本文考虑具有完全弹性碰撞的弱耦合对称碰撞系统

对称碰撞周期解的存在性和多解性问题, 其中 $x=(x_1,x_2)\in(\Bbb{R}^+)^2,$$q_i(t):[2\pi]\rightarrow \Bbb R^+$$(i=1,2)$ 为连续的 $2\pi$-周期有界变差偶函数, 且满足

($q_0$) (1) $\forall t\in[\pi], q_i(t)\geq0$ 且 $\{t\in[{\rm \pi}]:q_i(t)>0\}\neq\emptyset$;

(2) 集合 $\{t\in[\pi]:q_i(t)\equiv0\}$ 只有有限个连通分支;

(3) 若在 $(c,d)\subset[\pi]$ 上 $q_i>0$ 且 $q_i(c)=0$ (或 $q_i(d)=0$), 则 $q_i$ 在 $c$ 的一个右邻域内单调不减 (或相应地 $q_i$ 在 $d$ 的一个左邻域内单调不增).

$p_i(t,x):\Bbb R\times{(\Bbb {R}^+)^2}\rightarrow \Bbb R\ (i=1,2)$ 是连续的且关于 $t$ 是 $2\pi$-周期的偶函数; 当 $x_i=0$ 时有 $p_i(t,x)=0.$

$g_i(x_i):\Bbb {R}^+\rightarrow \Bbb R\ (i=1,2)$ 是局部 Lipschitz 连续函数, 满足

和

其中 $\Bbb{R}=(-\infty,+\infty), \Bbb{R}^+=[0,+\infty),$$\tau_{g_i}^+(e)=\sqrt{2}\int_{0}^{G_{i,+}^{-1}(e)} \frac{1}{\sqrt{e-G_i(s)}}{\rm d}s,$$G_i(x_i)=\int_0^{x_i} g_i(s){\rm d}s$ 为方程

的位势函数.

定义1.1 连续函数 $x:\Bbb R\rightarrow ({\Bbb R^+})^2$ 称为方程 $(1.1)$ 的碰撞解, 如果对 $i=1,2$ 都有

且存在一组双向无穷序列 $\{t^j_i\}_j\subset\Bbb R$ 使得对所有的 $j\in \Bbb Z$, 以下性质成立

(1) $x_i(t^j_i)=0;$

(2) $x_i'(t^j_i+)=-x_i'(t^j_i-);$

(3) $x_i\in C^2((t^j_i,t^{j+1}_i),\Bbb R^+)$ 是方程 $(1.1)$ 通常意义下的解.

我们称 $x(t):=(x_1(t),x_2(t))$ 是方程 (1.1) 的一个偶的周期碰撞解, 如果 $x(t)$ 是方程 (1.1) 的一个周期碰撞解且

对任意的 $t\in\Bbb{R}$ 有

由于碰撞方程具有广泛的应用背景, 有关碰撞方程的实验和数值的研究得到了大量的成果. 在数学理论研究方面, 近年来针对二阶碰撞方程也得到了许多成果. 例如, 针对碰撞周期解问题, 主要的方法有: 通过将辅助方程的周期解取极限的方法来研究(见文献 [1,2,3,4,5,6]); 通过把周期解的存在性转化为碰撞相平面上的后继映射或 $\rm Poincar\acute{e}$ 映射的不动点来进行研究(见文献 [7,8,9]); 运用变分法来证明碰撞周期解的存在性(见文献 [10,11,12,13])等. 此外, 还有拟周期解和有界解(见文献 [14,15,16,17,18])、混沌动力行为(见文献 [19,20])等一些结果.

在上述关于碰撞问题的数学理论研究中, 研究对象主要是二阶碰撞方程, 而对于高维碰撞系统的研究没有看到发表的成果.

常微分方程

对称周期解问题由于其在天体力学和物理上的应用背景而受人关注. 当 $n=1$ 时, 在超线性条件

下, Nakajima^[21] 中证明了方程

无穷多个偶的调和解、任意阶的偶次调和解的存在性和偶次调和解的稠密性分布结果. 在文献 [22] 中, 针对一个自由度的碰撞方程

在条件 $(q_0)$ 和 $(\tau_0^+)$ 下得到了与文献 [21] 中类似的结果. 当权函数 $q(t)$ 变号时, 文献 [19] 在超线性条件 $(\tau_0^+)$ 下得到了无穷多个对称碰撞调和解和次调和解的存在性. 一个有趣的问题是, 以往关于二阶方程的对称周期解的相关结论能不能推广到高维的系统中去, 特别地, 对于即使只有两个自由度的弱耦合碰撞方程 (1.1), 有没有对称的碰撞周期解存在. 事实上, 由于没有现成的研究框架, 研究高维碰撞系统碰撞周期解的存在性和多解性不是一件容易的工作. 例如, 由于碰撞周期解空间的不完备性使得拓扑度方法无法直接使用; 非光滑临界点理论往往只能获得碰撞周期解的存在性而无法获得多解性结果, 而且变分法不能够了解系统中的每个质子的具体碰撞信息.

