考虑如下的非线性抛物方程

其中$\Omega\subset {\Bbb R} ^{2}$是一个具有边界$\partial \Omega$的矩形, $0<T<\infty$, $X = (x, y)$, $a(u), f(X, t), u_{0}(X)$为已知函数,且$0<a_{0}\leq a(u)\leq a_{1}$, $|a_u(u)|+|a_{uu}(u)|+|a_{uuu}(u)|\leq a_{2}$ ($a_{0}$, $a_{1}$, $a_{2}$为某些正数).

非线性抛物方程的有限元分析已经受到越来越多人的关注,特别是其全离散格式更是吸引了众多学者的兴趣.例如:文献[1-2]分别对非线性抛物方程讨论了改进的向后差分格式和Crank-Nicolson二阶差分格式,且都得到了$L^2(\Omega)$模的最优误差收敛估计.文献[3]和[4]构造了线性化的有限元方法得到了$L^2(\Omega)$下$H^1(\Omega)$模的最优误差收敛结果.文献[5-6]给出了线性化的一阶或者二阶全离散格式,通过引入一个时间半离散方程将误差分裂成时间误差和空间误差,去掉了空间网格参数$h$和时间步长$\tau$的某种比值关系,得到了无网格比的超收敛结果.文献[7]讨论了非线性抛物方程的两层网格有限体积元方法,得到了最优误差阶.

众所周知,对有限元方法来说,混合有限元方法是其重要的分支之一,但是混合有限元方法中对有限元对的寻找是非常困难的,需要满足所谓的LBB条件.为了摆脱这种限制, 1998年, Pani在文献[8]中提出了一种称之为$H^{1}$-Galerkin混合有限元方法,引起了很多专家学者的兴趣.例如,文献[9-10]在$H^{1}$-Galerkin混合元方法下对伪双曲方程提出了半离散和全离散协调混合有限元格式,文献[11]利用$H^{1}$-Galerkin混合元方法给出了线性Sobolev方程的超逼近分析,并构造了两个插值后处理算子得到了超收敛性质.文献[12]利用非线性Sobolev方程的特殊构造创新性的得到了其在$H^{1}$-Galerkin方法下的无网格比超逼近结果.文献[13]研究了$H^{1}$-Galerkin有限元方法在抛物积分微分方程中的应用,并得到了收敛结果.

事实上,为了提高有限元解的逼近精度,超逼近和超收敛的思想已成为了一个重要的研究途径.若有好的网格和对方程解的正则性的适当假设,有限元解与有限元插值的误差在某种范数的意义下比有限元解与真解的误差要小得多,很多学者都在此方面做出了出色的成果^[14-16].

不同于文献[1-7, 14-16],本文采用双线性元及零阶Raviart-Thomas元,利用$H^{1}$-Galerkin有限元方法,讨论(1.1)式的超逼近结果.首先,给出半离散有限元格式.事实上,对于非线性发展方程的误差分析来说,其数值解的有界性往往避免不了要进行先验假设^[1-4].本文利用分裂技巧,导数转移技巧等等,绕过数值解$\|u_{ht}\|_{0, \infty}$的有界性,得到了原始变量$u$在$H^{1}(\Omega)$模意义下及流量$\vec{p}$在$L^2 (\Omega)$模意义下的超逼近性质.其次,给出线性化的Euler全离散格式,利用数学归纳法,在不提高原始解的正则性的前提下,先给出$u$在$H^{1}(\Omega)$模意义下及$\vec{p}$在$L^2 (\Omega)$模意义下的超逼近分析.最后,利用内积分裂等方法得到$\nabla\cdot\vec{p}$在$L^2 (\Omega)$模意义下的超逼近.数值算例最终证实了理论结果的正确性.

设$\Omega$是一个矩形区域,其边$\partial \Omega$分别平行与$x$轴, $y$轴, $\Gamma_{h}$是$\Omega$满足正则假设的矩形单元剖分族.设$K_h\in\Gamma_{h}$,且单元$K_h$的边平行于$x$轴, $y$轴,设其中心点为$(x_{K_h}, y_{K_h})$,顶点为$a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4},$边为$l_{i} = \overline{a_{i}a_{i+1}}, \; i = 1, 2, 3, 4({\rm mod}4).$记其边长分别为$2h_{x, K_h}, 2h_{y, K_h}$, $h_{K_h} = \max\{h_{x, K_h}, h_{y, K_h}\}, h = \max \limits_{K_h\in\Gamma_{h}}h_{K_h}$.定义有限元空间

