考虑如下的EFK方程的初边值问题

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_t+r\Delta^2 u-\Delta u+f(u) = 0 , & (X, t)\in{{\Omega} \times (0, T]}, \\ u(X, t) = \Delta u(X, t) = 0, & (X, t)\in {{\partial{\Omega}} \times (0, T]}, \\ u(X, 0) = u_{0}(X), & X\in {\Omega}, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ f(u) = u^3-u, $$ {\Omega}\subset{{{\Bbb R}}^{2}} $是一个矩形区域, $ \partial{\Omega} $为$ \Omega $的边界, $ r, T\in(0, +\infty) $为定常数, $ X = (x, y) $, $ u_{0}(X)\doteq u_0 $为充分光滑的已知函数. 当$ r = 0 $时, 得到标准的Fisher-Kolmogorov方程, 它是由Fisher和Kolmogorov在描述生物种群的扩散与适应间的相互作用时于1937年提出的. 后来, 由Coullet^[1], Dee和van Saroos^[2-4]根据实际需要增加了四阶导数项得到方程(1.1), 称之为Extended Fisher-Kolmogorov(EFK) 方程. 目前, 该方程已被广泛地应用于双稳态系统的图式形成^[2], 液晶中畴壁的传播问题^[2]等方面.

对于方程(1.1) 的数值方法的研究, 已有了一些结果. 例如, 在一维情形下, 文献[5]提出了一种二阶分裂与正交三次样条配置相结合的方法, 导出了半离散格式解在最大模意义下的界与最优误差估计. 文献[6]利用边界元方法对其进行了数值分析. 文献[7]导出了有限元解的半离散格式和Crank-Nicolson全离散格式下的最优误差估计. 在二维情形下, 文献[8]和文献[9]分别提出了Crank-Nicolson有限差分格式和一种二阶线性隐式有限差分格式, 证明了数值解的存在唯一性, 并得到了其在$ L^\infty $范数下的收敛性结果. 文献[10]构建了方程的傅里叶拟谱方法, 得到了半离散格式和基于Crank-Nicolson方法的全离散格式在$ L^2 $ -模意义下的最优误差估计. 文献[11]利用Lyapunov泛函给出了方程的一些先验估计, 证明了解的存在唯一性. 同时, 借助投影算子, 在半离散格式、向后欧拉格式、两步向后欧拉格式和Crank-Nicolson全离散格式下, 利用$ C^1 $协调元得到了该方程的弱解在$ H^2 $ -模意义下的最优误差估计.

由于具有对空间光滑度要求较低, 并能同时得到原始变量和空间变量的误差估计等优势, 方程(1.1) 的混合有限元方法也一直受到人们的关注. 例如, 文献[12]利用协调线性三角形$ P_1 $元, 通过引入中间变量$ v = \Delta u $建立了一个低阶混合元格式, 在半离散和Euler全离散格式下, 证明了逼近解的存在唯一性和稳定性, 并得到了$ u $在$ H^1 $ -模意义下和$ v $在$ L^2 $ -模意义下$ O(h^2) $阶的最优误差估计. 文献[13]利用协调线性三角形$ P_1 $元和分片常数$ P_0\times P_0 $元, 借助投影算子, 在半离散格式和Crank-Nicolson全离散格式下, 导出$ u $和$ v $在$ H^1 $ -模以及$ \overrightarrow{p} = \bigtriangledown u $在$ (L^2)^2 $ -模意义下的最优误差估计. 文献[14]利用非协调的$ EQ_1^{rot} $元, 建立了与文献[12]相同的混合元格式, 利用先验估计和单元的性质以及对相容误差和非线性项的分裂技术, 对半离散格式和线性化的向后Euler全离散格式, 分别得到了$ u $和$ v $在$ H^1 $ -模意义下的$ O(h^2)/O(h^2+\tau) $阶的超逼近结果. 进一步地, 文献[15]利用$ EQ_1^{rot} $元和零阶Raviart-Thomas元, 分别导出了在半离散格式和线性化向后Euler全离散格式下原始变量$ u $和中间变量$ v = -\Delta u $的$ H^1 $ -模意义下以及流量$ \overrightarrow{p} = \bigtriangledown u $的$ (L^2)^2 $ -模意义下$ O(h^2) $阶和$ O(h^2+\tau) $阶的整体超收敛结果.

众所周知, Wilson元是工程计算中常用的数值效果很好的矩形非协调元, 关于它的高精度分析已有很多结果. 例如, 文献[16]证明了在能量模意义下Wilson元的相容误差为$ O(h) $阶且不能再提高, 这导致了虽然Wilson元关于能量模的插值误差阶为$ O(h^2) $, 但其最优收敛阶为$ O(h) $. 文献[17]给出了四边形网格下Wilson元的收敛性条件. 为进一步研究一般的四边形网格的误差分析, 并改善相容误差的收敛阶, 文献[18]提出了类Wilson元, 文献[19]证明了这类单元的相容误差为$ O(h^2) $, 比协调误差高一阶. 利用类Wilson元的这一特殊性质以及双线性元的高精度分析结果, 并应用插值后处理和外推技术人们对一些PDES进行了整体超收敛分析^[20-22]. 文献[23]提出了改进的类Wilson元, 在四边形网格下利用其相容误差在$ H^1 $ -模意义下可达到$ O(h^3) $阶的性质和Ritz投影, 得到了sine-Gordon方程半离散格式和Crank-Nicolson全离散格式在$ H^1 $ -模意义下的最优误差估计, 再利用插值后处理技术, 导出了在矩形网格下半离散和Crank-Nicolson全离散格式的整体超收敛结果. 最近, 文献[24]和[25]借鉴了文献[26]的思想方法, 利用Wilson元研究了二阶线性椭圆和抛物方程的间断有限元半离散格式, 得到了$ O(h^2) $阶的误差分析结果. 文献[27]和[28]进一步探讨了线性黏弹性方程和拟线性积分微分方程的间断有限元的半离散和向后欧拉全离散格式.

本文的主要目的是对非线性方程(1.1) 的间断有限元的收敛性展开研究. 首先, 证明半离散格式逼近解的存在唯一性. 其次, 利用Wilson元在新范数意义下的插值估计和双线性型的性质导出半离散格式下原始变量$ u $和中间变量$ v $的$ O(h^{2}) $阶的收敛结果. 最后, 通过构造一个新的全离散格式, 并对非线性项的估计应用新的分裂技术, 得到了相应的$ O(h^{2}+\tau) $阶的误差估计结果.

本文中, $ W^{s, p}(D)(D\subset \Omega) $表示通常的Sobolev空间, $ \|\cdot\|_{s, p, D} $和$ |\cdot|_{s, p, D} $分别表示其上的范数和半范, 其中$ s $为非负整数, $ 1\leq p\leq \infty $. 当$ p = 2 $时, 记$ W^{s, 2}(D) = H^s(D), $$ \|\cdot\|_{s, D} $和$ |\cdot|_{s, D} $表示$ H^s(D) $上的范数和半范, 当$ D = \Omega $时, 省略下标$ D $. 约定

$ \|g\|_{L^2(X)} = \bigg(\int_0^T\|g(\cdot, t)\|^2_X{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}, {\quad} \|\cdot\|_{L^\infty(X)} = \sup\limits_{0\leq t\leq T}\|\cdot\|_X, $

其中$ X $为Banach空间. 本文中, $ C $是与$ h $和$ \tau $无关的正常数, 在不同的地方取值可以不同.

设$ \Omega $的边界$ \partial{\Omega} $分别平行于$ x $轴与$ y $轴, $ \Gamma_{h} $是$ \Omega $的矩形单元剖分族, 满足正则性假设. 对任何$ K\in\Gamma_{h} $, 设其平行于$ x $轴与$ y $轴的边的边长分别为$ 2h_1, 2h_2 $, 记$ h_K = \max\limits_{K\in\Gamma_{h}}\{h_1, h_2\}, $$ h = \max\limits_{K\in\Gamma_{h}}\{h_K\} $.

