随机占优是研究不确定条件下决策问题时使用的主要工具,已被广泛的应用到经济研究和管理实践的各个领域中.因此,有关随机占优问题的研究已引起了许多学者的关注,出现了一系列的研究成果.如: Rojo^[12]对二阶随机占优约束下分布函数估计的收敛性进行了讨论; EI Barmi和Marchev^[6]给出了二阶随机占优约束下分布函数的一个新的估计方法; Tony等^[14]利用非参数检验对两总体情形下的一阶随机占优进行了检验; Davidson和Duclos^[5]运用随机占优的DD检验方法,对风险厌恶人群中两个不同回报分布间的显著性差异进行检验; Leung和Wong^[10]利用随机占优的方法检验整个收益率的分布对亚洲对冲基金业绩进行排序; Fong^[8]运用随机占优的方法检验中国的A股和B股回报率分布是否有差异; Crawford^[4]给出了多元分布随机占优的非参数检验等等.

随机占优关系主要包括:一阶随机占优,二阶随机占优和三阶随机占优,其中二阶随机占优的应用最为广泛.因此本文将对二阶随机占优的检验问题进行讨论.目前关于两总体二阶随机占优的检验已有大量的研究成果,如: Anderson^[1]给出了二阶随机占优下两个收入分布的检验; Schmid和Trede^[13]利用Kolmogorov -方法对二阶随机占优进行检验; Linton等^[11]基于改进的Bootstrap方法对随机占优的检验; Berrendero和Carcamo^[3]基于L统计量给出了二阶随机占优的一种检验方法等等.对多总体二阶随机占优的检验问题也有一些研究成果,如: Zhang等^[16]基于Hogg^[9]中的方法对多总体二阶随机占优的逐步检验; Zhang和Zhang^[15]利用Bootstrap方法对多总体二阶随机占优的检验.但这些检验都是针对原假设为分布函数相等,备择假设为二阶随机占优的检验问题.而在实际问题中,真正关心的是二阶随机占优的条件是否满足.因此,对原假设为二阶随机占优的检验问题进行研究是必要且有意义的.基于这个原因,本文将对多总体二阶随机占优对无约束的检验问题进行讨论.

本文余下的部分分为4节.第2节是预备知识,给出了二阶随机占优的定义,相应的保序回归估计及有关记号;第3节给出了检验统计量,相关引理及在原假设下检验统计量的渐近分布;第4节是Bootstrap方法,给出相应的Bootstrap统计量及渐近分布;第5节通过随机模拟说明所提方法的可行性.

注  本文中用$ "\mathop\rightarrow\limits^{w}" $和$ "\mathop{ = }\limits^{d}" $分别表示弱收敛和依分布相等.

在本节中,将给出二阶随机占优的定义,保序回归估计及后面将要用到的一些符号.首先,给出二阶随机占优的定义,具体见定义2.1.

定义2.1^[15](二阶随机占优)  若$ k $个总体$ X_1, X_2, \cdots, X_k $的分布函数$ F_1(x), F_2(x), \cdots, $$ F_k(x) $满足

(2.1) $ \begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{x}F_1(y){\rm d}y\leq \int_{-\infty}^{x}F_2(y){\rm d}y \leq\cdots\leq \int_{-\infty}^{x}F_k(y){\rm d}y, \ \ \ \forall x\in {{\Bbb R}}, \end{eqnarray} $

则称$ X_1, X_2, \cdots, X_k $具有二阶随机占优关系,记为$ X_1\geq_{SSD}X_2\geq_{SSD}\cdots \geq_{SSD} X_k $,或$ F_1\geq_{SSD}F_2\geq_{SSD}\cdots \geq_{SSD} F_k $.

