1 引言
趋化现象描述了细胞对环境变化的反应, 在诸如细胞聚集、胚胎发育和免疫反应等生物环境中都发挥着重要作用. 因此, 对趋化现象进行深入研究具有重要的实际意义和理论价值. 为了从数学上描述趋化现象, Keller 和 Segel[14 ] 于 1970 年提出了如下方程组
(1.1) $\left\{\begin{split}&\partial_{t}n=\Delta n-\nabla\cdot\big(nS(x,n,c)\nabla c\big),\ \ &x\in\Omega,t>0,\\&\partial_{t}c=\Delta c-c+n,\ \ &x\in\Omega,t>0,\\\end{split}\right.$
其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
悬浮在水滴中的枯草芽孢杆菌种群自发形成羽状聚集体的现象不仅说明了细胞之间存在相互作用, 还揭示了细胞和周围流体介质之间的相互影响. Tuval[29 ] 等提出用如下趋化-(Navier-)Stokes 系统
(1.2) $\left\{\begin{split}&\partial_{t}n+u\cdot\nabla n=\Delta n-\nabla\cdot\big(nS\nabla c\big),\\&\partial_{t}c+u\cdot\nabla c=\Delta c-nf(c),\\&\partial_{t}u+\kappa(u\cdot\nabla)u+\nabla P=\Delta u+n\nabla \phi,\\&\nabla\cdot u=0\\\end{split}\right.$
来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ].
当信号由细胞产生而非消耗时, 模型 (1.2) 可变为如下方程组
(1.3) $\left\{\begin{split}&\partial_{t}n+u\cdot\nabla n=\Delta n-\nabla\cdot\big(nS\nabla c\big),\\&\partial_{t}c+u\cdot\nabla c=\Delta c-c+n,\\&\partial_{t}u+\kappa(u\cdot\nabla)u+\nabla P=\Delta u+n\nabla \phi,\\&\nabla\cdot u=0.\\\end{split}\right.$
根据模型 (1.1) 的研究结果, 有关系统 (1.3) 的大多研究都致力于在体积填充假设
下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] .
对于完全抛物型 Keller-Segel-(Navier-)Stokes 系统
(1.5) $\left\{\begin{split}&\partial_t{n_{\epsilon}}+u_{\epsilon}\cdot\nabla n_{\epsilon}=\Delta n_{\epsilon}-\nabla\cdot\Big(n_{\epsilon}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot\nabla c_{\epsilon}\Big)+f(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon}),&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\epsilon\partial_t{c_{\epsilon}}+u_{\epsilon}\cdot\nabla c_{\epsilon}=\Delta{c_{\epsilon}}-c_{\epsilon}+n_{\epsilon},\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\partial_t{u_{\epsilon}}+\kappa(u_{\epsilon}\cdot\nabla)u_{\epsilon}+\nabla P_{\epsilon}=\Delta{u_{\epsilon}}+n_{\epsilon}\nabla\phi,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\nabla\cdot\ {u_{\epsilon}}=0,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\Big(\nabla n_{\epsilon}-n_{\epsilon}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot \nabla c_{\epsilon}\Big)\cdot \nu=\nabla c_{\epsilon}\cdot\nu=0,u_{\epsilon}=0, &&x\in\partial\Omega,\,t>0,\\&n_{\epsilon}(x,0)=n_{0}(x), c_{\epsilon}(x,0)=c_{0}(x), u_{\epsilon}(x,0)=u_{0}(x),&&x\in\Omega,\\\end{split}\right.$
Wang[34 ] 等证明了当初始值 $(n_{0},c_{0},u_{0})$ $\Vert n_{0}\Vert_{L^{p}(\Omega)}\leq\delta,\ \Vert \nabla c_{0}\Vert_{L^{m}(\Omega)}\leq\delta,\ \Vert u_{0}\Vert_{L^{s}(\Omega)}\leq\delta$ $f\equiv 0$ $\delta>0$ $p,\ m,\ s>N\geq 2$ $\sup\limits_{\epsilon}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{\lambda}{((0,T);L^{q}(\Omega))}}<\infty$ $\sup\limits_{\epsilon}\Vert u_{\epsilon}\Vert_{L^{\infty}{((0,T);L^{r}(\Omega))}}<\infty$ $\lambda\in(2,\infty]$ $q>N\geq 2$ $r>\max\{2,N\}$ $\frac{1}{\lambda}+\frac{N}{2q}<\frac{1}{2}$ $(n_{\epsilon},c_{\epsilon},u_{\epsilon},P_{\epsilon})$
(1.6) $\left\{\begin{split}&\partial_t{n}+u\cdot\nabla n=\Delta n-\nabla\cdot\Big(nS(x,n,c)\cdot\nabla c\Big)+f(x,n,c),&&x\in\Omega,\,t>0,\\&u\cdot\nabla c=\Delta{c}-c+n,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\partial_t{u}+\kappa(u\cdot\nabla u)+\nabla P=\Delta{u}+n\nabla\phi,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\nabla\cdot\ u=0,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\Big(\nabla n-nS(x,n,c)\cdot \nabla c\Big)\cdot \nu=\nabla c\cdot\nu=0,u=0,&&x\in\partial\Omega,\,t>0,\\&n(x,0)=n_{0}(x),u(x,0)=u_{0}(x),&&x\in\Omega\\\end{split}\right.$
的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ].
2 主要结果
本文研究三维完全抛物型 Keller-Segel-Stokes 系统
(2.1) $\left\{\begin{split}&\partial_t{n_{\epsilon}}+u_{\epsilon}\cdot\nabla n_{\epsilon}=\Delta n_{\epsilon}-\nabla\cdot\Big(n_{\epsilon}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot\nabla c_{\epsilon}\Big),&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\epsilon\partial_t{c_{\epsilon}}+u_{\epsilon}\cdot\nabla c_{\epsilon}=\Delta{c_{\epsilon}}-c_{\epsilon}+n_{\epsilon},&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\partial_t{u_{\epsilon}}+\nabla P_{\epsilon}=\Delta{u_{\epsilon}}+n_{\epsilon}\nabla\phi,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\nabla\cdot\ {u_{\epsilon}}=0,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\Big(\nabla n_{\epsilon}-n_{\epsilon}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot \nabla c_{\epsilon}\Big)\cdot \nu=\nabla c_{\epsilon}\cdot\nu=0,u_{\epsilon}=0,\,&&x\in\partial\Omega,\,t>0,\\&n_{\epsilon}(x,0)=n_{0}(x),c_{\epsilon}(x,0)=c_{0}(x),u_{\epsilon}(x,0)=u_{0}(x),&&x\in\Omega\\\end{split}\right.$
在初始细胞质量充分小时快速信号扩散极限的收敛速率, 其中 $\Omega\subset \mathbb R^{3}$ $\epsilon\in(0,1)$ $S=(S_{ij})_{3\times3}$
(2.2) $S_{ij}(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\in C^{2}(\overline \Omega\times[0,\infty)\times[0,\infty))$
(2.3) $\vert S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\vert\leq\frac{C_{S}}{(1+n_{\epsilon})^{\alpha}},$
其中 $C_{S}$ $\alpha$ $\alpha>\frac{1}{2}$ $\phi$
(2.4) $\phi\in W^{2,\infty}(\Omega).$
对于初始值 $n_{0}$ $c_{0}$ $u_{0},$
(2.5) $\left\{\begin{split}&n_{0}\in W^{1,\infty}(\Omega),n_{0}\geq 0, \ n_{0}\not\equiv 0, \ x\in\overline\Omega,\\&c_{0}\in W^{1,\infty}(\Omega),c_{0}\geq 0, \ c_{0}\not\equiv 0, \ x\in\overline\Omega,\\&u_{0}\in W^{2,\infty}(\Omega;\mathbb R^{3}), \ \nabla \cdot u_{0}\equiv 0, \ x\in\Omega, \ u_{0}=0, \ x\in\partial\Omega.\\\end{split}\right.$
在本文中, 我们定义 Stokes 算子 $\mathcal{A}_{p}:=-\mathcal{P}\Delta$ $D(\mathcal{A}_{p}):=W^{2,p}(\Omega)\cap W_{0}^{1,p}(\Omega)\cap L_{\sigma}^{p}({\Omega})$ $\mathcal{P}:L^{p}(\Omega,\mathbb{R}^{N})\rightarrow L_{\sigma}^{p}({\Omega})$ $L_{\sigma}^{p}({\Omega}):=\overline {\{\varphi\in C_{0}^{\infty}(\Omega,\mathbb{R}^{N});\nabla \cdot \varphi=0 \}} ^{\Vert\cdot\Vert_{L^{p}(\Omega)}},$ $p\in(1,\infty)$ . 由于在 $D(\mathcal{A}_{p_{1}})\cap D(\mathcal{A}_{p_{2}})$ $\mathcal{A}_{p_{1}}=\mathcal{A}_{p_{2}}$ $p$ .
