图1

(a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =12$, $d =1$, $u_1=-3$, $u_2 =-2$, $u_4 =2$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图2

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =6$, $d =1$, $u_1=-2.02$, $u_2 =-2$, $u_3 =-1$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图3

(a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =3$, $d =1$, $u_1=-4$, $u_2 =-2$, $u_3 =-1$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图4

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =3$, $d =1$, $u_1=-3.01$, $u_2 =-2.99$, $u_3 =-1$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图5

(a) 为方程 (1.4) 的暗代数孤子解, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =3$, $d =1$, $u_1=-4$, $u_2 =0$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图6

(a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =3$, $d =1$, $u_1=-3$, $u_2 =-2$, $u_4 =-1$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_1\le u\le u_2$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图7

(a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $k_1 =3$, $k_2 =1$, $d =5$, $u_1=-6$, $u_2 =-4$, $u_3 =1$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图8

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =2$, $d =1$, $u_2=-3$, $u_3 =-2$, $u_4 =-1.98$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图9

(a) 为方程 (1.4) 的非线性三角波解, 参数如下: $k_1 =4$, $k_2 =6$, $d =8$, $u_1=-3$, $u_3 =\frac{1}{2}$, $u_4 =\frac{25}{6}$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图10

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =6$, $d =10$, $u_1=-3$, $u_3 =0.99$, $u_4 =1.01$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图11

(a) 为方程 (1.4) 的亮代数孤子解, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =2$, $d =-15$, $u_1=-2$, $u_4 =0$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图12

(a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =3$, $d =-30$, $u_1=-3$, $u_2 =-2$, $u_4 =-1$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_3\le u\le u_4$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图13

(a) 为方程 (1.4) 的周期解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =-2$, $d =1$, $u_2=3$, $u_3 =3.5$, $u_4 =4.5$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图14

(a) 为方程 (1.4) 的线性谐波解, 参数如下: $k_1 =4$, $k_2 =-2$, $d =-15$, $u_1=-3.02$, $u_2=2$, $u_4 =3$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图15

(a) 为方程 (1.4) 的亮孤子解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =-2$, $d =-4$, $u_1=1$, $u_3 =3.5$, $u_4 =6.5$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图16

(a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =-2$, $d =20$, $u_1=1$, $u_3 =4.99$, $u_4 =5.01$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图17

(a) 为方程 (1.4) 的暗孤子解, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =-2$, $d =1$, $u_1=-2$, $u_2 =2$, $u_4 =3.01$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程 $\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图18

(a) 为方程 (1.4) 的桌面孤子解, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =-2$, $d =1$, $u_1=0.99$, $u_2 =1.01$, $u_4 =2.01$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为 (a) 的数值模拟验证."

图19

(a) 为方程 (1.4) 的反向扭结解, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =-2$, $d =1$, $u_1=1$, $u_4 =5$. (b) 为 (a) 在 $t=0$ 时的截面图. (c) 为非线性振荡方程$\mathcal{Z}( u)$ 的构型, 其中 $u$ 在 $u_2\le u\le u_3$ 的区域内振荡. (d) 为 (a) 的数值模拟验证."

图20

方程 (1.4) 的阶跃初值条件"

图21

(a) 和 (b) 是通过数值模拟得到的方程 (1.4) 的初始不连续性的演化. (c) 和 (d) 分别是 (a) 和 (b) 的密度图, 参数如下: (a) $k_1 =8$, $k_2 =2$, $d =2$, $u^+ =-7$, $u^- =-3$, (b) $k_1 =6$, $k_2 =-1$, $d =-6.5$, $u^+ =4$, $u^- =5$."

图22

正向与反向稀疏波, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =-1$, $d =1$, $-\frac{k_1}{2k_2}=3$, $u_{1}^{-} =-2$, $u_{1}^{+} =2$, $u_{2}^{-} =8$, $u_{2}^{+} =4$."

图23

(a) 是方程(3.18)的调制周期解, 也称为色散冲击波解. (b) 是 (a) 在$t=10$ 时的截面图. (c) 是黎曼不变量 $r_i$ 在色散冲击波调制解中的演化行为, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =-3$, $d =1$, $u^- =1$, $u^+ =\frac{1}{2}( 3-\sqrt{5})$, $r^+ =\frac{1}{2}$, $r^- =1$, 其中虚线分别表示色散冲击波的后沿和前沿."

