数学物理学报, 2024, 44(5): 1241-1281

阶跃初值条件解的完全分类: 流体力学中广义 Gardner 方程的分析与数值验证

张岩,, 郝惠琴,*, 郭睿,

太原理工大学数学学院 太原 030024

The Complete Classification of Solutions to the Step Initial Condition: Analysis and Numerical Verification for the Generalized Gardner Equation in Fluid Mechanics

Zhang Yan,, Hao Huiqin,*, Guo Rui,

School of Mathematics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024

通讯作者: *郝惠琴, E-mail: math0351@sina.com

收稿日期: 2023-10-27   修回日期: 2024-04-29  

基金资助: 国家自然科学基金(11905155)
山西省留学人员科学活动基金(20220008)

Received: 2023-10-27   Revised: 2024-04-29  

Fund supported: NSFC(11905155)
Scientific Activities of Selected Returned Overseas Scholars in Shanxi Province(20220008)

作者简介 About authors

张岩,E-mail:z1093767571@163.com;

郭睿,E-mail:gr81@sina.com

摘要

该文中, 通过 Whitham 调制理论研究了广义 Gardner 方程的初始不连续性的演化, 该方程可以描述地形上分层流体的跨临界流动. 首先, 通过雅可比椭圆函数表示的周期波推导出不同极限情况下的线性谐波, 孤子和非线性三角波. 随后通过有限间隙积分方法得到了基于黎曼不变量的 Whitham 特征速度与调制系统. 由于广义 Gardner 方程的调制系统既不是严格的椭圆型也不是严格的双曲型, 这使得与 KdV 方程相比, 不同区域当中的动力学演化行为更加多样化. 此外, 对正负三次非线性项情况下的所有波结构进行了完整的分类, 包括色散冲击波, 稀疏波, 三角冲击波, 扭结及其组合波结构, 并通过数值模拟验证了结果的正确性. 最后分析了一定条件下线性项和非线性项的系数对阶跃初值问题的影响.

关键词： 广义 Gardner 方程; 有限间隙积分方法; 黎曼不变量; Whitham 调制理论; 初始不连续; 色散冲击波

Abstract

In this paper, we investigate the evolution of the initial discontinuity for the generalized Gardner equation through the Whitham modulation theory, which the generalized Gardner equation can describe the transcritical flow of stratified fluids over topography. Firstly, we derive the linear harmonic wave, soliton and nonlinear trigonometric wave in different limiting cases via the periodic waves represented by the Jacobi elliptic functions. Then we obtain the Whitham characteristic velocities and modulation system based on the Riemann invariants by the finite-gap integration method. Since the modulation system of the generalized Gardner equation is neither strictly elliptic nor hyperbolic type, which makes the dynamical evolution behavior more varied in different regions compared to the KdV equation. Furthermore, we perform a complete classification for all wave structures in the cases of positive and negative cubic nonlinear terms, including the dispersive shock wave, rarefaction wave, trigonometric dispersive shock wave, solibore and their combinations. In addition, the correctness of the results is verified by numerical simulations, and the numerical solutions are in good agreement with the analytical solutions. Finally, the influences of the coefficients of the linear and nonlinear terms on the step initial value problem under certain conditions are analyzed.

Keywords： Generalized Gardner equation; Finite-gap integration method; Riemann invariant; Whitham modulation theory; Initial discontinuity; Dispersive shock wave

PDF (10178KB) 元数据 多维度评价 相关文章 导出 EndNote| Ris| Bibtex  收藏本文

本文引用格式

张岩, 郝惠琴, 郭睿. 阶跃初值条件解的完全分类: 流体力学中广义 Gardner 方程的分析与数值验证[J]. 数学物理学报, 2024, 44(5): 1241-1281

Zhang Yan, Hao Huiqin, Guo Rui. The Complete Classification of Solutions to the Step Initial Condition: Analysis and Numerical Verification for the Generalized Gardner Equation in Fluid Mechanics[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(5): 1241-1281

1 引言

非线性演化方程已被用于描述现代科学的许多复杂现象, 如流体力学, 凝聚态, 生物学和光通信[1⇓-3]. Korteweg-de Vries (KdV) 方程

$\begin{equation}\label{1.1} u_t+6uu_x+u_{xxx}=0 \end{equation}$

是非线性科学中的一个关键模型, 它解决了线性色散和非线性对流之间的平衡[4⇓⇓⇓-8], 已广泛应用于等离子体中的等离子声波[9], 化学反应理论中的质量传递[10] 和海洋中的浅水波[11] 等各个方面. 由于 KdV 方程只包含二次非线性, 但在一些复杂的环境情况下必须考虑高阶非线性效应, 因此研究人员提出了修正后的 KdV(mKdV) 方程

$\begin{equation}\label{1.2} u_t+6u^2u_x+u_{xxx}=0, \end{equation}$

mKdV 方程在许多领域都具有重要应用, 如模拟光纤中的超连续谱产生[12], 蜿蜒洋流[13] 和多组分等离子体[14]. 当同时考虑二次和三次非线性项时, KdV 方程成为 KdV 和 mKdV 方程的组合 KdV-mKdV 方程, 也称为 Gardner 方程[6,15]

$\begin{equation}\label{1.3} u_t+6uu_x+6u^2u_x+ u_{xxx}=0, \end{equation}$

它可以用来描述非线性科学中的各种现象, 例如大振幅内波[16], 等离子体中的波动现象[17]和量子流体动力学[18]. 为了研究更一般情况下的 Gardner 方程, 在本文中我们讨论广义 Gardner 方程[19]

$\begin{equation}\label{1.4} u_t+du_x+k_1uu_x+k_2u^2u_x+cu_{xxx}=0, \end{equation}$

其中 $ u(x, t) $ 表示复值波函数, 自变量 $ x $ 和 $ t $ 代表空间和时间, 线性和非线性项的系数 $ d $, $ k_1 $ 和 $ k_2 $ 可以为任意正数或负数, 但色散系数 $ c $ 始终为正数, 这些系数可以通过稳定海洋背景密度的流动分层来描述[19⇓⇓⇓-23]. 当系数满足一定条件约束时, 广义 Gardner 方程已被证明是可积的, Lax 对和其他所需的完全可积性质已经被证明[24⇓-26]. 当给定 KdV 方程一组初始条件时, 方程的孤子解具有与初始条件无关的固定极性. 然而, 广义 Gardner 方程可以通过以下变换保持不变

$\begin{equation}\label{1.5} u^*\mapsto -\frac{k_1}{k_2}-u, \end{equation}$

这意味着在初始条件的影响下, 同一系统中解的极性可能会发生变化. 与 KdV 方程的不同之处在于, 当 $ k_2 $ 为正数或负数的情况时, 广义 Gardner 方程将会出现亮孤子, 暗孤子, 代数孤子, 桌面孤子和扭结 $ (SB) $ 形式的解.

冲击波是由于物理量初始突变而产生的一种普遍物理现象. 在水波和超流体等介质中, 非线性往往会产生由色散介导的破碎波从而可能导致相干结构的不稳定, 这种相干结构通常被称为色散冲击波 $ (DSW) $, 也可以称为波状孔, 无耗散冲击波或无碰撞冲击波[27]. 随着分散流体力学的发展, 色散冲击波已被发现在潮汐演化[28], 海洋运输[29], 海啸传播[30], 雷暴引发[31]和半日内潮[32]中发挥着重要作用. 色散冲击波在色散介质中可以通过 Whitham 调制理论来研究[33], 这是一种连接两种不同基本流动状态并随时间和空间缓慢演化的非线性调制波列, 其中波数, 波长, 振幅和频率等调制参数的缓慢演化由流体动力学平均方程控制, 也称之为 Whitham 调制方程[34]. Whitham 调制方程可以构成一个偏微分方程组, 如果该系统是椭圆型的, 则非线性调制波列是调制不稳定的, 但如果该系统是双曲型, 则色散冲击波可以表现为调制方程的简单波解, 并且波列是调制稳定的[35]. 由于色散冲击波是在弱色散非线性介质中形成的非平稳波列, 非线性导致前沿逐渐变陡并在弱色散的影响下发生梯度突变, 最终形成陡峭的梯度. 此时, 强振荡将由特征扇形中时空平面中的色散扩散引起, 其中扇形的边界代表色散冲击波的后沿和前沿. 然而, 在较小的空间和时间范围内观察时, 色散冲击波将表现为周期或准周期结构[36]. 色散冲击波中非线性的显著特性是它在后沿和前沿至少有两种不同的传播速度, 根据非线性和色散效应之间的平衡, 振幅趋于零的线性色散波出现在色散冲击波的后沿, 前沿则出现振荡波列的最大振幅[37,38].

Whitham 将 KdV 方程的调制方程转换为黎曼对角形式, 从而将调制方程转换为三个一阶双曲偏微分方程的系统[33]. Gurevich 和 Pitaevskii 进一步利用 KdV 方程的调制方程推导出了色散冲击波解, 并且该方法可以推广到其他可积方程[39⇓⇓⇓-43]和不可积方程[44]. 在参考文献 [45] 中, mKdV 方程的调制系统通过平均守恒定律已经被得到, 并利用 Whitham 调制理论分析了振荡波列的稳定性. Kamchatnov 通过有限间隙积分方法推导了黎曼对角形式的离焦 mKdV 方程的调制系统, 由于调制方程总是双曲的, 因此可以得到稳定的周期解[46]. 然而, 聚焦 mKdV 方程的调制系统与 KdV 方程不同, 调制方程既可以是双曲型也可以是椭圆型, 就导致了调制系统为椭圆型时周期解的不稳定性. 聚焦 mKdV 方程的调制解包括一种不同于色散冲击波的三角色散冲击波 $ (TSW) $ 调制解, 这种情况下的 Whitham 调制方程其中的两个黎曼不变量不仅在后沿处相等, 而且在整个波列中处处相等, 这使得椭圆模量 $ m $ 始终为 $ 0 $. 三角色散冲击波作为复合解的一部分通常在初始条件满足特定情况时出现, 例如稀疏波 $ (RW) $ 与三角色散冲击波或色散冲击波与三角色散冲击波的复合波结构[47,48]. 由于 Gardner 方程是 KdV 和 mKdV 方程的组合, 当三次非线性系数的值很小时, Gardner 方程得到的色散冲击波解的性质与 KdV 方程的情况十分类似[49]. 参考文献 [50] 给出了 Gardner 方程的黎曼不变量形式的调制系统, 并且可以映射到 KdV 方程的调制系统中.

在本文中, 我们将研究方程 (1.4) 的黎曼不变量形式的调制系统, 并将重点放在初始不连续问题上, 其中阶跃初值条件为

$\begin{equation}\label{1.6} \left\{ \begin{array}{l} u\left( x,t=0 \right) =u^-,\ x<0,\\ u\left( x,t=0 \right) =u^+,\ \,x>0.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

KdV 方程的阶跃问题很简单: 当 $ u^-<u^+ $ 时 $ RW $ 可以连接阶跃初值 $ u^- $ 和 $ u^+ $, 在 $ u^->u^+ $ 时 DSW 可以作为阶跃初值问题的解. 在研究方程 (1.4) 的初始不连续性问题时, 初值问题的解的结构取决于阶跃参数 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 相对于方程无色散极限特征速度 $ ( k_2u^2+k_1u+d) $ 的拐点 $ u=-\frac{k_1}{2k_2} $ 的位置. 完整的分类包含 16 种可能的情况 ($ k_2 $ 的正负情况各对应 8 种), 所遇到的波型包括正向的和反向的 $ DSW $, $ RW $, $ TSW $, $ SB $, 以及上述波型的各种组合.

基于以上背景, 本文围绕 Whitham 调制理论研究广义 Gardner 方程的初始不连续性的演化, 希望这些结果能对数学物理系统中色散冲击波的进一步认识和研究有所帮助. 本文的安排设计如下: 在第 2 节中, 我们将给出方程的 Lax 对并利用有限间隙积分方法推导单相周期解. 在第 3 节中, 我们将使用行波法将广义 Gardner 方程转化为常微分方程, 得到雅可比椭圆函数表示的周期解, 并分别研究 $ k_2>0 $ 和 $ k_2<0 $ 时 $ m\rightarrow 0 $ 和 $ m\rightarrow 1 $ 的谐波极限和孤子极限. 在第 4 节中, 我们将推导出周期解参数 $ u_j $ 和光谱参数 $ r_i $ 之间的两组关系, 得到了描述周期波慢调制的 Whitham 速度和调制方程. 在第5节和第6节中, 我们将首先描述构成复合解的基本波结构, 如 $ DSW $, $ RW $, $ TSW $ 和 $ SB $, 分别给出 $ k_2<0 $ 和 $ k_2>0 $ 时广义 Gardner 方程初始不连续问题的完整解决方案, 并给出了所得结果与直接数值模拟的对比图. 本文使用的直接数值模拟方法为首先通过中心有限差分公式对广义 Gardner 方程中的空间导数进行离散, 时间积分则进一步采用四阶龙格-库塔法进行计算. 此外, 在第 7 节中我们将通过讨论在一定条件下只改变一个参数而保持其他参数不变的情况, 来分析参数 $ d $, $ k_1 $ 和 $ k_2 $ 对阶跃初值问题的影响. 最后, 本文的结论将在第 8 节进行总结.

