\rm dom}\, h $处连续,则

(2.5) $ \begin{equation} {\rm epi}\, (g+h)^{\ast } = {\rm epi}\, g^{\ast }+{\rm epi}\; h^{\ast }. \end{equation} $

设$ X, \, Y $是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $ Y $是由闭凸锥$ K\subseteq Y $所定义的序空间.定义$ Y $上的序为:若$ y-x\in -K, $则$ y\le_K x $.记$ Y^\bullet = Y\cup\{\infty_Y\} $,其中$ \{\infty_Y\} $是关于偏序$ \le_K $的最大元.在$ Y^\bullet $上定义以下运算:对任意的$ y\in Y $, $ y+\infty = \infty+y = \infty $, $ t\infty = \infty $, $ \forall t\ge 0 $.设函数$ \varphi: Y\to \overline {{\Bbb R}} $,对任意的$ x, y\in Y $,若当$ y\le_K x $时有$ \varphi(y)\le \varphi(x) $,则称$ \varphi $是$ K $ -增函数.设函数$ \psi: X \to Y^\bullet $,若对任意的$ x, y\in {\rm dom}\psi: = \{x\in X:\psi(x)\in Y\} $和$ t\in [0, 1] $,

$ \psi(tx+(1-t)y)\le _K t\psi(x)+(1-t)\psi (y), $

则称$ \psi $是$ K $ -凸函数(参见文献[17]).设$ f:X\rightarrow \overline{{\Bbb R}} $是真凸函数, $ h:X\to Y^\bullet $是真$ K $ -凸映射, $ g :Y^\bullet\rightarrow \overline{{\Bbb R}} $是真凸$ K $ -增函数.定义

$ (g\circ h)(x): = \left\{\begin{array}{ll} g(h(x)), \ &\mbox{若}\ x\in {\rm dom}\, h, \\ +\infty, \ &\mbox{其它}. \end{array}\right. $

则$ g\circ h $是真凸函数.为简便起见,对任意的$ \mu\in Y^\ast $,记

$ \label{fex}(\mu h )(x): = \left\{\begin{array}{ll} \langle\mu, h (x)\rangle, \ &\mbox{若}\ x\in {\rm dom}\, h, \\ +\infty, \ &\mbox{其它}. \end{array}\right. $

设$ p\in X^\ast $.考虑以下带线性扰动的复合凸优化问题

(3.1) $ \begin{equation} (P_{f+p}) \quad \inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(h(x))- \langle p, x\rangle\} \end{equation} $

及其Fenchel-Lagrange对偶问题

(3.2) $ \begin{equation} (D_{f+p}) \quad \sup\limits_{x^\ast\in X^\ast, y^\ast\in Y^\ast} \left\{-f^\ast(p-x^\ast) -g^\ast(y^\ast)-(y^\ast h)^\ast(x^\ast) \right\}. \end{equation} $

令$ v(P_{f+p}) $和$ v(D_{f+p}) $分别表示问题$ (P_{f+p}) $和$ (D_{f+p}) $的最优值,即

(3.3) $ \begin{equation} v(P_{f+p}) = \inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(h(x))-\langle p, x\rangle \}, \end{equation} $

(3.4) $ \begin{equation} v(D_{f+p}) = \sup\limits_{x^\ast\in X^\ast, y^\ast\in Y^\ast} \left\{-f^\ast(p-x^\ast) -g^\ast(y^\ast)-(y^\ast h)^\ast(x^\ast) \right\}. \end{equation} $

特别地,当$ p = 0 $时,问题$ (P_{f+p}) $和$ (D_{f+p}) $即为问题$ (P_f) $和$ (D_f) $.注意到,对任意的$ x^\ast\in X^\ast $, $ y^\ast\in Y^\ast $,下列式子成立

$ \begin{eqnarray*} && -f^\ast(p-x^\ast) -g^\ast(y^\ast)-(y^\ast h)^\ast(x^\ast)\\ &\le& f(x)-\langle p-x^\ast, x\rangle+g(h(x))-\langle y^\ast, h(x)\rangle+\langle y^\ast, h(x)\rangle-\langle x^\ast, x\rangle\\ & = & f(x)+g(h(x))- \langle p, x\rangle, \quad \forall x\in X. \end{eqnarray*} $

