考虑如下的非线性抛物方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} u_t-\nabla\cdot(a(u)\nabla u) = f(X, t), & (X, t)\in\Omega\times(0, T], \\ u = 0, & (X, t)\in\ \partial \Omega\times(0, T], \\ u(X, 0) = u_{0}(X), & X\in\Omega, \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ \Omega\subset {\Bbb R} ^{2} $是一个具有边界$ \partial \Omega $的矩形, $ 0<T<\infty $, $ X = (x, y) $, $ a(u), f(X, t), u_{0}(X) $为已知函数,且$ 0<a_{0}\leq a(u)\leq a_{1} $, $ |a_u(u)|+|a_{uu}(u)|+|a_{uuu}(u)|\leq a_{2} $ ($ a_{0} $, $ a_{1} $, $ a_{2} $为某些正数).

非线性抛物方程的有限元分析已经受到越来越多人的关注,特别是其全离散格式更是吸引了众多学者的兴趣.例如:文献[1-2]分别对非线性抛物方程讨论了改进的向后差分格式和Crank-Nicolson二阶差分格式,且都得到了$ L^2(\Omega) $模的最优误差收敛估计.文献[3]和[4]构造了线性化的有限元方法得到了$ L^2(\Omega) $下$ H^1(\Omega) $模的最优误差收敛结果.文献[5-6]给出了线性化的一阶或者二阶全离散格式,通过引入一个时间半离散方程将误差分裂成时间误差和空间误差,去掉了空间网格参数$ h $和时间步长$ \tau $的某种比值关系,得到了无网格比的超收敛结果.文献[7]讨论了非线性抛物方程的两层网格有限体积元方法,得到了最优误差阶.

众所周知,对有限元方法来说,混合有限元方法是其重要的分支之一,但是混合有限元方法中对有限元对的寻找是非常困难的,需要满足所谓的LBB条件.为了摆脱这种限制, 1998年, Pani在文献[8]中提出了一种称之为$ H^{1} $-Galerkin混合有限元方法,引起了很多专家学者的兴趣.例如,文献[9-10]在$ H^{1} $-Galerkin混合元方法下对伪双曲方程提出了半离散和全离散协调混合有限元格式,文献[11]利用$ H^{1} $-Galerkin混合元方法给出了线性Sobolev方程的超逼近分析,并构造了两个插值后处理算子得到了超收敛性质.文献[12]利用非线性Sobolev方程的特殊构造创新性的得到了其在$ H^{1} $-Galerkin方法下的无网格比超逼近结果.文献[13]研究了$ H^{1} $-Galerkin有限元方法在抛物积分微分方程中的应用,并得到了收敛结果.

事实上,为了提高有限元解的逼近精度,超逼近和超收敛的思想已成为了一个重要的研究途径.若有好的网格和对方程解的正则性的适当假设,有限元解与有限元插值的误差在某种范数的意义下比有限元解与真解的误差要小得多,很多学者都在此方面做出了出色的成果^[14-16].

不同于文献[1-7, 14-16],本文采用双线性元及零阶Raviart-Thomas元,利用$ H^{1} $-Galerkin有限元方法,讨论(1.1)式的超逼近结果.首先,给出半离散有限元格式.事实上,对于非线性发展方程的误差分析来说,其数值解的有界性往往避免不了要进行先验假设^[1-4].本文利用分裂技巧,导数转移技巧等等,绕过数值解$ \|u_{ht}\|_{0, \infty} $的有界性,得到了原始变量$ u $在$ H^{1}(\Omega) $模意义下及流量$ \vec{p} $在$ L^2 (\Omega) $模意义下的超逼近性质.其次,给出线性化的Euler全离散格式,利用数学归纳法,在不提高原始解的正则性的前提下,先给出$ u $在$ H^{1}(\Omega) $模意义下及$ \vec{p} $在$ L^2 (\Omega) $模意义下的超逼近分析.最后,利用内积分裂等方法得到$ \nabla\cdot\vec{p} $在$ L^2 (\Omega) $模意义下的超逼近.数值算例最终证实了理论结果的正确性.

设$ \Omega $是一个矩形区域,其边$ \partial \Omega $分别平行与$ x $轴, $ y $轴, $ \Gamma_{h} $是$ \Omega $满足正则假设的矩形单元剖分族.设$ K_h\in\Gamma_{h} $,且单元$ K_h $的边平行于$ x $轴, $ y $轴,设其中心点为$ (x_{K_h}, y_{K_h}) $,顶点为$ a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, $边为$ l_{i} = \overline{a_{i}a_{i+1}}, \; i = 1, 2, 3, 4({\rm mod}4). $记其边长分别为$ 2h_{x, K_h}, 2h_{y, K_h} $, $ h_{K_h} = \max\{h_{x, K_h}, h_{y, K_h}\}, h = \max \limits_{K_h\in\Gamma_{h}}h_{K_h} $.定义有限元空间

$ V_{h} = \{v_{h}:v_{h}|_{K_h}\in Q_{11}(K), v_{h}|_{\partial\Omega} = 0\}, $

$ \vec{W}_{h} = \{\vec{w}_{h} = (w_{h1}, w_{h2})\in H({\rm div};\Omega);\vec{w}_{h}|_{K_h}\in Q_{10}(K_h)\times Q_{01}(K_h)\}, $

其中, $ H({\rm div};\Omega) = \{\vec{w}\in(L^{2}(\Omega))^{2};\nabla\cdot\vec{w}\in L^{2}(\Omega)\} $,并装备范数$ \|\cdot\|_{H({\rm div};\Omega)}^{2} = \|\cdot\|_{0}^{2}+\|\nabla\cdot\|_{0}^{2} $.设$ I_{h}:u\in H^{2}(\Omega)\rightarrow I_{h}u\in V_{h};\Pi_{h}:\vec{w}\in(H^{1}(\Omega))^{2}\rightarrow \Pi_{h}\vec{w}\in \vec{W}_{h} $为$ V_{h}, \vec{W}_{h} $所诱导的插值算子,满足$ I_{h}|_{K_h} = I_{K_h}, \Pi_{h}|_{K_h} = \Pi_{K_h} $; $ I_{K_h}u(a_{i}) = u(a_{i}), \int_{l_{i}}(\vec{w}-\Pi_{K}\vec{w})\cdot \vec{n}ds = 0, i = 1, 2, 3, 4, $$ \vec{n} $是$ l_{i}(i = 1, 2, 3, 4) $上的法线向量.类似于文献[14]的证明,再由单元的特殊性质,有以下引理.

引理 2.1    令$ u\in H^{3}(\Omega) $, $ \vec{p}\in(H^{2}(\Omega))^{2} $,则对于任意的$ \vec{w}_{h}\in\vec{W}_{h} $,有

(2.1) $ \begin{equation} (\vec{\beta}\cdot\nabla(u-I_{h}u), \nabla\cdot \vec{w}_h) = O(h^2)\|u\|_3\|\nabla\cdot \vec{w}_h\|_0, \end{equation} $

(2.2) $ \begin{equation} (\vec{\gamma}\cdot(\vec{p}-\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot \vec{w}_h) = O(h^2)\|\vec{p}\|_{2}\|\nabla\cdot \vec{w}_h\|_{0}, \end{equation} $

其中$ \vec{\beta} = (\beta_1, \beta_2), \vec{\gamma} = (\gamma_1, \gamma_2) $,并且$ \beta_1, \beta_2, \gamma_1, \gamma_2 $为常数.