设$ \varepsilon_h $表示所有单元边界所组成的集合, $ E $表示单元边界, $ h_E $表示$ E $的长度. 规定函数$ f $在$ E = \partial K\bigcap \partial K' $上的跳跃值和平均值分别为$ [[f]] = f|_K-f|_{K'}, $和$ \{f\} = (f|_K+f|_{K'})/2, $其中$ K $和$ K' $表示相邻的单元.

Wilson元的形函数空间为$ P_2(K) $, 有限元空间为

$ { M_h = \Big\{v_h 定义在 \Omega 上: v_h|_K\in P_2(K), v_h 在内节点处连续, 在边界 \partial{\Omega} 上节点处为 0\Big\}, } $

其中$ M_h|_K $由四顶点函数值以及$ \frac{h_1^2}{h_1h_2}\int_K \frac{\partial^2v_h}{\partial x^2}{\rm d}X $和$ \frac{h_2^2}{h_1h_2}\int_K \frac{\partial^2v_h}{\partial y^2}{\rm d}X $确定.

定义$ M_h $上的模^[25]为

(2.1) $ \begin{equation} \|v_h\|^2_h = \sum\limits_{K\in \Gamma_h}|v_h|^2_{1, K}+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h} \bigg\{\frac{1}{h_E}\|[[v_h]]\|^2_{0, E}\bigg\} . \end{equation} $

$ I_h:H^2(\Omega)\rightarrow M_h $为相应的插值算子.

文献[24, 25]已证明了如下性质.

引理2.1  设$ u\in H^3(\Omega) $, 则有

$ \|u-I_hu\|_h\leq Ch^2|u|_3. $

引理2.2  设$ \{\Gamma_h\} $是区域$ \Omega $的正则矩形剖分, 即存在$ \sigma>0 $, 使得$ \forall K\in \Gamma_h $有$ h_K/\rho_K\leq \sigma, $则存在$ C_0>0, $使得

$ h_K\|\frac{\partial v_h}{\partial n}\|_{0, \partial K}^2\leq C_0|v_h|^2_{1, K}, \qquad \forall v_h\in M_h, $

其中$ \rho_K $是单元$ K $的内切圆直径, $ C_0 = \sigma(1+\frac{2}{\epsilon^2}+6\epsilon^2), \epsilon>0. $

定义$ M_h $上的双线性型为

$ a_h(u_h, v_h) = (\nabla u_h, \nabla v_h)_h+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}\{\frac{\alpha}{h_E}\langle[[u_h]], [[v_h]]\rangle_E\}-\langle\{\frac{\partial u_h}{\partial n}\}, [[v_h]]\rangle_h -\langle\{\frac{\partial v_h}{\partial n}\}, [[u_h]]\rangle_h, $

其中$ (\cdot, \sharp)_h = \sum\limits_{K\in \Gamma_h}(\cdot, \sharp)_K, $$ \langle \cdot, \sharp \rangle_h = \sum\limits_{E\in \varepsilon _h}\langle \cdot, \sharp \rangle_E $, $ \alpha $是待定常数.

由文献[24, 25]可知: $ \exists \alpha_0>0, \beta_0>0 $使得

(2.2) $ \begin{equation} a_h(u_h, v_h)\leq \beta_0\|u_h\|_h\|v_h\|_h, \qquad \forall u_h, v_h\in M_h , \end{equation} $

(2.3) $ \begin{equation} a_h(v_h, v_h)\geq \alpha_0\|v_h\|_h^2, \qquad \forall v_h\in M_h. \end{equation} $

由$ (2.3) $式的证明知, 可取$ \alpha>\frac{3}{4}C_0 $以保证$ \alpha_0>0 $.

由文献[29]可知: 对任何$ \varphi_h\in M_h, k\in N_+, $成立

(2.4) $ \begin{equation} \|\varphi_h\|_{0, 2k}\leq C(k)\|\varphi_h\|_{1, h}, \end{equation} $

这里$ \|\cdot\|^2_{1, h} = \sum\limits_{K\in \Gamma_h}|\cdot|_{1, K}^2 $.

令$ v = -\triangle u $, 问题(1.1) 等价于

(3.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_t-r \triangle v+v+f(u) = 0 , & (X, t)\in{{\Omega} \times (0, T]}, \\ v+\triangle u = 0, & (X, t)\in{{\Omega} \times (0, T]}, \\ u(X, t) = v(X, t) = 0, & (X, t)\in {{\partial{\Omega}} \times (0, T]}, \\ u(X, 0) = u_{0}(X), & X\in {\Omega}. \end{array} \right. \end{equation} $

问题(3.1) 的变分问题为：求$ u:[0, T]\rightarrow H^1_0(\Omega), $使得

(3.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (u_t, w)+r(\nabla v, \nabla w)+(v, w)+(f(u), w) = 0, & \forall w\in H^1_0(\Omega), \\ (v, \varphi)-(\nabla u, \nabla \varphi) = 0, & \forall \varphi\in H^1_0(\Omega). \end{array} \right. \end{equation} $

问题(3.1) 的传统的半离散格式为：求$ u_{h}:[0, T]\rightarrow M_h, $使得

(3.3) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (a)(u_{ht}, w_h)+r(\nabla v_h, \nabla w_h)+(v_h, w_h)+(f(u_h), w_h) = 0, & \forall w_h\in M_h, \\ (b)(v_h, \varphi_h)-(\nabla u_h, \nabla \varphi_h) = 0, & \forall \varphi_h\in M_h. \end{array} \right. \end{equation} $

由文献[17]知其误差估计为$ \|u-u_h\|_{1, h} = \|v-v_h\|_{1, h} = O(h). $

为提高收敛阶, 我们引进新的半离散格式为: 求$ u_{h}:[0, T]\rightarrow M_h, $使得

(3.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (a)(u_{ht}, w_h)+ra_h(v_h, w_h)+(v_h, w_h)+(f(u_h), w_h) = 0, & \forall w_h\in M_h, \\ (b)(v_h, \varphi_h)-a_h(u_h, \varphi_h) = 0, & \forall \varphi_h\in M_h, \\ u_h(0) = I_hu_0(X), v_h(0) = I_h(-\Delta u_0(X)), & X\in {\Omega}, \end{array} \right. \end{equation} $

不妨设$ (H) $存在$ 0<h^*<1, $使$ 0<h\leq h^* $时有$ |u(t)-u_h(t)|<1, t\in [0, T]. $若假设$ (H) $成立, 即$ u_h(t) $在区间$ [0, T] $上有界. 若$ (H) $成立(假设$ (H) $的合理性, 我们将在定理3.1的证明中加以说明), 根据微分方程解的理论^[30], 类似于文献[15]可以证明以下结论成立.

引理3.1  问题(3.4) 存在唯一解.

引理3.2  若$ \{u_h, v_h\} $是问题(3.4) 的解, 则存在常数$ C>0 $, 使得

(3.5) $ \begin{eqnarray} \|u_h\|_h\leq [C(r)(\|v_{h}(0)\|_0^2+(S(u_h(0)), 1)]^{\frac{1}{2}}, \end{eqnarray} $

其中, $ S(\phi) = \frac{1}{4}(1-\phi^2)^2 $是$ f(\phi) $的一个原函数.

下面给出收敛性结果.