因此, $ (P_{f}) $和$ (D_{f}) $之间的稳定弱对偶成立,即

(3.5) $ \begin{equation} v(D_{f+p}) \le v(P_{f+p}), \quad \forall p\in X^\ast. \end{equation} $

本节主要研究问题$ (P_f) $和对偶问题$ (D_f) $之间的Fenchel-Lagrange强对偶,即$ v(P_f) = v(D_f) $且问题$ (D_f) $有最优解.为此,我们将利用到以下特征函数$ \Phi_h^\ast: X^\ast \to \overline{{{\Bbb R}}} $ (参看文献[8])

(3.6) $ \begin{equation} \Phi_h^\ast(x^\ast) : = \inf\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \left( y^\ast h-g^\ast(y^\ast) \right)^\ast(x^\ast), \quad \forall x^\ast\in X^\ast. \end{equation} $

由文献[17,定理2.3.1]可知,对任意的$ x^\ast\in X^\ast $,有

$ \Phi_h^\ast(x^\ast) = \inf\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \left\{ (y^\ast h)^\ast(x^\ast)+g^\ast(y^\ast) \right\}. $

据文献[8,命题3.1]知, $ \Phi_h^\ast $在$ X^\ast $上是凸函数且

(3.7) $ \begin{equation} \Phi_h^\ast\ge (g\circ h)^\ast, \quad\quad {\rm epi} \Phi_h^\ast \subseteq {\rm epi} (g\circ h)^\ast. \end{equation} $

进一步,由(2.3)式可得

(3.8) $ \begin{equation} \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}{\rm epi} \, \left(y^\ast h-g^\ast(y^\ast) \right)^\ast \subseteq {\rm epi} \, \Phi_h^\ast. \end{equation} $

由定义易知,以下等式成立

(3.9) $ \begin{equation} v(P_f) = -(f+g\circ h)^{\ast }(0), \end{equation} $

(3.10) $ \begin{equation} v(D_f ) = -(f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })(0). \end{equation} $

事实上, (3.9)式显然成立,而

$ \begin{eqnarray*} (f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })(0) & = & \inf\limits_{x^{\ast }\in X^{\ast }}\{f^{\ast }(-x^{\ast })+\Phi_h^{\ast }(x^{\ast })\} \\ & = & \inf\limits_{x^{\ast }\in X^{\ast }}\{f^{\ast }(-x^{\ast })+\inf\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\{(y^\ast h)^\ast(x^\ast)+g^\ast(y^\ast)\}\} \\ & = & -\sup\limits_{x^\ast\in X^\ast, y^{\ast }\in Y^{\ast }}\{-f^{\ast }(x^\ast)-g^{\ast }(y^{\ast })-(y^\ast h)^\ast(x^\ast)\} \\ & = & -v(D_{f}), \end{eqnarray*} $

从而, $ (P_f) $和$ (D_f) $之间的弱对偶成立(即$ v(D_f)\le v(P_f) $)等价于

(3.11) $ \begin{equation} (f+g\circ h)^{\ast }(0)\leq (f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast})(0) \end{equation} $

或等价于

(3.12) $ \begin{equation} {\rm epi}\; (f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })\cap (\{0\}\times {\mathbb{R}})\subseteq {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} }). \end{equation} $

定义3.1  若存在$ x^{\ast }\in X^{\ast } $使得$ (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0) = f^{\ast }(-x^{\ast })+ \Phi_h^\ast(x^{\ast }) $且$ \Phi_h^\ast(x^{\ast }) $可取到下确界,则称$ f^{\ast }\square \Phi_h^\ast $在$ 0 $点是精确的.

定义3.2  若$ f^{\ast }\square \Phi_h^\ast $在$ 0 $点是精确的且

(3.13) $ \begin{equation} (f+g\circ h)^{\ast }(0)\geq (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0), \end{equation} $

则称$ (f, g, h) $满足$ (FRC) $条件.