本文主要研究在 $(q_0)$ 和超线性条件 $(\tau_0^+)$ 下方程 (1.1) 对称碰撞周期解的存在性和多解性问题. 在下文中我们是这样安排的: 在第 2 节, 我们首先引进适当的坐标变换, 把碰撞相平面转化为全平面, 通过研究等价系统对应周期解的存在性来得到原系统的碰撞周期解. 其次, 给出对称周期解存在的充分条件. 在第 3 节, 运用相平面分析的方法, 验证了等价系统的 Poincaré 映射在相空间的每一个分平面内的适当大的圆环上具有扭转性. 从而, 在第 4 节, 通过运用一个二维平面上的拉伸扭转零点定理证明了对称周期解存在的充分条件是适用的, 即证明了方程 (1.1) 无穷多个偶的调和解和次调和解的存在性.

令 $x_i'=y_i, i=1,2,$ 则方程 (1.1) 等价于碰撞系统

易见, 碰撞系统 (1.2) 的解定义在碰撞相空间 $\{(x,y): (x,y)\in \Bbb{R}^{4},\ x_i\geq 0, i=1,2\}$ 上.

定义1.2 称一个满足 $x'(0):=(x_1'(0),x_2'(0))=(0,0)$ 的偶的碰撞周期解 $x(t)$ 的初值点 $(x(0),x'(0))$ 为一个碰撞 $\varepsilon$-点, 其中 $x(0):=(x_1(0),x_2(0)).$ 特别地, 若一个初值点为碰撞 $\varepsilon$-点的偶的碰撞周期解 $x(t)$ 的最小正周期为 $2m\pi(m\in \Bbb{Z}^+)$, 称此 $\varepsilon$-点为 $m$ 阶的.

注1.1 在下文中, 为了简洁起见, 通常把 $(x_1'(t),x_2'(t))=(0,0)$ 记为 $x'(t)=0,$ 以及 $(x(t),x'(t)):=(x_1(t),x_1'(t),x_2(t),x_2'(t)), t\in\Bbb{R}.$

本文中, 总假设 $\Bbb{R}^+=[0,+\infty), \Bbb{R}_0^+=(0,+\infty),$$\Bbb{Z}_0^+:=\{m\in\Bbb{Z}:m>0\}.$

对任意的 $k\in \Bbb{Z},$ 令 $\mathcal{I}_k^1:=(4k\pi-\frac{3}{2}\pi, 4k\pi+\frac{\pi}{2}),$$\mathcal{I}_k^2:=(4k\pi+\frac{\pi}{2}, 4k\pi+\frac{5}{2}\pi).$

对 $i=1,2,$ 当 $\theta_i\in \mathcal{I}_k^1$ 且 $r_i>0$ 时, 定义 $\phi_{i,1}: (r_i,\theta_i)\rightarrow (x_i=x_{i,1}(r_i,\theta_i),y_i=y_{i,1}(r_i,\theta_i))$, 其中

当 $\theta_i\in \mathcal{I}_k^2$ 且 $r_i>0$ 时, 定义 $\phi_{i,2}: (r_i,\theta_i)\rightarrow (x_i=x_{i,2}(r_i,\theta_i),y_i=y_{i,2}(r_i,\theta_i))$, 其中

易见, 对每一个固定的 $k\in \Bbb{Z},$ 映射 $\phi_{i,1}$ 和 $\phi_{i,2}$ 分别是从 $\{(r_i,\theta_i): r_i>0, 4k\pi-\frac{3}{2}\pi<\theta_i<4k\pi+\frac{\pi}{2}\}$ 和 $\{(r_i,\theta_i): r_i>0, 4k\pi+\frac{\pi}{2}<\theta_i<4k\pi+\frac{5}{2}\pi\}$ 到右半平面 $\{(x_i,y_i):(x_i,y_i)\in \Bbb{R}^2, x_i>0\}$ 上连续的一一映射.

易证, 对 $i=1,2$ 及任意的点列 $\{(r_i^{(n)},\theta_i^{(n)})\}_n (r_i^{(n)}>0\hbox{且}\theta_i\in \mathcal{I}_k^1$ (或 $\theta_i\in \mathcal{I}_k^2$)), 若当 $n\rightarrow +\infty$ 时有 $r_i^{(n)}\rightarrow r_i^{0}>0$ 且 $\theta_i^{(n)}\rightarrow (4k\pi-\frac{3}{2}\pi)^+$(或 $\theta_i^{(n)}\rightarrow (4k\pi+\frac{\pi}{2})^+$), 则有

同理, 若当 $n\rightarrow +\infty$ 时有 $r_i^{(n)}\rightarrow r_i^0>0$ 且 $\theta_i^{(n)}\rightarrow (4k\pi-\frac{3}{2}\pi)^-$(或 $\theta_i^{(n)}\rightarrow (4k\pi+\frac{\pi}{2})^-$), 则有

点 $(0,-r_i^0)$ 和 $(0,r_i^0)$ 可以用来描述系统(1.2)的碰撞解在碰撞时刻的左右极限.

引理2.1 设系统 $(1.2)$ 的解 $(x_i(t),y_i(t))(i=1,2)$ 在 $t=t_0$ 时发生碰撞, 则碰撞对应到 $\theta_i(t_0)=2\tilde{k}\pi-\frac{3}{2}\pi,$ 即发生一次碰撞相当于 $\theta_i(t)$ 取到一次 $2\tilde{k}\pi-\frac{3\pi}{2}(\tilde{k}\in {\Bbb Z})$.

