本文讨论下列带磁场多临界非局部椭圆方程多解的存在性

其中磁位势 $A(x)= (A_1(x), A_2(x),\cdots, A_N(x)):\mathbb{R}^N\to \mathbb{R}^N$ 定义在有界区域 $\Omega\subset \mathbb{R}^N$上, $u: \mathbb{R}^N\to \mathbb{C}$, i 是虚数单位, $\lambda>0$, $N-4<\alpha_s<N, s=1,2,\cdots,k$ $(k\geq2)$ 并且 $2^*_s=\frac{N+\alpha_s}{N-2}$ 是临界 Hardy-Littlewood-Sobolev 指数.

假定 $A(x)= (A_1(x), A_2(x),\cdots, A_N(x))\in C^\nu_{\rm loc} (\mathbb{R}^N, \mathbb{R}^N), 0<\nu<1$, 并记

Schrödinger 算子 $(-{\rm i}\nabla-A(x))^2$ 定义为

当 $A(x)=0$ 并且 $k=1$ 时, 方程 (1.1) 称为 Choquard 方程. 在文献 [10],[11],[12],[13],[15],[17],[18],[21],[22] 中, 对于次临界及临界指数情形下 Choquard 方程解的存在性已经有广泛研究. 特别地, 在文献 [12] 中, 利用 Ljusternik-Schnirelman 理论考虑了下列非线性 Choquard 方程的边值问题

多个正解的存在性, 证明了当区域 $\Omega$ 有界, 指数 $q$ 逼近临界指数 $2^*_\alpha:=\frac{2N-\alpha}{N-\alpha}$ 时, 问题 (3) 至少有 ${\rm cat}_\Omega(\Omega)$ 个正解, 其中 ${\rm cat}_X(Y)$ 是 $Y$ 在 $X$ 中的 Ljusternik-Schnirelman 畴数, 即在拓扑空间 $X$ 中能覆盖闭子集 $Y\subset X$ 的最少的子集个数, 这些子集要求是闭集并且可收缩. 在文献 [13] 中, 作者得到了临界的情形 $q= 2^*_\alpha$ 下多个正解的存在性. 最近, 文献 [18] 中进一步考虑了多临界情形, 即

并证明了存在 $\lambda^*>0$, 当 $0<\lambda<\lambda^*$ 时, 问题 (4) 至少有 ${\rm cat}_\Omega(\Omega)$ 个正解.

当位势 $A(x)\neq0$ 时, Esteban 和 Lions 在文献 [9] 中首次考虑下列带磁问题

利用集中紧性原理, 他们证明了相应的约束极小问题的可达性. 自此, 带磁位势的相关椭圆问题被广泛研究, 见文献 [1],[2],[3],[6],[7],[8],[14],[19],[23],[24],[25],[29],[26] 等等, 其中包括下列问题多解的存在性

在文献 [1] 中, 作者证明存在 $\mu^*>0$, 当 $\mu\in(0,\mu^*)$ 时, 方程 (1.5) 至少有 ${\rm cat}_\Omega(\Omega)$ 个非平凡解. 最近, 在文献 [26] 中进一步考虑了带磁的 Choquard 问题

并证明了方程 (1.6) 多解的存在性.

受以上工作的启发, 本文考虑问题 (1.1) 多解的存在性. 令

首先本文得到一个解的存在性结果.

定理1.1 假定 $N\geq 4$ 和 $2\leq p<2^*$, 那么当 $0<\lambda<\lambda_A(\Omega)$ 时, 问题 (2) 至少有一个非平凡解.

为了得到方程 (1.1) 的弱解, 利用变分法, 转而寻找相应的变分泛函

在函数空间 $H_{0,A}^1(\Omega)$ 中的临界点, 其中 $H_{0,A}^1(\Omega)$ 表示 $C^{\infty}_0(\Omega,\mathbb{C})$ 在范数

下的闭包所产生的 Hilbert 空间, 该范数诱导的实内积为

其中 $\overline{\nabla_Av}$ 表示 $\nabla_Av$ 的复共轭. 利用命题 2.1, 可知 $I_{\lambda,\Omega}(u)$ 是取值有意义的并且 $I_{\lambda,\Omega}\in C^1(H_{0,A}^1(\Omega),\mathbb{R})$. 我们将通过山路定理来证明定理 1.1. 因为涉及临界指数, 在应用山路定理时, 关键是验证 $(PS)_c$ 条件, 即当 $n\to\infty$ 时, 任意满足

的序列 $\{u_n\}\subset H_{0,A}^1(\Omega)$都有收敛子列.