其中, $H({\rm div};\Omega) = \{\vec{w}\in(L^{2}(\Omega))^{2};\nabla\cdot\vec{w}\in L^{2}(\Omega)\}$,并装备范数$\|\cdot\|_{H({\rm div};\Omega)}^{2} = \|\cdot\|_{0}^{2}+\|\nabla\cdot\|_{0}^{2}$.设$I_{h}:u\in H^{2}(\Omega)\rightarrow I_{h}u\in V_{h};\Pi_{h}:\vec{w}\in(H^{1}(\Omega))^{2}\rightarrow \Pi_{h}\vec{w}\in \vec{W}_{h}$为$V_{h}, \vec{W}_{h}$所诱导的插值算子,满足$I_{h}|_{K_h} = I_{K_h}, \Pi_{h}|_{K_h} = \Pi_{K_h}$; $I_{K_h}u(a_{i}) = u(a_{i}), \int_{l_{i}}(\vec{w}-\Pi_{K}\vec{w})\cdot \vec{n}ds = 0, i = 1, 2, 3, 4,$$\vec{n}$是$l_{i}(i = 1, 2, 3, 4)$上的法线向量.类似于文献[14]的证明,再由单元的特殊性质,有以下引理.

引理 2.1    令$u\in H^{3}(\Omega)$, $\vec{p}\in(H^{2}(\Omega))^{2}$,则对于任意的$\vec{w}_{h}\in\vec{W}_{h}$,有

其中$\vec{\beta} = (\beta_1, \beta_2), \vec{\gamma} = (\gamma_1, \gamma_2)$,并且$\beta_1, \beta_2, \gamma_1, \gamma_2$为常数.

证    为证明(2.1)式,类似于文献[14],设$E(x) = \frac12((x-x_{K_h})^2-h_{x, K_h}^2), F(y) = \frac12((y-y_{K_h})^2-h_{y, K_h}^2)$.由$\vec{W}_h$的定义可知, $\nabla\cdot \vec{w}_h$在$K_h$上为常数,画出$K_h$如图 1所示.

其中$l_1, l_3$分别为$K_h$的下边和上边, $l_2, l_4$分别为$K_h$右边和左边,则有

同理可知

则(2.1)式显然成立.类似的(2.2)式也成立.

令$\vec{p} = \nabla u$,则方程(1.1)的$H^1$-Galerkin混合变分问题为:求$\{u, \vec{p}\}:[0, T]\rightarrow H^1_0(\Omega)\times H({\rm div};\Omega)$,使得

与之相对应的半离散格式为:求$\{u_h, \vec{p}_h\}:[0, T]\rightarrow V_h\times \vec{W}_h$,使得

给出一个先验假设$(\star)$:存在$h_0$,当$0<h\leq h_0$时有, $\|\nabla(I_hu-u_h)\|_{0, \infty}<1$.

在本文中有以下记号

定理 3.1    设$\{u, \vec{p}\}$, $\{u_{h}, \vec{p}_{h}\}$分别是方程(3.1)和方程(3.2)的解,并且$u, u_t\in H^{3}(\Omega)$, $\vec{p}, \vec{p}_{t}\in (H^{2}(\Omega))^2$,则有

证    对于任意的$v_{h}\in V_{h}, \vec{w}_{h}\in\vec{W}_{h}$,有以下误差方程

一方面,在(3.4(b))式中令$\vec{w}_{h} = \vec{\theta}$,则有

由先验假设$(\star)$有

利用文献[14]中的高精度结果得到

记

有$\|\gamma(X)-\bar{\gamma}(X)\|_{0, p, K_h}\leq Ch\|\gamma\|_{_{1, p, K_h}} , (2 \leq p\leq \infty).$则由平均值技巧,引理2.1以及文献[9]的结果$\|\nabla\cdot\vec{r}\|_0 = O(h)\|\nabla\cdot\vec{p}\|_1$,得到

为了不提高$\vec{p}$的正则性,利用分裂技巧

其中

由以上误差分析可得

注意到$\vec{\theta}(X, 0) = 0$,对(3.7)式两端同时从$0$到$t$积分有

另一方面,在(3.4(a))式中令$v_{h} = \xi$,再利用文献[9, 14]中高精度的结论，则有

将(3.9)式代入(3.8)式,再由$\rm Gronwall$引理有

将(3.10)式代入(3.9)式有

利用逆估计可知$\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0\leq Ch$.为了提升$\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0$的阶,再次利用(3.4(b))式,令$\vec{w}_{h} = \vec{\theta}_t$,

由于未知$\|u_{ht}\|_{0, \infty}$的有界性,利用$\|\nabla\cdot\vec{\theta}\|_0\leq Ch$,对$A_1$拆分有

由文献[14]中高精度的结论,有

现在开始逐个估计$A_i(i = 3\sim5)$.由于(3.4(b))式左端没有关于$\nabla\cdot\vec{\theta}_t$的项,需要通过导数转移技巧把$A_i(i = 3\sim5)$中各项中的$\nabla\cdot\vec{\theta}_t$转成$\nabla\cdot\vec{\theta}$.首先

其中

其次,分别类似于(3.5)和(3.6)式的证明,利用文献[14]的高精度结果和平均值技巧有

综合$A_{1}$到$A_{5}$的估计结果有

为了估计$\xi_t$,对(3.4(a))式关于$t$求导,并令$v_{h} = \xi_t$,类似(3.9)式得到

则有

将(3.15)式代入(3.14)式有

对$(3.16)$式两端同时从$0$到$t$求积分,且利用$\rm Gronwall$不等式有

其中$\nabla\cdot\vec{\theta}(X, 0) = 0.$类似于之前的证明有

定理证明完毕.