图24

$t=0$ 时方程 (1.4) 的正向和反向扭结, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =-2$, $d =1$, $u_{1}^{-} =4$, $u_{1}^{+} =2$, $u_{2}^{-} =2$, $u_{2}^{+} =4$."

图25

$k_2<0$ 时阶跃问题解的参数平面图"

表1

$k_2<0$ 情况下阶跃问题的解的分类"

图26

$k_2<0$ 情况下 $u^-$, $u^+$ 和 $u^*$ 在区域 1 $\sim$ 区域 8 的位置分布图"

图27

方程 (1.4) 在区域 1 的初始不连续演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$ 与 $x^+=\tau ^+t$. (a) 为色散冲击波调制解中黎曼不变量 $r_i$ 的演化行为. (b) 为方程 (1.4) 的解析解. (c) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $k_1 =2$, $k_2 =-1$, $d =2$, $u^+ =-2$, $u^- =-1$. 图中显示的是 $t = 30$ 时的情况."

图28

方程 (1.4) 在区域 2 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$, $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =-3$, $d =15$, $u^+ =-1$, $u^* =3$, (a) $u^- =1$, (c) $u^- =\frac{7}{5}$, (e) $u^- =2$, (g) $u^-=\frac{5}{2}$, (i) $u^-=\frac{29}{10}$. 图中显示的是 $t = 10$ 时的情况."

图29

方程 (1.4) 在区域 3 与区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$, $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =-1$, $d =10$, $u^- =5$, (a) $u^+ =\frac{11}{10}$, (c) $u^+ =2$, (e) $u^+=\frac{5}{2}$, (g) $u^+ =3$, (i) $u^+ =4$. 图中显示的是 $t = 90$ 时的情况."

图30

方程 (1.4) 在区域 5 $\sim$ 区域 8 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$, $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$. (a), (c), (e), (g) 和 (i) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f), (h) 和 (j) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $k_1 =12$, $k_2 =-1$, $d =-30$, $u^- =9$, $u^+ =11$, (c) $k_1 =2$, $k_2 =-\frac{1}{2}$, $d =-\frac{3}{2}$, $u^- =1$, $u^+ =4$, (e) $k_1 =3$, $k_2 =-1$, $d =-1$, $u^- =-1$, $u^+ =3$, (g) $k_1 =3$, $k_2 =-1$, $d =-1$, $u^- =-1$, $u^+ =2$, (i) $k_1 =3$, $k_2 =-1$, $d =-1$, $u^- =-1$, $u^+ =0$. 图中分别显示的是 $t = 3, 100, 70, 70, 70$ 时的情况."

图31

正向和反向稀疏波, 参数如下: $k_1 =6$, $k_2 =1$, $d =1$, $-\frac{k_1}{2k_2}=-3$, $u_{1}^{-} =-2$, $u_{1}^{+} =-1$, $u_{2}^{-} =-4$, $u_{2}^{+} =-5$."

图32

三角色散冲击波和色散冲击波复合解中的黎曼不变量 $r_i$ 的演化行为"

图33

(a) 和 (b) 为正向和反向三角色散冲击波的黎曼不变量 $R_i$ 的演化行为, 参数如下: $k_1=4$, $k_2 =1$, $d =9$, $\tau ^-=-4$, $\tau ^+=14$, (a) $u^- =1$, $u^+=-5$, (b) $u^- =-5$, $u^+=1$. (c) 为正向三角色散冲击波的调制周期解, 参数如下: $k_1=4$, $k_2 =1$, $d =9$, $u^- =1$, $u^+=-5$, $x^-=-12$, $x^+=42$. (d) 为 (c) 在 $t=3$ 时的截面图. 图中虚线分别表示后沿与前沿."

图34

正向和反向色散冲击波黎曼不变量 $R_i$ 的演化行为, 参数如下: $k_1 =8$, $k_2 =2$, $d =2$, $-\frac{k_1}{2k_2}=-2$, $u_{1}^{-} =3$, $u_{1}^{+} =-1$, $u_{2}^{-} =-7$, $u_{2}^{+} =-3$. 图中显示的是 $t = 5$ 时的情况."

图35

$k_2>0$ 时阶跃问题解的参数平面图"

表2

$k_2>0$ 情况下阶跃问题的解的分类"

图36

$k_2>0$ 情况下 $u^-$, $u^+$ 和 $u^*$ 在区域 1 $\sim$ 区域 8 的位置分布图."