2 基于有限间隙积分方法的单相周期解

有限间隙积分方法是在与可积非线性色散方程有关的线性谱问题中获得周期或拟周期解的方法之一, 并在数学物理中的各种渐近问题中与势能递减的薛定谔算子具有重要的应用[51]. 当利用有限间隙积分方法得到的周期解或准周期解研究 Whitham 调制理论时, 如果准周期解的频谱带端点随 $ x $ 和 $ t $ 变化缓慢则可将其称为 Whitham 调制方程的黎曼不变量, 从而得到与线性光谱问题相关的可积方程的周期解所需的黎曼不变量参数化[42]. 广义 Gardner 方程对应的 Lax 对如下[26]

$\begin{equation}\label{2.1} \varPsi _x=U\varPsi, \ \varPsi _t=V\varPsi, \end{equation}$

其中 $ \varPsi =( \phi _1,\phi _2) ^T $ ($ T $ 表示矩阵的转置), $ \lambda $ 是复谱参数, 矩阵 $ U $ 和 $ V $ 有以下形式

$\begin{equation}\label{2.2} U=\left( \begin{matrix} F& G\\ H& -F\\ \end{matrix} \right), \ V=\left( \begin{matrix} A& B\\ C& -A\\ \end{matrix} \right) \end{equation}$

其中

$\begin{align*} &F=\lambda,\ G=u,\ H=-\frac{1}{6}( k_1+k_2u), \nonumber\\ &A=-4c\lambda ^3-\big( \frac{1}{3}cu( k_1+k_2u) +d \big) \lambda -\frac{1}{6}ck_1u_x,\nonumber\\ &B=-4cu\lambda ^2-2cu_x\lambda -\frac{1}{3}ck_2u^3-\frac{1}{3}ck_1u^2-du-cu_{xx},\nonumber\\ &C=\frac{2}{3}c\left( k_1+k_2u \right) \lambda ^2-\frac{1}{3}ck_2u_x\lambda +\frac{1}{18}ck_{2}^{2}u^3+\frac{1}{9}ck_1k_2u^2\\ & +\frac{1}{18}ck_{1}^{2}u+\frac{1}{6}dk_2u+\frac{1}{6}ck_2u_{xx}+\frac{1}{6}dk_1.\nonumber \end{align*}$

$ \varPsi $ 必须满足相容性条件 $ \varPsi _{tx}=\varPsi _{xt} $, 进而可以推导出零曲率方程 $ U_t-V_x+\left[ U,V \right] =0 $, 其中 $ [U,V]=UV-VU $. 我们可以通过下面的变换把矩阵形式的方程转换成期望的标量形式[52]

$\begin{equation}\label{2.3} \varPhi _{xx}=\mathbb{H}\varPhi, \ \varPhi _t=\mathbb{L}\varPhi, \end{equation}$

其中

$\begin{equation}\label{2.4} \begin{aligned} &\mathbb{H}=\big( F+\frac{H_x}{2H} \big) ^2+GH-F_x-\big( \frac{H_x}{2H} \big) _x\\ &\ \, \, \,=\lambda ^2-\frac{1}{6}k_1u-\frac{1}{6}k_2u^2+\frac{\lambda k_2u_x}{k_1+k_2u}-\frac{k_2u_{xx}}{2\left( k_1+k_2u \right)}+\frac{3k_2^2u_x^2}{4\left( k_1+k_2u \right) ^2},\\ &\,\mathbb{L}=\frac{C}{H}=-\frac{1}{3\left( k_1+k_2u \right)}\big( u\big( c( k_{1}^{2}+12\lambda ^2k_2) +3dk_2 \big) +2ck_1k_2u^2+ck_{2}^{2}u^3 \\ &\,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \,+3ck_2( u_{xx}-2\lambda u_x)+3k_1( 4c\lambda ^2+d) \big). \end{aligned} \end{equation}$

因此, 方程 (2.3) 的两个基解 $ \varPhi _+, \varPhi _- $ 和平方基函数 $ S=\varPhi _+ \varPhi _- $ 满足

$\begin{equation}\label{2.5} P\left( \lambda \right) =\frac{1}{2}SS_{xx}-\frac{1}{4}S_x^2-S^2\mathbb{H}. \end{equation}$

当利用有限间隙积分方法求方程的周期解或准周期解时, 解的性质一般由多项式 $ P(\lambda) $ 中 $ \lambda $ 的幂次来区分. 本文主要研究方程 (1.4) 的单相周期解, 我们发现它与以下四次多项式有关

$S(x,t) =\lambda ^2-S_1(x,t) \lambda +S_2(x,t),$
$P\left( \lambda \right) =-\prod_{i=1}^3{\left( \lambda ^2-\lambda _i^2 \right) =-\lambda ^6+s_1\lambda ^4-s_2\lambda ^2+s_3},$

其中

$\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} s_1=\lambda _1^2+\lambda _2^2+\lambda _3^2, s_2=\lambda _1^2\lambda _{2}^{2}+\lambda _{1}^{2}\lambda _3^2+\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}, s_3=\lambda _1^2\lambda _{2}^{2}\lambda _{3}^{2}. \end{aligned} \end{equation}$

将方程 (2.4), (2.6) 和 (2.7) 代入方程 (2.5) 中, 比较 $ \lambda $ 的不同幂次的系数得到

$\begin{equation}\label{2.8} \begin{aligned} &S_1(x,t) =\frac{k_2u_x}{2\left( k_1+k_2u \right)},\\ &S_2(x,t) =\frac{1}{12}\big( u\left( k_1+k_2u \right) +\frac{3k_2u_{xx}}{k_1+k_2u} -6s_1 \big),\\ &u_{xxx}=u_x\big( 2s_1-u( k_1+k_2u) \big), \\ &u_{xx}=\frac{1}{2( k_1+2k_2u) }\big( 2k_2u_x^2+12s_1^2-48s_2-u( k_1+k_2u) ( k_1u+k_2u^2-4s_1) \big). \end{aligned} \end{equation}$

经过一些计算可以推导出

$\begin{align*}\label{2.9} u_x^2=&-\frac{1}{6}k_2u^4-\frac{1}{3}k_1u^3+2s_1u^2 \\ &+\frac{1}{12k^3}\Big( 2k_1^3k_2+24k_1k_2^2s_1\mp 2k_2\sqrt{\left( k_1^2+24k_2\lambda _1^2 \right) \left( k_{1}^{2}+24k_2\lambda _{2}^{2} \right) \left( k_{1}^{2}+24k_2\lambda _{3}^{2} \right)} \Big) u \\ &+\frac{1}{12k^3}\Big( k_1^4+12k_1^2k_2s_1-72k_2^2\left( s_1^2-4s_2 \right) \\ &\mp k_1\sqrt{\left( k_1^2+24k_2\lambda _1^2 \right) \left( k_{1}^{2}+24k_2\lambda _{2}^{2} \right) \left( k_{1}^{2}+24k_2\lambda _{3}^{2} \right)} \Big). \end{align*}$

进一步通过变换 $ x\mapsto x-Vt $ 并利用行波法 (详见第 3 节) 得到方程 (1.4) 的周期行波解.

3 周期行波解与极限情况下的退化解

在本节中, 我们将通过以下变换推导行波形式的广义 Gardner 方程的周期解 $u=u( \xi),$ 其中 $ \xi =x-Vt $ 并且 $ V $ 是非线性相速度. 因此, 方程 (1.4) 可转化为

$\begin{equation}\nonumber \frac{( V-d) }{2}u^2-\frac{1}{6}k_1u^3-\frac{1}{12}k_2u^4-\frac{1}{2}cu_{\xi}^2+B_0u+A_0=0, \end{equation}$

其中 $ A_0 $ 和 $ B_0 $ 是积分常数. 在接下来的讨论中为了方便起见, 我们通常使 $ c=1 $. 进一步积分两次后可以得到如下非线性振荡方程

$\begin{equation}\label{3.1} \begin{aligned} \mathcal{Z}( u) \equiv u_{\xi}^{2}&=-\frac{k_2}{6}u^4-\frac{k_1}{3}u^3+( V-d) u^2+2B_0u+2A_0. \end{aligned} \end{equation}$

方程 (3.1) 的根包含复数对应于有调制不稳定解的情况, 为了保证调制方程的稳定性, 本文只讨论方程 (3.1) 的四个实根 $ u_1, u_2, u_3, u_4 $ 满足 $ u_1\le u_2\le u_3\le u_4 $ 的情况. 根据四次方程的根与系数的关系

$\begin{equation}\label{3.2} u_1+u_2+u_3+u_4=-\frac{2k_1}{k_2}, \end{equation}$

其中任意 $ u_i $ 都可以由其他三个根表示. 当 $ k_2 =0 $ 时, 方程 (3.1) 会退化为类似于 KdV 方程的非线性振荡方程的形式, 因此在本节中我们将详细讨论当 $ k_2 $ 为正数或负数时 $ u $ 在不同区域内振荡的情况.

3.1 $ k_2>0 $ 的情况

根据方程 (3.1), 当 $ k_2 $ 为正数时, 方程 (1.4) 的周期解会在以下两个区域振荡

$\begin{equation}\nonumber u_1\le u\le u_2,\ u_3\le u\le u_4. \end{equation}$

3.1.1 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域

由方程 (3.1) 可得

$\begin{equation}\nonumber \begin{aligned} -\frac{6}{k_2}u_{\xi}^{2}&=u^4+\frac{2k_1}{k_2}u^3-\frac{6}{k_2}( V-d) u^2-\frac{12}{k_2}B_0u-\frac{12}{k_2}A_0\\ &=( u-u_1) ( u-u_2) ( u-u_3) ( u-u_4). \end{aligned} \end{equation}$

进一步可以推导出

$\begin{equation}\label{3.3} \sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|}\left( \xi -\xi _0 \right) =\int_{u_1}^u{\frac{1}{\sqrt{\left( u-u_1 \right) \left( u_2-u \right) \left( u_3-u \right) \left( u_4-u \right)}}{\rm d}u}, \end{equation}$

其中 $ \xi _0 $ 是积分常数. 根据第一类不完全椭圆积分的性质和代数运算, 当 $ \xi _0=0 $ 时根据方程 (3.3) 可得到由雅可比椭圆函数表示的如图1 的周期解

$\begin{equation}\label{3.4} u=\frac{u_1\left( u_4-u_2 \right) +u_4\left( u_2-u_1 \right) sn^2\left( \theta, m_1 \right)}{\left( u_4-u_2 \right) +\left( u_2-u_1 \right) sn^2\left( \theta, m_1 \right)}=u_2+\frac{\left( u_1-u_2 \right) cn^2\left( \theta, m_1 \right)}{1+\frac{\left( u_2-u_1 \right)}{\left( u_4-u_2 \right)}sn^2\left( \theta, m_1 \right)}, \end{equation}$

图1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图1   (a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =12 $, $ d =1 $, $ u_1=-3 $, $ u_2 =-2 $, $ u_4 =2 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


其中

$\begin{equation}\label{3.5} \begin{aligned} &V=d-\frac{k_2}{6}\big( u_1( u_2+u_3+u_4) +u_2( u_3+u_4) +u_3u_4 \big), \\ &\theta =\frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}\left( x-Vt \right), \\ &m_1=\frac{\left( u_1-u_2 \right) \left( u_3-u_4 \right)}{\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_4 \right)}. \end{aligned} \end{equation}$

此外, 波长可由第一类完全椭圆积分 $ K(m) $ 给出

$\begin{equation}\label{3.6} L=\frac{4K( m_1) }{\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}}. \end{equation}$

接下来我们讨论方程 (1.4) 的周期解在 $ m_1 $ 的不同极限情况下的演化行为.

情况 1 $ m_1\rightarrow 0$

当 $ u_2\rightarrow u_1, u_3\ne u_4 $ 时, 方程 (3.4) 渐近变换为线性谐波

$\begin{equation}\label{3.7} u\cong u_2+\frac{1}{2}\left( u_1-u_2 \right) \cos\Big( \sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{6}( u_3u_4-3u_1^2) \big) t \Big) \Big), \end{equation}$

这对应着小振幅谐波极限的情况, 如图2 所示.

图2

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图2   (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =6 $, $ d =1 $, $ u_1=-2.02 $, $ u_2 =-2 $, $ u_3 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


当 $ u_4\rightarrow u_3, u_2\ne u_1 $ 时, 方程 (3.4) 转化为非线性三角波 (如图3)

$\begin{equation}\label{3.8} u\!=\!u_2\!+\!\frac{\left( u_1-u_2 \right)\cos^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_3 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_3-\frac{k_2}{6}( u_1u_2-3u_{3}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1-\frac{\left( u_2-u_1 \right)}{\left( u_2-u_3 \right)}\sin^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_3 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_3-\frac{k_2}{6}( u_1u_2-3u_{3}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

图3

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图3   (a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-4 $, $ u_2 =-2 $, $ u_3 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


如果使 $ u_3-u_1\gg u_2-u_1 $, 方程 (3.8) 可以转化为如图4 所示小振幅极限的特殊情况下的线性谐波解.

图4

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图4   (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-3.01 $, $ u_2 =-2.99 $, $ u_3 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.


在 $ u_4\rightarrow u_3, u_3\rightarrow u_2 $ 的情况下, $\sin(\theta) $ 与 $ \cos(\theta) $ 可以通过泰勒级数展开从而使方程 (1.4) 的周期解转化为暗代数孤子 (见图5)

$\begin{equation}\label{3.9} u=u_2+\frac{u_1-u_2}{\frac{1}{4}\times \left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_2-u_1 \right) ^2\left( x-( d+\frac{k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{3}u_1u_2)t \right) ^2+1}. \end{equation}$

图5

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图5   (a) 为方程 (1.4) 的暗代数孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-4 $, $ u_2 =0 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


情况 2 $ m_1\rightarrow 1 $

当 $ u_3\rightarrow u_2 $ 时, 方程 (3.4) 可以转换为前沿的暗孤子 (见图6)

$\begin{equation}\label{3.10} u\!=\!u_2\!+\!\frac{\left( u_1-u_2 \right) {\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1+\frac{u_1-u_2}{u_2-u_4}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

图6

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图6   (a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =1 $, $ u_1=-3 $, $ u_2 =-2 $, $ u_4 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_1\le u\le u_2 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


3.1.2 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域

在这种情况下我们有

$\begin{equation}\label{3.11} \sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|}\left( \xi -\xi _0 \right) =\int_u^{u_4}{\frac{1}{\sqrt{\left( u-u_1 \right) \left( u-u_2 \right) \left( u-u_3 \right) \left( u_4-u \right)}}{\rm d}u}. \end{equation}$

利用与方程 (3.4) 类似的计算过程可以得到式方程 (1.4) 的周期解 (见图7)

$\begin{equation}\label{3.12} u=\frac{u_4\left( u_1-u_3 \right) +u_1\left( u_3-u_4 \right) sn^2\left( \theta, m_1 \right)}{\left( u_1-u_3 \right) +\left( u_3-u_4 \right) sn^2\left( \theta, m_1 \right)}=u_3-\frac{\left( u_3-u_4 \right) cn^2\left( \theta, m_1 \right)}{1+\frac{\left( u_3-u_4 \right)}{\left( u_1-u_3 \right)}sn^2\left( \theta, m_1 \right)}, \end{equation}$

图7

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图7   (a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $ k_1 =3 $, $ k_2 =1 $, $ d =5 $, $ u_1=-6 $, $ u_2 =-4 $, $ u_3 =1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


其中 $ \theta $ 和 $ m_1 $ 由方程 (3.5) 给出.