定理 2.1 设 $\Omega\subset \mathbb R^{3}$ $\delta>0$
时, 系统 (2.1) 的解 $(n_{\epsilon},c_{\epsilon},u_{\epsilon},P_{\epsilon})$ $p>1$ $\mu>0$ $C_{1}>0$
其中 $\overline n_{0}:=\frac{1}{\vert \Omega\vert}\int_{\Omega}n_{0}(x)\mathrm{d}x$ . 进而, 当 $\epsilon\rightarrow 0$ $(n_{\epsilon},c_{\epsilon},u_{\epsilon},P_{\epsilon})$
(2.6) $\left\{\begin{split}&\partial_t{n}+u\cdot\nabla n=\Delta n-\nabla\cdot\Big(nS(x,n,c)\cdot\nabla c\Big),&&x\in\Omega,\,t>0,\\&u\cdot\nabla c=\Delta{c}-c+n,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\partial_t{u}+\nabla P=\Delta{u}+n\nabla\phi,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\nabla\cdot\ u=0,\,\,&&x\in\Omega,\,t>0,\\&\Big(\nabla n-nS(x,n,c)\cdot \nabla c\Big)\cdot \nu=\nabla c\cdot\nu=0,u=0,\,&&x\in\partial\Omega,\,t>0,\\&n(x,0)=n_{0}(x),u(x,0)=u_{0}(x),&&x\in\Omega\\\end{split}\right.$
的解 $(n,c,u,P)$ $C_{2}>0$
(2.7) $\left\{\begin{split}&\Vert n_{\epsilon}(\cdot,t)-n(\cdot,t)\Vert_{L^{2}(\Omega)}+\Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)-n(\cdot,s)\Vert_{L^{2}((0,t);W^{1,2}(\Omega))}\leq C_{2}(1+t)^{\frac{1}{2}}\epsilon^{\frac{1}{2}},\\&\Vert c_{\epsilon}(\cdot,s)-c(\cdot,s)\Vert_{L^{2}((0,t);W^{1,2}(\Omega))}\leq C_{2}(1+t)^{\frac{1}{2}}\epsilon^{\frac{1}{2}},\\&\Vert u_{\epsilon}(\cdot,t)-u(\cdot,t)\Vert_{W^{1,2}(\Omega)}+\Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)-u(\cdot,s)\Vert_{L^{2}((0,t);W^{1,2}(\Omega))}\leq C_{2}(1+t)^{\frac{1}{2}}\epsilon^{\frac{1}{2}}.\\\end{split}\right.$
进一步, 对于任意的 $\theta\in(\frac{3}{4},1)$ $p>2$ $C_{3}:=C_{3}(\theta)>0$ $C_{4}:=C_{4}(p)>0$
注 2.1 Li, Xiang 和 Zhou 在文献[18 ]中研究了二维 Keller-Segel-Navier-Stokes 系统在初始细胞质量 $\Vert n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}$
注 2.2 由于在条件 (2.2)-(2.5) 下, 存在常数 $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$ $t\in(0,\infty)$ $\int_{0}^{t}\int_{\Omega}\partial_{t}{c_{\epsilon}c}\leq C(1+t) $
3 预备知识
引理 3.1 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立, 则对所有 $\epsilon\in(0,1)$ $\Omega\times(0,\infty)$ $n_{\epsilon}\geq 0$ $c_{\epsilon}\geq0$
引理 3.2 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ $s>1$ $C>0$
引理 3.3 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ . 若存在常数 $p>1$ $Q>0$ $t\in(0,\infty)$ $\Vert n_{\epsilon}(\cdot,t)\Vert_{L^{p}(\Omega)}\leq Q$ $p$ $Q$ $c_{0}$ $C(p,Q,c_{0})>0$ $\epsilon\in(0,1)$
引理 3.4 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ $s>1$ $C>0$
引理 3.5 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ $C>0$
引理 3.6 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ $q>1$ $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
$\Vert u_{\epsilon}(\cdot,t)\Vert_{L^{q}(\Omega)}\leq C,\ \ \ t\in(0,\infty).$
引理 3.7 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立, 则存在常数 $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
引理 3.8 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立, 则对任意 $m>1$ $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
证 首先考虑 $m>\frac{3}{2}$ $\nabla$ $(2.1)_{2}$ $\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\nabla c_{\epsilon}$
(3.1) $\begin{matrix}&\frac{\epsilon}{2m}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}-\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\nabla c_{\epsilon}\cdot\Delta\nabla c_{\epsilon}+\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m} \\=&\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\nabla c_{\epsilon}\cdot \nabla n_{\epsilon}-\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\nabla c_{\epsilon}\cdot \nabla (u_{\epsilon}\cdot\nabla c_{\epsilon}).\end{matrix}$
利用 $\nabla c_{\epsilon}\cdot\nabla\Delta c_{\epsilon}=\frac{1}{2}\Delta\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}-\vert D^{2}c_{\epsilon}\vert^{2}$ $t\in(0,\infty)$
(3.2) $\begin{matrix}&\frac{\epsilon}{2m}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}+\frac{m-1}{2}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}|^{2(m-2)}\vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}|^{2}+\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\vert D^{2}c_{\epsilon}\vert^{2}+\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m} \\=&\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\nabla n_{\epsilon}\cdot \nabla c_{\epsilon}+(m-1)\int_{\Omega}(u_{\epsilon}\cdot\nabla c_{\epsilon})\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-2)}\nabla c_{\epsilon}\cdot\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2} \\& +\int_{\Omega}(u_{\epsilon}\cdot\nabla c_{\epsilon})\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\Delta c_{\epsilon}+\frac{1}{2}\int_{\partial \Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\frac{\partial \vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}}{\partial \nu}.\end{matrix}$
对于 (3.2) 式右边的第 $1$ $|\Delta c_{\epsilon}|^{2}\leq 3|D^{2}c_{\epsilon}|^{2}$
(3.3) $\begin{matrix}& \, \int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\nabla n_{\epsilon}\cdot \nabla c_{\epsilon} \\&=-\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)} n_{\epsilon}\Delta c_{\epsilon}-(m-1)\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-2)}n_{\epsilon}\nabla c_{\epsilon}\cdot\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2} \\&\leq \sqrt{3}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)} n_{\epsilon}\vert D^{2} c_{\epsilon}\vert+(m-1)\int_{\Omega}n_{\epsilon}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m-3}\vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}\vert \\&\leq \frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\vert D^{2} c_{\epsilon}\vert^{2}+\frac{m-1}{4}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-2)}\vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}\vert^{2}+(m+\frac{1}{2})\int_{\Omega}n_{\epsilon}^{2}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}.\end{matrix}$
对于 (3.2) 式右边的第 $2$ $3$
(3.4) $\begin{matrix}&(m-1)\int_{\Omega}(u_{\epsilon}\cdot\nabla c_{\epsilon})\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-2)}\nabla c_{\epsilon}\cdot\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2} \\\leq\ &\frac{m-1}{8}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-2)}\vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}\vert^{2}+2(m-1)\int_{\Omega}\vert u_{\epsilon}\vert^{2}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}\end{matrix}$
(3.5) $\begin{matrix}\int_{\Omega}(u_{\epsilon}\cdot\nabla c_{\epsilon})\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\Delta c_{\epsilon}&\leq \sqrt{3}\int_{\Omega}\vert u_{\epsilon}\vert\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m-1} \vert D^{2} c_{\epsilon}\vert \\&\leq\frac{1}{2}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)} \vert D^{2} c_{\epsilon}\vert^{2}+\frac{3}{2}\int_{\Omega}\vert u_{\epsilon}\vert^{2}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}.\end{matrix}$
对于 (3.2) 式右边的最后一项, 结合文献[20 ,引理 4.2], 即 $\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}\cdot\nu\leq 2C_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}$ $C_{\Omega}$ $\Omega$ $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}>0$
(3.6) $\begin{matrix}\frac{1}{2}\int_{\partial \Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}\frac{\partial \vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}}{\partial \nu}&\leq C_{1}\int_{\partial \Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}\leq C_{2}\Vert\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{W^{\frac{3}{4},2}(\Omega)}^{2} \\& \leq C_{3}\Vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3(2m-1)}{3m-1}}\Vert\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{\frac{2}{m}}(\Omega)}^{\frac{1}{3m-1}}+C_{3}\Vert\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{\frac{2}{m}}(\Omega)}^{2} \\& \leq \frac{m-1}{4m^{2}}\int_{\Omega}\vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\vert^{2}+C_{4}.\end{matrix}$
将 (3.3)、(3.4)、(3.5) 和 (3.6) 式代入 (3.2) 式可得, 存在常数 $C_{5}>0$
(3.7) $\begin{matrix} &\epsilon\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}+\frac{m-1}{2m}\int_{\Omega}\vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\vert^{2}+2m\int_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m} \\\leq\ & C_{5}\int_{\Omega}\vert u_{\epsilon}\vert^{2}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}+C_{5}\int_{\Omega}n_{\epsilon}^{2}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}+C_{5}.\end{matrix}$