定理3.1  设$ {u, v}, {u_h, v_h} $分别是问题(3.2) 和(3.4) 的解, 若$ u, v, u_t, v_t\in L^2(H^3(\Omega)) $, $ u_{tt}\in L^2(H^2(\Omega)) $, 则有

(3.6) $ \begin{equation} \|u-u_h\|_h+\|v-v_h\|_h = O(h^2). \end{equation} $

证  令$ u-u_h = (u-I_hu)+(I_hu-u_h)\doteq\rho+\theta, $$ v-v_h = (v-I_hv)+(I_hv-v_h)\doteq\eta+\zeta, $

由(3.2)和(3.4)式, 可得下面的误差方程

(3.7) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (a)(\theta_t, w_h)+ra_h(\zeta, w_h)+(\zeta, w_h) = -(\rho_t, w_h)-ra_h(\eta, w_h)-(\eta, w_h)\\ \quad \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad -(f(u)-f(u_h), w_h), & \forall w_h\in M_h, \\ (b)(\zeta, \varphi_h)-a_h(\theta, \varphi_h) = -(\eta, \varphi_h)+a_h(\rho, \varphi_h), & \forall \varphi_h\in M_h, \\ \end{array} \right. \end{equation} $

一方面, 当$ t\in [0, t^*] $时, 在(3.7(a)) 式中令$ w_h = \zeta $, (3.7(b))式中令$ \varphi_h = \theta_t $, 得

(3.8) $ \begin{eqnarray} &&ra_h(\zeta, \zeta)+(\zeta, \zeta)+a_h(\theta, \theta_t)\\ & = &-(\rho_t, \zeta)-ra_h(\eta, \zeta)-(\eta, \zeta) -(f(u)-f(u_h), \zeta)+(\eta, \theta_t)-a_h(\rho, \theta_t) \doteq \sum\limits_{i = 1}^6A_i. \end{eqnarray} $

下面对$ A_i(i = 1, \cdot\cdot\cdot, 6) $进行估计.

$ A_1+A_3 \leq C(\|\rho_t\|_0^2+\|\eta\|_0^2)+\frac{1}{4}\|\zeta\|_0^2 \leq Ch^4(\|u_t\|_2^2+\|v\|_2^2)+\frac{1}{4}\|\zeta\|_0^2. $

$ A_2\leq r\beta_0\|\eta\|_h\|\zeta\|_h\leq Ch^4\|v\|_3^2+\frac{r\alpha_0}{2}\|\zeta\|_h^2. $

利用Sobolev嵌入定理$ H^1(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega)(1\leq q<\infty), H^3(\Omega)\hookrightarrow W^{2, 4}(\Omega) $及$ (2.4) $式, $ (3.5) $式, 得

$ \begin{eqnarray} A_4 &\leq& C\|u-u_h\|_{0, 4}(\|u\|^2_{0, 8}+\|u\|_{0, 8}\|u_h\|_{0, 8}+\|u_h\|^2_{0, 8})\|\zeta\|_0+\|u-u_h\|_{0}\|\zeta\|_0\\ &\leq& C[h^4(\|u\|^2_{2, 4}+\|u\|^2_2)+\|\theta\|^2_{1, h}]+\frac{1}{4}\|\zeta\|^2_0 \leq Ch^4\|u\|^2_3+C\|\theta\|^2_h+\frac{1}{4}\|\zeta\|^2_0. \end{eqnarray} $

$ A_5+A_6 \leq\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(\eta, \theta)-a_h(\rho, \theta)]+Ch^4[\|v_t\|^2_2+\|u_t\|^2_3]+C\|\theta\|^2_h. $

注意到$ (3.8) $式左端第三项可化为

(3.9) $ \begin{eqnarray} a_h(\theta, \theta_{t}) = \frac{\rm d}{{\rm d}t} \bigg\{\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\theta\|_{0, K}^2+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\theta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \theta}{\partial n}\}, [[\theta]]\rangle_E]\bigg\}. \end{eqnarray} $

将上述关于$ A_i $的估计代入$ (3.8) $式, 并利用$ (2.3) $式可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\alpha_0r\|\zeta\|^2_h+\frac{1}{2}\|\zeta\|^2_0+\frac{\rm d}{{\rm d}t} \bigg\{\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\theta\|_{0, K}^2+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\theta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \theta}{\partial n}\}, [[\theta]]\rangle_E]\bigg\}\\ &\leq& Ch^4(\|u\|^2_3+\|v\|^2_3+\|u_t\|_3^2+\|v_t\|_2^2)+C\|\theta\|^2_h +\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(\eta, \theta)-a_h(\rho, \theta)]. \end{eqnarray*} $

上式两边对变量$ t\in [0, t^*] $, 从0到$ t $积分, 注意到$ \theta(0) = 0, $则有

(3.10) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\alpha_0r\int^t_0\|\zeta\|^2_h{\rm d}s+\frac{1}{2}\int^t_0\|\zeta\|^2_0{\rm d}s +\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\theta\|_{0, K}^2\\ &&+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}\bigg[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\theta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \theta}{\partial n}\}, [[\theta]]\rangle_E\bigg]\\ &\leq& Ch^4[\|u\|^2_3+\|v\|^2_2+\int^t_0(\|u\|^2_3+\|v\|^2_3+\|u_t\|_3^2+\|v_t\|_2^2){\rm d}s] +\varepsilon_1\|\theta\|^2_h+C\int^t_0\|\theta\|^2_h{\rm d}s.{\qquad} \end{eqnarray} $

由文献[24]知: 存在$ \varepsilon_2> 0 $, 使得

(3.11) $ \begin{eqnarray} &&\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\theta\|_{0, K}^2+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h} \bigg[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\theta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \theta}{\partial n}\}, [[\theta]]\rangle_E\bigg]\\ &\geq& \min \bigg\{\frac{1}{2}-\frac{3C_0}{8\varepsilon_2}, \frac{\alpha}{2}-\frac{\varepsilon_2}{2}\bigg\}\|\theta_h\|_h^2. \end{eqnarray} $

于是, 当$ \alpha> \varepsilon_2>\frac{3}{4}C_0 $时, $ \min\{\frac{1}{2}-\frac{3C_0}{8\varepsilon_2}, \frac{\alpha}{2}-\frac{\varepsilon_2}{2}\}\doteq \beta>0. $将$ (3.11) $式代入$ (3.10) $式, 并取$ \varepsilon_1 = \frac{\beta}{2} $, 再利用Gronwall引理, 则当$ t\in [0, t^*] $时, 有

(3.12) $ \begin{eqnarray} \|\theta\|_h^2 \leq Ch^4[\|u\|^2_3+\|v\|^2_2+\int^t_0(\|u\|^2_3+\|v\|^2_3+\|u_t\|_3^2+\|v_t\|_2^2){\rm d}s]. \end{eqnarray} $

因此, 存在充分小的$ h_0 $, 使得当$ 0<h\leq h_0 $时, 有$ \|\theta\|_0\leq Ch^2<1, t\in [0, t^*]. $若$ t^*<T $, 则有

$ \begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow t^*}\|u_h(t)\|_{0, \infty}&\leq& \lim\limits_{t\rightarrow t^*}(\|\theta\|_{0, \infty}+\|I_hu-u\|_{0, \infty}+\|u\|_{0, \infty})\\ &\leq& \lim\limits_{t\rightarrow t^*}(Ch^{-1}h^2+Ch^2\|u\|_{2, \infty}+\|u\|_{0, \infty})\leq C. \end{eqnarray*} $

于是, 假设错误, 即$ t^* = T $.

另一方面, 在(3.7(a)) 式中取$ w_h = \zeta_t $, 对(3.7(b)) 式先关于$ t $求导, 再取$ \varphi_h = \theta_t $则有

(3.13) $ \begin{eqnarray} ra_h(\zeta, \zeta_t)+(\zeta, \zeta_t)+a_h(\theta_t, \theta_t) & = &-(\rho_t, \zeta_t)-ra_h(\eta, \zeta_t)-(\eta, \zeta_t)-(f(u)-f(u_h), \zeta_t) \\ &&+(\eta_t, \theta_t)-a_h(\rho_t, \theta_t)\doteq\sum^6_{i = 1}B_i. \end{eqnarray} $

类似于$ (3.9) $式, $ (3.13) $式左端第一项可化为

(3.14) $ \begin{eqnarray} ra_h(\zeta, \zeta_{t}) = r\frac{\rm d}{{\rm d}t}\bigg\{\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\zeta\|_{0, K}^2+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\zeta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \zeta}{\partial n}\}, [[\zeta]]\rangle_E]\bigg\}. \end{eqnarray} $

下面对$ B_i(i = 1, \cdot\cdot\cdot, 6) $进行估计.