证    为证明(2.1)式,类似于文献[14],设$ E(x) = \frac12((x-x_{K_h})^2-h_{x, K_h}^2), F(y) = \frac12((y-y_{K_h})^2-h_{y, K_h}^2) $.由$ \vec{W}_h $的定义可知, $ \nabla\cdot \vec{w}_h $在$ K_h $上为常数,画出$ K_h $如图 1所示.

其中$ l_1, l_3 $分别为$ K_h $的下边和上边, $ l_2, l_4 $分别为$ K_h $右边和左边,则有

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{K_h}(\beta_1\cdot(u-I_{h}u)_x)\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h\\ & = &\beta_1\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h\int_{K_h}(u-I_{h}u)_x\cdot F''(y)\nonumber\\ & = &\beta_1\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h((\int_{l_3}-\int_{l_1})(u-I_{h}u)_x\cdot F' (y)-\int_{K_h}(u-I_{h}u)_{xy}\cdot F' (y))\nonumber\\ & = &-\beta_1\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h\int_{K_h}(u-I_{h}u)_{xy}\cdot F' (y)\nonumber\\ & = &-\beta_1\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h((\int_{l_3}-\int_{l_1})(u-I_{h}u)_{xy}\cdot F(y)-\int_{K_h}(u-I_{h}u)_{xyy}\cdot F(y))\nonumber\\ & = &\beta_1\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h(\int_{K_h}(u-I_{h}u)_{xyy}\cdot F(y)).\nonumber \end{eqnarray*} $

同理可知

$ \int_{K_h}(\beta_2\cdot(u-I_{h}u)_y)\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h = \beta_2\cdot\nabla\cdot \vec{w}_h(\int_{K_h}(u-I_{h}u)_{yxx}\cdot E(x)). $

则(2.1)式显然成立.类似的(2.2)式也成立.

令$ \vec{p} = \nabla u $,则方程(1.1)的$ H^1 $-Galerkin混合变分问题为:求$ \{u, \vec{p}\}:[0, T]\rightarrow H^1_0(\Omega)\times H({\rm div};\Omega) $,使得

(3.1) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} (\nabla u, \nabla v) = (\vec{p}, \nabla v), \ &\forall v\in H^1_0(\Omega), \\ (\vec{p}_{t}, \vec{w})+(\nabla\cdot(a(u)\vec{p}), \nabla\cdot\vec{w}) = -(f, \nabla\cdot\vec{w}), \ & \forall\vec{w}\in H({\rm div};\Omega). \end{array}\right. \end{eqnarray} $

与之相对应的半离散格式为:求$ \{u_h, \vec{p}_h\}:[0, T]\rightarrow V_h\times \vec{W}_h $,使得

(3.2) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} (\nabla u_h, \nabla v_h) = (\vec{p}_h, \nabla v_h), \ &\forall v_h\in V_h, \\ (\vec{p}_{ht}, \vec{w}_h)+(\nabla\cdot(a(u_h)\vec{p}_h), \nabla\cdot\vec{w}_h) = -(f, \nabla\cdot\vec{w}_h), \ & \forall\vec{w}_h\in \vec{W}_h, \\ u_h(X, 0) = I_hu_0(X), \vec{p}_h(X, 0) = \Pi_h\vec{p}_0(X), \ &X\in \Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

给出一个先验假设$ (\star) $:存在$ h_0 $,当$ 0<h\leq h_0 $时有, $ \|\nabla(I_hu-u_h)\|_{0, \infty}<1 $.

在本文中有以下记号

$ u-u_h = u-I_hu+I_hu-u_h\triangleq\eta+\xi, $

$ \vec{p}-\vec{p}_h = \vec{p}-\Pi_h\vec{p}+\Pi_h\vec{p}-\vec{p}_h\triangleq \vec{r}+\vec{\theta}.\nonumber $

定理 3.1    设$ \{u, \vec{p}\} $, $ \{u_{h}, \vec{p}_{h}\} $分别是方程(3.1)和方程(3.2)的解,并且$ u, u_t\in H^{3}(\Omega) $, $ \vec{p}, \vec{p}_{t}\in (H^{2}(\Omega))^2 $,则有

(3.3) $ \begin{eqnarray} \|\xi\|_1+\|\vec{\theta}\|_{H({\rm div};\Omega)} = O(h^2). \end{eqnarray} $

证    对于任意的$ v_{h}\in V_{h}, \vec{w}_{h}\in\vec{W}_{h} $,有以下误差方程

(3.4) $ \begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} {\rm (a)}&(\nabla \xi, \nabla v_h) = -(\nabla \eta, \nabla v_h)+(\vec{r}, \nabla v_h)+(\vec{\theta}, \nabla v_h), \\ {\rm (b)}\quad &(\vec{\theta}_{t}, \vec{w}_h)+(\nabla\cdot(a(u_h)\vec{\theta}), \nabla\cdot\vec{w}_h) = -(\vec{r}_{t}, \vec{w}_h) -(\nabla\cdot(a(u)\vec{r}), \nabla\cdot\vec{w}_h)\\ &-(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{w}_h). \end{array}\right. \end{eqnarray} $

一方面,在(3.4(b))式中令$ \vec{w}_{h} = \vec{\theta} $,则有

$ \begin{eqnarray*} \frac12\frac {\rm d} {{\rm d}t}\|\vec{\theta}\|_0^2+\|a^{\frac12}(u_h) \nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2 & = &-(\vec{r}_{t}, \vec{\theta})-(\nabla\cdot(a(u)\vec{r}), \nabla\cdot\vec{\theta})\\ &&-(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta}) \\&&-( a_u(u_h)\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta}).\nonumber \end{eqnarray*} $

由先验假设$ (\star) $有

$ ( a_u(u_h)\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})\leq C\|\vec{\theta}\|_0^2+\frac{a_0}{8}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2. $

利用文献[14]中的高精度结果得到

$ (\vec{r}_{t}, \vec{\theta})\leq Ch^4\|\vec{p}_t\|_2^2+C\|\vec{\theta}\|_0^2. $

记

$ \bar{\gamma}(X)|_{K_h} = \frac{1}{|K_h|}\int_{K_h}\gamma(X), $

有$ \|\gamma(X)-\bar{\gamma}(X)\|_{0, p, K_h}\leq Ch\|\gamma\|_{_{1, p, K_h}} , (2 \leq p\leq \infty). $则由平均值技巧,引理2.1以及文献[9]的结果$ \|\nabla\cdot\vec{r}\|_0 = O(h)\|\nabla\cdot\vec{p}\|_1 $,得到

(3.5) $ \begin{eqnarray} (\nabla\cdot(a(u)\vec{r}), \nabla\cdot\vec{\theta}) & = &(a_u(u)\nabla u\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})+\sum\limits_{K}((a(u)-\overline{a(u)})\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})_{K} \\ & &+\sum\limits_{K}\overline{a(u)}(\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})_{K} \\ &\leq& Ch^4+\frac{a_0}{16}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2. \end{eqnarray} $

为了不提高$ \vec{p} $的正则性,利用分裂技巧

(3.6) $ \begin{eqnarray} &&(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta})\\ & = &(a_u(u_h)\Pi_h\vec{p}\cdot\nabla \xi, \nabla\cdot\vec{\theta})- (a_u(u)\vec{r}\cdot\nabla\eta, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ & &+ (a_u(u)\vec{p}\cdot\nabla\eta, \nabla\cdot\vec{\theta})+((a_u(u)-a_u(u_h)) \nabla u\cdot\Pi_h\vec{p}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ &&-((a(u)-a(u_h))\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta}) +((a(u)-a(u_h))\nabla\cdot\vec{p}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ &\leq& Ch^4+C\|\nabla \xi\|_0^2+\frac{3a_0}{8}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2, \end{eqnarray} $