证 对 $i=1,2,$ 根据碰撞解的定义和变换 (2.1)-(2.2) 式, 若系统 $(1.2)$ 的解 $(x_i(t),y_i(t))$ 在$t=t_0$ 时发生碰撞, 则 $\theta_i(t_0)=4k\pi-\frac{3}{2}\pi,\ r(t_0)=\bar {r_i}>0$ 或者 $\theta_i(t_0)=4k\pi+\frac{\pi}{2},\ r(t_0)=\bar {r_i}>0$, 无论哪种情况, 都有 $\theta_i(t_0)=2\tilde{k}\pi-\frac{3\pi}{2}(\tilde{k}\in {\Bbb Z}).$ 证毕.

因此, 在坐标变换 (2.1)-(2.2) 式下, 碰撞系统可写成极坐标下的形式

和

注意到, (2.3) 和 (2.4) 式描述了碰撞系统的经典解的性质, 而 (2.5) 式则描述了碰撞解在碰撞时刻的性质.

定义2.1 定义在区间 $I\subset \Bbb{R}$ 上的连续函数 $(r(t),\theta(t))\in\Bbb{R}^{4}$ 称为系统 (2.3)-(2.4) 和 (2.5) 式的一个连续解, 如果对每一个 $i=1,2$ 有

$1.$$r_i(t)>0,$ 对任意的 $t\in I;$

$2.$ 对任意的 $t\in I \ \hbox{且}\ \theta_i\in \mathcal{I}_k^1, k\in\Bbb{Z},$ 都有 $(r_i(t),\theta_i(t))$ 满足 (2.3) 式;

$3.$ 对任意的 $t\in I\ \hbox{且}\ \theta_i\in \mathcal{I}_k^2, k\in\Bbb{Z},$ 都有 $(r(t),\theta(t))$ 满足 (2.4) 式;

$4.$ 对所有的 $t_0\in I$ 且 $\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\theta_i(t)=4k\pi-\frac{3}{2}\pi$ 或 $\lim\limits_{t\rightarrow t_0}\theta_i(t)=4k\pi+\frac{\pi}{2},$ (2.5) 式成立.

注2.1 假设 $(r(t),\theta(t))$ 为系统 (2.3)-(2.4) 和 (2.5) 式的定义在区间 $I\subset \Bbb{R}$ 上的一个连续解, 则在坐标变换 (2.1)-(2.2) 式下, $(x(t),y(t))$ 为系统 (1.2) 的定义在区间 $I\subset \Bbb{R}$ 上的一个解. 特别地, 当 $I=\Bbb{R}$ 时, $(x(t),y(t))$ 为碰撞系统 (1.2) 的满足定义 1.1 的一个碰撞解.

对 $i=1,2,$ 假设 $t_0$ 为解 $(x_i(t),y_i(t))$ 的碰撞时刻, 则当 $t\neq t_0$ 时, $(2.3)\mbox{、}(2.4)$ 式右端关于 $r_i\mbox{、}\theta_i$ 是连续的. 当 $t\rightarrow t_0$ 时, $\theta'_-(t_0)=\theta'_+(t_0)=-2,$ 由导数存在性定理知, $\theta'(t_0)=-2,$ 因此振子不会在零点停留.

注2.2 碰撞系统 (1.2) 定义在区间 $I\subset\Bbb{R}$ 上的解 $(x_1(t),x_2(t),y_1(t),y_2(t))$ 对应到系统 (2.3)-(2.5) 定义在区间 $I$ 上的一个连续解 $(r_1(t),r_2(t),\theta_1(t),\theta_2(t)),$ 而 $(r_i(t),\theta_i(t))$ 是由 (2.3) 式在区间 $I\cap \mathcal{I}_k^1$ 上的连续解和 (2.4) 式在区间 $I\cap \mathcal{I}_k^2$ 上的连续解交替相接而成的 $(i=1,2)$. 当 $\lim\limits_{t\rightarrow t_1}\theta_i(t)=4k\pi+\frac{\pi}{2}$ 时有相同的结论.

引理2.2 在坐标变换 (2.1)-(2.2) 式下, $x_i(r_i,\theta_i),y_i(r_i,\theta_i)$ 关于 $\theta_i$ 是 $2\pi$-周期的, 即 $x_i(r_i,\theta_i+2\pi)=x_i(r_i,\theta_i), y_i(r_i,\theta_i+2\pi)=y_i(r_i,\theta_i).$

证 事实上, 不妨设 $\theta_i\in \mathcal{I}_k^1(k\in\Bbb{Z}),$ 则有 $x_i(r_i,\theta_i)=r_i\cos(\frac{\theta_i}{2}+\frac{\pi}{4}).$ 由于 $\theta_i+2\pi\in \mathcal{I}_k^2,$ 从而 $x_i(r_i,\theta_i+2\pi)=r_i\cos(\frac{\theta_i+2\pi}{2}-\frac{3}{4}\pi)= r_i\cos(\frac{\theta_i}{2}+\frac{\pi}{4})=x_i(r_i,\theta_i).$ 当 $\theta_i\in \mathcal{I}_k^2$ 时, 则有 $\theta_i+2\pi\in \mathcal{I}_{k+1}^1,$ 易证 $x_i(r_i,\theta_i+2\pi)=x_i(r_i,\theta_i).$ 同理可证 $y_i$ 关于 $\theta$ 也是 $2\pi$-周期的. 证毕.

