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数学物理学报, 2020, 40(1): 20-30 doi:

论文

复合凸优化问题的Fenchel-Lagrange强对偶之研究

方东辉, 田利萍,, 王仙云,

Strong Fenchel-Lagrange Duality for Convex Optimization Problems with Composite Function

Fang Donghui, Tian Liping,, Wang Xianyun,

通讯作者: 方东辉

收稿日期: 2018-08-30  

基金资助: 国家自然科学基金.  11861033
湖南省教育厅科研基金.  17A172

Received: 2018-08-30  

Fund supported: 国家自然科学基金.  11861033
湖南省教育厅科研基金.  17A172

作者简介 About authors

田利萍,E-mail:littleequation@163.com , E-mail:littleequation@163.com

王仙云,E-mail:495102048@qq.com , E-mail:495102048@qq.com

摘要

利用共轭函数的上图性质,引入新的约束规范条件,等价刻画了目标函数为凸函数与凸复合函数之和的复合优化问题及其Fenchel-Lagrange对偶问题之间的强对偶与稳定强对偶.

关键词: Fenchel-Lagrange强对偶 ; 约束规范条件 ; 复合凸优化问题

Abstract

In this paper, we consider a convex composite optimization problem which consists in minimizing the sum of a convex function and a convex composite function. By using the properties of the epigraph of the conjugate functions, some sufficient and necessary conditions for the strong and stable strong Fenchel-Lagrange dualities are provided.

Keywords: Fenchel-Lagrange duality ; Constraint qualification ; Convex composite optimization problem

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本文引用格式

方东辉, 田利萍, 王仙云. 复合凸优化问题的Fenchel-Lagrange强对偶之研究. 数学物理学报[J], 2020, 40(1): 20-30 doi:

Fang Donghui, Tian Liping, Wang Xianyun. Strong Fenchel-Lagrange Duality for Convex Optimization Problems with Composite Function. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(1): 20-30 doi:

1 引言

X, Y是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, XY分别表示XY的共轭空间,分别赋予弱拓扑w(X,X)w(Y,Y). KY中的闭凸锥且Y是由K所定义的序空间.设f:X¯R:=R{+}是真凸函数, g:Y¯R是真凸K -增函数, h:XY是真K -凸映射且满足h(domf)domg.近年来,复合凸优化问题

(Pf)infxX{f(x)+g(h(x))}
(1.1)

引起了学者们的广泛关注,许多优化和逼近问题都可以转化成问题(1.1)的形式(参看文献[1, 3-4, 7-10, 12-13, 15-18]及文中的参考文献).特别地,当h为线性算子时,问题(1.1)即为经典的无约束优化问题(参看文献[2, 5-6, 14, 17])

(P)infxX{f(x)+g(Ax)}.
(1.2)

对于问题(Pf),我们可以定义不同的对偶问题.通常,学者们主要研究经典的Fenchel对偶问题,通过引入新的正则条件,建立了问题(Pf)及其Fenchel对偶问题之间的强对偶.例如,文献[3]利用闭性条件刻画了(Pf)的Fenchel强对偶,文献[1]利用共轭函数的上图性质,引入新的正则条件,研究了(Pf)ϵ -对偶间隙性质.近来,凸优化问题的Fenchel-Lagrange型对偶受到了学者们的高度重视.然而,据我们所知,很少有学者研究复合优化问题(Pf)的Fenchel-Lagrange强对偶和Fenchel-Lagrange稳定强对偶.

受上述文献的启发,本文研究复合凸优化问题(Pf)及其Fenchel-Lagrange对偶问题

(Df)supxX,yY{f(x)g(y)(yh)(x)}
(1.3)

之间的强对偶和稳定强对偶.设v(Pf)v(Df)分别表示问题(Pf)(Df)的最优值,则v(Pf)v(Df),即(Pf)(Df)之间的弱对偶成立.但是,这两个值不总是相等的.因此,寻找合适的约束规范条件,使得Fenchel-Lagrange强对偶(即v(Pf)=v(Df)且对偶问题(Df)有最优解)成立就成为了凸分析中的一个热点和难点问题.本文在一般假设下,即f, gh是真凸函数(不一定是下半连续函数),研究问题(Pf)(Df)之间的Fenchel-Lagrange强对偶.通过引入新的约束规范条件(FRC)(CC)并建立(FRC)(CC)成立的充分和(或)必要条件,等价刻画了问题(Pf)(Df)之间的强对偶和稳定强对偶.