其中

$ (a_u(u)\vec{r}\cdot\nabla\eta, \nabla\cdot\vec{\theta}) \leq Ch^2\|\vec{p}\|_{1, 4}\|u\|_{2, 4}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_{0}\leq Ch^4+\frac{a_0}{24}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_{0}^2, $

$ \begin{eqnarray*} ((a(u)-a(u_h))\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta}) &\leq& Ch\|\nabla\cdot\vec{p}\|_1(Ch^2\|u\|_2+ \|\xi\|_0)\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_{0, \infty} \nonumber\\ &\leq& Ch^4+C\|\xi\|_0^2+\frac{a_0}{24}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_{0}^2, \nonumber\\ ((a(u)-a(u_h))\nabla\cdot\vec{p}, \nabla\cdot\vec{\theta}) &\leq& C\|\nabla\cdot\vec{p}\|_{0, 4}(Ch^2\|u\|_{2, 4}+ \|\xi\|_{0, 4})\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_{0} \nonumber\\ &\leq& Ch^4+C\|\nabla \xi\|_0^2+\frac{a_0}{24}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2.\nonumber \end{eqnarray*} $

由以上误差分析可得

(3.7) $ \begin{eqnarray} \frac {\rm d} {{\rm d}t}\|\vec{\theta}\|_0^2+\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2\leq Ch^4+C\|\nabla \xi\|_0^2+C\|\vec{\theta}\|_0^2. \end{eqnarray} $

注意到$ \vec{\theta}(X, 0) = 0 $,对(3.7)式两端同时从$ 0 $到$ t $积分有

(3.8) $ \begin{equation} \|\vec{\theta}\|_0^2\leq Ch^4+C\int_0^t \|\nabla\xi\|_0^2{\rm d}s+C\int_0^t\|\theta\|_0^2{\rm d}s. \end{equation} $

另一方面,在(3.4(a))式中令$ v_{h} = \xi $,再利用文献[9, 14]中高精度的结论，则有

(3.9) $ \begin{eqnarray} \|\nabla \xi\|_0^2& = &-(\nabla \eta, \nabla \xi)+(\vec{r}, \nabla \xi)+(\vec{\theta}, \nabla \xi) \\ &\leq &Ch^4(\|u\|_3^2+\|\vec{p}\|_2^2)+C\|\vec{\theta}\|_0^2+\frac{1}{2}\|\nabla \xi\|_0^2. \end{eqnarray} $

将(3.9)式代入(3.8)式,再由$ \rm Gronwall $引理有

(3.10) $ \begin{equation} \|\vec{\theta}\|_0\leq Ch^2, \end{equation} $

将(3.10)式代入(3.9)式有

(3.11) $ \begin{equation} \|\nabla\xi\|_0\leq Ch^2. \end{equation} $

利用逆估计可知$ \|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0\leq Ch $.为了提升$ \|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0 $的阶,再次利用(3.4(b))式,令$ \vec{w}_{h} = \vec{\theta}_t $,

(3.12) $ \begin{eqnarray} \|\vec{\theta}_{t}\|_0^2+\frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|a^{\frac12}(u_h)\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2 & = &\frac12(a_u(u_h)u_{ht}\nabla\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})-(\vec{r}_{t}, \vec{\theta}_t) \\ &&-(a_u(u_h)\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta}_t)\\ &&-(\nabla\cdot(a(u)\vec{r}), \nabla\cdot\vec{\theta}_t)\\ &&-(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta}_t)\\ &\triangleq&\sum\limits_{i = 1}^{5}A_i. \end{eqnarray} $

由于未知$ \|u_{ht}\|_{0, \infty} $的有界性,利用$ \|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0\leq Ch $,对$ A_1 $拆分有

(3.13) $ \begin{eqnarray} A_1 & = &-\frac12(a_u(u_h)\xi_{t}\nabla\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})-\frac12(a_u(u_h)\eta_{t}\nabla\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta}) +\frac12(a_u(u_h)u_{t}\nabla\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ &\leq& C\|\xi_{t}\|_{0, 4}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_{0, 4}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0 +Ch^2\|u_t\|_2\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_{0, \infty}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0+ C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2 \\ &\leq & \frac{1}{8}\|\nabla\xi_{t}\|_{0}^2 + C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2. \end{eqnarray} $

由文献[14]中高精度的结论,有

$ A_2\leq Ch^4+\frac{1}{8}\|\vec{\theta}_t\|_0^2. $

现在开始逐个估计$ A_i(i = 3\sim5) $.由于(3.4(b))式左端没有关于$ \nabla\cdot\vec{\theta}_t $的项,需要通过导数转移技巧把$ A_i(i = 3\sim5) $中各项中的$ \nabla\cdot\vec{\theta}_t $转成$ \nabla\cdot\vec{\theta} $.首先

$ \begin{eqnarray*} A_3 & = &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a_u(u_h)\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})+(a_{uu}(u_h)u_{ht}\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ &&+(a_u(u_h)\nabla u_{ht}\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta}) +(a_u(u_h)\nabla u_{h}\cdot\vec{\theta}_t, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ &\leq &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a_u(u_h)\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})+C\|\vec{\theta}\|_0^2+C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2+\frac{1}{8}\|\vec{\theta}_t\|_0^2, \nonumber \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} & &(a_{uu}(u_h)u_{ht}\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})+(a_u(u_h)\nabla u_{ht}\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})\nonumber\\ & = &-(a_{uu}(u_h)\xi_{t}\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})-(a_u(u_h)\nabla \xi_{t}\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta}) -(a_{uu}(u_h)\eta_{t}\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})\nonumber\\ && -(a_u(u_h)\nabla \eta_{t}\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})+(a_{uu}(u_h)u_{t}\nabla u_h\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})+(a_u(u_h)\nabla u_{t}\cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})\nonumber\\ & \leq& Ch^4+\frac18\|\nabla \xi_{t}\|_0^2+C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2.\nonumber \end{eqnarray*} $

其次,分别类似于(3.5)和(3.6)式的证明,利用文献[14]的高精度结果和平均值技巧有

$ \begin{eqnarray*} A_4 & = &-\frac d{{\rm d}t}(\nabla\cdot (a(u)\vec{r}), \nabla\cdot\vec{\theta})+(\nabla\cdot (a_u(u)u_t\vec{r}), \nabla\cdot\vec{\theta}) +(\nabla\cdot (a(u)\vec{r}_t), \nabla\cdot\vec{\theta}) \nonumber\\ &\leq& -\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a_u(u)\nabla u\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a(u)\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})+Ch^4+C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2, \nonumber\\ A_5 & = &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta})+(\nabla\cdot (\Pi_h\vec{p}_t(a(u)-a(u_h))), \nabla\cdot\vec{\theta})\nonumber\\ & &+(\nabla\cdot (a_u(u_h)\Pi_h\vec{p}(\xi_t+\eta_{t})), \nabla\cdot\vec{\theta})+(\nabla\cdot (u_t\Pi_h\vec{p}(a_u(u)-a_u(u_h))), \nabla\cdot\vec{\theta})\nonumber\\ & \leq&-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta})+Ch^4+C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2+\frac{1}{8}\|\nabla \xi_t\|_0^2.\nonumber \end{eqnarray*} $