注2.3 引理 2.2 说明, 系统 (2.3)-(2.5) 满足初始条件

的解 $(r(t;r_{10},\theta_{10},r_{20},\theta_{20}),\theta(t;r_{10},\theta_{10},r_{20},\theta_{20}))$ 与满足初始条件

的解 $(r(t;r_{10},\theta_{10}+2k_1\pi,r_{20},\theta_{20}+2k_2\pi), \theta(t;r_{10},\theta_{10}+2k_1\pi,r_{20},\theta_{20}+2k_2\pi)),k_1、k_2\in\Bbb{Z},$ 对应到碰撞系统 (1.2) 的同一个解 $(x(t;x_{10},y_{10},x_{20},y_{20}),y(t;x_{10},y_{10},x_{20},y_{20})),$ 其中, 当 $\theta_{i0}\in \mathcal{I}_k^1$ 时, $(x_{i0},y_{i0})$ 由 (2.1) 式取得, 当 $\theta_{i0}\in \mathcal{I}_k^2$ 时, $(x_{i0},y_{i0})$ 由 (2.2) 式取得 $(i=1,2).$

在下文中, 对任一个 $t_0\in \Bbb{R}$ 和 $q=(a_1,b_1,a_2,b_2)\in (\Bbb{R}^+\times \Bbb{R})^2,$ 设 $x(t;t_0,a_1,b_1,a_2,b_2)$ 是方程 (1.1) 的满足初始条件

的解, 其中 $a=(a_1,a_2)\in(\Bbb{R}^+)^2, b=(b_1,b_2)\in\Bbb{R}^2,$ 满足 $|a_i|+|b_i|>0, i=1,2.$ 特别地, 若 $t_0=0, b=(0,0),$ 记 $x(t,a):=x(t;0,(a_1,0,a_2,0)).$

引理2.3 设 $m$ 是一个正整数, $a=(a_1,a_2)\in \Bbb{R}^+_0\times\Bbb{R}^+_0,$$x(t,a)$ 是系统 (1.1) 的在 $[-4m\pi, 4m\pi]$ 上有定义的解, 满足

若

则 $x(t,a)$ 是系统 (1.1) 的一个偶的 $2m\pi$-周期碰撞解. 特别地, 碰撞 $\varepsilon$-点 $(a_1,0,a_2,0)$ 是 $m$ 阶的当且仅当对每一个 $k\in\{1,\cdots, m-1\},$ 都存在 $j=j(k)\in\{1,2\}$ 使得 $x_j'(k\pi)\neq0.$

证 在证明主要结论之前, 先证明一个命题: 若 $u(t)$ 是方程 (1.1) 的在 $[-4m\pi, 4m\pi]$ 上有定义的解且满足

其中 $k\in\Bbb{Z}$ 且 $0\leq k\leq m,$ 则对于每一个 $t\in[-2m\pi, 2m\pi]$ 有 $u(2k\pi-t)=u(t).$ 事实上, 首先, 当 $t\in[-2m\pi, 2m\pi]$ 时, $2k\pi-t\in[-2m\pi,4m\pi],$ 从而 $u(2k\pi-t)$ 在 $[-2m\pi, 2m\pi]$ 上有定义. 其次, 若令 $v(t)=u(2k\pi-t),$ 即

则对每一个 $i\in\{1,2\},$ 在满足 $\forall t\in I, v_i(t)>0$ 的区间 $I\subset[-2m\pi, 2m\pi]$ 内, 有

同时, 对那些使得 $v_i(t_0)=0$ 的 $t_0\in I$ 而言 (此时有 $u_i(2k\pi-t_0)=0$), 易见 $v'_{i+}(t_0)=\lim\limits_{t\rightarrow t_0^+}v_i'(t)=-\lim\limits_{t\rightarrow t_0^+}u_i'(2k\pi-t)=\lim\limits_{t\rightarrow t_0^-}u_i'(2k\pi-t)=-\lim\limits_{t\rightarrow t_0^-}v_i'(t)=-v'_{i-}(t_0).$

所以, $v(t)$ 也是方程 (1.1) 定义在 $[-2m\pi, 2m\pi]$ 上的一个解. 又对每一个 $i=1,2,$ 当 $t=k\pi$ 时, 有 $v_i(k\pi)=u_i(k\pi),$ 由 $u_i'(k\pi)=0$ 知 $u_i(k\pi)\neq 0.$ 从而 $v_i'(k\pi)=-u_i'(k\pi)=0,$ 故由解的存在唯一性定理知 $v(t)=u(t),$ 即 $u(2k\pi-t)=u(t).$

由上述命题, 对 $i=1,2,$ 若取 $k=0$ 时有 $x'(0,a)=(0,0),$ 从而对 $\forall t\in [-2m\pi, 2m\pi],$$x_i(-t,a)=x_i(t,a).$ 同时, 又因为 $x'(m\pi)=(0,0),$ 取 $k=m$ 且令 $t=-t,$ 则有

从而有 $x_i'(-2m\pi)=-x_i'(2m\pi)=x_i'(0)=0,$ 从而 $x_i'(2m\pi)=x_i'(0)=x_i'(-2m\pi).$ 注意到 $x_i(2m\pi)=x_i(0)=x_i(-2m\pi),$ 由解的存在唯一性及系统的周期性知结论成立. 证毕.

