阶跃初值条件解的完全分类: 流体力学中广义 Gardner 方程的分析与数值验证

图1 (a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =12$ , $d =1$ , $u_1=-3$ , $u_2 =-2$ , $u_4 =2$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

其中

$\begin{equation}\label{3.5} \begin{aligned} &V=d-\frac{k_2}{6}\big( u_1( u_2+u_3+u_4) +u_2( u_3+u_4) +u_3u_4 \big), \\ &\theta =\frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}\left( x-Vt \right), \\ &m_1=\frac{\left( u_1-u_2 \right) \left( u_3-u_4 \right)}{\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_4 \right)}. \end{aligned} \end{equation}$

(3.5)

此外, 波长可由第一类完全椭圆积分 $K(m)$ 给出

$\begin{equation}\label{3.6} L=\frac{4K( m_1) }{\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}}. \end{equation}$

(3.6)

接下来我们讨论方程 (1.4) 的周期解在 $m_1$ 的不同极限情况下的演化行为.

情况 1 $m_1\rightarrow 0$

当 $u_2\rightarrow u_1, u_3\ne u_4$ 时, 方程 (3.4) 渐近变换为线性谐波

$\begin{equation}\label{3.7} u\cong u_2+\frac{1}{2}\left( u_1-u_2 \right) \cos\Big( \sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{6}( u_3u_4-3u_1^2) \big) t \Big) \Big), \end{equation}$

(3.7)

这对应着小振幅谐波极限的情况, 如图2 所示.

图2

图2 (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =6$ , $d =1$ , $u_1=-2.02$ , $u_2 =-2$ , $u_3 =-1$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

当 $u_4\rightarrow u_3, u_2\ne u_1$ 时, 方程 (3.4) 转化为非线性三角波 (如图3)

$\begin{equation}\label{3.8} u\!=\!u_2\!+\!\frac{\left( u_1-u_2 \right)\cos^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_3 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_3-\frac{k_2}{6}( u_1u_2-3u_{3}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1-\frac{\left( u_2-u_1 \right)}{\left( u_2-u_3 \right)}\sin^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_3 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_3-\frac{k_2}{6}( u_1u_2-3u_{3}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

(3.8)

图3

图3 (a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =3$ , $d =1$ , $u_1=-4$ , $u_2 =-2$ , $u_3 =-1$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

如果使 $u_3-u_1\gg u_2-u_1$ , 方程 (3.8) 可以转化为如图4 所示小振幅极限的特殊情况下的线性谐波解.

图4

图4 (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =3$ , $d =1$ , $u_1=-3.01$ , $u_2 =-2.99$ , $u_3 =-1$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.

在 $u_4\rightarrow u_3, u_3\rightarrow u_2$ 的情况下, $\sin(\theta)$ 与 $\cos(\theta)$ 可以通过泰勒级数展开从而使方程 (1.4) 的周期解转化为暗代数孤子 (见图5)

$\begin{equation}\label{3.9} u=u_2+\frac{u_1-u_2}{\frac{1}{4}\times \left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_2-u_1 \right) ^2\left( x-( d+\frac{k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{3}u_1u_2)t \right) ^2+1}. \end{equation}$

(3.9)

图5

图5 (a) 为方程 (1.4) 的暗代数孤子解, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =3$ , $d =1$ , $u_1=-4$ , $u_2 =0$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

情况 2 $m_1\rightarrow 1$

当 $u_3\rightarrow u_2$ 时, 方程 (3.4) 可以转换为前沿的暗孤子 (见图6)

$\begin{equation}\label{3.10} u\!=\!u_2\!+\!\frac{\left( u_1-u_2 \right) {\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1+\frac{u_1-u_2}{u_2-u_4}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

(3.10)

图6

图6 (a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =3$ , $d =1$ , $u_1=-3$ , $u_2 =-2$ , $u_4 =-1$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

3.1.2 $u_3\le u\le u_4$ 的区域

在这种情况下我们有

$\begin{equation}\label{3.11} \sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|}\left( \xi -\xi _0 \right) =\int_u^{u_4}{\frac{1}{\sqrt{\left( u-u_1 \right) \left( u-u_2 \right) \left( u-u_3 \right) \left( u_4-u \right)}}{\rm d}u}. \end{equation}$

(3.11)

利用与方程 (3.4) 类似的计算过程可以得到式方程 (1.4) 的周期解 (见图7)

$\begin{equation}\label{3.12} u=\frac{u_4\left( u_1-u_3 \right) +u_1\left( u_3-u_4 \right) sn^2\left( \theta, m_1 \right)}{\left( u_1-u_3 \right) +\left( u_3-u_4 \right) sn^2\left( \theta, m_1 \right)}=u_3-\frac{\left( u_3-u_4 \right) cn^2\left( \theta, m_1 \right)}{1+\frac{\left( u_3-u_4 \right)}{\left( u_1-u_3 \right)}sn^2\left( \theta, m_1 \right)}, \end{equation}$

(3.12)

图7

图7 (a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $k_1 =3$ , $k_2 =1$ , $d =5$ , $u_1=-6$ , $u_2 =-4$ , $u_3 =1$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

其中 $\theta$ 和 $m_1$ 由方程 (3.5) 给出.

情况 1 $m_1\rightarrow 0$

当 $u_4\rightarrow u_3, u_2\ne u_1$ 时, 方程 (3.12) 可变换为线性谐波 (见图8)

$\begin{equation}\label{3.13} u\cong u_3-\frac{1}{2}\left( u_3-u_4 \right) \cos\Big( \sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_3 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_3-\frac{k_2}{6}( u_1u_2-3u_{3}^{2}) \big) t \Big) \Big). \end{equation}$

(3.13)

图8

图8 (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =2$ , $d =1$ , $u_2=-3$ , $u_3 =-2$ , $u_4 =-1.98$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

在 $u_2\rightarrow u_1, u_4\ne u_3$ 的情况下, 方程 (3.12) 可转换为非线性三角波 (见图9)

$\begin{equation}\label{3.14} u\!=\!u_3\!-\!\frac{\left( u_3-u_4 \right) \cos^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{6}( u_3u_4-3u_{1}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1-\frac{\left( u_4-u_3 \right)}{\left( u_1-u_3 \right)}\sin^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{6}( u_3u_4-3u_{1}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

(3.14)

图9

图9 (a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $k_1 =4$ , $k_2 =6$ , $d =8$ , $u_1=-3$ , $u_3 =\frac{1}{2}$ , $u_4 =\frac{25}{6}$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

如果满足 $u_4-u_1\gg u_4-u_3$ , 方程 (3.14) 可以变为小振幅极限特殊情况下如图10 所示的线性谐波解.

图10

图10 (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =6$ , $d =10$ , $u_1=-3$ , $u_3 =0.99$ , $u_4 =1.01$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.

在极限 $u_2\rightarrow u_1, u_3\rightarrow u_2$ 的情况下, 类似于上一小节利用泰勒级数展开 $\sin(\theta)$ 与 $\cos(\theta)$ , 使得方程 (3.14) 可以转化为亮代数孤子 (见图11)

$\begin{equation}\label{3.15} u=u_1-\frac{u_1-u_4}{\frac{1}{4}\times \left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_4-u_1 \right) ^2\left( x-( d+\frac{k_1}{3}u_1-\frac{k_2}{3}u_4u_1) t \right) ^2+1}. \end{equation}$

(3.15)

图11

图11 (a) 为方程 (1.4) 的亮代数孤子解, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =2$ , $d =-15$ , $u_1=-2$ , $u_4 =0$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

情况 2 $m_1\rightarrow 1$

当 $u_3\rightarrow u_2$ 时, 方程 (3.12) 可以转变为亮孤子 (见图12)

$\begin{equation}\label{3.16} u\!=\!u_2\!-\!\frac{\left( u_2-u_4 \right){\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}{1+\frac{u_2-u_4}{u_1-u_2}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{\left| -\frac{k_2}{6} \right|\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

(3.16)

图12

图12 (a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =3$ , $d =-30$ , $u_1=-3$ , $u_2 =-2$ , $u_4 =-1$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

3.2 $k_2<0$ 的情况

当 $k_2$ 的值为负数时, 方程 (1.4) 的周期解在区域 $u_2\le u\le u_3$ 内振荡. 因此可以得到

$\begin{equation}\label{3.17} \sqrt{ -\frac{k_2}{6} }\left( \xi -\xi _0 \right) =\int_u^{u_3}{\frac{1}{\sqrt{\left( u-u_1 \right) \left( u-u_2 \right) \left( u_3-u \right) \left( u_4-u \right)}}{\rm d}u}. \end{equation}$

(3.17)

类似与方程 (3.4), 可以推导出方程 (1.4) 的周期解 (见图13)

$\begin{equation}\label{3.18} u=u_2-\frac{\left( u_2-u_3 \right) cn^2\left( \theta, m_2 \right)}{1+\frac{\left( u_2-u_3 \right)}{\left( u_4-u_2 \right)}sn^2\left( \theta, m_2 \right)}, \end{equation}$

(3.18)

图13

图13 (a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =-2$ , $d =1$ , $u_2=3$ , $u_3 =3.5$ , $u_4 =4.5$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

其中

$\begin{equation}\label{3.19} \begin{aligned} &\theta =\frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}\left( x-Vt \right), \ m_2=\frac{\left( u_2-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}{\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)},\\ &L=\frac{4K( m_2) }{\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}}. \end{aligned} \end{equation}$

(3.19)

情况 1 $m_2\rightarrow 0$

当 $u_3\rightarrow u_2$ 时, 方程 (3.18) 可以渐近转化为线性谐波 (见图14)

$\begin{equation}\label{3.20} u\cong u_2-\frac{1}{2}\left( u_2-u_3 \right) \cos\Big( \sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_2 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d+\frac{2k_1}{3}u_2-\frac{k_2}{6}( u_1u_4-3u_{2}^{2}) \big) t \Big) \Big). \end{equation}$

(3.20)

图14

图14 (a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =4$ , $k_2 =-2$ , $d =-15$ , $u_1=-3.02$ , $u_2=2$ , $u_4 =3$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

情况 2 $m_2\rightarrow 1$

在 $u_2\rightarrow u_1$ 的情况下, 方程 (3.18) 可以转换为亮孤子 (见图15)

${\small \begin{equation}\label{3.21} u=u_1-\frac{\left( u_1-u_3 \right){\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6}( u_1( u_1+2u_3+2u_4) +u_3u_4) \big) t \Big) \Big)}{1-\frac{u_1-u_3}{u_4-u_1}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6} u_1( u_1+2u_3+2u_4) +u_3u_4) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}}$

(3.21)

图15

图15 (a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =-2$ , $d =-4$ , $u_1=1$ , $u_3 =3.5$ , $u_4 =6.5$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

当 $u_3-u_2\gg u_3-u_4$ 时, 亮孤子可以转变为在 $u=u_1$ 的背景上传播的桌面孤子, 如图16 所示.

