含参数 Nabla 积分比和变限含参数 Nabla 积分比的单调性法则及其应用

含参数 Nabla 积分比和变限含参数 Nabla 积分比的单调性法则及其应用

田景峰^,, 毛忠旋^,, 孙龙发^,^*

华北电力大学数理学院河北省物理学与能源技术重点实验室河北保定 071003

Monotonicity Rules of the Ratios of Parametric Nabla Integrals and Parametric Nabla Integrals with Variable Limits and Their Applications

Tian Jingfeng^,, Mao Zhongxuan^,, Sun Longfa^,^*

Hebei Key Laboratory of Physics and Energy Technology, School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Hebei Baoding 071003

通讯作者: * 孙龙发, Email:sun.longfa@163.com

收稿日期: 2023-05-22 修回日期: 2023-09-28

基金资助:

国家自然科学基金(12101234)
河北省自然科学基金(A2022502010)
中央高校基本科研业务费专项资金(2023MS164)

国家留学基金

Received: 2023-05-22 Revised: 2023-09-28

Fund supported:

National Natural Science Foundation of China(12101234)
Natural Science Foundation of Hebei Province(A2022502010)
Fundamental Research Funds for the Central Universities(2023MS164)

China Scholarship Council

作者简介 About authors

田景峰,Email:tianjf@ncepu.edu.cn;

毛忠旋,Email:maozhongxuan000@gmail.com

摘要

利用时标理论中的 Nabla 积分建立了含参数 Nabla 积分比

$s\mapsto \frac{\int_\alpha^\beta \Psi(s,v) \nabla v}{\int_\alpha^\beta \Phi(s,v) \nabla v} \quad \text{和} \quad s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \Psi(s,v) \nabla v}{\int_{v_0}^\infty \Phi(s,v) \nabla v}$

以及变限含参数 Nabla 积分比

$s\mapsto \frac{\int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v }{\int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v} \quad \text{和} \quad s\mapsto \frac{\int_{v_0}^{s} \psi(v) w(s,v) \nabla v }{\int_{v_0}^{s} \phi(v) w(s,v) \nabla v}$

的单调性法则. 在含参数 Nabla 积分比部分中, 还详细研究了一些特殊情形, 包括时标下的多项式之比以及 Nabla 拉普拉斯变换之比. 利用这些单调性法则, 证明了函数 $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n \mathcal{J}_{\bar{u}}(s)}$ , $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{v}(u_is)}{n \mathcal{J}_{v}(\bar{u}s)}$ , $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)}$ , $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{u_i}(s)}{n \mathcal{Y}_{\bar{u}}(s)}$ 和 $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{v}(u_is)}{n \mathcal{Y}_{v}(\bar{u}s)}$ 的单调性, 其中 $\bar{u}=\sum\limits_{i=1}^n u_i/n$ , $I_u(\cdot), K_u(\cdot)$ 分别为第一类和第二类修正的贝塞尔函数, $\mathcal{J}_u(s):= \big( \frac{s}{2} \big)^{-u} I_{u}(s)$ 和 $\mathcal{Y}_u(s):=K_u(s)-K_0(s)$ .

关键词： 单调性法则; 时标; Nabla 积分; 修正贝塞尔函数; 拉普拉斯变换

Abstract

Using the Nabla integral on time scales, this paper establishes the monotonicity rules for the ratios of parametric Nabla integrals

$s\mapsto \frac{\int_\alpha^\beta \Psi(s,v) \nabla v}{\int_\alpha^\beta \Phi(s,v) \nabla v} \quad \text{and} \quad s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \Psi(s,v) \nabla v}{\int_{v_0}^\infty \Phi(s,v) \nabla v}$

and the ratios of the parametric Nabla integrals with variable limits

$s\mapsto \frac{\int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v }{\int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v} \quad \text{and} \quad s\mapsto \frac{\int_{v_0}^{s} \psi(v) w(s,v) \nabla v }{\int_{v_0}^{s} \phi(v) w(s,v) \nabla v}.$

In the part of monotonicity rules for the ratios of parametric Nabla integrals, some different special cases are considered in detail, including the ratio of two polynomials on time scales and the ratio of two Nabla Laplace transforms. Using these monotonicity rules, the monotonicity of the functions $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}{u_i}(s)}{n \mathcal{J}{\bar{u}}(s)}$ , $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}{v}(u_is)}{n \mathcal{J}{v}(\bar{u}s)}$ , $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)}$ , $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}{u_i}(s)}{n \mathcal{Y}{\bar{u}}(s)}$ and $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}{v}(u_is)}{n \mathcal{Y}{v}(\bar{u}s)}$ is proved, where $\bar{u}=\sum\limits_{i=1}^n u_i/n$ , $I_u(\cdot), K_u(\cdot)$ are the modified Bessel functions of the first and second kind, respectively, $\mathcal{J}_u(s):= \big( \frac{s}{2} \big)^{-u} I_{u}(s)$ and $\mathcal{Y}_u(s):=K_u(s)-K_0(s)$ .

Keywords： Monotonicity rules; Time scales; Nabla integral; Modified Bessel functions; Laplace transforms

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本文引用格式

田景峰, 毛忠旋, 孙龙发. 含参数 Nabla 积分比和变限含参数 Nabla 积分比的单调性法则及其应用[J]. 数学物理学报, 2024, 44(2): 298-312

Tian Jingfeng, Mao Zhongxuan, Sun Longfa. Monotonicity Rules of the Ratios of Parametric Nabla Integrals and Parametric Nabla Integrals with Variable Limits and Their Applications[J]. Acta Mathematica Scientia, 2024, 44(2): 298-312

1 引言

单调性法则^{[1],[2],[3],[4],[5],[6]} 在分析学中起着基础性作用. 两类重要且大量使用的单调性法则研究的是两个函数列比

$s \mapsto \frac{\sum\limits_{v=0}^\infty f_v(s)}{ \sum\limits_{v=0}^\infty g_v(s)}$

的单调性^[1],[2],[3]和两个含参数积分比

$s \mapsto \frac{\int_0^\infty f(s,v) \textrm{d} v}{ \int_0^\infty g(s,v) \textrm{d} v}$

的单调性^[4],[5],[6]. 在微分方程, 物理学和工程学等领域应用广泛的拉普拉斯变换^{[7],[8],[9],[10],[11]}, 傅里叶变换^[12], 梅林变换^[13]均可视为特殊的含参数积分, 而幂级数, $\mathcal{Z}$ 变换^[14]可以视为特殊的函数列.