最后需要说明先验假设$(\star)$的正确性.首先,记$\delta(t)\triangleq \nabla(u(t)-u_h(t))$.有初始逼近和插值理论可知$\|\delta(0)\|_{0, \infty}<1$成立.由函数的连续性,在$t = 0$的一个小领域$[0, \varepsilon]$内假设定理3.1成立.

如果假设不再整个区间$I = [0, T]$上成立,设$t_0 = \inf\{t:\|\delta(t)\|_{0, \infty}\geq1, t\in I\}$,则有$\|\delta(t_0)\|_{0, \infty} = 1, t_0>0$ (事实上,若$\|\delta(t_0)\|_{0, \infty}>1$,由函数的连续性,总可以找到一个点$t_1<t_0$,使得$\|\delta(t_1)\|_{0, \infty} = 1$此时记$t_1$为$t_0$).此时假设$(\star)$在$[0, t_0)$成立.

由定理3.1的证明过程可以看出其结论在$[0, t_0]$处成立,则由逆不等式,对于充分小的$h$,有

选择适当的$h_0$,当$h\leq h_0$,有$\|\delta(t)\|_{0, \infty}\leq Ch<1, t\in[0, t_0]$.此与$\|\delta(t_0)\|_{0, \infty} = 1$矛盾.所以先验假设$(\star)$是正确的.

注 3.1    对于$A_3\sim A_5$,需要利用导数转移将$\nabla\cdot\theta_t$转变为$\nabla\cdot\theta$,这样才能保持$\nabla\cdot\theta$的阶不降低.另一方面,对于$A_1, A_3$,不需要$\|u_{ht}\|_{0, \infty}$的有界性,对其进行拆分,再利用(3.10)–(3.11)式即可.

令$\{t_n:t_n = n\tau;0\leq n\leq N\}$是$[0, T]$上的均匀剖分，时间步长是$\tau = T/N$，设$\sigma(X, t)$是一个函数,记

利用线性化的有限元方法,寻找$U_h^n\in V_h, \vec{P}_h^n\in \vec{W}_h$,使得

在本文中有以下记号

定理 4.1    设$\{u, \vec{p}\}$, $\{U^n_{h}, \vec{P}^n_{h}\}$分别是(3.1)和(4.1)式的解,若有$\tau = O(h^2)$且$u\in H^{3}(\Omega)$, $u_t\in H^{1}(\Omega)$, $\vec{p}\in (H^{2}(\Omega))^2$,则存在某个$\tau_0$和$h_0$,使得当$\tau\leq\tau_0$, $h\leq h_0$时,有

证    由于$\|\nabla(I_hu^m)\|_{0, \infty}\leq C$,令$K\triangleq 1+\sum\limits_{i = 0}^{N}\|\nabla(I_h u^i)\|_{0, \infty}$.当$m = 1$时,由(3.1)和(4.1)式,我们利用以下误差方程来估计$\theta^1$和$\xi^1$.

其中$R_1^1 = \bar{\partial}_tu^1-u_t^{1}, R_2^1 = -\nabla\cdot((a(u^{0})-a(u^{1}))\vec{p}^1)$.在(4.3(b))式中令$\vec{w}_h = \vec{\theta}^1$,则有

注意到$\|U^0_h\|_{0, \infty} = \|I_hu^0\|_{0, \infty}\leq K$,类似于半离散的证明,显然有

为了不提高$\vec{p}^1$的正则性,对$B_4$进行先拆分,再估计

由于

则有

在(4.3(a))式中取$v_h = \xi^{1}$得到$\|\nabla \xi^{1}\|_0^2\leq Ch^4+C\|\vec{\theta}^{1}\|_0^2.$因此,存在$\tau_1, h_1, C_1$,使得当$\tau\leq \tau_1$,有

由条件$\tau = O(h^2)$,有

其中$h\leq h_1\leq1/CC_1$.假设结果对于$m\leq n-1$成立,则存在$h_2$,有

其中$h \leq h_2 = 1/CC_0$.