令$ W_{F}(x) = \int_{-\infty}^{x}F(y){\rm d}y, \ \forall x\in {{\Bbb R}}, $则(2.1)式变为

(2.2) $ \begin{eqnarray} W_{F_{1}}(x)\leq W_{F_{2}}(x)\leq \cdots \leq W_{F_{k}}(x), \ \ \ \forall x\in {{\Bbb R}}. \end{eqnarray} $

假定$ X_{i1}, X_{i2}, \cdots, X_{in_{i}} $是来自分布函数为$ F_i(x) $的非负随机变量的独立随机样本,且$ F_i(x), i = 1, 2, \cdots, k $满足

$ \begin{eqnarray*} W_{F_{1}}(x)\leq W_{F_{2}}(x)\leq \cdots \leq W_{F_{k}}(x), \ \ \ \forall x\geq 0. \end{eqnarray*} $

在样本$ X_{i1}, X_{i2}, \cdots, X_{in_{i}} $下,分布函数$ F_i(x) $对应的经验分布函数为

$ \hat{F}_{i}(x) = \frac{1}{n_i}\sum\limits_{j = 1}^{n_i}I_{[X_{ij}, \infty)}(x) \ \ i = 1, 2, \cdots, k, $

其中$ I_A(x) $是集合$ A $的示性函数.由此可得$ W_{F_{i}}(x) $的估计,记为$ W_{\hat{F}_{i}}(x) $,其中

$ W_{\hat{F}_{i}}(x) = \int_{-\infty}^{x}\hat{F}_i(y){\rm d}y, \ \ \ \forall x\geq 0. $

记

$ W_{\hat{F}}(x) = (W_{\hat{F}_{1}}(x), W_{\hat{F}_{2}}(x), \cdots, W_{\hat{F}_{k}}(x))', \ \ \ \ x\geq 0. $

显然, $ W_{F_{i}}(x) $的估计$ W_{\hat{F}_i}(x), \ i = 1, 2, \cdots, k $不一定满足约束条件(2.2).为了得到满足约束条件(2.2)的估计,我们利用保序回归的思想给出$ W_{F_{i}}(x) $的保序回归估计$ W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x) $,其具体形式如下

$ \begin{eqnarray*} W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x) = \max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}Av_{n}[W_{\hat{F}}(x), r, s], \ \ \ i = 1, 2, \cdots, k, \end{eqnarray*} $

其中$ Av_{n}[W_{\hat{F}}(x), r, s] = \sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}W_{\hat{F}_{j}}(x)/\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}, r\leq s. $显然,对$ \forall\ x\geq 0, \ W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x), \ i = 1, 2, \cdots, k $满足$ W_{\hat{F}_{1}}^{*}(x)\leq W_{\hat{F}_{2}}^{*}(x)\leq \cdots\leq W_{\hat{F}_{k}}^{*}(x) $的约束条件.

对于定义在$ R $上的实值函数$ f $,记$ ||f|| = \sup\limits_{x\in R} |f(x)| $.下面的引理给出保序回归估计$ W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x), \ i = 1, 2, \cdots, k $的相合性.

引理2.1^[15]   $ P[\parallel W_{\hat{F}_{i}}(x)-W_{F_{i}}(x)\parallel\rightarrow 0, \ \ n_i\rightarrow \infty, \ i = 1, \cdots, k] = 1. $进一步,若不等式(2.2)成立,则

$ \begin{eqnarray*} P[||W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{F_{i}}(x)||\rightarrow 0, \ \ n_{i}\rightarrow \infty, \ i = 1, 2, \cdots, k] = 1. \end{eqnarray*} $

定义

$ a_{in} = \frac{n_{i}}{n}, A_{rsn} = \sum\limits_{j = r}^{s}a_{jn}, \ 1\le r\le s \le k, n = \sum\limits_{j = 1}^{k}n_{j}, $

并假定极限$ \lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_{in} = a_{i}>0, \ \ i = 1, 2, \cdots, k $存在.记

(2.3) $ \begin{eqnarray} &&A_{rs} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}A_{rsn} = \sum\limits_{j = r}^{s}a_{j}, \end{eqnarray} $