对于 (3.7) 式右边的第 $1$ $C_{6},C_{7},C_{8}>0$
(3.8) $\begin{matrix} C_{5}\int_{\Omega} \vert u_{\epsilon}\vert ^{2} \vert \nabla c_{\epsilon} \vert ^{2m}&\leq C_{5}\Vert \vert u_{\epsilon}\vert ^{2}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{2m}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\&=C_{5}\Vert u_{\epsilon}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Vert \vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\leq C_{6}\Vert \vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2} \\&\leq C_{7}\Big(\Vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3(2m-1)}{3m-1}}\Vert \vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{\frac{2}{m}}(\Omega)}^{\frac{1}{3m-1}}+\Vert \vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{\frac{2}{m}}(\Omega)}^{2}\Big) \\&\leq\frac{m-1}{4m}\Vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+ C_{8}.\end{matrix}$
对于 (3.7) 式右边的第 $2$ $C_{9}, C_{10}, C_{11}>0$
(3.9) $\begin{matrix}C_{5}\int_{\Omega}n_{\epsilon}^{2}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2(m-1)}&\leq C_{5}\Vert n_{\epsilon}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{4(m-1)}(\Omega)}^{2(m-1)} \\&\leq C_{9}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{4(m-1)}(\Omega)}^{2(m-1)}=C_{9}\Vert\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{\frac{4(m-1)}{m}}(\Omega)}^{\frac{2(m-1)}{m}} \\&\leq C_{10}\Big(\Vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3(2m-3)}{3m-1}}\Vert \vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{\frac{2}{m}}(\Omega)}^{\frac{m+2}{m(3m-1)}}+\Vert \vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{\frac{2}{m}}(\Omega)}^{\frac{2(m-1)}{m}}\Big) \\&\leq \frac{m-1}{4m}\Vert\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{m}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+ C_{11}.\end{matrix}$
将 (3.8)、(3.9) 式代入 (3.7) 式可得, 存在常数 $C_{12}>0$
综上可得, 对于任意 $m>\frac{3}{2}$ $\Vert \nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2m}(\Omega)}$
引理 3.9 [17 ] 设 $\Omega\subset \mathbb R^{3}$ $\big\{\epsilon _{i}\big\}^{\infty}_{i=1}$ $(n,c,u,P)$ $(n_{\epsilon _{i}},c_{\epsilon _{i}},u_{\epsilon _{i}},P_{\epsilon _{i}})$ $i\rightarrow\infty$
(1) 在 $C^{0}\big(\overline{\Omega}\times [0,\infty)\big)$ $n_{\epsilon _{i}}\rightarrow n ;$
(2) 在 $L_{\rm loc}^{2}\big((0,\infty);W^{1,2}(\Omega)\big)$ $n_{\epsilon_{i}}\rightharpoonup n ;$
(3) 在 $L_{\rm loc}^{\infty}\big((0,\infty);C^{0}(\overline{\Omega})\big)\bigcap L_{\rm loc}^{2}\big((0,\infty);W^{1,2}(\Omega)\big)$ $c_{\epsilon_{i}}\rightarrow c ;$
(4) 在 $\bigcap _{m>3}L_{\rm loc}^{\infty}\big((0,\infty);W^{1,m}(\Omega)\big)\bigcap L_{\rm loc}^{\infty}\big(\Omega\times(0,\infty)\big)$ $\nabla c_{\epsilon_{i}}\stackrel{*}{\rightharpoonup}\nabla c ;$
(5) 在 $C^{0}\big(\overline{\Omega}\times(0,\infty);\mathbb{R}^{3}\big)\bigcap C_{\rm loc}^{2,1}\big(\overline{\Omega}\times(0,\infty);\mathbb{R}^{3}\big)$ $u_{\epsilon_{i}}\rightarrow u.$
4 衰减估计与收敛速率
引理 4.1 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\epsilon\in(0,1)$ $\delta>0$ $\Vert n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}\leq\delta$ $C>0$ $\mu>0$
其中 $\overline n_{0}:=\frac{1}{\vert \Omega\vert}\int_{\Omega}n_{0}(x)\mathrm{d}x$ .
证 首先, 在方程 $(2.1)_{1}$ $n_{\epsilon}-\overline n_{0}$ $\Omega$
(4.1) $\begin{matrix}\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}&=\int_{\Omega}\nabla n_{\epsilon}\cdot\Big(n_{\epsilon}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla c_{\epsilon}\Big) \\&\leq\frac{1}{2}\Vert \nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{C_{S}^{2}}{2}\int_{\Omega}n_{\epsilon}^{2}\vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{2}.\end{matrix}$
(4.2) $\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}&\leq C_{S}^{2}\int_{\Omega}n_{\epsilon}^{2}\vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{2} \\ &\leq2C_{S}^{2}\int_{\Omega}(n_{\epsilon}-\overline n_{0})^{2}\vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{2}+2C_{S}^{2}\int_{\Omega}\overline n_{0}^{2}\vert \nabla c_{\epsilon}\vert^{2} \\ &\leq2C_{S}^{2}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}+2C_{S}^{2}\overline n_{0}^{2}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
令 $\overline n_{\epsilon}:=\frac{1}{\vert \Omega\vert}\int_{\Omega}n_{\epsilon}(\cdot,t)\mathrm{d}x$ $C_{1}>0$
(4.3) $\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}=\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq C_{1}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}.$
对于 (4.2) 式右边的第 $1$ $C_{2},C_{3},C_{4},C_{5},C_{6},C_{7},C_{8}>0$
(4.4) $\begin{matrix} & \ 2C_{S}^{2}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2} \\ &\leq C_{2}\big(\Vert \nabla (n_{\epsilon}-\overline n_{0})\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{9}{5}}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{\frac{1}{5}}+\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{2}\big)\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2} \\ &\leq \frac{1}{2}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{3}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2} \\ &\leq \frac{1}{2}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{4}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{2}\Big(\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{6}(\Omega)}^{\frac{3}{2}}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{1}{2}}\Big) \\ &\leq \frac{1}{2}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{5}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{1}{2}} \\ &\leq \frac{1}{2}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{6}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{\frac{8}{3}}+\frac{1}{8C_{1}}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &\leq\frac{1}{2}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{7}\delta^{\frac{2}{3}}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{8C_{1}}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &\leq\frac{1}{2}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{8}\delta^{\frac{2}{3}}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{8C_{1}}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &\leq\frac{1}{2}\Vert\nabla n_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{4C_{1}}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{8C_{1}}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}, \end{matrix}$
这里假设 $\delta>0$ $\delta<\min\Big\{\Big(\frac{1}{4C_{1}C_{8}}\Big)^{\frac{3}{2}},\Big(\frac{1}{8C_{1}C_{9}}\Big)^{\frac{1}{2}}\Big\}.$
将 (4.4) 式代入 (4.2) 式并结合 (4.3) 式可得, 存在常数 $C_{9}>0$
(4.5) $\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{4C_{1}}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}&\leq C_{9}\Vert n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{8C_{1}}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\\ &\leq \big(C_{9}\delta^{2}+\frac{1}{8C_{1}}\big)\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\\ &\leq\frac{1}{4C_{1}}\Vert \nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
为了处理 (4.5) 式右边的 $\frac{1}{4C_{1}}\Vert \nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}$ $(2.1)_{2}$ $c_{\epsilon}-\overline n_{0}$ $\Omega$
(4.6) $\begin{matrix} & \ \frac{\epsilon}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &=\int_{\Omega}(n_{\epsilon}-\overline n_{0})(c_{\epsilon}-\overline n_{0}) \leq\frac{1}{2}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{2}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
(4.7) $\epsilon\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+2\Vert \nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}.$
将 (4.7) 式和 (4.5) 式结合起来, 可得
假设 $0<\epsilon<\min\{1,8C_{1}\}$
(4.8) $h^{\prime}(t)+\frac{1}{8C_{1}}h(t)\leq 0.$
对 (4.8) 式关于时间在 $0$ $t$ $C_{10}>0$
引理 4.2 在引理 4.1 的假设条件下, 存在常数 $C>0$ $\mu>0$
证 由引理 4.1 证明过程中的 (4.7) 式并结合引理 4.1 可得, 存在常数 $C_{1}>0$ $\mu_{1}>0$
不妨设 $0<\epsilon<\min\{1,\frac{1}{2\mu_{1}}\}$ . 若令$g(t):=\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2},$ $\epsilon g^{\prime}(t)+g(t)\leq C_{1}{\rm e}^{-\mu_{1}t}.$
推论 4.1 在引理 4.1 的假设条件下, 存在常数 $C>0$ $\mu>0$ $p>1$
证 对任意固定的 $q>p>4$ $C_{1},C_{2},C_{3},\mu>0$