注3.1   $ \rm(a) $由(3.9)式和(3.10)式可知,以下结论成立

(3.14) $ \begin{equation} v(D_{f})>-\infty \Longleftrightarrow {\rm epi}\; (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} })\not = \emptyset , \end{equation} $

(3.15) $ \begin{equation} v(P_{f})>-\infty \Longleftrightarrow {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} })\not = \emptyset . \end{equation} $

$ \rm(b) $若$ f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast } $在$ 0 $点是精确的,则最优值$ v(D_f) $有限.

$ \rm(c) $由(3.9), (3.10)式和(3.5)式可知, (3.13)式成立当且仅当

(3.16) $ \begin{equation} (f+g\circ h)^{\ast}(0) = (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0), \end{equation} $

同时, (3.16)式成立等价于$ v(P_f) = v(D_f) $,即$ (P_f) $和$ (D_f) $之间的零对偶间隙性质成立.

$ \rm(d) $设$ A $是从$ X $到$ Y $的线性连续算子.由文献[14,定义4.2]可知,若

(3.17) $ \begin{equation} ( f+ g\circ A)^{\ast }(0)\geq ( f^{\ast }\square A^{\ast } g^{\ast })(0), \end{equation} $

且存在$ x^{\ast }\in X^{\ast } $使得$ ( f^{\ast }\square A^{\ast } g^{\ast })(0) = f^{\ast }(-x^{\ast })+(A^{\ast } g^{\ast })(x^{\ast }) $及$ (A^{\ast } g^{\ast })(x^{\ast }) $可取到下确界,则称$ (f, g;A) $满足$ (FRC)_{A} $条件.注意到,当$ h = A $时, $ \Phi_A^\ast = A^\ast g^\ast $,因此本文中的$ (FRC) $条件即转化为文献[14]中的$ (FRC)_A $条件.

命题3.1  下列命题等价

(ⅰ) $ (f, g, h) $满足$ (FRC) $条件.

(ⅱ) (3.13)式及以下包含关系成立

(3.18) $ \begin{equation} {\rm epi}\; (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} })\subseteq\Big( {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big)\Big)\cap (\{0\}\times {\mathbb{R}}). \end{equation} $

(ⅲ)以下包含关系成立

(3.19) $ \begin{equation} {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} })\subseteq \Big({\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big)\Big) \cap (\{0\}\times {\mathbb{R}}). \end{equation} $

证   $ {\rm(i)}\Rightarrow {\rm(ii)} $假设(i)成立.欲证(ii),只需证(3.18)式成立.为此,设$ (0, r)\in {\rm epi}\; (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast) $ (若(3.18)式左边的集合为空集,则包含关系自动成立),则$ (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0)\leq r $.由$ (FRC) $条件可知, $ f^{\ast }\square \Phi_h^\ast $在$ 0 $点是精确的,因此存在$ x^{\ast }\in X^{\ast } $和$ y_0^{\ast }\in Y^{\ast } $使得

$ (f^\ast\square \Phi_h^\ast)(0) = f^\ast(-x^\ast)+\Phi_h^\ast(x^\ast), \quad \Phi_h^\ast(x^\ast) = (y_0^\ast h)^\ast(x^\ast)+g^\ast(y_0^\ast). $

这就意味着

$ f^\ast(-x^\ast)+(y_0^\ast h)^\ast(x^\ast)+g^\ast(y_0^\ast)\le r. $

因此

$ (-x^\ast, r-(y_0^\ast h)^\ast(x^\ast)-g^\ast(y_0^\ast))\in {\rm epi}f^\ast. $

从而

$ \begin{eqnarray*} (0, r) & = &(-x^\ast, r-(y_0^\ast h)^\ast(x^\ast)-g^\ast(y_0^\ast))+(x^\ast, (y_0^\ast h)^\ast(x^\ast))+(0, g^\ast(y_0^\ast)) \\ &\in & {\rm epi}\; f^{\ast }+ {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y_0^\ast))\\ &\subseteq& {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big( {\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big). \end{eqnarray*} $

于是(3.18)式成立.

