广义绝对值方程组唯一可行解注记

广义绝对值方程组唯一可行解注记

李翠霞^,, 吴世良

On the Sole Solvability of General Absolute Value Equation

Li Cuixia^,, Wu Shiliang

通讯作者: 吴世良

收稿日期: 2018-07-27

基金资助:

国家自然科学基金. 11961082

Received: 2018-07-27

Fund supported:

国家自然科学基金. 11961082

作者简介 About authors

李翠霞,E-mail:lixiatk@126.com , E-mail：lixiatk@126.com

摘要

该文主要考虑广义绝对值方程组唯一可行解的存在性.基于区间矩阵的正则性及矩阵的2-范数，给出一些新的有用的结果可用于确定广义绝对值方程组的唯一可行解.

关键词： 广义绝对值方程组 ; 区间矩阵 ; 正则性 ; 唯一可行解

Abstract

In this paper, we focuss on the existence of the sole solvability of the general absolute value equation. Based on the regularity of interval matrices, along with the consistent matrix 2-norm, some new and useful results are presented to ensure the sole solvability of the general absolute value equation.

Keywords： General absolute value equation ; Interval matrix ; Regularity ; Sole solvability

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本文引用格式

李翠霞, 吴世良. 广义绝对值方程组唯一可行解注记. 数学物理学报[J], 2020, 40(1): 44-48 doi:

Li Cuixia, Wu Shiliang. On the Sole Solvability of General Absolute Value Equation. Acta Mathematica Scientia[J], 2020, 40(1): 44-48 doi:

1 引言

考虑广义绝对值方程组(GAVE)

$\begin{equation} Ax+B|x| = b, \end{equation}$

(1.1)

其中 $A, B\in \mathbb{R}$ $^{n\times n}$ 是给定的矩阵, $b \in \mathbb{R}$ $^{n}$ 是给定的向量.目前, GAVE(1.1)在优化领域里已经成为一个新兴课题,正逐渐引起关注.这主要是因为它在双矩阵对策、线性互补问题、线性区间方程、二次规划等领域里起着重要的作用^[1-2].

总所周知,唯一可行解研究是GAVE(1.1)理论分析的一个重要分支,因为许多数值算法(如广义Newton算法^[3-4],预处理AOR算法^[5], SOR-lIke算法^[6])的目的地是获取GAVE(1.1)的唯一可行解.因此,在算法设计之前,我们需要确定GAVE(1.1)唯一可行解的存在性.最近,关于GAVE(1.1)唯一可行解的研究已经受到了关注并已有文献给出一些结果.例如,在文献[7]中, Rohn给出了适合于任意实向量GAVE(1.1)存在唯一可行解的择一定理. Rohn等人在文献[8]中利用相关矩阵的谱半径获得了适合于任意实向量GAVE(1.1)存在唯一可行解的一个充分条件. Wu和Guo在文献[9]中利用特殊矩阵和迭代格式给出了确定绝对值方程组(AVE)存在唯一可行解的一些结果. Wu和Li在文献[10]中给出了确定AVE唯一可行解的两个充要条件.

本文进一步考虑GAVE(1.1)唯一可行解的存在性.利用区间矩阵的正则性及矩阵的2 -范数,一些新的有用的结果可用于确定GAVE(1.1)的唯一可行解,这些结果不同于文献[2, 7-9]中已出现的结果.也就是说,本文的结果是文献[2, 7-9]现有结果的一个补充.

本文的余下部分组织如下:第2节陈述了一些必要的定义和引理.第3节给出了一些新的有用的结果可用于确定GAVE的唯一可行解.第4节得出一些结论.

2 预备知识

这一小节给出本文所需的一些定义和引理.设区间矩阵

$A^{I} = [A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta] = \{A_{c}-\Delta\leq A\leq A_{c}+\Delta\},$

其中 $A_{c}, \Delta\in \mathbb{R}$ $^{n\times n}$ 及 $\Delta\geq0$ .如果任意矩阵 $A\in A^{I}$ 是非奇异的,则称区间矩阵 $A^{I}$ 为正则的,否则称为奇异的(即,如果其含有奇异矩阵).如果 $A_{c}$ 和 $\Delta$ 是对称的,则称区间矩阵 $A^{I}$ 是对称的^[12].如果任意对称矩阵 $A\in A^{I}$ 是正定的,则称区间矩阵 $A^{I}$ 是正定的^[12].矩阵 $A = (a_{ij})$ 的绝对值记为 $|A| = (|a_{ij }|)$ . $\rho(\cdot)$ 表示矩阵的谱半径. $\lambda_{\min}(\cdot)$ 和 $\lambda_{\max}(\cdot)$ 分别表示对称矩阵的最小和最大特征值.

