本文考虑加权的退化椭圆系统

其中$q > 1$, $a, \beta\geq0$, $x = (x, y)\in{{\Bbb R}} ^{N_1}\times {{\Bbb R}} ^{N_2}$, $\omega(x) = \left (1+\| x \|^{2(a+1)}\right)^{\frac{\beta}{2(a+1)}}$.本文建立椭圆系统(1.1)正稳定解的Liouville定理,即证明系统(1.1)正稳定解的非存在性结果.这里Grushin算子(Grushin梯度)定义为

Grushin距离定义为$\|x\| = \; (|x|^{2(a+1)}+|y|^{2})^{\frac{1}{2(a+1)}}$.

首先,可以注意到$a = 0$的情况, Grushin算子是拉普拉斯算子.则椭圆系统(1.1)是Lane-Emden方程或者Lane-Emden系统,这类方程和系统已经被许多专家讨论. 2007年, Farina^[1]通过巧妙地运用Morse迭代考虑了Lane-Emden方程

给出了该方程有限Morse指标解(正解或者变号解)的完全分类.为了解决双调和方程$\Delta^2 u = |u|^{q-1}u$稳定解和有限Morse指标解的完整分类, D$\acute{a}$vila-Dupaigne-Wang-Wei^[2]通过构造单调公式,将方程非平凡解的不存在性转化为非平凡齐次解的不存在性,从而得到相应的结果.

然而,上面所说的两种方法对于一些加权椭圆系统解的定性分析无效. Cowan-Ghoussoub^[3]和Dupaigne等^[4]各自独立的提出的一种方法能处理Lane-Emden系统和加权椭圆系统.如,基于联合使用Bootstrap方法、Souplet不等式^[5]和稳定解的准则, Hajlaoui-Harrabi-Ye^[6]和Hu-Zeng^[7]建立了$a = 0$的加权Lane-Emden系统(1.1)稳定解的Liouville型定理.

对于$a = 1$的情况,问题(1.2)与Heisenberg Laplace方程

密切相关,其中$\Delta_{H}$是Heisenberg Laplace算子.设$u$是关于$z$的径向函数,即$u = u(|z|, t)$.则$\Delta_{H} u = \Delta_{z} u+4|z|^2 \frac{\partial ^2u}{\partial t^2}$是$a = 1$时的Grushin算子.对于含Heisenberg Laplace算子的椭圆方程的Liouville定理和对称性质已有了很多优秀的成果,参见文献[8-11].

现在考虑$a > 0$的一般情况, Grushin算子相应性质已被许多专家讨论^[12-13].最近,运用Kelvin变换结合移动平面法, Monticelli^[14]证明了方程$-\Delta_{G}u = u^{q}$非负经典解的Liouville定理成立, Yu^[15]用同样的方法得到了上述方程非负弱解的Liouville定理.这里指数满足$q < \frac{N_{a}+2}{N_{a}-2}$,其中$N_{a}: = N_{1}+(a+1)N_{2}$称为齐次维数.

近年来,含Grushin算子的椭圆型方程或系统的稳定解与有限Morse指标解已被许多专家研究(参见文献[16-17]).利用Cowan^[18]的方法, Duong等^[16]得到了含Grushin算子的Lane-Emden系统

稳定解的Liouville定理.

受文Montenegro^[19]启发,下面给出稳定解的定义.

定义1.1  设$\Omega$是${{\Bbb R}} ^N$的子集.系统(1.1)的解$(u, v)\in C^2(\Omega)\times C^2(\Omega)$称为稳定的,如果特征值问题

存在第一特征值$\mathfrak{e} > 0$和正的光滑特征函数对$(\phi, \psi)$.

可以注意到, Grushin算子$\Delta_{G}$是非对称的且在$\{ 0 \} \times {{\Bbb R}} ^{N_2}$流行上是退化的,从而拉普拉斯算子的研究方法对Grushin算子不适用.本文需要克服由Grushin算子引起的一些新困难(如积分估计和建立解$(u, v)$比较原理等).受文献[7, 16, 20]的启发,本文将证明加权的退化椭圆系统(1.1)解的Liouville型定理.

定理1.1  设$u, v$是系统(1.1)的正稳定解.如果$N_{a}, q > 1$和$\beta\geq0$满足条件

其中$\kappa_{0}$是方程

的最大根.则系统(1.1)没有正稳定解.

注1.1  (1)使用稳定解准则(2.1)和Grushin算子性质,本文建立了系统(1.1)解的精确积分估计.

(2)通过发展文献[16, 21]中的方法,本文建立了一个新的比较原理,以及利用Bootstrap方法给出解的$L^2$ -估计,从而可以证明定理1.1.