(4.9) $\begin{matrix} \Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}&\leq C_{1}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{W^{2,q}(\Omega)}^{\beta}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{1-\beta}+C_{1}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq C_{1}\Big(\Vert c_{\epsilon}\Vert_{W^{2,q}(\Omega)}+\Vert\overline n_{0}\Vert_{W^{2,q}(\Omega)}\Big)^{\beta}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{1-\beta}+C_{1}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq C_{2}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{1-\beta}+C_{1}\Vert c_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq C_{3}{\rm e}^{-\mu t}, \end{matrix}$
其中 $\beta={\frac{q(5p-6)}{p(7q-6)}}\in(\frac{1}{2},1)$ . 对于 $1<p\leq 4$
引理 4.3 在引理 4.1 的假设条件下, 存在常数 $C>0$ $\mu>0$
(4.10) $\Vert n_{\epsilon}(\cdot,t)-\overline n_{0}\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C{\rm e}^{-\mu t},\ \ \ t\in(0,\infty)$
(4.11) $\Vert u_{\epsilon}(\cdot,t)\Vert_{L^{\infty}}\leq C{\rm e}^{-\mu t},\ \ \ t\in(0,\infty).$
证 设 $({\rm e}^{t\Delta})_{t\geq 0}$ $\Omega$
并结合 ${\rm e}^{t\Delta}\overline n_{0}=\overline n_{0}$
(4.12) $\begin{matrix} & \ \Vert n_{\epsilon}(\cdot,t)-\overline n_{0}\Vert_{L^{\infty}(\Omega)} \\ &\leq \Vert {\rm e}^{t\Delta}( n_{0}-\overline n_{0})\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}+\int_{0}^{t}\Vert {\rm e}^{(t-s)\Delta}\nabla\cdot\Big(n_{\epsilon}S(\cdot,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla c_{\epsilon}\Big)(\cdot,s)\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\mathrm{d}s \\ &\ \ \ \ +\int_{0}^{t}\Vert {\rm e}^{(t-s)\Delta}u_{\epsilon}(\cdot,s)\cdot\nabla n_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\mathrm{d}s \\ &=:Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}. \end{matrix}$
下面利用 Neumann 热半群理论 (参见文献[41 ,引理 1.3]) 分别估计 $Q_{1}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$ . 由$\int_{\Omega}(n_{0}-\overline n_{0})\mathrm{d}x=0$ $C_{1},C_{2}>0$
(4.13) $Q_{1}\leq C_{1} {\rm e}^{-\lambda_{1} t}\Vert n_{0}-\overline n_{0} \Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{2} {\rm e}^{-\lambda_{1} t}.$
对于 $Q_{2}$ $C_{3}>0$
(4.14) $Q_{2}\leq C_{3}C_{S}\int_{0}^{t}\Big(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}}\Big){\rm e}^{-\lambda_{1} (t-s)}\Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)\cdot\nabla c_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{4}(\Omega)}\mathrm{d}s.$
对于 (4.14) 式右边的 $\Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)\cdot\nabla c_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{4}(\Omega)}$ $C_{4},\mu_{1}>0$
(4.15) $\begin{matrix} \Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)\cdot\nabla c_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{4}(\Omega)}&\leq \Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{6}(\Omega)}\Vert\nabla c_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{12}(\Omega)} \\ &=\Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{6}(\Omega)}\Vert\nabla (c_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0})\Vert_{L^{12}(\Omega)}\leq C_{4}{\rm e}^{-\mu_{1}s}. \end{matrix}$
将 (4.15) 式代入 (4.14) 式可得, 存在常数 $C_{5},C_{6}>0$
(4.16) $Q_{2}\leq C_{5}\int_{0}^{t}\Big(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{3}{8}}\Big){\rm e}^{-\lambda_{1} (t-s)}{\rm e}^{-\mu_{1}s}\mathrm{d}s\leq C_{6}{\rm e}^{-\min\{\lambda_{1},\mu_{1}\}t}.$
对于$Q_{3}$ $3<m<4$ $C_{7}>0$
(4.17) $\begin{matrix} Q_{3}&=\int_{0}^{t}\Vert {\rm e}^{(t-s)\Delta}\nabla \cdot \Big((n_{\epsilon}-\overline n_{0})u_{\epsilon}\Big)(\cdot,s)\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\mathrm{d}s \\ &\leq C_{7}\int_{0}^{t}\Big(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{3}{2m}}\Big){\rm e}^{-\lambda_{1} (t-s)}\Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)(n_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0})\Vert_{L^{m}(\Omega)}\mathrm{d}s. \end{matrix}$
对于 (4.17) 式右边的 $\Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)(n_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0})\Vert_{L^{m}(\Omega)}$ $C_{8},C_{9},\mu_{2}>0$
(4.18) $\begin{matrix} & \ \Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)(n_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0})\Vert_{L^{m}(\Omega)}\\ &\leq \Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)(n_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0})\Vert_{L^{\frac{3}{2}}(\Omega)}^{\frac{12-3m}{5m}}\Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)(n_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{\frac{8m-12}{5m}} \\ &\leq C_{8}(\Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{6}(\Omega)}\Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)})^{\frac{12-3m}{5m}}(\Vert u_{\epsilon}(\cdot,s)\Vert_{L^{6}(\Omega)}\Vert n_{\epsilon}(\cdot,s)-\overline n_{0}\Vert_{L^{12}(\Omega)})^{\frac{8m-12}{5m}} \\ &\leq C_{9}{\rm e}^{-\mu_{2}s}. \end{matrix}$
将 (4.18) 式代入 (4.17) 式可得, 存在常数 $C_{10},C_{11}>0$
(4.19) $Q_{3}\leq C_{10}\int_{0}^{t}\Big(1+(t-s)^{-\frac{1}{2}-\frac{3}{2m}}\Big){\rm e}^{-\lambda_{1} (t-s)}{\rm e}^{-\mu_{2}s}\mathrm{d}s\leq C_{11}{\rm e}^{-\min\{\lambda_{1},\mu_{2}\}t}.$
将 (4.13)、(4.16) 和 (4.19) 式代入 (4.12) 式, 即证得 (4.10) 式.
为证明 (4.11) 式, 利用 $u_{\epsilon}$ $\mathcal{P}(\overline n_{0} \nabla \phi)=0$
(4.20) $u_{\epsilon}(\cdot,t)={\rm e}^{-t\mathcal{A}}u_{0}+\int_{0}^{t}{\rm e}^{-(t-s)\mathcal{A}}\mathcal{P}\Big((n_{\epsilon}-\overline n_{0}) \nabla \phi\Big)(\cdot,s)\mathrm{d}s.$
进而可知, 存在常数 $C_{12},\mu_{3}>0$
(4.21) $\begin{matrix} \Vert \mathcal{A}^{\beta}u_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}&\leq\Vert \mathcal{A}^{\beta}{\rm e}^{-t\mathcal{A}}u_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}+\int_{0}^{t}\Vert \mathcal{A}^{\beta}{\rm e}^{-(t-s)\mathcal{A}}\mathcal{P}\Big((n_{\epsilon}-\overline n_{0}) \nabla \phi\Big)(\cdot,s)\Vert_{L^{2}(\Omega)}\mathrm{d}s \\ &\leq C_{12}t^{-\beta}{\rm e}^{-\mu_{3}t}\Vert u_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\ \ \ \ +C_{12}\int_{0}^{t}(t-s)^{-\beta}{\rm e}^{-\mu_{3}(t-s)}\Vert\mathcal{P}\Big((n_{\epsilon}-\overline n_{0}) \nabla \phi\Big)(\cdot,s)\Vert_{L^{2}(\Omega)}\mathrm{d}s, \end{matrix}$
其中 $\beta\in(\frac{3}{4},1)$ . 再结合引理 4.1 可得, 存在常数 $C_{13},C_{14},\mu_{4}>0$
(4.22) $\begin{matrix} \Vert\mathcal{P}\Big((n_{\epsilon}-\overline n_{0}) \nabla \phi\Big)(\cdot,s)\Vert_{L^{2}(\Omega)} &\leq\Vert\Big((n_{\epsilon}-\overline n_{0}) \nabla \phi\Big)(\cdot,s)\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq C_{13}\Vert n_{\epsilon}-\overline n_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \nabla \phi\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{14}{\rm e}^{-\mu_{4}s}. \end{matrix}$
将 (4.22) 式代入 (4.21) 式可得, 存在常数 $C_{15},C_{16},C_{17},\mu_{5}>0$
(4.23) $\begin{matrix} \Vert \mathcal{A}^{\beta}u_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}&\leq C_{12}t^{-\beta}{\rm e}^{-\mu_{3}t}\Vert u_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}+C_{12}C_{14}\int_{0}^{t}(t-s)^{-\beta}{\rm e}^{-\mu_{3}(t-s)}{\rm e}^{-\mu_{4}s}\mathrm{d}s \\ &\leq C_{15}{\rm e}^{-\mu_{3}t}+C_{16}{\rm e}^{-\mu_{4}t} \leq C_{17}{\rm e}^{-\mu_{5}t},\quad{\quad{t\in(1,\infty)}}.\end{matrix}$
另一方面, 存在常数 $C_{18}>0$
(4.24) $\Vert \mathcal{A}^{\beta}u_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\leq\Vert \mathcal{A}^{\beta}u_{0}\Vert_{L^{2}(\Omega)}+C_{16}{\rm e}^{-\mu_{4}t}\leq C_{18}{\rm e}^{-\mu_{5}t},\quad{\quad{t\in(0,1]}}.$
由 (4.23) 式和 (4.24) 式并利用 $D(\mathcal{A}^{\beta})\hookrightarrow L^{\infty}(\Omega)$ $\beta\in(\frac{3}{4},1)$
令 $\hat{n}:=n_{\epsilon}-n$ $\hat{c}:=c_{\epsilon}-c$ $\hat{u}:=u_{\epsilon}-u$ $\hat{P}:=P_{\epsilon}-P$ $(\hat{n},\hat{c},\hat{u},\hat{P})$
(4.25) $\left\{ \begin{split} \begin{aligned} &\partial_t{\hat{n}}=\Delta \hat{n}-u_{\epsilon}\cdot\nabla \hat{n}-\hat{u}\cdot\nabla n-\nabla \cdot\Big(\hat{n}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot\nabla c_{\epsilon}+nS(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot\nabla \hat{c}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ +n\Big(S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})-S(x,n,c)\Big)\cdot\nabla c\Big),\\ &\epsilon\partial_t{c_{\epsilon}}=\Delta\hat{c}-u_{\epsilon}\cdot\nabla\hat{c}-\hat{u}\cdot\nabla c-\hat{c}+\hat{n},\\ &\partial_t{\hat{u}}=\Delta\hat{u}-\nabla\hat{P}+\hat{n}\nabla\phi,\\ &\nabla\cdot \hat{u}=0 \end{aligned} \end{split} \right.$