由注 2.3 和引理 2.3, 我们有

引理2.4 设 $m$ 是一个正整数, $(r(t;r_{10},\theta_{10},r_{20},\theta_{20}),\theta(t;r_{10},\theta_{10},r_{20},\theta_{20}))$ 是系统 (2.3)-(2.5) 在 $[-4m\pi, 4m\pi]$ 上有定义的连续解, 其中 $\theta_{i0}=-\frac{\pi}{2}(\rm mod\, 2\pi).$ 如果

则 $(r_{10},0,r_{20},0)$ 是方程 (1.2) 的一个碰撞 $\varepsilon$-点. 特别地, $(r_{10},0,r_{20},0)$ 是 $m$ 阶的碰撞 $\varepsilon$-点当且仅当对每一个 $k\in\{1,\cdots, m-1\},$ 都存在 $j=j(k)\in\{1,2\}$ 使得 $\theta_j(k\pi;r_0,\theta_0)\neq-\frac{\pi}{2}(\rm mod\, 2\pi).$

假设 $\mathcal{P}$ 为碰撞系统 (1.2) 的时间 $\pi$ 的 $\rm Poincar\acute{e}$ 映射, 即

其中 $(x(t;x_{10},y_{10},x_{20},y_{20}),y(t;x_{10},y_{10},x_{20},y_{20}))$ 是方程 (1.2) 的定义在 $[0,\tilde{b})(\tilde{b}>\pi)$ 上的连续解, 满足 $(x(0;x_{10},y_{10},x_{20},y_{20}),y(0;x_{10},y_{10},x_{20},y_{20}))$$=(x_{10},y_{10},x_{20},y_{20})\in(\Bbb{R}^+\times\Bbb{R})^2.$ 相应地, 记

为系统 (2.3)-(2.5) 的时间 $\pi$ 的 $\rm Poincar\acute{e}$ 映射.

类似于文献 [23] 中的证明方法, 并做适当的修改, 可以证明

引理3.1 设条件 $(g_0)$ 和 $(q_0)$ 成立, 则对任意给定的区间 $[\hat{a},\hat{b}]$, 都存在正数 $R_i^*=R_i^*(\hat{a},\hat{b})$$(i=1,2),$ 使得对任意给定的 $t_0\in[\hat{a},\hat{b}]$ 和 $r_{i0}> R_i^*\ (i=1,2),$ 系统 (2.3)-(2.5) 以 $(r_0,\theta_0)\in (\Bbb{ R}^+\times \Bbb{ R})^2$ 为初值的连续解 $(r_1(t;t_0,r_0,\theta_0),\theta_1(t;t_0,r_0,\theta_0), r_2(t;t_0,r_0,\theta_0),\theta_2(t;t_0,r_0,\theta_0))$ 在 $[\hat{a},\hat{b}]$ 上可延拓, 其中 $(r_0,\theta_0):=(r_{10},\theta_{10},r_{20},\theta_{20}).$

注3.1 初值问题解的可延拓性既要求解在有限时间内不会出现 blow-up 现象, 同时还要求不会趋向于原点. 条件 $(q_0)$ 可以确保前一个要求满足, $R_i^*$ 的定义可以确保后一个要求满足.

推论3.1 设 $(g_0)(q_0)$ 成立, 则对任一个 $T>0$ 都存在常数 $\alpha_i>R_i^*(-T,T)$ 和 $\beta_i(\alpha_i,T)>\alpha_i$$(i=1,2)$ 使得下列结论成立:

(1) $\forall t_0\in\Bbb{R},$ 若 $(r(t),\theta(t))$ 为方程 (2.3)-(2.5) 的满足 $R_i^*(-T,T)<r_i(t_0)\leq \alpha_i$ 的解, 则对所有的 $|t-t_0|\leq T$ 有 $r_i(t)\leq \beta_i(\alpha_i,T);$

(2) 对 $\forall t_0\in\Bbb{R},$ 若 $(r(t),\theta(t))$ 为方程 (2.3)-(2.5) 的满足 $r_i(t_0)\geq \beta_i(\alpha_i,T)$ 的解, 则对所有的 $|t-t_0|\leq T$ 有 $r_i(t)\geq \alpha_i.$

注3.2 在引理 3.1 的条件中, $r_{i0}> R_i^*$ 可以保证在区间 $[\hat{a},\hat{b}]$ 上 $r_i(t)>0\ (i=1,2).$

注3.3 由推论 3.1, 对任意的 $m\in\Bbb{Z}_0^+$ 取 $\alpha_i>R_i^*(-2m\pi,2m\pi)$ 和 $a_i>\beta_i(\alpha_i,2m\pi),$ 设 $(r(t,a),$$\theta(t,a))$ 是方程 (2.3)-(2.5) 的在区间 $[-2m\pi,2m\pi]$ 上有定义且满足 $r_i(0)=a_i$ 和 $\theta_i(0)=-\frac{\pi}{2}(\rm mod\,\pi)$ 的连续解, 则对所有 $|t|\leq 2m\pi$ 都有 $r_i(t,a)>\alpha_i>0.$

注3.4 可以验证, 对 $i=1,2$ 和 $I\subset[\pi],$ 如果 $\forall t\in I$ 都有 $q_i(t)>0,$ 则当 $r_i(t)$ 充分大时有 $\theta_i'(t)<0,$ 从而解 $(r_i(t),\theta_i(t))$ 在区间 $I$ 内在 $u_i-v_i$ 分平面上是顺时针旋转的.