(2.4) $ \begin{eqnarray} S_{i} = \{j:W_{F_{j}}(x) = W_{F_{i}}(x), \forall x\geq 0, j = 1, \cdots, k\}, \\ S = \{x:W_{F_{1}}(x) = W_{F_{2}}(x) = \cdots = W_{F_{k}}(x), \forall x\geq 0\}, \\ Z_{in_{i}}(x) = \sqrt{n_{i}}[W_{\hat{F}_{i}}(x)-W_{F_{i}}(x)], \\ Z_{in_{i}}^{*}(x) = \sqrt{n_{i}}[W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{F_{i}}(x)], \ i = 1, 2, \cdots, k. \end{eqnarray} $

假定

(2.5) $ \begin{eqnarray} \inf\limits_{c_{i}+\eta\leq x\leq d_{i}-\eta}[W_{F_{j}}(x)-W_{F_{i}}(x)]>0\ \ \mbox{对所有}\ \eta>0\ \mbox{和} \ j> S_{i}, \ i = 1, 2, \cdots, k \end{eqnarray} $

其中$ \inf_{\emptyset}(.) = \infty, $$ c_i $和$ d_i $分别为$ F_i(x) $的左,右支撑点.

引理2.2^[2]  设$ B = (B(t))_{0\leq t\leq 1} $为标准布朗桥, $ H(x), x\geq 0 $为分布函数,记$ B_H(x) = \int_{-\infty}^{x}B(H(s)){\rm d}s, \ x\geq 0 $.若$ \int x^2H(dx)<\infty $,则$ B_H = (B_H(x))_{x\geq 0} $是中心化的高斯过程,其协方差函数为

$ \begin{eqnarray*} \rho_H(x, y) = \int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}(H(u\wedge v)-H(u)H(v)){\rm d}u{\rm d}v, \ \ x, y\geq 0. \end{eqnarray*} $

令

$ \begin{eqnarray*} &&H_0: F_1\geq_{SSD} F_2\geq_{SSD}\cdots \geq_{SSD} F_k;\\ &&H_1: H_{0}\ \mbox{不成立}. \end{eqnarray*} $

本文考虑的检验问题为: $ H_0\ \mbox{对}\ H_1 $.构造检验统计量为

$ T_{n} = \sqrt{n}\sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}(W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{\hat{F}_{i}}(x)). $

为了得到检验统计量$ T_{n} $的极限分布,先给出下面三个引理.

引理3.1^[7]  假定$ F_1(x), \cdots, F_k(x) $有有限的二阶矩.则当$ \min{n_i}\to \infty, i = 1, 2, \cdots, k $时,有

$ (Z_{1n_{1}}(x), Z_{2n_{2}}(x), \cdots, Z_{kn_{k}}(x))'\mathop\rightarrow\limits^{w}(Z_{1}(x), Z_{2}(x), \cdots, Z_{k}(x))', \ \ \ \forall x\geq 0, $

其中$ Z_i(x)\stackrel{d}{ = }B_{F_i}(x), $而$ B_{F_i}(x) $的定义类似于引理2.2中$ B_{H}(x) $的定义.

引理3.2^[7]  假定$ F_1(x), \cdots, F_k(x) $有有限的二阶矩,且(2.2)式和(2.5)式都成立.则当$ \min{n_i}\to \infty, i = 1, 2, \cdots, k $时,有

$ \begin{eqnarray*} (Z_{1n_{1}}^{*}(x), Z_{2n_{2}}^{*}(x), \cdots, Z_{kn_{k}}^{*}(x))'\mathop\rightarrow\limits^{w} (Z_{1}^{*}(x), Z_{2}^{*}(x), \cdots, Z_{k}^{*}(x))', \ \ x\geq 0, \end{eqnarray*} $

其中

$ Z_{i}^{*}(x) = \sqrt{a_{i}}\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{i\leq s} \frac{\sum\limits_{\{r\leq j\leq s, r, s\in S_{i} \}}\sqrt{a_{j}}Z_{j}(x)}{A_{rs}}. $

而$ a_{i}, S_{i}, A_{rs}, r\leq s, r, s, i = 1, 2, \cdots, k $同(2.3)和(2.4)式.