图16

图16 (a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =-2$ , $d =20$ , $u_1=1$ , $u_3 =4.99$ , $u_4 =5.01$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.

在 $u_3\rightarrow u_4$ 的情况下, 我们选择适当的积分常数 $\xi _0=0$ 使得 $u=u_2$ , 这将导致方程方程(3.18) 转换为在 $u=u_4$ 的背景上传播的暗孤子 (见图17)

${\small \begin{equation}\label{3.22} u=u_4+\frac{\left( u_2-u_4 \right) {\rm sech}^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_1-u_4 \right) \left( u_2-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6}( u_1( u_1+2u_4) +2u_2u_4+u_4^2) \big) t \Big) \Big)}{1+\frac{u_2-u_4}{u_4-u_1}\tanh^2\Big( \frac{1}{2}\sqrt{-\frac{k_2}{6}\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_4 \right)}\Big( x-\big( d-\frac{k_2}{6}( u_1( u_1+2u_4) +2u_2u_4+u_4^2) \big) t \Big) \Big)}. \end{equation} }$

(3.22)

图17

图17 (a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =-2$ , $d =1$ , $u_1=-2$ , $u_2 =2$ , $u_4 =3.01$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

当 $u_3-u_2\gg u_2-u_1$ , 时, 方程 (3.22) 可以转化为 $u=u_4$ 背景上传播的桌面孤子, 如图18 所示.

图18

图18 (a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =-2$ , $d =1$ , $u_1=0.99$ , $u_2 =1.01$ , $u_4 =2.01$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证.

如果同时满足 $u_3\rightarrow u_4$ 与 $u_2\rightarrow u_1$ , 非线性振子方程 $\mathcal{Z}( u)$ 将具有两个双根, 这意味着方程 (3.3) 可以转换为扭结. 此时 $u=\frac{u_1+u_4}{2}$ 使得积分常数 $\xi _0$ 为零, 以便于后续计算. 因此, 方程 (3.3) 将会产生两种可能的解

$\begin{equation}\label{3.23} \begin{aligned} u&=u_4+\frac{u_1-u_4}{1+\exp\Big( \pm \sqrt{-\frac{k_2}{6}}\left( u_4-u_1 \right) \Big( x+\big(\frac{k_2}{6}( u_1^2+4u_1u_4+u_4^2)-d \big) t \Big) \Big)}\\ &=u_4+\frac{u_1-u_4}{1+\exp\Big( \pm \sqrt{-\frac{k_2}{6}}\left( u_4-u_1 \right) \big( x+( \frac{k_1^2}{6b}+\frac{k_2}{3}u_1u_4-d) t \Big) \Big)}. \end{aligned} \end{equation}$

(3.23)

当取 " $-$ " 或 " $+$ " 时, 我们可以分别得到正向扭结和反向扭结, 如图19 所示. 在本节中广义 Gardner 方程周期解的分类及其极限情况已经被完全分类讨论.

图19

图19 (a) 为方程 (1.4) 的反向扭结解, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =-2$ , $d =1$ , $u_1=1$ , $u_4 =5$ . (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证.

4 广义 Gardner 方程的 Whitham 调制理论

在本节中, 我们引入了可以用作 Whitham 调制方程的黎曼不变量 $r_i=\lambda _i^2,\ i=1, 2, 3$ . 比较方程(2.9) 和 (3.1) 的系数得到

$\begin{equation}\label{4.1} V=2s_1+d=2(\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2})+d=2(r_1+r_2+r_3)+d. \end{equation}$

(4.1)

周期解的常微分方程的表示 (2.9) 式与它的等价 (3.1) 式不同, 为了用谱参数 $r_i=\lambda _i^2$ 来表示方程 (3.1) 右侧多项式的零点, 我们需要比较定义周期解的同一常微分方程的两种形式. 由于方程 (2.9) 取 " $-$ " 和 " $+$ " 时会出现两种不同的形式从而导致 $r_i$ 和 $u_j,\ j=1, 2, 3, 4$ 不是一一对应的关系, 此时我们需要通过正负号的选取来分别讨论 $r_i$ 和 $u_j$ 之间的关系从而进一步分析周期解的演化行为.

当 $k_2<0$ 时, $u_j$ 和 $r_i$ 之间的关系在方程 (2.9) 取 " $-$ " 和 " $+$ " 的情况下通过计算可以得到

" $-$ "

$\begin{equation}\label{4.2} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big). \end{aligned} \end{equation}$

(4.2)

" $+$ ":

$\begin{equation}\label{4.3} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \end{aligned} \end{equation}$

(4.3)

其中

$\begin{equation}\nonumber u_1\le u_2\le u_3\le u_4,\ r_1\le r_2\le r_3, \end{equation}$

并且

$\begin{equation}\label{4.4} -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right) =r_1, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right) =r_2, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_2+u_3 \right) \left( u_1+u_4 \right) =r_3. \end{equation}$

(4.4)

进一步, $r_i$ 与 $u_j$ 之间满足

$\begin{equation} \begin{aligned} r_1=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right), r_2=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right), \nonumber r_3=-\frac{k_2}{24}\left( u_2+u_3 \right) \left( u_1+u_4 \right) \nonumber. \end{aligned} \end{equation}$

当 $k_2>0$ 时, $u_j$ 和 $r_i$ 之间的关系在方程 (2.9) 取 $"-"$ 和 $"+"$ 的情况下通过计算同样可以获得

" $-$ "

$\begin{equation}\label{4.5} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big). \end{aligned} \end{equation}$

(4.5)

" $+$ "

$\begin{equation}\label{4.6} \begin{aligned} &u_1=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_2=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_3=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1+\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \\ &u_4=-\frac{1}{2k_2}\Big( k_1-\big( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3} \big) \Big), \end{aligned} \end{equation}$

(4.6)

其中

$\begin{equation}\label{4.7} -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_4 \right) \left( u_2+u_3 \right) =r_1, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right) =r_2, \ -\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right) =r_3. \end{equation}$

(4.7)

进一步, $r_i$ 与 $u_j$ 之间满足

$\begin{equation} \begin{aligned} r_1=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_4 \right) \left( u_2+u_3 \right), \nonumber r_2=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_3 \right) \left( u_2+u_4 \right), \nonumber r_3=-\frac{k_2}{24}\left( u_1+u_2 \right) \left( u_3+u_4 \right) \nonumber. \end{aligned} \end{equation}$

接下来, 我们可以用黎曼不变量 $r_i$ 来表示雅可比椭圆函数的模和波长, 并发现 $m_1$ 和 $m_2$ 的表达式是相同的

$\begin{equation}\label{4.8} m_1=\frac{\left( u_1-u_2 \right) \left( u_3-u_4 \right)}{\left( u_1-u_3 \right) \left( u_2-u_4 \right)}=m_2=\frac{\left( u_2-u_3 \right) \left( u_1-u_4 \right)}{\left( u_2-u_4 \right) \left( u_1-u_3 \right)}=m=\frac{r_1-r_2}{r_1-r_3},\ L=\frac{2K\left( m \right)}{\sqrt{\left( r_1-r_3 \right)}}. \end{equation}$

(4.8)

方程 (1.4) 很容易被转换为黎曼对角形式

$\begin{equation}\label{4.9} \frac{\partial r_i}{\partial t}+v_i\left( r \right) \frac{\partial r_i}{\partial x}=0,\ i=1, 2, 3. \end{equation}$

(4.9)

我们可以通过波数守恒定律^[42]推导出 Whitham 特征速度 $v_i( r)$ 的表达式

$\begin{equation}\label{4.10} \frac{\partial k}{\partial t}+\frac{\partial \omega}{\partial x}=0, \end{equation}$

(4.10)

其中 $k=\frac{2\pi}{L},\ \omega =kV(r_i)$ 和 $V(r_i)=2(r_1+r_2+r_3)+d$ 分别是波数, 频率和相速度并且进一步得到

$\begin{equation}\label{4.11} v_i=V-\frac{\partial V}{\partial r_i}\frac{L}{\partial L/\partial r_i}. \end{equation}$

(4.11)

因此

$\begin{equation}\label{4.12} \begin{aligned} &v_1=2\left( r_1+r_2+r_3 \right) -4\frac{\left( r_1-r_2 \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right) -K\left( m \right)}+d,\\ &v_2=2\left( r_1+r_2+r_3 \right) -4\frac{\left( r_2-r_1 \right) \left( 1-m \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right) -\left( 1-m \right) K\left( m \right)}+d,\\ &v_3=2\left( r_1+r_2+r_3 \right) -4\frac{\left( r_2-r_3 \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right)}+d, \end{aligned} \end{equation}$

(4.12)

其中 $E(m)$ 是第二类完全椭圆积分. 在极限条件 $m\rightarrow$ 1 ( $r_2\rightarrow r_3$ ) 和 $m\rightarrow$ 0 ( $r_2\rightarrow r_1$ ) 下 Whitham 速度 $v_i$ 可以退化为

$v_1|_{m\rightarrow 1}=d+6r_1,\ v_2|_{m\rightarrow 1}=d+2r_1+4r_3,\ v_3|_{m\rightarrow 1}=d+2r_1+4r_3.$

(4.13)

$v_1|_{m\rightarrow 0}=d+12r_1-6r_3,\ v_2|_{m\rightarrow 0}=d+12r_1-6r_3,\ v_3|_{m\rightarrow 0}=d+6r_3.$

(4.14)

通过上面的分析发现方程 (1.4) 和 KdV 方程的 Whitham 特征速度十分相似^[42], 但调制周期波的动力学特性却有很大的不同. 实际上, 为了研究方程 (1.4) 在不同区域的调制周期解, 需要利用推导出来的 $u_j$ 和 $r_i$ 之间的关系, 相同的调制解 $r_i$ 可以导致方程 (1.4) 产生两种不同的调制解 $u_j$ , 这在与 Hopf 方程 $\psi _t+6\psi \psi _x=0$ 相关的无色散极限

$\begin{equation}\label{4.15} u_t+( k_2u^2+k_1u+d) u_x=0 \end{equation}$

(4.15)

中是很明显的, 这是通过由 $\psi(u) =\frac{1}{6}(k_2u^2+k_1u+d)$ 指定的映射 $u\mapsto \psi$ 实现的. 当 $u<-\frac{k_1}{2k_2}$ 或 $u>-\frac{k_1}{2k_2}$ 时, $\psi(u)$ 处于单调递增或单调递减区域. 广义 Gardner 方程的系统既不是椭圆型也不是双曲型, 这与 KdV 方程的 Whitham 调制系统不同并且调制动力学在不同的单调区域更加丰富. 当 $k_2>0$ 时, 谱特征值 $\lambda _i$ 可以为复数, 方程 (1.4) 的 Whitham 调制系统是椭圆型的从而导致调制不稳定性^[45]. 对于具有实数初值的聚焦 mKdV 方程, 初值问题的零色散极限中产生的调制方程是双曲型的的进而保证了调制系统的稳定性, 并使得色散冲击波的进一步研究成为可能^[47,53]. 由于 Gardner 方程可以转化为聚焦 mKdV 方程^[50], 我们将假设广义 Gardner 调制方程的双曲性来解决所研究的初始不连续问题.