$ B_1+B_3 \leq -\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(\rho_t, \zeta)+(\eta, \zeta)]+Ch^4(\|u_{tt}\|_2^2+\|v_t\|_2^2) +C\|\zeta\|_h^2.\nonumber $

$ B_2 \leq -r\frac{\rm d}{{\rm d}t} a_h(\eta, \zeta)+Ch^4\|v_t\|_3^2+C\|\zeta\|_h^2.\nonumber $

利用Sobolev嵌入定理, 并注意到$ (2.4) $式和$ (3.5) $式成立, 则有

$ \begin{eqnarray} (f'(u)u_t-f'(u_h)u_{ht}, \zeta) &\leq&Ch^4(\|u\|^2_{2, 4}+\|u_t\|^2_{2, 4}+\|u\|^2_2)+C\|\theta\|^2_h+\frac{\alpha_0}{3}\|\theta_t\|^2_h+C\|\zeta\|^2_h\\ &\leq&Ch^4(\|u\|^2_3+\|u_t\|^2_3)+C\|\theta\|^2_h+\frac{\alpha_0}{3}\|\theta_t\|^2_h+C\|\zeta\|^2_h, \end{eqnarray} $

于是

$ \begin{eqnarray} B_4& = &-\frac{\rm d}{{\rm d}t}(f(u)-f(u_h), \zeta)+(f'(u)u_t-f'(u_h)u_{ht}, \zeta)\\ &\leq&-\frac{\rm d}{{\rm d}t}(f(u)-f(u_h), \zeta)+Ch^4(\|u\|^2_3+\|u_t\|^2_3)+C\|\theta\|^2_h+\frac{\alpha_0}{3}\|\theta_t\|^2_h+C\|\zeta\|^2_h. \end{eqnarray} $

$ B_5+B_6 \leq Ch^4[\|v_t\|^2_2+\|u_t\|^2_3]+\frac{\alpha_0}{3}\|\theta_t\|^2_h.\nonumber $

将(3.14) 式以及以上关于$ B_i $的估计代入(3.13) 式, 并利用(2.3) 式得

$ \begin{eqnarray} &&r\frac{\rm d}{{\rm d}t} \bigg\{\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\zeta\|_{0, K}^2+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\zeta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \zeta}{\partial n}\}, [[\zeta]]\rangle_E]\bigg\} +\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\zeta\|^2_0+\alpha_0\|\theta_t\|^2_h\\ &\leq&-\frac{\rm d}{{\rm d}t}[(\rho_t, \zeta)+(\eta, \zeta)+ra_h(\eta, \zeta)+(f(u)-f(u_h), \zeta)]\\ &&+Ch^4(\|u\|^2_3+\|u_t\|^2_3+\|u_{tt}\|_2^2+\|v_t\|_3^2)+C\|\zeta\|_h^2 +C\|\theta\|^2_h+\frac{2\alpha_0}{3}\|\theta_t\|^2_h. \end{eqnarray} $

上式两边关于变量$ t $从0到$ t $积分, 并注意到$ \zeta(0) = 0, $则有

(3.15) $ \begin{eqnarray} &&r\bigg\{\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\zeta\|_{0, K}^2+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\zeta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \zeta}{\partial n}\}, [[\zeta]]\rangle_E]\bigg\} +\frac{1}{2}\|\zeta\|^2_0+\frac{\alpha_0}{3}\int^t_0\|\theta_t\|^2_h{\rm d}s\\ &\leq&-[(\rho_t, \zeta)+(\eta, \zeta)+ra_h(\eta, \zeta)+(f(u)-f(u_h), \zeta)]+C\int^t_0\|\zeta\|_h^2{\rm d}s+C\int^t_0\|\theta\|^2_h{\rm d}s\\ &&+Ch^4\int^t_0(\|u\|^2_3+\|u_t\|^2_3+\|u_{tt}\|_2^2+\|v_t\|_3^2) \doteq\sum^7_{i = 1}D_i. \end{eqnarray} $

类似于(3.11) 式

(3.16) $ \begin{equation} r\bigg\{\frac{1}{2}\sum\limits_{K\in \Gamma_h}\|\nabla\zeta\|_{0, K}^2+\sum\limits_{E\in \varepsilon _h}[\frac{\alpha}{2h_E}\|[[\zeta]]\|^2_{0, E} -\langle\{\frac{\partial \zeta}{\partial n}\}, [[\zeta]]\rangle_E] \bigg\}\geq\beta r\|\zeta\|_h^2. \end{equation} $

利用$ A_i(i = 1, \cdot\cdot\cdot, 4) $的估计技巧, 则有

$ D_1+D_2 \leq Ch^4(\|u_t\|_2^2+\|v\|_2^2)+\frac{1}{8}\|\zeta\|_0^2. $

$ D_3\leq Ch^4\|v\|_3^2+\frac{r\beta}{2}\|\zeta\|_h^2. $

$ D_4 \leq Ch^4\|u\|^2_3+C\|\theta\|^2_h+\frac{1}{8}\|\zeta\|^2_0. $

将(3.12) 式、(3.16) 式及上述关于$ D_i(i = 1, \cdot\cdot\cdot, 4) $的估计结果代入(3.15) 式, 得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{\beta r}{2}\|\zeta\|_h^2+\frac{1}{4}\|\zeta\|^2_0+\frac{\alpha_0}{3}\int^t_0\|\theta_t\|^2_h{\rm d}s\nonumber\\ &\leq&Ch^4[\|u\|^2_3+\|u_t\|_2^2+\|v\|_3^2+\int^t_0(\|u\|^2_3+\|u_t\|^2_3+\|u_{tt}\|_2^2+\|v\|^2_3+\|v_t\|_3^2){\rm d}s] +C\int^t_0\|\zeta\|_h^2{\rm d}s, \nonumber \end{eqnarray*} $

再利用Gronwall引理得

$ \|\zeta\|_h^2 \leq Ch^4[\|u\|^2_3+\|u_t\|_2^2+\|v\|_3^2+\int^t_0(\|u\|^2_3+\|u_t\|^2_3+\|u_{tt}\|_2^2+\|v\|^2_3+\|v_t\|_3^2){\rm d}s].\nonumber $

综上, 由引理2.1和三角不等式, 易知(3.6) 式成立. 证毕.

在本节中, 将对问题(3.1) 的向后Euler全离散格式的误差进行分析和估计.

将时间区间$ [0, T] $进行$ N $等分, 即$ 0 = t_0<t_1<\cdot\cdot\cdot<t_N = T $, 则时间步长$ \tau = T/N $, $ t_n = n\tau $, $ n = 0, 1, \cdot\cdot\cdot, N $. $ U^n_h, V^n_h $分别表示$ u(t_n), v(t_n) $在$ M_h $中的逼近. 对于$ [0, T] $上的光滑函数$ \varphi, $定义

$ \varphi^n = \varphi(t_n), \partial_t\varphi^n = \frac{\varphi^n-\varphi^{n-1}}{\tau}. $

取$ t = t_n $, 问题(3.2) 的等价形式为

(4.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (a)(\partial_tu^n, w)+ra_h(v^n, w)+(v^n, w)+(f(u^n), w) = (R^n_1, w), & \forall w\in H^1_0(\Omega), \\ (b)(v^n, \varphi)-a_h(u^n, \varphi) = 0, & \forall \varphi\in H^1_0(\Omega). \end{array} \right. \end{equation} $

其中, $ R^n_1 = \partial_tu^n-u_t^n = \frac{1}{\tau}\int^{t_n}_{t_{n-1}}(t_{n-1}-s)u_{tt}(s){\rm d}s. $

建立(4.1) 式的全离散逼近格式如下: 求$ \{U_h^n, V_h^n\}\in M_h\times M_h $, 使得

(4.2) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (a)(\partial_tU_h^n, w_h)+ra_h(V_h^n, w_h)+(V_h^n, w_h)+(f(U_h^{n-1}), w_h) = 0, & \forall w_h\in M_h, \\ (b)(V_h^n, \varphi_h)-a_h(U_h^n, \varphi_h) = 0, & \forall \varphi_h\in M_h, \\ U^0_h = I_hu_0(X), V^0_h = I_h(-\Delta u_0(X)), & \forall X\in \Omega. \end{array} \right. \end{equation} $

类似于文献[15], 可以证明问题(4.2) 存在唯一解.

