设$X$, $Y$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $X^{\ast}$和$Y^{\ast }$分别表示$X$和$Y$的共轭空间,分别赋予弱$^{\ast }$拓扑$w^{\ast }(X^{\ast}, X)$和$w^{\ast}(Y^{\ast }, Y)$. $K$是$Y$中的闭凸锥且$Y$是由$K$所定义的序空间.设$f:X\rightarrow \overline {{\Bbb R}}: = {{{\Bbb R}} }\cup \{+\infty \}$是真凸函数, $g:Y\rightarrow \overline {{\Bbb R}}$是真凸$K$ -增函数, $h:X\rightarrow Y$是真$K$ -凸映射且满足$h({\rm dom} \; f)\cap {\rm dom}\; g\neq \emptyset$.近年来,复合凸优化问题

引起了学者们的广泛关注,许多优化和逼近问题都可以转化成问题(1.1)的形式(参看文献[1, 3-4, 7-10, 12-13, 15-18]及文中的参考文献).特别地,当$h$为线性算子时,问题(1.1)即为经典的无约束优化问题(参看文献[2, 5-6, 14, 17])

对于问题$(P_f)$,我们可以定义不同的对偶问题.通常,学者们主要研究经典的Fenchel对偶问题,通过引入新的正则条件,建立了问题$(P_f)$及其Fenchel对偶问题之间的强对偶.例如,文献[3]利用闭性条件刻画了$(P_f)$的Fenchel强对偶,文献[1]利用共轭函数的上图性质,引入新的正则条件,研究了$(P_f)$的$\epsilon$ -对偶间隙性质.近来,凸优化问题的Fenchel-Lagrange型对偶受到了学者们的高度重视.然而,据我们所知,很少有学者研究复合优化问题$(P_f)$的Fenchel-Lagrange强对偶和Fenchel-Lagrange稳定强对偶.

受上述文献的启发,本文研究复合凸优化问题$(P_f)$及其Fenchel-Lagrange对偶问题

之间的强对偶和稳定强对偶.设$v(P_f)$和$v(D_f)$分别表示问题$(P_f)$和$(D_f)$的最优值,则$v(P_f)\ge v(D_f)$,即$(P_f)$和$(D_f)$之间的弱对偶成立.但是,这两个值不总是相等的.因此,寻找合适的约束规范条件,使得Fenchel-Lagrange强对偶(即$v(P_f) = v(D_f)$且对偶问题$(D_f)$有最优解)成立就成为了凸分析中的一个热点和难点问题.本文在一般假设下,即$f$, $g$和$h$是真凸函数(不一定是下半连续函数),研究问题$(P_f)$和$(D_f)$之间的Fenchel-Lagrange强对偶.通过引入新的约束规范条件$(FRC)$和$(CC)$并建立$(FRC)$和$(CC)$成立的充分和(或)必要条件,等价刻画了问题$(P_f)$和$(D_f)$之间的强对偶和稳定强对偶.

设$X$和$Y$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $X^{\ast }$为$X$的共轭空间并赋予弱$^{\ast }$拓扑$w^{\ast }(X^{\ast }, X).$$\langle x^{\ast }, x\rangle$表示泛函$x^{\ast }\in X^{\ast }$在$x\in X$处的值,即$\langle x^{\ast }, x\rangle = x^{\ast }(x)$.对于空间$X^{\ast }\times {{{\Bbb R}} }$,我们赋予乘积拓扑$w^{\ast }(X^{\ast }, X)$和Euclidean拓扑.设$f:X\to \overline{{\Bbb R}}$是真函数,定义$f$的有效定义域,共轭函数和上图分别为

和

显然, ${\rm epi}\, f^*$是弱$^*$闭凸集.由定义可知, Young-Fenchel不等式成立

若$g, h:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} }$为真函数且满足${\rm dom}g\cap {\rm dom}h\neq\emptyset$,则

进一步,定义$g$与$h$的下端卷积函数$g\square h:X\rightarrow {{\Bbb R}}\cup \{\pm \infty\}$为

若存在$z\in X$使得$(g\square h)(x) = g(z)+h(x-z)$,则称$g\square h$在$x\in X$点是精确的.注意到,若$g\square h$在$x$点是精确的,则$(g\square h)(x)>-\infty$;若$(g\square h)(x) = +\infty$,则$g\square h$在$x$点是精确的.