情况 1 $ m_1\rightarrow 0 $

当 $ u_4\rightarrow u_3, u_2\ne u_1 $ 时, 方程 (3.12) 可变换为线性谐波 (见图8)

$\begin{equation}\label{3.13} u\cong u_3-\frac{1}{2}\left( u_3-u_4 \right) \cos\Big( \sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_3 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_3-\frac{k_2}{6}( u_1u_2-3u_{3}^{2}) \big) t \Big) \Big). \end{equation}$

图8

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图8   (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =2 $, $ d =1 $, $ u_2=-3 $, $ u_3 =-2 $, $ u_4 =-1.98 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


在 $ u_2\rightarrow u_1, u_4\ne u_3 $ 的情况下, 方程 (3.12) 可转换为非线性三角波 (见图9)

$\begin{equation}\label{3.14} u\!=\!u_3\!-\!\frac{\left( u_3-u_4 \right) \cos^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{6}( u_3u_4-3u_{1}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1-\frac{\left( u_4-u_3 \right)}{\left( u_1-u_3 \right)}\sin^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{6}( u_3u_4-3u_{1}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

图9

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图9   (a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $ k_1 =4 $, $ k_2 =6 $, $ d =8 $, $ u_1=-3 $, $ u_3 =\frac{1}{2} $, $ u_4 =\frac{25}{6} $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


如果满足 $ u_4-u_1\gg u_4-u_3 $, 方程 (3.14) 可以变为小振幅极限特殊情况下如图10 所示的线性谐波解.

图10

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图10   (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =6 $, $ d =10 $, $ u_1=-3 $, $ u_3 =0.99 $, $ u_4 =1.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.


在极限 $ u_2\rightarrow u_1, u_3\rightarrow u_2 $ 的情况下, 类似于上一小节利用泰勒级数展开 $ \sin(\theta) $ 与 $ \cos(\theta) $, 使得方程 (3.14) 可以转化为亮代数孤子 (见图11)

$\begin{equation}\label{3.15} u=u_1-\frac{u_1-u_4}{\frac{1}{4}\times \left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_4-u_1 \right) ^2\left( x-( d+\frac{k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{3}u_4u_1) t \right) ^2+1}. \end{equation}$

图11

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图11   (a) 为方程 (1.4) 的亮代数孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =2 $, $ d =-15 $, $ u_1=-2 $, $ u_4 =0 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


情况 2 $ m_1\rightarrow 1 $

当 $ u_3\rightarrow u_2 $ 时, 方程 (3.12) 可以转变为亮孤子 (见图12)

$\begin{equation}\label{3.16} u\!=\!u_2\!-\!\frac{\left( u_2-u_4 \right){\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1+\frac{u_2-u_4}{u_1-u_2}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

图12

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图12   (a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =3 $, $ d =-30 $, $ u_1=-3 $, $ u_2 =-2 $, $ u_4 =-1 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_3\le u\le u_4 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


3.2 $ k_2<0 $ 的情况

当 $ k_2 $ 的值为负数时, 方程 (1.4) 的周期解在区域 $ u_2\le u\le u_3 $ 内振荡. 因此可以得到

$\begin{equation}\label{3.17} \sqrt{ -\frac{k_2}{6} }\left( \xi -\xi _0 \right) =\int_u^{u_3}{\frac{1}{\sqrt{\left( u-u_1 \right) \left( u-u_2 \right) \left( u_3-u \right) \left( u_4-u \right)}}{\rm d}u}. \end{equation}$

类似与方程 (3.4), 可以推导出方程 (1.4) 的周期解 (见图13)

$\begin{equation}\label{3.18} u=u_2-\frac{\left( u_2-u_3 \right) cn^2\left( \theta, m_2 \right)}{1+\frac{\left( u_2-u_3 \right)}{\left( u_4-u_2 \right)}sn^2\left( \theta, m_2 \right)}, \end{equation}$

图13

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图13   (a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_2=3 $, $ u_3 =3.5 $, $ u_4 =4.5 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


其中

$\begin{equation}\label{3.19} \begin{aligned} &\theta =\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}\left( x-Vt \right), \ m_2=\frac{\left( u_2-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}{\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)},\\ &L=\frac{4K( m_2) }{\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}}. \end{aligned} \end{equation}$

情况 1 $ m_2\rightarrow 0 $

当 $ u_3\rightarrow u_2 $ 时, 方程 (3.18) 可以渐近转化为线性谐波 (见图14)

$\begin{equation}\label{3.20} u\cong u_2-\frac{1}{2}\left( u_2-u_3 \right) \cos\Big( \sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big). \end{equation}$

图14

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图14   (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $ k_1 =4 $, $ k_2 =-2 $, $ d =-15 $, $ u_1=-3.02 $, $ u_2=2 $, $ u_4 =3 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


情况 2 $ m_2\rightarrow 1 $

在 $ u_2\rightarrow u_1 $ 的情况下, 方程 (3.18) 可以转换为亮孤子 (见图15)

${\small \begin{equation}\label{3.21} u=u_1-\frac{\left( u_1-u_3 \right){\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6}( u_1( u_1+2u_3+2u_4) +u_3u_4) \big) t \Big) \Big)}{1-\frac{u_1-u_3}{u_4-u_1}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6} u_1( u_1+2u_3+2u_4) +u_3u_4) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}}$

图15

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图15   (a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =-4 $, $ u_1=1 $, $ u_3 =3.5 $, $ u_4 =6.5 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


当 $ u_3-u_2\gg u_3-u_4 $ 时, 亮孤子可以转变为在 $ u=u_1 $ 的背景上传播的桌面孤子, 如图16 所示.

图16

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图16   (a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =20 $, $ u_1=1 $, $ u_3 =4.99 $, $ u_4 =5.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.


在 $ u_3\rightarrow u_4 $ 的情况下, 我们选择适当的积分常数 $ \xi _0=0 $ 使得 $ u=u_2 $, 这将导致方程方程(3.18) 转换为在 $ u=u_4 $ 的背景上传播的暗孤子 (见图17)

${\small \begin{equation}\label{3.22} u=u_4+\frac{\left( u_2-u_4 \right) {\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_4 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6}( u_1( u_1+2u_4) +2u_2u_4+u_4^2) \big) t \Big) \Big)}{1+\frac{u_2-u_4}{u_4-u_1}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6}( u_1( u_1+2u_4) +2u_2u_4+u_4^2) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation} }$

图17

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图17   (a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_1=-2 $, $ u_2 =2 $, $ u_4 =3.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


当 $ u_3-u_2\gg u_2-u_1 $, 时, 方程 (3.22) 可以转化为 $ u=u_4 $ 背景上传播的桌面孤子, 如图18 所示.

图18

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图18   (a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_1=0.99 $, $ u_2 =1.01 $, $ u_4 =2.01 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.


如果同时满足 $ u_3\rightarrow u_4 $ 与 $ u_2\rightarrow u_1 $, 非线性振子方程 $ \mathcal{Z}( u) $ 将具有两个双根, 这意味着方程 (3.3) 可以转换为扭结. 此时 $ u=\frac{u_1+u_4}{2} $ 使得积分常数 $ \xi _0 $ 为零, 以便于后续计算. 因此, 方程 (3.3) 将会产生两种可能的解

$\begin{equation}\label{3.23} \begin{aligned} u&=u_4+\frac{u_1-u_4}{1+\exp\Big( \pm \sqrt{-\frac{k_2}{6}}\left( u_4-u_1 \right) \Big( x+\big(\frac{k_2}{6}( u_1^2+4u_1u_4+u_4^2)-d \big) t \Big) \Big)}\\ &=u_4+\frac{u_1-u_4}{1+\exp\Big( \pm \sqrt{-\frac{k_2}{6}}\left( u_4-u_1 \right) \big( x+( \frac{k_1^2}{6b}+\frac{k_2}{3}u_1u_4-d) t \Big) \Big)}. \end{aligned} \end{equation}$

当取 "$ - $" 或 "$ + $" 时, 我们可以分别得到正向扭结和反向扭结, 如图19 所示. 在本节中广义 Gardner 方程周期解的分类及其极限情况已经被完全分类讨论.

图19

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图19   (a) 为方程 (1.4) 的反向扭结解, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_1=1 $, $ u_4 =5 $. (b) 为 (a) 在 $ t=0 $ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程$ \mathcal{Z}( u) $ 的构型, 其中 $ u $ 在 $ u_2\le u\le u_3 $ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.


4 广义 Gardner 方程的 Whitham 调制理论

在本节中, 我们引入了可以用作 Whitham 调制方程的黎曼不变量 $ r_i=\lambda _i^2,\ i=1, 2, 3 $. 比较方程(2.9) 和 (3.1) 的系数得到

$\begin{equation}\label{4.1} V=2s_1+d=2(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+d=2(r_1+r_2+r_3)+d. \end{equation}$

周期解的常微分方程的表示 (2.9) 式与它的等价 (3.1) 式不同, 为了用谱参数 $ r_i=\lambda _i^2 $ 来表示方程 (3.1) 右侧多项式的零点, 我们需要比较定义周期解的同一常微分方程的两种形式. 由于方程 (2.9) 取 "$ - $" 和 "$ + $" 时会出现两种不同的形式从而导致 $ r_i $ 和 $ u_j,\ j=1, 2, 3, 4 $ 不是一一对应的关系, 此时我们需要通过正负号的选取来分别讨论 $ r_i $ 和 $ u_j $ 之间的关系从而进一步分析周期解的演化行为.

当 $ k_2<0 $ 时, $ u_j $ 和 $ r_i $ 之间的关系在方程 (2.9) 取 "$ - $" 和 "$ + $" 的情况下通过计算可以得到

"$ - $"

$\begin{equation}\label{4.2} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big). \end{aligned} \end{equation}$

"$ + $":

$\begin{equation}\label{4.3} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \end{aligned} \end{equation}$

其中

$\begin{equation}\nonumber u_1\le u_2\le u_3\le u_4,\ r_1\le r_2\le r_3, \end{equation}$

并且

$\begin{equation}\label{4.4} -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right) =r_1, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right) =r_2, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_2+u_3 \right) \left( u_1+u_4 \right) =r_3. \end{equation}$

进一步, $ r_i $ 与 $ u_j $ 之间满足

$\begin{equation} \begin{aligned} r_1=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right), r_2=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right), \nonumber r_3=-\frac{k_2}{24}\left( u_2+u_3 \right) \left( u_1+u_4 \right) \nonumber. \end{aligned} \end{equation}$

当 $ k_2>0 $ 时, $ u_j $ 和 $ r_i $ 之间的关系在方程 (2.9) 取 $ "-" $ 和 $"+" $ 的情况下通过计算同样可以获得

"$ - $"

$\begin{equation}\label{4.5} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big). \end{aligned} \end{equation}$

"$ + $"

$\begin{equation}\label{4.6} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \end{aligned} \end{equation}$

其中

$\begin{equation}\label{4.7} -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_4 \right) \left( u_2+u_3 \right) =r_1, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right) =r_2, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right) =r_3. \end{equation}$

进一步, $ r_i $ 与 $ u_j $ 之间满足

$\begin{equation} \begin{aligned} r_1=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_4 \right) \left( u_2+u_3 \right), \nonumber r_2=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right), \nonumber r_3=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right) \nonumber. \end{aligned} \end{equation}$

接下来, 我们可以用黎曼不变量 $ r_i $ 来表示雅可比椭圆函数的模和波长, 并发现 $ m_1 $ 和 $ m_2 $ 的表达式是相同的

$\begin{equation}\label{4.8} m_1=\frac{\left( u_1-u_2 \right) \left( u_3-u_4 \right)}{\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_4 \right)}=m_2=\frac{\left( u_2-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}{\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}=m=\frac{r_1-r_2}{r_1-r_3},\ L=\frac{2K\left( m \right)}{\sqrt{\left( r_1-r_3 \right)}}. \end{equation}$

方程 (1.4) 很容易被转换为黎曼对角形式

$\begin{equation}\label{4.9} \frac{\partial r_i}{\partial t}+v_i\left( r \right) \frac{\partial r_i}{\partial x}=0,\ i=1, 2, 3. \end{equation}$

我们可以通过波数守恒定律[42]推导出 Whitham 特征速度 $ v_i( r) $ 的表达式

$\begin{equation}\label{4.10} \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0, \end{equation}$

其中 $ k=\frac{2\pi}{L},\ \omega =kV(r_i) $ 和 $ V(r_i)=2(r_1+r_2+r_3)+d $ 分别是波数, 频率和相速度并且进一步得到

$\begin{equation}\label{4.11} v_i=V-\frac{\partial V}{\partial r_i}\frac{L}{\partial L/\partial r_i}. \end{equation}$

因此

$\begin{equation}\label{4.12} \begin{aligned} &v_1=2\left( r_1+r_2+r_3 \right) -4\frac{\left( r_1-r_2 \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right) -K\left( m \right)}+d,\\ &v_2=2\left( r_1+r_2+r_3 \right) -4\frac{\left( r_2-r_1 \right) \left( 1-m \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right) -\left( 1-m \right) K\left( m \right)}+d,\\ &v_3=2\left( r_1+r_2+r_3 \right) -4\frac{\left( r_2-r_3 \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right)}+d, \end{aligned} \end{equation}$

其中 $ E(m) $ 是第二类完全椭圆积分. 在极限条件 $ m\rightarrow $ 1 ($ r_2\rightarrow r_3 $) 和 $ m\rightarrow $ 0 ($ r_2\rightarrow r_1 $) 下 Whitham 速度 $ v_i $ 可以退化为

$v_1|_{m\rightarrow 1}=d+6r_1,\ v_2|_{m\rightarrow 1}=d+2r_1+4r_3,\ v_3|_{m\rightarrow 1}=d+2r_1+4r_3.$
$v_1|_{m\rightarrow 0}=d+12r_1-6r_3,\ v_2|_{m\rightarrow 0}=d+12r_1-6r_3,\ v_3|_{m\rightarrow 0}=d+6r_3.$

通过上面的分析发现方程 (1.4) 和 KdV 方程的 Whitham 特征速度十分相似[42], 但调制周期波的动力学特性却有很大的不同. 实际上, 为了研究方程 (1.4) 在不同区域的调制周期解, 需要利用推导出来的 $ u_j $ 和 $ r_i $ 之间的关系, 相同的调制解 $ r_i $ 可以导致方程 (1.4) 产生两种不同的调制解 $ u_j $, 这在与 Hopf 方程 $ \psi _t+6\psi \psi _x=0 $ 相关的无色散极限

$\begin{equation}\label{4.15} u_t+( k_2u^2+k_1u+d) u_x=0 \end{equation}$

中是很明显的, 这是通过由 $ \psi(u) =\frac{1}{6}(k_2u^2+k_1u+d) $ 指定的映射 $ u\mapsto \psi $ 实现的. 当 $ u<-\frac{k_1}{2k_2} $ 或 $ u>-\frac{k_1}{2k_2} $ 时, $ \psi(u) $ 处于单调递增或单调递减区域. 广义 Gardner 方程的系统既不是椭圆型也不是双曲型, 这与 KdV 方程的 Whitham 调制系统不同并且调制动力学在不同的单调区域更加丰富. 当 $ k_2>0 $ 时, 谱特征值 $ \lambda _i $ 可以为复数, 方程 (1.4) 的 Whitham 调制系统是椭圆型的从而导致调制不稳定性[45]. 对于具有实数初值的聚焦 mKdV 方程, 初值问题的零色散极限中产生的调制方程是双曲型的的进而保证了调制系统的稳定性, 并使得色散冲击波的进一步研究成为可能[47,53]. 由于 Gardner 方程可以转化为聚焦 mKdV 方程[50], 我们将假设广义 Gardner 调制方程的双曲性来解决所研究的初始不连续问题.