5 $k_2<0$ 时阶跃问题解的分类

对于方程 (1.4), 我们采用以下形式的阶跃初值条件 (见图20)

$\begin{equation}\label{5.1} u\left( x,0 \right) =\left\{ \begin{array}{l} u^-,\ \ x<0,\\ u^+,\ \ x>0.\ \\ \end{array} \right. \end{equation}$

(5.1)

图20

图20 方程 (1.4) 的阶跃初值条件

方程 (1.4) 的初始不连续问题与参数 $u^-$ 和 $u^+$ 在无色散特征速度 $( k_2u^2+k_1u+d)$ 转折点 $-\frac{k_1}{2k_2}$ 的位置有关, 这里我们给出如图21 所示的两个简单的初值问题解的结构示例, 其中左右虚线分别代表后沿和前沿. 接下来介绍方程 (1.4) 的几个基本波结构, 这些解组合成了在不同参数 $u^-$ 和 $u^+$ 下的初始不连续问题 (5.1) 的组合波完整解.

图21

图21 (a) 和 (b) 是通过数值模拟得到的方程 (1.4) 的初始不连续性的演化. (c) 和 (d) 分别是 (a) 和 (b) 的密度图, 参数如下: (a) $k_1 =8$ , $k_2 =2$ , $d =2$ , $u^+ =-7$ , $u^- =-3$ , (b) $k_1 =6$ , $k_2 =-1$ , $d =-6.5$ , $u^+ =4$ , $u^- =5$ .

5.1 $k_2<0$ 情况下的基本波结构

5.1.1 稀疏波

稀疏波是由方程 (1.4) 无色散极限的自相似解渐近描述的

$\begin{equation}\label{5.2} \tau =\frac{x}{t}=k_2u^2+k_1u+d, \end{equation}$

(5.2)

其中两个可能的根分别用来描述正向与反向稀疏波.

正向稀疏波 $\{ u^-\$ RW $\rightarrowtail u^+ \}$ 是向右传播的稀疏波 (见图22), 它连接了满足条件 $u^-<u^+<-\frac{k_1}{2k_2}$ 的两个常态 $u^-$ 和 $u^+$ , 其中 $\frac{\partial u}{\partial x}>0$ , 并由以下方程描述

$\begin{equation}\label{5.3} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-t\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1-\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t\\ u^+,\,\,x>\tau ^+t\\ \end{array} \right.. \end{equation}$

(5.3)

图22

图22 正向与反向稀疏波, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =-1$ , $d =1$ , $-\frac{k_1}{2k_2}=3$ , $u_{1}^{-} =-2$ , $u_{1}^{+} =2$ , $u_{2}^{-} =8$ , $u_{2}^{+} =4$ .

反向稀疏波 $\{ u^-\leftarrowtail$ RW $\ u^+ \}$ 是向左传播的稀疏波 (见图22), 它连接了满足条件 $u^->u^+>-\frac{k_1}{2k_2}$ 的两个常态 $u^-$ 和 $u^+$ , 其中 $\frac{\partial u}{\partial x}<0$ 并由以下方程描述

$\begin{equation}\label{5.4} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-t\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1+\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t\\ u^+,\,\,x>\tau ^+t\\ \end{array}. \right. \end{equation}$

(5.4)

左边界与右边界速度 $\tau^-$ 和 $\tau^+$ 由下式给出

$\begin{equation}\label{5.5} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=\left( k_1+k_2u^- \right) u^-+d,\\ \tau ^+=\left( k_1+k_2u^+ \right) u^++d.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

(5.5)

5.1.2 色散冲击波

在初始不连续性问题中, 周期解可以由 Whitham 调制系统调制, 调制变量取决于自相似解 $\tau =\frac{x}{t}$ 并且初始数据和调制方程都相对于缩放变换 $x\rightarrow Cx,\ t\rightarrow Ct$ 是不变的, 因此我们有

$\begin{equation}\label{5.6} r_1=r^+<r^-=r_3, \end{equation}$

(5.6)

$r_2$ 由隐式

$\begin{equation}\label{5.7} \tau =\frac{x}{t}=v_2\left( r^+,r_2,r^- \right) =2\left( r^++r_2+r^- \right) -4\frac{\left( r_2-r^+ \right) \left( 1-m \right) K\left( m \right)}{E\left( m \right) -\left( 1-m \right) K\left( m \right)}+d \end{equation}$

(5.7)

确定, 其中 $r^+$ 与 $r^-$ 是常数.

当 $k_2<0$ 时色散冲击波可由方程 (3.18) 表示的周期解来描述, 周期解中的参数 $u_j$ 可通过用 $r_i$ 代替来进一步调制, 由于 $u_j$ 与 $r_i$ 之间存在两种不同的对应关系, 因此关系的选择也取决于阶跃初值条件的选取. 对应关系 (4.2) 和 (4.3) 式将分别导致正向 $\{ u^-\,\,$ DSW $\rightarrowtail \ u^+ \}$ 和反向 $\{ u^-\,\leftarrowtail$ DSW $\ u^+ \}$ 色散冲击波的出现. 将方程 (4.2) 和 (5.6) 代入方程 (3.18) 可获得调制周期解 (见图23)

$\begin{align*}\label{5.8} u&={\small \frac{\frac{2( \sqrt{k_1^2+24k_2r_2}-\sqrt{k_1^2+24k_2r^+}) ( \sqrt{k_1^2+24k_2r^+}+\sqrt{k_1^2+24k_2r^-}) cn^2\big( \sqrt{r^-r^+}\big( ( d+2r^++r_2+2r^-) t-x \big), \frac{r^+-r_2}{r^+-r^-} \big)}{( \sqrt{k_1^2+24k_2r_2}-\sqrt{k_1^2+24k_2r^+}) sn^2\big( \sqrt{r^-r^+}\big( ( d+2r^++r_2+2r^-) t-x \big), \frac{r^+-r_2}{r^+-r^-} \big)+\sqrt{k_1^2+24k_2r^+}+\sqrt{k_1^2+24k_2r^-}}}{2k_2} } \\ & +\frac{1}{2k_2}( \sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r^+}-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r^-}-k_1). \end{align*}$

(5.8)

图23

图23 (a) 是方程(3.18)的调制周期解, 也称为色散冲击波解. (b) 是 (a) 在 $t=10$ 时的截面图. (c) 是黎曼不变量 $r_i$ 在色散冲击波调制解中的演化行为, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =-3$ , $d =1$ , $u^- =1$ , $u^+ =\frac{1}{2}( 3-\sqrt{5})$ , $r^+ =\frac{1}{2}$ , $r^- =1$ , 其中虚线分别表示色散冲击波的后沿和前沿.

当 $r_2=r_1=r^+$ , $m=0$ 时, 线性谐波将出现在后沿, 而当 $r_2=r_3=r^-$ , $m=1$ 时, 调制周期解的前沿将会出现孤子. 由方程 (4.13), (4.14), (5.6) 和 (5.7) 可得到色散冲击波的传播速度 $\tau ^{\pm}$ 和边界位置 $x ^{\pm}$ 如下

$\begin{equation}\label{5.9} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-6r^-+12r^+,\\ \tau ^+=d+4r^-+2r^+,\\ \end{array} \right. \ \ \left\{ \begin{array}{l} x^-=\tau ^-t,\\ x^+=\tau ^+t.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

(5.9)

进一步, 我们可以得到黎曼不变量 $r_i$ 的演化行为

$\begin{equation}\label{5.10} r=\left\{ \begin{array}{ll} r^-=r_3={\rm const},\,\,&\tau <\tau ^+\\ r_2,\,\,&\tau ^-<\tau <\tau ^+\\ r^+=r_1={\rm const.}\,\,&\tau >\tau ^-\\ \end{array}. \right. \end{equation}$

(5.10)

5.1.3 扭结

扭结可以确保两个恒定状态 $u^-$ 与 $u^+$ 之间的平稳过渡, 并且满足

$\begin{equation}\nonumber u^-+u^+=-\frac{k_1}{k_2}. \end{equation}$

方程 (3.23) 中取 " $-$ " 号时将会使得 $\frac{\partial u}{\partial x}<0$ 从而得到正向的扭结. 方程 (3.23) 中取 " $+$ " 号时有 $\frac{\partial u}{\partial x}>0$ 进而得到反向的扭结. 正向和反向的扭结可以分别由 $\{ u^-\$ SB $\rightarrowtail u^+ \}$ 与 $\{ u^-\leftarrowtail$ SB $\ u^+ \}$ 表示, 如图24 所示.

图24

图24 $t=0$ 时方程 (1.4) 的正向和反向扭结, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =-2$ , $d =1$ , $u_{1}^{-} =4$ , $u_{1}^{+} =2$ , $u_{2}^{-} =2$ , $u_{2}^{+} =4$ .

扭结的传播速度为

$\begin{equation}\nonumber \tau =d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}-\frac{k_2}{3}u_1u_4, \end{equation}$

这与方程 (1.4) 的无色散极限的第一守恒定律 $u_t+( du+\frac{k_1}{2}u^2+\frac{k_2}{3}u^3) _x=0$ 中的冲击速度保持一致.