下面, 对 $r_i>0,\ \theta_i\in\Bbb{R}\ (i=1,2)$ 定义变量变换

设 $(r(t),\theta(t))$ 为 (2.3)-(2.5) 式的一个以 $(r(\hat{a}),\theta(\hat{a}))=$$(r_0,\theta_0)=(r_{10},\theta_{10},r_{20},\theta_{20})$ 为初值的连续解.

由引理 3.1 知, 当 $r_i(\hat{a})>R_i^*(-2\pi,2\pi)$ 时, 存在一个正数 $M_i^0,$ 对 $\forall t\in[\hat{a},\hat{b}]\subset[\pi],$ 有 $r_i(t)>M_i^0.$ 记 $e=(e_1, e_2),$ 其中 $e_i:=(r_{i,0},\theta_{i,0})\in {\Bbb R}^+\times {\Bbb R}\ (i=1,2),$ 从而可以定义

易见 $\theta_i(\hat{b})-\theta_i(\hat{a})$ 是向量 $(u_i(t),v_i(t))$ 随时间 $t$ 在区间 $[\hat{a},\hat{b}]$ 上增加时在 $u_i-v_i$ 分平面上所转的角度, 它与 $\theta_i(t)$ 的选择无关.

下面, 我们将估计方程 (2.3)-(2.5) 的一个轨道 $(r(t),\theta(t))$ 在每一个分平面 $u_i-v_i$ 上绕原点一整圈所需时间. 对 $i=1,2,$ 由于 $\theta_i(t)$ 在碰撞时刻连续, $\theta_i'(t)$ 在非碰撞时刻连续且在碰撞时刻极限存在, 所以由导数极限定理 $\theta_i'(t)$ 在碰撞时刻存在. 为此, 下面我们在涉及到 $\theta_i(t)$ 的估计时就不再区分碰撞时刻和非碰撞时刻.

设 $0<\theta_0<\frac{\pi}{2},$ 将 $u_i o v_i$ 相平面分成三个区域: $\mathbf{I}:=\{(r_i,\theta_i): \frac{\pi}{2}-\theta_0<\theta_i<\frac{\pi}{2}\},$$\mathbf{II}:=\{(r_i,\theta_i): -\frac{3}{2}\pi+\theta_0\leq\theta_i\leq\frac{\pi}{2}-\theta_0\}$ 和 $\mathbf{III}:=\{(r,\theta): -\frac{3}{2}\pi\leq\theta_i<-\frac{3}{2}\pi+\theta_0\}.$ 下面我们计算轨道通过每个区域所需的时间. 在下列引理中, 记

引理3.2 假设条件 $(g_0)$ 成立. 设 $\theta_0>0$ 和 $\delta>0$ 为任意的两个常数且 $\theta_0<\delta,$$(r(t),\theta(t))$ 是方程 (2.3)-(2.5) 定义在 $[\pi]$ 上的解. 则对 $i=1,2$ 都存在正数 $r_i^0>R_i^*:=R_i^*(0,\pi),$ 使得对每一个区间 $[t_1,t_2]\subset[\pi],$$t_0\in[t_1,t_2],$ 只要 $r_i(t_0)\geq r_i^0$ 且对任意的 $t\in[t_1,t_2]$ 有 $(r_i(t),\theta_i(t))\in\mathbf{I},$ 则

证 取 $\delta>0$ 充分小, 取 $0<\theta_0<\delta.$ 在区域 $\mathbf{I}$ 中 $\sin^2(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta_0}{2})\leq \sin^2(\frac{\theta_i}{2}+\theta_*)\leq1,$ 若取 $\theta_0$ 充分小可使 $\sin^2(\frac{\theta_i}{2}+\theta_*) >\frac{3}{4}.$

由条件 $(g_0)$ 可知存在 $d_i>0,$ 使得 $x_i\geq d_i$ 时有 $g_i(x_i)\geq0.$ 此时有

当 $x_i<d_i$ 时, 由于 $q_i(t)\mbox{、}p_i(t,x)$ 有界, 取 $r_0>R_i^*$ 适当大, 可使当 $t\in[\pi]$时有

由

则有 $\theta_i'<-\frac{ 9}{ 8},$ 从而

证毕.

类似可证 $\mathbf{III}$ 的情况.

类似于文献 [22,引理 3.4] 的证明方法, 可以证明 $\mathbf{II}$ 的情况.

