关于Hilbert空间上算子乘积有限和的奇异值不等式

关于Hilbert空间上算子乘积有限和的奇异值不等式

Singular Value Inequalities for Finite Sum of Products of Operators on Hilbert Space

摘要/Abstract

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数学物理学报 ›› 2011, Vol. 31 ›› Issue (5): 1385-1392.

方莉¹|张海燕²

1.西北大学数学系 |西安 710127|2.商丘师范大学数学系 |河南商丘 476000

收稿日期:2009-12-09 修回日期:2010-12-29 出版日期:2011-10-25 发布日期:2011-10-25
基金资助:
国家自然科学数学天元基金(11026134)和陕西省教育厅科学研究计划(09JK741)资助

FANG Li¹, ZHANG Hai-Yan²

1.Department of Mathematics, Northwest University, Xi'an 710127;
2.Department of Mathematics, Shangqiu Normal University, Henan Shangqiu 476000

Received:2009-12-09 Revised:2010-12-29 Online:2011-10-25 Published:2011-10-25
Supported by:
国家自然科学数学天元基金(11026134)和陕西省教育厅科学研究计划(09JK741)资助

摘要：

设A_k, B_k, X_kl (k, l=1, 2, …, n)是可分Hilbert空间H上的有界线性算子.该文证明了: 如果X_kl(k, l=1, 2, …, n)是紧算子, 则对于j=1, 2, …有

s_{j} (\sum_{k, l = 1}^{n} A_{k} X_{k l} B_{l}) ⩽ \sqrt{‖ \sum_{k = 1}^{n} | A_{k}^{*} |^{2} ‖} \cdot \sqrt{‖ \sum_{l = 1}^{n} | B_{k} |^{2} ‖} s_{j} ((X_{k l})_{n \times n}) (j = 1, 2, \dots),

$s_j\Big(\sum\limits_{k,l=1}^nA_kX_{kl}B_l\Big)\leqslant\sqrt{\Big\|\sum\limits_{k=1}^n|A_k^*|^2\Big\|}\cdot\sqrt{\Big\|\sum\limits_{l=1}^n|B_k|^2\Big\|}s_j(( X_{kl})_{n\times n})\ \ (j=1,2,\cdots),$
其中||•||是算子范数且( X_kl)_n×n是$\oplus_k=1ⁿH上的算子定义如下
$$( X_{kl})_{n\times n}=\left(\begin{array}{ccc}X_{11}&~~\cdots ~~&X_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\X_{n1}&\cdots &X_{nn}\end{array}\right).

关键词: 奇异值, 算子乘积, 紧算子, 不等式

Abstract:

Let $A_k,B_k,X_{kl}\ (k=1,2,\cdots,n,\mbox{ and }l=1,2,\cdots,n)$ be bounded linear operators on a complex separable Hilbert space ${\mathcal H}.$ In the present paper, it is shown that if $X_{kl}\ (k,l=1,2,\cdots,n)$ are compact, then

s_{j} (\sum_{k, l = 1}^{n} A_{k} X_{k l} B_{l}) ⩽ \sqrt{‖ \sum_{k = 1}^{n} | A_{k}^{*} |^{2} ‖} \cdot \sqrt{‖ \sum_{l = 1}^{n} | B_{k} |^{2} ‖} s_{j} ((X_{k l})_{n \times n})

$s_j\Big(\sum\limits_{k,l=1}^nA_kX_{kl}B_l\Big)\leqslant \sqrt{\Big\|\sum\limits_{k=1}^n|A_k^*|^2\Big\|}\cdot\sqrt{\Big\|\sum\limits_{l=1}^n|B_k|^2\Big\|} s_j(( X_{kl})_{n\times n})$
for

j = 1, 2, \dots,

$j=1,2,\cdots,$ where

‖ \cdot ‖

$\|\cdot\|$ is the usual operator norm and

(X_{k l})_{n \times n}

$( X_{kl})_{n\times n}$ is the operator defined on

$\oplus_{k=1}^n{\mathcal H}$ by $( X_{kl})_{n\times n} =\left(\begin{array}{ccc}X_{11}&~~\cdots~~ &X_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\X_{n1}&\cdots &X_{nn}\end{array}\right).

Key words: Singular value, Products of operators, Compact operator, Inequality

中图分类号:

47A30

方莉, 张海燕. 关于Hilbert空间上算子乘积有限和的奇异值不等式[J]. 数学物理学报, 2011, 31(5): 1385-1392.

FANG Li, ZHANG Hai-Yan. Singular Value Inequalities for Finite Sum of Products of Operators on Hilbert Space[J]. Acta mathematica scientia,Series A, 2011, 31(5): 1385-1392.

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