推论1.1  设$u$是双Grushin算子椭圆方程

的正稳定解.如果$N_{a}, q > 1$满足下面条件

其中$\kappa_{0}$是如同定理1.1,则方程没有正稳定解.

本文$C$总表示一般的正常数,与其它变量无关. $B_R(x)$表示${{\Bbb R}} ^N$上以$x$为球心$R$为半径的开球.另记$B_{R} = B_{R}(0)$.

首先建立下面稳定解的两个准则.

引理2.1  设$(u, v)$是椭圆系统(1.1)的非负稳定解,则下面两个不等式成立

和

证  用$\frac{\zeta^{2}}{\phi}$乘以方程(1.3)的第二个方程,其中$\zeta \in C_0^2 (\Omega)$,并分部积分可得

简单计算可得

因此有

下面证明(2.2)式.由稳定解的定义可得

和

分别用$\zeta^{2}$和$\eta^{2}$乘上面两个不等式,其中$\zeta, \eta \in C_0^1 (\Omega)$,积分可得

和

直接计算有

即

类似可得

则使用不等式$a^{2}+b^{2}\geq2ab$且取$\zeta = \eta$,有

结论得证.

为了方便,记${\cal D} (x): = 1+\|x\|^{2(a+1)}$.

引理2.2  对任意的$\zeta, \eta \in C_0^4 ({{\Bbb R}} ^N)$,有下面不等式成立

和

证  简单计算可得

和

因此,综合上面三个等式可得等式(2.3)成立.

另一方面,容易验证

和

联合等式$\frac{1}{2}\Delta_{G}(\zeta^{2}) = |\nabla_{G}\zeta|^{2}+\zeta\Delta_{G}\zeta$可得(2.4)式成立.

采用类似于文献[7, Lemma 2.4]和[20, Lemma 2.3]的方法,可以给出系统(1.1)稳定解的精确积分估计.

引理2.3  设$(u, v)$是系统(1.1)的一个非负稳定解.则对任意$R > 0$,有

证  设$\xi_i \in C_c^{\infty}({{\Bbb R}}, [0, 1])$, $i = 1, 2$使得在$[-1, 1]$上$\xi_i = 1$,在$[-2^{1+(i-1)a}, 2^{1+(i-1)a}]$外$\xi_i = 0$.对任意的$R > 0$,定义$\varphi_R(x, y) = \xi_1(\frac{|x|}{R}) \xi_2(\frac{|y|}{R^{a+1}})$.则存在与$R$无关的常数$C > 0$,使得

用$u\varphi^{2}_{R}$乘以系统(1.1)的第二个方程并分部积分可得

把测试函数$\zeta = u\varphi_{R}$插入(2.1)式中可得

则联合(2.3)和(2.4)式,有

因为$\Delta_{G}(u\varphi_R) = -\omega v\varphi_R+2\nabla_{G}u\cdot\nabla_{G}\varphi_R+u\Delta_{G}\varphi_R$,联合上面不等式和引理 可得

在不等式(2.5)中,用$\varphi_R^m$代替$\varphi_R$, $m$充分大.容易验证

则联合上面两个不等式,有

其中

应用Hölder不等式可得

结论成立.

受文献[16, 21]的启发,我们建立新的比较原理.

引理2.4  设$(u, v)$是系统(1.1)的正经典解,则不等式成立

证  设$\delta = \sqrt{\frac{2}{q+1}}$, $\Psi = \delta u^{\frac{q+1}{2}}-v$.直接计算可得

假设矛盾,则可设${ } M = \sup_{{{\Bbb R}} ^{N}}\Psi, 0 < M\leq+\infty$.下面仅考虑两种情况.

情况1  $\Psi$的上确界在无穷远处可以取到.

取截断函数$\xi\in C_{0}^{2}({{\Bbb R}} ^N, [0, 1])$,并设$\varphi(x, y) = \xi^{m}(x, y)$,这里$m > 0$由后面确定.根据$\nabla\xi$和$\Delta\xi$的有界性意味着

记$\varphi_{R}(x, y): = \varphi \left (\frac{x}{R}, \frac{y}{R^{a+1}} \right)$和$\Psi_{R}: = \varphi_{R}\Psi$,则

设$(x_{R}, y_{R})$是最大值点,即$\Psi_{R}(x_{R}, y_{R}) = \max\limits_{{{\Bbb R}} ^{n}}{\Psi_{R}}(x, y)$.显然

下面所有的估计式都在点$(x_{R}, y_{R})$取得.直接计算可得

不等式$\Delta_{G}\Psi_{R}(x_{R}, y_{R})\leq0$表明

联合上面两个不等式发现

因此联合不等式(2.6),有

选择$m = \frac{2q+2}{q-1}$,则

这是一个矛盾.