2 记号与定义

XY是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, XX的共轭空间并赋予弱拓扑w(X,X).x,x表示泛函xXxX处的值,即x,x=x(x).对于空间X×R,我们赋予乘积拓扑w(X,X)和Euclidean拓扑.设f:X¯R是真函数,定义f的有效定义域,共轭函数和上图分别为

domf:={xX:f(x)<+},

f(x):=sup{x,xf(x):xX}xX

epif:={(x,r)X×R:f(x)r}.

显然, epif是弱闭凸集.由定义可知, Young-Fenchel不等式成立

f(x)+f(x)x,x,(x,x)X×X.
(2.1)

g,h:X¯R为真函数且满足domgdomh,则

epig+epihepi(g+h),
(2.2)

ghghepigepih.
(2.3)

进一步,定义gh的下端卷积函数gh:XR{±}

(gh)(x):=infzX{g(z)+h(xz)}.

若存在zX使得(gh)(x)=g(z)+h(xz),则称ghxX点是精确的.注意到,若ghx点是精确的,则(gh)(x)>;若(gh)(x)=+,则ghx点是精确的.

定义2.1[6]  设M1,M2,N1,N2是非空集合.定义映射F:M1M2G:N1N2的乘积映射F×G:M1×N1M2×N2

(F×G)(x,y):=(F(x),G(y)).

定义2.2[6]  设A:XY是线性算子,函数h:X¯R.

(Ah)(y):=inf{h(x):Ax=y}

所定义的函数Ah:YR{±}称为hA之下的像.若A1(y):={xX:Ax=y}为空集,则约定(Ah)(y)=+.

引理2.1[11, 17]  设g,h:X¯R是真凸函数且满足domgdomh.

(ⅰ)若g,h是下半连续函数,则

epi(g+h)=cl(epi(gh))=cl(epig+epih).
(2.4)

(ⅱ)若gh在点x0domgdomh处连续,则

epi(g+h)=epig+epih.
(2.5)

3 Fenchel-Lagrange强对偶

X,Y是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, Y是由闭凸锥KY所定义的序空间.定义Y上的序为:若yxK,yKx.Y=Y{Y},其中{Y}是关于偏序K的最大元.在Y上定义以下运算:对任意的yY, y+=+y=, t=, t0.设函数φ:Y¯R,对任意的x,yY,若当yKx时有φ(y)φ(x),则称φK -增函数.设函数ψ:XY,若对任意的x,ydomψ:={xX:ψ(x)Y}t[0,1],

ψ(tx+(1t)y)Ktψ(x)+(1t)ψ(y),

则称ψK -凸函数(参见文献[17]).设f:X¯R是真凸函数, h:XY是真K -凸映射, g:Y¯R是真凸K -增函数.定义

(gh)(x):={g(h(x)),  xdomh,+, 其它.

gh是真凸函数.为简便起见,对任意的μY,记

(μh)(x):={μ,h(x),  xdomh,+, 其它.

pX.考虑以下带线性扰动的复合凸优化问题

(Pf+p)infxX{f(x)+g(h(x))p,x}
(3.1)

及其Fenchel-Lagrange对偶问题

(Df+p)supxX,yY{f(px)g(y)(yh)(x)}.
(3.2)

v(Pf+p)v(Df+p)分别表示问题(Pf+p)(Df+p)的最优值,即

v(Pf+p)=infxX{f(x)+g(h(x))p,x},
(3.3)

v(Df+p)=supxX,yY{f(px)g(y)(yh)(x)}.
(3.4)

特别地,当p=0时,问题(Pf+p)(Df+p)即为问题(Pf)(Df).注意到,对任意的xX, yY,下列式子成立

f(px)g(y)(yh)(x)f(x)px,x+g(h(x))y,h(x)+y,h(x)x,x=f(x)+g(h(x))p,x,xX.

因此, (Pf)(Df)之间的稳定弱对偶成立,即

v(Df+p)v(Pf+p),pX.
(3.5)

本节主要研究问题(Pf)和对偶问题(Df)之间的Fenchel-Lagrange强对偶,即v(Pf)=v(Df)且问题(Df)有最优解.为此,我们将利用到以下特征函数Φh:X¯R (参看文献[8])

Φh(x):=infyY(yhg(y))(x),xX.
(3.6)

由文献[17,定理2.3.1]可知,对任意的xX,有

Φh(x)=infyY{(yh)(x)+g(y)}.