5.2 $k_2<0$ 情况下阶跃问题解的分类

在本节中, 我们将通过在 $(u^+,u^-)$ 平面上的参数映射讨论方程 (1.4) 的初值阶跃问题的完整分类情况. $(u^+,u^-)$ 平面可以被划分为 8 个不同的区域, 每个区域的解可以由单个基本波结构构成, 也可以由两个不同的基本波结构的复合解组成. 分隔不同区域的线包括 $u^-=u^+$ , $u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+$ 和 $u^-=-\frac{k_1}{2k_2}$ , 其中 $u^-=u^+$ 用于分隔色散冲击波和稀疏波的区域, $u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+$ 被用来分隔稀疏波和扭结的复合区域与色散冲击波和扭结的复合区域, $u^-=-\frac{k_1}{2k_2}$ 可以分隔色散冲击波与色散冲击波和扭结的复合区域, 如图25 所示. 映射函数 $\psi(u)$ 的具体分类和平面图如表1 和图26 所示. 我们将通过研究解析解并结合数值模拟讨论区域 1 $\sim$ 区域 8 中每个波型的结构.

图25

图25 $k_2<0$ 时阶跃问题解的参数平面图

表1 $k_2<0$ 情况下阶跃问题的解的分类

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图26

图26 $k_2<0$ 情况下 $u^-$ , $u^+$ 和 $u^*$ 在区域 1 $\sim$ 区域 8 的位置分布图

5.2.1 区域 1

在区域 1 中, 由于 $u^-$ 和 $u^+$ 位于方程 (1.4) 无色散特征速度转折点的左侧且位于 $\psi( u)$ 的单调递增区域, 这意味着广义 Gardner 方程与 KdV 方程的无色散极限之间存在一一对应的关系. 此时初始不连续问题可以仅靠单个正向色散冲击波结构来描述. 根据方程 (3.18), (3.20) 和 (3.21), 当 $m\rightarrow 0$ 时周期解的后沿演化为在 $u=u_2=u_3$ 上传播且满足 $u_2=u_3=u^-$ 的线性谐波解, 当 $m\rightarrow 1$ 时周期解的前沿演化为在 $u=u_1=u_2$ 上传播且满足 $u_2=u_1=u^+$ 的亮孤子. 在这里, 我们可以通过方程 (3.18) 和 (4.2) 来分析调制周期解. 因此, 我们有

$\begin{equation}\label{5.11} u_2|_{m=0}=u_3|_{m=0}=\,\,\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}-k_1}{2k_2},\,\,u_2|_{m=1}=u_1|_{m=1}=\,\,\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}-k_1}{2k_2} \end{equation}$

(5.11)

并且

$\begin{equation}\label{5.12} r^-=r_3=\frac{1}{6}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right), \ r^+=r_1=\frac{1}{6}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \end{equation}$

(5.12)

进一步, 根据方程 (5.9) 可以推导出后沿速度 $\tau^-$ 和前沿速度 $\tau^+$

$\begin{equation}\label{5.13} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-6r^-+12r^+=d-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +2u^+\left( k_2u^++k_1 \right), \\ \tau ^+=d+4r^-+2r^+=d+\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \\ \end{array} \right. \end{equation}$

(5.13)

同时可以根据方程 (3.21), (4.2), (5.12) 和 (5.13) 推导出色散冲击波的宽度 $\varDelta$ 和前沿亮孤子的振幅 $a^+$

$\begin{equation}\label{5.14} \begin{aligned} &\varDelta = x ^+-x ^- =\left( \tau ^+-\tau ^- \right) t=\frac{5}{3}\left( u^-u^+ \right) \left( k_1+k_2( u^-+u^+) \right) t,\\ &a^+=\left( u_3-u_1 \right) |_{m=1}=\frac{1}{k_2}\big( \sqrt{( k_1+2k_2u^-) ^2}-\sqrt{( k_1+2k_2u^+) ^2} \big). \end{aligned} \end{equation}$

(5.14)

黎曼不变量的演化行为以及构建的解析解和数值模拟如图27 所示, 其中数值图中在后沿处延伸的小振幅振荡与 KdV 方程中观察到的现象一致^[54,55].

图27

图27 方程 (1.4) 在区域 1 的初始不连续演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$ 与 $x^+=\tau ^+t$ . (a) 为色散冲击波调制解中黎曼不变量 $r_i$ 的演化行为. (b) 为方程 (1.4) 的解析解. (c) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $k_1 =2$ , $k_2 =-1$ , $d =2$ , $u^+ =-2$ , $u^- =-1$ . 图中显示的是 $t = 30$ 时的情况.

5.2.2 区域 2

在区域 2 中, $u^-$ 和 $u^+$ 位于转折点 $u=-\frac{k_1}{2k_2}$ 的两侧, 分别属于 $\psi( u)$ 不同单调性的区域. 此时, 单个色散冲击波结构描述的调制解在给定的初始条件 $u^-$ 和 $u^+$ 之间不能提供连续匹配. 相反, 在 $u^-$ 和中间态 $u^*>u^-$ 之间产生了一个反向的色散冲击波. 由于方程 (1.4) 不会通过方程 (1.5) 的变换而改变形式, 因此这个中间状态是由条件 $\psi (u^*)= \psi( u^+)$ 得到的

$\begin{equation}\nonumber \psi (u^*=-\frac{k_1}{k_2}-u^+) =\frac{1}{6}\big(u^+( k_2u^++k_1)+d\big)=\psi( u^+). \end{equation}$

因此, 在从区域 1 到区域 2 的过渡中波形发生了质的变化, $u^-$ 和 $u^+$ 可以通过以 $u^*$ 作为反向色散冲击波与正向扭结的复合解的匹配点连接起来.

与区域 1 的不同之处在于, 在描述反向色散冲击波时 $u_j$ 和 $r_i$ 之间的关系由方程 (4.3) 给出. 根据方程 (3.18), (3.20) 和 (3.22) 发现调制周期解的后沿与区域 1 相同, 线性谐波在 $u=u_2=u_3=u^-$ 上传播, 前沿则演化为在 $u=u_3=u_4=u^*=-\frac{k_1}{k_2}-u^+$ 上传播的暗孤子. 因此我们可以得到

$\begin{equation}\label{5.15} u_2|_{m=0}=u_3|_{m=0}=\,\,-\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}+k_1}{2k_2},\,\,u_3|_{m=1}=u_4|_{m=1}=\,-\,\frac{\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}+k_1}{2k_2}, \end{equation}$

(5.15)

$\begin{equation}\label{5.16} r^-=\frac{1}{6}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right), \,\,r^+=\frac{1}{6}u^*\left( k_2u^*+k_1 \right) =\frac{1}{6}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \end{equation}$

(5.16)

色散冲击波与扭结的边界速度可以表示为

$\begin{equation}\label{5.17} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-6r^-+12r^+=d-u^-( k_2u^-+k_1) +2u^+( k_2u^++k_1), \\ \tau ^+=d+4r^-+2r^+=d+\frac{2}{3}u^-( k_2u^-+k_1) +\frac{1}{3}u^+( k_2u^++k_1), \\ \tau ^*=d-\frac{k_1^2}{6k_2}-\frac{k_2}{3}u^+u^*=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+). \\ \end{array} \right. \end{equation}$

(5.17)

进一步, 通过对色散冲击波与扭结的边界速度的比较可以得出

$\begin{align*} \varLambda &=\tau ^*-\tau ^+=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+) -d-\frac{2}{3}u^-( k_2u^-+k_1) -\frac{1}{3}u^+( k_2u^++k_1) \nonumber \\ &=-\frac{( k_1+2k_2u^-) ^2}{6k_2}. \end{align*}$

(5.18)

当 $k_2<0$ 时 $\varLambda$ 始终大于 0, 这意味着扭结的速度 $\tau ^*$ 始终大于色散冲击波的前沿速度 $\tau ^+$ , 所以扭结总是在色散冲击波之前传播的. 扭结与色散冲击波之间的速度差由方程 (5.18) 决定, 并且 $x^*=\tau ^* t$ 和 $x^-=\tau ^- t$ 之间的距离随着 $u^-$ 向 $-\frac{k_1}{2k_2}$ 移动而逐渐趋于零. 当 $u^- = -\frac{k_1}{2k_2}$ 时扭结与色散冲击波具有相同的边界速度. 此时初始不连续可通过正向色散冲击波 (区域 1 情况) 或反向色散冲击波与正向扭结的复合解 (区域 2 情况) 来描述. 从而当 $\varLambda$ 的值增大时, 扭结从色散冲击波中分离出来并且色散冲击波的前沿将会出现明显的暗孤子结构.

在这里我们考虑初始值条件 $u^+$ 固定时的初始不连续演化过程, 取 $u^-$ 分别为 $1$ , $\frac{7}{5}$ , $2$ , $\frac{5}{2}$ 以及 $\frac{29}{10}$ , 这样可以清晰地观察到如图28 所示的扭结与色散冲击波的分离过程.

图28

图28 方程 (1.4) 在区域 2 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$ , $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$ . (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =-3$ , $d =15$ , $u^+ =-1$ , $u^* =3$ , (a) $u^- =1$ , (c) $u^- =\frac{7}{5}$ , (e) $u^- =2$ , (g) $u^-=\frac{5}{2}$ , (i) $u^-=\frac{29}{10}$ . 图中显示的是 $t = 10$ 时的情况.

5.2.3 区域 3

在区域 3 中, $u^-$ 和 $u^+$ 仍然位于拐点 $u=-\frac{k_1}{2k_2}$ 的两侧并且同样处于不同的单调区域内. 区域 3 与区域 2 类似不存在单波解, 阶跃初值条件仍然需要中间状态连接. 然而当 $u^*<u^-$ 时, 区域 3 内 $u^-$ 和 $u^*$ 之间初始不连续的演化行为不再适合用反向色散冲击波来描述, 因此需要反向稀疏波与正向扭结的复合解来描述 $u^-$ 与 $u^+$ 的的演化行为, 其中反向稀疏波的公式如下

$\begin{equation}\label{5.19} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-,\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1+\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t,\\[3mm] u^*=-\frac{k_1}{k_2}-u^+.\,\,x>\tau ^+t. \end{array} \right. \end{equation}$

(5.19)

并且稀疏波与扭结的速度为

$\begin{equation}\label{5.20} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=k_1u^-+k_2( u^-) ^2+d,\\ \tau ^+=k_1u^*+k_2( u^*) ^2+d,\\ \tau ^*=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+). \end{array} \right. \end{equation}$

(5.20)

进一步发现

$\begin{equation}\label{5.21} \varLambda =\tau ^*-\tau ^+=d-\frac{k_{1}^{2}}{6k_2}+\frac{k_2}{3}u^+( \frac{k_1}{k_2}+u^+) -d-u^*( k_1+k_2u^*) =-\frac{( k_1+2k_2u^+) ^2}{6k_2}\ge 0. \end{equation}$

(5.21)

因此, 我们发现正向扭结的速度通常比反向稀疏波的速度更快. 当 $\varLambda =0$ 时扭结附着在稀疏波的前沿, 随着 $\varLambda$ 值的逐渐增大稀疏波可以与扭结分离开来, 如图29(a)-(h) 所示.