$ {\rm(ii)}\Rightarrow {\rm(iii)} $假设(ⅱ)成立.则(3.13)式和(3.18)式成立.若(3.19)式左边集合为空集,则结论自然成立.下设$ (0, r)\in {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast } $,则$ (f+g\circ h)^{\ast }(0)\leq r $.因此,由(3.13)式可知, $ (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0)\leq r $.这就意味着$ (0, r)\in {\rm epi}\; (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}} ) $.从而由(3.18)式可得

$ (0, r)\in {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))). $

因此, (3.19)式成立.

$ {\rm(iii)}\Rightarrow {\rm(i)} $假设(3.19)式成立.若$ v(P_f) = -\infty $,则由(3.9)式, (3.10)式和(3.5)式可知, $ v(D_f) = -\infty $.因此,结论自动成立.下设$ r: = v(P_f)\in {{\Bbb R}} $.由(3.9)式可知, $ (f+g\circ h)^{\ast }(0) = -r $,即$ (0, -r)\in {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast } $.由(3.19)式可得

$ (0, -r)\in {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))). $

故存在$ y_0^\ast\in Y^\ast $使得

$ (0, -r)\in {\rm epi}f^\ast+{\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y_0^\ast)). $

因此,存在$ (x_1^\ast, r_1)\in {\rm epi}f^\ast $和$ (x_2^\ast, r_2)\in {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast $使得

(3.20) $ \begin{equation} x_{1}^{\ast }+x_{2}^{\ast } = 0, \quad\quad r_{1}+r_{2}+g^\ast(y_0^\ast) = -r. \end{equation} $

由于$ f^{\ast }(x_{1}^{\ast })\leq r_{1} $和$ (y_0^\ast h)^\ast(x_2^\ast) \leq r_{2} $,则由(3.20)式有

(3.21) $ \begin{equation} f^{\ast }(-x_{2}^{\ast })+(y_0^\ast h)^\ast(x_2^\ast)+g^{\ast }(y_0^{\ast })\leq r_{1}+r_{2}+g^{\ast }(y_0^{\ast }) = -r = -v(P_f). \end{equation} $

注意到$ \Phi_h^\ast(x_2^\ast)\leq (y_0^\ast h)^\ast(x_2^\ast)+g^{\ast }(y_0^{\ast }) $,故由(3.5)式和(3.21)式可得

(3.22) $ \begin{equation} f^{\ast }(-x_{2}^{\ast })+\Phi_h^\ast(x_2^\ast)\leq f^{\ast }(-x_{2}^{\ast })+ (y_0^\ast h)^\ast(x_2^\ast)+g^{\ast }(y_0^{\ast })\leq -v(P_f)\leq -v(D_f). \end{equation} $

进一步,由(3.10)式和下卷积的定义可知

$ -v(D_f) = (f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })(0)\leq f^{\ast }(-x_{2}^{\ast })+\Phi_h^\ast(x_{2}^{\ast }). $

结合上式及(3.21)式和(3.22)式可得

$ (f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })(0) = f^{\ast }(-x_{2}^{\ast })+\Phi_h^{\ast }(x_{2}^{\ast}) = f^{\ast }(-x_{2}^{\ast })+ (y_0^\ast h)^\ast(x_2^\ast)+g^{\ast }(y_0^{\ast }). $

于是,由(3.9)式可知

$ (f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })(0) = -v(P_f) = (f+g\circ h)^{\ast }(0) $

且$ f^{\ast }\square \Phi_h^\ast $在$ 0 $点是精确的,即$ (f, g, h) $满足$ (FRC) $条件.

注3.2  注意到, (3.18)式和(3.19)式中反包含关系自动成立.因此, (3.18)式和(3.19)式中的包含关系可以用等式代替.

下面定理说明$ (FRC) $条件与Fenchel-Lagrange强对偶等价.

定理3.1   $ (f, g, h) $满足$ (FRC) $条件当且仅当$ v(P_f) = v(D_f) $且$ (D_f) $有最优解.