(4.26) $\left\{ \begin{split} \begin{aligned} &\Big(\nabla\hat{n}-\hat{n}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot\nabla c_{\epsilon}-nS(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\cdot\nabla \hat{c}\\ &\ \ \ \ \ -n\Big(S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})-S(x,n,c)\Big)\cdot\nabla c\Big)\cdot\nu=0,\\ &\nabla\hat{c}\cdot\nu=0,\hat{u}=0,\quad{x\in \partial \Omega,t>0,}\\ &\hat{n}(x,0)=0,\hat{u}(x,0)=0,\quad{x\in\Omega.} \end{aligned} \end{split} \right.$
引理 4.4 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立, 存在常数 $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
引理 4.5 在引理 4.1 的假设条件下, 存在常数 $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
其中 $Q$ $(4.25)_{1}$ $\hat{n}$ $\Omega$ $C_{1}>0$
(4.27) $\begin{matrix} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}&=\int_{\Omega}\Big((n-\overline n_{0})\hat{u}+\hat{n}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\Big)\cdot\nabla\hat{n} \\ & \ \ \ +\int_{\Omega}\Big((n-\overline n_{0})S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla\hat{c}+\overline n_{0}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla\hat{c}\Big)\cdot\nabla\hat{n} \\ & \ \ \ +\int_{\Omega}n\Big(S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})-S(x,n,c)\Big)\cdot\nabla(c-\overline n_{0})\cdot\nabla\hat{n} \\ &\leq\frac{1}{4}\Vert \nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{1}\Vert n-\overline n_{0}\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ & \ \ \ +C_{1}\Vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Vert\hat{n}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2} \\ & \ \ \ +C_{1}\Vert n-\overline n_{0}\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{1}\overline n_{0}^{2}\Vert\nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ & \ \ \ +C_{1}\int_{\Omega}n^{2}\vert S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})-S(x,n,c)\vert^{2}\vert\nabla(c-\overline n_{0})\vert^{2}. \end{matrix}$
对于(4.27) 式右边的第 $3$ $C_{2},C_{3}>0$
(4.28) $\begin{matrix} & \ C_{1}\Vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Vert\hat{n}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2} \\ &\leq C_{2}\Vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big(\Vert\nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3}{4}}\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{1}{4}}+\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Big)^{2} \\ &\leq\frac{1}{8}\Vert\nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{3}\Big(\Vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{8}+\Vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big)\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
对于 (4.27) 式右边的第 $6$ $C_{4},C_{5},C_{6}>0$
(4.29) $\begin{matrix} & \ C_{1}\int_{\Omega}n^{2}\vert S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})-S(x,n,c)\vert^{2}\vert\nabla(c-\overline n_{0})\vert^{2} \\ &\leq2C_{1}\int_{\Omega}n^{2}\Big(\vert S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})-S(x,n,c_{\epsilon})\vert^{2}+\vert S(x,n,c_{\epsilon})-S(x,n,c)\vert^{2}\Big)\vert\nabla(c-\overline n_{0})\vert^{2} \\ &\leq2C_{1}\int_{\Omega}n^{2}\Big(\vert\nabla S(x,\eta,c_{\epsilon})\vert^{2}\vert\hat{n}\vert^{2}+\vert\nabla S(x,n,\xi)\vert^{2}\vert\hat{c}\vert^{2}\Big)\vert\nabla(c-\overline n_{0})\vert^{2} \\ &\leq C_{4}\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big(\Vert\hat{n}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}+\Vert\hat{c}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big) \\ &\leq C_{5}\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big(\Vert\nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3}{4}}\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{1}{4}}+\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Big)^{2} \\ &\ \ \ \ +C_{5}\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big(\Vert\nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3}{4}}\Vert\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{1}{4}}+\Vert\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Big)^{2} \\ &\leq \frac{1}{8}\Vert\nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\rho\Vert\nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &\ \ \ \ + C_{6}\Big(\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{8}+\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big)\Big(\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big), \end{matrix}$
其中 $\eta$ $n_{\epsilon}$ $n$ $\xi$ $c_{\epsilon}$ $c$ $\rho>0$ $C_{7},\mu_{1}>0$
(4.30) $\begin{matrix} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}&\leq2\rho\Vert\nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{7}\Big({\rm e}^{-\mu_{1}t}+\overline n_{0}^{2}\Big)\Vert\nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ & \ \ \ +C_{7}{\rm e}^{-\mu_{1}t}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{7}{\rm e}^{-\mu_{1}t}\Big(\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big). \end{matrix}$
其次, 在方程 $(4.25)_{2}$ $\hat{c}$ $\Omega$ $C_{8},C_{9}>0$
(4.31) $\begin{matrix} & \ \frac{\epsilon}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &=\epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+\int_{\Omega}\Big(\hat{n}-\hat{u}\cdot\nabla(c-\overline n_{0})\Big)\hat{c} \\ &\leq \epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}+\Vert \hat{u}\cdot\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq\epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}+\Vert \hat{u}\Vert_{L^{4}(\Omega)}\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq\epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+\frac{1}{2}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{u}\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2} \\ &\leq \epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+\frac{1}{2}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &\ \ \ +C_{8}\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big(\Vert\nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3}{4}}\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{1}{4}}+\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Big)^{2} \\ &\leq\epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+\frac{1}{2}\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{4}\Vert\nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &\ \ \ +C_{9}\Big(\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{8}+\Vert\nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{4}(\Omega)}^{2}\Big)\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
由 $\int_{\Omega}\hat{n}=0$ $C_{10},\mu_{2}>0$
(4.32) $\begin{matrix} &\epsilon\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+2\Vert \nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ \leq\ &2\epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+\frac{1}{2}\Vert\nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{10}\Vert \nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{10}{\rm e}^{-\mu_{2}t}\Vert \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
最后, 在方程 $(4.25)_{3}$ $\hat{u}$ $\Omega$ $C_{11},C_{12}>0$
(4.33) $\begin{matrix} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}=\int_{\Omega}\hat{n}\nabla\phi\cdot\hat{u}&\leq\Vert\nabla\phi\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq C_{11}\Vert \nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq\frac{1}{2}\Vert \nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{12}\Vert \nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
(4.34) $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\leq C_{13}\Vert \nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}.$
由 (4.30)、(4.32) 和 (4.34) 式可得: 存在常数 $C_{14}>0$
(4.35) $\begin{matrix} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(Q\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\epsilon\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big)+\frac{Q}{2} \Vert\nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\nabla\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\& +\frac{1}{2}\Vert\nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{2}{3}\Vert\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ \leq\ &2\epsilon\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c+C_{14}{\rm e}^{-\mu t}\Big(\Vert \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big), \end{matrix}$