定理4.1  设$ \{u^n, v^n\} $, $ \{U_h^n, V_h^n\} $分别是问题(4.1) 和(4.2) 的解, 若$ u, u_t, v, v_t\in L^\infty(H^3(\Omega)) $, $ u_{tt}\in L^\infty(H^2(\Omega)) $, $ u_{ttt}\in L^\infty(L^2(\Omega)) $, 则存在$ \tau_0>0, h_0>0, $使得当$ \tau<\tau_0, h<h_0 $时, 对于任何$ 0\leq j\leq N $有

(4.3) $ \begin{equation} \|u^j-U_h^j\|_h+\|v^j-V_h^j\|_h = O(h^2+\tau). \end{equation} $

证  记$ u^j-U_h^j = (u^j-I_hu^j)+(I_hu^j-U_h^j)\doteq\rho^j+\theta^j, $$ v^j-V_h^j = (v^j-I_hv^j)+(I_hv^j-V_h^j)\doteq\eta^j+\zeta^j. $

由(4.1) 和(4.2) 式得误差方程为

(4.4) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} (a)(\partial_t\theta^j, w_h)+ra_h(\zeta^j, w_h)+(\zeta^j, w_h) = -(\partial_t\rho^j, w_h)\\ \quad -ra_h(\eta^j, w_h)-(\eta^j, w_h)-(f(u^j)-f(U_h^{j-1}), w_h)+(R_1^j, w_h), & \forall w_h\in M_h, \\ (b)(\zeta^j, \varphi_h)-a_h(\theta^j, \varphi_h) = -(\eta^j, \varphi_h)+a_h(\rho^j, \varphi_h), & \forall \varphi_h\in M_h.\\ \end{array} \right. \end{equation} $

根据泰勒公式, 易得

(4.5) $ \begin{equation} \|R_1^j\|_0^2\leq C\tau^2\|u_{tt}\|^2_{L^\infty(L^2(\Omega))}. \end{equation} $

由于$ U^0_h = I_hu_0(X), $故

(4.6) $ \begin{equation} \|u_0-U^0_h\|_{0, p} = \|u_0-I_hu_0\|_{0, p}\leq Ch^2\|u_0\|_{2, p}, \quad 1\leq p<\infty. \end{equation} $

首先, 我们用数学归纳法证明存在$ h'>0, \tau'>0 $, 使得当$ h<h', \tau<\tau' $时, 对于任何$ 0\leq j\leq N $有

(4.7) $ \begin{equation} \|\theta^j\|_h\leq C'(h^2+\tau), \end{equation} $

这里, $ C' $是与$ j, h, \tau $无关的常数.

当$ j = 0 $时, 由于$ \theta^0 = 0 $, (4.7) 式成立. 设对任何$ j\leq n-1 $, (4.7) 式成立, 那么应用(2.4) 式有

$ \begin{eqnarray*} \|\theta^j\|_{0, 2k}\leq \max\limits_{1\leq k\leq4} \{C(k)\}\|\theta^j\|_{1, h}\leq C\|\theta^j\|_{h}\leq CC'(h^2+\tau). \end{eqnarray*} $

于是, 当$ \tau< \tau_1\leq1/(2CC'+1), h< h_1\leq\sqrt{1/(2CC'+1)} $时, 有

(4.8) $ \begin{eqnarray} \|\theta^j\|_{0, 2k}< 1, k = 1, 2, 3, 4. \end{eqnarray} $

当$ j = n $时, 在(4.4) 式取$ w_h = \zeta^n, \varphi_h = \partial_t\theta^n $,

(4.9) $ \begin{eqnarray} &&\tau ra_h(\zeta^n, \zeta^n)+\tau \|\zeta^n\|_0^2+\tau a_h(\theta^n, \partial_t\theta^n)\\ & = &-\tau(\partial_t\rho^n, \zeta^n) -r\tau a_h(\eta^n, \zeta^n)-\tau(\eta^n, \zeta^n)-\tau(f(u^n)-f(U_h^{n-1}), \zeta^n)\\ &&+\tau(R_1^n, \zeta^n)+\tau(\eta^n, \partial_t\theta^n)-\tau a_h(\rho^n, \partial_t\theta^n)\doteq\sum^7_{i = 1}F_i. \end{eqnarray} $

下面对$ F_i(i = 1, \cdot\cdot\cdot, 7) $进行估计. 首先注意到$ \varphi, \varphi_t\in L^2(\Omega) $时, 有

(4.10) $ \begin{eqnarray} \|\partial_t\varphi^n\|^2_0 \leq \frac{C}{\tau}\int^{t_n}_{t_{n-1}}\|\varphi_t\|^2_0{\rm d}s \end{eqnarray} $

成立$ (n = 1, \cdots , N) $, 则有

$ F_1 \leq Ch^4\int^{t_n}_{t_{n-1}}\|u_t\|^2_2{\rm d}s+\frac{\tau}{8}\|\zeta^n\|_0^2\leq C\tau h^4\|u_t\|^2_{L^\infty{(H^2(\Omega))}}+\frac{\tau}{8}\|\zeta^n\|_0^2. $

利用(2.2) 式及(4.5) 式, 可得

$ F_2+F_3+F_5 \leq C\tau h^4\|v\|_{L^\infty{(H^3(\Omega))}}^2+C\tau^3\|u_{tt}\|_{L^\infty{(L^2(\Omega))}}^2 +\frac{r\tau\alpha_0}{2}\|\zeta^n\|^2_h+\frac{\tau}{8}\|\zeta^n\|_0^2. $

注意到

(4.11) $ \begin{equation} (\varphi^n, \partial_tr^n) = \partial_t(\varphi^n, r^n)-(\partial_t\varphi^n, r^{n-1}) \end{equation} $

及

(4.12) $ \begin{eqnarray} \|\partial_{t}\varphi^n\|_h^2 \leq\frac{C}{\tau}\int^{t_{n}}_{t_{n-1}}\|\varphi_t\|^2_h{\rm d}s (n = 1, \cdots , N) \end{eqnarray} $

成立, 则有

$ \begin{eqnarray*} F_6+F_7 &\leq&\tau\partial_t(\eta^n, \theta^n)-\tau\partial_ta_h(\rho^n, \theta^n)+Ch^4\int^{t_{n}}_{t_{n-1}}(\|v_t\|^2_2+\|u_t\|^2_3){\rm d}s+C\tau\|\theta^{n-1}\|_h^2\nonumber\\ &\leq&\tau\partial_t(\eta^n, \theta^n)-\tau\partial_ta_h(\rho^n, \theta^n)+C\tau h^4(\|v_t\|_{L^\infty{(H^2(\Omega))}}^2+\|u_t\|_{L^\infty{(H^3(\Omega))}}^2) +C\tau\|\theta^{n-1}\|_h^2. \end{eqnarray*} $

由于

$ F_4 = -\tau(f(u^n)-f(u^{n-1}), \zeta^n)-\tau(f(u^{n-1})-f(U_h^{n-1}), \zeta^n)\doteq F_{41}+F_{42}. $