图37

区域 2 $\sim$ 区域 4 黎曼不变量 $R_i$ 的解析解, 参数如下: (a) $k_1 =12$, $k_2 =4$, $d =4$, $u^- =1$, $u^+ =-6$, (b) $k_1 =6$, $k_2 =3$, $d =8$, $u^- =1$, $u^+ =-2$, (c) $k_1 =8$, $k_2 =2$, $d =2$, $u^- =3$, $u^+ =-1$. 图中分别显示的是 $t = 1, 5, \frac{1}{2}$ 时的情况."

图38

方程 (1.4) 在区域 1 $\sim$ 区域 4 中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界$x^-=\tau ^-t, x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$. (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $k_1 =8$, $k_2 =4$, $d =-5$, $u^- =-2$, $u^+ =-5$, (c) $k_1 =12$, $k_2 =4$, $d =4$, $u^- =1$, $u^+ =-6$, (e) $k_1 =6$, $k_2 =3$, $d =8$, $u^- =1$, $u^+ =-2$, (g) $k_1 =8$, $k_2 =2$, $d =2$, $u^- =3$, $u^+ =-1$. 图中分别显示的是 $t = 10, 1, 5, \frac{1}{2}$ 时的情况."

图39

区域 6 $\sim$ 区域8黎曼不变量 $R_i$ 的解析解, 参数如下: (a) $k_1 =2$, $k_2 =1$, $d =-2$, $u^- =-2$, $u^+ =1$, (b) $k_1 =8$, $k_2 =4$, $d =8$, $u^- =-5$, $u^+ =1$, (c) $k_1 =8$, $k_2 =2$, $d =2$, $u^- =-7$, $u^+ =-3$. 图中分别显示的是 $t = 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ 时的情况."

图40

方程 (1.4) 在区域 5 $\sim$ 区域8中初始不连续的演化行为, 其中虚线分别代表边界 $x^-=\tau ^-t$, $x^+=\tau ^+t$ 和 $x^*=\tau ^*t$. (a), (c), (e) 和 (g) 为方程 (1.4) 的解析解. (b), (d), (f) 和 (h) 为方程 (1.4) 的数值模拟结果, 参数如下: (a) $k_1 =16$, $k_2 =2$, $d =-6$, $u^- =-3$, $u^+ =2$, (c) $k_1 =2$, $k_2 =1$, $d =-2$, $u^- =-2$, $u^+ =1$, (e) $k_1 =8$, $k_2 =4$, $d =8$, $u^- =-5$, $u^+ =1$, (g) $k_1 =8$, $k_2 =2$, $d =2$, $u^- =-7$, $u^+ =-3$. 图中分别显示的是 $t = 10, 80, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}$ 时的情况."

图41

当 $d$ 改变时, $t=1$ 时刻反向色散冲击波的演化行为, 参数如下: $k_1 =12$, $k_2 =-1$, $u^- =7$, $u^+ =11$."

图42

当 $k_1$ 变化时, $t = 20$ 时刻区域 1 内正向色散激波的演化行为. 当 $k_1>0$ 时, 从上到下的参数如下: $u^- =5$, $u^+ =4$; $u^- =7/2$, $u^+ =\frac{1}{4}( 27-\sqrt{217})$; $u^- =8-\sqrt{29}$, $u^+ =8-4\sqrt{2}$; $u^- =10-\sqrt{65}$, $u^+ =10-2\sqrt{17}$; $u^- =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2689})$, $u^+ =\frac{1}{4}( 57-\sqrt{2737})$; $u^- =25-\sqrt{590}$, $u^+ =25-\sqrt{593}$ 并且 $k_2 =-1$, $d=1$. 当 $k_1<0$ 时, $u^- =-1-\sqrt{5}$, $u^+ =-1-2\sqrt{2}$; $u^- =-2-2\sqrt{2}$, $u^+ =-2-\sqrt{11}$; $u^- =-3-\sqrt{13}$, $u^+ =-7$; $u^- =-4-2\sqrt{5}$, $u^+ =-4-\sqrt{23}$ 并且 $k_2 =-1$, $d=40$."