情况2  存在$(x_0, y_0)$使得$M = \sup\limits_{{{\Bbb R}} ^{N}}\Psi = \Psi(x_0, y_0) > 0$.

从不等式(2.6)容易推出

因此,至少存在一个指数$i$,使得$\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}}\Psi(x_0, y_0) > 0$或$\frac{\partial^{2}}{\partial y_{i}^{2}}\Psi(x_0, y_0) > 0$.显然这矛盾于$\Psi(x_0, y_0) = \sup\limits_{{{\Bbb R}} ^{N}} \Psi$.

引理2.5^[16]  设$\Phi$是光滑函数, $k_{a} = \frac{N_{a}}{N_{a}-2}$.则有

证  设$\varphi\in C_c^{2}({{\Bbb R}} ^{N}, [0, 1])$是截断函数,使得在$B_{1}\times B_{1}$上有$\varphi = 1$,在$B_{2}\times B_{2}^{a+1}$外$\varphi = 0$.使用Sobolev不等式^[15],则

利用Rescaling方法意味着不等式(2.7)成立.

引理3.1  设$(u, v)$是系统(1.1)的正稳定解,则对任意的$\kappa\geq2$和$R > 0$,有

其中$k$满足

证  设$\xi_{i}\in C_c^2({{\Bbb R}}, [0, 1])$, $i = 1, 2$,使得在$[-1, 1]$上$\xi_{i} = 1$,在$[-2^{1+(i-1)a}, 2^{1+(i-1)a}]$外$\xi_{i} = 0$.对任意的$R > 0$,定义$\varphi_{R}(x, y) = \xi_{1}(\frac{|x|}{R})\xi_{2}(\frac{|y|}{R^{a+1}})$.则存在与$R$无关的常数$C > 0$,使得

在(2.2)式中取测试函数$\zeta = u^{\frac{\lambda+1}{2}}\varphi_R$,从而有

直接计算

和

因此

取$\mu_{1}: = \frac{4\lambda\sqrt{q}}{(\lambda+1)^{2}}$,即

又在(2.2)式中插入$\zeta = v^{\frac{\tau+1}{2}}\varphi_R$, $\tau\geq1$,则可得

类似的选择$\mu_{2}: = \frac{4\tau\sqrt{q}}{(\tau+1)^{2}}$,有

记

因此

选择$\lambda$和$\tau$满足关系式

使用Young不等式可得

类似的计算,有

则再结合上面三个不等式可知

即

如果$\mu_1 \mu_2 > 1$,则从引理2.4发现

下面,我们取$\kappa = \tau+1$并结合引理2.4可得

另一方面,因为$\mu_{1} = \frac{4\lambda\sqrt{q}}{(\lambda+1)^{2}}$, $\mu_{2} = \frac{4\tau\sqrt{q}}{(\tau+1)^{2}}$, $2\lambda = (q+1)\tau+q-1$, $\lambda+1 = \frac{(q+1)(\tau+1)}{2}$和$\kappa = \tau+1$,有

直接计算表明

结论得证.

注3.1  可以注意到,当$\kappa\in(2s_{0}^{-}, 2s_{0}^{+})$, $q > 1$时,引理3.1成立(参见文献[7, Remark 3.2]),其中

而且,由(1.5)式定义的${\cal L}$在区间$[2s_0^+, +\infty)$上有唯一根$\kappa_0$,使得对任意的$\kappa \in [2s_0^+, \kappa_0)$,有${\cal L}(q, \kappa) < 0$.

定理1.1的证明  用$v^{2s-1} \varphi_R^2$乘以系统(1.1)的第二个方程并分部积分可得

这里$\varphi_{R}$的定义与引理3.1相同.取$\Phi = v^s$,其中$2s$满足不等式(1.5),则引理3.1意味着

联合引理 可得

设$m$是满足$2\kappa_{a}^{m-1} < \kappa < 2\kappa_{a}^{m}$的非负整数.定义一个递增迭代序列

取$V = v^2$,迭代不等式(3.1)可得

现在取$\gamma = 2k_a^m$和$\gamma < \frac{N_a}{N_a-2} \kappa_0$,则

容易看出

等价于

因此从不等式(1.4)可得当$R \to +\infty$时, $\|v\|_{L^{\gamma}({{\Bbb R}} ^N)} = 0$,即,在${{\Bbb R}} ^N$中$v \equiv 0$,这是矛盾.结论得证.