事实上, 函数 $s\mapsto\sum\limits_{v=0}^\infty f_v(s)$ 和函数 $s\mapsto\int_0^\infty f(s,v) \textrm{d} v$ 具有共通之处, 它们可以分别被视为函数 $f$ 关于下标 (参数) $v$ 在自然数尺度和非负实数尺度下的"求和". 在很多领域的研究中, 时常需要并行考虑离散情形和连续情形, 例如概率论中的离散和连续随机变量, 随机分析中的离散和连续随机过程, 信息论中的离散和连续信源, 信号处理中的离散和连续时间信号, 方程领域中的差分和微分方程, 动力系统中的离散和连续动力系, 以及金融期权定价中的二叉树模型和 Black-Scholes 模型.

在此背景下, 德国学者 Hilger 博士^[15]于 1988 年在其博士论文的基础上创建了时标上的微积分理论, 旨在将微分方程与差分方程纳入统一的研究框架下. 后续研究表明, 时标微积分不仅本身具有很高的理论研究价值^{[16],[17],[18]}、同时也被学者们广泛地应用于动力系统^{[19],[20],[21],[22]}、概率论^[23], 数值分析^[24],[25]、控制论^{[26],[27],[28],[29]}、信号处理^[30],[31]等多个科学领域.

本文第一个目的是建立一些含参数 Nabla 积分比的单调性判定法则, 这里的积分考虑了固定上下限的, 也考虑了变化上下限的, 即所谓的变限积分. 这些给出的单调性法则统一和推动现有单调性法则的发展.

贝塞尔函数被定义为一类二阶常微分方程的解, 相应地, 修正的贝塞尔函数是修正的贝塞尔方程的解, 其中第一类修正的贝塞尔函数 $I_\nu(\cdot)$ , 可以表示成以下级数表达式

$I_{u}(s)=\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{ (\frac{s}{2})^{u+2k} }{k! \Gamma(u+k+1)}, \quad {\rm Re} s>-1, u\in\mathbb{C},$

(1.1)

第二类修正的贝塞尔函数 $K_\nu(\cdot)$ 有以下积分表达式

$K_u(s)=\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} \cosh(u t) \textrm{d} t, \quad |\arg s|<\frac{\pi}{2}, u\in\mathbb{C}.$

(1.2)

修正的贝塞尔函数不仅拥有很高的理论研究价值, 同时在很多领域中广泛的应用, 例如概率论, 随机分析, 光学, 电磁学, 流体动力学等.

若一带下标 $u$ 的函数列 $f_u(s)$ 满足函数

$s\mapsto \frac{f_{u_1}(s) + f_{u_2}(s) + \cdots + f_{u_n}(s)}{n f_{\frac{u_1+u_2+\cdots+u_n}{n}}(s)}$

(1.3)

是单调的, 则在本文中称函数列 $f_u(s)$ 满足 $\mathcal{M}$ 性质. 显然, 若一函数列 $f_u(s)$ 满足 $\mathcal{M}$ 性质, 并且函数 (1.3) 在初始点或终点处的极限值为 $1$ , 那么 $f_u(s)$ 关于 $u$ 具有凹凸性. 本文的第二个目的是利用本文的单调性法则证明一些涉及修正贝塞尔函数的函数满足 $\mathcal{M}$ 性质, 包括 $\mathcal{J}_u(s)$ , $K_u(s)$ , $\mathcal{Y}_u(s)$ 以及在 $v$ 给定时的 $\mathcal{J}_v(us)$ , $\mathcal{Y}_v(us)$ , 其中 $\mathcal{J}_u(s):= \big( \frac{s}{2} \big)^{-u} I_{u}(s)$ 和 $\mathcal{Y}_u(s):=K_u(s)-K_0(s)$ .

2 主要结果

2.1 含参数 Nabla 积分比的单调性法则

令 $\mathbb{T}$ 为一时标, 即 $\mathbb{T}$ 为 $\mathbb{R}$ 的非空闭子集, 实数 $\alpha,\beta,v_0\in\mathbb{T}$ , 函数 $\Psi,\Phi\colon \mathbb{R} \times \mathbb{T} \to \mathbb{R}$ . 本子节将研究含参数 Nabla 积分比 $s\mapsto \int_\alpha^\beta \Psi(s,v) \nabla v/\int_\alpha^\beta \Phi(s,v) \nabla v$ 和 $s\mapsto \int_{v_0}^\infty \Psi(s,v) \nabla v/\int_{v_0}^\infty \Phi(s,v) \nabla v$ 的单调性. 记 $[\alpha,\beta]_\mathbb{T}:=[\alpha,\beta]\cap\mathbb{T}$ 和 $[v_0,\infty)_\mathbb{T}:=[v_0,\infty)\cap\mathbb{T}$ .

定理2.1 若 $\int_\alpha^\beta \Psi(s,v) \nabla v$ 和 $\int_\alpha^\beta \Phi(s,v) \nabla v$ 存在并且关于 $s$ 可导, 则函数

$s\mapsto \frac{\int_\alpha^\beta \Psi(s,v) \nabla v}{\int_\alpha^\beta \Phi(s,v) \nabla v}$

(2.1)

是单调递增 (递减) 的当且仅当

$\int_\alpha^\beta \frac{\partial \Psi(s,v)}{\partial s} \nabla v \int_\alpha^\beta \Phi(s,v) \nabla v- \int_\alpha^\beta \Psi(s,v) \nabla v \int_\alpha^\beta \frac{\partial \Phi(s,v)}{\partial s} \nabla v \geq (\leq) 0.$

(2.2)

定理2.2 若 $\int_{v_0}^\infty \Psi(s,v) \nabla v$ 和 $\int_{v_0}^\infty \Phi(s,v) \nabla v$ 存在并且关于 $s$ 可导, 则函数

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \Psi(s,v) \nabla v}{\int_{v_0}^\infty \Phi(s,v) \nabla v}$

(2.3)

是单调递增(递减)的当且仅当

$\int_{v_0}^\infty \frac{\partial \Psi(s,v)}{\partial s} \nabla v \int_{v_0}^\infty \Phi(s,v) \nabla v- \int_{v_0}^\infty \Psi(s,v) \nabla v \int_{v_0}^\infty \frac{\partial \Phi(s,v)}{\partial s} \nabla v \geq (\leq) 0.$

(2.4)

这两个结论是显然的, 在此省略其证明. 根据 Nabla 积分的性质, 可以得到以下重要的结论.

定理2.3 若对所有的 $(v_1,v_2)\in [\alpha,\beta]^2_\mathbb{T}$ (或者: $(v_1,v_2)\in [c,\infty]^2_\mathbb{T})$ 和 $s \in \mathbb{R}$ 均有 $\frac{\partial \Psi(s,v_1)}{\partial s} \Phi(s,v_2)+\frac{\partial \Psi(s,v_2)}{\partial s} \Phi(s,v_1)- \Psi(s,v_1)\frac{\partial \Phi(s,v_2)}{\partial s}- \Psi(s,v_2)\frac{\partial \Phi(s,v_1)}{\partial s}\geq (\leq) 0,$ (10) 则不等式 (2.2) (或者: 不等式 (2.4)) 成立.