下面我们证明结果对于$m = n$也成立.由(3.1)和(4.1)式,我们有

其中$R_1^n = \bar{\partial}_tu^n-u_t^{n}, R_2^n = -\nabla\cdot((a(u^{n-1})-a(u^{n}))\vec{p}^n)$.在(4.8(b))式中令$\vec{w}_h = \vec{\theta}^n$,则有

由(4.7)式及Taylor展式,类似与$\vec{\theta}^1$估计方法有,

同样为了不提高$\vec{p}^n$的正则性,先对$D_4$进行拆分再估计

注意到

则有

对(4.9)式从$2$到$n$求和，再由以上估计，则有

在(4.8(a))式中令$v_h = \xi^{n}$,显然有

将(4.12)式代入(4.11)式,利用$\rm Gronwall$不等式,因此,存在$\tau_2, h_3, C_2$,使得当$\tau\leq \tau_2$,有

由条件$\tau = O(h^2)$,有

其中$h\leq h_3\leq1/CC_2$.可以看到$C_2$不依赖$C_0$的存在而存在,当取$C_0\geq\sum\limits_{i = 1}^{2}C_i$, $\tau_0\leq\min\limits_{1\leq i\leq2}\tau_i$和$h_0\leq\min\limits_{1\leq i\leq3}h_i$则(4.2)式对$m = n$成立.至此数学归纳法结束,定理证毕.

注 4.1    采用了数学归纳法的方法证明了定理4.1,其中保证$C_0$的统一性是至关重要的.另一方面,在对$B_4$和$D_4$的估计中,利用分裂技巧进行拆分以保持定理4.1对$p^n$正则性的假设不提高.

定理 4.2    设$\{u, \vec{p}\}$, $\{U^n_{h}, \vec{P}^n_{h}\}$分别是方程(3.1)和方程(4.1)的解,若有$\tau = O(h^2)$,且$u, u_t\in H^{3}(\Omega)$, $u_{tt}\in H^{1}(\Omega)$, $\vec{p}, \vec{p}_t\in (H^{2}(\Omega))^2$,则存在某个$\tau_0'$和$h_0'$,使得当$\tau\leq\tau_0'$, $h\leq h_0'$时,有

证    采用数学归纳法证明(4.15)式.由$\|\bar{\partial}_t\nabla I_hu^m\|_{0, \infty}\leq C$,令

当$m = 1$时,直接利用(4.4)式的结果,存在$\tau_3, C_3$,使得当$\tau\leq \tau_3$,有

设(4.15)式对于$m \leq n-1$成立,由于$\tau = O(h^2)$,则存在$h_4$,有

其中$h \leq h_4 = 1/CC_0'$.下面证明结果对于$m = n$也成立,在(4.8(b))式中令$\vec{w}_h = \bar{\partial}_t\vec{\theta}^n$,则

类似于定理4.1,容易看出

由于不等式左边没有$\nabla\cdot\bar{\partial}_t\vec{\theta}^{n}$,对$E_1, E_4, E_5, E_7$,需要将$\bar{\partial}_t$从内积的一边转到另一边.

利用定理4.1的结果有

改写$E_4$有

对$E_5$进行拆分,类似与定理4.1的估计技巧有

其中,由文献[6]知

综合以上估计,对(4.18)式求和有

对(4.8(a))式,两层相减除以$\tau$,再令$v_h = \bar{\partial}_t\xi^n$有

由归纳假设(4.17),注意到

利用(4.21)式, (4.22)式和$\rm Gronwall$不等式,类似前面估计,存在$\tau_4, h_5, C_4$,使得当$\tau\leq \tau_4$有

由条件$\tau = O(h^2)$,也有

其中$h\leq h_5\leq1/CC_4$.可以看到$C_4$不依赖于$C_0'$的存在而存在,当取$C_0' \geq\sum\limits_{i = 3}^{4}C_i$, $\tau_0' \leq\min\limits_{3\leq i\leq4}\tau_i$和$h_0' \leq\min\limits_{4\leq i\leq5}h_i$则(4.15)式对$m = n$成立.至此数学归纳法结束,定理证毕.

注 4.2    类似于定理3.1中的导数转移技巧，对$E_1, E_4, E_5, E_7$进行拆分，把$\bar{\partial}_t$从内积的后半部分移至前半部分,以达到最后的估计结果.

在这一章里,给出一个算例来验证理论部分.考虑方程(1.1),其中, $\Omega = [0, 1]\times[0, 1]$, $a(u) = \sin u+0.1$,真解为$u = e^{t}xy(1-x)(1-y)$.记

在表格1–8中,选择$\tau = 5h^2$,时刻$t = 0.25, 0.5, 0.75, 1.0$来分别验证试验结果.可以看到当$h\to0$时, $G_1, H_1$有最优估计阶$O(h)$, $G_2, H_2$最优估计阶$O(h^{2})$,所有结果验证了前面理论部分.