定义2.1 设向量 $x\in\mathbb{R}$ $^{n}$ .函数 $\|\cdot\|_{2}:\mathbb{R}$ $^{n\times n}\rightarrow \mathbb{R}$ 为一个矩阵2 -范数当且仅当

$\|A\|_{2} = \max\limits_{x\neq0}\frac{\|Ax\|_{2}}{\|x\|_{2}}.$

由定义2.1知

$\|Ax\|_{2}\leq\|A\|_{2}\cdot\|x\|_{2}.$

引理2.1^[11] 区间矩阵 $[A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta]$ 是奇异的当且仅当不等式

$\begin{equation} |A_{c}x|\leq\Delta|x| \end{equation}$

(2.1)

有非平凡解.

引理2.2^[12] 对称区间矩阵 $[A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta]$ 是正定的当且仅当它是正则的且其至少含有一个正定矩阵.

引理2.3^[13] 区间矩阵 $[A^{T}_{c}A_{c}-\Delta^{T}\Delta, A^{T}_{c}A_{c}+\Delta^{T}\Delta]$ 是正定的当且仅当

$\begin{equation} \|A_{c}x\|_{2}>\|\Delta|x|\|_{2}, \mbox{对任意}\ x\neq0. \end{equation}$

(2.2)

引理2.4^[13] 如果区间矩阵 $[A^{T}_{c}A_{c}-\Delta^{T}\Delta,$ $A^{T}_{c}A_{c}+\Delta^{T}\Delta]$ 是正则的,则区间矩阵 $[A_{c}-\Delta,$ $A_{c}+\Delta]$ 也是正则的.

引理2.5^[15] 如果区间矩阵 $[A-|B|, A+|B|]$ 是正则的,则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解.

引理2.6^[11] 设 $R$ 为任意矩阵并满足

$\rho(|I-RA_{c}|+|R|\Delta)<1.$

则区间矩阵 $[A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta]$ 为正则的.

3 主要结果

在这一小节,我们给出一些新的有用的结果可用于确定GAVE的唯一可行解.

定理3.1 如果 $R$ 为任意矩阵并满足

$\begin{equation} \|I-RA\|_{2}+\|R\|_{2}\cdot\||B|\|_{2}<1, \end{equation}$

(3.1)

则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解.

证依据引理2.5,如果区间矩阵 $[A-|B|, A+|B|]$ 在条件(3.1)下是正则的,则定理3.1的结论成立.事实上,若假定 $[A-|B|, A+|B|]$ 是奇异的,则基于引理2.1,这里存在一个 $x\neq0$ 满足

$|Ax|\leq|B||x|.$

进一步

$\begin{equation} \||Ax|\|_{_{2}} = \|Ax\|_{_{2}}\leq\||B||x|\|_{2}\leq\||B|\|_{2}\||x|\|_{2} = \||B|\|_{2}\|x\|_{2}. \end{equation}$

(3.2)

由于

$x = (I-RA)x + RAx,$

则

$\begin{eqnarray*} \|x\|_{2}& = & \|(I-RA)x + RAx\|_{2}\\ &\leq&\|(I-RA)x\|_{2} + \|RAx\|_{2}\\ &\leq&\|(I-RA)\|_{2}\|x\|_{2} + \|R\|_{2}\|Ax\|_{2}. \end{eqnarray*}$

结合不等式(3.2),有

$\begin{eqnarray*} \|x\|_{2}&\leq&\|(I-RA)\|_{2}\|x\|_{2} + \|R\|_{2}\||B|\|_{2}\|x\|_{2}\\ & = &(\|(I-RA)\|_{2} + \|R\|_{2}\||B|\|_{2})\|x\|_{2}. \end{eqnarray*}$

由于对任意 $x\neq0$ , $\|x\|_{2}>0$ ,故

$\|(I-RA)\|_{2} + \|R\|_{2}\||B|\|_{2}\geq1,$

这与条件(3.1)相矛盾.即证.

在定理3.1中,若 $R = A^{-1}$ ,则有下面推论3.1.

推论3.1 如果 $A$ 是非奇异的且

$\|A^{-1}\|_{2}\cdot\||B|\|_{2}<1,$

则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解.

进一步,在推论3.1中,若 $B = I$ ,则立即可以获得下面推论3.2.

推论3.2 如果 $\|A^{-1}\|_{2}<1$ ,则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解,其中 $B = I$ .