采用文献 [18] 中的想法, 我们将证明当 $c<m_{0,\mathbb{R}^N}$时, 泛函 $I_{\lambda,\Omega}$ 满足 $(PS)_c$ 条件, 这里

其中

为相应的 Nehari 流形. 然而, 在验证泛函 $I_{\lambda,\Omega}$ 的山路临界值小于 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 时, 我们将遇到与文献 [1] 和 [26] 中类似的困难, 因为方程中出现磁位势 $A(x)$ 的缘故, (1.8) 式所考虑的约束极小问题 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 不一定存在可达函数. 为此我们将在引理 2.1 中给出了$m_{0,\mathbb{R}^N}$ 可达的充要条件并且证明了 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 和 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 相等, 这里

其中

为相应的 Nehari 流形. 在文献 [18,定理 1.1] 中, 作者已经证明了 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 可达当且仅当

其中 $C>0$ 为常数, $\varepsilon\in (0,+\infty)$ 和 $a\in \mathbb{R}^N$ 是参数. 利用$m_{0,\mathbb{R}^N}$ 和 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 相等及集中函数 $U_\varepsilon(x)$ 的估计, 我们将证明山路临界值小于 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$. 然后, 由山路定理, 证明方程 (1.1) 存在非平凡解.

其次, 本文得到问题 (2) 的多解.

定理1.2 假定 $N\geq 4$ 和 $2\leq p<2^*$, 那么存在 $0<\lambda^*<\lambda_A(\Omega)$, 当 $0<\lambda<\lambda^*$ 时, 问题 (2) 至少有 ${\rm cat}_\Omega(\Omega)$ 个非平凡解.

本文利用 Ljusternik-Schnirelman 理论, 采用在文献 [5] 中研究半线性椭圆问题的想法, 证明定理 1.2. 在近几十年中, 有许多不同类型的椭圆问题利用文献 [5] 中的方法, 得到了多解性的结果, 见文献 [1],[2],[12],[13],[18],[28] 等等. 尽管基本证明思路是相似的, 但因处理的问题不同, 需要对证明过程做相应的改进. 在本文中, 因为方程中出现了磁位势, 所以在估计中我们需要做一些更仔细的分析.

在文献 [5] 中, 一个重要的过程是将方程相应泛函的水平集的畴数与区域 $\Omega$ 的畴数相联系. 在本文考虑的问题中, 我们将通过构造一个函数的重心及由下列问题的正解 $u$ 所构造的映射来建立这种联系

其中 $0<\lambda<\lambda_1$, $\lambda_1$ 是算子 $-\Delta$ 的第一特征值

其中 $2<p<2^*$. 在上述问题中为了保证在重心映射下泛函水平集的像在区域 $\Omega$ 附近, 要求解 $u$ 具有球对称性, 因此在以往的文献中要求泛函限制在球对称函数的空间中, 例如见文献 [1]. 本文将证明问题 (1.15) 和问题 (1.16) 的每一个正解都是球对称的, 即

定理1.3 假定 $N\geq 3$, $2\leq p<2^*$ 和 $N-4<\alpha_s<N$, $s=1,2,\cdots,k$, 那么问题 (16) 和 (17) 每一个 $C^2$ 正解是球对称的.

定理 1.3 的证明依赖于移动平面的方法. 为了开始移动平面, 我们将利用 Sobolev 不等式而不选择在小面积区域下的极值原理, 证明的思路与文献 [26] 中类似.

本文组织如下. 在第 2 节中, 将给出一些预备知识并证明引理 2.1. 然后, 在第 3 节至第 5 节分别证明定理 1.1 至定理 1.3.

为了用变分法研究问题 (2), 需要以下 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式.

命题2.1^[16] 设 $t, r>1$ 且 $0<\mu<N$, $\frac{1}{t}+\frac{\mu}{N}+\frac{1}{r}=2$, $f\in L^{t}({\mathbb{R}}^N)$, $h\in L^{r}({\mathbb{R}}^N)$, 则存在与 $f, h$ 无关的常数 $C(t,r,\mu,N)$, 使得

若 $t=r=\frac{2N}{2N-\mu}$, 则

(2.1) 式中的不等式成立当且仅当 $f\equiv C_0h$, 且达到函数为

其中 $C_0$ 为常数, $C\in \mathbb{C}$, $0\neq \gamma \in \mathbb{R}$, $a\in \mathbb{R}^N$.

根据 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式 (2.1), 对任意 $u\in L^{2^*}(\mathbb{R}^N)$ 可以得到

在引理 2.1 的证明及本文后续的证明中, 需要使用下列与磁位势相关的反磁不等式.

命题2.1^[16] 对于 $u\in H_{0,A}^1(\Omega)$, 成立

由命题 2.2, 易知 $|u|\in H^1_0(\Omega,\mathbb{R})$. 并且当 $2\leq q\leq2^*$ 时, 嵌入映射 $H_{0,A}^1(\Omega)\hookrightarrow L^q(\Omega,\mathbb{C})$ 是连续的; 当 $1 \leq q < 2^*$ 时, 映射是紧的.