证  假设$ (f, g, h) $满足$ (FRC) $条件.则由注3.1(c)可知

$ (f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })(0) = (f+g\circ h)^{\ast }(0). $

从而由(3.9)式和(3.10)式可得$ v(P_f) = v(D_f) $.下证$ (D_f) $有最优解.事实上,由于$ f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast } $在$ 0 $点是精确的,故存在$ x_0^{\ast }\in X^{\ast } $和$ y_0^{\ast }\in Y^{\ast } $使得

$ \begin{eqnarray*} -v(D_f) & = &(f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0) = f^{\ast }(-x_0^{\ast })+ \Phi_h^\ast(x_0^\ast) \\ & = &f^{\ast }(-x_0^{\ast })+ (y_0^\ast h)(x_0^\ast)+g^\ast(y_0^\ast). \end{eqnarray*} $

这就意味着$ (x_0^{\ast }, y_0^\ast) $是$ (D_f) $的最优解.

反之,假设$ v(P_f) = v(D_f) $且$ (D_f) $有最优解.由命题3.1可知,欲证$ (f, g, h) $满足$ (FRC) $条件,只需证(3.19)式成立.为此,设$ (0, r)\in {\rm epi}(f+g\circ h)^{\ast } $ (若$ {\rm epi} \; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}} ) = \emptyset $,则结论自动成立),则$ -v(P_f) = (f+g\circ h)^{\ast }(0)\leq r $.由于$ v(P_f) = v(D_f) $且$ (D_f) $有最优解,故$ -v(D_f)\leq r $且存在$ x_0^\ast\in X^\ast $和$ y_0^{\ast }\in Y^{\ast } $使得

$ f^\ast(-x_0^\ast)+g^\ast(y_0^\ast)+(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast) = -v(D_{f})\le r. $

因此

$ f^\ast(-x_0^\ast)\le r-g^\ast(y_0^\ast)-(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast). $

于是$ (-x_0^\ast, r-g^\ast(y_0^\ast)-(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))\in {\rm epi}f^\ast $.显然, $ (x_0^\ast, (y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))\in {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast $且

$ (0, r) = (-x_0^\ast, r- g^\ast(y_0^\ast)-(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))+(x_0^\ast, (y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))+(0, g^\ast(y_0^\ast)). $

因此, $ (0, r)\in {\rm epi}\; f^{\ast }+ {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y_0^\ast)) $,从而

$ (0, r)\in {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big( {\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big). $

于是(3.19)式成立.

设$ p\in X^{\ast } $表示函数$ p(\cdot ): = \langle p, \cdot \rangle , $其对应的共轭函数$ p^{\ast } = \delta _{\{p\}} $.故对任意的$ a\in{{\Bbb R}} $和函数$ \varphi:X\to \overline {{\Bbb R}} $,下列等式成立

(3.23) $ \begin{equation} (\varphi+p+a)^\ast(x^\ast) = \varphi^\ast(x^\ast-p)-a, \quad\forall x^\ast\in X^\ast; \end{equation} $

(3.24) $ \begin{equation} {\rm epi}(\varphi+p+a)^* = {\rm epi}\varphi^*+(p, -a). \end{equation} $

设$ {\rm Id}_{{\Bbb R}} $表示$ {{\Bbb R}} $上的单位算子,集合$ (A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}})({\rm epi}g^{\ast }) $表示$ {\rm epi} g^\ast $在映射$ A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}} $下的像,定义为

$ (x^{\ast }, r)\in (A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}})({\rm epi}\; g^{\ast })\Leftrightarrow [\exists y^{\ast }\in Y^{\ast }, \ \ \mbox{s.t. }(y^{\ast }, r)\in {\rm epi}\; g^{\ast }, \ A^{\ast }y^{\ast } = x^{\ast }]. $

为刻画$ (P_f) $和$ (D_f) $之间的Fenchel-Lagrange稳定强对偶(即,对任意的$ p\in X^\ast $, $ v(P_{f+p}) = v(D_{f+p}) $且问题$ (D_{f+p}) $有最优解),我们引入以下约束规范条件.

