考虑广义绝对值方程组(GAVE)

(1.1) $ \begin{equation} Ax+B|x| = b, \end{equation} $

其中$ A, B\in \mathbb{R} $$ ^{n\times n} $是给定的矩阵, $ b \in \mathbb{R} $$ ^{n} $是给定的向量.目前, GAVE(1.1)在优化领域里已经成为一个新兴课题,正逐渐引起关注.这主要是因为它在双矩阵对策、线性互补问题、线性区间方程、二次规划等领域里起着重要的作用^[1-2].

总所周知,唯一可行解研究是GAVE(1.1)理论分析的一个重要分支,因为许多数值算法(如广义Newton算法^[3-4],预处理AOR算法^[5], SOR-lIke算法^[6])的目的地是获取GAVE(1.1)的唯一可行解.因此,在算法设计之前,我们需要确定GAVE(1.1)唯一可行解的存在性.最近,关于GAVE(1.1)唯一可行解的研究已经受到了关注并已有文献给出一些结果.例如,在文献[7]中, Rohn给出了适合于任意实向量GAVE(1.1)存在唯一可行解的择一定理. Rohn等人在文献[8]中利用相关矩阵的谱半径获得了适合于任意实向量GAVE(1.1)存在唯一可行解的一个充分条件. Wu和Guo在文献[9]中利用特殊矩阵和迭代格式给出了确定绝对值方程组(AVE)存在唯一可行解的一些结果. Wu和Li在文献[10]中给出了确定AVE唯一可行解的两个充要条件.

本文进一步考虑GAVE(1.1)唯一可行解的存在性.利用区间矩阵的正则性及矩阵的2 -范数,一些新的有用的结果可用于确定GAVE(1.1)的唯一可行解,这些结果不同于文献[2, 7-9]中已出现的结果.也就是说,本文的结果是文献[2, 7-9]现有结果的一个补充.

本文的余下部分组织如下:第2节陈述了一些必要的定义和引理.第3节给出了一些新的有用的结果可用于确定GAVE的唯一可行解.第4节得出一些结论.

这一小节给出本文所需的一些定义和引理.设区间矩阵

$ A^{I} = [A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta] = \{A_{c}-\Delta\leq A\leq A_{c}+\Delta\}, $

其中$ A_{c}, \Delta\in \mathbb{R} $$ ^{n\times n} $及$ \Delta\geq0 $.如果任意矩阵$ A\in A^{I} $是非奇异的,则称区间矩阵$ A^{I} $为正则的,否则称为奇异的(即,如果其含有奇异矩阵).如果$ A_{c} $和$ \Delta $是对称的,则称区间矩阵$ A^{I} $是对称的^[12].如果任意对称矩阵$ A\in A^{I} $是正定的,则称区间矩阵$ A^{I} $是正定的^[12].矩阵$ A = (a_{ij}) $的绝对值记为$ |A| = (|a_{ij }|) $. $ \rho(\cdot) $表示矩阵的谱半径. $ \lambda_{\min}(\cdot) $和$ \lambda_{\max}(\cdot) $分别表示对称矩阵的最小和最大特征值.

定义2.1  设向量$ x\in\mathbb{R} $$ ^{n} $.函数$ \|\cdot\|_{2}:\mathbb{R} $$ ^{n\times n}\rightarrow \mathbb{R} $为一个矩阵2 -范数当且仅当

$ \|A\|_{2} = \max\limits_{x\neq0}\frac{\|Ax\|_{2}}{\|x\|_{2}}. $

由定义2.1知

$ \|Ax\|_{2}\leq\|A\|_{2}\cdot\|x\|_{2}. $

引理2.1^[11]  区间矩阵$ [A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta] $是奇异的当且仅当不等式

(2.1) $ \begin{equation} |A_{c}x|\leq\Delta|x| \end{equation} $

有非平凡解.

引理2.2^[12]  对称区间矩阵$ [A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta] $是正定的当且仅当它是正则的且其至少含有一个正定矩阵.

引理2.3^[13]  区间矩阵$ [A^{T}_{c}A_{c}-\Delta^{T}\Delta, A^{T}_{c}A_{c}+\Delta^{T}\Delta] $是正定的当且仅当

(2.2) $ \begin{equation} \|A_{c}x\|_{2}>\|\Delta|x|\|_{2}, \mbox{对任意}\ x\neq0. \end{equation} $

引理2.4^[13]  如果区间矩阵$ [A^{T}_{c}A_{c}-\Delta^{T}\Delta, $$ A^{T}_{c}A_{c}+\Delta^{T}\Delta] $是正则的,则区间矩阵$ [A_{c}-\Delta, $$ A_{c}+\Delta] $也是正则的.

引理2.5^[15]  如果区间矩阵$ [A-|B|, A+|B|] $是正则的,则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解.

引理2.6^[11]  设$ R $为任意矩阵并满足

$ \rho(|I-RA_{c}|+|R|\Delta)<1. $

则区间矩阵$ [A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta] $为正则的.

在这一小节,我们给出一些新的有用的结果可用于确定GAVE的唯一可行解.

定理3.1  如果$ R $为任意矩阵并满足

(3.1) $ \begin{equation} \|I-RA\|_{2}+\|R\|_{2}\cdot\||B|\|_{2}<1, \end{equation} $

则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解.