图29

图29 方程 (1.4) 在区域 3 与区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$ , $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$ . (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =-1$ , $d =10$ , $u^- =5$ , (a) $u^+ =\frac{11}{10}$ , (c) $u^+ =2$ , (e) $u^+=\frac{5}{2}$ , (g) $u^+ =3$ , (i) $u^+ =4$ . 图中显示的是 $t = 90$ 时的情况.

5.2.4 区域 4

区域 4 是区域 3 的特例, $u^-$ 和 $u^+$ 位于 $\psi( u)$ 的同一个单调区域内, 因此 $u^-$ 和 $u^+$ 可以通过单个反向稀疏波连接, 如图29(i)-(j) 所示.

接下来我们对区域 5 $\sim$ 区域 8 进行讨论, 根据方程 (1.5) 可以发现在图25 的参数平面图中区域 5 $\sim$ 区域 8 对应于区域 1 $\sim$ 区域 4 的相反区域, 并且它们是相互关联的. 但由于初始条件 $u^-$ 和 $u^+$ 的变化, 解的极性也随之发生了变化.

5.2.5 区域 5

在区域 5 中, $u^-$ 和 $u^+$ 同位于拐点的右侧且处于 $\psi( u)$ 的单调递减区域内, 这说明 $u^-$ 和 $u^+$ 可以通过如图30(a)-(b) 所示的反向色散冲击波连接起来, 这部分调制解的描述与区域 2 相同, $u_j$ 与 $r_i$ 之间的关系需要满足方程 (4.3) 从而获得振荡结构. 反向色散冲击波前沿暗孤子的振幅为

$\begin{equation}\nonumber a^+=( u_4-u_2) |_{m=1}=\frac{1}{k_2}\big( \sqrt{( k_1+2k_2u^-) ^2}-\sqrt{( k_1+2k_2u^+) ^2} \big). \end{equation}$

图30

图30 方程 (1.4) 在区域 5 $\sim$ 区域 8 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$ , $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$ . (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $k_1 =12$ , $k_2 =-1$ , $d =-30$ , $u^- =9$ , $u^+ =11$ , (c) $k_1 =2$ , $k_2 =-\frac{1}{2}$ , $d =-\frac{3}{2}$ , $u^- =1$ , $u^+ =4$ , (e) $k_1 =3$ , $k_2 =-1$ , $d =-1$ , $u^- =-1$ , $u^+ =3$ , (g) $k_1 =3$ , $k_2 =-1$ , $d =-1$ , $u^- =-1$ , $u^+ =2$ , (i) $k_1 =3$ , $k_2 =-1$ , $d =-1$ , $u^- =-1$ , $u^+ =0$ . 图中分别显示的是 $t = 3, 100, 70, 70, 70$ 时的情况.

5.2.6 区域 6

在区域 6 中, $u^-$ 和 $u^+$ 位于拐点的两侧并通过正向色散冲击波与反向扭结的复合解进行连接, 正向色散冲击波连接 $u^-$ 与中间状态 $u^*$ 并用反向扭结连接 $u^*$ 与 $u^+$ , 其中反向扭结的表达式为

$\begin{equation}\label{5.22} u=u^++\frac{-\frac{k_1}{k_2}-2u^+}{1+\exp\Big( \sqrt{-\frac{k_2}{6}}\Big( \frac{k_1}{k_2}+2u^+ \Big) \Big( x+\big( \frac{k_1^2}{6b}-\frac{k_2}{3}( \frac{k_1}{k_2}+u^+) u^+-d \big) t \Big) \Big)}. \end{equation}$

(5.22)

区域 6 与区域 2 相似之处在于, 随着 $\varLambda$ 的值逐渐增大, 反向扭结会出现如图30(c)-(d) 所示的逐渐与正向色散冲击波分离的情况.

5.2.7 区域 7

在区域 7 中, 随着初始阶跃条件的改变, 初始不连续的演化行为不能通过正向色散冲击波而是利用正向稀疏波和反向扭结的复合解来描述

$\begin{equation}\label{5.23} u=\left\{ \begin{array}{l} u^-,\,\,x<\tau ^-t,\\ -\frac{1}{2k_2}\left( k_1-\sqrt{k_{1}^{2}-4dk_2+4k_2\tau} \right), \,\,\tau ^-t<x<\tau ^+t,\\[3mm] u^* =-\frac{k_1}{k_2}-u^+, \,\,x>\tau ^+t. \end{array} \right. \end{equation}$

(5.23)

与区域 3 类似, 当 $\varLambda =0$ 时, 扭结也会附着在稀疏波的前沿且具有相同的边界速度. 由于区域 7 满足 $-\frac{k_1}{2k_2}<u^+<-\frac{k_1}{2k_2}-u^-$ , 随着 $u^+$ 逐渐远离转折点 $u=-\frac{k_1}{2k_2}$ , 扭结也会和稀疏波逐渐分离开来, 如图30(e)-(h) 所示.

5.2.8 区域 8

区域 8 可以被看作区域 7 的特殊情况, 此时 $u^-$ 和 $u^+$ 处于同一单调递增区域内, 初始不连续性的演变可以通过如图30(i)-(j) 所示的正向稀疏波来描述.

6 $k_2>0$ 时阶跃问题解的分类

在上一节中我们已经介绍了 $k_2<0$ 情况下阶跃问题解的基本波结构, 包括稀疏波, 色散冲击波以及扭结. 为了详细讨论 $k_2>0$ 情况下阶跃问题解的分类还需要先介绍 $k_2>0$ 情况下的稀疏波, 色散冲击波和三角色散冲击波以组成满足阶跃问题的其他类型的复合解.

6.1 $k_2>0$ 情况下的基本波结构

6.1.1 稀疏波

描述正向稀疏波与反向稀疏波的表达式和边缘速度仍然由方程 (5.3), (5.4) 和 (5.5) 表示. 与 $k_2<0$ 情况不同的是本节的正向稀疏波满足 $-\frac{k_1}{2k_2}<u^-<u^+$ , 反向稀疏波满足 $-\frac{k_1}{2k_2}>u^->u^+$ , 如图31 所示

图31

图31 正向和反向稀疏波, 参数如下: $k_1 =6$ , $k_2 =1$ , $d =1$ , $-\frac{k_1}{2k_2}=-3$ , $u_{1}^{-} =-2$ , $u_{1}^{+} =-1$ , $u_{2}^{-} =-4$ , $u_{2}^{+} =-5$ .

6.1.2 三角色散冲击波

在研究 KdV 方程的过程中没有发现过三角色散冲击波的现象, 但在聚焦 mKdV 方程式和复数 mKdV 方程式中已经发现三角色散冲击波的一个边缘的振幅将逐渐消失而在另一个边缘的振幅存在非零有限值^[47,48]. 与上一节中的色散冲击波, 稀疏波和扭结类似, 三角色散冲击波可以作为复合解的一部分来描述初始不连续性的演化, 并且也具有正向 $\{ u^-\,$ TSW $\rightarrowtail\,u^+\}$ 和反向 $\{ u^-\,\leftarrowtail$ TSW $\,u^+ \}$ 三角色散冲击波.

三角色散冲击波的黎曼不变量 $r_1$ 和 $r_2$ 在整个波列处处中相等从而导致 $m$ 始终为 0, 从图32 中可以明显看到三角色散冲击波和色散冲击波复合解中的黎曼不变量 $r_i$ 的演化行为的区别. 因此, 如果仍采用黎曼不变量 $r_i$ 对解进行调制, 则它们不能像色散冲击波中的黎曼不变量一样满足 $\tau =v_2\left( r_1,r_2,r^- \right) |_{r_1\ne r_2}$ 从而为初始条件 $u^-$ 和 $u^+$ 提供必要的匹配. 由于任何黎曼不变量的函数仍然是黎曼不变量, 因此我们也可以采用另一种 Whitham 组合^[47,50]. 根据方程 (4.6) 和 (4.5) 就可以得到正向与反向三角色散冲击波所对应的黎曼不变量

$\begin{align*}\label{6.1} &\left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2}\left( u_2+u_3 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2}\left( u_2+u_4 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}), \\[3mm] R_3=\frac{1}{2}\left( u_3+u_4 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}). \end{array} \right.\end{align*}$

(6.1)

$\begin{align*}\label{6.2} & \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2}\left( u_1+u_2 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2}\left( u_1+u_3 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}), \\[3mm] R_3=\frac{1}{2}\left( u_2+u_4 \right) =\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}), \end{array} \right. \end{align*}$

(6.2)

图32

图32 三角色散冲击波和色散冲击波复合解中的黎曼不变量 $r_i$ 的演化行为

并且分别满足 $R_1\le R_2\le R_3$ 以及 $R_3\le R_2\le R_1$ . 接下来我们分别对正向三角色散冲击波与反向色散冲击波进行讨论.