证首先考虑积分上下限分别为 $\beta$ 和 $\alpha$ 的情形, 有

$\begin{eqnarray*} && \int_\alpha^\beta \frac{\partial \Psi(s,v)}{\partial s} \nabla v \int_\alpha^\beta \Phi(s,v) \nabla v - \int_\alpha^\beta \Psi(s,v) \nabla v \int_\alpha^\beta \frac{\partial \Phi(s,v)}{\partial s} \nabla v \\ &=& \int_\alpha^\beta \int_\alpha^\beta \frac{\partial \Psi(s,v_1)}{\partial s} \Phi(s,v) \nabla v_1 \nabla v_2 - \int_\alpha^\beta \int_\alpha^\beta \Psi(s,v_2) \frac{\partial \Phi(s,v_1)}{\partial s} \nabla v_1 \nabla v_2 \\ &=& \frac{1}{2} \int_\alpha^\beta \int_\alpha^\beta \bigg( \frac{\partial \Psi(s,v_1)}{\partial s} \Phi(s,v_2) +\frac{\partial \Psi(s,v_2)}{\partial s} \Phi(s,v_1) \\ && - \Psi(s,v_1)\frac{\partial \Phi(s,v_2)}{\partial s} - \Psi(s,v_2)\frac{\partial \Phi(s,v_1)}{\partial s} \bigg) \nabla v_1 \nabla v_2 \geq (\leq) 0. \end{eqnarray*}$

其次, 当积分上下限分别为 $\infty$ 和 $v_0$ 时, 证明过程是类似的. 证毕.

接下来, 考虑函数 $\Psi$ 和 $\Phi$ 具有一些特定形式下的情形.

2.1.1 情形1

在此情形下, 令 $\Psi(s,v)=\psi(v)s^v$ 和 $\Phi(s,v)=\phi(v)s^v$ , 那么函数 (2.1) 和 (2.3) 分别退化为

$s\mapsto \frac{\int_\alpha^\beta \psi(v)s^v \nabla v}{\int_\alpha^\beta \phi(v)s^v \nabla v},$

(2.6)

和

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \psi(v)s^v \nabla v}{\int_{v_0}^\infty \phi(v)s^v \nabla v}.$

(2.7)

可以得到以下定理.

定理2.4 若定义在 $[\alpha,\beta]_\mathbb{T}$ (或者: $[v_0,\infty)_\mathbb{T})$ 上的函数 $\psi$ 和 $\phi$ 满足 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 并且函数 (2.6) (或者: 函数 (2.7)) 存在, 那么函数 (2.6) (或者: 函数 (2.7)) 是递增 (递减) 的.

证根据定理 2.1, 2.2 和 2.3, 仅需证明条件 (2.5) 对 $\Psi(s,v)=\psi(v)s^v$ 和 $\Phi(s,v)=\phi(v)s^v$ 成立. 事实上, 很容易验证

证毕.

当 $\mathbb{T}=\mathbb{N}$ 且 $v_0=-1$ 时, 定理 2.4 退化为 Biernacki 和 Krzyż^[1] 给出的如下重要单调性判定法则.

推论2.1 若实幂级数 $\sum\limits_{l=0}^\infty m_l s^l$ 和 $\sum\limits_{l=0}^\infty n_l s^l$ 在 $|s|<r$ 上收敛, 并且系数 $m_l$ 和 $n_l$ 满足 $m_l/n_l$ 是严格单调递增 (递减) 的和 $n_l>0$ , 则函数

$s\mapsto \frac{\sum\limits_{l=0}^\infty m_l s^l }{\sum\limits_{l=0}^\infty n_l s^l}$

(2.8)

是单调递增 (递减) 的.

当 $\mathbb{T}=\mathbb{R}$ 且 $v_0=0$ 时, 定理 2.4 退化为如下单调性法则.

推论2.2 若定义在 $[v_0,\infty)$ 的函数 $\psi$ 和 $\phi$ 满足 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 那么函数

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \psi(v) s^v \textrm{d} v}{\int_{v_0}^\infty \phi(v) s^v \textrm{d} v}$

是单调递增 (递减) 的.

2.1.2 情形2

本情形令 $\Psi(s,v)=\psi(v)\hat{h}_v(s,s_0)$ 和 $\Phi(s,v)=\phi(v)\hat{h}_v(s,s_0)$ , 并对 $v$ 使用整数尺度, 那么函数 (2.1) 和 (2.3) 分别转化为

$s\mapsto \frac{\int_{\alpha}^\beta \psi(v)\hat{h}_v(s,s_0) \nabla_\mathbb{Z} v}{\int_{\alpha}^\beta \phi(v)\hat{h}_v(s,s_0) \nabla_\mathbb{Z} v} =\frac{\sum\limits_{v=\alpha+1}^\beta \psi(v)\hat{h}_v(s,s_0) }{\sum\limits_{v=\alpha+1}^\beta \phi(v)\hat{h}_v(s,s_0)},$

(2.9)

和

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \psi(v)\hat{h}_v(s,s_0) \nabla_\mathbb{Z} v}{\int_{v_0}^\infty \phi(v)\hat{h}_v(s,s_0) \nabla_\mathbb{Z} v} = \frac{\sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \psi(v)\hat{h}_v(s,s_0)}{\sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \phi(v)\hat{h}_v(s,s_0)},$

(2.10)

其中时标中的单项式 $\hat{h}_v(s,s_0)$ 由以下递推公式^[35] 建立

$\hat{h}_v(s,s_0):=\begin{cases}1, & \text{ 如果 } \quad v=0, \\ \int_{s_0}^s \hat{h}_{v-1}(\tau,s_0) \nabla \tau, & \text{ 如果 } \quad v=1,2,3,\cdots.\end{cases}$

接下来建立时标上多项式之比的单调性判定法则.

定理2.5 若定义在 $[\alpha,\beta]_\mathbb{T}$ (或者: $[v_0,\infty)_\mathbb{T})$ 上的函数 $\psi$ 和 $\phi$ 满足 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 不改变符号, 函数 (2.9) (或者: 函数 (2.10)) 存在, 且 $s\mapsto \hat{h}_{v}(s,s_0)/\hat{h}_{v-1}(s,s_0)$ 是关于 $v$ 递减的, 那么函数 (2.9) (或者: 函数 (2.10)) 是递增 (递减) 的.