其中 $\mu:=\min\{\mu_{1},\mu_{2}\}$ . 再由 Poincaré 不等式可得, 存在常数 $C_{15},C_{16}>0$
(4.36) $\begin{matrix} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Big(Q\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\epsilon\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big)+C_{15}\Big(Q\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\epsilon\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big) \\ &\ \ \ +\frac{1}{4}\Big(Q\Vert\nabla\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \nabla\hat{c} \Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\nabla\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\hat{c}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big) \\ &\leq C_{16}{\rm e}^{-\mu t}\Big(Q\Vert\hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\epsilon\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert\hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big)+\epsilon\Big(C_{15}\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+2\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c\Big). \end{matrix}$
现取 $T_{2}>0$ $t>T_{2}$ $2C_{16}{\rm e}^{-\mu t}<C_{15}$ . 从而
其中 $T_{3}:=\max\big\{T_{1},T_{2}\big\}$ . 再由引理 3.7 和引理 4.4 以及引理 3.9 可知: 对所有 $t\in(T_{3},\infty)$ $C_{17},C_{18}>0$
(4.37) $\begin{matrix} g(t)&\leq g(T_{3})+\epsilon\int_{T_{3}}^{t}y(s)\mathrm{d}s=g(T_{3})+\epsilon\Big(C_{15}\int_{T_{3}}^{t}\Vert c_{\epsilon}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\mathrm{d}s+2\int_{T_{3}}^{t}\int_{\Omega}\partial_{t}c_{\epsilon}c\mathrm{d}s\Big) \\ &\leq \Big((Q+1)C_{17}{\rm e}^{C_{17}T_{3}}\epsilon+\epsilon\Vert c_{\epsilon}(\cdot,T_{3})\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}\Big)+\epsilon C_{17}(1+t):=C_{18}(1+t)\epsilon. \end{matrix}$
再由 Poincaré 不等式可得 $t\in(T_{3},\infty)$ $t\in(0,T_{3})$
推论 4.2 在引理 4.1 的假设条件下, 存在常数 $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
证 在方程 $(4.25)_{3}$ $\mathcal{P}$ $\mathcal{A}\hat{u}$ $C_{1},C_{2},C_{3}>0$
(4.38) $\begin{matrix} \frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \nabla \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\Vert \mathcal{A} \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}&=\int_{\Omega}\mathcal{P}(\hat{n}\nabla\phi)\cdot \mathcal{A}\hat{u} \\ &\leq C_{1}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \nabla\phi\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\Vert \mathcal{A} \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq C_{2}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert \mathcal{A} \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \\ &\leq \Vert \mathcal{A} \hat{u}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{3}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
结合引理 4.5 可知: 存在常数 $C_{4}>0$
引理 4.6 在引理 4.1 的假设条件下, 对任意 $\theta\in (\frac{3}{4},1)$ $C(\theta)>0$ $\epsilon\in(0,1)$
若令 $g(\cdot,s):=\mathcal{P}(\hat{n}\nabla\phi)(\cdot,s),$ $C_{1}>0$
(4.39) $\Vert g(\cdot,s)\Vert_{L^{2}(\Omega)}\leq \Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}\Vert\nabla\phi\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}\leq C_{1}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)}.$
结合引理 4.5 可知, 存在常数 $C_{2},C_{3},C_{4}>0$
(4.40) $\begin{matrix} \Vert \mathcal{A}^{\theta}\hat{u}(\cdot,t) \Vert_{L^{2}(\Omega)}&\leq C_{2}\int_{0}^{t}(t-s)^{-\theta}{\rm e}^{-\lambda(t-s)}\Vert \hat{n}\Vert_{L^{2}(\Omega)} \mathrm{d}s \\ &\leq C_{3}\epsilon^{\frac{1}{2}}\int_{0}^{t}(1+s)^{\frac{1}{2}}(t-s)^{-\theta}{\rm e}^{-\lambda(t-s)}\mathrm{d}s \\ &\leq C_{4}(1+t)^{\frac{1}{2}}\epsilon^{\frac{1}{2}}. \end{matrix}$
引理 4.7 在引理 4.1 的假设条件下, 对任意 $p>2$ $C(p)>0$ $\epsilon\in(0,1)$
证 在方程 $(4.25)_{1}$ $\hat{n}^{r-1}$ $r>2$ ) 并在 $\Omega$ $C_{1}>0$
(4.41) $\begin{matrix} & \ \frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{4(r-1)}{r^{2}}\Vert \nabla\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &=(r-1)\int_{\Omega}\Big((n-\overline n_{0})\hat{n}^{r-2}\hat{u}+\hat{n}^{r-1}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\Big)\cdot\nabla\hat{n} \\ &\ \ \ +(r-1)\int_{\Omega}(n-\overline n_{0})\hat{n}^{r-2}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla\hat{c}\cdot\nabla\hat{n}+(r-1)\int_{\Omega}\overline n_{0}\hat{n}^{r-2}S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})\nabla\hat{c}\cdot\nabla\hat{n} \\ &\ \ \ +(r-1)\int_{\Omega}n\hat{n}^{r-2}\Big(S(x,n_{\epsilon},c_{\epsilon})-S(x,n,c)\Big)\nabla(c-\overline n_{0})\cdot\nabla\hat{n} \\ &\leq\frac{r-1}{4}\int_{\Omega}\hat{n}^{r-2}\vert\nabla\hat{n}\vert^{2}+C_{1}\Vert n-\overline n_{0}\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\int_{\Omega}\hat{n}^{r-2}\vert\hat{u}\vert^{2}+C_{1}\int_{\Omega}\hat{n}^{r}\vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\vert^{2} \\ &\ \ \ +C_{1}\Vert n-\overline n_{0}\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\int_{\Omega}\hat{n}^{r-2}\vert\nabla\hat{c}\vert^{2}+C_{1}\overline n_{0}\int_{\Omega}\hat{n}^{r-2}\vert\nabla\hat{c}\vert^{2} \\ &\ \ \ +C_{1}\Vert n\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\int_{\Omega}\hat{n}^{r-2}\Big(\hat{n}^{2}+\hat{c}^{2}\Big)\vert\nabla(c-\overline n_{0})\vert^{2}. \end{matrix}$
结合引理 4.3、引理 3.9 和推论 4.1 可知, 存在常数 $C_{2},\mu>0$ $p>1$ $t\in(0,\infty)$
(4.42) $\Vert n-\overline n_{0}\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{2}\leq C_{2}{\rm e}^{-\mu t}$
(4.43) $\Vert \nabla(c-\overline n_{0})\Vert_{L^{p}(\Omega)}^{2}\leq C_{2}{\rm e}^{-\mu t}.$
对于 (4.41) 式右边的最后一项, 对任意 $m>r>2$ $C_{3},C_{4},C_{5}>0$
(4.44) $\begin{matrix} & \ \int_{\Omega}\hat{n}^{r-2}(\hat{n}^{2}+\hat{c}^{2})\vert\nabla(c-\overline n_{0})\vert^{2} \\ &\leq \Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Big)\Vert \hat {n}\Vert_{L^{m}(\Omega)}^{r-2}\Vert \nabla(c-\overline n_{0}) \Vert_{L^{\frac{2mr}{(r-2)(m-r)}}(\Omega)}^{2} \\ &\leq\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Big)\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{\frac{r(r-2)}{m}}\Vert n_{\epsilon}-n\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{\frac{(r-2)(m-r)}{m}}\Vert \nabla(c-\overline n_{0}) \Vert_{L^{\frac{2mr}{(r-2)(m-r)}}(\Omega)}^{2} \\ &\leq C_{3}{\rm e}^{-\mu t}\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Big)\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{\frac{r(r-2)}{m}} \\ &\leq C_{4}{\rm e}^{-\mu t}\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Big)\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r-2}+1\Big) \\ &\leq C_{5}{\rm e}^{-\mu t}\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}+\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}\Big)+C_{5}{\rm e}^{-\mu t}\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}+\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Big). \end{matrix}$
类似地, 对于 (4.41) 式右边的第 $3$ $m>r>2$ $C_{6},C_{7},C_{8}>0$
(4.45) $\begin{matrix} \int_{\Omega}\hat{n}^{r}\vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\vert^{2}&=\int_{\Omega}\hat{n}^{r-2}\hat{n}^{2}\vert\nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0})\vert^{2} \\ &\leq \Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{m}(\Omega)}^{r-2}\Vert \nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0}) \Vert_{L^{\frac{2mr}{(r-2)(m-r)}}(\Omega)}^{2} \\ &\leq\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{\frac{r(r-2)}{m}}\Vert n_{\epsilon}-n\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{\frac{(r-2)(m-r)}{m}}\Vert \nabla(c_{\epsilon}-\overline n_{0}) \Vert_{L^{\frac{2mr}{(r-2)(m-r)}}(\Omega)}^{2} \\ &\leq C_{6}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{\frac{r(r-2)}{m}} \\ &\leq C_{7}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r-2}+1\Big) \\ &\leq C_{8}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}+C_{8}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
结合 (4.44)、(4.45) 和 (4.41) 式并利用 Young 不等式可得, 存在常数 $C_{9}>0$