下面的引理 2.1, 给出了 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 可达的充要条件. 证明的主要想法来自文献 [9], 但是由于问题的不同, 方法需要做进一步改进. 我们先给出与 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 相关的一些性质. 首先, 利用文献 [18,引理2.1], 可以类似证明对任意 $u\in H^1_{0,A}(\mathbb{R}^N)$, 存在唯一 $t_u>0$ 使得 $t_uu\in\mathcal{N}_{0,\mathbb{R}^N}$, 并且与文献 [27] 中相似, 可以证明

其中

其次, 利用 (2.3) 式的关系, 不难证明,若 $u\in\mathcal{N}_{0,\mathbb{R}^N}$, 则对任意$t>0$, 有 $I_{0,\mathbb{R}^N}(u)\geq I_{0,\mathbb{R}^N}(tu)$ 且不等式成立当且仅当 $t=1$.

引理2.1 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 和 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 分别由 (1.8) 式及 (1.11) 式给出, 那么成立

(1) $m_{0,\mathbb{R}^N}=\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$;

(2) $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 可达当且仅当 curl$A\equiv0$, 其中 curl$A$ 表示为 $A$ 的旋度.

证 先证 $m_{0,\mathbb{R}^N}=\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$. 对任意的 $u\in\mathcal{N}_{0,\mathbb{R}^N}$, 总存在唯一的 $t_u>0$ 使得 $t_u|u|\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$. 由反磁不等式及 $u\in\mathcal{N}_{0,\mathbb{R}^N}$, 那么有

因为 $u\in\mathcal{N}_{0,\mathbb{R}^N}$ 的任意性, 所以由上式有 $m_{0,\mathbb{R}^N}\geq\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$.

接下来证明 $m_{0,\mathbb{R}^N}\leq\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$. 对任意 $\varepsilon>0$, 由 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 的定义, 存在 $u\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$ 使得

因为 $C^\infty_0(\mathbb{R}^N,\mathbb{R})$ 在 $H^1(\mathbb{R}^N)$ 中稠密, 则对于给定的 $\varepsilon>0$, 存在 $v\in C^\infty_0(\mathbb{R}^N,\mathbb{R})$ 使得

另一方面, 总存在 $t_v>0$ 使得 $t_vv\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 结合命题 2.1, Sobolev 嵌入不等式及 (2.5) 式, 可以推出

令 $v_\sigma(x):=\sigma^{-\frac{N-2}{2}}v(\frac x\sigma)$, 那么存在 $t_{v_\sigma}>0$ 使得 $t_{v_\sigma}v_\sigma\in \mathcal{N}_{0,\mathbb{R}^N}$, 并且对每个 $s$, 有

和

因此

进一步有

接下来研究当 $\sigma\rightarrow0$时, $t_{v_\sigma}$ 的变化. 因为 $t_{v_\sigma}v_\sigma\in N_{0,\mathbb{R}^N}$ 和 $v_\sigma$ 取实值, 所以有

另外

第一个等式使用了变量替换 $y=\frac x\sigma$, 第二个不等式利用了 Hölder 不等式及函数 $v$ 在 $\mathbb{R}^N$ 中有紧支集 supp$v$. 因此当 $\sigma\rightarrow0$, 由 (2.8) 式并在 (2.8) 式中做变量替换 $y=\frac x\sigma$可以得到

注意到 $t_vv\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 因此

然后结合 (2.6) 和 (2.7) 式, 则有

最后将证明当 $\varepsilon>0$ 充分小时, $t_v$ 趋近于 1. 因为 $t_vv\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 即

结合 (2.5) 式和范数的三角不等式, 那么有

因为 $u\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 所以当 $\varepsilon$ 充分小时, $t_v$ 趋于1. 最后, 由 (2.9) 式, (2.4) 式和 $u\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 当 $\varepsilon\rightarrow0$, 可推得

现在开始证明 (2): 假定 $u\in H^1_{0,A}(\mathbb{R}^N)$ 是 $m_{0,\mathbb{R}^N}$的极小可达函数, 那么总存在 $t_u>0$ 使得 $t_u|u|\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$. 然后利用反磁不等式和 (2.3) 式, 则有

另一方面 $m_{0,\mathbb{R}^N}=\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$, 因此 $I_{0,\mathbb{R}^N}(u)=J_{\mathbb{R}^N}(t_u|u|)$, 即有

因此 $t_u=1$. 又因为 $u\in N_{0,\mathbb{R}^N}$ 和 $t_u|u|\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 那么可推得

由反磁不等式 $|\nabla|u||\leq|\nabla_Au|$ 几乎处处在 $x\in\mathbb{R}^N$ 上, 因此 $|\nabla|u||=|\nabla_Au|$ 几乎处处在 $x\in\mathbb{R}^N$ 上. 在文献 [18] 中, 已经证明了 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 的极小可达函数是唯一的, 即 $U_\varepsilon$, 因此 $|u|=U_\varepsilon>0$ 几乎处处在 $\mathbb{R}^N$ 上. 另一方面, 在文献 [16] 中, 有下式成立

因此

因为 $|u|=U_\varepsilon$, 那么存在正则函数 $\theta_x$ 使得

$u={\rm e}^{{\rm i}\theta_x}U_\varepsilon$, 所以

而后 curl $A=$ curl$\nabla\theta_x=0$. 反过来, 如果 curl$A=0$, 那么存在一个函数 $\varphi\in W^{1,N}_{\rm loc}(\mathbb{R}^N)$ 使得 $A=\nabla\varphi$, 并且可证 $u=U_\varepsilon {\rm e}^{-{\rm i}\varphi}$ 是 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 的极小可达函数. 证毕.