而由Sobolve嵌入定理, (2.4) 式及(4.8) 式有

$ \begin{eqnarray*} F_{41} &\leq&\tau[\|u^n-u^{n-1}\|_{0, 4}(\|u^n\|^2_{0, 8}+\|u^n\|_{0, 8}\|u^{n-1}\|_{0, 8}+\|u^{n-1}\|^2_{0, 8})+\|u^n-u^{n-1}\|_0]\|\zeta^n\|_0\nonumber\\ &\leq&C\tau^3\|u_t\|^2_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}\|u\|_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}^4+\frac{\tau}{8}\|\zeta^n\|_0^2 \leq C\tau^3+\frac{\tau}{8}\|\zeta^n\|_0^2. \\ F_{42} &\leq&C\tau[\|U_h^{n-1}-u^{n-1}\|^3_{0, 6}+\|U_h^{n-1}-u^{n-1}\|^2_{0, 4}\|u\|_{0, \infty}+\|U_h^{n-1}-u^{n-1}\|_0\|u\|^2_{0, \infty}\nonumber\\ &&+\|U_h^{n-1}-u^{n-1}\|_0]\|\zeta^n\|_0\nonumber\\ &\leq& C\tau h^4(\|u\|^6_{L^\infty{(H^3(\Omega))}}+\|u\|^4_{L^\infty{(H^3(\Omega))}}+\|u\|^2_{L^\infty{(H^2(\Omega))}}) +\frac{\tau}{8}\|\zeta^n\|_0^2+C\tau\|\theta^{n-1}\|^2_h\nonumber\\ &\leq& C\tau h^4+\frac{\tau}{8}\|\zeta^n\|_0^2+C\tau\|\theta^{n-1}\|^2_h. \end{eqnarray*} $

于是

$ \begin{eqnarray*} F_{4}&\leq& C\tau(\tau^2+h^4)+\frac{\tau}{4}\|\zeta^n\|_0^2+C\tau\|\theta^{n-1}\|^2_h. \end{eqnarray*} $

将上述关于$ F_i(i = 1, \cdot\cdot\cdot, 7) $的估计代入(4.9) 式, 注意到$ \theta(0) = 0 $, (2.3) 式及

(4.13) $ \begin{eqnarray} a_h(\varphi^n, \partial_t\varphi^n) = \frac{1}{2}\partial_ta_h(\varphi^n, \varphi^n)+\frac{1}{2\tau}a_h(\varphi^n-\varphi^{n-1}, \varphi^n-\varphi^{n-1}) \end{eqnarray} $

成立, 再将$ n $替换为$ i $, 并关于$ i $从1到$ n $求和可得

$ \begin{eqnarray*} &&\alpha_0r\tau \sum^n_{i = 1}\|\zeta^i\|_h^2+\tau \sum^n_{i = 1}\|\zeta^i\|_0^2+\alpha_0\|\theta^n\|_h^2\nonumber\\ &\leq& C\tau \sum^n_{n = 1}\|\theta^{i-1}\|^2_h+C(h^4+\tau^2)+2[(\eta^n, \theta^n)-a_h(\rho^n, \theta^n)]\nonumber\\ &\leq& C\tau\ \sum^{n-1}_{n = 1}\|\theta^{i}\|^2_h+C(h^4+\tau^2)+\frac{\alpha_0}{2}\|\theta^n\|_h^2. \end{eqnarray*} $

对上式应用离散的Gronwall引理, 存在正常数$ C_1, \tau_2 $, 使得当$ \tau< \tau_2 $时有

$ \begin{eqnarray*} \|\theta^n\|_h\leq C_1(h^2+\tau). \end{eqnarray*} $

取$ C'\geq C_1, \tau'\leq \min \tau_i(1\leq i\leq 2), h'\leq h_1, $则对于任意的$ 0\leq j\leq N $, (4.7) 式成立.

其次, 我们证明存在$ h''>0, \tau''>0 $, 使得当$ h<h'', \tau<\tau'' $时, 对于任何$ 0\leq j\leq N $有

(4.14) $ \begin{equation} \|\zeta^j\|_h\leq C''(h^2+\tau), \end{equation} $

这里, $ C'' $是与$ j, h, \tau $无关的常数.

当$ j = 0 $时, 由于$ \zeta^0 = 0 $, (4.14) 式成立. 设对任何$ j\leq n-1 $, (4.14) 式成立.

当$ j = n $时, 首先由问题$ (4.4) $可得

(4.15) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} {\rm (a)}{\quad} (\partial_t\theta^n, w_h)+ra_h(\zeta^n, w_h)+(\zeta^n, w_h) = -(\partial_t\rho^n, w_h)\\ \quad -ra_h(\eta^n, w_h)-(\eta^n, w_h)-(f(u^n)-f(U_h^{n-1}), w_h)+(R_1^n, w_h), & \forall w_h\in M_h, \\ {\rm (b)}{\quad} (\partial_t\zeta^n, \varphi_h)-a_h(\partial_t\theta^n, \varphi_h) = -(\partial_t\eta^n, \varphi_h)+a_h(\partial_t\rho^n, \varphi_h), & \forall \varphi_h\in M_h.\\ \end{array} \right. \end{equation} $

在(4.15(a)) 式中取$ w_h = \partial_t\zeta^n, $ (4.15(b)) 式中取$ \varphi_h = \partial_t\theta^n $, 两式相减后两边同乘$ 2\tau $, 再将$ n $替换为$ i $并关于$ i $从1到$ n $求和则有

(4.16) $ \begin{eqnarray} &&2\tau r\sum^n_{i = 1}a_h(\zeta^i, \partial_t\zeta^i)+2\tau \sum^n_{i = 1}(\zeta^i, \partial_t\zeta^i)+2\tau \sum^n_{i = 1}a_h(\partial_t\theta^i, \partial_t\theta^i) {}\\ & = &-2\tau \sum^n_{i = 1}(\partial_t\rho^i, \partial_t\zeta^i) -2\tau r\sum^n_{i = 1}a_h(\eta^i, \partial_t\zeta^i)-2\tau \sum^n_{i = 1}(\eta^i, \partial_t\zeta^i) {}\\ &&-2\tau \sum^n_{i = 1}(f(u^i)-f(U_h^{i-1}), \partial_t\zeta^i) +2\tau \sum^n_{i = 1}(R_1^i, \partial_t\zeta^i)+2\tau \sum^n_{i = 1}(\partial_t\eta^i, \partial_t\theta^i){}\\ &&-2\tau \sum^n_{i = 1}a_h(\partial_t\rho^i, \partial_t\theta^i)\doteq\sum^7_{i = 1}Q_i. \end{eqnarray} $

下面对$ Q_i(i = 1, \cdot\cdot\cdot, 7) $进行估计. 利用(2.2) 式, 并注意到

(4.17) $ \begin{equation} (\partial_t\varphi^i, \partial_tr^i) = \frac{(\partial_t\varphi^i, r^i)-(\partial_t\varphi^{i-1}, r^{i-1})}{\tau}-(\frac{\varphi^i-2\varphi^{i-1}+\varphi^{i-2}}{\tau^2}, r^{i-1}) \end{equation} $

及

(4.18) $ \begin{equation} \bigg\|\frac{\varphi^i-2\varphi^{i-1}+\varphi^{i-2}}{\tau^2} \bigg\|_0^2\leq\frac{C}{\tau}\int^{t_i}_{t_{i-2}}\|\varphi_{tt}\|_0^2{\rm d}s, \end{equation} $

有

$ \begin{eqnarray*} Q_1 & = &-2(\partial_t\rho^n, \zeta^n)+2\tau\sum^n_{i = 2} \bigg(\frac{\rho^i-2\rho^{i-1}+\rho^{i-2}}{\tau^2}, \zeta^{i-1}\bigg)\nonumber\\ &\leq&Ch^4(\|u_t\|^2_{L^\infty(H^2(\Omega))}+\|u_{tt}\|_{L^\infty(H^2(\Omega))}^2)+\frac{1}{6}\|\zeta^n\|^2_0 +C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^i\|_h^2 \end{eqnarray*} $