引理3.3^[2]  设$ f_n, g_n (n\in {\Bbb N}), g, h $是$ K = [0, \infty] $上的连续实函数,且满足$ f_n = g_n+c_nh $,其中$ (c_n)_{n\in {\Bbb N}} $是满足$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}c_n = \infty $的非负实数序列.进一步假定$ h\leq 0, A: = \{h = 0\}\neq\emptyset $,且$ g_n $一致收敛到$ g $.则

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sup\limits_{t\in K}f_n(t) = \sup\limits_{t\in A}g(t). $

定理3.1  若引理3.2的条件成立,则有

$ T_{n}\mathop\rightarrow\limits^{w}T = \sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0} \sqrt{\frac{1}{a_i}}[Z_{i}^{*}(x)-Z_i(x)], $

其中$ a_{i}, Z_{i}^{*}(x), Z_i(x), i = 1, 2, \cdots, k $同引理3.2中的定义.

证  首先,对$ T_n $进行变形,得

$ \begin{eqnarray*} T_{n}& = &\sqrt{n}\sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}(W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{\hat{F}_{i}}(x))\\ & = &\sqrt{n}\sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}[(W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{F_{i}}(x))-(W_{\hat{F}_{i}}(x)-W_{F_{i}}(x))]\\ & = &\sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}\sqrt{\frac{n}{n_i}}[\sqrt{n_i}(W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{F_{i}}(x))-\sqrt{n_i}(W_{\hat{F}_{i}}(x)-W_{F_{i}}(x))]\\ & = &\sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}\sqrt{\frac{n}{n_i}}[Z_{in_i}^{*}(x)-Z_{in_i}(x)], \end{eqnarray*} $

由引理3.1和引理3.2,得

(3.1) $ \begin{eqnarray} Z_{in_i}^{*}\mathop\rightarrow\limits^{w} Z_{i}^{*}, \ \ \ Z_{in_i}\mathop\rightarrow\limits^{w} Z_{i}, \end{eqnarray} $

再由(3.1)式, Slutsky定理和引理3.3,得

$ T_{n}\mathop\rightarrow\limits^{w} T = \sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}\sqrt{\frac{1}{a_i}}[Z_{i}^{*}(x)-Z_i(x)]. $

证毕.

定理3.2  若$ F_1(x), \cdots, F_k(x) $有有限的二阶矩,且$ H_1 $成立.则有$ P(T_n\rightarrow \infty) = 1 $.

证  定义随机过程如下

$ V_{in}(x) = \sqrt{n}(W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{\hat{F}_{i}}(x)), $

则

(3.2) $ \begin{eqnarray} {} V_{in}(x)& = &\sqrt{n}[(W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{F_{i}}(x))-(W_{\hat{F}_{i}}(x)-W_{F_{i}}(x))]\\{} & = &\sqrt{n}(W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x)-W_{F_{i}}(x))-\sqrt{\frac{n}{n_i}}\sqrt{n_i}(W_{\hat{F}_{i}}(x)-W_{F_{i}}(x))\\{} & = &\sqrt{n}\left(\frac{\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}W_{\hat{F}_{j}}(x)} {\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}}-W_{F_{i}}(x)\right)-\sqrt{\frac{n}{n_i}}Z_{in_i}(x)\\{} & = &\sqrt{n}\left[\frac{\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}(W_{\hat{F}_{j}}(x)-W_{F_{i}}(x))} {\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}}\right]-\sqrt{\frac{n}{n_i}}Z_{in_i}(x)\\ & = &\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i} \left[\frac{\sum\limits_{j = r}^{s}\sqrt{nn_j}Z_{jn_j}(x)}{\sum\limits_{j = r}^{s}n_{i}}+ \sqrt{n}\frac{\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}(W_{F_{j}}(x)-W_{F_{i}}(x))}{\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}} \right]-\sqrt{\frac{n}{n_i}}Z_{in_i}(x), {\qquad} \end{eqnarray} $