进一步可以验证对于 $v\in H_{0,A}^1(\Omega)$, 有

如果对于任意 $v\in H_{0,A}^1(\Omega)$, 有

即 $\langle I'_{\lambda,\Omega}(u),v\rangle=0$, 则称函数 $u\in H_{0,A}^1(\Omega)$ 是方程 (1.1) 的弱解.

在这一节, 我们将利用山路定理证明方程 (1.1) 在山路临界值

上存在非平凡解, 其中

定义泛函 $I_{\lambda,\Omega}$ 相应的 Nehari 流形为

可以验证 $\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$ 是一个流形, 并且对于每一个 $u\in H_{0,A}^1(\Omega)$, 存在唯一的 $t_u>0$ 使得 $t_u u\in\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$. 定义

和

类似在文献 [27,定理 4.2], 我们可以证明

在文献 [10] 中已经证明了下列 Brézis-Lieb 类型的引理.

引理3.1 假定 $N\geq 3$, $0<\alpha<N$ 和 $2^*_\alpha:=\frac{2N-\alpha}{N-2}$. 若 $\{u_n\}$ 是 $L^{\frac{2N}{N-2}}(\mathbb{R}^N)$ 中的有界序列并且当 $n\to\infty$ 时, $u_n\to u$ 几乎处处在 $\mathbb{R}^N$ 中, 那么有

接下来验证泛函 $I_{\lambda,\Omega}$ 满足 $(PS)_c$ 条件.

引理3.2 当 $c<c_{0,\mathbb{R}^N}$ 时, 泛函 $I_{\lambda,\Omega}$ 满足 $(PS)_c$ 条件.

证 令 $\{u_n\}\subset H_{0,A}^1(\Omega)$ 是泛函 $I_{\lambda,\Omega}$ 的一串 $(PS)_c$ 序列, 即当 $n\to\infty$ 时,

由上式可知

接下来采用反证法证明 $\{u_n\}$ 在 $H^1_{0,A}(\Omega)$ 中有界. 假定 $\{u_n\}$ 在 $H^1_{0,A}(\Omega)$ 中无界, 即当 $n\rightarrow\infty$ 时, $||u_n||_{H_{0,A}^1(\Omega)}\rightarrow\infty$. 令 $v_n=\frac{u_n}{||u_n||_{H_{0,A}^1(\Omega)}}$, 那么 $||v_n||_{H_{0,A}^1(\Omega)}=1$. 在不计子列意义下, 有

对于 $1\leq p<2^*$. 在 (3.6) 式两端乘以 $||u_n||^{-2}_{H_{0,A}^1(\Omega)}$, 并且令 $n\rightarrow\infty$, 那么有

另外, 由 (2.10) 式, 可得

然后令 $n\rightarrow\infty$, 则

上式与 (3.8) 式相矛盾. 因此 $\{u_n\}$ 在 $H_{0,A}^1(\Omega)$ 中有界. 类似的, 有

对于 $1\leq p<2^*$. 由 $\{u_n\}$ 的弱收敛性及 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 可证 $I'_{\lambda,\Omega}(u_0) =0$, 即 $u_0$ 是方程 (1.1) 的弱解. 进一步有, $I_{\lambda,\Omega}(u_0)\geq 0$.

令 $w_n=u_n-u_0$, 由引理 3.1 和 (3.9) 式, 可以推出

和

现在假定 $u_n$ 在 $H_{0,A}^1(\Omega)$ 中不会强收敛到 $u_0$, 那么当 $n\to\infty$ 时, $w_n=u_n-u_0\not\to 0$ 在 $H_{0,A}^1(\Omega)$ 中. 令 $w_n=0$ 在区域 $\Omega$ 外, 延拓 $w_n$ 到 $\mathbb{R}^N$ 上, 那么存在 $t_n>0$, 当 $n\rightarrow\infty$ 时 $t_n\rightarrow1$ 并且 $t_nw_n\in \mathcal{N}_{0,\mathbb{R}^N}$. 结合 (3.11) 式, 那么 $c\geq c_{0,\mathbb{R}^N}$, 这与$c<c_{0,\mathbb{R}^N}$ 矛盾. 因此 $u_n$ 在 $H_{0,A}^1(\Omega)$ 中强收敛到 $u_0$. 证毕.

在引理 2.1 中, 已经证明了 $m_{0,\mathbb{R}^N}$ 和 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 相等. 接下来我们利用 $\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 的极小可达函数 $U_\varepsilon(x)$ (见 (1.14) 式) 的估计, 证明山路值 $c_{\lambda,\Omega}<\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$.

引理3.3 假定 $N\geq4$ 和 $\lambda\in(0,\lambda_A(\Omega))$, 那么对于 $p\geq2$, 有 $c_{\lambda,\Omega}<\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$.