证直接计算得到

$\begin{eqnarray*} && \frac{\partial \Psi(s,v_1)}{\partial s} \Phi(s,v_2) +\frac{\partial \Psi(s,v_2)}{\partial s} \Phi(s,v_1) - \Psi(s,v_1)\frac{\partial \Phi(s,v_2)}{\partial s} - \Psi(s,v_2)\frac{\partial \Phi(s,v_1)}{\partial s} \\ &=& \int_\alpha^\beta \int_\alpha^\beta \Big(\psi(v_1)\phi(v_2)-\psi(v_2)\phi(v_1)\Big) \\ &&\times\Big( \hat{h}_{v_1-1}(s,s_0) \hat{h}_{v_2}(s,s_0)- \hat{h}_{v_2-1}(s,s_0)\hat{h}_{v_1}(s,s_0) \Big) \nabla_\mathbb{Z} v_1 \nabla_\mathbb{Z} v_2 \\ &=& \int_\alpha^\beta \int_\alpha^\beta \phi(v_1) \phi(v_2) \hat{h}_{v_1-1}(s,s_0) \hat{h}_{v_2-1}(s,s_0) \\ && \times \Big( \frac{\psi(v_1)}{\phi(v_1)}-\frac{\psi(v_2)}{\phi(v_2)} \Big) \Big( \frac{\hat{h}_{v_2}(s,s_0)}{\hat{h}_{v_2-1}(s,s_0)}- \frac{\hat{h}_{v_1}(s,s_0)}{\hat{h}_{v_1-1}(s,s_0)} \Big) \nabla_\mathbb{Z} v_1 \nabla_\mathbb{Z} v_2 \geq (\leq) 0. \end{eqnarray*}$

当上下限为 $\infty$ 和 $v_0$ 时, 证明过程类似. 证毕.

下考虑特殊情况, 当 $\mathbb{T}=\mathbb{R}, \mathbb{Z}$ 和 $q^\mathbb{Z}$ 时有^[35]

$\hat{h}_v(s,s_0)=\begin{cases} \displaystyle\frac{(s-s_0)^v}{v!}, & \text{如果 } \quad \mathbb{T}=\mathbb{R}, \\ \displaystyle\frac{\prod\limits_{w=0}^{v-1}(s-s_0+w)}{v!}, & \text{如果 } \quad \mathbb{T}=\mathbb{Z}, \\\displaystyle\prod\limits_{w=0}^{v-1}\frac{q^w s- s_0}{\sum\limits_{l=0}^w q^l}, & \text{如果 } \quad \mathbb{T}=q^\mathbb{Z}(q>1).\end{cases}$

易验证这三种情况下

$v\mapsto \frac{\hat{h}_{v}(s,s_0)}{\hat{h}_{v-1}(s,s_0)}$

都是递减的, 故定理 2.5 可退化为如下三个推论.

推论2.3 若 $\psi(v)/\phi(v)$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 函数

$R_1(s):=\frac{\sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \psi(v) (s-s_0)^v/v!}{\sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \phi(v) (s-s_0)^v/v!}$

存在, 那么函数 $R_1$ 是单调递增 (递减) 的.

推论2.4 若 $\psi(v)/\phi(v)$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 函数

$R_2(s):=\frac{\sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \psi(v) \prod\limits_{l=0}^{v-1}(s-s_0+l)/v!}{\sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \phi(v) \prod\limits_{l=0}^{v-1}(s-s_0+l)/v!}$

存在, 那么函数 $R_2$ 是单调递增 (递减) 的.

推论2.5 若 $\psi(v)/\phi(v)$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 函数

$R_3(s):=\frac{\sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \psi(v) \prod\limits_{u=0}^{v-1}\frac{q^u s- s_0}{\sum\limits_{l=0}^u q^l}}{ \sum\limits_{v=v_0+1}^\infty \phi(v) \prod\limits_{u=0}^{v-1}\frac{q^u s- s_0}{\sum\limits_{l=0}^u q^l}}$

存在, 那么函数 $R_3$ 是单调递增 (递减) 的.

2.1.3 情形3

本子节考虑两个 Nabla 型拉普拉斯变换比的单调性判定法则. 时标中的 Nabla 拉普拉斯变换^[34]为

$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}_{\nabla}\{\varphi\}(z) = \int_{0}^\infty \varphi(s) \hat{e}_{\ominus_\nu z}(\rho(s),0) \nabla s = \int_{0}^\infty \varphi(s) \hat{e}_{\frac{-z}{1-\nu z}}(\rho(s),0) \nabla s, \end{eqnarray*}$

其中时标中的 Nabla 指数函数 $\hat{e}_{\varphi}(t,s)$ 定义为

$\hat{e}_{\varphi}(t,s)=\exp \Big( \int_s^t -\frac{1}{\nu(\eta)} \ln \big( 1-\varphi(\eta) \nu(\eta) \big) \nabla \eta \Big).$

(2.11)

令 $\Psi(s,v)=\psi(v) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0)$ 和 $\Phi(s,v)=\phi(v) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0)$ , 那么函数 (2.1) 和 (2.3) 转化为

$\frac{\int_\alpha^\beta \psi(v) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0) \nabla v}{\int_\alpha^\beta \phi(v) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0) \nabla v}$

(2.12)

和

$\frac{\mathcal{L}_{\nabla}\{\psi\}(s)}{\mathcal{L}_{\nabla}\{\phi\}(s)}=\frac{\int_{v_0}^\infty \psi(v) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0) \nabla v}{\int_{v_0}^\infty \phi(v) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0) \nabla v}.$

(2.13)

本文在这里改进了文献 [34] 中的拉普拉斯变换

$\mathcal{L}_{\nabla}\{\varphi\}(s)=\int_{v_0}^\infty \varphi(v) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0) \nabla v,$

当 $v_0=0$ 时, 即为文献 [34] 中定义的拉普拉斯变换.

若函数 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, 则可以得到条件 (2.5) 在某个区间上对此时的 $\Psi$ 和 $\Phi$ 是成立的, 即有以下引理.

引理2.1 若函数 $\psi/\phi$ 是递减 (递增) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 则条件 (2.5) 在 $(-\infty,\nu_*)$ 上对 $\Psi$ 和 $\Phi$ 成立, 其中 $\nu_*=\inf\limits_{\eta \in \mathbb{T}} \frac1{\nu(\eta)}=\inf\limits_{\eta \in \mathbb{T}} \frac1{\eta -\rho(\eta)}$ .