事实上,推论3.2是文献[2]关于GAVE $(1.1)$ 在 $B = I$ 时的一个主要结果,也可见文献[4, 10].这就暗示了定理3.1是推论3.2 (见文献[2]命题4)的一个推广.

基于引理2.5和2.6,我们很容易获得下面结果.

定理3.2 如果 $R$ 为任意矩阵并满足

$\rho(|I-RA|+|R||B|)<1,$

则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解.

在定理3.2中,如果 $B = I$ 及 $R = A^{-1}$ ,则下面推论3.3的结果成立.

推论3.3 如果 $A$ 是非奇异的且

$\rho(|A^{-1}|)<1.$

则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解,其中 $B = I$ .

显然,定理3.2是推论3.3的一个推广.推论3.3是文献[8]的一个主要结果.

定理3.3 如果矩阵 $A$ 和 $|B|$ 满足

$\begin{equation} \|Ax\|_{2}>\||B||x|\|_{2}, \mbox{对任意}\ x\neq0, \end{equation}$

(3.3)

则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解.

证基于定理3.1的证明,这里只需证明在条件(3.3)下,区间矩阵 $[A-|B|, A+|B|]$ 为正则的.事实上,当条件(3.3)成立时,由引理2.3知,区间矩阵 $[A^{T}A-|B|^{T}|B|, A^{T}A+|B|^{T}|B|]$ 为正定的.进一步,根据引理2.2易知, $[A^{T}A-|B|^{T}|B|, A^{T}A+|B|^{T}|B|]$ 为正则的.再结合引理2.4可得区间矩阵 $[A-|B|, A+|B|]$ 为正则的.

用定理3.3可得下面推论3.4.

推论3.4 如果

$\begin{equation} \lambda_{\max}(|B|^{T}|B|)<\lambda_{\min}(A^{T}A), \end{equation}$

(3.4)

则对任意实向量 $b$ , GAVE $(1.1)$ 有唯一的可行解.

证这里只需证在条件(3.4)下,区间矩阵 $[A-|B|, A+|B|]$ 是正则的.事实上,由于

$\lambda_{\min}(A^{T}A)\leq(Ax)^{T}Ax, (|B||x|)^{T}|B||x|\leq\lambda_{\max}(|B|^{T}|B|), \ x\neq0,$

从不等式(3.4)可得

$\begin{equation} ((|B||x|)^{T}|B||x|\leq (Ax)^{T}Ax, \ x\neq0. \end{equation}$

(3.5)

注意到

$\|Ax\|^{2}_{2} = (Ax)^{T}Ax, \||B||x|\|^{2}_{2} = (|B||x|)^{T}|B||x|,$

不等式(3.5)等价于

$\||B||x|\|^{2}_{2}\leq \|Ax\|^{2}_{2}, x\neq0,$

进一步

$\||B||x|\|_{2}\leq \|Ax\|_{2}, x\neq0.$

根据定理3.3,推论3.4的结果显然成立.

值得注意的是上面的结果也可用于线性互补问题(LCP)唯一可行解的判定.这是因为LCP的目的是发现一个向量 $z\in \mathbb{R}$ $^{n}$ 使其满足

$\begin{equation} w = Mz+q\geq0, \ z\geq0, \ z^{T}w = 0, \end{equation}$

(3.6)

其中 $M\in \mathbb{R}$ $^{n\times n}$ , $q\in \mathbb{R}$ $^{n}$ .在式(3.6)中,令 $z = |x|+x$ , $w = |x|-x$ ,则LCP(3.6)可等价地表示为

$\begin{equation} (I+M)x = (I-M)|x|-q. \end{equation}$

(3.7)

这就显示了LCP(3.6)的唯一可行解与AVE(3.7)的唯一可行解保持一致.基于这一事实, LCP(3.6)唯一可行解的判定也易获得,这里省略.

4 结论

本文根据区间矩阵的正则性和矩阵的2 -范数,给出一些新的有用的结果可用于确定GAVE的唯一可行解.已出版的文献[2, 8, 14]中的一些结果也获得相应的推广.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

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$b \in \mathbb{R}$

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... 本文进一步考虑GAVE(1.1)唯一可行解的存在性.利用区间矩阵的正则性及矩阵的2 -范数,一些新的有用的结果可用于确定GAVE(1.1)的唯一可行解,这些结果不同于文献[2, 7-9]中已出现的结果.也就是说,本文的结果是文献[2, 7-9]现有结果的一个补充. ...

... ]中已出现的结果.也就是说,本文的结果是文献[2, 7-9]现有结果的一个补充. ...