证 假定 $0\in\Omega$, 则存在 $r>0$ 使得 $B_{2r}(0)\subset\Omega$.

令函数 $\varphi\in C^\infty_c(\mathbb{R})$ 满足当 $|x|<r$ 时, $\varphi(x)=1$; 当 $|x|>2r$ 时, $\varphi(x)=0$ 并且对于任意 $x\in\mathbb{R}^N$, 有$|\nabla\varphi|\leq C$. 记 $u_\varepsilon(x)=\varphi(x)U_\varepsilon(x).$

从文献 [10],[18],[27], 中, 可知

和

其中 $d_p = \int_{\mathbb{R}^N}U_\varepsilon^p(x){\rm d}x.$

现在, 分 $p=2$ 和 $p>2$ 两种情形来讨论: 当 $p=2$ 时, 令

那么存在 $t_{v_\varepsilon}>0$ 使得 $t_{v_\varepsilon}v_\varepsilon\in \mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$, 然后可以推出

因为 $A(x)$ 在点 $x=0$ 处连续, 可以选择充分小的 $r>0$ 使得当 $x\in B_r(0)$ 时,

结合 (3.12) 式, (3.13) 式 和 (3.14) 式, 对于 $N=4$, 则有

其中 $C(\lambda)$ 是与 $\lambda$ 相关的常数. 因为 $U_\varepsilon\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 所以当 $\varepsilon\rightarrow0$ 时, 有 $t_{v_\varepsilon}\rightarrow1$, 即 $t_{v_\varepsilon}=1+o(\varepsilon)$; 类似的对于 $N\geq5$ 时, 有 $t_{v_\varepsilon}=1+o(\varepsilon)$.

然后令 $g(t)=I_{\lambda,\Omega}(tv_\varepsilon),$ 则有

由 $c_{\lambda,\Omega}$ 定义及 (3.17) 式, 有

另一方面, 总存在 $t_{u_\varepsilon}>0$ 使得 $t_{u_\varepsilon}u_\varepsilon\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 即

注意到函数 $f(t):=\frac{1}{2}t^2-\sum\limits^k_{s=1}\frac{1}{2\cdot2^*_s}t^{2\cdot2^*_s}$ 存在唯一的极大值点, 结合 (3.18) 式和 (3.19) 式, 有

接下来, 我们研究当 $\varepsilon\rightarrow0$ 时, $t_{u_\varepsilon}$ 的极限. 由 (3.19) 式, (3.12) 式及 (3.14) 式, 可推得

因为 $U_\varepsilon\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 所以当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时, 有 $t_{u_\varepsilon}\rightarrow1$ 并且

尽管当 $\varepsilon\rightarrow 0$ 时, 有 $t_{u_\varepsilon}\rightarrow1$, 但是我们并不清楚 $t_{u_\varepsilon}$ 趋于 1 的速度. 为了进一步估计 $c_{\lambda,\Omega}$, 我们对 $t_{u_\varepsilon}$ 分两种情形讨论, 即 $t_{u_\varepsilon}\leq1$ 和 $t_{u_\varepsilon}\geq1$. 当 $t_{u_\varepsilon}\leq1$ 时, 由 (3.13), (3.14) 和 (3.20) 式, 对于 $N=4$ 时, 可推得

注意到 $\frac{4+\alpha_s}{2}>2$ 和 $\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2|ln\varepsilon|}=0$, 因此当 $\varepsilon>0$ 充分小时, 有

对于 $N\geq5$ 时, 有

注意到 $\frac{N+\alpha_s}{2}>N-2$, 那么当 $\varepsilon>0$ 充分小时, 同样有 $c_{\lambda,\Omega}<\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$. 当 $t_{u_\varepsilon}>1$ 时, 有 $t_{u_\varepsilon}^2-1<t_{u_\varepsilon}^{2\cdot2^*_s-2}-1$, 结合 (3.20) 式, 有

这里 $C>0$ 为常数. 进一步由 (3.13) 式, (3.14) 式和 (3.21) 式, 对于 $N=4$ 时, 可推得

这里 $C_1$ 和 $C_2$ 为大于 0 的常数. 当 $\varepsilon$ 充分小时, 类似 (3.22) 式的估计, 可以推出 $c_{\lambda,\Omega}<\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$; 同样的, 对于 $N\geq5$ 时, 有 $c_{\lambda,\Omega}<\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$.

对于第二种情形 $p>2$, 将仿照文献 [20] 中的证明. 定义 $\omega_A=\sup_{x\in\Omega}|A(x)-A(0)|$, 那么有

另一方面, 总存在 $t_{v_\varepsilon}>0$ 和 $t_{u_\varepsilon}>0$ 使得 $t_{v_\varepsilon}v_\varepsilon\in \mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$ 和 $t_{u_\varepsilon}u_\varepsilon\in\mathcal{M}_{J_{\mathbb{R}^N}}$, 类似 (3.16) 式中 $t_{v_\varepsilon}$ 的估计, 可以证明当 $\varepsilon\rightarrow0$ 时, 有 $t_{v_\varepsilon}\rightarrow1$ 和 $t_{u_\varepsilon}\rightarrow1$. 与文献 [20] 中证明类似, 可以推出

然后结合 (3.23) 式, 可推得

最后, 类似证明 $p=2$ 情形的步骤, 对于 $N=4$ 和 $N\geq5$ 时, 可以证明 $c_{\lambda,\Omega}<\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$.