及

$ \begin{eqnarray*} Q_2+Q_3 & = &-2ra_h(\eta^n, \zeta^n)-2(\eta^n, \zeta^n)+2\tau r\sum^n_{i = 1}a_h(\partial_t\eta^i, \zeta^{i-1})+2\tau\sum^n_{i = 1}(\partial_t\eta^i, \zeta^{i-1})\nonumber\\ &\leq&Ch^4(\|v\|^2_{L^{\infty}(H^3(\Omega))}+\|v_t\|^2_{L^{\infty}(H^3(\Omega))})+\frac{\alpha_0r}{4}\|\zeta^{n}\|_h^2+\frac{1}{6}\|\zeta^{n}\|_0^2 +C\tau\sum^n_{i = 1}\|\zeta^{i-1}\|_h^2. \end{eqnarray*} $

利用(4.5) 式, 并注意到

$ \|\partial_tR^n_1\|^2_0 = \bigg\|\frac{u^n-2u^{n-1}+u^{n-2}}{\tau^2}-\frac{u^n_t-u^{n-1}_t}{\tau}\bigg\|^2_0 \leq \tau^2\|u_{ttt}\|^2_{L^{\infty}(L^2(\Omega))}, $

则有

$ Q_5 \leq C\tau^2(\|u_{tt}\|^2_{L^{\infty}(L^2(\Omega))}+\|u_{ttt}\|^2_{L^{\infty}(L^2(\Omega))})+\frac{1}{6}\|\zeta^n\|_0^2+C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^{i}\|_h^2. $

再次利用(4.10) 式、(4.12) 式和(2.2) 式, 同时注意到引理2.1成立, 可得

(4.19) $ \begin{eqnarray} Q_6+Q_7 &\leq&C\tau \sum^n_{i = 1}(\|\partial_t\eta^i\|_0^2+\|\partial_t\rho^i\|_h^2)+\frac{\alpha_0}{2}\tau\sum^n_{i = 1}\|\partial_t\theta^i\|_h^2\\ &\leq&Ch^4 (\|v_t\|_{L^{\infty}(H^2(\Omega))}^2+\|u_t\|_{L^{\infty}(H^3(\Omega))}^2)+\frac{\alpha_0}{2}\tau\sum^n_{i = 1}\|\partial_t\theta^i\|_h^2. \end{eqnarray} $

而利用(4.11) 式有

(4.20) $ \begin{eqnarray} Q_4 & = &-2\tau\sum^n_{i = 1}(f(u^i)-f(u^{i-1}), \partial_t\zeta^i)-2(f(u^{n-1})-f(U_h^{n-1}), \zeta^n)\\ &&+2\tau\sum^n_{i = 2}(\frac{(f(u^{i-1})-f(U_h^{i-1}))-(f(u^{i-2})-f(U_h^{i-2}))}{\tau}, \zeta^{i-1})\\ &\doteq& Q_{41}+Q_{42}+Q_{43} \end{eqnarray} $

及

(4.21) $ \begin{eqnarray} Q_{41} & = &-2(f(u^{n})-f(u^{n-1}), \zeta^n)+2\sum^n_{i = 2}(f(u^{i})-2f(u^{i-1})+f(u^{i-2}), \zeta^{i-1})\\ &\doteq& Q_{411}+Q_{412}. \end{eqnarray} $

类似于$ F_{41} $的估计有

$ Q_{411} = -2(f(u^{n})-f(u^{n-1}), \zeta^n) \leq C\tau^2+\frac{1}{8}\|\zeta^n\|_0^2. $

而利用泰勒公式可得

$ \begin{eqnarray*} Q_{412} & = &2\sum^n_{i = 2}((u^{i})^3-2(u^{i-1})^3+(u^{i-2})^3, \zeta^{i-1})-2\sum^n_{i = 2}(u^{i}-2u^{i-1}+u^{i-2}, \zeta^{i-1})\nonumber\\ &\leq&C\tau^2(\|u\|_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}^4\|u_{tt}\|_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}^2+ \|u\|_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}^2\|u_{t}\|_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}^4\nonumber\\ &&+\|u_{tt}\|_{L^\infty{(L^2(\Omega))}}^2)+C\tau\sum^n_{i = 2}\|\zeta^{i-1}\|^2_0\leq C\tau^2+C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^{i}\|^2_0. \end{eqnarray*} $

将上面两式的估计代入(4.21) 式, 可得

$ \begin{eqnarray*} Q_{41}\leq C\tau^2+\frac{1}{8}\|\zeta^n\|_0^2+C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^{i}\|^2_0. \end{eqnarray*} $

利用$ F_{42} $的估计技巧及(4.7) 式可得

$ Q_{42} \leq Ch^4+\frac{1}{8}\|\zeta^n\|_0^2+C\|\theta^{n-1}\|^2_h\leq C(h^4+\tau^2)+\frac{1}{8}\|\zeta^n\|_0^2. $

(4.22) $ \begin{eqnarray} Q_{43} & = &2\tau\sum^n_{i = 2}(f'(\lambda^{i-1}_1)\partial_tu^{i-1}-f'(\lambda^{i-1}_2)\partial_tU_h^{i-1}, \zeta^{i-1})\\ & = &2\tau\sum^n_{i = 2}((f'(\lambda^{i-1}_1)-f'(\lambda^{i-1}_2))\partial_tu^{i-1}, \zeta^{i-1}) +2\tau\sum^n_{i = 2}(f'(\lambda^{i-1}_2)(\partial_tu^{i-1}-\partial_tU_h^{i-1}), \zeta^{i-1})\\ &\doteq& Q_{431}+Q_{432}, \end{eqnarray} $

其中, $ \lambda^{i-1}_1 = u^{i-2}+\sigma_1(u^{i-1}-u^{i-2}) $, $ \lambda^{i-1}_2 = U_h^{i-2}+\sigma_2(U_h^{i-1}-U_h^{i-2}) $, $ 0<\sigma_1, \sigma_2<1 $. 由于对任意的正整数$ 1\leq q<+\infty $有Sobolve嵌入定理, $ H^1(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega) $, $ H^3(\Omega)\hookrightarrow W^{2, q}(\Omega) $成立, 从而当$ q = 2, 4, 6, 8 $时有

$ \begin{eqnarray} \|\lambda^{i-1}_1-\lambda^{i-1}_2\|_{0, q} & = &\|(\sigma_1-\sigma_2)(u^{i-1}-u^{i-2})+\sigma_2(u^{i-1}-U_h^{i-1})+(1-\sigma_2)(u^{i-2}-U_h^{i-2})\|_{0, q}\\ &\leq& 2\tau\|u_t\|_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}+Ch^2(\|u^{i-1}\|_{2, q}+\|u^{i-2}\|_{2, q})+(\|\theta^{i-1}\|_{0, q}+\|\theta^{i-2}\|_{0, q})\\ &\leq& 2\tau\|u_t\|_{L^\infty{(H^1(\Omega))}}+Ch^2\|u\|_{L^\infty{(H^3(\Omega))}}+2C'(h^2+\tau) \leq C_2(h^2+\tau). \end{eqnarray} $

因此当$ h<h_2\leq\frac{1}{\sqrt{2(C_2+1)}}, \tau<\tau_3\leq\frac{1}{2(C_2+1)} $时, 对于$ q = 2, 4, 6, 8 $有

$ \|\lambda^{i-1}_1-\lambda^{i-1}_2\|_{0, q}<1. $

利用$ b^2-a^2 = (b-a)^2+2(b-a)a $, 可得当$ h<h_2, \tau<\tau_3 $时, 有

(4.23) $ \begin{eqnarray} Q_{431} & = &-6\tau\sum^n_{i = 2}(\partial_tu^{i-1}((\lambda^{i-1}_2-\lambda^{i-1}_1)^2+2(\lambda^{i-1}_2-\lambda^{i-1}_1)\lambda^{i-1}_1), \zeta^{i-1})\\ &\leq&C\tau\sum^n_{i = 2}(\|u_t\|^2_{0, \infty}\|\lambda^{i-1}_2-\lambda^{i-1}_1\|^4_{0, 4}+\|u\|_{0, \infty}^2\|\lambda^{i-1}_2-\lambda^{i-1}_1\|_{0}^2) +C\tau\sum^n_{i = 2}\|\zeta^{i-1}\|^2_h\\ &\leq& C(h^4+\tau^2)+C\tau\sum^n_{i = 2}\|\zeta^{i-1}\|^2_h. \end{eqnarray} $