(3.2)式右边第二项和中括号里的第一项是随机有界的.现在考虑中括号里的第二项,在$ H_1 $成立时,至少存在一个$ i $,使得对所有的$ x \in (a, b)\subset [c_i, d_i] $,有$ W_{F_{i-1}}(x)>W_{F_{i}}(x) $.显然,当$ \sqrt{n}\rightarrow \infty $时,依概率1有

$ \max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\left[\frac{\sum\limits_{j = r}^{s}\sqrt{nn_j}Z_{jn_j}(x)}{\sum\limits_{j = r}^{s}n_{i}}+ \sqrt{n}\frac{\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}(W_{F_{j}}(x)-W_{F_{i}}(x))}{\sum\limits_{j = r}^{s}n_{i}}\right]\rightarrow \infty $

成立.因此,依概率1有

$ T_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}V_{in}(x)\rightarrow \infty. $

证毕.

定理3.1给出了检验统计量$ T_{n} $在原假设$ H_0 $下的渐近分布.要实施检验,需要对于给定的显著性水平$ \alpha $计算临界值$ c_{\alpha} $,或计算检验的$ p $值.然而,令人遗憾的是,此渐近分布比较复杂,且依赖于未知的分布函数$ F_{i}(x)\ (i = 1, 2, \cdots, k) $,由定理3.1的渐近分布得到临界值是不容易的.为解决此问题,本文将借助于Bootstrap方法来实现,下面给出Bootstrap统计量及其渐近性质.

记$ \hat{\zeta}_{n, 1}, \cdots, \hat{\zeta}_{n, n} $是从分布函数

$ \begin{eqnarray*} H_{n}(x) = \frac{n_1}{n}\hat{F}_1(x)+\frac{n_2}{n}\hat{F}_2(x)+\cdots+\frac{n_{k}}{n}\hat{F}_k(x) \end{eqnarray*} $

中抽取的容量为$ n = \sum^k\limits_{j = 1}n_j $的随机样本; $ \hat{F}_{n, n_i}(x) $是由$ \hat{\zeta}_{n, n_1+\cdots+n_{i-1}+1}, \cdots, \hat{\zeta}_{n, n_1+\cdots+n_i}, $$ i = 1, \cdots, k $得到的经验分布函数; $ W_{\hat{F}_{n, n_i}}^{*}(x) $为由Bootstrap方法得到的$ W_{F_{i}}(x), i = 1, \cdots, k $的保序回归估计;其中

$ \begin{eqnarray*} &&\hat{F}_{n, n_i}(x) = \frac{1}{n_i}\sum\limits_{j = n_1+\cdots+n_{i-1}+1}^{n_1+\cdots+n_i}I_{[\hat{\zeta}_{n, j}, \infty)}(x), \\ &&W_{\hat{F}_{n, n_i}}(x) = \int_{-\infty}^{x}\hat{F}_{n, n_i}(y){\rm d}y, \\ &&W_{\hat{F}_{n, n_i}}^{*}(x) = \max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}W_{\hat{F}_{n, n_j}}(x)/\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}, \\ &&W_{H_{n}}(x) = \int_{-\infty}^{x}H_{n}(y){\rm d}y. \end{eqnarray*} $

记

$ \begin{eqnarray*} &&\hat{Z}_{n, n_i}(x) = \sqrt{n_i}(W_{\hat{F}_{n, n_i}}(x)-W_{H_{n}}(x)), \\ &&\hat{Z}^{*}_{n, n_i}(x) = \sqrt{n_i}(W_{\hat{F}_{n, n_i}}^{*}(x)-W_{H_{n}}(x)), i = 1, \cdots, k, \\ &&\hat{T}_{n} = \sqrt{n}\sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}(W_{\hat{F}_{n, n_{i}}}^{*}(x)-W_{\hat{F}_{n, n_{i}}}(x)), \end{eqnarray*} $

其中$ \hat{T}_{n} $为由Bootstrap方法得到的检验统计量.