5 $ k_2<0 $ 时阶跃问题解的分类

对于方程 (1.4), 我们采用以下形式的阶跃初值条件 (见图20)

$\begin{equation}\label{5.1} u\left( x,0 \right) =\left\{ \begin{array}{l} u^-,\ \ x<0,\\ u^+,\ \ x>0.\ \\ \end{array} \right. \end{equation}$

图20

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图20   方程 (1.4) 的阶跃初值条件


方程 (1.4) 的初始不连续问题与参数 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 在无色散特征速度 $ ( k_2u^2+k_1u+d) $ 转折点 $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 的位置有关, 这里我们给出如图21 所示的两个简单的初值问题解的结构示例, 其中左右虚线分别代表后沿和前沿. 接下来介绍方程 (1.4) 的几个基本波结构, 这些解组合成了在不同参数 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 下的初始不连续问题 (5.1) 的组合波完整解.

图21

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图21   (a) 和 (b) 是通过数值模拟得到的方程 (1.4) 的初始不连续性的演化. (c) 和 (d) 分别是 (a) 和 (b) 的密度图, 参数如下: (a) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^+ =-7 $, $ u^- =-3 $, (b) $ k_1 =6 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-6.5 $, $ u^+ =4 $, $ u^- =5 $.


5.1 $ k_2<0 $ 情况下的基本波结构

5.1.1 稀疏波

稀疏波是由方程 (1.4) 无色散极限的自相似解渐近描述的

$\begin{equation}\label{5.2} \tau =\frac{x}{t}=k_2u^2+k_1u+d, \end{equation}$

其中两个可能的根分别用来描述正向与反向稀疏波.

正向稀疏波 $ \{ u^-\ $ RW $ \rightarrowtail u^+ \} $ 是向右传播的稀疏波 (见图22), 它连接了满足条件 $ u^-<u^+<-\frac{k_1}{2k_2} $ 的两个常态 $ u^- $ 和 $ u^+ $, 其中 $ \frac{\partial u}{\partial x}>0 $, 并由以下方程描述

$\begin{equation}\label{5.3} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-t\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1-\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t\\ u^+,\,\,x>\tau ^+t\\ \end{array} \right.. \end{equation}$

图22

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图22   正向与反向稀疏波, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-1 $, $ d =1 $, $ -\frac{k_1}{2k_2}=3 $, $ u_{1}^{-} =-2 $, $ u_{1}^{+} =2 $, $ u_{2}^{-} =8 $, $ u_{2}^{+} =4 $.


反向稀疏波 $ \{ u^-\leftarrowtail $ RW $ \ u^+ \} $ 是向左传播的稀疏波 (见图22), 它连接了满足条件 $ u^->u^+>-\frac{k_1}{2k_2} $ 的两个常态 $ u^- $ 和 $ u^+ $, 其中 $ \frac{\partial u}{\partial x}<0 $ 并由以下方程描述

$\begin{equation}\label{5.4} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-t\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1+\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t\\ u^+,\,\,x>\tau ^+t\\ \end{array}. \right. \end{equation}$

左边界与右边界速度 $ \tau^- $ 和 $ \tau^+ $ 由下式给出

$\begin{equation}\label{5.5} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=\left( k_1+k_2u^- \right) u^-+d,\\ \tau ^+=\left( k_1+k_2u^+ \right) u^++d.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

5.1.2 色散冲击波

在初始不连续性问题中, 周期解可以由 Whitham 调制系统调制, 调制变量取决于自相似解 $ \tau =\frac{x}{t} $ 并且初始数据和调制方程都相对于缩放变换 $ x\rightarrow Cx,\ t\rightarrow Ct $ 是不变的, 因此我们有

$\begin{equation}\label{5.6} r_1=r^+<r^-=r_3, \end{equation}$

$ r_2 $ 由隐式

$\begin{equation}\label{5.7} \tau =\frac{x}{t}=v_2\left( r^+,r_2,r^- \right) =2\left( r^++r_2+r^- \right) -4\frac{\left( r_2-r^+ \right) \left( 1-m \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right) -\left( 1-m \right) K\left( m \right)}+d \end{equation}$

确定, 其中 $ r^+ $ 与 $ r^- $ 是常数.

当 $ k_2<0 $ 时色散冲击波可由方程 (3.18) 表示的周期解来描述, 周期解中的参数 $ u_j $ 可通过用 $ r_i $ 代替来进一步调制, 由于 $ u_j $ 与 $ r_i $ 之间存在两种不同的对应关系, 因此关系的选择也取决于阶跃初值条件的选取. 对应关系 (4.2) 和 (4.3) 式将分别导致正向 $ \{ u^-\,\, $ DSW $ \rightarrowtail \ u^+ \} $ 和反向 $ \{ u^-\,\leftarrowtail $ DSW $ \ u^+ \} $ 色散冲击波的出现. 将方程 (4.2) 和 (5.6) 代入方程 (3.18) 可获得调制周期解 (见图23)

$\begin{align*}\label{5.8} u&={\small \frac{\frac{2( \sqrt{k_1^2+24k_2r_2}-\sqrt{k_1^2+24k_2r^+}) ( \sqrt{k_1^2+24k_2r^+}+\sqrt{k_1^2+24k_2r^-}) cn^2\big( \sqrt{r^-r^+}\big( ( d+2r^++r_2+2r^-) t-x \big), \frac{r^+-r_2}{r^+-r^-} \big)}{( \sqrt{k_1^2+24k_2r_2}-\sqrt{k_1^2+24k_2r^+}) sn^2\big( \sqrt{r^-r^+}\big( ( d+2r^++r_2+2r^-) t-x \big), \frac{r^+-r_2}{r^+-r^-} \big)+\sqrt{k_1^2+24k_2r^+}+\sqrt{k_1^2+24k_2r^-}}}{2k_2} } \\ & +\frac{1}{2k_2}( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r^+}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r^-}-k_1). \end{align*}$

图23

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图23   (a) 是方程(3.18)的调制周期解, 也称为色散冲击波解. (b) 是 (a) 在$ t=10 $ 时的截面图. (c) 是黎曼不变量 $ r_i $ 在色散冲击波调制解中的演化行为, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-3 $, $ d =1 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 3-\sqrt{5}) $, $ r^+ =\frac{1}{2} $, $ r^- =1 $, 其中虚线分别表示色散冲击波的后沿和前沿.


当 $ r_2=r_1=r^+ $, $ m=0 $ 时, 线性谐波将出现在后沿, 而当 $ r_2=r_3=r^- $, $ m=1 $ 时, 调制周期解的前沿将会出现孤子. 由方程 (4.13), (4.14), (5.6) 和 (5.7) 可得到色散冲击波的传播速度 $ \tau ^{\pm} $ 和边界位置 $ x ^{\pm} $ 如下

$\begin{equation}\label{5.9} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-6r^-+12r^+,\\ \tau ^+=d+4r^-+2r^+,\\ \end{array} \right. \ \ \left\{ \begin{array}{l} x^-=\tau ^-t,\\ x^+=\tau ^+t.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

进一步, 我们可以得到黎曼不变量 $ r_i $ 的演化行为

$\begin{equation}\label{5.10} r=\left\{ \begin{array}{ll} r^-=r_3={\rm const},\,\,&\tau <\tau ^+\\ r_2,\,\,&\tau ^-<\tau <\tau ^+\\ r^+=r_1={\rm const.}\,\,&\tau >\tau ^-\\ \end{array}. \right. \end{equation}$

5.1.3 扭结

扭结可以确保两个恒定状态 $ u^- $ 与 $ u^+ $ 之间的平稳过渡, 并且满足

$\begin{equation}\nonumber u^-+u^+=-\frac{k_1}{k_2}. \end{equation}$

方程 (3.23) 中取 "$ - $" 号时将会使得 $ \frac{\partial u}{\partial x}<0 $ 从而得到正向的扭结. 方程 (3.23) 中取 "$ + $" 号时有 $ \frac{\partial u}{\partial x}>0 $ 进而得到反向的扭结. 正向和反向的扭结可以分别由 $ \{ u^-\ $ SB $ \rightarrowtail u^+ \} $ 与 $ \{ u^-\leftarrowtail $ SB $ \ u^+ \} $ 表示, 如图24 所示.

图24

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图24   $ t=0 $ 时方程 (1.4) 的正向和反向扭结, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-2 $, $ d =1 $, $ u_{1}^{-} =4 $, $ u_{1}^{+} =2 $, $ u_{2}^{-} =2 $, $ u_{2}^{+} =4 $.


扭结的传播速度为

$\begin{equation}\nonumber \tau =d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}-\frac{k_2}{3}u_1u_4, \end{equation}$

这与方程 (1.4) 的无色散极限的第一守恒定律 $ u_t+( du+\frac{k_1}{2}u^2+\frac{k_2}{3}u^3) _x=0 $ 中的冲击速度保持一致.

5.2 $ k_2<0 $ 情况下阶跃问题解的分类

在本节中, 我们将通过在 $ (u^+,u^-) $ 平面上的参数映射讨论方程 (1.4) 的初值阶跃问题的完整分类情况. $ (u^+,u^-) $ 平面可以被划分为 8 个不同的区域, 每个区域的解可以由单个基本波结构构成, 也可以由两个不同的基本波结构的复合解组成. 分隔不同区域的线包括 $ u^-=u^+ $, $ u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+ $ 和 $ u^-=-\frac{k_1}{2k_2} $, 其中 $ u^-=u^+ $ 用于分隔色散冲击波和稀疏波的区域, $ u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+ $ 被用来分隔稀疏波和扭结的复合区域与色散冲击波和扭结的复合区域, $ u^-=-\frac{k_1}{2k_2} $ 可以分隔色散冲击波与色散冲击波和扭结的复合区域, 如图25 所示. 映射函数 $ \psi(u) $ 的具体分类和平面图如表1 和图26 所示. 我们将通过研究解析解并结合数值模拟讨论区域 1 $ \sim $ 区域 8 中每个波型的结构.

图25

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图25   $ k_2<0 $ 时阶跃问题解的参数平面图


表1   $ k_2<0 $ 情况下阶跃问题的解的分类

新窗口打开| 下载CSV


图26

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图26   $ k_2<0 $ 情况下 $ u^- $, $ u^+ $ 和 $ u^* $ 在区域 1 $ \sim $ 区域 8 的位置分布图


5.2.1 区域 1

在区域 1 中, 由于 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 位于方程 (1.4) 无色散特征速度转折点的左侧且位于 $ \psi( u) $ 的单调递增区域, 这意味着广义 Gardner 方程与 KdV 方程的无色散极限之间存在一一对应的关系. 此时初始不连续问题可以仅靠单个正向色散冲击波结构来描述. 根据方程 (3.18), (3.20) 和 (3.21), 当 $ m\rightarrow 0 $ 时周期解的后沿演化为在 $ u=u_2=u_3 $ 上传播且满足 $ u_2=u_3=u^- $ 的线性谐波解, 当 $ m\rightarrow 1 $ 时周期解的前沿演化为在 $ u=u_1=u_2 $ 上传播且满足 $ u_2=u_1=u^+ $ 的亮孤子. 在这里, 我们可以通过方程 (3.18) 和 (4.2) 来分析调制周期解. 因此, 我们有

$\begin{equation}\label{5.11} u_2|_{m=0}=u_3|_{m=0}=\,\,\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}-k_1}{2k_2},\,\,u_2|_{m=1}=u_1|_{m=1}=\,\,\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-k_1}{2k_2} \end{equation}$

并且

$\begin{equation}\label{5.12} r^-=r_3=\frac{1}{6}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right), \ r^+=r_1=\frac{1}{6}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \end{equation}$

进一步, 根据方程 (5.9) 可以推导出后沿速度 $ \tau^- $ 和前沿速度 $ \tau^+ $

$\begin{equation}\label{5.13} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-6r^-+12r^+=d-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +2u^+\left( k_2u^++k_1 \right), \\ \tau ^+=d+4r^-+2r^+=d+\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \\ \end{array} \right. \end{equation}$

同时可以根据方程 (3.21), (4.2), (5.12) 和 (5.13) 推导出色散冲击波的宽度 $ \varDelta $ 和前沿亮孤子的振幅 $ a^+ $

$\begin{equation}\label{5.14} \begin{aligned} &\varDelta = x ^+-x ^- =\left( \tau ^+-\tau ^- \right) t=\frac{5}{3}\left( u^-u^+ \right) \left( k_1+k_2( u^-+u^+) \right) t,\\ &a^+=\left( u_3-u_1 \right) |_{m=1}=\frac{1}{k_2}\big( \sqrt{( k_1+2k_2u^-) ^2}-\sqrt{( k_1+2k_2u^+) ^2} \big). \end{aligned} \end{equation}$

黎曼不变量的演化行为以及构建的解析解和数值模拟如图27 所示, 其中数值图中在后沿处延伸的小振幅振荡与 KdV 方程中观察到的现象一致[54,55].