据文献[8,命题3.1]知, ΦhX上是凸函数且

Φh(gh),epiΦhepi(gh).
(3.7)

进一步,由(2.3)式可得

yYepi(yhg(y))epiΦh.
(3.8)

由定义易知,以下等式成立

v(Pf)=(f+gh)(0),
(3.9)

v(Df)=(fΦh)(0).
(3.10)

事实上, (3.9)式显然成立,而

(fΦh)(0)=infxX{f(x)+Φh(x)}=infxX{f(x)+infyY{(yh)(x)+g(y)}}=supxX,yY{f(x)g(y)(yh)(x)}=v(Df),

从而, (Pf)(Df)之间的弱对偶成立(即v(Df)v(Pf))等价于

(f+gh)(0)(fΦh)(0)
(3.11)

或等价于

epi(fΦh)({0}×R)epi(f+gh)({0}×R).
(3.12)

定义3.1  若存在xX使得(fΦh)(0)=f(x)+Φh(x)Φh(x)可取到下确界,则称fΦh0点是精确的.

定义3.2  若fΦh0点是精确的且

(f+gh)(0)(fΦh)(0),
(3.13)

则称(f,g,h)满足(FRC)条件.

注3.1   (a)由(3.9)式和(3.10)式可知,以下结论成立

v(Df)>epi(fΦh)({0}×R),
(3.14)

v(Pf)>epi(f+gh)({0}×R).
(3.15)

(b)fΦh0点是精确的,则最优值v(Df)有限.

(c)由(3.9), (3.10)式和(3.5)式可知, (3.13)式成立当且仅当

(f+gh)(0)=(fΦh)(0),
(3.16)

同时, (3.16)式成立等价于v(Pf)=v(Df),即(Pf)(Df)之间的零对偶间隙性质成立.

(d)A是从XY的线性连续算子.由文献[14,定义4.2]可知,若

(f+gA)(0)(fAg)(0),
(3.17)

且存在xX使得(fAg)(0)=f(x)+(Ag)(x)(Ag)(x)可取到下确界,则称(f,g;A)满足(FRC)A条件.注意到,当h=A时, ΦA=Ag,因此本文中的(FRC)条件即转化为文献[14]中的(FRC)A条件.

命题3.1  下列命题等价

(ⅰ) (f,g,h)满足(FRC)条件.

(ⅱ) (3.13)式及以下包含关系成立

epi(fΦh)({0}×R)(epif+yY(epi(yh)+(0,g(y))))({0}×R).
(3.18)

(ⅲ)以下包含关系成立

epi(f+gh)({0}×R)(epif+yY(epi(yh)+(0,g(y))))({0}×R).
(3.19)

   (i)(ii)假设(i)成立.欲证(ii),只需证(3.18)式成立.为此,设(0,r)epi(fΦh) (若(3.18)式左边的集合为空集,则包含关系自动成立),则(fΦh)(0)r.(FRC)条件可知, fΦh0点是精确的,因此存在xXy0Y使得

(fΦh)(0)=f(x)+Φh(x),Φh(x)=(y0h)(x)+g(y0).

这就意味着

f(x)+(y0h)(x)+g(y0)r.

因此

(x,r(y0h)(x)g(y0))epif.

从而

(0,r)=(x,r(y0h)(x)g(y0))+(x,(y0h)(x))+(0,g(y0))epif+epi(y0h)+(0,g(y0))epif+yY(epi(yh)+(0,g(y))).

于是(3.18)式成立.

(ii)(iii)假设(ⅱ)成立.则(3.13)式和(3.18)式成立.若(3.19)式左边集合为空集,则结论自然成立.下设(0,r)epi(f+gh),则(f+gh)(0)r.因此,由(3.13)式可知, (fΦh)(0)r.这就意味着(0,r)epi(fΦh)({0}×R).从而由(3.18)式可得

(0,r)epif+yY(epi(yh)+(0,g(y))).

因此, (3.19)式成立.

(iii)(i)假设(3.19)式成立.若v(Pf)=,则由(3.9)式, (3.10)式和(3.5)式可知, v(Df)=.因此,结论自动成立.下设r:=v(Pf)R.由(3.9)式可知, (f+gh)(0)=r,即(0,r)epi(f+gh).由(3.19)式可得

(0,r)epif+yY(epi(yh)+(0,g(y))).