综合$ A_{1} $到$ A_{5} $的估计结果有

(3.14) $ \begin{eqnarray} \|\theta_t\|_0^2+\frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|a^{\frac12}(u_h)\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2 &\leq& Ch^4+C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2+\frac{3}{8}\|\nabla \xi_t\|_0^2 +\frac{1}{4}\|\theta_t\|_0^2\\ & &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a_u(u_h)\nabla u_h \cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a_u(u)\nabla u\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ & &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a(u)\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ & &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta}).\\ \end{eqnarray} $

为了估计$ \xi_t $,对(3.4(a))式关于$ t $求导,并令$ v_{h} = \xi_t $,类似(3.9)式得到

$ \|\nabla \xi_t\|_0^2 = -(\nabla \eta_t, \nabla \xi_t)+(\vec{r}_t, \nabla \xi_t)+(\vec{\theta}_t, \nabla \xi_t)\leq Ch^4(\|u_t\|_3^2+\|\vec{p}_t\|_2^2)\\+\frac12\|\vec{\theta}_t\|_0^2+\frac34\|\nabla \xi_t\|_0^2, $

则有

(3.15) $ \begin{equation} \|\nabla \xi_t\|_0^2\leq Ch^4+2\|\vec{\theta}_t\|_0^2. \end{equation} $

将(3.15)式代入(3.14)式有

(3.16) $ \begin{eqnarray} \frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|a^{\frac12}(u_h)\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2 &\leq& Ch^4+C\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a_u(u_h)\nabla u_h \cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ & &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a_u(u)\nabla u\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ & &-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(a(u)\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})-\frac {\rm d} {{\rm d}t}(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta}). \end{eqnarray} $

对$ (3.16) $式两端同时从$ 0 $到$ t $求积分,且利用$ \rm Gronwall $不等式有

(3.17) $ \begin{eqnarray} \|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0^2 &\leq& Ch^4-(a_u(u_h)\nabla u_h \cdot\vec{\theta}, \nabla\cdot\vec{\theta})-(a_u(u)\nabla u\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})\\ & &-(a(u)\nabla\cdot\vec{r}, \nabla\cdot\vec{\theta})-(\nabla\cdot ((a(u)-a(u_h))\Pi_h\vec{p}), \nabla\cdot\vec{\theta}), \end{eqnarray} $

其中$ \nabla\cdot\vec{\theta}(X, 0) = 0. $类似于之前的证明有

$ \|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0\leq Ch^2.\nonumber $

定理证明完毕.

最后需要说明先验假设$ (\star) $的正确性.首先,记$ \delta(t)\triangleq \nabla(u(t)-u_h(t)) $.有初始逼近和插值理论可知$ \|\delta(0)\|_{0, \infty}<1 $成立.由函数的连续性,在$ t = 0 $的一个小领域$ [0, \varepsilon] $内假设定理3.1成立.

如果假设不再整个区间$ I = [0, T] $上成立,设$ t_0 = \inf\{t:\|\delta(t)\|_{0, \infty}\geq1, t\in I\} $,则有$ \|\delta(t_0)\|_{0, \infty} = 1, t_0>0 $ (事实上,若$ \|\delta(t_0)\|_{0, \infty}>1 $,由函数的连续性,总可以找到一个点$ t_1<t_0 $,使得$ \|\delta(t_1)\|_{0, \infty} = 1 $此时记$ t_1 $为$ t_0 $).此时假设$ (\star) $在$ [0, t_0) $成立.

由定理3.1的证明过程可以看出其结论在$ [0, t_0] $处成立,则由逆不等式,对于充分小的$ h $,有

$ \begin{eqnarray*} \|\delta(t)\|_{0, \infty}&\leq& \|\nabla(u(t)-I_h u(t))\|_{0, \infty}+\|\nabla(I_hu(t)-u_h(t))\|_{0, \infty}\\ &\leq & Ch\|u\|_{2, \infty}+ Ch^{-1}\|\nabla(I_hu(t)-u_h(t))\|_0\leq Ch, \quad t\in[0, t_0]. \end{eqnarray*} $

选择适当的$ h_0 $,当$ h\leq h_0 $,有$ \|\delta(t)\|_{0, \infty}\leq Ch<1, t\in[0, t_0] $.此与$ \|\delta(t_0)\|_{0, \infty} = 1 $矛盾.所以先验假设$ (\star) $是正确的.

注 3.1    对于$ A_3\sim A_5 $,需要利用导数转移将$ \nabla\cdot\theta_t $转变为$ \nabla\cdot\theta $,这样才能保持$ \nabla\cdot\theta $的阶不降低.另一方面,对于$ A_1, A_3 $,不需要$ \|u_{ht}\|_{0, \infty} $的有界性,对其进行拆分,再利用(3.10)–(3.11)式即可.

令$ \{t_n:t_n = n\tau;0\leq n\leq N\} $是$ [0, T] $上的均匀剖分，时间步长是$ \tau = T/N $，设$ \sigma(X, t) $是一个函数,记

$ \sigma^n = \sigma(X, t_n), \ 0\leq n\leq N, \quad \bar{\partial}_t\sigma^n = \frac{\sigma^n-\sigma^{n-1}}{\tau}, \ 1\leq n\leq N. $

利用线性化的有限元方法,寻找$ U_h^n\in V_h, \vec{P}_h^n\in \vec{W}_h $,使得

(4.1) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} (\nabla U_h^n, \nabla v_h) = (\vec{P}_h^n, \nabla v_h), & \forall v_h\in V_h, \\ (\bar{\partial}_t\vec{P}_h^n, \vec{w}_h)+(\nabla\cdot(a(U_h^{n-1})\vec{P}_h^n), \nabla\cdot \vec{w}_h) = -(f(X, t^{n}), \nabla\cdot \vec{w}_h), & \forall \vec{w}_h\in \vec{W}_h. \end{array}\right. \end{equation} $

在本文中有以下记号

$ u^n-U^n_h = u^n-I_hu^n+I_hu^n-U^n_h\triangleq\eta^n+\xi^n, $

$ \vec{p}^{n}-\vec{P}^{n}_h = \vec{p}^{n}-\Pi_h\vec{p}^{n}+\Pi_h\vec{p}^{n}-\vec{P}^{n}_h\triangleq \vec{r}^{n}+\vec{\theta}^{n}, n = 0, 1, 2, \cdots , N. $

定理 4.1    设$ \{u, \vec{p}\} $, $ \{U^n_{h}, \vec{P}^n_{h}\} $分别是(3.1)和(4.1)式的解,若有$ \tau = O(h^2) $且$ u\in H^{3}(\Omega) $, $ u_t\in H^{1}(\Omega) $, $ \vec{p}\in (H^{2}(\Omega))^2 $,则存在某个$ \tau_0 $和$ h_0 $,使得当$ \tau\leq\tau_0 $, $ h\leq h_0 $时,有

(4.2) $ \begin{eqnarray} \|\nabla\xi^m\|_0+\|\vec{\theta}^m\|_{0}\leq C_0(h^2+\tau). \end{eqnarray} $

证    由于$ \|\nabla(I_hu^m)\|_{0, \infty}\leq C $,令$ K\triangleq 1+\sum\limits_{i = 0}^{N}\|\nabla(I_h u^i)\|_{0, \infty} $.当$ m = 1 $时,由(3.1)和(4.1)式,我们利用以下误差方程来估计$ \theta^1 $和$ \xi^1 $.