定义2.1^[6]  设$M_{1}, M_{2}, N_{1}, N_{2}$是非空集合.定义映射$F:M_{1}\rightarrow M_{2}$和$G:N_{1}\rightarrow N_{2}$的乘积映射$F\times G:M_{1}\times N_{1}\rightarrow M_{2}\times N_{2}$为

定义2.2^[6]  设$A:X\rightarrow Y$是线性算子,函数$h:X\rightarrow \overline{{{\Bbb R}} }$.由

所定义的函数$Ah:Y\rightarrow { {{\Bbb R}} }\cup \{\pm \infty \}$称为$h$在$A$之下的像.若$A^{-1}(y): = \{x\in X:Ax = y\}$为空集,则约定$(Ah)(y) = +\infty .$

引理2.1^{[11, 17]}  设$g, h:X\rightarrow \overline{{{{\Bbb R}} }}$是真凸函数且满足${\rm dom}\, g\cap {\rm dom}\, h\neq \emptyset$.

(ⅰ)若$g, h$是下半连续函数,则

(ⅱ)若$g$或$h$在点$x_{0}\in {\rm dom}\, g\cap {\rm dom}\, h$处连续,则

设$X, \, Y$是实局部凸Hausdorff拓扑向量空间, $Y$是由闭凸锥$K\subseteq Y$所定义的序空间.定义$Y$上的序为:若$y-x\in -K,$则$y\le_K x$.记$Y^\bullet = Y\cup\{\infty_Y\}$,其中$\{\infty_Y\}$是关于偏序$\le_K$的最大元.在$Y^\bullet$上定义以下运算:对任意的$y\in Y$, $y+\infty = \infty+y = \infty$, $t\infty = \infty$, $\forall t\ge 0$.设函数$\varphi: Y\to \overline {{\Bbb R}}$,对任意的$x, y\in Y$,若当$y\le_K x$时有$\varphi(y)\le \varphi(x)$,则称$\varphi$是$K$ -增函数.设函数$\psi: X \to Y^\bullet$,若对任意的$x, y\in {\rm dom}\psi: = \{x\in X:\psi(x)\in Y\}$和$t\in [0, 1]$,

则称$\psi$是$K$ -凸函数(参见文献[17]).设$f:X\rightarrow \overline{{\Bbb R}}$是真凸函数, $h:X\to Y^\bullet$是真$K$ -凸映射, $g :Y^\bullet\rightarrow \overline{{\Bbb R}}$是真凸$K$ -增函数.定义

则$g\circ h$是真凸函数.为简便起见,对任意的$\mu\in Y^\ast$,记

设$p\in X^\ast$.考虑以下带线性扰动的复合凸优化问题

及其Fenchel-Lagrange对偶问题

令$v(P_{f+p})$和$v(D_{f+p})$分别表示问题$(P_{f+p})$和$(D_{f+p})$的最优值,即

特别地,当$p = 0$时,问题$(P_{f+p})$和$(D_{f+p})$即为问题$(P_f)$和$(D_f)$.注意到,对任意的$x^\ast\in X^\ast$, $y^\ast\in Y^\ast$,下列式子成立

因此, $(P_{f})$和$(D_{f})$之间的稳定弱对偶成立,即

本节主要研究问题$(P_f)$和对偶问题$(D_f)$之间的Fenchel-Lagrange强对偶,即$v(P_f) = v(D_f)$且问题$(D_f)$有最优解.为此,我们将利用到以下特征函数$\Phi_h^\ast: X^\ast \to \overline{{{\Bbb R}}}$ (参看文献[8])

由文献[17,定理2.3.1]可知,对任意的$x^\ast\in X^\ast$,有

据文献[8,命题3.1]知, $\Phi_h^\ast$在$X^\ast$上是凸函数且

进一步,由(2.3)式可得

由定义易知,以下等式成立

事实上, (3.9)式显然成立,而

从而, $(P_f)$和$(D_f)$之间的弱对偶成立(即$v(D_f)\le v(P_f)$)等价于

或等价于

定义3.1  若存在$x^{\ast }\in X^{\ast }$使得$(f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0) = f^{\ast }(-x^{\ast })+ \Phi_h^\ast(x^{\ast })$且$\Phi_h^\ast(x^{\ast })$可取到下确界,则称$f^{\ast }\square \Phi_h^\ast$在$0$点是精确的.