故存在y0Y使得

(0,r)epif+epi(y0h)+(0,g(y0)).

因此,存在(x1,r1)epif(x2,r2)epi(y0h)使得

x1+x2=0,r1+r2+g(y0)=r.
(3.20)

由于f(x1)r1(y0h)(x2)r2,则由(3.20)式有

f(x2)+(y0h)(x2)+g(y0)r1+r2+g(y0)=r=v(Pf).
(3.21)

注意到Φh(x2)(y0h)(x2)+g(y0),故由(3.5)式和(3.21)式可得

f(x2)+Φh(x2)f(x2)+(y0h)(x2)+g(y0)v(Pf)v(Df).
(3.22)

进一步,由(3.10)式和下卷积的定义可知

v(Df)=(fΦh)(0)f(x2)+Φh(x2).

结合上式及(3.21)式和(3.22)式可得

(fΦh)(0)=f(x2)+Φh(x2)=f(x2)+(y0h)(x2)+g(y0).

于是,由(3.9)式可知

(fΦh)(0)=v(Pf)=(f+gh)(0)

fΦh0点是精确的,即(f,g,h)满足(FRC)条件.

注3.2  注意到, (3.18)式和(3.19)式中反包含关系自动成立.因此, (3.18)式和(3.19)式中的包含关系可以用等式代替.

下面定理说明(FRC)条件与Fenchel-Lagrange强对偶等价.

定理3.1   (f,g,h)满足(FRC)条件当且仅当v(Pf)=v(Df) (D_f) 有最优解.

  假设 (f, g, h) 满足 (FRC) 条件.则由注3.1(c)可知

(f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast })(0) = (f+g\circ h)^{\ast }(0).

从而由(3.9)式和(3.10)式可得 v(P_f) = v(D_f) .下证 (D_f) 有最优解.事实上,由于 f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast } 0 点是精确的,故存在 x_0^{\ast }\in X^{\ast } y_0^{\ast }\in Y^{\ast } 使得

\begin{eqnarray*} -v(D_f) & = &(f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0) = f^{\ast }(-x_0^{\ast })+ \Phi_h^\ast(x_0^\ast) \\ & = &f^{\ast }(-x_0^{\ast })+ (y_0^\ast h)(x_0^\ast)+g^\ast(y_0^\ast). \end{eqnarray*}

这就意味着 (x_0^{\ast }, y_0^\ast) (D_f) 的最优解.

反之,假设 v(P_f) = v(D_f) (D_f) 有最优解.由命题3.1可知,欲证 (f, g, h) 满足 (FRC) 条件,只需证(3.19)式成立.为此,设 (0, r)\in {\rm epi}(f+g\circ h)^{\ast } (若 {\rm epi} \; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}} ) = \emptyset ,则结论自动成立),则 -v(P_f) = (f+g\circ h)^{\ast }(0)\leq r .由于 v(P_f) = v(D_f) (D_f) 有最优解,故 -v(D_f)\leq r 且存在 x_0^\ast\in X^\ast y_0^{\ast }\in Y^{\ast } 使得

f^\ast(-x_0^\ast)+g^\ast(y_0^\ast)+(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast) = -v(D_{f})\le r.

因此

f^\ast(-x_0^\ast)\le r-g^\ast(y_0^\ast)-(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast).

于是 (-x_0^\ast, r-g^\ast(y_0^\ast)-(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))\in {\rm epi}f^\ast .显然, (x_0^\ast, (y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))\in {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast

(0, r) = (-x_0^\ast, r- g^\ast(y_0^\ast)-(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))+(x_0^\ast, (y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))+(0, g^\ast(y_0^\ast)).

因此, (0, r)\in {\rm epi}\; f^{\ast }+ {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y_0^\ast)) ,从而

(0, r)\in {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big( {\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big).