(4.3) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} {\rm (a)}\quad &(\nabla \xi^1, \nabla v_h) = -(\nabla \eta^1, \nabla v_h)+(\vec{\theta}^1, \nabla v_h)+(\vec{r}^1, \nabla v_h), \\ {\rm (b)}\quad & (\frac{\vec{\theta}^1}{\tau}, \vec{w}_h)+(\nabla\cdot(a(U_h^{0})\vec{\theta}^1), \nabla\cdot \vec{w}_h)\\ & = -(\bar{\partial}_t\vec{r}^1, \vec{w}_h) -(\nabla\cdot(a(u^{0})\vec{r}^1), \nabla\cdot \vec{w}_h)\\ &-(\nabla\cdot((a(u^{0})-a(U_h^{0}))\Pi_h\vec{p}^1), \nabla\cdot \vec{w}_h)+(R_1^1, \vec{w}_h)+(R_2^1, \nabla\cdot \vec{w}_h). \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ R_1^1 = \bar{\partial}_tu^1-u_t^{1}, R_2^1 = -\nabla\cdot((a(u^{0})-a(u^{1}))\vec{p}^1) $.在(4.3(b))式中令$ \vec{w}_h = \vec{\theta}^1 $,则有

$ \begin{eqnarray*} \frac1{\tau}\|\vec{\theta}^1\|_0^2+\|a^{\frac12}(U_h^{0})\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0^2 & = & -(a_u(U_h^{0})\nabla U_h^{0}\cdot\vec{\theta}^1, \nabla\cdot \vec{\theta}^1)-(\bar{\partial}_t\vec{r}^1, \vec{\theta}^1)-(\nabla\cdot(a(u^{0})\vec{r}^1), \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\nonumber\\ && -(\nabla\cdot((a(u^{0})-a(U_h^{0}))\Pi_h\vec{p}^1), \nabla\cdot\vec{\theta}^1) +(R_1^1, \vec{\theta}^1)+(R_2^1, \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\\ &\triangleq&\sum\limits_{i = 1}^6B_i.\nonumber \end{eqnarray*} $

注意到$ \|U^0_h\|_{0, \infty} = \|I_hu^0\|_{0, \infty}\leq K $,类似于半离散的证明,显然有

$ B_1+B_2+B_3+B_5+B_6\leq Ch^4+C\tau^2+C\|\vec{\theta}^1\|_0^2+\frac{a_0}8\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0^2.\nonumber $

为了不提高$ \vec{p}^1 $的正则性,对$ B_4 $进行先拆分,再估计

$ \begin{eqnarray*} B_4& = &-(a_u(U_h^{0})\Pi_h\vec{p}^1\cdot\nabla \eta^{0}, \nabla\cdot\vec{\theta}^1)-(\nabla u^{0}\cdot\Pi_h\vec{p}^1(a_u(u^{0})-a_u(U_h^{0})), \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\nonumber\\ & &-((\nabla\cdot\Pi_h\vec{p}^1)(a(u^{0})-a(U_h^{0})), \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\triangleq\sum\limits_{i = 1}^{3}B_{4i}.\nonumber \end{eqnarray*} $

由于

$ \begin{eqnarray*} B_{41} & = &-(a_u(U_h^{0})(\Pi_h\vec{p}^1-\vec{p}^1)\cdot\nabla \eta^{0}, \nabla\cdot\vec{\theta}^1)-(a_u(U_h^{0})\vec{p}^1\cdot\nabla \eta^{0}, \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\nonumber\\ &\leq &Ch^2\|\vec{p}^1\|_{1, 4}\|u^{0}\|_{2, 4}\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0 +Ch^2\|u^{0}\|_{3}\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0\leq Ch^4+\frac{a_0}8\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0^2, \end{eqnarray*} $

$ \begin{eqnarray*} B_{42} &\leq& C\|\eta^{0}\|_{0, 4}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^1\|_0\leq Ch^4+\frac{a_0}8\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0^2, \nonumber\\ B_{43} & = &-((\nabla\cdot(\Pi_h\vec{p}^1-\vec{p}^1))(a(u^{0})-a(U_h^{0})), \nabla\cdot\vec{\theta}^1)-(\nabla\cdot\vec{p}^1(a(u^{0})-a(U_h^{0})), \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\nonumber\\ &\leq &Ch\|\nabla\cdot\vec{p}^1\|_1\|\eta^{0}\|_{0, 4}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^1\|_{0, 4}+C\|\eta^{0}\|_{0}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^1\|_{0}\leq Ch^4+\frac{a_0}8\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0^2, \nonumber \end{eqnarray*} $

则有

(4.4) $ \begin{equation} \tau\|\frac{\vec{\theta}^1}{\tau}\|_0^2+\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0^2\leq Ch^4+C\tau^2+C\|\vec{\theta}^1\|_0^2. \end{equation} $

在(4.3(a))式中取$ v_h = \xi^{1} $得到$ \|\nabla \xi^{1}\|_0^2\leq Ch^4+C\|\vec{\theta}^{1}\|_0^2. $因此,存在$ \tau_1, h_1, C_1 $,使得当$ \tau\leq \tau_1 $,有

(4.5) $ \begin{equation} \|\nabla \xi^{1}\|_0+\|\vec{\theta}^{1}\|_0+\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_0 \leq C_1(h^2+\tau), \end{equation} $

由条件$ \tau = O(h^2) $,有

(4.6) $ \begin{equation} \|\nabla U_h^{1}\|_{0, \infty}\leq \|\nabla\xi^{1}\|_{0, \infty}+\|\nabla I_hu^{1}\|_{0, \infty} \leq CC_1h+\|\nabla I_hu^{1}\|_{0, \infty}\leq K, \end{equation} $

其中$ h\leq h_1\leq1/CC_1 $.假设结果对于$ m\leq n-1 $成立,则存在$ h_2 $,有

(4.7) $ \begin{eqnarray} \|\nabla{U}^{m}_h\|_{0, \infty} &\leq &\|\nabla({U}^{m}_h-I_h{u}^{m})\|_{0, \infty}+\|\nabla I_h{u}^{m}\|_{0, \infty}\\ & \leq &Ch^{-1}\|\nabla({U}^{m}_h-I_h{u}^{m})\|_{0}+\|\nabla I_h{u}^{m} \|_{0, \infty}\\ &\leq &CC_0h+\|\nabla I_h{u}^{m}\|_{0, \infty}\leq K, \end{eqnarray} $

其中$ h \leq h_2 = 1/CC_0 $.