图27

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图27   方程 (1.4) 在区域 1 的初始不连续演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $ 与 $ x^+=\tau ^+t $. (a) 为色散冲击波调制解中黎曼不变量 $ r_i $ 的演化行为. (b) 为方程 (1.4) 的解析解. (c) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $ k_1 =2 $, $ k_2 =-1 $, $ d =2 $, $ u^+ =-2 $, $ u^- =-1 $. 图中显示的是 $ t = 30 $ 时的情况.


5.2.2 区域 2

在区域 2 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 位于转折点 $ u=-\frac{k_1}{2k_2} $ 的两侧, 分别属于 $ \psi( u) $ 不同单调性的区域. 此时, 单个色散冲击波结构描述的调制解在给定的初始条件 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 之间不能提供连续匹配. 相反, 在 $ u^- $ 和中间态 $ u^*>u^- $ 之间产生了一个反向的色散冲击波. 由于方程 (1.4) 不会通过方程 (1.5) 的变换而改变形式, 因此这个中间状态是由条件 $ \psi (u^*)= \psi( u^+) $ 得到的

$\begin{equation}\nonumber \psi (u^*=-\frac{k_1}{k_2}-u^+) =\frac{1}{6}\big(u^+( k_2u^++k_1)+d\big)=\psi( u^+). \end{equation}$

因此, 在从区域 1 到区域 2 的过渡中波形发生了质的变化, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 可以通过以 $ u^* $ 作为反向色散冲击波与正向扭结的复合解的匹配点连接起来.

与区域 1 的不同之处在于, 在描述反向色散冲击波时 $ u_j $ 和 $ r_i $ 之间的关系由方程 (4.3) 给出. 根据方程 (3.18), (3.20) 和 (3.22) 发现调制周期解的后沿与区域 1 相同, 线性谐波在 $ u=u_2=u_3=u^- $ 上传播, 前沿则演化为在 $ u=u_3=u_4=u^*=-\frac{k_1}{k_2}-u^+ $ 上传播的暗孤子. 因此我们可以得到

$\begin{equation}\label{5.15} u_2|_{m=0}=u_3|_{m=0}=\,\,-\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}+k_1}{2k_2},\,\,u_3|_{m=1}=u_4|_{m=1}=\,-\,\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+k_1}{2k_2}, \end{equation}$
$\begin{equation}\label{5.16} r^-=\frac{1}{6}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right), \,\,r^+=\frac{1}{6}u^*\left( k_2u^*+k_1 \right) =\frac{1}{6}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \end{equation}$

色散冲击波与扭结的边界速度可以表示为

$\begin{equation}\label{5.17} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-6r^-+12r^+=d-u^-( k_2u^-+k_1) +2u^+( k_2u^++k_1), \\ \tau ^+=d+4r^-+2r^+=d+\frac{2}{3}u^-( k_2u^-+k_1) +\frac{1}{3}u^+( k_2u^++k_1), \\ \tau ^*=d-\frac{k_1^2}{6k_2}-\frac{k_2}{3}u^+u^*=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+). \\ \end{array} \right. \end{equation}$

进一步, 通过对色散冲击波与扭结的边界速度的比较可以得出

$\begin{align*} \varLambda &=\tau ^*-\tau ^+=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+) -d-\frac{2}{3}u^-( k_2u^-+k_1) -\frac{1}{3}u^+( k_2u^++k_1) \nonumber \\ &=-\frac{( k_1+2k_2u^-) ^2}{6k_2}. \end{align*}$

当 $ k_2<0 $ 时 $ \varLambda $ 始终大于 0, 这意味着扭结的速度 $ \tau ^* $ 始终大于色散冲击波的前沿速度 $ \tau ^+ $, 所以扭结总是在色散冲击波之前传播的. 扭结与色散冲击波之间的速度差由方程 (5.18) 决定, 并且 $ x^*=\tau ^* t $ 和 $ x^-=\tau ^- t $ 之间的距离随着 $ u^- $ 向 $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 移动而逐渐趋于零. 当 $ u^- = -\frac{k_1}{2k_2} $ 时扭结与色散冲击波具有相同的边界速度. 此时初始不连续可通过正向色散冲击波 (区域 1 情况) 或反向色散冲击波与正向扭结的复合解 (区域 2 情况) 来描述. 从而当 $ \varLambda $ 的值增大时, 扭结从色散冲击波中分离出来并且色散冲击波的前沿将会出现明显的暗孤子结构.

在这里我们考虑初始值条件 $ u^+ $ 固定时的初始不连续演化过程, 取 $ u^- $ 分别为 $ 1 $, $ \frac{7}{5} $, $ 2 $, $ \frac{5}{2} $ 以及 $ \frac{29}{10} $, 这样可以清晰地观察到如图28 所示的扭结与色散冲击波的分离过程.

图28

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图28   方程 (1.4) 在区域 2 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-3 $, $ d =15 $, $ u^+ =-1 $, $ u^* =3 $, (a) $ u^- =1 $, (c) $ u^- =\frac{7}{5} $, (e) $ u^- =2 $, (g) $ u^-=\frac{5}{2} $, (i) $ u^-=\frac{29}{10} $. 图中显示的是 $ t = 10 $ 时的情况.


5.2.3 区域 3

在区域 3 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 仍然位于拐点 $ u=-\frac{k_1}{2k_2} $ 的两侧并且同样处于不同的单调区域内. 区域 3 与区域 2 类似不存在单波解, 阶跃初值条件仍然需要中间状态连接. 然而当 $ u^*<u^- $ 时, 区域 3 内 $ u^- $ 和 $ u^* $ 之间初始不连续的演化行为不再适合用反向色散冲击波来描述, 因此需要反向稀疏波与正向扭结的复合解来描述 $ u^- $ 与 $ u^+ $ 的的演化行为, 其中反向稀疏波的公式如下

$\begin{equation}\label{5.19} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-,\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1+\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t,\\[3mm] u^*=-\frac{k_1}{k_2}-u^+.\,\,x>\tau ^+t. \end{array} \right. \end{equation}$

并且稀疏波与扭结的速度为

$\begin{equation}\label{5.20} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=k_1u^-+k_2( u^-) ^2+d,\\ \tau ^+=k_1u^*+k_2( u^*) ^2+d,\\ \tau ^*=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+). \end{array} \right. \end{equation}$

进一步发现

$\begin{equation}\label{5.21} \varLambda =\tau ^*-\tau ^+=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+) -d-u^*( k_1+k_2u^*) =-\frac{( k_1+2k_2u^+) ^2}{6k_2}\ge 0. \end{equation}$

因此, 我们发现正向扭结的速度通常比反向稀疏波的速度更快. 当 $ \varLambda =0 $ 时扭结附着在稀疏波的前沿, 随着 $ \varLambda $ 值的逐渐增大稀疏波可以与扭结分离开来, 如图29(a)-(h) 所示.

图29

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图29   方程 (1.4) 在区域 3 与区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =-1 $, $ d =10 $, $ u^- =5 $, (a) $ u^+ =\frac{11}{10} $, (c) $ u^+ =2 $, (e) $ u^+=\frac{5}{2} $, (g) $ u^+ =3 $, (i) $ u^+ =4 $. 图中显示的是 $ t = 90 $ 时的情况.


5.2.4 区域 4

区域 4 是区域 3 的特例, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 位于 $ \psi( u) $ 的同一个单调区域内, 因此 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 可以通过单个反向稀疏波连接, 如图29(i)-(j) 所示.

接下来我们对区域 5 $ \sim $ 区域 8 进行讨论, 根据方程 (1.5) 可以发现在图25 的参数平面图中区域 5 $ \sim $ 区域 8 对应于区域 1 $ \sim $ 区域 4 的相反区域, 并且它们是相互关联的. 但由于初始条件 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 的变化, 解的极性也随之发生了变化.

5.2.5 区域 5

在区域 5 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 同位于拐点的右侧且处于 $ \psi( u) $ 的单调递减区域内, 这说明 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 可以通过如图30(a)-(b) 所示的反向色散冲击波连接起来, 这部分调制解的描述与区域 2 相同, $ u_j $ 与 $ r_i $ 之间的关系需要满足方程 (4.3) 从而获得振荡结构. 反向色散冲击波前沿暗孤子的振幅为

$\begin{equation}\nonumber a^+=( u_4-u_2) |_{m=1}=\frac{1}{k_2}\big( \sqrt{( k_1+2k_2u^-) ^2}-\sqrt{( k_1+2k_2u^+) ^2} \big). \end{equation}$

图30

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图30   方程 (1.4) 在区域 5 $ \sim $ 区域 8 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $ k_1 =12 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-30 $, $ u^- =9 $, $ u^+ =11 $, (c) $ k_1 =2 $, $ k_2 =-\frac{1}{2} $, $ d =-\frac{3}{2} $, $ u^- =1 $, $ u^+ =4 $, (e) $ k_1 =3 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-1 $, $ u^- =-1 $, $ u^+ =3 $, (g) $ k_1 =3 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-1 $, $ u^- =-1 $, $ u^+ =2 $, (i) $ k_1 =3 $, $ k_2 =-1 $, $ d =-1 $, $ u^- =-1 $, $ u^+ =0 $. 图中分别显示的是 $ t = 3, 100, 70, 70, 70 $ 时的情况.


5.2.6 区域 6

在区域 6 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 位于拐点的两侧并通过正向色散冲击波与反向扭结的复合解进行连接, 正向色散冲击波连接 $ u^- $ 与中间状态 $ u^* $ 并用反向扭结连接 $ u^* $ 与 $ u^+ $, 其中反向扭结的表达式为

$\begin{equation}\label{5.22} u=u^++\frac{-\frac{k_1}{k_2}-2u^+}{1+\exp\Big( \sqrt{-\frac{k_2}{6}}\Big( \frac{k_1}{k_2}+2u^+ \Big) \Big( x+\big( \frac{k_1^2}{6b}-\frac{k_2}{3}( \frac{k_1}{k_2}+u^+) u^+-d \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

区域 6 与区域 2 相似之处在于, 随着 $ \varLambda $ 的值逐渐增大, 反向扭结会出现如图30(c)-(d) 所示的逐渐与正向色散冲击波分离的情况.

5.2.7 区域 7

在区域 7 中, 随着初始阶跃条件的改变, 初始不连续的演化行为不能通过正向色散冲击波而是利用正向稀疏波和反向扭结的复合解来描述

$\begin{equation}\label{5.23} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-t,\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1-\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t,\\[3mm] u^* =-\frac{k_1}{k_2}-u^+, \,\,x>\tau ^+t. \end{array} \right. \end{equation}$

与区域 3 类似, 当 $ \varLambda =0 $ 时, 扭结也会附着在稀疏波的前沿且具有相同的边界速度. 由于区域 7 满足 $ -\frac{k_1}{2k_2}<u^+<-\frac{k_1}{2k_2}-u^- $, 随着 $ u^+ $ 逐渐远离转折点 $ u=-\frac{k_1}{2k_2} $, 扭结也会和稀疏波逐渐分离开来, 如图30(e)-(h) 所示.

5.2.8 区域 8

区域 8 可以被看作区域 7 的特殊情况, 此时 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 处于同一单调递增区域内, 初始不连续性的演变可以通过如图30(i)-(j) 所示的正向稀疏波来描述.

6 $ k_2>0 $ 时阶跃问题解的分类

在上一节中我们已经介绍了 $ k_2<0 $ 情况下阶跃问题解的基本波结构, 包括稀疏波, 色散冲击波以及扭结. 为了详细讨论 $ k_2>0 $ 情况下阶跃问题解的分类还需要先介绍 $ k_2>0 $ 情况下的稀疏波, 色散冲击波和三角色散冲击波以组成满足阶跃问题的其他类型的复合解.

6.1 $ k_2>0 $ 情况下的基本波结构

6.1.1 稀疏波

描述正向稀疏波与反向稀疏波的表达式和边缘速度仍然由方程 (5.3), (5.4) 和 (5.5) 表示. 与 $ k_2<0 $ 情况不同的是本节的正向稀疏波满足 $ -\frac{k_1}{2k_2}<u^-<u^+ $, 反向稀疏波满足 $ -\frac{k_1}{2k_2}>u^->u^+ $, 如图31 所示

图31

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图31   正向和反向稀疏波, 参数如下: $ k_1 =6 $, $ k_2 =1 $, $ d =1 $, $ -\frac{k_1}{2k_2}=-3 $, $ u_{1}^{-} =-2 $, $ u_{1}^{+} =-1 $, $ u_{2}^{-} =-4 $, $ u_{2}^{+} =-5 $.


6.1.2 三角色散冲击波

在研究 KdV 方程的过程中没有发现过三角色散冲击波的现象, 但在聚焦 mKdV 方程式和复数 mKdV 方程式中已经发现三角色散冲击波的一个边缘的振幅将逐渐消失而在另一个边缘的振幅存在非零有限值[47,48]. 与上一节中的色散冲击波, 稀疏波和扭结类似, 三角色散冲击波可以作为复合解的一部分来描述初始不连续性的演化, 并且也具有正向 $ \{ u^-\, $ TSW $ \rightarrowtail\,u^+\} $ 和反向 $ \{ u^-\,\leftarrowtail $ TSW $ \,u^+ \} $ 三角色散冲击波.