... 事实上,推论3.2是文献[2]关于GAVE

$(1.1)$

在

$B = I$

时的一个主要结果,也可见文献[4, 10].这就暗示了定理3.1是推论3.2 (见文献[2]命题4)的一个推广. ...

... ].这就暗示了定理3.1是推论3.2 (见文献[2]命题4)的一个推广. ...

... 本文根据区间矩阵的正则性和矩阵的2 -范数,给出一些新的有用的结果可用于确定GAVE的唯一可行解.已出版的文献[2, 8, 14]中的一些结果也获得相应的推广. ...

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... 总所周知,唯一可行解研究是GAVE(1.1)理论分析的一个重要分支,因为许多数值算法(如广义Newton算法^[3-4],预处理AOR算法^[5], SOR-lIke算法^[6])的目的地是获取GAVE(1.1)的唯一可行解.因此,在算法设计之前,我们需要确定GAVE(1.1)唯一可行解的存在性.最近,关于GAVE(1.1)唯一可行解的研究已经受到了关注并已有文献给出一些结果.例如,在文献[7]中, Rohn给出了适合于任意实向量GAVE(1.1)存在唯一可行解的择一定理. Rohn等人在文献[8]中利用相关矩阵的谱半径获得了适合于任意实向量GAVE(1.1)存在唯一可行解的一个充分条件. Wu和Guo在文献[9]中利用特殊矩阵和迭代格式给出了确定绝对值方程组(AVE)存在唯一可行解的一些结果. Wu和Li在文献[10]中给出了确定AVE唯一可行解的两个充要条件. ...

... 事实上,推论3.2是文献[2]关于GAVE

$(1.1)$

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... , 7-9]现有结果的一个补充. ...

... 显然,定理3.2是推论3.3的一个推广.推论3.3是文献[8]的一个主要结果. ...

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... -9]现有结果的一个补充. ...

The unique solution of the absolute value equations

2018

... 事实上,推论3.2是文献[2]关于GAVE

$(1.1)$

在

$B = I$

时的一个主要结果,也可见文献[4, 10].这就暗示了定理3.1是推论3.2 (见文献[2]命题4)的一个推广. ...

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... 引理2.1^[11] 区间矩阵

$[A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta]$

是奇异的当且仅当不等式 ...

... 引理2.6^[11] 设

$R$

为任意矩阵并满足 ...

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2009

... 其中

$A_{c}, \Delta\in \mathbb{R}$

$^{n\times n}$

及

$\Delta\geq0$

.如果任意矩阵

$A\in A^{I}$

是非奇异的,则称区间矩阵

$A^{I}$

为正则的,否则称为奇异的(即,如果其含有奇异矩阵).如果

$A_{c}$

和

$\Delta$

是对称的,则称区间矩阵

$A^{I}$

是对称的^[12].如果任意对称矩阵

$A\in A^{I}$

是正定的,则称区间矩阵

$A^{I}$

是正定的^[12].矩阵

$A = (a_{ij})$

的绝对值记为

$|A| = (|a_{ij }|)$

$\rho(\cdot)$

表示矩阵的谱半径.

$\lambda_{\min}(\cdot)$

和

$\lambda_{\max}(\cdot)$

分别表示对称矩阵的最小和最大特征值. ...

... [12].矩阵

$A = (a_{ij})$

的绝对值记为

$|A| = (|a_{ij }|)$

$\rho(\cdot)$

表示矩阵的谱半径.

$\lambda_{\min}(\cdot)$

和

$\lambda_{\max}(\cdot)$

分别表示对称矩阵的最小和最大特征值. ...

... 引理2.2^[12] 对称区间矩阵

$[A_{c}-\Delta, A_{c}+\Delta]$

是正定的当且仅当它是正则的且其至少含有一个正定矩阵. ...

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... 引理2.3^[13] 区间矩阵

$[A^{T}_{c}A_{c}-\Delta^{T}\Delta, A^{T}_{c}A_{c}+\Delta^{T}\Delta]$

是正定的当且仅当 ...

... 引理2.4^[13] 如果区间矩阵

$[A^{T}_{c}A_{c}-\Delta^{T}\Delta,$

$A^{T}_{c}A_{c}+\Delta^{T}\Delta]$

是正则的,则区间矩阵

$[A_{c}-\Delta,$

$A_{c}+\Delta]$

也是正则的. ...

A globally and quadratically convergent method for absolute value equations

2011

An algorithm for solving the absolute value equations

2009

... 引理2.5^[15] 如果区间矩阵

$[A-|B|, A+|B|]$

是正则的,则对任意实向量

$b$

, GAVE

$(1.1)$

有唯一的可行解. ...

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