证注意到

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial s} \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0) &=& \frac{\partial}{\partial s} \exp \Big( \int_{0}^{\rho(v)} -\frac{1}{\nu(\eta)} \ln\big( 1-\frac{-\nu(\eta)}{1-\nu(\eta) s} \nu(\eta) \big) \nabla \eta \Big)\\ &=& \Big( \int_{0}^{\rho(v)} \frac{-1}{1-\nu(\eta)s} \nabla \eta \Big) \exp \Big( \int_{0}^{\rho(v)} -\frac{1}{\nu(\eta)} \ln\big( 1-\frac{-s}{1-\nu(\eta) s} \nu(\eta) \big) \nabla \eta \Big) \\ &=& \Big( \int_{0}^{\rho(v)} \frac{-1}{1-\nu(\eta)s} \nabla \eta \Big) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0):= p(v,s) \hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v),0) \end{eqnarray*}$

和当 $1-\nu(s)\varphi(s)>0$ 时, 有

$\hat{e}_{\varphi(t)}(s,s_0)>0,$

故通过直接计算可以得到

$\begin{eqnarray*} && \frac{\partial \Psi(s,v_1)}{\partial s} \Phi(s,v_2) +\frac{\partial \Psi(s,v_2)}{\partial s} \Phi(s,v_1) - \Psi(s,v_1)\frac{\partial \Phi(s,v_2)}{\partial s} - \Psi(s,v_2)\frac{\partial \Phi(s,v_1)}{\partial s} \\ &=&\hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v_1),0)\hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v_2),0) \Big(\psi(v_1) \phi(v_2) - \psi(v_2) \phi(v_1) \Big) \Big( p(v_1,s) - p(v_2,s) \Big) \\ &=&-\hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v_1),0)\hat{e}_{\ominus_\nu s}(\rho(v_2),0) \phi(v_1) \phi(v_2) \Big(\frac{\psi(v_1)}{\phi(v_1)} - \frac{\psi(v_2)}{\phi(v_2)} \Big) \int_{\rho(v_2)}^{\rho(v_1)} \frac{1}{1-\nu(\eta)s} \nabla \eta \geq (\leq) 0. \end{eqnarray*}$

证毕.

根据引理 2.1 和定理 2.3, 可得如下定理.

定理2.6 若定义在 $[\alpha,\beta]_{\mathbb{T}}$ 上的函数 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 函数 (2.12) 存在, 则函数 (2.12) 在 $(-\infty,\nu_*)$ 上是递减 (递增) 的.

定理2.7 若定义在 $[v_0,\infty)_{\mathbb{T}}$ 上的函数 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 函数 (2.13) 存在, 则函数 (2.13) 在 $(-\infty,\nu_*)$ 上是递减 (递增) 的.

接下来考虑一些特殊情况. 令 $\mathbb{T}=\mathbb{R}$ , 可得以下重要的单调性判定法则.

推论2.6 若定义在 $[v_0,\infty)$ 上的函数 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 函数

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \psi(v) {\rm e}^{-sv} \textrm{d} v}{\int_{v_0}^\infty \phi(v) {\rm e}^{-sv} \textrm{d} v}$

存在, 那么它在 $[0,\infty)$ 上是递减 (递增) 的.

注2.1 再令 $v_0=0$ , 即得到 Yang 和 Tian^[36]建立的具有重要意义的拉普拉斯变换比的单调性判定法则.

令 $\mu$ 为单调递增函数, 则在推论 2.6 中作变量替换 $u=\mu(v)$ 即得以下单调性法则.

推论2.7 若定义在 $[v_0,\infty)$ 上的函数 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, $\mu$ 为单调递增函数, 函数

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^\infty \psi(v) {\rm e}^{-s \mu(v)} \textrm{d} v}{\int_{v_0}^\infty \phi(v) {\rm e}^{-s\mu(v)} \textrm{d} v}$

存在, 那么它在 $[0,\infty)$ 上是递减 (递增) 的.

再令 $\mathbb{T}=\mathbb{Z}$ , 定理 2.7 退化为以下推论.

推论2.8 若定义在 $[v_0,\infty)_{\mathbb{Z}}$ 上的函数 $\psi/\phi$ 是递增 (递减) 的, $\phi$ 恒正或者恒负, 函数

$R_4(s):=\frac{\sum\limits_{v=v_0}^\infty \psi(v)\big( 1-s \big)^{v-1}}{\sum\limits_{v=v_0}^\infty \phi(v)\big( 1-s \big)^{v-1}}$

存在, 则函数 $R_4(s)$ 在 $(0,1)$ 上是递减 (递增) 的.

2.2 变限含参数 Nabla 积分比的单调性法则

在实际应用中, 常常出现变限积分, 故本子节研究变限含参数 Nabla 积分比的单调性.

定理2.8 令定义在 $\mathbb{T}$ 上的连续函数 $\psi(v),\phi(v)>0$ 和定义在 $\mathbb{T}^2:=\mathbb{T}\times\mathbb{T}$ 上的连续函数 $w(s,v)>0$ 满足 $\frac{\partial \psi(v)}{\Delta v},\frac{\partial \phi(v)}{\Delta v},\frac{\partial w(s,v)}{\Delta s}$ 在 $\mathbb{T}^2$ 上是连续的. 如果 $\psi(v)/\phi(v)$ 是关于 $v$ 单调递增 (递减) 的, $\frac{\partial w(s,v)/\Delta s}{w(s,v)}$ 对于任意给定的 $s \in \mathbb{T}$ 是关于 $v$ 单调递增的, 那么函数

$s\mapsto \frac{\int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v }{\int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v}$

和

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^{s} \psi(v) w(s,v) \nabla v }{\int_{v_0}^{s} \phi(v) w(s,v) \nabla v}$

是在 $[v_0,\infty)_\mathbb{T}$ 上单调递增 (递减) 的.

证考虑变下限积分的情形, 变上限积分的情形是类似的. 根据变限 Nabla 积分的 Nabla 导数公式^[16], 有

$\Big( \int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v \Big)^{\nabla} = \int_s^\infty \psi(v) \frac{\partial w(s,v)}{\nabla s} \nabla v - \psi(s) w(\rho(s),s)$

和

$\Big( \int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v \Big)^{\nabla} = \int_s^\infty \phi(v) \frac{\partial w(s,v)}{\nabla s} \nabla v - \phi(s) w(\rho(s),s).$