三角色散冲击波的黎曼不变量 $ r_1 $ 和 $ r_2 $ 在整个波列处处中相等从而导致 $ m $ 始终为 0, 从图32 中可以明显看到三角色散冲击波和色散冲击波复合解中的黎曼不变量 $ r_i $ 的演化行为的区别. 因此, 如果仍采用黎曼不变量 $ r_i $ 对解进行调制, 则它们不能像色散冲击波中的黎曼不变量一样满足 $ \tau =v_2\left( r_1,r_2,r^- \right) |_{r_1\ne r_2} $ 从而为初始条件 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 提供必要的匹配. 由于任何黎曼不变量的函数仍然是黎曼不变量, 因此我们也可以采用另一种 Whitham 组合[47,50]. 根据方程 (4.6) 和 (4.5) 就可以得到正向与反向三角色散冲击波所对应的黎曼不变量

$\begin{align*}\label{6.1} &\left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2}\left( u_2+u_3 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2}\left( u_2+u_4 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}), \\[3mm] R_3=\frac{1}{2}\left( u_3+u_4 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}). \end{array} \right.\end{align*}$
$\begin{align*}\label{6.2} & \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2}\left( u_1+u_2 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2}\left( u_1+u_3 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}), \\[3mm] R_3=\frac{1}{2}\left( u_2+u_4 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}), \end{array} \right. \end{align*}$

图32

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图32   三角色散冲击波和色散冲击波复合解中的黎曼不变量 $ r_i $ 的演化行为


并且分别满足 $ R_1\le R_2\le R_3 $ 以及 $ R_3\le R_2\le R_1 $. 接下来我们分别对正向三角色散冲击波与反向色散冲击波进行讨论.

正向三角色散冲击波

正向三角色散冲击波可以通过非线性三角波解 (3.14) 来描述, 并且根据方程 (3.12), 调制解需要在 $ u_3 $ 与 $ u_4 $ 之间振荡. 正向三角色散冲击波的振幅为

$\begin{equation}\label{6.3} a=u_4-u_3=\frac{\sqrt{k_1^2+24k_2r_1}+\sqrt{k_1^2+24k_2r_2}}{k_2}=2\left( R_2-R_1 \right). \end{equation}$

从方程 (3.14) 的分析可以看到振幅从左边缘逐渐增大到右边缘的非零值, 并且当 $ a=0 $ 时满足 $ u=u_3=u_4 $. 因此正向三角色散冲击波必须与 $ x=x^- $ 处的 $ u=u^- $ 匹配, 由方程 (6.1) 可以得到

$\begin{equation}\label{6.4} R_3=\frac{1}{2}( u_3+u_4) =u_4=u^-,\ r_3=\frac{1}{6}u^-\left( k_1+k_2u^- \right). \end{equation}$

并且根据方程 (4.14)

$\begin{equation}\label{6.5} v_1|_{m\rightarrow 0}=d+12r_2-6r_3=v_2|_{m\rightarrow 0}=d+12r_1-6r_3=\tau =\frac{x}{t}. \end{equation}$

将方程 (6.4) 带入方程 (6.5) 后得到

$\begin{equation}\label{6.6} r=\frac{1}{12}\big( u^-( k_1+k_2u^-) +\tau -d \big). \end{equation}$

由于 $ r_1=r_2 $, 根据方程 (6.1) 和 (6.6) 可以推导出 $ R_1 $ 和 $ R_2 $ 的表达式为

$\begin{equation}\label{6.7} \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2k_2}\big( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r} \big) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2k_2}\big( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r} \big) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big). \end{array} \right. \end{equation}$

正向三角色散冲击波既可以作为单独的基本波结构出现也可以作为与色散冲击波组合的复合解中的一部分出现, 如果正向三角色散冲击波单独出现并与常数或者光滑的外部解匹配, 那么在 $ u_2\rightarrow u_1, u_3\rightarrow u_2 $ 的情况下前沿一定出现亮孤子. 因此 $ R_1 $, $ R_2 $ 和 $ R_3 $ 需要满足

$\begin{equation}\label{6.8} R_1=\frac{1}{2}\left( u_2+u_3 \right) =u_1=u^+,\ R_2=\frac{1}{2}\left( u_2+u_4 \right) =\frac{1}{2}\left( u_3+u_4 \right) =R_3=u^-. \end{equation}$

进一步, 根据方程 (6.8) 发现 $ R_1 $ 和 $ R_2 $ 满足条件

$\begin{equation}\label{6.9} u^-+u^+=R_1+R_2=-\frac{k_1}{k_2}, \end{equation}$

这意味着连接 $ u^* $ 和 $ u^+ $ 的三角色散冲击波的作用类似于上一节中的扭结.

对于正向三角色散冲击波, 初值条件 $ u^->u^+ $ 会使得 $ R_3>R_2>R_1 $, 并且满足方程 (6.9) 时将会出现单个正向三角色散冲击波. 三角色散冲击波的后沿与前沿速度可分别通过 $ R_1=R_2=-\frac{k_1}{2k_2} $ 与 $ R_2=R_3=u^- $ 计算得到

$\begin{equation}\label{6.10} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-\frac{k_1^2}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right), \\[3mm] \tau ^+=d+u^-\left( k_1+k_2u^- \right) =d+k_1\left( -\frac{k_1}{k_2}-u^+ \right) +k_2\left( -\frac{k_1}{k_2}-u^+ \right) ^2=d+u^+\left( k_1+k_2u^+ \right). \end{array} \right. \end{equation}$

图33 是三角色散冲击波的黎曼不变量 $ R_i, i=1, 2, 3 $ 的演化行为, 这与 5.1.2 节中的色散冲击波的结果类似.

图33

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图33   (a) 和 (b) 为正向和反向三角色散冲击波的黎曼不变量 $ R_i $ 的演化行为, 参数如下: $ k_1=4 $, $ k_2 =1 $, $ d =9 $, $ \tau ^-=-4 $, $ \tau ^+=14 $, (a) $ u^- =1 $, $ u^+=-5 $, (b) $ u^- =-5 $, $ u^+=1 $. (c) 为正向三角色散冲击波的调制周期解, 参数如下: $ k_1=4 $, $ k_2 =1 $, $ d =9 $, $ u^- =1 $, $ u^+=-5 $, $ x^-=-12 $, $ x^+=42 $. (d) 为 (c) 在 $ t=3 $ 时的截面图. 图中虚线分别表示后沿与前沿.


此外, 通过方程 (5.5) 可以发现正向三角色散冲击波的前沿速度与正向稀疏波的后沿速度相等, 这说明正向三角色散冲击波与稀疏波可以在一定条件下连接从而构成复合解, 它们满足以下方程

$\begin{equation}\label{6.11} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right), \\ \tau ^*=d+u^-\left( k_1+k_2u^- \right),\\ \tau ^+=d+u^+\left( k_1+k_2u^+ \right).\\ \end{array} \right. \end{equation}$

当 $ R_2=R_3 $ 时, 正向三角色散冲击波前沿亮孤子的振幅可由方程 (6.3) 得到

$\begin{equation}\label{6.12} a=2\left( R_2-R_1 \right) =2\left( R_3-R_1 \right) =2\left( u^-u^+ \right) =4u^-+2\frac{k_1}{k_2}. \end{equation}$

由于三角色散冲击波可以作为复合解的一部分, 并且此时亮孤子不会出现在复合解的前沿, 所以三角色散冲击波与色散冲击波可以在色散冲击波的后沿处进行匹配, 因此可以得到

$\begin{equation}\label{6.13} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right), \\[2mm] \tau ^*=d-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +2u^+\left( k_2u^++k_1 \right), \\[2mm] \tau ^+=d+\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \end{array} \right. \end{equation}$

并且色散冲击波后沿的振幅为

$\begin{align*} a^*&=2\left( R_2-R_1 \right) |_{\tau =\tau ^*}=\frac{\sqrt{k_1^2+4k_2u^+\left( k_1+k_2u^+ \right)}-k_1}{2k_2}+\frac{k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+4k_2u^+\left( k_1+k_2u^+ \right)}}{2k_2} \nonumber \\ &=\frac{1}{k_2}|k_1+2k_2u^+|. \end{align*}$

反向三角色散冲击波

反向三角色散冲击波可以通过方程 (3.8) 来描述, 且调制解必须在 $ u_1 $ 与 $ u_2 $ 之间振荡. 同样, 反向三角色散冲击波的振幅为

$\begin{equation}\label{6.15} a=u_2-u_1=\frac{\sqrt{k_1^2+24k_2r_1}+\sqrt{k_1^2+24k_2r_2}}{k_2}=2\left( R_1-R_2 \right). \end{equation}$

与正向三角色散冲击波类似, 通过方程 (6.2) 和 (6.6) 可以推导出

$\begin{equation}\label{6.16} \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r}) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r}) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big),\\ R_3=u^-. \end{array} \right. \end{equation}$

黎曼不变量 $ R_i $ 的演化行为如图33(b) 所示. 此外, 反向三角色散冲击波也满足 $ u^-+u^+=-\frac{k_1}{k_2} $, 并且当反向三角色散冲击波单独实现时, 前沿会出现振幅为 $ a=4u^-+2\frac{k_1}{k_2} $ 的暗孤子. 反向三角色散冲击波的边界速度同样由方程 (6.10), (6.11) 和 (6.13) 分别给出.

6.1.3 色散冲击波

当 $ k_2>0 $ 时色散冲击波由方程 (3.4) 来描述. 在接下来的讨论中, 我们将统一使用黎曼不变量 $ R_i $ 来调制周期解来观察它们的演化行为, 其中正向和反向色散冲击波对应的 $ R_i $ 和 $ r_i $ 之间的关系由方程 (6.1) 和 (6.2) 得出, 如图34 所示.

图34

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图34   正向和反向色散冲击波黎曼不变量 $ R_i $ 的演化行为, 参数如下: $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ -\frac{k_1}{2k_2}=-2 $, $ u_{1}^{-} =3 $, $ u_{1}^{+} =-1 $, $ u_{2}^{-} =-7 $, $ u_{2}^{+} =-3 $. 图中显示的是 $ t = 5 $ 时的情况.


6.2 $ k_2>0 $ 情况下阶跃问题解的分类

在上一节中我们已经研究了 $ k_2<0 $ 时阶跃问题解的完全分类, 我们将进一步讨论 $ k_2>0 $ 时方程 (1.4) 的阶跃初值问题.

与 5.2 节类似, 我们仍然将 $ (u^+,u^-) $ 平面分为 8 个不同的区域并分别进行详细的讨论. 与上一节不同的是 $ k_2>0 $ 情况下方程 (1.4) 不可以通过扭结连接中间状态 $ u^* $ 与 $ u^+ $, 因此本节将用三角色散冲击波取代扭结. 在 $ k_2>0 $ 的参数平面图中分隔不同区域的线同样为 $ u^-=u^+ $, $ u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+ $ 和 $ u^-=-\frac{k_1}{2k_2} $, 其中 $ u^-=u^+ $ 可以分隔稀疏波与色散冲击波的区域, $ u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+ $ 用来分隔色散冲击波和三角色散冲击波的复合区域与稀疏波和三角色散冲击波的复合区域, 而 $ u^-=-\frac{k_1}{2k_2} $ 分隔色散冲击波与色散冲击波和三角色散冲击波的复合区域, 如图35 所示. 映射函数 $ \psi(u) $ 的具体分类和平面图如表2 和图36 所示.

图35

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图35   $ k_2>0 $ 时阶跃问题解的参数平面图


表2   $ k_2>0 $ 情况下阶跃问题的解的分类

新窗口打开| 下载CSV


图36

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图36   $ k_2>0 $ 情况下 $ u^- $, $ u^+ $ 和 $ u^* $ 在区域 1 $ \sim $ 区域 8 的位置分布图.


6.2.1 区域 1

在区域 1 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 位于转折点 $ u=-\frac{k_1}{2k_2} $ 的左侧并在 $ \psi( u) =\frac{1}{6}( k_2u^2+k_1u+d) $ 的单调递减区域内. 因此, 初始不连续问题可以通过图38(a)-(b) 中的反向稀疏波来解决, 其中边界速度可以由下面的方程给出

$\begin{equation}\label{6.17} \left\{ \begin{array}{l} \tau^-=k_1u^-+k_2( u^-) ^2+d,\\ \tau^+=k_1u^++k_2( u^+) ^2+d.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

图37

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图37   区域 2 $ \sim $ 区域 4 黎曼不变量 $ R_i $ 的解析解, 参数如下: (a) $ k_1 =12 $, $ k_2 =4 $, $ d =4 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-6 $, (b) $ k_1 =6 $, $ k_2 =3 $, $ d =8 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-2 $, (c) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =3 $, $ u^+ =-1 $. 图中分别显示的是 $ t = 1, 5, \frac{1}{2} $ 时的情况.


图38

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图38   方程 (1.4) 在区域 1 $ \sim $ 区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界$ x^-=\tau ^-t, x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $ k_1 =8 $, $ k_2 =4 $, $ d =-5 $, $ u^- =-2 $, $ u^+ =-5 $, (c) $ k_1 =12 $, $ k_2 =4 $, $ d =4 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-6 $, (e) $ k_1 =6 $, $ k_2 =3 $, $ d =8 $, $ u^- =1 $, $ u^+ =-2 $, (g) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =3 $, $ u^+ =-1 $. 图中分别显示的是 $ t = 10, 1, 5, \frac{1}{2} $ 时的情况.


6.2.2 区域 2

在区域 2 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 位于转折点 $ u=-\frac{k_1}{2k_2} $ 的两侧, 它们分别属于 $ \psi( u) $ 的不同单调性区域, 此时反向稀疏波不能解决初始阶跃条件的连续性问题, 但可以使 $ u^* $ 满足 $ u^*=-\frac{k_1}{2k_2}-u^- $ 以通过正向三角色散冲击波与反向稀疏波的复合解来解决, 如图38(c)-(d) 所示.

正向三角色散冲击波的黎曼不变量 $ R_i $ 满足方程 (6.1), 其解析解如图37(a) 所示. 区域 2 的边界速度为

$\begin{equation}\label{6.18} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right) +d,\\ \tau ^*=u^*\left( k_1+k_2u^* \right) +d=u^-\left( k_1+k_2u^- \right) +d,\\ \tau ^+=u^+\left( k_1+k_2u^+ \right) +d.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

当 $ u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+ $ 时, 我们可以发现

$\begin{equation}\nonumber \tau ^*=u^*\left( k_1+k_2u^* \right) +d=u^-\left( k_1+k_2u^- \right) +d=u^+\left( k_1+k_2u^+ \right) +d=\tau ^+, \end{equation}$

此时反向稀疏波消失, 区域 2 仅出现单一的正向三角色散冲击波.