引理3.3 设 $g_i:\Bbb{R}^+\rightarrow\Bbb{R}$ 为局部 Lipschitz 连续函数满足条件 $(g_0)(\tau_0^+),$$q_i(t):[\pi]\rightarrow\Bbb R^+$ 为连续有界变差函数且满足 $(q_0)$. 则对 $\forall \delta>0$ 和 $\forall \theta_0>0$ 都存在 $r_{i,0}=r_{i,0}(\delta,\theta_0)>R_i^*,$ 使对每一个 $[t_1,t_2]\subset I$ 和对方程 (2.3)-(2.5) 的每一个解 $(r(t),\theta(t)),$ 满足对所有 $t\in[t_1,t_2],r_i(t)>r_{i,0}$ 和 $(r_i(t),\theta_i(t))\in\mathbf{II},$ 可得 $t_2-t_1\leq\delta.$

命题3.1 设 $g_i,q_i,p_i\ (i=1,2)$ 满足引理 3.3 中的条件. 则对每个 $i\in\{1,2\}$ 而言, 任取正数 $H_i>0,$ 都存在一个正数 $R_i=R_i(H_i)>R_i^*$ 使得如果 $(r(t),\theta(t))$ 为方程 (2.3)-(2.5) 的定义在 $[\pi]$ 上的一个解且满足 $r_i(0)\geq R_i,$ 则有 $\theta_i(0)-\theta_i(\pi)\geq 2\pi H_i.$

证 任取一个区间 $[a',b']\subset[\pi],$ 则由向量场 (2.3)-(2.5) 的性质易见

从而

为了估计 $\theta_i(c)-\theta_i(d)$, 我们考虑 $c$ 后轨线与 $v_i$-正半轴第一次相交的时刻 $t^*,$ 则我们将计算时间 $[t^*,d]$ 内轨道的圈数, 这只要看轨道与 $v_i$-正半轴相交的次数就可以了.

而且引理 3.2、3.3 将有助于计算轨道转一圈所需的时间. 事实上, 假设我们固定一个 $\delta>0\mbox{、}\theta_{i,0}>0,$ 由引理 3.3, 存在一个 $R_0=R_0(\delta,\theta_{i,0}),$ 使方程 (2.3)-(2.5) 的每一个解, 只要 $(r_i(t),\theta_i(t))\in\mathbf{II}$ 且 $r_i(t)\geq R_0$ 则解穿过 $\mathbf{II}$ 的时间少于 $\delta;$ 另一方面, 只要 $0<\theta_{i,0}<\delta,$ 则解穿过 $\mathbf{I}$ 和 $\mathbf{III}$ 的时间分别少于 $\delta.$ 由弹性性质, 取 $N>0$使得只要 $r_i(t_0)\geq {\rm max} \{N,R_i^*\}=R_i(H_i),$ 就有对 $\forall t\in[\pi],$ 有 $r_i(t)\geq R_0.$ 从而转一圈所需时间少于 $3\delta.$ 另一方面轨道从出发到到达 $v_i$-正半轴之间的一段时间 $t^*-c$ 少于 $3\delta,$ 因为轨道至多穿过区域 $\mathbf{I},\mathbf{II}, \mathbf{III}$ 各一次. 从而, 考虑到方程 $(1.2)$, 如果轨道顺时针方向旋转了至少 $H_i+2$ 圈则一定有

所以当

解可以在 $[c,d]$ 内旋转至少 $H_i+2$ 圈. 得证.

为了证明周期碰撞解的存在性, 我们需要下面的零点定理.

引理4.1 [24,定理1.2] 设 $\widehat{ABCD}\subset \Bbb{R}^2$ 是一个矩形, $E$ 是 $\widehat{ABCD}$ 围成的闭区域, $\varphi_1, \varphi_2:E\rightarrow\Bbb{R}$ 是两个连续函数, 满足

和

则在 $E$ 中至少存在一个点 $p$ 使得 $\varphi_1(p)=\varphi_2(p)=0.$

定理4.1 假设 $(g_0)、(\tau_0^+)$ 和 $(q_0)$ 成立, 则方程 (1.1) 有无穷个偶的 $2\pi$-周期碰撞解 $\{x(t,a_1^k,a_2^k)\}_{k=1}^{\infty},$ 满足

证 由引理 3.1 和推论 3.1, 对任意的 $R_i^0>R_i^*(-4\pi,4\pi)\ (i=1,2),$ 系统 (2.3)-(2.5) 以 $(R_1^0,\theta_{10},R_2^0,\theta_{20})\in (\Bbb{ R}^+\times \Bbb{ R})^2$ 为初值的连续解 $(r(t;0,R_0,\theta_0),\theta(t;0,R_0,\theta_0))$ 在 $[-4\pi,4\pi]$上可延拓且满足

其中 $R_0=(R_1^0,R_2^0),$$\theta_0=(\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2.$ 由命题 3.1, 可取适当大的 $R_i^*(-4\pi,4\pi)\ (i=1,2)$, 使得

任取 $c_1^1>R_1^*(-4\pi,4\pi), c_2^1>R_2^*(-4\pi,4\pi),$ 则易知, 存在正数 $R_i'>c_i^1>R_i''>0\ (i=1,2)$, 使得

其中 $r_2\geq c_2^1, (\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2,$ 以及

其中 $r_1\geq c_1^1, (\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2.$

易见, 存在两个正数 $M_1、M_2>0,$ 使得

其中 $(\theta_{10},\theta_{20})\in\Bbb{ R}^2.$ 从而 $\int_0^{\pi}\theta_i'{\rm d}t$ 为有界值, 这样, 一定存在 $j_1^1、j_2^1\in \Bbb{Z}^+$, 使得

对任意的 $r_2\geq c_2^1$ 和 $(\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立,

对任意的 $r_1\geq c_1^1, (\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立.

再由命题 3.1, 可取 $d_1^1>R_1'$ 和 $d_2^1>R_2',$ 使得

对任意的 $r_2\geq c_2^1$ 和 $(\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立,

对任意的 $r_1\geq c_1^1, (\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立.