正向三角色散冲击波

正向三角色散冲击波可以通过非线性三角波解 (3.14) 来描述, 并且根据方程 (3.12), 调制解需要在 $u_3$ 与 $u_4$ 之间振荡. 正向三角色散冲击波的振幅为

$\begin{equation}\label{6.3} a=u_4-u_3=\frac{\sqrt{k_1^2+24k_2r_1}+\sqrt{k_1^2+24k_2r_2}}{k_2}=2\left( R_2-R_1 \right). \end{equation}$

(6.3)

从方程 (3.14) 的分析可以看到振幅从左边缘逐渐增大到右边缘的非零值, 并且当 $a=0$ 时满足 $u=u_3=u_4$ . 因此正向三角色散冲击波必须与 $x=x^-$ 处的 $u=u^-$ 匹配, 由方程 (6.1) 可以得到

$\begin{equation}\label{6.4} R_3=\frac{1}{2}( u_3+u_4) =u_4=u^-,\ r_3=\frac{1}{6}u^-\left( k_1+k_2u^- \right). \end{equation}$

(6.4)

并且根据方程 (4.14)

$\begin{equation}\label{6.5} v_1|_{m\rightarrow 0}=d+12r_2-6r_3=v_2|_{m\rightarrow 0}=d+12r_1-6r_3=\tau =\frac{x}{t}. \end{equation}$

(6.5)

将方程 (6.4) 带入方程 (6.5) 后得到

$\begin{equation}\label{6.6} r=\frac{1}{12}\big( u^-( k_1+k_2u^-) +\tau -d \big). \end{equation}$

(6.6)

由于 $r_1=r_2$ , 根据方程 (6.1) 和 (6.6) 可以推导出 $R_1$ 和 $R_2$ 的表达式为

$\begin{equation}\label{6.7} \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2k_2}\big( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r} \big) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2k_2}\big( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r} \big) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big). \end{array} \right. \end{equation}$

(6.7)

正向三角色散冲击波既可以作为单独的基本波结构出现也可以作为与色散冲击波组合的复合解中的一部分出现, 如果正向三角色散冲击波单独出现并与常数或者光滑的外部解匹配, 那么在 $u_2\rightarrow u_1, u_3\rightarrow u_2$ 的情况下前沿一定出现亮孤子. 因此 $R_1$ , $R_2$ 和 $R_3$ 需要满足

$\begin{equation}\label{6.8} R_1=\frac{1}{2}\left( u_2+u_3 \right) =u_1=u^+,\ R_2=\frac{1}{2}\left( u_2+u_4 \right) =\frac{1}{2}\left( u_3+u_4 \right) =R_3=u^-. \end{equation}$

(6.8)

进一步, 根据方程 (6.8) 发现 $R_1$ 和 $R_2$ 满足条件

$\begin{equation}\label{6.9} u^-+u^+=R_1+R_2=-\frac{k_1}{k_2}, \end{equation}$

(6.9)

这意味着连接 $u^*$ 和 $u^+$ 的三角色散冲击波的作用类似于上一节中的扭结.

对于正向三角色散冲击波, 初值条件 $u^->u^+$ 会使得 $R_3>R_2>R_1$ , 并且满足方程 (6.9) 时将会出现单个正向三角色散冲击波. 三角色散冲击波的后沿与前沿速度可分别通过 $R_1=R_2=-\frac{k_1}{2k_2}$ 与 $R_2=R_3=u^-$ 计算得到

$\begin{equation}\label{6.10} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-\frac{k_1^2}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right), \\[3mm] \tau ^+=d+u^-\left( k_1+k_2u^- \right) =d+k_1\left( -\frac{k_1}{k_2}-u^+ \right) +k_2\left( -\frac{k_1}{k_2}-u^+ \right) ^2=d+u^+\left( k_1+k_2u^+ \right). \end{array} \right. \end{equation}$

(6.10)

图33 是三角色散冲击波的黎曼不变量 $R_i, i=1, 2, 3$ 的演化行为, 这与 5.1.2 节中的色散冲击波的结果类似.

图33

图33 (a) 和 (b) 为正向和反向三角色散冲击波的黎曼不变量 $R_i$ 的演化行为, 参数如下: $k_1=4$ , $k_2 =1$ , $d =9$ , $\tau ^-=-4$ , $\tau ^+=14$ , (a) $u^- =1$ , $u^+=-5$ , (b) $u^- =-5$ , $u^+=1$ . (c) 为正向三角色散冲击波的调制周期解, 参数如下: $k_1=4$ , $k_2 =1$ , $d =9$ , $u^- =1$ , $u^+=-5$ , $x^-=-12$ , $x^+=42$ . (d) 为 (c) 在 $t=3$ 时的截面图. 图中虚线分别表示后沿与前沿.

此外, 通过方程 (5.5) 可以发现正向三角色散冲击波的前沿速度与正向稀疏波的后沿速度相等, 这说明正向三角色散冲击波与稀疏波可以在一定条件下连接从而构成复合解, 它们满足以下方程

$\begin{equation}\label{6.11} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right), \\ \tau ^*=d+u^-\left( k_1+k_2u^- \right),\\ \tau ^+=d+u^+\left( k_1+k_2u^+ \right).\\ \end{array} \right. \end{equation}$

(6.11)

当 $R_2=R_3$ 时, 正向三角色散冲击波前沿亮孤子的振幅可由方程 (6.3) 得到

$\begin{equation}\label{6.12} a=2\left( R_2-R_1 \right) =2\left( R_3-R_1 \right) =2\left( u^-u^+ \right) =4u^-+2\frac{k_1}{k_2}. \end{equation}$

(6.12)

由于三角色散冲击波可以作为复合解的一部分, 并且此时亮孤子不会出现在复合解的前沿, 所以三角色散冲击波与色散冲击波可以在色散冲击波的后沿处进行匹配, 因此可以得到

$\begin{equation}\label{6.13} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=d-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right), \\[2mm] \tau ^*=d-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +2u^+\left( k_2u^++k_1 \right), \\[2mm] \tau ^+=d+\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right). \end{array} \right. \end{equation}$

(6.13)

并且色散冲击波后沿的振幅为

$\begin{align*} a^*&=2\left( R_2-R_1 \right) |_{\tau =\tau ^*}=\frac{\sqrt{k_1^2+4k_2u^+\left( k_1+k_2u^+ \right)}-k_1}{2k_2}+\frac{k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+4k_2u^+\left( k_1+k_2u^+ \right)}}{2k_2} \nonumber \\ &=\frac{1}{k_2}|k_1+2k_2u^+|. \end{align*}$

(6.14)

反向三角色散冲击波

反向三角色散冲击波可以通过方程 (3.8) 来描述, 且调制解必须在 $u_1$ 与 $u_2$ 之间振荡. 同样, 反向三角色散冲击波的振幅为

$\begin{equation}\label{6.15} a=u_2-u_1=\frac{\sqrt{k_1^2+24k_2r_1}+\sqrt{k_1^2+24k_2r_2}}{k_2}=2\left( R_1-R_2 \right). \end{equation}$

(6.15)

与正向三角色散冲击波类似, 通过方程 (6.2) 和 (6.6) 可以推导出

$\begin{equation}\label{6.16} \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r}) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big), \\[3mm] R_2=\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r}) =\frac{1}{2k_2}\big( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+2k_2( u^-( k_1+k_2u^-) -d+\tau) } \big),\\ R_3=u^-. \end{array} \right. \end{equation}$

(6.16)

黎曼不变量 $R_i$ 的演化行为如图33(b) 所示. 此外, 反向三角色散冲击波也满足 $u^-+u^+=-\frac{k_1}{k_2}$ , 并且当反向三角色散冲击波单独实现时, 前沿会出现振幅为 $a=4u^-+2\frac{k_1}{k_2}$ 的暗孤子. 反向三角色散冲击波的边界速度同样由方程 (6.10), (6.11) 和 (6.13) 分别给出.

6.1.3 色散冲击波

当 $k_2>0$ 时色散冲击波由方程 (3.4) 来描述. 在接下来的讨论中, 我们将统一使用黎曼不变量 $R_i$ 来调制周期解来观察它们的演化行为, 其中正向和反向色散冲击波对应的 $R_i$ 和 $r_i$ 之间的关系由方程 (6.1) 和 (6.2) 得出, 如图34 所示.

图34

图34 正向和反向色散冲击波黎曼不变量 $R_i$ 的演化行为, 参数如下: $k_1 =8$ , $k_2 =2$ , $d =2$ , $-\frac{k_1}{2k_2}=-2$ , $u_{1}^{-} =3$ , $u_{1}^{+} =-1$ , $u_{2}^{-} =-7$ , $u_{2}^{+} =-3$ . 图中显示的是 $t = 5$ 时的情况.

6.2 $k_2>0$ 情况下阶跃问题解的分类

在上一节中我们已经研究了 $k_2<0$ 时阶跃问题解的完全分类, 我们将进一步讨论 $k_2>0$ 时方程 (1.4) 的阶跃初值问题.

与 5.2 节类似, 我们仍然将 $(u^+,u^-)$ 平面分为 8 个不同的区域并分别进行详细的讨论. 与上一节不同的是 $k_2>0$ 情况下方程 (1.4) 不可以通过扭结连接中间状态 $u^*$ 与 $u^+$ , 因此本节将用三角色散冲击波取代扭结. 在 $k_2>0$ 的参数平面图中分隔不同区域的线同样为 $u^-=u^+$ , $u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+$ 和 $u^-=-\frac{k_1}{2k_2}$ , 其中 $u^-=u^+$ 可以分隔稀疏波与色散冲击波的区域, $u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+$ 用来分隔色散冲击波和三角色散冲击波的复合区域与稀疏波和三角色散冲击波的复合区域, 而 $u^-=-\frac{k_1}{2k_2}$ 分隔色散冲击波与色散冲击波和三角色散冲击波的复合区域, 如图35 所示. 映射函数 $\psi(u)$ 的具体分类和平面图如表2 和图36 所示.

图35

图35 $k_2>0$ 时阶跃问题解的参数平面图

表2 $k_2>0$ 情况下阶跃问题的解的分类

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图36

图36 $k_2>0$ 情况下 $u^-$ , $u^+$ 和 $u^*$ 在区域 1 $\sim$ 区域 8 的位置分布图.

6.2.1 区域 1

在区域 1 中, $u^-$ 和 $u^+$ 位于转折点 $u=-\frac{k_1}{2k_2}$ 的左侧并在 $\psi( u) =\frac{1}{6}( k_2u^2+k_1u+d)$ 的单调递减区域内. 因此, 初始不连续问题可以通过图38(a)-(b) 中的反向稀疏波来解决, 其中边界速度可以由下面的方程给出

$\begin{equation}\label{6.17} \left\{ \begin{array}{l} \tau^-=k_1u^-+k_2( u^-) ^2+d,\\ \tau^+=k_1u^++k_2( u^+) ^2+d.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

(6.17)

图37

图37 区域 2 $\sim$ 区域 4 黎曼不变量 $R_i$ 的解析解, 参数如下: (a) $k_1 =12$ , $k_2 =4$ , $d =4$ , $u^- =1$ , $u^+ =-6$ , (b) $k_1 =6$ , $k_2 =3$ , $d =8$ , $u^- =1$ , $u^+ =-2$ , (c) $k_1 =8$ , $k_2 =2$ , $d =2$ , $u^- =3$ , $u^+ =-1$ . 图中分别显示的是 $t = 1, 5, \frac{1}{2}$ 时的情况.