6.2.3 区域 3

在区域 3 中, 我们可以获得由在 $ u ^* $ 点连接的正向三角色散冲击波和色散冲击波组成的复合色散冲击波解, 如图38(e)-(f) 所示. 整个调制解可以方便地用黎曼不变量 $ R_i $ 来描述, 黎曼不变量 $ R_1 $ 和 $ R_3 $ 在 $ \tau ^* $ 和 $ \tau ^+ $ 之间的区域保持不变, 其解析解如图37(b) 所示. 区域 3 的边界速度为

$\begin{equation}\label{6.19} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right)+d, \\[2mm] \tau ^*=2u^+\left( k_2u^++k_1 \right)-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +d, \\[2mm] \tau ^+=\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right)+d. \end{array} \right. \end{equation}$

只有在 Whitham 调制方程的框架下, 才能自然地定义复合解中三角色散冲击波和色散冲击波部分之间的边界 $ x^*=\tau ^* t $, 它可以将调制解具有不同性质的两个区域分开. 并且由于调制方程的线性群速度的特性, 色散冲击波后沿附近的解析解和数值解在图38(e)-(f) 中有显著差异.

6.2.4 区域 4

在区域 4 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 处于 $ \psi( u) $ 的同一单调递增区域, 因此可以通过单个正向色散冲击波连接, 其中黎曼不变量为

$\begin{equation}\nonumber \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}) =u^+, \\[3mm] R_2=\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}), \\[3mm] R_3=\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}) =u^-. \end{array} \right. \end{equation}$

黎曼不变量的解析解以及方程 (1.4) 的解析解和数值模拟如图37(c) 和 38(g)-(h) 所示. 区域 4 的边界速度由以下方程给出

$\begin{equation}\label{6.20} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +2u^+\left( k_2u^++k_1 \right)+d, \\ \tau ^+=\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right)+d. \\ \end{array} \right. \end{equation}$
6.2.5 区域 5

在区域 5 中, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 位于转折点的右侧并处于 $ \psi( u) $ 的同一单调递增区域, 该区域的初始不连续问题可以用正向稀疏波来解决, 其中边界速度由方程 (6.17) 给出. 相应的解析解和数值模拟如图40(a)-(b) 所示.

图39

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图39   区域 6 $ \sim $ 区域8黎曼不变量 $ R_i $ 的解析解, 参数如下: (a) $ k_1 =2 $, $ k_2 =1 $, $ d =-2 $, $ u^- =-2 $, $ u^+ =1 $, (b) $ k_1 =8 $, $ k_2 =4 $, $ d =8 $, $ u^- =-5 $, $ u^+ =1 $, (c) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =-7 $, $ u^+ =-3 $. 图中分别显示的是 $ t = 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} $ 时的情况.


图40

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图40   方程 (1.4) 在区域 5 $ \sim $ 区域8中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $ x^-=\tau ^-t $, $ x^+=\tau ^+t $ 和 $ x^*=\tau ^*t $. (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $ k_1 =16 $, $ k_2 =2 $, $ d =-6 $, $ u^- =-3 $, $ u^+ =2 $, (c) $ k_1 =2 $, $ k_2 =1 $, $ d =-2 $, $ u^- =-2 $, $ u^+ =1 $, (e) $ k_1 =8 $, $ k_2 =4 $, $ d =8 $, $ u^- =-5 $, $ u^+ =1 $, (g) $ k_1 =8 $, $ k_2 =2 $, $ d =2 $, $ u^- =-7 $, $ u^+ =-3 $. 图中分别显示的是 $ t = 10, 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} $ 时的情况.


6.2.6 区域 6

区域 6 与区域 2 相似, 初始阶跃条件 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 可以通过反向三角色散冲击波与正向稀疏波的复合解连接起来, 其中边界速度由方程 (6.18) 给出. 反向三角色散冲击波的黎曼不变量 $ R_i $ 满足方程 (6.2). 当 $ u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+ $ 时, 复合解将转化为单一的反向三角色散冲击波. 黎曼不变量的解析解如图39(a) 所示, 区域 6 对应的解析解和数值模拟如图40(c)-(d) 所示.

6.2.7 区域 7

区域 7 与区域 3 相似, 初始阶跃条件 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 可以通过反向色散冲击波与三角色散冲击波的复合解连接起来, 其中边界速度由方程 (6.19) 给出. 黎曼不变量的解析解如图39(b) 所示, 区域 6 对应的解析解和数值模拟如图40(e)-(f) 所示.

6.2.8 区域 8

在区域 8 中, 初始阶跃条件 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 均处于 $ \psi( u) $ 的单调递减区域, 进而可以通过反向色散冲击波来描述初始不连续问题, 其中边界速度由方程 (6.20) 给出. 黎曼不变量的解析解如图39(c) 所示, 区域 6 对应的解析解和数值模拟如图40(g)-(h) 所示.

7 参数讨论

在前面的章节, 我们分别研究了 $ k_2<0 $ 和 $ k_2>0 $ 情况下方程 (1.4) 的初始不连续问题. 广义 Gardner 方程相对于 KdV 方程和 Gardner 方程的区别在于广义 Gardner 方程的参数 $ d $, $ k_1 $ 和 $ k_2 $ 的改变对阶跃初值问题的解会产生不同的影响. 我们将分别讨论满足 $ k_2<0 $ 和 $ k_2>0 $ 时仅改变一个参数的值而其他两个参数固定的情况对解的影响.

然而, 在讨论 $ k_1 $ 和 $ k_2 $ 值的变化时, 我们可以通过选择适当的初值参数以保持初始不连续性问题的解的边界速度一致, 从而可以更直观地观察相同区间内线性和非线性项系数的变化对结果的影响.

$ d $ 的值发生变化 根据前面推导的特征速度公式, 在相同初始条件下 $ d $ 的值的变化影响解的传播区间. 当 $ d $ 的值从零开始逐渐增加会导致整体结构向右移动, $ d $ 的值逐渐减小将导致解向左移动. 这里分别给出了其他参数保持不变并且 $ d = -100, -50, 0, 50, 100 $ 时反向色散冲击波的演化行为, 如图41 所示.

图41

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图41   当 $ d $ 改变时, $ t=1 $ 时刻反向色散冲击波的演化行为, 参数如下: $ k_1 =12 $, $ k_2 =-1 $, $ u^- =7 $, $ u^+ =11 $.


$ k_1 $ 的值发生变化 $ k_2<0 $: 以区域 1 中的正常色散冲击波为例, 在 $ k_2 $ 和 $ d $ 固定的条件下我们首先选择适当 $ k_1 $, $ u^- $ 和 $ u^+ $ 得到相对应的边界速度. 在 $ k_1>0 $ 的情况下, 确定相同的边界速度和时间后可以发现随着$ k_1 $ 逐渐增加 $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 也随之增大, 初始条件 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 的差值 $ |u^-u^+| $ 逐渐减小. 然而在 $ k_1<0 $ 的情况下, $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 和 $ |u^-u^+| $ 都随着 $ k_1 $ 的逐渐增加而增大, 如图42 所示.

图42

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图42   当 $ k_1 $ 变化时, $ t = 20 $ 时刻区域 1 内正向色散激波的演化行为. 当 $ k_1>0 $ 时, 从上到下的参数如下: $ u^- =5 $, $ u^+ =4 $; $ u^- =7/2 $, $ u^+ =\frac{1}{4}( 27-\sqrt{217}) $; $ u^- =8-\sqrt{29} $, $ u^+ =8-4\sqrt{2} $; $ u^- =10-\sqrt{65} $, $ u^+ =10-2\sqrt{17} $; $ u^- =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2689}) $, $ u^+ =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2737}) $; $ u^- =25-\sqrt{590} $, $ u^+ =25-\sqrt{593} $ 并且 $ k_2 =-1 $, $ d=1 $. 当 $ k_1<0 $ 时, $ u^- =-1-\sqrt{5} $, $ u^+ =-1-2\sqrt{2} $; $ u^- =-2-2\sqrt{2} $, $ u^+ =-2-\sqrt{11} $; $ u^- =-3-\sqrt{13} $, $ u^+ =-7 $; $ u^- =-4-2\sqrt{5} $, $ u^+ =-4-\sqrt{23} $ 并且 $ k_2 =-1 $, $ d=40 $.


$ k_2>0 $: 类似于 $ k_2<0 $ 的情况, 我们区域 1 中的反向稀疏波为例. 在 $ k_1>0 $ 的条件下 $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 和 $ |u^-u^+| $ 值随着 $ k_1 $ 的增加而逐渐减小, 如图43(a) 所示. 当 $ k_1 $ 逐渐增大且满足 $ k_1<0 $ 的条件时, $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 的值逐渐减小但 $ |u^-u^+| $ 逐渐增加. 进一步我们可以发现稀疏波同时相交于点 $ x=d*t $, 如图43(b) 所示.

图43

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图43   当 $ k_1 $ 变化时, $ t =5 $ 时刻区域 1 内反向稀疏波的演化行为. 当 $ k_1>0 $ 时, (a) 的参数从上到下依次为: $ u^- =-3 $, $ u^+ =-7 $; $ u^- =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{37}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{133} ) $; $ u^- =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{69}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{165}) $; $ u^- =-6-\sqrt{33} $, $ u^+ =-6-\sqrt{57} $; $ u^- =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{213}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{309}) $; $ u^- =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1177}) $, $ u^+ =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1561}) $ 并且 $ k_2 =2 $, $ d=-5 $. 当 $ k_1<0 $ 时, (b) 的参数从上到下依次为: $ u^- =15-\sqrt{222} $, $ u^+ =15-\sqrt{246} $; $ u^- =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{213}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{309}) $; $ u^- =5-\sqrt{22} $, $ u^+ =5-\sqrt{46} $; $ u^- =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{37}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{133}) $; $ u^- =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{73}) $, $ u^+ =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{457}) $; $ u^- =1 $, $ u^+ =-3 $ 并且 $ k_2 =2 $, $ d=-5 $.


$ k_2 $ 的值发生变化 $ k_2<0 $: 我们分别分析了区域 2 的复合解和区域1的色散冲击波. 当 $ k_1 $ 和 $ d $ 是固定值并且满足 $ k_1>0 $ 时, 随着 $ k_2 $ 的增加 $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 与 $ |u^-u^+| $ 的值也同时增加. 如果我们在选择初始值时使得$ u^-=0 $, 那么当改变 $ k_2 $ 的值时, 其他合适的初始值也满足 $ u^-=0 $, 如图44(a) 和 44(b) 所示. 在另一个条件 $ k_1<0 $ 下, 我们以区域 1 的正向色散冲击波为例, 由于 $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 的值小于零, 因此不能使其中一个初始值等于零. 随着 $ k_2 $ 的值逐渐增加, $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 逐渐减小但 $ |u^-u^+| $ 逐渐增加, 如图44(c) 所示.

图44

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图44   (a) 为 $ k_2 $ 变化时 $ t =1 $ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =4 $, $ u^+ =-4 $; $ u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{17}) $, $ u^+ =-3 $; $ u^- =\frac{1}{10}( 3+\sqrt{249}) $, $ u^+ =-\frac{12}{5} $; $ u^- =\frac{1}{16}( 3+\sqrt{393}) $, $ u^+ =\frac{1}{16}( 3-3\sqrt{129}) $ 并且 $ k_1 =6 $, $ d=15 $. (b) 和 (c) 为 $ k_2 $ 变化 $ t = 10 $ 和 $ t = 2 $ 刻区域 1 内正向色散冲击波的演化行为. (b) 的参数从上到下依次为: $ u^- =0 $, $ u^+ =-1 $; $ u^- =0 $, $ u^+ =\frac{1}{3}( 1-\sqrt{37}) $; $ u^- =0 $, $ u^+ =1-\sqrt{13} $; $ u^- =0 $, $ u^+ =3-3\sqrt{5} $; $ u^- =0 $, $ u^+ =6-6\sqrt{13} $; $ u^- =0 $, $ u^+ =10-2\sqrt{55} $ 并且 $ k_1 =2 $, $ d=1 $. (c) 的参数从上到下依次为: $ u^- =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{209}) $, $ u^+ =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{937}) $; $ u^- =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{177}) $, $ u^+ =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{793}) $; $ u^- =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{145}) $, $ u^+ =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{649}) $; $ u^- =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{113}) $, $ u^+ =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{505}) $; $ u^- =-1 $, $ u^+ =-2 $ 并且 $ k_1 =-2 $, $ d=1 $.


$ k_2>0 $: 类似于 $ k_2<0 $ 的情况, 我们分别分析了区域 6 的复合解和区域4的色散冲击波. 当 $ k_1 $ 和 $ d $ 的值是固定值并且满足 $ k_1>0 $ 时, 随着 $ k_2 $ 的增加, $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 的值增加但 $ |u^-u^+| $ 逐渐减小, 并且转折点 $ u^* $ 处的特征速度 $ \tau^* $ 逐渐增加, 如图45(a) 所示. 我们还发现, 如果选择初始值时满足 $ u^+=0 $, 则随着 $ k_2 $ 的增加, 同一区间内其他初值 $ u^+ $ 仍然满足 $ u^+=0 $, 并且 $ u^- $ 逐渐接近 $ u^+ $, 如图45(b) 所示. 在 $ k_1<0 $ 的情况下, 我们以区域 2 的复合解为例, 随着 $ k_2 $ 的增加, $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 和 $ |u^-u^+| $ 的值逐渐减小且转折点 $ u^* $ 处的特征速度 $ \tau^* $ 逐渐增大, 如图45(c) 所示.

图45

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图45   (a) 为 $ k_2 $ 变化时 $ t =5 $ 时刻区域 6 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =-\frac{4}{5} $, $ u^+ =\frac{4}{5} $; $ u^- =\frac{1}{3}( -1-\sqrt{14}) $, $ u^+ =\frac{4}{3} $; $ u^- =\frac{1}{3} (-2-\sqrt{26}) $, $ u^+ =\frac{1}{3}( -1+\sqrt{13}) $; $ u^- =-3 $, $ u^+ =2 $ 并且 $ k_1 =2 $, $ d=-2 $. (b) 为 $ k_2 $ 变化时 $ t = 0.1 $ 时刻区域 4 内正向色散冲击波的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =-40+16\sqrt{10} $, $ u^+ =0 $; $ u^- =8 $, $ u^+ =0 $; $ u^- =-4+4\sqrt{7} $, $ u^+ =0 $; $ u^- =-2+2\sqrt{13} $, $ u^+ =0 $; $ u^- =4 $, $ u^+ =0 $ 并且 $ k_1 =8 $, $ d=2 $. (c) 为 $ k_2 $ 变化时, $ t = 2 $ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $ u^- =3+\sqrt{3} $, $ u^+ =3-3\sqrt{3} $; $ u^- =4 $, $ u^+ =-2 $; $ u^- =1+\sqrt{3} $, $ u^+ =1-\sqrt{7} $; $ u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{7}) $, $ u^+ =\frac{1}{2}( 1-\sqrt{13}) $ 并且 $ k_1 =-12 $, $ d=4 $.