现在, 定义连续映射

和

易见, $f_1$ 和 $f_2$ 都是矩形 $E:=[c_1^1,d_1^1]\times[c_2^1,d_2^1]\subset\Bbb{R}^2$ 到 $\Bbb{R}$ 上的连续函数. 由 (4.1) 和 (4.3) 式知

以及由 (4.2) 和 (4.4) 式知

由引理 4.1 知, 至少存在一个点 $(a_1^1,a_2^1)\in E$ 使得 $f_1(a_1^1,a_2^1)=0, f_2(a_1^1,a_2^1)=0,$ 即

由引理 2.4, $x(t;a_1^1,0,a_2^1,0)$ 是方程 (1.1) 的 $2\pi$-碰撞周期解. 并且, 由对称性知

即在一个周期内 $x_1(t;a_1^1,0,a_2^1,0)$ 恰好有 $j_1^1$ 次完全弹性碰撞, $x_2(t;a_1^1,0,a_2^1,0)$ 恰好有 $j_2^1$ 次完全弹性碰撞.

接下来, 选取 $c_1^2> d_1^1$ 以及 $c_2^2> d_2^1,$ 类似地, 存在 $j_1^2、j_2^2\in\Bbb{Z}^+$$(j_1^2> j_1^1、j_2^2> j_2^1),$ 使得

对任意的 $r_2\geq c_2^2$ 和 $(\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立,

对任意的 $r_1\geq c_1^2, (\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立.

同理, 存在 $d_1^2>c_1^2$ 和 $d_2^2>c_2^2$, 使得

对任意的 $r_2\geq c_2^2$ 和 $(\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立,

对任意的 $r_1\geq c_1^2, (\theta_{10},\theta_{20})\in \Bbb{R}^2$ 成立. 从而类似可证, 至少存在一个点 $(a_1^2,a_2^2)\in[c_1^2,d_1^2]\times [c_2^2,d_2^2]$ 使得

由引理 2.4, $x(t;a_1^2,0,a_2^2,0)$ 是方程 (1.1) 的 $2\pi$-碰撞周期解. 并且, 在一个周期内 $x_i(t;a_1^2,0,a_2^2,0)$ 恰好有 $j_i^2(i=1,2)$ 次完全弹性碰撞.

类似讨论, 可以证明存在两个正数列

和向量列 $\{(a_1^k,a_2^k)\}_{k=3}^\infty(i=1,2)$ 以及两个正整数列 $j_i^3<j_i^4<\cdots (i=1,2)$ 满足

其中 $c_i^k\leq a_i^k\leq d_i^k, k=3,4,\cdots ; i=1,2.$

注意到 $\lim\limits_{k\rightarrow+\infty}j_i^k=+\infty\ (i=1,2),$ 由推论 3.1 和命题 3.1 知

证毕.

由定理 4.1 的证明过程易得

推论4.1 假设条件 $(g_0)、(\tau_0^+)$ 和 $(q_0)$ 成立, 则存在一个适当大的正整数 $j_0$ 使得对于任意的正整数 $j>j_0,$ 方程 (1.1) 至少存在一个偶的 $2\pi$-周期碰撞解 $(x_1(t),x_2(t))$ 满足 $x_1(t)$ 与 $x_2(t)$ 在 $[2\pi]$ 内都恰好具有 $j$次碰撞. 同时, 存在一列正整数

使得方程 (1.1) 至少存在一个偶的 $2\pi$-周期碰撞解 $(x_1^k(t),x_2^k(t))$ 满足 $x_1^k(t)$ 与 $x_2^k(t)$ 在 $[2\pi]$ 内都恰好具有 $j_k$次碰撞且

定理4.2 假设 $(g_0)、(\tau_0^+)$ 和 $(q_0)$, 则对任意的 $m\in \Bbb{Z}_0^+,$ 方程 (1.1) 有无穷个偶的 $2m\pi$-周期碰撞解 $\{x(t;a_1^k,a_2^k)\}_{k=1}^{\infty}$ 满足

并且, $(a_1^k,0,a_2^k,0)$ 都是 $m$ 阶的碰撞 $\varepsilon$-点.

证 类似于定理 4.1 证明中的构造方法, 可以找到四个正数列 $\{c_i^k\}_k、\{d_i^k\}_k\ (i=1,2)$ 和两个素数列 $q_i^1<q_i^2<\cdots <q_i^k<\cdots\ (i=1,2),$ 满足

以及

使得

从而, 由引理 4.1 知, 存在数列 $\{a_i^k\}_k,\ c_i^k<a_i^k<d_i^k(k=1,2,\cdots )\ (i=1,2),$ 使得

从而

由引理 2.4 知, $x(t;a_k^{(1)},a_k^{(2)})(k=1,2,\cdots )$ 是方程 (1.1) 的 $2m\pi$-偶周期碰撞解. 由对称性易证 $\theta_i(2m\pi;a_k^{(1)},a_k^{(2)})-\theta_i(0;a_k^{(1)},a_k^{(2)})=-2q_i^k \pi,$ 即 $x_i(t;a_1^k,a_2^k)$ 在一个周期内恰好发生 $q_i^k$ 次碰撞. 易见, $(a_1^k,0,a_2^k,0)$ 是 $m$ 阶碰撞 $\varepsilon$-点. 证毕.