下面我们证明结果对于$ m = n $也成立.由(3.1)和(4.1)式,我们有

(4.8) $ \begin{equation} \left\{\begin{array}{ll} {\rm (a)}\quad &(\nabla \xi^n, \nabla v_h) = -(\nabla \eta^n, \nabla v_h)+(\vec{\theta}^n, \nabla v_h)+(\vec{r}^n, \nabla v_h), \\ {\rm (b)}\quad &(\bar{\partial}_t\vec{\theta}^n, \vec{w}_h)+(\nabla\cdot(a(U_h^{n-1})\vec{\theta}^n), \nabla\cdot \vec{w}_h)\\ \qquad = &-(\bar{\partial}_t\vec{r}^n, \vec{w}_h) -(\nabla\cdot(a(u^{n-1})\vec{r}^n), \nabla\cdot \vec{w}_h)\\ &-(\nabla\cdot((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))\Pi_h\vec{p}^n), \nabla\cdot \vec{w}_h)+(R_1^n, \vec{w}_h)+(R_2^n, \nabla\cdot \vec{w}_h). \end{array}\right. \end{equation} $

其中$ R_1^n = \bar{\partial}_tu^n-u_t^{n}, R_2^n = -\nabla\cdot((a(u^{n-1})-a(u^{n}))\vec{p}^n) $.在(4.8(b))式中令$ \vec{w}_h = \vec{\theta}^n $,则有

(4.9) $ \begin{eqnarray} & &\frac1{2\tau}(\|\vec{\theta}^n\|_0^2-\|\vec{\theta}^{n-1}\|_0^2)+a_0\|\nabla\cdot\vec{\theta}^n\|_0^2 \\ &\leq& -(a_u(U_h^{n-1})\nabla U_h^{n-1}\cdot\vec{\theta}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)-(\bar{\partial}_t\vec{r}^n, \vec{\theta}^n)\\ & &-(\nabla\cdot(a(u^{n-1})\vec{r}^n), \nabla\cdot\vec{\theta}^n)-(\nabla\cdot((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))\Pi_h\vec{p}^n), \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\\ & &+(R_1^n, \vec{\theta}^n)+(R_2^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\triangleq\sum\limits_{i = 1}^6D_i. \end{eqnarray} $

由(4.7)式及Taylor展式,类似与$ \vec{\theta}^1 $估计方法有,

$ D_1+D_2+D_3+D_{5}+D_6 \leq Ch^4+C\tau^2+C\|\vec{\theta}^n\|_0^2+\frac{a_0}{8}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0^2.\nonumber $

同样为了不提高$ \vec{p}^n $的正则性,先对$ D_4 $进行拆分再估计

$ \begin{eqnarray*} D_4& = &-(a_u(U_h^{n-1})\Pi_h\vec{p}^n\cdot\nabla \xi^{n-1}, \nabla\cdot \vec{\theta}^n) -(a_u(U_h^{n-1})\Pi_h\vec{p}^n\cdot\nabla \eta^{n-1}, \nabla\cdot \vec{\theta}^n) \nonumber\\ & &-(\nabla u^{n-1}\cdot\Pi_h\vec{p}^n(a_u(u^{n-1})-a_u(U_h^{n-1})), \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\nonumber\\ & &-((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))(\nabla\cdot\Pi_h\vec{p}^n), \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\triangleq\sum\limits_{i = 1}^4D_{4i}.\nonumber \end{eqnarray*} $

注意到

$ \begin{eqnarray*} D_{41} & = &-(a_u(U_h^{n-1})(\Pi_h\vec{p}^n-\vec{p}^n)\cdot\nabla \xi^{n-1}, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)-(a_u(U_h^{n-1})\vec{p}^n\cdot\nabla \xi^{n-1}, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\nonumber\\ &\leq& Ch\|\vec{p}^n\|_1\|\nabla \xi^{n-1}\|_{0, 4}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_{0, 4}+C\|\nabla \xi^{n-1}\|_{0}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_{0}\nonumber\\ &\leq &C\|\nabla \xi^{n-1}\|_0^2+\frac{a_0}8\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0^2, \nonumber\\ D_{42} & = &-(a_u(U^{n-1}_h)(\Pi_h\vec{p}^n-\vec{p}^n)\cdot\nabla \eta^{n-1}, \nabla\cdot \vec{\theta}^n) -(a_u(U_h^{n-1})\vec{p}^n\cdot\nabla \eta^{n-1}, \nabla\cdot \vec{\theta}^n) \nonumber\\ &\leq &Ch^2\|\vec{p}^n\|_{1, 4}\|u^{n-1}\|_{2, 4}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_{0}+Ch^2\|u^{n-1}\|_{3}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0\nonumber\\ &\leq& Ch^4+\frac{a_0}{8}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0^2, \nonumber\\ D_{43} &\leq& C\|\Pi_h\vec{p}^n\|_{0, 4}(\|\xi^{n-1}\|_{0, 4}+\|\eta^{n-1}\|_{0, 4})\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0\leq Ch^4+\frac{a_0}{8}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0^2+C\|\nabla \xi^{n-1}\|_0^2, \nonumber\\ D_{44} & = &-((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))\nabla\cdot(\Pi_h\vec{p}^n-\vec{p}^n), \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\\ & &-((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))\nabla\cdot\vec{p}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\nonumber\\ &\leq& Ch\|\nabla\cdot\vec{p}^n\|_1(\|\xi^{n-1}\|_{0, 4}+\|\eta^{n-1}\|_{0, 4})\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_{0, 4}\\ && +C\|\nabla\cdot\vec{p}^n\|_{0, 4}(\|\xi^{n-1}\|_{0, 4}+\|\eta^{n-1}\|_{0, 4})\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_{0}\nonumber\\ &\leq& Ch^4+\frac{a_0}{8}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0^2+C\|\nabla \xi^{n-1}\|_0^2, \nonumber \end{eqnarray*} $

则有

(4.10) $ \begin{eqnarray} D_4\leq Ch^4+C\|\nabla \xi^{n-1}\|_0^2+\frac{a_0}{2}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^n\|_0^2. \end{eqnarray} $

对(4.9)式从$ 2 $到$ n $求和，再由以上估计，则有

(4.11) $ \begin{eqnarray} \|\vec{\theta}^{n}\|_0^2+\tau\sum\limits_{i = 2}^{n}\|\nabla\cdot \overline{{\vec{\theta}\, }}{}^{i}\|_0^2 \leq \|\vec{\theta}^{1}\|_0^2 +Ch^4+C\tau^2+C\tau\sum\limits_{i = 2}^{n}\|\vec{\theta}\, ^{i}\|_0^2+C\tau\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\|\nabla\xi^{i}\|_0^2. \end{eqnarray} $

在(4.8(a))式中令$ v_h = \xi^{n} $,显然有

(4.12) $ \begin{eqnarray} \|\nabla\xi^{n}\|_0^2\leq Ch^4+C\|\vec{\theta}^{n}\|_0^2. \end{eqnarray} $

将(4.12)式代入(4.11)式,利用$ \rm Gronwall $不等式,因此,存在$ \tau_2, h_3, C_2 $,使得当$ \tau\leq \tau_2 $,有

(4.13) $ \begin{eqnarray} \|\nabla \xi^{n}\|_0+\|\vec{\theta}^{n}\|_0 \leq C_2(h^2+\tau), \end{eqnarray} $

由条件$ \tau = O(h^2) $,有

(4.14) $ \begin{eqnarray} \|\nabla U_h^{n}\|_{0, \infty}\leq \|\nabla \xi^{n}\|_{0, \infty}+\|\nabla I_hu^{n}\|_{0, \infty} \leq CC_2h+\|\nabla I_hu^{n}\|_{0, \infty}\leq K, \end{eqnarray} $

其中$ h\leq h_3\leq1/CC_2 $.可以看到$ C_2 $不依赖$ C_0 $的存在而存在,当取$ C_0\geq\sum\limits_{i = 1}^{2}C_i $, $ \tau_0\leq\min\limits_{1\leq i\leq2}\tau_i $和$ h_0\leq\min\limits_{1\leq i\leq3}h_i $则(4.2)式对$ m = n $成立.至此数学归纳法结束,定理证毕.