证毕.

定理 1.1 的证明 因为 $m_{\lambda,\Omega} = c_{\lambda,\Omega}$, 令 $\{u_n\}\subset \mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$ 为 $I_{\lambda,\Omega}$ 的一串极小化列. 由 Ekeland 变分原理, 我们可以假设 $\{u_n\}$ 是一串 $(PS)_{m_{\lambda,\Omega}}$ 序列. 由引理 3.2 和引理 3.3, 那么 $\{u_n\}$ 包含收敛子列, 并且 $\{u_n\}$ 的收敛子列的弱极限是方程 (1.1) 的非平凡弱解. 证毕.

在这一节, 我们证明问题 (1.15) 和问题 (1.16) 的正解的对称性. 我们仅证明问题 (1.16) 的情形, 问题 (1.15) 的情形可以类似得到, 证明将采用文献 [26] 中的方法.

为了使用移动平面的方法, 重记问题 (1.16) 为

令

和

引理4.1 对于 $s=1,2,\cdots,k$, 成立

证 令 $\tilde\Sigma_\lambda=\{x\in B_1(0): x^\lambda\in \Sigma_\lambda\}$. 那么,

和

对于 $x\in \Sigma_\lambda$, $y\in B_1(0)\setminus(\Sigma_\lambda\cup\tilde\Sigma_\lambda)$, 有 $|x-y|\geq |x^\lambda-y|$. 因此,

从而有

证毕.

引理4.2 我们有下列不等式成立.

证 因为 $u_\lambda$ 满足方程

所以, 有

在 (4.2) 式两端同乘 $(u(x)- u(x^\lambda))_+$ 并且在 $\Sigma_\lambda$ 上积分, 那么得到

如果 $v_s(x)\leq v_s(x^\lambda)$, 易得

而如果 $v_s(x)> v_s(x^\lambda)$, 那么成立

在这两种情况下, 从 (4.3) 式可推得

利用 Hölder 不等式和 Sobolev 不等式, 有

再次使用 Hölder 不等式, Sobolev 不等式和 Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式, 对于每个 $s=1,2,\cdots,k$, 可以推出

类似的, 由引理 4.1, 有

由 (4.4)-(4.7) 式可得结论. 证毕.

定理 1.3 的证明 我们使用移动平面法来证明问题 (17) 正解的球对称. 证明分为以下几步.

第一步 当 $\lambda$ 充分靠近 $1$ 时, 对于 $s=1,2,\cdots,k$, 有

事实上, 注意到当 $\lambda\to 1$ 时, $\Sigma_\lambda$ 的测度 mes$\Sigma_\lambda \to 0$, 那么

结合引理 4.2, 可以推出

即对于 $x\in \Sigma_\lambda$, 有

上式结合引理 4.1, 对于 $s=1,2,\cdots,k$, 当 $x\in \Sigma_\lambda$ 时, 有

第二步 定义

$\bar\lambda=\inf\{\lambda: u(x)\leq u(x^\mu), v_s(x)\leq v_s(x^\mu) \quad\text{对于全部}\quad\lambda\leq\mu\leq 1,s=1,2,\cdots,k\}.$ 由第一步, $\bar\lambda$ 是有定义的. 接下来证明 $\bar\lambda\leq 0$.

采用反证法. 假定 $\bar\lambda>0$, 从强极值原理可推出

再由引理 4.1, 对于 $s=1,2,\cdots,k$, 有

然后我们证明平面可以继续往 $\bar\lambda$ 左侧移动, 那么这与 $\bar\lambda$ 的定义矛盾. 事实上, 因为 $u(x)< u(x^{\bar\lambda})$ 在 $\Sigma_{\bar\lambda}$上, 则对任意 $\delta>0$, 存在 $\sigma=\sigma(\delta)>0$, 当 $x\in \Sigma_{\bar\lambda+ \delta}$ 时, 有

另一方面, 利用函数 $u$ 的连续性, 当 $\varepsilon>0$ 较小时, 对于 $\lambda\in[\bar\lambda-\varepsilon, \bar\lambda]$, 有 $u(x)\leq u(x^{\lambda})$ 在 $\Sigma_{\bar\lambda+ \delta}$ 中. 那么当$\lambda\in[\bar\lambda-\varepsilon, \bar\lambda]$ 时, 可以推出

因此当 $\varepsilon$ 较小时, 对于 $\lambda\in[\bar\lambda-\varepsilon, \bar\lambda]$, 有

上式结合引理 4.2, 对于 $\lambda\in[\bar\lambda-\varepsilon, \bar\lambda]$, 有

然后, 由引理 4.1, 对于 $s=1,2,\cdots,k$, 当 $\lambda\in[\bar\lambda-\varepsilon, \bar\lambda]$ 时, 有

这与 $\bar\lambda$ 的定义矛盾. 因此, $\bar\lambda\leq 0$.