定义3.3  若

(3.25) $ \begin{equation} {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast} \subseteq{\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big), \end{equation} $

则称$ (f, g, h) $满足$ (CC) $条件.

注3.3   $ \rm(a) $注意到, (3.25)式中的反包含关系自动成立,因此$ (CC) $条件成立当且仅当

(3.26) $ \begin{equation} {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast} = {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big). \end{equation} $

$ \rm(b) $设$ A $是从$ X $到$ Y $的连续线性算子.由文献[14,定义3.1]可知,若

(3.27) $ \begin{equation} {\rm epi}(f+ g\circ A)^{\ast }\subseteq {\rm epi}\; f^{\ast }+(A^{\ast }\times {\rm Id}_{{{\Bbb R}} })({\rm epi}\; g^{\ast }), \end{equation} $

则称$ ( f, g, A) $满足$ (CC)_{A} $条件.注意到

$ \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast A)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big) = \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}(A^\ast y^\ast, g^\ast(y^\ast))+\{0\}\times {{\Bbb R}}_+ = (A^{\ast }\times {\rm Id}_{{{\Bbb R}} })({\rm epi}\; g^{\ast }). $

因此,当$ h = A $时,本文中的$ (CC) $即转化为文献[14]中的$ (CC)_A $条件.

命题3.2  假设存在点$ x_0\in {\rm dom}f\cap h^{-1}({\rm dom}g) $使得$ g $和$ h $分别在$ h(x_0) $和$ x_0 $处连续,则$ (f, g, h) $满足$ (CC) $条件.

证  由于$ g $是$ K $ -增函数,故对任意的$ y^\ast\notin K^\oplus $有$ g^\ast(y^\ast) = +\infty $.因此,由文献[17,定理2.8.10]可知

$ {\rm epi}(f+g\circ h)^\ast\subseteq \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}{\rm epi}(f+y^\ast h-g^\ast(y^\ast))^\ast; $

而由引理2.1(ⅱ)和(3.24)式知

$ \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}{\rm epi}(f+y^\ast h-g^\ast(y^\ast))^\ast = {\rm epi}f^\ast+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big). $

从而$ (CC) $条件成立.

以下定理刻画了$ (CC) $条件和$ (FRC) $条件之间的关系.

定理3.2   $ (f, g, h) $满足$ (CC) $条件当且仅当对任意的$ p\in X^{\ast } $, $ (f-p, g, h) $满足$ (FRC) $条件.

证  设$ p\in X^\ast $.记

$ K(p): = {\rm epi}\; (f-p)^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big). $

由命题3.1知,欲证此结论,只需证明$ (f, g, h) $满足$ (CC) $条件当且仅当对任意的$ p\in X^\ast $,有

(3.28) $ \begin{equation} {\rm epi}\; (f-p+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} }) = K(p)\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} }). \end{equation} $

为此,设$ p\in X^\ast $.由(3.24)式可知

$ {\rm epi}\; (f-p+g\circ h)^{\ast } = {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }+ (-p, 0), $

因此

(3.29) $ \begin{equation} {\rm epi}\; (f-p+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}}) = {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}})+ (-p, 0). \end{equation} $

类似可得

$ K(p)\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}}) = \big({\rm epi} f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)))\big)\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}})+ (-p, 0). $

由此可知, (3.28)式成立等价于

$ {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}}) = \big({\rm epi} f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)))\big)\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}}). $

从而,对任意的$ p\in X^* $, (3.28)式成立当且仅当(3.26)式成立,即$ (CC) $条件成立.

由定理3.1和定理3.2直接可得以下结论.

定理3.3   $ (f, g, h) $满足$ (CC) $条件当且仅当对任意的$ p\in X^{\ast } $, $ v(P_{f+p}) = v(D_{f+p}) $且$ (D_{f+p}) $有最优解.

由命题3.2和定理3.3可知推论3.1和推论3.2成立.