于是(3.19)式成立.

p\in X^{\ast } 表示函数 p(\cdot ): = \langle p, \cdot \rangle , 其对应的共轭函数 p^{\ast } = \delta _{\{p\}} .故对任意的 a\in{{\Bbb R}} 和函数 \varphi:X\to \overline {{\Bbb R}} ,下列等式成立

\begin{equation} (\varphi+p+a)^\ast(x^\ast) = \varphi^\ast(x^\ast-p)-a, \quad\forall x^\ast\in X^\ast; \end{equation}
(3.23)

\begin{equation} {\rm epi}(\varphi+p+a)^* = {\rm epi}\varphi^*+(p, -a). \end{equation}
(3.24)

{\rm Id}_{{\Bbb R}} 表示 {{\Bbb R}} 上的单位算子,集合 (A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}})({\rm epi}g^{\ast }) 表示 {\rm epi} g^\ast 在映射 A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}} 下的像,定义为

(x^{\ast }, r)\in (A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}})({\rm epi}\; g^{\ast })\Leftrightarrow [\exists y^{\ast }\in Y^{\ast }, \ \ \mbox{s.t. }(y^{\ast }, r)\in {\rm epi}\; g^{\ast }, \ A^{\ast }y^{\ast } = x^{\ast }].

为刻画 (P_f) (D_f) 之间的Fenchel-Lagrange稳定强对偶(即,对任意的 p\in X^\ast , v(P_{f+p}) = v(D_{f+p}) 且问题 (D_{f+p}) 有最优解),我们引入以下约束规范条件.

定义3.3  若

\begin{equation} {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast} \subseteq{\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big), \end{equation}
(3.25)

则称 (f, g, h) 满足 (CC) 条件.

注3.3   \rm(a) 注意到, (3.25)式中的反包含关系自动成立,因此 (CC) 条件成立当且仅当

\begin{equation} {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast} = {\rm epi}\; f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big). \end{equation}
(3.26)

\rm(b) A 是从 X Y 的连续线性算子.由文献[14,定义3.1]可知,若

\begin{equation} {\rm epi}(f+ g\circ A)^{\ast }\subseteq {\rm epi}\; f^{\ast }+(A^{\ast }\times {\rm Id}_{{{\Bbb R}} })({\rm epi}\; g^{\ast }), \end{equation}
(3.27)

则称 ( f, g, A) 满足 (CC)_{A} 条件.注意到

\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast A)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big) = \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}(A^\ast y^\ast, g^\ast(y^\ast))+\{0\}\times {{\Bbb R}}_+ = (A^{\ast }\times {\rm Id}_{{{\Bbb R}} })({\rm epi}\; g^{\ast }).

因此,当 h = A 时,本文中的 (CC) 即转化为文献[14]中的 (CC)_A 条件.

命题3.2  假设存在点 x_0\in {\rm dom}f\cap h^{-1}({\rm dom}g) 使得 g h 分别在 h(x_0) x_0 处连续,则 (f, g, h) 满足 (CC) 条件.

  由于 g K -增函数,故对任意的 y^\ast\notin K^\oplus g^\ast(y^\ast) = +\infty .因此,由文献[17,定理2.8.10]可知

{\rm epi}(f+g\circ h)^\ast\subseteq \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}{\rm epi}(f+y^\ast h-g^\ast(y^\ast))^\ast;

而由引理2.1(ⅱ)和(3.24)式知

\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}{\rm epi}(f+y^\ast h-g^\ast(y^\ast))^\ast = {\rm epi}f^\ast+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big).

从而 (CC) 条件成立.

以下定理刻画了 (CC) 条件和 (FRC) 条件之间的关系.

定理3.2   (f, g, h) 满足 (CC) 条件当且仅当对任意的 p\in X^{\ast } , (f-p, g, h) 满足 (FRC) 条件.

  设 p\in X^\ast .

K(p): = {\rm epi}\; (f-p)^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast))\big).

由命题3.1知,欲证此结论,只需证明 (f, g, h) 满足 (CC) 条件当且仅当对任意的 p\in X^\ast ,有

\begin{equation} {\rm epi}\; (f-p+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} }) = K(p)\cap (\{0\}\times {{{\Bbb R}} }). \end{equation}
(3.28)

为此,设 p\in X^\ast .由(3.24)式可知

{\rm epi}\; (f-p+g\circ h)^{\ast } = {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }+ (-p, 0),

因此

\begin{equation} {\rm epi}\; (f-p+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}}) = {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}})+ (-p, 0). \end{equation}
(3.29)

类似可得

K(p)\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}}) = \big({\rm epi} f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)))\big)\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}})+ (-p, 0).

由此可知, (3.28)式成立等价于

{\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}}) = \big({\rm epi} f^{\ast }+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)))\big)\cap (\{p\}\times {{\Bbb R}}).

从而,对任意的 p\in X^* , (3.28)式成立当且仅当(3.26)式成立,即 (CC) 条件成立.