利用 $\psi(v)/\phi(v)$ 和 $\frac{\partial w(s,v)/\Delta s}{w(s,v)}$ 的单调性, 得到

$\begin{eqnarray*} && \int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v \int_{\rho(s)}^\infty \phi(v) w(\rho(s),v) \nabla v \Big( \frac{\int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v }{\int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v} \Big) ^{\nabla} \\ &=& \Big( \int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v \Big)^{\nabla} \int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v - \int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v \Big( \int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v \Big)^{\nabla} \\ &=& \int_{s}^\infty \int_{s}^\infty \Big( \psi(v_1) \phi(v_2) \frac{\partial w(s,v_1)}{\nabla s} w(s,v_2) - \psi(v_1) \phi(v_2) w(s,v_1) \frac{\partial w(s,v_2)}{\nabla s}\Big) \nabla v_1 \nabla v_2 \\ && - \psi(s) w(\rho(s),s) \int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \nabla v- \phi(s) w(\rho(s),s)\int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \nabla v \\ &=& \frac{1}{2} \int_{s}^\infty \int_{s}^\infty \phi(v_1) \phi(v_2) w(s,v_1) w(s,v_2)\Big( \frac{\psi(v_1)}{\phi(v_1)} - \frac{\psi(v_2)}{\phi(v_2)}\Big) \Big( \frac{\frac{\partial w(s,v_1)}{\nabla s}}{w(s,v_1)} - \frac{\frac{\partial w(s,v_2)}{\nabla s}}{w(s,v_2)} \Big) \nabla v_1 \nabla v_2 \\ && + \int_{s}^\infty \phi(s) \phi(v) w(\rho(s),s) w(s,v) \Big( \frac{\psi(v)}{\phi(v)} - \frac{\psi(s)}{\phi(s)}\Big) \nabla v \\ &\geq& (\leq) 0. \end{eqnarray*}$

证毕.

接下来分别给出当 $\mathbb{T}=\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{T}=\mathbb{Z}$ 时的推论.

推论2.9 令定义在 $\mathbb{R}$ 上的连续函数 $\psi(v),\phi(v)>0$ 和定义在 $\mathbb{R}^2:=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ 上的连续函数 $w(s,v)>0$ 满足 $\psi^\prime(v),\phi^\prime(v),\frac{\partial w(s,v)}{\partial s}$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上是连续的. 如果 $\psi(v)/\phi(v)$ 是关于 $v$ 单调递增 (递减) 的, $\frac{\partial w(s,v)/\partial s}{w(s,v)}$ 对于任意给定的 $s \in [v_0,\infty)$ 是关于 $v$ 单调递增的, 那么函数

$s\mapsto \frac{\int_{s}^\infty \psi(v) w(s,v) \textrm{d} v }{\int_{s}^\infty \phi(v) w(s,v) \textrm{d} v}$

和

$s\mapsto \frac{\int_{v_0}^{s} \psi(v) w(s,v) \textrm{d} v }{\int_{v_0}^{s} \phi(v) w(s,v) \textrm{d} v}$

是在 $[v_0,\infty)$ 上单调递增 (递减) 的.

注2.2 该推论也可以由文献 [单调性规则 3] 导出.

推论2.10 令序列 $\phi_k>0$ 和 $w_{n,k}>0$ . 若序列 $A_n^*:=\sum\limits_{k=n+1}^\infty \psi_k w_{n,k}$ , $B_n^*:=\sum\limits_{k=n+1}^\infty \phi_k w_{n,k}$ , $A_n^{**}:=\sum\limits_{k=k_0+1}^n \psi_k w_{n,k}$ , 和 $B_n^{**}:=\sum\limits_{k=k_0+1}^n \phi_k w_{n,k}$ 收敛, 那么序列 $n\mapsto A_n^*/B_n^*$ 和 $n\mapsto A_n^{**}/B_n^{**}$ 是单调递增 (递减) 的如果 $\{\psi_k/\phi_k\}_{k\geq k_0}$ 是单调递增 (递减) 的且 $k\mapsto (w_{n,k}-w_{n-1,k})/w_{n,k}$ 是单调递增的.

3 应用

为了叙述的简洁, 下给出一些记号. 令整数 $n\geq2$ . 记 $\mathbf{u}=(u_1,u_2,\cdots,u_n)$ 和

$\mathcal{A}\{g(u)\}(\mathbf{u})= \mathcal{A}\{g(u)\}(u_1,u_2,\cdots,u_n)=\frac{\sum\limits_{i=1}^n g(u_i)}{n}.$

(3.1)

特别地, 在公式 (3.1) 中分别令 $g(u)=u$ , $g(u)=u^2$ , $g(u)=\frac{1}{\Gamma(u+1)}$ , 得到

$\bar{u}:=\mathcal{A}\{u\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i}{n}, \quad \mathcal{A}\{u^2\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^2}{n}, \quad \mathcal{A}\left\{\frac{1}{\Gamma(u+1)}\right\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+1)}}{n}$

(3.2)

再在公式 (3.1) 中分别令 $g(u)=\mathcal{J}_u(s)$ , $g(u)=\mathcal{J}_v(us)$ , $g(u)=K_u(s)$ , $g(u)=\mathcal{Y}_u(s)$ 和 $g(u)=\mathcal{Y}_v(us)$ , 得到

$\mathcal{A}\{\mathcal{J}_u(s)\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n}, \quad \mathcal{A}\{\mathcal{J}_v(us)\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_v(u_i s)}{n}$

和

$\mathcal{A}\{K_u(s)\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n}, \quad\mathcal{A}\{\mathcal{Y}_u(s)\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{u_i}(s)}{n}, \quad \mathcal{A}\{\mathcal{Y}_v(us)\}(\mathbf{u})=\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_v(u_i s)}{n},$

其中 $v\in\mathbb{R}$ , $s>0$ 且 $\mathcal{A}\{u\}(\mathbf{u})$ , $\mathcal{A}\{u^2\}(\mathbf{u})$ , 和 $\mathcal{A}\left\{\frac{1}{\Gamma(u+1)}\right\}(\mathbf{u})$ 是确定的数, 而 $\mathcal{A}\{\mathcal{J}_u(s)\}(\mathbf{u})$ , $\mathcal{A}\{K_u(s)\}(\mathbf{u})$ , $\mathcal{A}\{\mathcal{J}_v(us)\}(\mathbf{u})$ , 和 $\mathcal{A}\{K_v(us)\}(\mathbf{u})$ 是关于 $s$ 函数.

接下来证明函数列 $\mathcal{J}_u(s)$ , $K_u(s)$ , $\mathcal{Y}_u(s)$ 以及在 $v$ 给定时的 $\mathcal{J}_v(us)$ , $\mathcal{Y}_v(us)$ 均满足 $\mathcal{M}$ 性质. 下面定理说明函数列 $\mathcal{J}_u(s)$ 满足 $\mathcal{M}$ 性质.