再利用

$ \|\partial_{t}\varphi^n\|_{0, 4}^4 \leq\frac{C}{\tau}\int^{t_{n}}_{t_{n-1}}\|\varphi_t\|_{0, 4}^4{\rm d}s, {\quad} n = 1, \cdots , N. $

可得

(4.24) $ \begin{eqnarray} Q_{432} & = &12\tau\sum^n_{i = 2}(\lambda^{i-1}_1(\lambda^{i-1}_2-\lambda^{i-1}_1)(\partial_tu^{i-1}-\partial_tU_h^{i-1}), \zeta^{i-1})\\ &&+6\tau\sum^n_{i = 2}((\lambda^{i-1}_1-\lambda^{i-1}_2)^2(\partial_tu^{i-1}-\partial_tU_h^{i-1}), \zeta^{i-1})\\ &&+2\tau\sum^n_{i = 2}(f'(\lambda^{i-1}_1)(\partial_tu^{i-1}-\partial_tU_h^{i-1}), \zeta^{i-1})\\ &\leq&C\tau \bigg[\sum^n_{i = 2}\|\partial_tu^{i-1}-\partial_tU_h^{i-1}\|_{0, 4}\|\zeta^{i-1}\|_0+\sum^n_{i = 2}\|\partial_tu^{i-1}-\partial_tU_h^{i-1}\|_{0}\|\zeta^{i-1}\|_0 \bigg]\\ &\leq&C\tau\sum^n_{i = 2}\frac{1}{\tau^{\frac{1}{2}}}\bigg(\int^{t_{i-1}}_{t_{i-2}}\|\rho_t\|^4_{0, 4}{\rm d}s\bigg)^{\frac{1}{2}} +C\tau\sum^n_{i = 2}\frac{1}{\tau}\bigg(\int^{t_{i-1}}_{t_{i-2}}\|\rho_t\|^2_{0}{\rm d}s\bigg)\\ &&+\frac{\alpha_0}{2}\tau\sum^n_{i = 2}\|\partial_t\theta^{i-1}\|^2_{h} +C\tau\sum^n_{i = 2}\|\zeta^{i-1}\|_0^2\\ &\leq&Ch^4\|u_t\|^2_{L^{\infty}(H^3(\Omega))}+\frac{\alpha_0}{2}\tau\sum^n_{i = 2}\|\partial_t\theta^{i-1}\|^2_{h} +C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^{i}\|_h^2. \end{eqnarray} $

将(4.23) 式和(4.24) 式的估计代入(4.22) 式可得, 当$ h<h_2, \tau<\tau_3 $时, 有

$ \begin{eqnarray*} Q_{43}\leq Ch^4+\frac{\alpha_0}{2}\tau\sum^n_{i = 2}\|\partial_t\theta^{i-1}\|^2_{h} +C\tau\sum^n_{i = 2}\|\zeta^{i-1}\|_0^2+C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^{i}\|^2_h. \end{eqnarray*} $

将$ Q_{4i}(i = 1, 2, 3) $的估计代入(4.20) 式, 可得

$ \begin{eqnarray*} Q_4\leq C(\tau^2+h^4)+\frac{1}{4}\|\zeta^n\|_0^2 +\frac{\alpha_0}{2}\tau\sum^n_{i = 2}\|\partial_t\theta^{i-1}\|^2_{h} +C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^{n}\|^2_h. \end{eqnarray*} $

将$ Q_{i}(i = 1, 2, \cdot\cdot\cdot, 7) $的估计代入(4.16) 式, 同时利用(4.13) 式的思想及(2.3) 式可得

$ \begin{eqnarray*} \|\zeta^n\|_h^2 \leq C(h^4+\tau^2)+C\tau\sum^{n-1}_{i = 1}\|\zeta^{i}\|^2_h. \end{eqnarray*} $

对上式应用离散的Gronwall引理, 存在正常数$ C_3, \tau_4 $, 使得当$ \tau< \tau_4 $, $ h< h_2 $时有

$ \|\zeta^n\|_h\leq C_3(h^2+\tau). $

取$ C''\geq \max\limits_{2\leq i\leq3} C_i, \tau''\leq \min\limits_{1\leq i\leq4}{\tau_i}, h''\leq \min\limits_{1\leq i\leq2}{h_i}, $则对于任意的$ 0\leq j\leq N $, (4.14) 式成立.

综上, 再利用引理2.1和三角不等式, 易知(4.3) 式成立.

注4.1  对比发现, 本文得到了$ u, v $的在半离散格式及向后欧拉全离散格式下的误差估计, 与文献[14]和[15]同阶, 但去掉了文献[14]和[15]中$ \tau = O(h^2) $这一条件. 另外, 本文对$ u, v $的光滑度的要求$ (u, v\in H^3(\Omega)) $也比文献[14]及^[15]$ (u, v\in H^5(\Omega)) $要低.

注4.2  在定理4.1的证明中, 对于非线性项$ Q_4 $的估计是至关重要的, 这里采用了一个新的分裂技巧. 这也是本文的创新点之一.

在这一节, 我们将给出一个数值算例来验证理论分析的正确性和算法的有效性. 考虑如下EFK方程

(5.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} u_t+5\Delta^2 u-\Delta u+f(u) = g(X, t) , & (X, t)\in{{\Omega} \times (0, T]}, \\ u(X, t) = \Delta u(X, t) = 0, & (X, t)\in {{\partial{\Omega}} \times (0, T]}, \\ u(X, 0) = u_{0}(X), & X\in {\Omega}, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ \Omega = \left[ {0, 1} \right]^{2} $, $ f(u) = u^3-u, $$ g(X, t) $是由方程(5.1)和真解

$ u = e^{-t}(x^4-x^3)(y^4-y^3) $

确定的函数. 令$ v = -\triangle u $, 则有

$ \begin{eqnarray*} v = -e^{-t}[(30x^4-60x^3+36x^2-6x)(y^6-3y^5+3y^4-y^3)\\ +(30y^4-60y^3+36y^2-6y)(x^6-3x^5+3x^4-x^3)]. \end{eqnarray*} $

我们将区域$ \Omega = \left[ {0, 1} \right]^{2} $均匀剖分成$ m^{2} = 4^{2}, 8^{2}, 16^{2}, 32^{2} $和$ 64^{2} $的小正方形网格, 并取$ \tau = h^{2} $, 对方程(5.1) 利用(4.2) 式给出的逼近格式进行数值计算. 从表 1中可以看到当$ h\to 0 $时, $ \left\| {u^{n}-U_h^{n}} \right\|_h $和$ \left\| {v^{n}-V_h^{n}} \right\|_h $的收敛阶均为$ O\left( {h^2} \right) $. 与此同时，为了便于对比，我们在图 1–4中画出了方程(5.1) 的解$ u $和其数值解$ U_{h} $, 以及中间变量$ v $和它的数值解$ V_{h} $的图像. 由此表明数值实验结果和我们的理论分析是一致的.

本文是在内罚间断有限元框架下利用Wilson元对于EFK方程进行收敛性研究, 从理论结果来看, 与文献[31]直接应用完全间断的$ P_2 $或$ Q_2 $做有限元空间相比, 收敛阶相同, 均为最优阶误差估计结果. 我们也注意到, 文献[32, 33]得到了一些发展型偏微分方程间断有限元法的超收敛性. 如何应用内罚间断有限元法得到本文方程在$ \|*\|_h $模意义下的超收敛结果, 是我们下一步要开展的工作.