注 4.1    采用了数学归纳法的方法证明了定理4.1,其中保证$ C_0 $的统一性是至关重要的.另一方面,在对$ B_4 $和$ D_4 $的估计中,利用分裂技巧进行拆分以保持定理4.1对$ p^n $正则性的假设不提高.

定理 4.2    设$ \{u, \vec{p}\} $, $ \{U^n_{h}, \vec{P}^n_{h}\} $分别是方程(3.1)和方程(4.1)的解,若有$ \tau = O(h^2) $,且$ u, u_t\in H^{3}(\Omega) $, $ u_{tt}\in H^{1}(\Omega) $, $ \vec{p}, \vec{p}_t\in (H^{2}(\Omega))^2 $,则存在某个$ \tau_0' $和$ h_0' $,使得当$ \tau\leq\tau_0' $, $ h\leq h_0' $时,有

(4.15) $ \begin{equation} \sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 1}^{m}\|\bar{\partial}_t\nabla \xi^{i}\|_{0}^2 \bigg)^{\frac12}+\|\nabla\cdot\vec{\theta}^m\|_{0}\leq C_0' (h^2+\tau). \end{equation} $

证    采用数学归纳法证明(4.15)式.由$ \|\bar{\partial}_t\nabla I_hu^m\|_{0, \infty}\leq C $,令

$ K' \triangleq 1+\sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 2}^{m}\|\bar{\partial}_t\nabla I_hu^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12}. $

当$ m = 1 $时,直接利用(4.4)式的结果,存在$ \tau_3, C_3 $,使得当$ \tau\leq \tau_3 $,有

(4.16) $ \begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{\tau}}\|\nabla \xi^{1}\|_{0}+\|\nabla\cdot\vec{\theta}^1\|_{0}\leq C_3(h^2+\tau). \end{eqnarray} $

设(4.15)式对于$ m \leq n-1 $成立,由于$ \tau = O(h^2) $,则存在$ h_4 $,有

(4.17) $ \begin{eqnarray} \sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 2}^{m}\|\bar{\partial}_t\vec{U}_h^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12}\ &\leq &\sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 2}^{m}\|\bar{\partial}_t\nabla \xi^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12}+\sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 2}^{m}\|\bar{\partial}_t\nabla I_hu^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12}\\ & \leq &CC_0' h+\sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 2}^{m}\|\bar{\partial}_t\nabla I_hu^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12}\leq K' , \end{eqnarray} $

其中$ h \leq h_4 = 1/CC_0' $.下面证明结果对于$ m = n $也成立,在(4.8(b))式中令$ \vec{w}_h = \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n $,则

(4.18) $ \begin{eqnarray} &&\|\bar{\partial}_t\vec{\theta}^n\|_0^2+\frac{1}{2\tau} (\|a^{\frac{1}{2}}(U_h^{n-1})\nabla\cdot\vec{\theta}^n\|_0^2 -\|a^{\frac{1}{2}}(U_h^{n-2})\nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1}\|_0^2)\\ &\leq&(a_u(U_h^{n-1})\nabla U_h^{n-1}\cdot\vec{\theta}^n, \nabla\cdot \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n) +\frac{1}{2\tau}(\|a^{\frac{1}{2}}(U_h^{n-1})\nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1}\|_0^2 -\|a^{\frac{1}{2}}(U_h^{n-2})\nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1}\|_0^2) \\ && -(\bar{\partial}_t\vec{r}^n, \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n)-(\nabla\cdot(a(u^{n-1})\vec{r}^n), \nabla\cdot \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n) -(\nabla\cdot((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))\Pi_h\vec{p}^n), \nabla\cdot \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n)\\ & &+(R_1^n, \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n) +(R_2^n, \nabla\cdot \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n)\triangleq\sum\limits_{i = 1}^{7}E_i. \end{eqnarray} $

类似于定理4.1,容易看出

$ E_2+E_3+E_6\leq Ch^4+C\tau^2+C\|\bar{\partial}_tU_h^{n-1}\|_{0, \infty}\|\nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1}\|_0^2 +\frac{1}{12}\|\bar{\partial}_t\vec{\theta}^n\|_0^2.\nonumber $

由于不等式左边没有$ \nabla\cdot\bar{\partial}_t\vec{\theta}^{n} $,对$ E_1, E_4, E_5, E_7 $,需要将$ \bar{\partial}_t $从内积的一边转到另一边.

$ E_7 = -(\bar{\partial}_t R_2^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1})+\bar{\partial}_t(R_2^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\leq C\tau^2+C\|\nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}\|_0^2+\bar{\partial}_t(R_2^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n). $

利用定理4.1的结果有

$ \begin{eqnarray*} E_1 & = &-(a_u(U_h^{n-2})\nabla U_h^{n-2}\cdot\bar{\partial}_t\vec{\theta}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1}) -(a_u(U_h^{n-2})\vec{\theta}^n\cdot\bar{\partial}_t\nabla U_h^{n-1}, \nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1})\nonumber\\ && -(\vec{\theta}^n\cdot\nabla U_h^{n-1}\frac{a_u(U_h^{n-1})-a_u(U_h^{n-2})}{\tau}, \nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1}) +\bar{\partial}_t(a_u(U_h^{n-1})\nabla U_h^{n-1}\cdot\vec{\theta}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)\nonumber\\ &\leq & C\|\bar{\partial}_t\vec{\theta}^n\|_0\|\nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}\|_0+C\|\bar{\partial}_t\nabla U_h^{n-1}\|_{0, \infty}\|\vec{\theta}^{n}\|_0\|\nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}\|_0\\ && +\bar{\partial}_t(a_u(U_h^{n-1})\nabla U_h^{n-1}\vec{\theta}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)\nonumber\\ &\leq& C\|\bar{\partial}_t\nabla U_h^{n-1}\|_{0, \infty}\|\vec{\theta}^n\|_0^2 +C\|\bar{\partial}_t\nabla U_h^{n-1}\|_{0, \infty}\|\nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}\|_0^2+C\|\nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}\|_0^2\\ &&+\frac1{12}\|\bar{\partial}_t \vec{\theta}^n\|_0^2 +\bar{\partial}_t(a_u(U_h^{n-1})\nabla U_h^{n-1}\vec{\theta}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n).\nonumber \end{eqnarray*} $

改写$ E_4 $有

$ \begin{eqnarray*} E_4 & = &(a_u(u^{n-2})\nabla u^{n-2}\cdot\bar{\partial}_t\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}) +(a_u(u^{n-2})\bar{\partial}_t\nabla u^{n-1}\cdot\vec{r}^n , \nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}) \nonumber\\ & &+(\frac{a_u(u^{n-1})-a_u(u^{n-2})}{\tau}\nabla u^{n-1}\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1})-(a(u^{n-2})\bar{\partial}_t\nabla\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1})\nonumber\\ && -(\frac{a(u^{n-1})-a(u^{n-2})}{\tau}\nabla\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1})-\bar{\partial}_t(a_u(u^{n-1})\nabla u^{n-1}\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\nonumber\\ &&-\bar{\partial}_t(a(u^{n-1})\nabla\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\nonumber\\ &\leq& Ch^4+C\|\nabla\cdot \vec{\theta}^{n-1}\|_0^2-\bar{\partial}_t(a_u(u^{n-1})\nabla u^{n-1}\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)-\bar{\partial}_t(a(u^{n-1})\nabla\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n).\nonumber \end{eqnarray*} $