图38

图38 方程 (1.4) 在区域 1 $\sim$ 区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t, x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$ . (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $k_1 =8$ , $k_2 =4$ , $d =-5$ , $u^- =-2$ , $u^+ =-5$ , (c) $k_1 =12$ , $k_2 =4$ , $d =4$ , $u^- =1$ , $u^+ =-6$ , (e) $k_1 =6$ , $k_2 =3$ , $d =8$ , $u^- =1$ , $u^+ =-2$ , (g) $k_1 =8$ , $k_2 =2$ , $d =2$ , $u^- =3$ , $u^+ =-1$ . 图中分别显示的是 $t = 10, 1, 5, \frac{1}{2}$ 时的情况.

6.2.2 区域 2

在区域 2 中, $u^-$ 和 $u^+$ 位于转折点 $u=-\frac{k_1}{2k_2}$ 的两侧, 它们分别属于 $\psi( u)$ 的不同单调性区域, 此时反向稀疏波不能解决初始阶跃条件的连续性问题, 但可以使 $u^*$ 满足 $u^*=-\frac{k_1}{2k_2}-u^-$ 以通过正向三角色散冲击波与反向稀疏波的复合解来解决, 如图38(c)-(d) 所示.

正向三角色散冲击波的黎曼不变量 $R_i$ 满足方程 (6.1), 其解析解如图37(a) 所示. 区域 2 的边界速度为

$\begin{equation}\label{6.18} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right) +d,\\ \tau ^*=u^*\left( k_1+k_2u^* \right) +d=u^-\left( k_1+k_2u^- \right) +d,\\ \tau ^+=u^+\left( k_1+k_2u^+ \right) +d.\\ \end{array} \right. \end{equation}$

(6.18)

当 $u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+$ 时, 我们可以发现

$\begin{equation}\nonumber \tau ^*=u^*\left( k_1+k_2u^* \right) +d=u^-\left( k_1+k_2u^- \right) +d=u^+\left( k_1+k_2u^+ \right) +d=\tau ^+, \end{equation}$

此时反向稀疏波消失, 区域 2 仅出现单一的正向三角色散冲击波.

6.2.3 区域 3

在区域 3 中, 我们可以获得由在 $u ^*$ 点连接的正向三角色散冲击波和色散冲击波组成的复合色散冲击波解, 如图38(e)-(f) 所示. 整个调制解可以方便地用黎曼不变量 $R_i$ 来描述, 黎曼不变量 $R_1$ 和 $R_3$ 在 $\tau ^*$ 和 $\tau ^+$ 之间的区域保持不变, 其解析解如图37(b) 所示. 区域 3 的边界速度为

$\begin{equation}\label{6.19} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=-\frac{k_{1}^{2}}{2k_2}-u^-\left( k_1+k_2u^- \right)+d, \\[2mm] \tau ^*=2u^+\left( k_2u^++k_1 \right)-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +d, \\[2mm] \tau ^+=\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right)+d. \end{array} \right. \end{equation}$

(6.19)

只有在 Whitham 调制方程的框架下, 才能自然地定义复合解中三角色散冲击波和色散冲击波部分之间的边界 $x^*=\tau ^* t$ , 它可以将调制解具有不同性质的两个区域分开. 并且由于调制方程的线性群速度的特性, 色散冲击波后沿附近的解析解和数值解在图38(e)-(f) 中有显著差异.

6.2.4 区域 4

在区域 4 中, $u^-$ 和 $u^+$ 处于 $\psi( u)$ 的同一单调递增区域, 因此可以通过单个正向色散冲击波连接, 其中黎曼不变量为

$\begin{equation}\nonumber \left\{ \begin{array}{l} R_1=\frac{1}{2k_2}( -k_1-\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_1}) =u^+, \\[3mm] R_2=\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_2}), \\[3mm] R_3=\frac{1}{2k_2}( -k_1+\sqrt{k_{1}^{2}+24k_2r_3}) =u^-. \end{array} \right. \end{equation}$

黎曼不变量的解析解以及方程 (1.4) 的解析解和数值模拟如图37(c) 和 38(g)-(h) 所示. 区域 4 的边界速度由以下方程给出

$\begin{equation}\label{6.20} \left\{ \begin{array}{l} \tau ^-=-u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +2u^+\left( k_2u^++k_1 \right)+d, \\ \tau ^+=\frac{2}{3}u^-\left( k_2u^-+k_1 \right) +\frac{1}{3}u^+\left( k_2u^++k_1 \right)+d. \\ \end{array} \right. \end{equation}$

(6.20)

6.2.5 区域 5

在区域 5 中, $u^-$ 和 $u^+$ 位于转折点的右侧并处于 $\psi( u)$ 的同一单调递增区域, 该区域的初始不连续问题可以用正向稀疏波来解决, 其中边界速度由方程 (6.17) 给出. 相应的解析解和数值模拟如图40(a)-(b) 所示.

图39

图39 区域 6 $\sim$ 区域8黎曼不变量 $R_i$ 的解析解, 参数如下: (a) $k_1 =2$ , $k_2 =1$ , $d =-2$ , $u^- =-2$ , $u^+ =1$ , (b) $k_1 =8$ , $k_2 =4$ , $d =8$ , $u^- =-5$ , $u^+ =1$ , (c) $k_1 =8$ , $k_2 =2$ , $d =2$ , $u^- =-7$ , $u^+ =-3$ . 图中分别显示的是 $t = 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ 时的情况.

图40

图40 方程 (1.4) 在区域 5 $\sim$ 区域8中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$ , $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$ . (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $k_1 =16$ , $k_2 =2$ , $d =-6$ , $u^- =-3$ , $u^+ =2$ , (c) $k_1 =2$ , $k_2 =1$ , $d =-2$ , $u^- =-2$ , $u^+ =1$ , (e) $k_1 =8$ , $k_2 =4$ , $d =8$ , $u^- =-5$ , $u^+ =1$ , (g) $k_1 =8$ , $k_2 =2$ , $d =2$ , $u^- =-7$ , $u^+ =-3$ . 图中分别显示的是 $t = 10, 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ 时的情况.

6.2.6 区域 6

区域 6 与区域 2 相似, 初始阶跃条件 $u^-$ 和 $u^+$ 可以通过反向三角色散冲击波与正向稀疏波的复合解连接起来, 其中边界速度由方程 (6.18) 给出. 反向三角色散冲击波的黎曼不变量 $R_i$ 满足方程 (6.2). 当 $u^-=-\frac{k_1}{k_2}-u^+$ 时, 复合解将转化为单一的反向三角色散冲击波. 黎曼不变量的解析解如图39(a) 所示, 区域 6 对应的解析解和数值模拟如图40(c)-(d) 所示.

6.2.7 区域 7

区域 7 与区域 3 相似, 初始阶跃条件 $u^-$ 和 $u^+$ 可以通过反向色散冲击波与三角色散冲击波的复合解连接起来, 其中边界速度由方程 (6.19) 给出. 黎曼不变量的解析解如图39(b) 所示, 区域 6 对应的解析解和数值模拟如图40(e)-(f) 所示.

6.2.8 区域 8

在区域 8 中, 初始阶跃条件 $u^-$ 和 $u^+$ 均处于 $\psi( u)$ 的单调递减区域, 进而可以通过反向色散冲击波来描述初始不连续问题, 其中边界速度由方程 (6.20) 给出. 黎曼不变量的解析解如图39(c) 所示, 区域 6 对应的解析解和数值模拟如图40(g)-(h) 所示.

7 参数讨论

在前面的章节, 我们分别研究了 $k_2<0$ 和 $k_2>0$ 情况下方程 (1.4) 的初始不连续问题. 广义 Gardner 方程相对于 KdV 方程和 Gardner 方程的区别在于广义 Gardner 方程的参数 $d$ , $k_1$ 和 $k_2$ 的改变对阶跃初值问题的解会产生不同的影响. 我们将分别讨论满足 $k_2<0$ 和 $k_2>0$ 时仅改变一个参数的值而其他两个参数固定的情况对解的影响.

然而, 在讨论 $k_1$ 和 $k_2$ 值的变化时, 我们可以通过选择适当的初值参数以保持初始不连续性问题的解的边界速度一致, 从而可以更直观地观察相同区间内线性和非线性项系数的变化对结果的影响.

$d$ 的值发生变化 根据前面推导的特征速度公式, 在相同初始条件下 $d$ 的值的变化影响解的传播区间. 当 $d$ 的值从零开始逐渐增加会导致整体结构向右移动, $d$ 的值逐渐减小将导致解向左移动. 这里分别给出了其他参数保持不变并且 $d = -100, -50, 0, 50, 100$ 时反向色散冲击波的演化行为, 如图41 所示.

图41

图41 当 $d$ 改变时, $t=1$ 时刻反向色散冲击波的演化行为, 参数如下: $k_1 =12$ , $k_2 =-1$ , $u^- =7$ , $u^+ =11$ .

$k_1$ 的值发生变化 $k_2<0$ : 以区域 1 中的正常色散冲击波为例, 在 $k_2$ 和 $d$ 固定的条件下我们首先选择适当 $k_1$ , $u^-$ 和 $u^+$ 得到相对应的边界速度. 在 $k_1>0$ 的情况下, 确定相同的边界速度和时间后可以发现随着 $k_1$ 逐渐增加 $-\frac{k_1}{2k_2}$ 也随之增大, 初始条件 $u^-$ 和 $u^+$ 的差值 $|u^-u^+|$ 逐渐减小. 然而在 $k_1<0$ 的情况下, $-\frac{k_1}{2k_2}$ 和 $|u^-u^+|$ 都随着 $k_1$ 的逐渐增加而增大, 如图42 所示.

图42

图42 当 $k_1$ 变化时, $t = 20$ 时刻区域 1 内正向色散激波的演化行为. 当 $k_1>0$ 时, 从上到下的参数如下: $u^- =5$ , $u^+ =4$ ; $u^- =7/2$ , $u^+ =\frac{1}{4}( 27-\sqrt{217})$ ; $u^- =8-\sqrt{29}$ , $u^+ =8-4\sqrt{2}$ ; $u^- =10-\sqrt{65}$ , $u^+ =10-2\sqrt{17}$ ; $u^- =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2689})$ , $u^+ =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2737})$ ; $u^- =25-\sqrt{590}$ , $u^+ =25-\sqrt{593}$ 并且 $k_2 =-1$ , $d=1$ . 当 $k_1<0$ 时, $u^- =-1-\sqrt{5}$ , $u^+ =-1-2\sqrt{2}$ ; $u^- =-2-2\sqrt{2}$ , $u^+ =-2-\sqrt{11}$ ; $u^- =-3-\sqrt{13}$ , $u^+ =-7$ ; $u^- =-4-2\sqrt{5}$ , $u^+ =-4-\sqrt{23}$ 并且 $k_2 =-1$ , $d=40$ .