定理3.1 令整数 $n\geq2$ 且 $u_1, u_2, \cdots, u_n\geq-1$ . 那么函数

$s\mapsto \frac{\mathcal{A}\{\mathcal{J}_u(s)\}(\mathbf{u})}{\mathcal{J}_{\mathcal{A}\{u\}(\mathbf{u})}(s)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n \mathcal{J}_{\bar{u}}(s)}$

从 $(0,\infty)$ 递增到 $(u^*,\infty)$ , 其中

$u^* = \frac{\mathcal{A}\left\{\frac{1}{\Gamma(u+1)}\right\}(\mathbf{u})}{\Gamma(\mathcal{A}\{u\}(\mathbf{u}) +1) } = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+1)} }{n \frac{1}{\Gamma(\bar{u}+1)}}.$

证可以假设 $\{u_i\}_{1\leq i \leq n}$ 是递增序列, 否则交换它们的顺序. 利用第一类修正贝塞尔函数的级数表达式 (1.1), 有

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n \mathcal{J}_{\bar{u}}(s)} = \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \Big( \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+k+1) } \Big) \frac{(s/2)^{2k}}{k!} }{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{n}{\Gamma(\bar{u}+k+1) } \frac{(s/2)^{2k}}{k!} }. \end{eqnarray*}$

注意到存在整数 $i_0\geq1$ 使得 $\bar{u}-u_{i_0}\geq0$ 且 $\bar{u}-u_{i_0+1}\leq0$ , 故有

$\begin{eqnarray*} && \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+k+2) }}{\frac{n}{\Gamma(\bar{u}+k+2) }} -\frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+k+1) }}{\frac{n}{\Gamma(\bar{u}+k+1) }} \\ &=& \frac{\Gamma(\bar{u}+k+1)}{n} \Big( (\bar{u}+k+1) \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+k+2) } - \sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+k+1)} \Big) \\ &=& \frac{\Gamma(\bar{u}+k+1)}{n} \Big( \sum\limits_{i=1}^n \big( (\bar{u}+k+1) - (u_i+k+1) \big) \frac{1}{\Gamma(u_i+k+2) } \Big) \\ &\geq& \frac{\Gamma(\bar{u}+k+1)}{n} \left( \begin{aligned} & \sum\limits_{i=1}^{i_0} \big( (\bar{u}+k+1) - (u_i+k+1) \big) \frac{1}{\Gamma(u_{i_0}+k+2) } \\ & \quad +\sum\limits_{i=1}^{i_0+1} \big( (\bar{u}+k+1) - (u_i+k+1) \big) \frac{1}{\Gamma(u_{i_0+1}+k+2) } \end{aligned} \right) \\ &\geq& \frac{\Gamma(\bar{u}+k+1)}{n} \Big( \frac{1}{\Gamma(u_{i_0+1}+k+2) } \sum\limits_{i=1}^{n} \big( (\bar{u}+k+1) - (u_i+k+1) \big) \Big) =0, \end{eqnarray*}$

即序列 $\Big\{ \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+k+1) }}{\frac{n}{\Gamma(\bar{u}+k+1) }} \Big\}_{k\geq0}$ 是递增的. 根据推论 2.1, 可以推断函数 $s\mapsto \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n \mathcal{J}_{\bar{u}}(s)}$ 是单调递增的.

根据渐近公式

$I_u(s) \sim \frac{s^u}{2^u \Gamma(u+1)}, \quad s\to 0, \qquad I_u(s) \sim \frac{e^s}{\sqrt{2\pi s} } \Big( 1- \frac{4u^2-1}{8s} \Big), \quad s\to\infty,$

(3.3)

得知

$\lim_{s\to 0} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n \mathcal{J}_{\bar{u}}(s)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{\Gamma(u_i+1)} }{n \frac{1}{\Gamma(\bar{u}+1)}},\quad\lim_{s\to \infty} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{u_i}(s)}{n \mathcal{J}_{\bar{u}}(s)} = \infty.$

证毕.

以下定理说明在 $v$ 给定时, 函数列 $\mathcal{J}_v(us)$ 满足 $\mathcal{M}$ 性质.

定理3.2 令整数 $n\geq2$ , $v>-1$ 和 $u_1, u_2, \cdots, u_n>0$ . 那么函数

$s\mapsto \frac{\mathcal{A}\{\mathcal{J}_v(u s)\}(\mathbf{u})}{\mathcal{J}_{v}(\mathcal{A}\{u\}(\mathbf{u})s)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{J}_{v }(\bar{u} s)}$

从 $(0,\infty)$ 递增到 $(1,\infty)$ .

证假设 $\{u_i\}_{1\leq i \leq n}$ 是递增序列. 利用第一类修正贝塞尔函数的级数表达式 (1.1), 有

$\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{J}_{v }(\bar{u} s)} = \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k} \frac{(\frac{s}{2})^{2k}}{k! \Gamma(u+k+1)} }{\sum\limits_{k=0}^\infty n \bar{u}^{2k} \frac{(\frac{s}{2})^{2k}}{k! \Gamma(u+k+1)}}.$

注意到 $u_1^2-\bar{u}^2 \leq 0$ 且 $u_n^2-\bar{u}^2 \geq 0$ , 那么存在 $i_0$ 使得 $u_{i_0}^2-\bar{u}^2 \leq 0$ 且 $u_{i_0+1}^2-\bar{u}^2 \geq 0$ , 此时有

$\begin{matrix} n^2 \bar{u}^{4k+2} \Bigg( \frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k+2}}{n \bar{u}^{2k+2}} - \frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k}}{n \bar{u}^{2k}} \Bigg) & =\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k+2} n \bar{u}^{2k} - \sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k} n \bar{u}^{2k+2} \\ &= n \bar{u}^{2k} \sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k} \big( u_i^2 - \bar{u}^2 \big) \\ &\geq n \bar{u}^{2k} \sum\limits_{i=1}^{i_0} u_{i_0}^{2k} \big( u_i^2 - \bar{u}^2 \big) + \sum\limits_{i=i_0+1}^{n} u_{i_0+1}^{2k} \big( u_i^2 - \bar{u}^2 \big) \\ &\geq n \bar{u}^{2k} \sum\limits_{i=1}^{n} u_{i_0}^{2k} \big( u_i^2 - \bar{u}^2 \big) =0, \end{matrix}$

(3.4)

即序列 $\Big \{\frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k}}{n \bar{u}^{2k}}\Big\}_{k\geq0}$ 是单调递增的. 根据推论 2.1, 可以推断 $s\mapsto\frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{J}_{v }(\bar{u} s)}$ 是单调递增的.

再根据渐近公式 (3.3), 得知

$\lim_{s\to 0} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{J}_{v }(\bar{u} s)} = 1,\quad\lim_{s\to \infty} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{J}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{J}_{v }(\bar{u} s)} = \infty.$

证毕.

接下来这个定理说明函数列 $K_u(s)$ 满足 $\mathcal{M}$ 性质.

定理3.3 令整数 $n\geq2$ 和 $u_1, u_2, \cdots, u_n\geq0$ . 那么函数

$s\mapsto \frac{\mathcal{A}\{K_u(s)\}(\mathbf{u})}{K_{\mathcal{A}\{u\}(\mathbf{u})}(s)} =\frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)}$

从 $(0,\infty)$ 递减到 $(1,\infty)$ .