类似的, 采取同样的证明过程从左侧开始移动平面来证明 $\bar\lambda\geq 0$. 那么 $\bar\lambda= 0$. 这说明 $u(x)$ 在 $x_1$ 方向是对称的. 类似的, 推出 $u(x)$ 是球对称的. 证毕.

本节证明方程 (1.1) 至少有 ${\rm cat}_\Omega(\Omega)$ 个非平凡解. 定义

选择 $r>0$ 使得 $\Omega_r^+, \Omega^-_r$ 和 $\Omega$ 是同伦等价的.

命题5.1^{[18,命题5.1]} 若序列 $\{u_n\}\subset \mathcal{M}_{J_\Omega}$ 满足当 $n\to\infty$ 时, $J_\Omega(u_n)\to \mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$, 则存在一组 $(\gamma_n, x_n)\in \mathbb{R}_+\times \Omega$ 使得 $v_n(x)=\gamma_n^{\frac{N-2}2}u_n(\gamma_n x +x_n)$ 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中有收敛子列. 而且, 有 $\gamma_n\to 0$, $x_n\to x\in\bar\Omega$ 并且 $v_n\to U_\varepsilon$ 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中.

对于 $B_r(0)\subset \Omega$, 考虑定义在 $H^1_0(B_r(0), \mathbb{R})$ 上的泛函, 当 $p>2$ 时,

其中 $\omega_A=\sup_{x\in\Omega}|A(x)-A(0)|$; 当 $p=2$ 时,

定义

其中

由定理 1.1, $\mathfrak{M}(\lambda, r)$ 存在极小可达函数 $u$ $(u\neq0)$. 我们也许需要对 (5.1) 及 (5.2) 式的非线性项取正部, 由 Kato 不等式和极值原理, 那么 $u>0$. 其中 $\mathfrak{M}(\lambda, r)$ 的取值并不依赖于球心的选择, 而依赖于半径. 所以对任意 $x\in \mathbb{R}^N$, 有 $\mathfrak{M}(\lambda, r) = \mathfrak{M}(\lambda, B_r(x))$. 我们可以验证

由定理 1.3 可知, 每个 $\mathfrak{M}(\lambda, r)$ 的正极小化子 $u_\lambda$ 是球对称的.

若 $u_\lambda \in\mathcal{M}_{J_{\lambda,B_r(0)}}$ 是 $\mathfrak{M}(\lambda, r)$ 的正极小化子, 那么 $u_\lambda$ 满足

和

现在, 定义映射 $\Psi:\Omega^-_r\rightarrow\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$

其中 $\tau_z(x):=\Sigma^N_{j=1}A_j(z)x_j$, $t_{\lambda,z}\in(0,+\infty)$ 使得 $t_{\lambda,z}{\rm e}^{-{\rm i}\tau_z(x)}u_\lambda(|x-z|)\in\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}.$

考虑光滑截断函数 $\eta\in C_c^\infty(\mathbb{R}^N, \mathbb{R}^N)$ 满足对任意 $x\in\bar\Omega$, 有 $\eta(x)=x$. 因为 $u$ 是复值函数, 我们定义函数 $u\in H^1_{0,A}(\Omega)$ 的重心函数为

这里 $u=0$ 在区域 $\Omega$ 外. 对于 $z\in\Omega_r^-$, 可以证明 $(\beta\circ\Psi)(z) =z.$

引理5.1 当 $\lambda\in(0,\lambda_A(\Omega))$ 时, 对于 $z\in\Omega^-_r$, 一致地有

证 给定 $z\in\Omega^-_r$, 当 $p=2$ 时, 有

因为 $A(x)$ 在 $\mathbb{R}^N$ 上满足局部 Hölder 连续, 即对于任意有界子集 $\mathcal{D}\subset\mathbb{R}^N$, 存在常数 $C>0$ 使得

其中 $0<\gamma<1$. 因此, 类似在引理 3.3 中的证明, 选择较小的 $r>0$ 使得

类似的, 可以证明 $p>2$ 的情形. 证毕.

引理5.2 存在 $\lambda^*\in(0,\lambda_A(\Omega))$, 当 $0<\lambda<\lambda^*$ 时, 若 $u\in\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$ 并且满足 $I_{\lambda,\Omega}(u)\leq \mathfrak{M}(\lambda, r)$, 则有 $\beta(u)\in\Omega^+_r$.

证 由反证法, 假定存在一列 $\lambda_n\rightarrow0$, $u_n\in\mathcal{N}_{\lambda_n,\Omega}$ 并且 $I_{\lambda_n,\Omega}(u_n)\leq \mathfrak{M}(\lambda_n, r)$ 但是 $\beta(u_n)\notin\Omega^+_r$.