定义3.2  若$f^{\ast }\square \Phi_h^\ast$在$0$点是精确的且

则称$(f, g, h)$满足$(FRC)$条件.

注3.1   $\rm(a)$由(3.9)式和(3.10)式可知,以下结论成立

$\rm(b)$若$f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast }$在$0$点是精确的,则最优值$v(D_f)$有限.

$\rm(c)$由(3.9), (3.10)式和(3.5)式可知, (3.13)式成立当且仅当

同时, (3.16)式成立等价于$v(P_f) = v(D_f)$,即$(P_f)$和$(D_f)$之间的零对偶间隙性质成立.

$\rm(d)$设$A$是从$X$到$Y$的线性连续算子.由文献[14,定义4.2]可知,若

且存在$x^{\ast }\in X^{\ast }$使得$( f^{\ast }\square A^{\ast } g^{\ast })(0) = f^{\ast }(-x^{\ast })+(A^{\ast } g^{\ast })(x^{\ast })$及$(A^{\ast } g^{\ast })(x^{\ast })$可取到下确界,则称$(f, g;A)$满足$(FRC)_{A}$条件.注意到,当$h = A$时, $\Phi_A^\ast = A^\ast g^\ast$,因此本文中的$(FRC)$条件即转化为文献[14]中的$(FRC)_A$条件.

命题3.1  下列命题等价

(ⅰ) $(f, g, h)$满足$(FRC)$条件.

(ⅱ) (3.13)式及以下包含关系成立

(ⅲ)以下包含关系成立

证   ${\rm(i)}\Rightarrow {\rm(ii)}$假设(i)成立.欲证(ii),只需证(3.18)式成立.为此,设$(0, r)\in {\rm epi}\; (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)$ (若(3.18)式左边的集合为空集,则包含关系自动成立),则$(f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0)\leq r$.由$(FRC)$条件可知, $f^{\ast }\square \Phi_h^\ast$在$0$点是精确的,因此存在$x^{\ast }\in X^{\ast }$和$y_0^{\ast }\in Y^{\ast }$使得

这就意味着

因此

从而

于是(3.18)式成立.

${\rm(ii)}\Rightarrow {\rm(iii)}$假设(ⅱ)成立.则(3.13)式和(3.18)式成立.若(3.19)式左边集合为空集,则结论自然成立.下设$(0, r)\in {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }$,则$(f+g\circ h)^{\ast }(0)\leq r$.因此,由(3.13)式可知, $(f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)(0)\leq r$.这就意味着$(0, r)\in {\rm epi}\; (f^{\ast }\square \Phi_h^\ast)\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}} )$.从而由(3.18)式可得

因此, (3.19)式成立.

${\rm(iii)}\Rightarrow {\rm(i)}$假设(3.19)式成立.若$v(P_f) = -\infty$,则由(3.9)式, (3.10)式和(3.5)式可知, $v(D_f) = -\infty$.因此,结论自动成立.下设$r: = v(P_f)\in {{\Bbb R}}$.由(3.9)式可知, $(f+g\circ h)^{\ast }(0) = -r$,即$(0, -r)\in {\rm epi}\; (f+g\circ h)^{\ast }$.由(3.19)式可得

故存在$y_0^\ast\in Y^\ast$使得

因此,存在$(x_1^\ast, r_1)\in {\rm epi}f^\ast$和$(x_2^\ast, r_2)\in {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast$使得

由于$f^{\ast }(x_{1}^{\ast })\leq r_{1}$和$(y_0^\ast h)^\ast(x_2^\ast) \leq r_{2}$,则由(3.20)式有

注意到$\Phi_h^\ast(x_2^\ast)\leq (y_0^\ast h)^\ast(x_2^\ast)+g^{\ast }(y_0^{\ast })$,故由(3.5)式和(3.21)式可得

进一步,由(3.10)式和下卷积的定义可知

结合上式及(3.21)式和(3.22)式可得

于是,由(3.9)式可知

且$f^{\ast }\square \Phi_h^\ast$在$0$点是精确的,即$(f, g, h)$满足$(FRC)$条件.