$k_2>0$ : 类似于 $k_2<0$ 的情况, 我们区域 1 中的反向稀疏波为例. 在 $k_1>0$ 的条件下 $-\frac{k_1}{2k_2}$ 和 $|u^-u^+|$ 值随着 $k_1$ 的增加而逐渐减小, 如图43(a) 所示. 当 $k_1$ 逐渐增大且满足 $k_1<0$ 的条件时, $-\frac{k_1}{2k_2}$ 的值逐渐减小但 $|u^-u^+|$ 逐渐增加. 进一步我们可以发现稀疏波同时相交于点 $x=d*t$ , 如图43(b) 所示.

图43

图43 当 $k_1$ 变化时, $t =5$ 时刻区域 1 内反向稀疏波的演化行为. 当 $k_1>0$ 时, (a) 的参数从上到下依次为: $u^- =-3$ , $u^+ =-7$ ; $u^- =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{37})$ , $u^+ =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{133} )$ ; $u^- =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{69})$ , $u^+ =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{165})$ ; $u^- =-6-\sqrt{33}$ , $u^+ =-6-\sqrt{57}$ ; $u^- =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{213})$ , $u^+ =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{309})$ ; $u^- =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1177})$ , $u^+ =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1561})$ 并且 $k_2 =2$ , $d=-5$ . 当 $k_1<0$ 时, (b) 的参数从上到下依次为: $u^- =15-\sqrt{222}$ , $u^+ =15-\sqrt{246}$ ; $u^- =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{213})$ , $u^+ =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{309})$ ; $u^- =5-\sqrt{22}$ , $u^+ =5-\sqrt{46}$ ; $u^- =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{37})$ , $u^+ =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{133})$ ; $u^- =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{73})$ , $u^+ =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{457})$ ; $u^- =1$ , $u^+ =-3$ 并且 $k_2 =2$ , $d=-5$ .

$k_2$ 的值发生变化 $k_2<0$ : 我们分别分析了区域 2 的复合解和区域1的色散冲击波. 当 $k_1$ 和 $d$ 是固定值并且满足 $k_1>0$ 时, 随着 $k_2$ 的增加 $-\frac{k_1}{2k_2}$ 与 $|u^-u^+|$ 的值也同时增加. 如果我们在选择初始值时使得 $u^-=0$ , 那么当改变 $k_2$ 的值时, 其他合适的初始值也满足 $u^-=0$ , 如图44(a) 和 44(b) 所示. 在另一个条件 $k_1<0$ 下, 我们以区域 1 的正向色散冲击波为例, 由于 $-\frac{k_1}{2k_2}$ 的值小于零, 因此不能使其中一个初始值等于零. 随着 $k_2$ 的值逐渐增加, $-\frac{k_1}{2k_2}$ 逐渐减小但 $|u^-u^+|$ 逐渐增加, 如图44(c) 所示.

图44

图44 (a) 为 $k_2$ 变化时 $t =1$ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =4$ , $u^+ =-4$ ; $u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{17})$ , $u^+ =-3$ ; $u^- =\frac{1}{10}( 3+\sqrt{249})$ , $u^+ =-\frac{12}{5}$ ; $u^- =\frac{1}{16}( 3+\sqrt{393})$ , $u^+ =\frac{1}{16}( 3-3\sqrt{129})$ 并且 $k_1 =6$ , $d=15$ . (b) 和 (c) 为 $k_2$ 变化 $t = 10$ 和 $t = 2$ 刻区域 1 内正向色散冲击波的演化行为. (b) 的参数从上到下依次为: $u^- =0$ , $u^+ =-1$ ; $u^- =0$ , $u^+ =\frac{1}{3}( 1-\sqrt{37})$ ; $u^- =0$ , $u^+ =1-\sqrt{13}$ ; $u^- =0$ , $u^+ =3-3\sqrt{5}$ ; $u^- =0$ , $u^+ =6-6\sqrt{13}$ ; $u^- =0$ , $u^+ =10-2\sqrt{55}$ 并且 $k_1 =2$ , $d=1$ . (c) 的参数从上到下依次为: $u^- =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{209})$ , $u^+ =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{937})$ ; $u^- =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{177})$ , $u^+ =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{793})$ ; $u^- =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{145})$ , $u^+ =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{649})$ ; $u^- =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{113})$ , $u^+ =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{505})$ ; $u^- =-1$ , $u^+ =-2$ 并且 $k_1 =-2$ , $d=1$ .

$k_2>0$ : 类似于 $k_2<0$ 的情况, 我们分别分析了区域 6 的复合解和区域4的色散冲击波. 当 $k_1$ 和 $d$ 的值是固定值并且满足 $k_1>0$ 时, 随着 $k_2$ 的增加, $-\frac{k_1}{2k_2}$ 的值增加但 $|u^-u^+|$ 逐渐减小, 并且转折点 $u^*$ 处的特征速度 $\tau^*$ 逐渐增加, 如图45(a) 所示. 我们还发现, 如果选择初始值时满足 $u^+=0$ , 则随着 $k_2$ 的增加, 同一区间内其他初值 $u^+$ 仍然满足 $u^+=0$ , 并且 $u^-$ 逐渐接近 $u^+$ , 如图45(b) 所示. 在 $k_1<0$ 的情况下, 我们以区域 2 的复合解为例, 随着 $k_2$ 的增加, $-\frac{k_1}{2k_2}$ 和 $|u^-u^+|$ 的值逐渐减小且转折点 $u^*$ 处的特征速度 $\tau^*$ 逐渐增大, 如图45(c) 所示.

图45

图45 (a) 为 $k_2$ 变化时 $t =5$ 时刻区域 6 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =-\frac{4}{5}$ , $u^+ =\frac{4}{5}$ ; $u^- =\frac{1}{3}( -1-\sqrt{14})$ , $u^+ =\frac{4}{3}$ ; $u^- =\frac{1}{3} (-2-\sqrt{26})$ , $u^+ =\frac{1}{3}( -1+\sqrt{13})$ ; $u^- =-3$ , $u^+ =2$ 并且 $k_1 =2$ , $d=-2$ . (b) 为 $k_2$ 变化时 $t = 0.1$ 时刻区域 4 内正向色散冲击波的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =-40+16\sqrt{10}$ , $u^+ =0$ ; $u^- =8$ , $u^+ =0$ ; $u^- =-4+4\sqrt{7}$ , $u^+ =0$ ; $u^- =-2+2\sqrt{13}$ , $u^+ =0$ ; $u^- =4$ , $u^+ =0$ 并且 $k_1 =8$ , $d=2$ . (c) 为 $k_2$ 变化时, $t = 2$ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =3+\sqrt{3}$ , $u^+ =3-3\sqrt{3}$ ; $u^- =4$ , $u^+ =-2$ ; $u^- =1+\sqrt{3}$ , $u^+ =1-\sqrt{7}$ ; $u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{7})$ , $u^+ =\frac{1}{2}( 1-\sqrt{13})$ 并且 $k_1 =-12$ , $d=4$ .

8 结论

本文推导了广义 Gardner 方程在不同振荡区间的周期解及其极限情况下的退化解并对阶跃初值问题进行了全面的研究, 同时利用 Whitham 调制理论对广义 Gardner 方程的周期解进行慢调制得到了色散冲击波和三角色散冲击波的解析解. 此外, 我们分别研究了当 $k_2<0$ 与 $k_2>0$ 时阶跃初值 $u^-$ 和 $u^+$ 与无色散特征速度 $( k_2u^2+k_1u+d)$ 的转折点 $-\frac{k_1}{2k_2}$ 相关的初始不连续问题. 进一步对由初值演化的所有可能情况的解析解进行了完整的分类, 包括稀疏波, 色散冲击波, 扭结, 三角色散冲击波及其组合解, 并进一步分析了非线性参数对初值问题的不同影响. 本文还将特殊情况下的周期解和退化解以及 16 种阶跃初值条件所演化的解析解与直接数值模拟结果进行了比较, 结果具有良好的吻合性. 这些结果可以尝试扩展到描述弱非均匀环境中色散冲击波传播的其他系统, 我们将在未来的工作中进一步研究.

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PMID:17348494 [本文引用: 1]

Nonlinear internal waves in the ocean are discussed (a) from the standpoint of soliton theory and (b) from the viewpoint of experimental measurements. First, theoretical models for internal solitary waves in the ocean are briefly described. Various nonlinear analytical solutions are treated, commencing with the well-known Boussinesq and Korteweg-de Vries equations. Then certain generalizations are considered, including effects of cubic nonlinearity, Earth's rotation, cylindrical divergence, dissipation, shear flows, and others. Recent theoretical models for strongly nonlinear internal waves are outlined. Second, examples of experimental evidence for the existence of solitons in the upper ocean are presented; the data include radar and optical images and in situ measurements of wave forms, propagation speeds, and dispersion characteristics. Third, and finally, action of internal solitons on sound wave propagation is discussed. This review paper is intended for researchers from diverse backgrounds, including acousticians, who may not be familiar in detail with soliton theory. Thus, it includes an outline of the basics of soliton theory. At the same time, recent theoretical and observational results are described which can also make this review useful for mainstream oceanographers and theoreticians.

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PMID:12779630 [本文引用: 1]

We study the extended Korteweg-de Vries equation, that is, the usual Korteweg-de Vries equation but with the inclusion of an extra cubic nonlinear term, for the case when the coefficient of the cubic nonlinear term has an opposite polarity to that of the coefficient of the linear dispersive term. As this equation is integrable, the number and type of solitons formed can be determined from an appropriate spectral problem. For initial disturbances of small amplitude, the number and type of solitons generated is similar to the well-known situation for the Korteweg-de Vries equation. However, our interest here is in initial disturbances of larger amplitude, for which there is the possibility of the generation of large-amplitude "table-top" solitons as well as small-amplitude solitons similar to the solitons of the Korteweg-de Vries equation. For this case, and in contrast to some earlier results which assumed that an initial disturbance in the shape of a rectangular box would be typical, we show that the number and type of solitons formed depend crucially on the disturbance shape, and change drastically when the initial disturbance is changed from a rectangular box to a "sech"-profile. (c) 2002 American Institute of Physics.

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