下面我们证明 $\{|u_n| \}$ 在 $H_0^1(\Omega, \mathbb{R})$中有界. 因为 $u_n\in\mathcal{N}_{\lambda_n,\Omega}$, 即

并且

因此, 对于 $s=1,2,\cdots,k$, 存在正常数 $C_1$, 对任意 $n$, 有

由 (5.5) 式和反磁不等式 (2.2) 式, 则 $\{|u_n|\}$ 在 $H^1_0(\Omega)$ 中有界. 然后, 利用 $u_n\in\mathcal{N}_{\lambda_n,\Omega}$, Hardy-Littlewood-Sobolev 不等式及 Sobolev 不等式, 可推得

其中 $S_{H}$ 是 Hardy-Littlewood-Sobolev 常数. 上式表明

另一方面, 总存在 $t_n>0$ 使得 $v_n:=t_n|u_n|\in\mathcal{M}_{J_\Omega}$, 那么

因为 $\{|u_n|\}$ 在 $H_0^1(\Omega, \mathbb{R})$ 有界, 所以 $t_n$ 有界.

由假设 $u_n\in\mathcal{N}_{\lambda_n,\Omega}$ 和 $I_{\lambda_n,\Omega}(u_n)\leq \mathfrak{M}(\lambda_n, r)$, 利用反磁不等式及 $t_n|u_n|\in\mathcal{M}_{J_\Omega}$, 则有

因此, 序列 $\{v_n\}$ 满足

由命题 5.1, 存在一组 $(\gamma_n,x_n)\in \mathbb{R}_+\times \Omega$ 使得序列

在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中有收敛子列. 而且, 当 $n\to\infty$ 时, 有 $\gamma_n\to 0$, $x_n\to x_0\in\bar\Omega$, $w_n(x)\to U_\varepsilon(x)$ 在 $D^{1,2}(\mathbb{R}^N)$ 中并且 $J_{\Omega}(w_n)\to \mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$. 由上述结论可推得

利用 Lebesgue 控制收敛定理, 当 $n\to\infty$ 时, 有 $\beta(u_n)\to x_0\in\bar\Omega$, 这与假设 $\beta(u_n)\notin\Omega^+_r$ 矛盾. 所以结论成立. 证毕.

引理5.3 存在 $\lambda^*\in(0,\lambda_A(\Omega))$, 当 $0<\lambda\leq\lambda^*$ 时, 有 ${\rm cat}_{\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)}}(\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)})\geq {\rm cat}_\Omega(\Omega),$ 其中 $\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)}=\{u\in\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}:I_{\lambda,\Omega}(u)\leq \mathfrak{M}(\lambda, r)\}.$

证 由 ${\rm cat}_{\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)}}(\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)})$ 的定义, 假定 $\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)}=\mathcal{N}_1\cup\cdots\cup\mathcal{N}_n,$ 其中 $\mathcal{N}_j, j=1,\cdots,n$ 是 $\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)}$中的满足闭的可收缩的子集, 即存在收缩映射 $h_j\in C([0,1]\times\mathcal{N}_j,\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)})$, 对于任意 $u,v\in\mathcal{N}_j$, 有 $h_j(0,u)=u,\quad h_j(1,u)=h_j(1,v).$ 进一步考虑集合 $\mathcal{N}^{-1}_j:=\Psi^{-1}_\lambda(\mathcal{N}_j),$ $j=1,\cdots,n$. 因为 $\Psi_\lambda$ 是连续函数, 所以 $\mathcal{N}^{-1}_j$ 是 $\Omega^-_r$ 中闭集并且 $\Omega^-_r=\mathcal{N}^{-1}_1\cup\cdots\cup\mathcal{N}^{-1}_n.$ 定义形变映射 $g_j:[0,1]\times\mathcal{N}^{-1}_j\rightarrow\Omega^+_{r}$ 为 $g_j(t,z)=\beta(h_j(t,\Psi_\lambda(z))),$ 可以验证 $\mathcal{N}_j^{-1}$ 在 $\Omega^+_{r}$ 中可收缩. 所以有 ${\rm cat}_\Omega(\Omega)={\rm cat}_{\Omega^+_{r}}(\Omega^-_r)\leq n.$ 证毕.

定理 1.2 的证明 由引理 3.2 和引理 3.3, 当 $c\leq \mathfrak{M}(\lambda, r)<\mathfrak{M}(\mathbb{R}^N)$ 时, 泛函 $I_{\lambda,\Omega}$ 在流形 $\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$ 上满足 $(PS)_c$ 条件. 然后由 Ljusternik-Schnirelman 理论及引理 5.3, 对于限制在流形上 $\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}$ 的泛函 $I_{\lambda,\Omega}$, $\mathcal{N}_{\lambda,\Omega}^{\mathfrak{M}(\lambda, r)}$ 中至少有 ${\rm cat}_\Omega(\Omega)$ 个非平凡临界点. 证毕.