(4.46) $\begin{matrix} &\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{3(r-1)}{r}\Vert \nabla\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ \leq\ & C_{9}{\rm e}^{-\mu t}\Big(\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}+\Vert \hat {u}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}\Big)+C_{9}\overline n_{0}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}+ C_{9}\Big({\rm e}^{-\mu t}+\overline n_{0}\Big)\Vert \hat {c}\Vert_{W^{1,r}(\Omega)}^{r} \\ &+C_{9}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}+C_{9}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}. \end{matrix}$
现假设 $C_{9}>1$ $\delta>0$ $\overline n_{0}< 1$ $C_{10},C_{11},C_{12},C_{13}>0$
(4.47) $\begin{matrix} \Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}=\Vert\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}&\leq C_{10}\Big(\Vert \nabla\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{2(3r-6)}{3r-2}}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{\frac{8}{3r-2}}+\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{2}\Big) \\ &\leq\frac{r-1}{C_{9}r}\Vert \nabla\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{11}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{2} \end{matrix}$
(4.48) $\begin{matrix} \Vert \hat {n}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}=\Vert\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{4}{r}}&\leq C_{12}\Big(\Vert \nabla\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{3r-6}{3r-2}}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{\frac{4}{3r-2}}+\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}\Big)^{\frac{4}{r}} \\ &\leq\frac{r-1}{2C_{9}r}\Vert \nabla\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+C_{13}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{\frac{16}{3r^{2}-8r+12}}+C_{13}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{\frac{4}{r}}. \end{matrix}$
将 (4.47) 和 (4.48) 式代入 (4.46) 式并结合引理 4.5 可得, 存在常数 $C_{14},C_{15}>0$
(4.49) $\begin{matrix} & \ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{1}{2}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2} \\ &\leq\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac{r-1}{2r}\Vert \nabla\hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}+\frac {C_{11}}{2}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{2} \\ &\leq \Big(C_{9}C_{11}{\rm e}^{-\mu t}+C_{9}C_{11}+\frac {C_{11}}{2}\Big)\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{2}+C_{9}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {u}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}+C_{9}\Big({\rm e}^{-\mu t}+1\Big)\Vert \hat {c}\Vert_{W^{1,r}(\Omega)}^{r} \\ &\ \ \ +C_{9}C_{13}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{\frac{16}{3r^{2}-8r+12}}+C_{9}C_{13}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}\Vert_{L^{\frac{4}{r}}(\Omega)}^{\frac{4}{r}}+C_{9}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2} \\ &\leq C_{14}(1+t)^{\frac{r}{2}}\epsilon^{\frac{r}{2}}+C_{14}(1+t)^{\frac{4r}{3r^{2}-8r+12}}\epsilon^{\frac{4r}{3r^{2}-8r+12}}+C_{14}(1+t)\epsilon \\ & \ \ \ +C_{9}\Big({\rm e}^{-\mu t}+1\Big)\Vert \hat {c}\Vert_{W^{1,r}(\Omega)}^{r}+C_{9}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2} \\ &\leq 3C_{14}(1+t)^{\frac{r}{2}}\epsilon^{\frac{4r}{3r^{2}-8r+12}}+C_{9}\Big({\rm e}^{-\mu t}+1\Big)\Vert \hat {c}\Vert_{W^{1,r}(\Omega)}^{r}+C_{9}{\rm e}^{-\mu t}\Vert \hat {c}\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}, \end{matrix}$
令 $h(t):=\Vert\hat{n}(\cdot,t)\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{r}=\Vert \hat{n}^{\frac{r}{2}}(\cdot,t)\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}$ $C_{16}>0$
(4.50) $\begin{matrix} h(t)&\leq C_{16}\epsilon^{\frac{4r}{3r^{2}-8r+12}}\int_{0}^{t}(1+s)^{\frac{r}{2}}{\rm e}^{-\frac{(t-s)}{2}}{\mathrm{d}s}+C_{16}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\frac{(t-s)}{2}}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{W^{1,r}(\Omega)}^{r}{\mathrm{d}s} \\ &\ \ \ +C_{16}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\frac{(t-s)}{2}}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{L^{r}(\Omega)}^{2}{\mathrm{d}s} \\ &=:M_{1}+M_{2}+M_{3}. \end{matrix}$
下面分别估计 $M_{1}$ $M_{2}$ $M_{3}$ . 对于 $M_{1}$
对于 $M_{2}$ $p>r+2>4$ $C_{17},C_{18},C_{19},C_{20}>0$
(4.51) $\begin{matrix} M_{2}&\leq C_{17}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\frac{(t-s)}{2}}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{W^{1,2}(\Omega)}^{\frac{2(p-r)}{p-2}}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{W^{1,p}(\Omega)}^{\frac{p(r-2)}{p-2}}{\mathrm{d}s} \\ &\leq C_{18}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\frac{(t-s)}{2}}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{W^{1,2}(\Omega)}^{\frac{2(p-r)}{p-2}}{\mathrm{d}s} \\ &\leq C_{19}\Big(\int_{0}^{t} \Vert\hat{c}(\cdot,s)\Vert_{W^{1,2}(\Omega)}^{2}{\mathrm{d}s}\Big)^{\frac{p-r}{p-2}}\Big(\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\frac{p-2}{r-2}\frac{(t-s)}{2}}{\mathrm{d}s}\Big)^{\frac{r-2}{p-2}} \\ &\leq C_{20}(1+t)^{\frac{p-r}{p-2}}\epsilon^{\frac{p-r}{p-2}}. \end{matrix}$
类似地, 对于 $M_{3}$ $C_{21}, C_{22}$ $C_{23}>0$
(4.52) $\begin{matrix} M_{3}&\leq C_{21}\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\frac{(t-s)}{2}}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{\frac{4}{r}}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{L^{\infty}(\Omega)}^{\frac{2(r-2)}{r}}{\mathrm{d}s} \\ &\leq C_{22}\Big(\int_{0}^{t}\Vert \hat {c}(\cdot,s)\Vert_{L^{2}(\Omega)}^{2}{\mathrm{d}s}\Big)^{\frac{2}{r}}\Big(\int_{0}^{t}{\rm e}^{-\frac{r}{r-2}\frac{(t-s)}{2}}{\mathrm{d}s}\Big)^{\frac{r-2}{r}} \\ &\leq C_{23}(1+t)^{\frac{2}{r}}\epsilon^{\frac{2}{r}}. \end{matrix}$
综上可得, 存在常数 $C_{24},C_{25}>0$
定理 2.1 的证明 结合推论 4.1、引理 4.3、引理 4.5、引理 4.6 和引理 4.7 可得.
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This paper deals with convergence of a solution for the parabolic-parabolic Keller-Segel system {(u(lambda))(t) = Delta u(lambda) - chi del. (u(lambda) del v(lambda)) in Omega x (0, infinity), lambda(v(lambda))(t) = Delta v(lambda) - v(lambda) + u(lambda) in Omega x (0, infinity), where Omega is a bounded domain in R-n (n >= 2) with smooth boundary, chi, lambda > 0 are constants, to that for the parabolic-elliptic-Keller-Segel system (u(t) = Delta u - chi del. (u del v) in Omega x (0, infinity), 0 = Delta v - v + u in Omega x (0, infinity) as lambda SE arrow 0. (C) 2018 Elsevier Inc. All rights reserved.
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Local and global solvability to some parabolic-elliptic systems of chemotaxis
1
1998
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
On the parabolic-elliptic limit of the doubly parabolic Keller-Segel system modelling chemotaxis
1
2009
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
Global classical small-data solutions for a three-dimensional chemo-taxis Navier-Stokes system involving matrix-valued sensitivities
2
2016
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
Global existence and large time behavior for a two-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system
1
2017
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
Global solutions to the coupled chemotaxis-fluid equations
1
2010
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
The fast signal diffusion limit in nonlinear chemotaxis systems
1
2020
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
A blow up mechanism for a chemotaxis system
1
1997
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
A user's guide to PDE models for chemotaxis
1
2009
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
From 1970 until present: The Keller-Segel model in chemotaxis and its consequences I.
1
2003
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
Blow-up in a chemotaxis model without symmetry assumptions
1
2001
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
blow-up in a chemotaxis system
1
2005
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis
1
1992
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
An optimal result for global existence in a three-dimensional Article Keller-Segel-Navier-Stokes system involving tensor-valued sensitivity with saturation
1
2019
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
Initiation of slime mold aggregation viewed as an instability
1
1970
... 趋化现象描述了细胞对环境变化的反应, 在诸如细胞聚集、胚胎发育和免疫反应等生物环境中都发挥着重要作用. 因此, 对趋化现象进行深入研究具有重要的实际意义和理论价值. 为了从数学上描述趋化现象, Keller 和 Segel[14 ] 于 1970 年提出了如下方程组 ...