对$ E_5 $进行拆分,类似与定理4.1的估计技巧有

(4.19) $ \begin{eqnarray} E_5 &\leq & C\|\bar{\partial}_t\nabla U_h^{n-1}\|_{0, \infty}(h^4+\tau^2)+C\|\bar{\partial}_t\nabla U_h^{n-1}\|_{0, \infty}\|\nabla\cdot\vec{\theta}^{n-1}\|_0^2+\frac1{12}\|\nabla\bar{\partial}_t\xi^{n-1}\|_0^2\\ & & -\bar{\partial}_t((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))\nabla\cdot\Pi_h\vec{p}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)\\ &&-\bar{\partial}_t(a_u(U_h^{n-1})(\nabla u^{n-1}-\nabla U_h^{n-1})\cdot\Pi_h\vec{p}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)\\ &&-\bar{\partial}_t((a_u(u^{n-1})-a_u(U_h^{n-1}))\nabla u^{n-1}\cdot\Pi_h\vec{p}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n), \end{eqnarray} $

其中,由文献[6]知

(4.20) $ \begin{equation} \bigg\|\frac{(a(u^{n-1})-a(u^{n-2}))-(a(U_h^{n-1}-a(U_h^{n-2}))}{\tau}\bigg\|_{0} \leq Ch^4+C\tau^2+C\|\bar{\partial}_t\xi^{n-1}\|_{0}^2. \end{equation} $

综合以上估计,对(4.18)式求和有

(4.21) $ \begin{eqnarray} &&\tau\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\|\bar{\partial}_t\vec{\theta}^n\|_0^2 +\|\nabla\cdot\vec{\theta}^n\|_0^2\\ &\leq & C(h^4+\tau^2)\tau\sum\limits_{i = 2}^{n}\|\bar{\partial}_t\nabla U_h^{i-1}\|_{0, \infty}+ C\tau\sum\limits_{i = 2}^{n}\|\bar{\partial}_t\nabla U_h^{i-1}\|_{0, \infty}\|\nabla\cdot\vec{\theta}\, ^{i}\|_0^2 \\ &&+\frac{1}{6}\tau\sum\limits_{i = 2}^{n}\|\bar{\partial}_t\vec{\theta}^i\|_0^2+ \frac1{12}\tau\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\|\nabla\bar{\partial}_t\xi^{i}\|_0^2+(R_2^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)-(R_2^1, \nabla\cdot \vec{\theta}^1)\\ &&+(a_u(U_h^{n-1})\nabla U_h^{n-1}\cdot\vec{\theta}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)-(a_u(U_h^{0})\nabla U_h^{0}\cdot\vec{\theta}^1, \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\\ && -(a_u(u^{n-1})\nabla u^{n-1}\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)+(a_u(u^{0})\nabla u^{0}\cdot\vec{r}^1, \nabla\cdot \vec{\theta}^1)-(a(u^{n-1})\nabla\cdot\vec{r}^n, \nabla\cdot \vec{\theta}^n)\\ & &+(a(u^{0})\nabla\cdot\vec{r}^1, \nabla\cdot \vec{\theta}^1)-((a(u^{n-1})-a(U_h^{n-1}))\nabla\cdot\Pi_h\vec{p}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)\\ & & +((a(u^{0})-a(U_h^{0}))\nabla\cdot\Pi_h\vec{p}^1, \nabla\cdot\vec{\theta}^1)-(a_u(U_h^{n-1})(\nabla u^{n-1}-\nabla U_h^{n-1})\cdot\Pi_h\vec{p}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)\\ & &+(a_u(U_h^{0})(\nabla u^{0}-\nabla U_h^{0})\cdot\Pi_h\vec{p}^1, \nabla\cdot\vec{\theta}^1)\\ & &-((a_u(u^{n-1})-a_u(U_h^{n-1}))\nabla u^{n-1}\cdot\Pi_h\vec{p}^n, \nabla\cdot\vec{\theta}^n)\\ \ &&+((a_u(u^{0})-a_u(U_h^{0}))\nabla u^{0}\cdot\Pi_h\vec{p}^1, \nabla\cdot\vec{\theta}^1). \end{eqnarray} $

对(4.8(a))式,两层相减除以$ \tau $,再令$ v_h = \bar{\partial}_t\xi^n $有

(4.22) $ \begin{eqnarray} \|\bar{\partial}_t\nabla \xi^n\|_0^2\leq Ch^4+\|\bar{\partial}_t\vec{\theta}^n\|_0^2. \end{eqnarray} $

由归纳假设(4.17),注意到

$ \tau\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\|\bar{\partial}_tU_h^{i}\|_{0, \infty}\leq \tau\bigg(\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\|\bar{\partial}_tU_h^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12} \bigg(\sum\limits_{i = 1}^{n-1}1\bigg)^{\frac12}\leq\sqrt{\tau} \bigg(\sum\limits_{i = 1}^{n-1}\|\bar{\partial}_tU_h^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12}\leq K' . $

利用(4.21)式, (4.22)式和$ \rm Gronwall $不等式,类似前面估计,存在$ \tau_4, h_5, C_4 $,使得当$ \tau\leq \tau_4 $有

$ \bigg(\tau\sum\limits_{i = 1}^{n}\|\bar{\partial}_t\vec{\theta}\, ^{i}\|_0^2\bigg)^{\frac12}+\|\nabla\cdot\vec{\theta}^n\|_0\leq C_4(h^2+\tau).\nonumber $

由条件$ \tau = O(h^2) $,也有

(4.23) $ \begin{equation} \sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 1}^{n}\|\bar{\partial}_t\vec{U}_h^{i}\|_{0, \infty}^2 \bigg)^{\frac12}\leq CC_4h+\sqrt{\tau}\bigg(\sum\limits_{i = 1}^{n}\|\bar{\partial}_t\nabla I_hu^{i}\|_{0, \infty}^2\bigg)^{\frac12}\leq K' , \end{equation} $

其中$ h\leq h_5\leq1/CC_4 $.可以看到$ C_4 $不依赖于$ C_0' $的存在而存在,当取$ C_0' \geq\sum\limits_{i = 3}^{4}C_i $, $ \tau_0' \leq\min\limits_{3\leq i\leq4}\tau_i $和$ h_0' \leq\min\limits_{4\leq i\leq5}h_i $则(4.15)式对$ m = n $成立.至此数学归纳法结束,定理证毕.

注 4.2    类似于定理3.1中的导数转移技巧，对$ E_1, E_4, E_5, E_7 $进行拆分，把$ \bar{\partial}_t $从内积的后半部分移至前半部分,以达到最后的估计结果.

在这一章里,给出一个算例来验证理论部分.考虑方程(1.1),其中, $ \Omega = [0, 1]\times[0, 1] $, $ a(u) = \sin u+0.1 $,真解为$ u = e^{t}xy(1-x)(1-y) $.记

$ G_1 = \|u^n-U^n_h\|_1, \qquad G_2 = \|I_hu^n-U^n_h\|_1, $

$ H_1 = \|\vec{p}^n-\vec{P}^n_h\|_{H({\rm div};\Omega)}, \qquad H_2 = \|\Pi_h\vec{p}^n-\vec{P}^n_h\|_{H({\rm div};\Omega)}. $

在表格1–8中,选择$ \tau = 5h^2 $,时刻$ t = 0.25, 0.5, 0.75, 1.0 $来分别验证试验结果.可以看到当$ h\to0 $时, $ G_1, H_1 $有最优估计阶$ O(h) $, $ G_2, H_2 $最优估计阶$ O(h^{2}) $,所有结果验证了前面理论部分.