由定理3.1和定理3.2直接可得以下结论.

定理3.3   (f, g, h) 满足 (CC) 条件当且仅当对任意的 p\in X^{\ast } , v(P_{f+p}) = v(D_{f+p}) (D_{f+p}) 有最优解.

由命题3.2和定理3.3可知推论3.1和推论3.2成立.

推论3.1  若存在 x_0\in {\rm dom}f\cap h^{-1}({\rm dom}g) 使得 g h 分别在 h(x_0) x_0 处连续,则对任意的 p\in X^{\ast } , v(P_{f+p}) = v(D_{f+p}) (D_{f+p}) 有最优解.

推论3.2  若 (f, g, h) 满足 (CC) 条件,则 v(P_f) = v(D_f) (D_f) 有最优解.

\varphi: X\to \overline {{\Bbb R}} 为一真凸函数, {\rm cont}\, \varphi 表示 \varphi 的所有连续点所构成的集合,即

{\rm cont}\, \varphi: = \{x\in X:\;\varphi\mbox{在$x$点处连续}\}.

则以下结论成立.

推论3.3  下列命题等价

\rm(i) 下列包含关系成立

\begin{equation} {\rm epi}(g\circ h)^\ast\subseteq\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big). \end{equation}
(3.30)

\rm(ii) 对任意满足 {\rm cont }\varphi\cap h^{-1}({\rm dom}g)\neq \emptyset 的真凸函数 \varphi , v(P_\varphi) = v(D_\varphi) 且问题 (D_\varphi) 有最优解.

\rm(iii) 对任意 p\in X^\ast , v(P_{p}) = v(D_{p}) 且问题 (D_{p}) 有最优解.

   (i) \Rightarrow (ii)假设(i)成立.设 \varphi X 上的真凸函数且满足 {\rm cont }\varphi\cap h^{-1}({\rm dom}g)\neq \emptyset ,则由引理2.1(ii)可知

{\rm epi}(\varphi+g\circ h)^\ast = {\rm epi}\varphi^\ast+{\rm epi}(g\circ h)^\ast\subseteq {\rm epi}\varphi^\ast+\bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big).

这就意味着 (\varphi, g, h) 满足 (CC) 条件.因此,由定理3.3可知(ii)成立.

(ii) \Rightarrow (iii)该结论显然成立.

(iii) \Rightarrow (i)由定理3.3 (令 f = 0 )直接可得.

注3.4  由注3.3(a)可知, (3.30)式成立当且仅当

{\rm epi}(g\circ h)^\ast = \bigcup\limits_{y^\ast\in Y^\ast}\big({\rm epi}(y^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y^\ast)) \big).

进一步,若存在 x_0\in h^{-1}({\rm dom}g) 使得 g 在点 h(x_0) 处连续,则由[17,定理2.8.10]可知, (3.30)成立.

h = A 为从 X Y 的线性算子时,问题 (P_f) 转化为经典的凸优化问题

\begin{equation} ({\mathcal P})\quad\quad \inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(Ax)\}. \end{equation}
(3.31)

注意到,对任意的 x^\ast\in X^\ast y^\ast\in Y^\ast ,有

(y^\ast A)^\ast(x^\ast): = \left\{\begin{array}{ll} 0, &{x^\ast = A^\ast y^\ast}, \\ +\infty, &{\mbox {其它.}} \end{array}\right.

则问题 (P_f) 的对偶问题 (D_f) 转化为

\begin{equation} ({\cal D}) \quad\quad \sup\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \{- f^\ast(-A^\ast y^\ast)-g^\ast(y^\ast)\}. \end{equation}
(3.32)

因此,由注3.1(d),注3.3(b),定理3.1和定理3.3可得以下推论,其中推论3.4和推论3.5分别为文献[14]中的定理4.4和定理4.6.

推论3.4   (f, g, A) 满足 (FRC)_A 条件当且仅当 v({\mathcal P}) = v({\mathcal D}) ({\mathcal D}) 有最优解.

推论3.5   (f, g, A) 满足 (CC)_A 条件当且仅当对任意的 p\in X^\ast ,有

\inf\limits_{x\in X}\{f(x)+g(Ax)-\langle p, x\rangle\} = \max\limits_{y^\ast\in Y^\ast} \{- f^\ast(p-A^\ast y^\ast)-g^\ast(y^\ast)\}.

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