注3.2  注意到, (3.18)式和(3.19)式中反包含关系自动成立.因此, (3.18)式和(3.19)式中的包含关系可以用等式代替.

下面定理说明$(FRC)$条件与Fenchel-Lagrange强对偶等价.

定理3.1   $(f, g, h)$满足$(FRC)$条件当且仅当$v(P_f) = v(D_f)$且$(D_f)$有最优解.

证  假设$(f, g, h)$满足$(FRC)$条件.则由注3.1(c)可知

从而由(3.9)式和(3.10)式可得$v(P_f) = v(D_f)$.下证$(D_f)$有最优解.事实上,由于$f^{\ast }\square \Phi_h^{\ast }$在$0$点是精确的,故存在$x_0^{\ast }\in X^{\ast }$和$y_0^{\ast }\in Y^{\ast }$使得

这就意味着$(x_0^{\ast }, y_0^\ast)$是$(D_f)$的最优解.

反之,假设$v(P_f) = v(D_f)$且$(D_f)$有最优解.由命题3.1可知,欲证$(f, g, h)$满足$(FRC)$条件,只需证(3.19)式成立.为此,设$(0, r)\in {\rm epi}(f+g\circ h)^{\ast }$ (若${\rm epi} \; (f+g\circ h)^{\ast }\cap (\{0\}\times {{\Bbb R}} ) = \emptyset$,则结论自动成立),则$-v(P_f) = (f+g\circ h)^{\ast }(0)\leq r$.由于$v(P_f) = v(D_f)$且$(D_f)$有最优解,故$-v(D_f)\leq r$且存在$x_0^\ast\in X^\ast$和$y_0^{\ast }\in Y^{\ast }$使得

因此

于是$(-x_0^\ast, r-g^\ast(y_0^\ast)-(y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))\in {\rm epi}f^\ast$.显然, $(x_0^\ast, (y_0^\ast h)^\ast(x_0^\ast))\in {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast$且

因此, $(0, r)\in {\rm epi}\; f^{\ast }+ {\rm epi}(y_0^\ast h)^\ast+(0, g^\ast(y_0^\ast))$,从而

于是(3.19)式成立.

设$p\in X^{\ast }$表示函数$p(\cdot ): = \langle p, \cdot \rangle ,$其对应的共轭函数$p^{\ast } = \delta _{\{p\}}$.故对任意的$a\in{{\Bbb R}}$和函数$\varphi:X\to \overline {{\Bbb R}}$,下列等式成立

设${\rm Id}_{{\Bbb R}}$表示${{\Bbb R}}$上的单位算子,集合$(A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}})({\rm epi}g^{\ast })$表示${\rm epi} g^\ast$在映射$A^{\ast }\times {\rm Id}_{{\Bbb R}}$下的像,定义为

为刻画$(P_f)$和$(D_f)$之间的Fenchel-Lagrange稳定强对偶(即,对任意的$p\in X^\ast$, $v(P_{f+p}) = v(D_{f+p})$且问题$(D_{f+p})$有最优解),我们引入以下约束规范条件.

定义3.3  若

则称$(f, g, h)$满足$(CC)$条件.

注3.3   $\rm(a)$注意到, (3.25)式中的反包含关系自动成立,因此$(CC)$条件成立当且仅当

$\rm(b)$设$A$是从$X$到$Y$的连续线性算子.由文献[14,定义3.1]可知,若

则称$( f, g, A)$满足$(CC)_{A}$条件.注意到

因此,当$h = A$时,本文中的$(CC)$即转化为文献[14]中的$(CC)_A$条件.

命题3.2  假设存在点$x_0\in {\rm dom}f\cap h^{-1}({\rm dom}g)$使得$g$和$h$分别在$h(x_0)$和$x_0$处连续,则$(f, g, h)$满足$(CC)$条件.