Singular limit problem for the Keller-Segel system and drift-diffusion system in scaling critical spaces
1
2020
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
Small data in an optimal Banach space for the parabolic-parabolic and parabolic-elliptic Keller-Segel equations in the whole space
1
2013
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
The convergence rate of the fast signal diffusion limit for a Keller-Segel-Stokes system with large initial data
9
2021
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
... 引理 3.1 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立, 则对所有 $\epsilon\in(0,1)$ $\Omega\times(0,\infty)$ $n_{\epsilon}\geq 0$ $c_{\epsilon}\geq0$
... 引理 3.2 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ $s>1$ $C>0$
... 引理 3.3 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ . 若存在常数 $p>1$ $Q>0$ $t\in(0,\infty)$ $\Vert n_{\epsilon}(\cdot,t)\Vert_{L^{p}(\Omega)}\leq Q$ $p$ $Q$ $c_{0}$ $C(p,Q,c_{0})>0$ $\epsilon\in(0,1)$
... 引理 3.5 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ $C>0$
... 引理 3.6 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立且 $\alpha>\frac{1}{2}$ $q>1$ $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
... 引理 3.7 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立, 则存在常数 $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
... 引理 3.9 [17 ] 设 $\Omega\subset \mathbb R^{3}$ $\big\{\epsilon _{i}\big\}^{\infty}_{i=1}$ $(n,c,u,P)$ $(n_{\epsilon _{i}},c_{\epsilon _{i}},u_{\epsilon _{i}},P_{\epsilon _{i}})$ $i\rightarrow\infty$
... 引理 4.4 [17 ] 假设条件 (2.2)-(2.5) 成立, 存在常数 $C>0$ $\epsilon\in(0,1)$
The stability analysis of a 2D Keller-Segel-Navier-Stokes system in fast signal diffusion
2
2023
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
... 注 2.1 Li, Xiang 和 Zhou 在文献[18 ]中研究了二维 Keller-Segel-Navier-Stokes 系统在初始细胞质量 $\Vert n_{0}\Vert_{L^{1}(\Omega)}$
Global existence and boundedness in a 2D Keller-Segel-Stokes system with nonlinear diffusion and rotational flux
1
2016
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
Nondegeneracy of blow-up points for the parabolic Keller-Segel system
1
2014
... 对于 (3.2) 式右边的最后一项, 结合文献[20 ,引理 4.2], 即 $\nabla\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}\cdot\nu\leq 2C_{\Omega}\vert\nabla c_{\epsilon}\vert^{2}$ $C_{\Omega}$ $\Omega$ $C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}>0$
The fast signal diffusion limit in a Keller-Segel system
1
2019
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
Global existence of solutions to a parabolic system for chemotaxis in two space dimensions
1
1997
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
Blowup of nonradial solutions to parabolic-elliptic systems modeling chemotaxis in two-dimensional domains
1
2001
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
Behavior of radially symmetric solutions of a system related to chemo-taxis
1
1996
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
Application of the Trudinger-Moser inequality to a parabolic system of chemotaxis
1
1997
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
Finite dimensional attractor for one-dimensional Keller-Segel equations
1
2001
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
Global existence and boundedness in a 3D Keller-Segel-Stokes system with nonlinear diffusion and rotational flux
1
2017
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
Stability property of the two-dimensional Keller-Segel model
1
2009
... 的经典解 $(n,c,u,P)$ . 基于这一结论, Li 和 Xiang 在文献[17 ]中证明了当 $f\equiv 0$ $\kappa=0$ $N=2$ 18 ]中进一步研究了 $\kappa\neq 0$ 2 ,6 ,15 ,16 ,21 ,28 ]. ...
Bacterial swimming and oxygen transport near contact lines
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2005
... 悬浮在水滴中的枯草芽孢杆菌种群自发形成羽状聚集体的现象不仅说明了细胞之间存在相互作用, 还揭示了细胞和周围流体介质之间的相互影响. Tuval[29 ] 等提出用如下趋化-(Navier-)Stokes 系统 ...
Global weak solutions in a three-dimensional Keller-Segel-Navier-Stokes system with subcritical sensitivity
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2017
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
A smallness condition ensuring boundedness in a two-dimensional Chemotaxis-Navier-Stokes system involving Dirichlet boundary conditions for the signal
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2022
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
Global classical solutions in a two-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system with subcritical sensitivity
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2018
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
... ,32 ,35 ,36 ]. ...
The small-convection limit in a two-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system
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2018
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
The fast signal diffusion limit in Keller-Segel(-fluid) systems
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2019
... Wang[34 ] 等证明了当初始值 $(n_{0},c_{0},u_{0})$ $\Vert n_{0}\Vert_{L^{p}(\Omega)}\leq\delta,\ \Vert \nabla c_{0}\Vert_{L^{m}(\Omega)}\leq\delta,\ \Vert u_{0}\Vert_{L^{s}(\Omega)}\leq\delta$ $f\equiv 0$ $\delta>0$ $p,\ m,\ s>N\geq 2$ $\sup\limits_{\epsilon}\Vert\nabla c_{\epsilon}\Vert_{L^{\lambda}{((0,T);L^{q}(\Omega))}}<\infty$ $\sup\limits_{\epsilon}\Vert u_{\epsilon}\Vert_{L^{\infty}{((0,T);L^{r}(\Omega))}}<\infty$ $\lambda\in(2,\infty]$ $q>N\geq 2$ $r>\max\{2,N\}$ $\frac{1}{\lambda}+\frac{N}{2q}<\frac{1}{2}$ $(n_{\epsilon},c_{\epsilon},u_{\epsilon},P_{\epsilon})$
Global existence and boundedness in a Keller-Segel-Stokes system involving a tensor-valued sensitivity with saturation
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2015
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
... ,35 ,36 ]. ...
Global existence and boundedness in a Keller-Segel-Stokes system involving a tensor-valued sensitivity with saturation: the 3D case
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2016
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
... ,36 ]. ...
Finite-time blow-up in the higher-dimensional parabolic-parabolic Keller-Segel system
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2013
... 其中 $n$ $c$ $S$ [8 ,9 ] . 由文献[7 ,10 ,22 ,25 ,26 ,37 ]可知, 对 $S\equiv 1$ $\Omega=\{x\in\mathbb R^{2};\vert x\vert< L\}$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x <8\pi$ $\int_{\Omega} n(x,0)\mathrm{d}x >8\pi$ $\Omega=\{ x\in\mathbb R^{N};N\geq 3,\vert x\vert< L \}$ $(1.1)_{2}$ $0=\Delta c-c+n$ 1 ,12 ,23 ,24 ]. 更一般地, 当趋化敏感性函数 $S\equiv S(n)$ [11 ] 证明了当 $S(s)\leq C(1+s)^{-\alpha}$ $\alpha>1-\frac{2}{N}$ $\Omega\subset\mathbb{R}^{N} (N\geq 2)$ $S(s)>cs^{-\alpha}$ $\alpha<1-\frac{2}{N}$ $\alpha_{c}=1-\frac{2}{N}$
Global large-data solutions in a chemotaxis-(Navier-)Stokes system modeling cellular swimming in fluid drops
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2012
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
Global weak solutions in a three-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system
1
2016
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
Stabilization in a two-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system
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2014
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
global diffusive behavior in the higher-demensional Keller-Segel model
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2010
... 下面利用 Neumann 热半群理论 (参见文献[41 ,引理 1.3]) 分别估计 $Q_{1}$ $Q_{2}$ $Q_{3}$ . 由$\int_{\Omega}(n_{0}-\overline n_{0})\mathrm{d}x=0$ $C_{1},C_{2}>0$
Saturation of the signal on the boundary: Global weak solvability in a chemotaxis-Stokes system with porous-media type cell diffusion
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2022
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
Global classical solutions to the Keller-Segel-Navier-Stokes system with matrix-valued sensitivity
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2018
... 下考虑解的整体存在性与有界性, 其中 $S$ $S(x,n,c)$ 3 ,19 ,27 ,30 ,32 ,35 ,36 ,43 ]) 代替. 特别地, 在体积填充假设 (1.4) 下 Keller-Segel-Stokes 系统 (即在系统 (1.3) 中, $\kappa =0$ ) 的齐次 Neumann-Neumann-Dirichlet 初边值问题在二维空间情形存在整体有界经典解, 在三维空间情形存在整体弱解[13 ,32 ,35 ,36 ] . ...
Global weak solutions for the three-dimensional chemotaxis-Navier-Stokes system with nonlinear diffusion
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2015
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
Global existence and boundedness in a three-dimensional chemotaxis-Stokes system with nonlinear diffusion and general sensitivity
1
2022
... 来描述趋化、信号消耗、流体传输以及细胞对流体的相互作用, 其中 $u$ $P$ $f$ $\phi$ $\kappa\geq 0$ [5 ] 和 Winkler[38 ] 等人证实了在二维情形下该系统整体经典解的存在性; Cao 和 Lankeit[3 ] 提出了在三维和小初值情形下其经典解的存在性. 关于该系统及其变体的研究结果可参见文献[4 ,31 ,33 ,39 ,40 ,42 ,44 ,45 ]. ...