推论3.1  若存在$ x_0\in {\rm dom}f\cap h^{-1}({\rm dom}g) $使得$ g $和$ h $分别在$ h(x_0) $和$ x_0 $处连续,则对任意的$ p\in X^{\ast } $, $ v(P_{f+p}) = v(D_{f+p}) $且$ (D_{f+p}) $有最优解.

推论3.2  若$ (f, g, h) $满足$ (CC) $条件,则$ v(P_f) = v(D_f) $且$ (D_f) $有最优解.

设$ \varphi: X\to \overline {{\Bbb R}} $为一真凸函数, $ {\rm cont}\, \varphi $表示$ \varphi $的所有连续点所构成的集合,即

$ {\rm cont}\, \varphi: = \{x\in X:\;\varphi\mbox{在$x$点处连续}\}. $

则以下结论成立.

推论3.3  下列命题等价

$ \rm(i) $下列包含关系成立

(3.30) $ \begin{equation} {\rm epi}(g\circ h)^\ast\subseteq\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big). \end{equation} $

$ \rm(ii) $对任意满足$ {\rm cont }\varphi\cap h^{-1}({\rm dom}g)\neq \emptyset $的真凸函数$ \varphi $, $ v(P_\varphi) = v(D_\varphi) $且问题$ (D_\varphi) $有最优解.

$ \rm(iii) $对任意$ p\in X^\ast $, $ v(P_{p}) = v(D_{p}) $且问题$ (D_{p}) $有最优解.

证   (i)$ \Rightarrow $(ii)假设(i)成立.设$ \varphi $为$ X $上的真凸函数且满足$ {\rm cont }\varphi\cap h^{-1}({\rm dom}g)\neq \emptyset $,则由引理2.1(ii)可知

$ {\rm epi}(\varphi+g\circ h)^\ast = {\rm epi}\varphi^\ast+{\rm epi}(g\circ h)^\ast\subseteq {\rm epi}\varphi^\ast+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big). $

这就意味着$ (\varphi, g, h) $满足$ (CC) $条件.因此,由定理3.3可知(ii)成立.

(ii) $ \Rightarrow $(iii)该结论显然成立.

(iii) $ \Rightarrow $(i)由定理3.3 (令$ f = 0 $)直接可得.

注3.4  由注3.3(a)可知, (3.30)式成立当且仅当

$ {\rm epi}(g\circ h)^\ast = \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big). $

进一步,若存在$ x_0\in h^{-1}({\rm dom}g) $使得$ g $在点$ h(x_0) $处连续,则由[17,定理2.8.10]可知, (3.30)成立.

当$ h = A $为从$ X $到$ Y $的线性算子时,问题$ (P_f) $转化为经典的凸优化问题

(3.31) $ \begin{equation} ({\mathcal P})\quad\quad \inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}. \end{equation} $

注意到,对任意的$ x^\ast\in X^\ast $和$ y^\ast\in Y^\ast $,有

$ (y^\ast A)^\ast(x^\ast): = \left\{\begin{array}{ll} 0, &{x^\ast = A^\ast y^\ast}, \\ +\infty, &{\mbox {其它.}} \end{array}\right. $

则问题$ (P_f) $的对偶问题$ (D_f) $转化为

(3.32) $ \begin{equation} ({\cal D}) \quad\quad \sup\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \{- f^\ast(-A^\ast y^\ast)-g^\ast(y^\ast)\}. \end{equation} $

因此,由注3.1(d),注3.3(b),定理3.1和定理3.3可得以下推论,其中推论3.4和推论3.5分别为文献[14]中的定理4.4和定理4.6.

推论3.4   $ (f, g, A) $满足$ (FRC)_A $条件当且仅当$ v({\mathcal P}) = v({\mathcal D}) $且$ ({\mathcal D}) $有最优解.

推论3.5   $ (f, g, A) $满足$ (CC)_A $条件当且仅当对任意的$ p\in X^\ast $,有

$ \inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(Ax)-\langle p, x\rangle\} = \max\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \{- f^\ast(p-A^\ast y^\ast)-g^\ast(y^\ast)\}. $