证根据第二类修正贝塞尔函数的积分表达式 (1.2) 和双曲函数的级数表达式, 有

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)} &=& \frac{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} \sum\limits_{i=1}^n \cosh( u_i t) \textrm{d} t}{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} n \cosh( \bar{u} t) \textrm{d} t} = \frac{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k}}{(2k)!} t^{2k}\textrm{d} t}{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} n \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{ \bar{u}^{2k}}{(2k)!} t^{2k} \textrm{d} t}. \end{eqnarray*}$

假设 $\{u_i\}_{1\leq i \leq n}$ 是递增序列. 由公式 (3.4) 得知序列 $\Big\{\frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k}}{n \bar{u}^{2k}}\Big\}_{k\geq0}$ 是单调递增的. 根据推论 2.1, 可以推断

$t \mapsto \frac{\sum\limits_{i=1}^n \cosh( u_i t)}{n \cosh( \bar{u} t)} = \frac{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k}}{(2k)!} t^{2k} }{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{ n \bar{u}^{2k}}{(2k)!}t^{2k} }$

是单调递增的. 再利用推论 2.7, 得到 $s\mapsto \frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)}$ 是单调递减的.

根据渐近公式

$K_u(s) \sim \frac{2^{u-1}}{s^u}\Gamma(u), \quad s\to 0, \qquad I_u(s) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2s}} {\rm e}^{-s} \Big( 1 + \frac{4u^2-1}{8s} \Big), \quad s\to\infty,$

(3.5)

得知

$\lim_{s\to 0} \frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)} = \infty,\quad\lim_{s\to \infty} \frac{\sum\limits_{i=1}^n K_{u_i}(s)}{n K_{\bar{u}}(s)} = 1.$

证毕.

注3.1 因为 $K_u(s)$ 是关于 $u$ 的偶函数, 即 $K_{-u}(s)=K_u(s)$ , 所以假设 $u_1, u_2, \cdots, u_n\geq0$ .

以下定理说明函数列 $\mathcal{Y}_u(s)$ 满足 $\mathcal{M}$ 性质.

定理3.4 令整数 $n\geq2$ 和 $u_1, u_2, \cdots, u_n\geq0$ . 那么函数

$s\mapsto \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{u_i}(s)}{n \mathcal{Y}_{\bar{u}}(s)}$

从 $(0,\infty)$ 递减到 $(\tilde{u},\infty)$ , 其中

$\tilde{u} := \frac{A\{u^2\}(\mathbf{u})}{A^2\{u\}(\mathbf{u})} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^2}{n\bar{u}^2}.$

证根据第二类修正贝塞尔函数的积分表达式 (1.2), 有

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{u_i}(s)}{n \mathcal{Y}_{\bar{u}}(s)} &=& \frac{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} \big( \sum\limits_{i=1}^n \cosh( u_i t) - n \big) \textrm{d} t}{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} n \big( \cosh( \bar{u} t) -1 \big)\textrm{d} t} = \frac{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k}}{(2k)!} t^{2k}\textrm{d} t}{\int_0^\infty {\rm e}^{-s \cosh t} n \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{ \bar{u}^{2k}}{(2k)!} t^{2k} \textrm{d} t}. \end{eqnarray*}$

由 (3.4) 式得知序列 $\Big\{\frac{\sum\limits_{i=1}^n u_i^{2k}}{n \bar{u}^{2k}}\Big\}_{k\geq1}$ 是单调递增的, 利用渐近公式 (3.5), 可得到所需结论. 证毕.

最后一个定理证明了在 $v$ 给定时, 函数列 $\mathcal{Y}_v(us)$ 也满足 $\mathcal{M}$ 性质.

定理3.5 令 $n\geq2$ , $v\in\mathbb{R}$ 和 $u_1, u_2, \cdots, u_n\geq0$ . 那么函数

$s\mapsto \frac{\mathcal{A}\{\mathcal{Y}_v(u s)\}(\mathbf{u})}{\mathcal{Y}_{v}(\mathcal{A}\{u\}(\mathbf{u})s)} = \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{Y}_{v }(\bar{u} s)}$

从 $(0,\infty)$ 递减到 $(1,\infty)$ .

证根据第二类修正贝塞尔函数的积分表达式 (1.2), 有

$\begin{eqnarray*} \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{Y}_{v }(\bar{u} s)} &=& \frac{ \int_0^\infty \sum\limits_{i=1}^n {\rm e}^{-u_i s \cosh t} \big( \cosh( v t ) -1 \big) \textrm{d} t }{\int_0^\infty n {\rm e}^{-\bar{u} s \cosh t} \big( \cosh( v t ) -1 \big) \textrm{d} t } \\ &=& \frac{ \int_s^\infty \sum\limits_{i=1}^n {\rm e}^{-u_i x} \Big( \cosh( v \cosh^{-1}(\frac{x}{s}) ) -1 \Big) \sqrt{\frac{1}{x^2-s^2}} \textrm{d} x }{\int_s^\infty n {\rm e}^{-\bar{u} x} \Big( \cosh( v \cosh^{-1}(\frac{x}{s}) ) -1 \Big) \sqrt{\frac{1}{x^2-s^2}} \textrm{d} x }. \end{eqnarray*}$

注意到

$\frac{\textrm{d}}{\textrm{d} x } \Bigg( \frac{\sum\limits_{i=1}^n {\rm e}^{-u_i x}}{n {\rm e}^{-\bar{u} x}} \Bigg) = \frac{{\rm e}^{\bar{u} x}}{n} \sum\limits_{i=1}^n {\rm e}^{-u_i x} \big( \bar{u} -u_i \big) \geq \frac{{\rm e}^{\bar{u} x}}{n} \sum\limits_{i=1}^n {\rm e}^{-u_{i_0+1} x} \big( \bar{u} -u_i \big) =0,$

其中 $i_0$ 满足 $\bar{u}-u_{i_0} \geq 0$ 且 $\bar{u}-u_{i_0+1} \leq 0$ . 记

$w(s,x)= \Big( \cosh\Big( v \cosh^{-1}\big(\frac{x}{s}\big) \Big) -1 \Big) \sqrt{\frac{1}{x^2-s^2}},$

由文献 [引理 23] 知 $x\mapsto \frac{\partial w(s,x) / \partial s}{w(s,x) }$ 是单调递增的. 再结合 $s\mapsto s$ 是递增的, 根据推论 2.9 知 $s\mapsto \frac{\sum\limits_{i=1}^n \mathcal{Y}_{v}(u_i s)}{n \mathcal{Y}_{v }(\bar{u} s)}$ 是单调递增的. 再利用渐近公式即可完成证明.

证毕.

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