证  依据引理2.5,如果区间矩阵$ [A-|B|, A+|B|] $在条件(3.1)下是正则的,则定理3.1的结论成立.事实上,若假定$ [A-|B|, A+|B|] $是奇异的,则基于引理2.1,这里存在一个$ x\neq0 $满足

$ |Ax|\leq|B||x|. $

进一步

(3.2) $ \begin{equation} \||Ax|\|_{_{2}} = \|Ax\|_{_{2}}\leq\||B||x|\|_{2}\leq\||B|\|_{2}\||x|\|_{2} = \||B|\|_{2}\|x\|_{2}. \end{equation} $

由于

$ x = (I-RA)x + RAx, $

则

$ \begin{eqnarray*} \|x\|_{2}& = & \|(I-RA)x + RAx\|_{2}\\ &\leq&\|(I-RA)x\|_{2} + \|RAx\|_{2}\\ &\leq&\|(I-RA)\|_{2}\|x\|_{2} + \|R\|_{2}\|Ax\|_{2}. \end{eqnarray*} $

结合不等式(3.2),有

$ \begin{eqnarray*} \|x\|_{2}&\leq&\|(I-RA)\|_{2}\|x\|_{2} + \|R\|_{2}\||B|\|_{2}\|x\|_{2}\\ & = &(\|(I-RA)\|_{2} + \|R\|_{2}\||B|\|_{2})\|x\|_{2}. \end{eqnarray*} $

由于对任意$ x\neq0 $, $ \|x\|_{2}>0 $,故

$ \|(I-RA)\|_{2} + \|R\|_{2}\||B|\|_{2}\geq1, $

这与条件(3.1)相矛盾.即证.

在定理3.1中,若$ R = A^{-1} $,则有下面推论3.1.

推论3.1  如果$ A $是非奇异的且

$ \|A^{-1}\|_{2}\cdot\||B|\|_{2}<1, $

则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解.

进一步,在推论3.1中,若$ B = I $,则立即可以获得下面推论3.2.

推论3.2  如果$ \|A^{-1}\|_{2}<1 $,则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解,其中$ B = I $.

事实上,推论3.2是文献[2]关于GAVE $ (1.1) $在$ B = I $时的一个主要结果,也可见文献[4, 10].这就暗示了定理3.1是推论3.2 (见文献[2]命题4)的一个推广.

基于引理2.5和2.6,我们很容易获得下面结果.

定理3.2  如果$ R $为任意矩阵并满足

$ \rho(|I-RA|+|R||B|)<1, $

则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解.

在定理3.2中,如果$ B = I $及$ R = A^{-1} $,则下面推论3.3的结果成立.

推论3.3  如果$ A $是非奇异的且

$ \rho(|A^{-1}|)<1. $

则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解,其中$ B = I $.

显然,定理3.2是推论3.3的一个推广.推论3.3是文献[8]的一个主要结果.

定理3.3  如果矩阵$ A $和$ |B| $满足

(3.3) $ \begin{equation} \|Ax\|_{2}>\||B||x|\|_{2}, \mbox{对任意}\ x\neq0, \end{equation} $

则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解.

证  基于定理3.1的证明,这里只需证明在条件(3.3)下,区间矩阵$ [A-|B|, A+|B|] $为正则的.事实上,当条件(3.3)成立时,由引理2.3知,区间矩阵$ [A^{T}A-|B|^{T}|B|, A^{T}A+|B|^{T}|B|] $为正定的.进一步,根据引理2.2易知, $ [A^{T}A-|B|^{T}|B|, A^{T}A+|B|^{T}|B|] $为正则的.再结合引理2.4可得区间矩阵$ [A-|B|, A+|B|] $为正则的.

用定理3.3可得下面推论3.4.

推论3.4  如果

(3.4) $ \begin{equation} \lambda_{\max}(|B|^{T}|B|)<\lambda_{\min}(A^{T}A), \end{equation} $

则对任意实向量$ b $, GAVE$ (1.1) $有唯一的可行解.

证  这里只需证在条件(3.4)下,区间矩阵$ [A-|B|, A+|B|] $是正则的.事实上,由于

$ \lambda_{\min}(A^{T}A)\leq(Ax)^{T}Ax, (|B||x|)^{T}|B||x|\leq\lambda_{\max}(|B|^{T}|B|), \ x\neq0, $

从不等式(3.4)可得

(3.5) $ \begin{equation} ((|B||x|)^{T}|B||x|\leq (Ax)^{T}Ax, \ x\neq0. \end{equation} $

注意到

$ \|Ax\|^{2}_{2} = (Ax)^{T}Ax, \||B||x|\|^{2}_{2} = (|B||x|)^{T}|B||x|, $

不等式(3.5)等价于

$ \||B||x|\|^{2}_{2}\leq \|Ax\|^{2}_{2}, x\neq0, $

进一步

$ \||B||x|\|_{2}\leq \|Ax\|_{2}, x\neq0. $

根据定理3.3,推论3.4的结果显然成立.

值得注意的是上面的结果也可用于线性互补问题(LCP)唯一可行解的判定.这是因为LCP的目的是发现一个向量$ z\in \mathbb{R} $$ ^{n} $使其满足

(3.6) $ \begin{equation} w = Mz+q\geq0, \ z\geq0, \ z^{T}w = 0, \end{equation} $

其中$ M\in \mathbb{R} $$ ^{n\times n} $, $ q\in \mathbb{R} $$ ^{n} $.在式(3.6)中,令$ z = |x|+x $, $ w = |x|-x $,则LCP(3.6)可等价地表示为

(3.7) $ \begin{equation} (I+M)x = (I-M)|x|-q. \end{equation} $

这就显示了LCP(3.6)的唯一可行解与AVE(3.7)的唯一可行解保持一致.基于这一事实, LCP(3.6)唯一可行解的判定也易获得,这里省略.

本文根据区间矩阵的正则性和矩阵的2 -范数,给出一些新的有用的结果可用于确定GAVE的唯一可行解.已出版的文献[2, 8, 14]中的一些结果也获得相应的推广.