图43

当 $k_1$ 变化时, $t =5$ 时刻区域 1 内反向稀疏波的演化行为. 当 $k_1>0$ 时, (a) 的参数从上到下依次为: $u^- =-3$, $u^+ =-7$; $u^- =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{37})$, $u^+ =\frac{1}{2}( -7-\sqrt{133} )$; $u^- =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{69})$, $u^+ =\frac{1}{2}( -9-\sqrt{165})$; $u^- =-6-\sqrt{33}$, $u^+ =-6-\sqrt{57}$; $u^- =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{213})$, $u^+ =\frac{1}{2}( -15-\sqrt{309})$; $u^- =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1177})$, $u^+ =\frac{1}{4}( -35-\sqrt{1561})$ 并且 $k_2 =2$, $d=-5$. 当 $k_1<0$ 时, (b) 的参数从上到下依次为: $u^- =15-\sqrt{222}$, $u^+ =15-\sqrt{246}$; $u^- =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{213})$, $u^+ =\frac{1}{2}( 15-\sqrt{309})$; $u^- =5-\sqrt{22}$, $u^+ =5-\sqrt{46}$; $u^- =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{37})$, $u^+ =\frac{1}{2}( 7-\sqrt{133})$; $u^- =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{73})$, $u^+ =\frac{1}{4}( 11-\sqrt{457})$; $u^- =1$, $u^+ =-3$ 并且 $k_2 =2$, $d=-5$."

图44

(a) 为 $k_2$ 变化时 $t =1$ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =4$, $u^+ =-4$; $u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{17})$, $u^+ =-3$; $u^- =\frac{1}{10}( 3+\sqrt{249})$, $u^+ =-\frac{12}{5}$; $u^- =\frac{1}{16}( 3+\sqrt{393})$, $u^+ =\frac{1}{16}( 3-3\sqrt{129})$ 并且 $k_1 =6$, $d=15$. (b) 和 (c) 为 $k_2$ 变化 $t = 10$ 和 $t = 2$ 刻区域 1 内正向色散冲击波的演化行为. (b) 的参数从上到下依次为: $u^- =0$, $u^+ =-1$; $u^- =0$, $u^+ =\frac{1}{3}( 1-\sqrt{37})$; $u^- =0$, $u^+ =1-\sqrt{13}$; $u^- =0$, $u^+ =3-3\sqrt{5}$; $u^- =0$, $u^+ =6-6\sqrt{13}$; $u^- =0$, $u^+ =10-2\sqrt{55}$ 并且 $k_1 =2$, $d=1$. (c) 的参数从上到下依次为: $u^- =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{209})$, $u^+ =\frac{1}{26}( -1-\sqrt{937})$; $u^- =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{177})$, $u^+ =\frac{1}{22}( -1-\sqrt{793})$; $u^- =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{145})$, $u^+ =\frac{1}{18}( -1-\sqrt{649})$; $u^- =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{113})$, $u^+ =\frac{1}{14}( -1-\sqrt{505})$; $u^- =-1$, $u^+ =-2$ 并且 $k_1 =-2$, $d=1$."

图45

(a) 为 $k_2$ 变化时 $t =5$ 时刻区域 6 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =-\frac{4}{5}$, $u^+ =\frac{4}{5}$; $u^- =\frac{1}{3}( -1-\sqrt{14})$, $u^+ =\frac{4}{3}$; $u^- =\frac{1}{3} (-2-\sqrt{26})$, $u^+ =\frac{1}{3}( -1+\sqrt{13})$; $u^- =-3$, $u^+ =2$ 并且 $k_1 =2$, $d=-2$. (b) 为 $k_2$ 变化时 $t = 0.1$ 时刻区域 4 内正向色散冲击波的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =-40+16\sqrt{10}$, $u^+ =0$; $u^- =8$, $u^+ =0$; $u^- =-4+4\sqrt{7}$, $u^+ =0$; $u^- =-2+2\sqrt{13}$, $u^+ =0$; $u^- =4$, $u^+ =0$ 并且 $k_1 =8$, $d=2$. (c) 为 $k_2$ 变化时, $t = 2$ 时刻区域 2 内复合解的演化行为, 参数从上到下依次为: $u^- =3+\sqrt{3}$, $u^+ =3-3\sqrt{3}$; $u^- =4$, $u^+ =-2$; $u^- =1+\sqrt{3}$, $u^+ =1-\sqrt{7}$; $u^- =\frac{1}{2}( 1+\sqrt{7})$, $u^+ =\frac{1}{2}( 1-\sqrt{13})$ 并且 $k_1 =-12$, $d=4$."