下面的定理说明了Bootstrap检验统计量$ \hat{T}_{n} $在$ F_1(x) = F_2(x) = \cdots = F_k(x) $成立时,依概率1收敛到定理3.1中的渐近结果.

定理4.1  若定理3.1的条件成立.则依概率1,有

$ \hat{T}_n\mathop\rightarrow\limits^{w} \sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}\sqrt{\frac{1}{a_i}}[Z_{i}^{*H}(x)-Z_{i}^{H}(x)], $

其中$ Z^H_{i}(x) = B_i(H(x)), $$ Z_{i}^{*H}(x) = \sqrt{a_{i}}\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{i\leq s} \frac{\sum\limits_{j = r}^s \sqrt{a_{j}}Z^H_{j}(x)}{A_{rs}}, i = 1, \cdots, k. $

证  定义随机过程$ \hat{V}_{in}(x) = \sqrt{n}(W_{\hat{F}_{n, n_i}}^{*}(x)-W_{\hat{F}_{n, n_i}}(x)) $,则

$ \begin{eqnarray*} \hat{V}_{in}(x)& = &\sqrt{n}(W_{\hat{F}_{n, n_i}}^{*}(x)-W_{\hat{F}_{n, n_i}}(x))\\ & = &\sqrt{n}[(W_{\hat{F}_{n, n_i}}^{*}(x)-W_{H_{n}}(x))-(W_{\hat{F}_{n, n_i}}(x)-W_{H_{n}}(x))]\\ & = &\sqrt{n}\left(\frac{\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}W_{\hat{F}_{n, n_j}}(x)} {\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}}-W_{H_{n}}(x)\right)-\sqrt{\frac{n}{n_i}}\hat{Z}_{n, n_i}(x)\\ & = &\sqrt{n}\left[\frac{\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j} (W_{\hat{F}_{n, n_j}}(x)-W_{H_{n}}(x))}{\sum\limits_{j = r}^{s}n_{j}}\right]-\sqrt{\frac{n}{n_i}}\hat{Z}_{n, n_i}(x)\\ & = &\max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\frac{\sum\limits_{j = r}^{s}\sqrt{n_j}\hat{Z}_{n, n_j}(x)}{\sum\limits_{j = r}^{s} \sqrt{n_{j}}\frac{\sqrt{n_{j}}}{\sqrt{n}}}-\sqrt{\frac{n}{n_i}}\hat{Z}_{n, n_i}(x). \end{eqnarray*} $

由Baringhaus和Grübel^[2]中的引理3知,依概率1,有

(4.1) $ \begin{eqnarray} \hat{Z}_{n, n_i}(x)\mathop\rightarrow\limits^{w} Z^H_i(x), \ H(x) = a_1F_1(x)+a_2F_2(x)+\cdots+a_kF_k(x). \end{eqnarray} $

由Slutsky定理, (4.1)式,连续映射定理及抽样的独立性知,依概率1,有

$ \hat{V}_{in}(x)\mathop\rightarrow\limits^{w} \max\limits_{r\leq i}\min\limits_{s\geq i}\frac{\sum\limits_{j = r}^{s}\sqrt{a_j}Z^H_j(x)}{\sum\limits_{j = r}^{s} a_{j}}-\sqrt{\frac{1}{a_i}}Z^H_i(x). $

由Slutsky定理,引理3.3和连续映射定理知,依概率1,有

$ \begin{eqnarray*} \hat{T}_{n} = \sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}\hat{V}_{in}(x)\mathop\rightarrow\limits^{w} \sum\limits_{i = 1}^{k}\sup\limits_{x\geq 0}\sqrt{\frac{1}{a_i}}[Z_{i}^{*H}(x)-Z_{i}^{H}(x)]. \end{eqnarray*} $

当$ F_1(x) = F_2(x) = \cdots = F_k(x) $时,有

$ H(x) = F_1(x), {\quad} Z_i(x) = Z^H_i(x), {\quad} Z^{*H}_i(x) = Z^*_i(x), {\quad} i = 1, \cdots, k. $

因此, $ \hat{T}_{n} $的极限分布依概率1同定理3.1.证毕.