8 结论

本文推导了广义 Gardner 方程在不同振荡区间的周期解及其极限情况下的退化解并对阶跃初值问题进行了全面的研究, 同时利用 Whitham 调制理论对广义 Gardner 方程的周期解进行慢调制得到了色散冲击波和三角色散冲击波的解析解. 此外, 我们分别研究了当 $ k_2<0 $ 与 $ k_2>0 $ 时阶跃初值 $ u^- $ 和 $ u^+ $ 与无色散特征速度 $ ( k_2u^2+k_1u+d) $ 的转折点 $ -\frac{k_1}{2k_2} $ 相关的初始不连续问题. 进一步对由初值演化的所有可能情况的解析解进行了完整的分类, 包括稀疏波, 色散冲击波, 扭结, 三角色散冲击波及其组合解, 并进一步分析了非线性参数对初值问题的不同影响. 本文还将特殊情况下的周期解和退化解以及 16 种阶跃初值条件所演化的解析解与直接数值模拟结果进行了比较, 结果具有良好的吻合性. 这些结果可以尝试扩展到描述弱非均匀环境中色散冲击波传播的其他系统, 我们将在未来的工作中进一步研究.

参考文献

Infeld E, Rowlands G. Nonlinear Waves, Solitons and Chaos. New York: Cambridge University Press, 1990

[本文引用: 1]

Ablowitz M J, Clarkson P A. Solitons, Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. New York: Cambridge University Press, 1991

[本文引用: 1]

Kevrekidis P G, Frantzeskakis D J, Carretero-González R. Emergent Nonlinear Phenomena in Bose-Einstein Condensates. New York: Springer, 2008

[本文引用: 1]

Korteweg D J, De Vries G.

On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal and on a new type of long stationary waves

Phil Mag, 1895, 5(39): 422-443

[本文引用: 1]

Miura R M.

Korteweg-de Vries equation and generalizations. I. A remarkable explicit nonlinear transformation

J Math Phys, 1968, 9(8): 1202-1204

[本文引用: 1]

Miura R M, Gardner C S, Kruskal M D.

Korteweg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion

J Math Phys, 1968, 9(8): 1204-1209

[本文引用: 2]

Su C H, Gardner C S.

Korteweg-de Vries equation and generalizations. III. Derivation of the Korteweg-de Vries equation and Burgers equation

J Math Phys, 1969, 10(3): 536-539

[本文引用: 1]

Gardner C S.

Korteweg-de Vries equation and generalizations. IV. The Korteweg-de Vries equation as a Hamiltonian system

J Math Phys, 1971, 12(8): 1548-1551

[本文引用: 1]

Mishra M K, Chhabra R S, Sharma S R.

Obliquely propagating ion-acoustic solitons in a multi-component magnetized plasma with negative ions

J Plasma Phys, 1994, 52(3): 409-429

[本文引用: 1]

Horii Z.

Formulation of the Korteweg-de Vries and the Burgers equations expressing mass transports from the generalized Kawasaki-Ohta equation

Phys Lett A, 2002, 306: 45-51

[本文引用: 1]

Apela J R, Ostrovsky L A, Stepanyants Y A, et al.

Internal solitons in the ocean and their effect on underwater sound

J Acoust Soc Am, 2007, 121(2): 695-722

PMID:17348494      [本文引用: 1]

Nonlinear internal waves in the ocean are discussed (a) from the standpoint of soliton theory and (b) from the viewpoint of experimental measurements. First, theoretical models for internal solitary waves in the ocean are briefly described. Various nonlinear analytical solutions are treated, commencing with the well-known Boussinesq and Korteweg-de Vries equations. Then certain generalizations are considered, including effects of cubic nonlinearity, Earth's rotation, cylindrical divergence, dissipation, shear flows, and others. Recent theoretical models for strongly nonlinear internal waves are outlined. Second, examples of experimental evidence for the existence of solitons in the upper ocean are presented; the data include radar and optical images and in situ measurements of wave forms, propagation speeds, and dispersion characteristics. Third, and finally, action of internal solitons on sound wave propagation is discussed. This review paper is intended for researchers from diverse backgrounds, including acousticians, who may not be familiar in detail with soliton theory. Thus, it includes an outline of the basics of soliton theory. At the same time, recent theoretical and observational results are described which can also make this review useful for mainstream oceanographers and theoreticians.

Leblond H, Grelu P, Mihalache D.

Models for supercontinuum generation beyond the slowly-varying-envelope approximation

Phys Rev A, 2014, 90: 053816

[本文引用: 1]

Ralph E A, Pratt L.

Predicting eddy detachment for an equivalent barotropic thin jet

J Nonlinear Sci, 1994, 4: 355-374

[本文引用: 1]

Das G C, Karmakar B.

Nonlinear ion-acoustic waves in multicomponent plasmas

Can J Phys, 1988, 66(1): 79-81

[本文引用: 1]

Chow K W, Grimshaw R H J, Ding E.

Interactions of breathers and solitons in the extended Korteweg-de Vries equation

Wave Motion, 2005, 43(2): 158-166

[本文引用: 1]

Bokaeeyan M, Ankiewicz A, Akhmediev N.

Bright and dark rogue internal waves: The Gardner equation approach

Phys Rev E, 2019, 99(6): 062224

[本文引用: 1]

Baldwin D, Goktas U, Hereman W, et al.

Symbolic computation of exact solutions in hyperbolic and elliptic functions for nonlinear PDEs

J Symb Comput, 2004, 37: 669-705

[本文引用: 1]

Demler E, Maltsev A.

Semiclassical solitons in strongly correlated systems of ultracold bosonic atoms in optical lattices

Ann Phys, 2011, 326(7): 1775-1805

[本文引用: 1]

Demiray S T, Bulut H.

New exact solutions for generalized Gardner equation

Kuwait J Sci, 2017, 44(1): 1-8

[本文引用: 2]

Grimshaw R. Environmental Stratified Flows. New York: Springer, 2002

[本文引用: 1]

Kakutani T, Yamasaki N.

Solitary waves on a two-layer fluid

J Phys Soc Jpn, 1978, 45(2): 674-679

[本文引用: 1]

Hamdi S, Morse B, Halphen B, et al.

Analytical solutions of long nonlinear internal waves: Part I

Nat Hazards, 2011, 57(3): 597-607

[本文引用: 1]

Grimshaw R, Pelinovsky D, Pelinovsky E, et al.

Generation of large-amplitude solitons in the extended Korteweg-de Vries equation

Chaos, 2002, 12(4): 1070-1076

PMID:12779630      [本文引用: 1]

We study the extended Korteweg-de Vries equation, that is, the usual Korteweg-de Vries equation but with the inclusion of an extra cubic nonlinear term, for the case when the coefficient of the cubic nonlinear term has an opposite polarity to that of the coefficient of the linear dispersive term. As this equation is integrable, the number and type of solitons formed can be determined from an appropriate spectral problem. For initial disturbances of small amplitude, the number and type of solitons generated is similar to the well-known situation for the Korteweg-de Vries equation. However, our interest here is in initial disturbances of larger amplitude, for which there is the possibility of the generation of large-amplitude "table-top" solitons as well as small-amplitude solitons similar to the solitons of the Korteweg-de Vries equation. For this case, and in contrast to some earlier results which assumed that an initial disturbance in the shape of a rectangular box would be typical, we show that the number and type of solitons formed depend crucially on the disturbance shape, and change drastically when the initial disturbance is changed from a rectangular box to a "sech"-profile. (c) 2002 American Institute of Physics.

Fan E G.

A family of completely integrable multi-Hamiltonian systems explicitly related to some celebrated equations

J Math Phys, 2001, 42(9): 4327-4344

[本文引用: 1]

Meng G Q, Gao Y T, Yu X, et al.

Painlevé analysis, Lax pair, Bäcklund transformation and multi-soliton solutions for a generalized variable-coefficient KdV-mKdV equation in fluids and plasmas

Phys Scr, 2012, 85(5): 055010

[本文引用: 1]

Li J, Xu T, Meng X H, et al.

Lax pair, Bäcklund transformation and N-soliton-like solution for a variable-coefficient Gardner equation from nonlinear lattice, plasma physics and ocean dynamics with symbolic computation

J Math Anal Appl, 2007, 336(2): 1443-1455

[本文引用: 2]

El G A, Hoefer M A.

Dispersive shock waves and modulation theory

Physica D, 2016, 333: 11-65

[本文引用: 1]

Holloway P E, Pelinovsky E, Talipova T.

A generalized Korteweg-de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone

J Geophys Res Oceans, 1999, 104(C8): 18333-18350

[本文引用: 1]

Scotti A, Pineda J.

Observation of very large and steep internal waves of elevation near the Massachusetts coast

Geophys Res Lett, 2004, 31(22): L22307

[本文引用: 1]

Madsen P A, Fuhrman D R, Schäffer H A.

On the solitary wave paradigm for tsunamis

J Geophys Res Oceans, 2008, 113(C12): C12012

[本文引用: 1]

Christie D R.

The morning glory of the Gulf of Carpentaria: a paradigm for non-linear waves in the lower atmosphere

Austral Met Mag, 1992, 41: 21-60

[本文引用: 1]

Smyth N F, Holloway P E.

Hydraulic jump and undular bore formation on a shelf break

J Phys Ocean, 1988, 18(7): 947-962

[本文引用: 1]

Whitham G B. Linear and Nonlinear Waves. New York: Wiley, 1974

[本文引用: 2]

Whitham G B.

Non-linear dispersive waves

Math Phys Sci, 1965, 283(1393): 238-261

[本文引用: 1]

An X, Marchant T R, Smyth N F.

Dispersive shock waves governed by the Whitham equation and their stability

Proc Math Phys Eng Sci, 2018, 474(2216): 20180278

[本文引用: 1]

El G A, Hoefer M A, Shearer M.

Dispersive and diffusive-dispersive shock waves for non-convex conservation laws

SIAM Review, 2017, 59(1): 3-61

[本文引用: 1]

Onorato M, Stefania R, Fabio B. Rogue and Shock Waves in Nonlinear Dispersive Media. New York: Springer, 2016

[本文引用: 1]

Gurevich A V, Pitaevskii L P.

Nonstationary structure of a collisionless shock wave

Sov Phys JETP, 1974, 38: 291-297

[本文引用: 1]

Kamchatnov A M.

New approach to periodic solutions of integrable equations and nonlinear theory of modulational instability

Phys Rep, 1997, 286(4): 199-270

[本文引用: 1]

Zhang Y, Hao H Q, Guo R.

Periodic solutions and Whitham modulation equations for the Lakshmanan-Porsezian-Daniel equation

Phys Lett A, 2022, 450: 128369

[本文引用: 1]

Zhang Y, Hao H Q.

Whitham modulation theory and periodic solutions for the fifth-order nonlinear Schrödinger equation in the Heisenberg ferromagnetic spin chain

Nonlinear Dyn, 2023, 111: 12461-12477

[本文引用: 1]

Wang D S, Xu L, Xuan Z.

The complete classification of solutions to the Riemann problem of the defocusing complex modified KdV equation

J Nonlinear Sci, 2022, 32(1): 1-46

[本文引用: 4]

Kamchatnov A M.

Dispersive shock wave theory for nonintegrable equations

Phys Rev E, 2019, 99(1): 012203

[本文引用: 1]

El G A, Gammal A, Khamis E G, et al.

Theory of optical dispersive shock waves in photorefractive media

Phys Rev A, 2007, 76(5): 053813

[本文引用: 1]

Driscoll C F, O' Neil T M.

Modulational instability of cnoidal wave solutions of the modified Korteweg-de Vries equation

J Math Phys, 1975, 17(7): 1196-1200

[本文引用: 2]

Kamchatnov A M, Spire A, Konotop V V.

On dissipationless shock waves in a discrete nonlinear Schrödinger equation

J Phys A, 2004, 37(21): 5547

[本文引用: 1]

Marchant T R.

Undular bores and the initial-boundary value problem for the modified Korteweg-de Vries equation

Wave Motion, 2008, 45(4): 540-555

[本文引用: 4]

Kodama Y, Pierce V U, Tian F R.

On the Whitham equations for the defocusing complex modified KdV equation

SIAM J Math Anal, 2009, 40(5): 1750-1782

[本文引用: 2]

Marchant T R, Smyth N F.

The extended Korteweg-de Vries equation and the resonant flow of a fluid over topography

J Fluid Mech, 1990, 221: 263-287

[本文引用: 1]

Kamchatnov A M, Kuo Y H, Lin T C, et al.

Undular bore theory for the Gardner equation

Phys Rev E, 2012, 86(3): 036605

[本文引用: 3]

Matveev B V.

30 years of finite-gap integration theory

Phil Trans R Soc A, 2008, 366(1867): 837-875

[本文引用: 1]

Kamchatnov A M, Kraenkel R A.

On the relationship between a $ 2\times2 $ matrix and second-order scalar spectral problems for integrable equations

J Phys A: Math Gen, 2002, 35(2): L13-L18

[本文引用: 1]

Ercolani N M, Jin S, Levermore C D, et al.

The zero-dispersion limit for the odd flows in the focusing Zakharov-Shabat hierarchy

Int Math Res Notices, 2003, 47: 2529

[本文引用: 1]

Grava T, Klein C.

Numerical solution of the small dispersion limit of Korteweg-de Vries and Whitham equations

Commun Pure Appl Math, 2007, 60(11): 1623-1664

[本文引用: 1]

Fornberg B, Whitham G B.

A numerical and theoretical study of certain nonlinear wave phenomena

Philos Trans R Soc London Ser A, 1978, 289(1361): 373-404

[本文引用: 1]

/

〈 〉

版权所有 © 《数学物理学报》杂志社
地址： 武汉市71010号信箱(430071)　电话: 027-87199206(中文版)　027-87199087(英文版)
E-mail: actams@apm.ac.cn
本系统由北京玛格泰克科技发展有限公司设计开发