证  由于$g$是$K$ -增函数,故对任意的$y^\ast\notin K^\oplus$有$g^\ast(y^\ast) = +\infty$.因此,由文献[17,定理2.8.10]可知

而由引理2.1(ⅱ)和(3.24)式知

从而$(CC)$条件成立.

以下定理刻画了$(CC)$条件和$(FRC)$条件之间的关系.

定理3.2   $(f, g, h)$满足$(CC)$条件当且仅当对任意的$p\in X^{\ast }$, $(f-p, g, h)$满足$(FRC)$条件.

证  设$p\in X^\ast$.记

由命题3.1知,欲证此结论,只需证明$(f, g, h)$满足$(CC)$条件当且仅当对任意的$p\in X^\ast$,有

为此,设$p\in X^\ast$.由(3.24)式可知

因此

类似可得

由此可知, (3.28)式成立等价于

从而,对任意的$p\in X^*$, (3.28)式成立当且仅当(3.26)式成立,即$(CC)$条件成立.

由定理3.1和定理3.2直接可得以下结论.

定理3.3   $(f, g, h)$满足$(CC)$条件当且仅当对任意的$p\in X^{\ast }$, $v(P_{f+p}) = v(D_{f+p})$且$(D_{f+p})$有最优解.

由命题3.2和定理3.3可知推论3.1和推论3.2成立.

推论3.1  若存在$x_0\in {\rm dom}f\cap h^{-1}({\rm dom}g)$使得$g$和$h$分别在$h(x_0)$和$x_0$处连续,则对任意的$p\in X^{\ast }$, $v(P_{f+p}) = v(D_{f+p})$且$(D_{f+p})$有最优解.

推论3.2  若$(f, g, h)$满足$(CC)$条件,则$v(P_f) = v(D_f)$且$(D_f)$有最优解.

设$\varphi: X\to \overline {{\Bbb R}}$为一真凸函数, ${\rm cont}\, \varphi$表示$\varphi$的所有连续点所构成的集合,即

则以下结论成立.

推论3.3  下列命题等价

$\rm(i)$下列包含关系成立

$\rm(ii)$对任意满足${\rm cont }\varphi\cap h^{-1}({\rm dom}g)\neq \emptyset$的真凸函数$\varphi$, $v(P_\varphi) = v(D_\varphi)$且问题$(D_\varphi)$有最优解.

$\rm(iii)$对任意$p\in X^\ast$, $v(P_{p}) = v(D_{p})$且问题$(D_{p})$有最优解.

证   (i)$\Rightarrow$(ii)假设(i)成立.设$\varphi$为$X$上的真凸函数且满足${\rm cont }\varphi\cap h^{-1}({\rm dom}g)\neq \emptyset$,则由引理2.1(ii)可知

这就意味着$(\varphi, g, h)$满足$(CC)$条件.因此,由定理3.3可知(ii)成立.

(ii) $\Rightarrow$(iii)该结论显然成立.

(iii) $\Rightarrow$(i)由定理3.3 (令$f = 0$)直接可得.

注3.4  由注3.3(a)可知, (3.30)式成立当且仅当

进一步,若存在$x_0\in h^{-1}({\rm dom}g)$使得$g$在点$h(x_0)$处连续,则由[17,定理2.8.10]可知, (3.30)成立.

当$h = A$为从$X$到$Y$的线性算子时,问题$(P_f)$转化为经典的凸优化问题

注意到,对任意的$x^\ast\in X^\ast$和$y^\ast\in Y^\ast$,有

则问题$(P_f)$的对偶问题$(D_f)$转化为

因此,由注3.1(d),注3.3(b),定理3.1和定理3.3可得以下推论,其中推论3.4和推论3.5分别为文献[14]中的定理4.4和定理4.6.

推论3.4   $(f, g, A)$满足$(FRC)_A$条件当且仅当$v({\mathcal P}) = v({\mathcal D})$且$({\mathcal D})$有最优解.

推论3.5   $(f, g, A)$满足$(CC)_A$条件当且仅当对任意的$p\in X^\ast$,有