In this paper, we study the spatiotemporal dynamics in a diffusive predator-prey model with the homogeneous Neumann boundary condition. Our study indicates that the interaction between fear and schooling behavior induces very rich and interesting spatiotemporal dynamics. The conditions for Turing instability and Turing-Hopf bifurcation emerging are explored at length. By utilizing the normal form method, the spatiotemporal dynamics of the spatial model near the Turing-Hopf bifurcation point are classified. And rich numerical simulations are used to confirm the theoretical analysis. Finally, we summarize the great influence of the fear effect and schooling behavior. We found that the schooling behavior of prey cannot counteract high-level fear, while it offsets the low-level fear. Moreover, the fear effect induces Turing instability of the system with the schooling behavior. However, the fear effect neither changes the stability of coexistence equilibrium, nor induces periodic solutions or Turing instability of the system without the schooling behavior.
Xiao Jianglong, Song Yongli, Xia Yonghui. Spatiotemporal Dynamics Induced by the Interaction Between Fear and Schooling Behavior in a Diffusive Model[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(6): 1577-1594
$\begin{equation} \left( \begin{array}{c} \frac{\partial u }{\partial t}\\[2mm] \frac{\partial v }{\partial t} \end{array} \right) := L \bigg( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \bigg) =D\Delta \bigg( \begin{array}{c} u\\ v \end{array} \bigg) +J \bigg( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \bigg), \end{equation}$
Predator effects on prey demography have traditionally been ascribed solely to direct killing in studies of population ecology and wildlife management. Predators also affect the prey's perception of predation risk, but this has not been thought to meaningfully affect prey demography. We isolated the effects of perceived predation risk in a free-living population of song sparrows by actively eliminating direct predation and used playbacks of predator calls and sounds to manipulate perceived risk. We found that the perception of predation risk alone reduced the number of offspring produced per year by 40%. Our results suggest that the perception of predation risk is itself powerful enough to affect wildlife population dynamics, and should thus be given greater consideration in vertebrate conservation and management.
A recent field manipulation on a terrestrial vertebrate showed that the fear of predators alone altered anti-predator defences to such an extent that it greatly reduced the reproduction of prey. Because fear can evidently affect the populations of terrestrial vertebrates, we proposed a predator-prey model incorporating the cost of fear into prey reproduction. Our mathematical analyses show that high levels of fear (or equivalently strong anti-predator responses) can stabilize the predator-prey system by excluding the existence of periodic solutions. However, relatively low levels of fear can induce multiple limit cycles via subcritical Hopf bifurcations, leading to a bi-stability phenomenon. Compared to classic predator-prey models which ignore the cost of fear where Hopf bifurcations are typically supercritical, Hopf bifurcations in our model can be both supercritical and subcritical by choosing different sets of parameters. We conducted numerical simulations to explore the relationships between fear effects and other biologically related parameters (e.g. birth/death rate of adult prey), which further demonstrate the impact that fear can have in predator-prey interactions. For example, we found that under the conditions of a Hopf bifurcation, an increase in the level of fear may alter the direction of Hopf bifurcation from supercritical to subcritical when the birth rate of prey increases accordingly. Our simulations also show that the prey is less sensitive in perceiving predation risk with increasing birth rate of prey or increasing death rate of predators, but demonstrate that animals will mount stronger anti-predator defences as the attack rate of predators increases.
SasmalS.
Population dynamics with multiple Allee effects induced by fear factors-A mathematical study on prey-predator interactions
Global bifurcation and pattern formation for a reaction-diffusion predator-prey model with prey-taxis and double Beddington-DeAngelis functional responses
Turing pattern induced by cross-diffusion in a predator-prey model with pack predation-herd behavior
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2020
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Turing patterns induced by self-diffusion in a predator-prey model with schooling behavior in predator and prey
1
2021
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Diffusion, self-diffusion and cross-diffusion
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1996
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Pattern formation in a cross-diffusion system
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2015
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Dynamics of virus infection models with density-dependent diffusion
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2017
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Analysis of nonautonomous predator-prey model with nonlinear diffusion and time delay
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2008
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
The linear and nonlinear diffusion of the competitive Lotka-Volterra model
1
2007
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Global bifurcation analysis and pattern formation in homogeneous diffusive predator-prey systems
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2016
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Bifurcation analysis and Turing instability in a diffusive predator-prey model with herd behavior and hyperbolic mortality
1
2015
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Bifurcation and spatiotemporal patterns in a homogeneous diffusive predator-prey system
1
2009
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Diffusive spatial movement with memory
1
2020
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
The spatially inhomogeneous Hopf bifurcation induced by memory delay in a memory-based diffusion system
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2021
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Spatial movement with diffusion and memory-based self-diffusion and cross-diffusion
1
2021
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Turing instability and Turing-Hopf bifurcation in diffusive Schnakenberg systems with gene expression time delay
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2019
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Hopf bifurcation in a delayed reaction-diffusion-advection population model
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2018
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Spatiotemporal dynamics of a diffusive predator-prey system with Allee effect and threshold hunting
1
2020
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Global dynamics of a classical Lotka-Volterra competition-diffusion-advection system
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2018
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Spatiotemporal patterns induced by Turing and Turing-Hopf bifurcations in a predator-prey system
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2020
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Global bifurcation and pattern formation for a reaction-diffusion predator-prey model with prey-taxis and double Beddington-DeAngelis functional responses
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2022
... 其中 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ 表示扩散系数, $\Delta$ 是拉普拉斯算子. Yang 等[22]推导了具有交叉扩散的系统 (1.3) 发生 Turing 不稳定性的条件, 得到了系统的多种斑图. Zhou 等[23]通过推导振幅方程研究了自扩散系统 (1.3) 的稳定性和斑图类型. 实际上, 具有扩散的捕食者--猎物系统已经得到了大量的研究. 而且交叉扩散、自扩散和扩散三者是有区别的[24,25]. Wang 等[26]研究了一个密度依赖型扩散的系统. 非线性扩散的系统也有学者研究[27,28]. Wang 等[29]研究了扩散的捕食者--猎物系统中的斑图和全局分支. Tang 和 Song[30]考虑了一个只有猎物具有集群行为的扩散捕食者--猎物模型, 研究了 Turing 不稳定性和 Hopf 分支. Yi 等[31]分析了一类扩散的捕食者--猎物系统的斑图和分支. Shi 等[32]研究了空间运动与记忆的关系.Song 等[33]研究了基于记忆的扩散系统中记忆时滞引起的 Hopf 分支. Shi 等[34]考虑了动物运动建模中的空间记忆. Jiang 等[35]考虑了扩散的 Schnakenberg 系统的 Turing-Hopf 分支. Chen 等[36]考虑了一个扩散模型中由时滞引起的 Hopf 分支问题. Wu 和 Zhao[37]分析了阈值狩猎引起的动力学分类. Zhou 和 Xiao[38]研究了一个竞争--扩散--对流系统. Chen 和 Wu[39]分析了一个扩散模型中的 Turing 斑图. Luo 和Wang[40]研究了一个扩散模型中猎物趋食性对稳定性的影响. ...
Turing-Hopf bifurcation in the reaction-diffusion equations and its applications