在实际应用中,为获得$ c_{\alpha} $的估计值$ \hat{c}_{\alpha} $,需要按下面几步进行.

第1步  首先,从分布函数$ F_i(x) $中抽取随机样本$ X_{i1}, \cdots, X_{in_i}, $计算经验分布函数$ \hat{F}_i(x), $$ i = 1, \cdots, k $;然后,计算估计$ W_{\hat{F}_{i}}(x) $;再计算保序回归估计$ W_{\hat{F}_{i}}^{*}(x), i = 1, \cdots, k $;最后,由检验统计量的表达式计算出$ T_{n} $.

第2步  首先,从分布函数$ H_{n}(x) = \frac{n_1}{n}\hat{F}_1(x)+\frac{n_2}{n}\hat{F}_2(x)+\cdots+\frac{n_{k}}{n}\hat{F}_k(x) $中抽取$ n = \sum^k\limits_{j = 1}n_j $个随机样本$ \hat{\zeta}_{n, 1}\cdots, \hat{\zeta}_{n, n} $,其中$ \hat{F_i}(x), i = 1, \cdots, k $同第1步;然后,由$ \hat{\zeta}_{n, n_1+\cdots+n_{i-1}+1}, \cdots, \hat{\zeta}_{n, n_1+\cdots+n_i}, $计算Bootstrap经验分布函数$ \hat{F}_{n, n_i}(x) $和估计$ W_{\hat{F}_{n, n_i}}(x), i = 1, \cdots, k $;再计算出Bootstrap保序回归估计$ W_{\hat{F}_{n, n_i}}^{*}(x), i = 1, \cdots, k $;最后,由Bootstrap方法得到检验统计量的表达式计算出$ \hat{T}_{n} $.

第3步  重复第2步$ B $次, $ B $取比较大的正整数,产生$ B $个由Bootstrap方法得到的检验统计量$ \hat{T}^b_{n}, b = 1, \cdots, B $.

第4步  由$ p = \frac{\sum^B\limits_{b = 1}I_{(T_{n}, \infty)}(\hat{T}^{b}_n)}{B} $给出检验的$ p $值.对给定的显著性水平$ \alpha $,若$ p<\alpha $,则拒绝$ H_0 $;否则,接受$ H_0 $.临界值$ c_{\alpha} $可以取为$ \hat{T}^{b}_n, b = 1, \cdots, B $的第$ [(1-\alpha) B] $个顺序统计量.

下面将通过对三个样本,即$ k = 3 $的情况进行模拟,说明本文所提方法的可行性.在模拟过程中,显著水平$ \alpha = 0.05 $,模拟中重复次数为$ 1000 $, $ B $取$ 1000 $.样本量分别为$ n_1 = n_2 = n_3 = 50, 100, 200 $三种情况,三个总体$ F_1, F_2 $和$ F_3 $的具体分布见表 1.

第1–4行的数值是原假设边界,即$ F_1 = F_2 = F_3 $成立的情况,随样本量增加经验拒绝概率更接近于显著性水平$ \alpha $;

第5–7行的数值是原假设内点,即$ F_1\geq_{SSD}F_2\geq_{SSD}F_3 $成立,且$ F_1 = F_2 = F_3 $不成立时的情况,随样本量增加经验拒绝概率明显小于显著性水平$ \alpha $.

第8–10行的数值是备择假设,即$ H_2-H_1 $成立的情况,随样本量增加经验拒绝概率迅速增大,且明显大于显著性水平$ \alpha $.

综上所述,模拟结果显示,针对所提假设检验问题构造的检验统计量是合理的.