对于某个正函数 $p$, 改变度量最简单的方式是逐点共形: $g_1=pg$. 1960 年, Yamabe^[20] 研究能否找到一个函数 $p$ 使得 $g_1$ 有一个常数量曲率. 设 $g$ 是 $N$ 维 $(N\geq3)$ 无边界紧流形 $M^N$ 上给定的一个黎曼度量. 度量 $g_1=u^{4/(N-2)}g$ 共形于有一个正常数量曲率 $S_1$ 的 $g$ 当且仅当正函数 $u$ 满足关于 $g$ 的 Yambe 方程

其中 $S_g$ 表示 $g$ 的数量曲率.

众所周知, 如果 $M$ 是闭的, 那么 Yamabe 方程^[20] 有解. 如果 $S_1$ 是负常数, Bérard-Bergery^[4] 证明了如果 $S_g$ 为负, 那么 Yamabe 方程有唯一解. 如果 $S_g$ 为正, 那么解通常不唯一. 过去的经验告诉我们正数量曲率的研究比负数量曲率难. 如果 $S_1$ 为正, Aubin^[1] 借助变分法研究了 Yamabe 方程最小能量解的存在性. Brendle^[5] 得出在非紧解空间高维球面上 Yamabe 方程的多元解. Pollack^[17] 研究了 Yamabe 方程高能量解的存在性.

设

则通过简单计算, 我们得出下式

特别地, 如果 $M^N$ 是 $N$ 维单位球面 $\mathbb{S}^N$, 经典度量 $g$ 由 $\mathbb{R}^{N+1}$ 导出, 那么我们有

在文献 [12,定理 1.3] 中, 作者研究了下列方程的全局分歧现象

其中 $\lambda \in\mathbb{R}$, $N\geq2$, 如果 $N\geq3$ 并且 $p=(N+2)/(N-2)$, 方程 (1.2) 就是方程 (1.1). 然而我们注意到作者要求 $1<p<N^*$, 其中

文献 [15] 用初等方法获得了相似情形的部分结论. 相同的全局分歧方法被文献 [11] 用以求解, 所求解虽然不是径向的但是它的水平集是球体中任意给定的等参超曲面族.

然而, 我们注意到方程 (1.2) 在 $p=N^*$$(N\geq3)$ 时的全局分歧现象仍然是开放性的. 于是本文的主要研究目标就是此问题.

定理1.1 对于 $k\geq1$, 令 $\lambda_k=k(k+N-1)(N-2)/4$. 对于任意 $\lambda>\lambda_k$, 方程 (1.1) 至少有一个非常数径向解 $v_k$ 使得 $v_k-\lambda^{1/(N^*-1)}$ 正好有 $k$ 个零点, 并且它们都在 $(-1, 1)$ 内, 且为单根.

作为定理 1.1 的一个应用, 我们考虑如下 $\mathbb{R}^n$$(n\geq4)$ 上的非线性椭圆方程的非径向解的存在性

其中 $n=N+1$, $q\in\left(1,N^*\right]$. 我们有

定理1.2 对于任意 $c<[(n-3)(q-1)-4]/(q-1)^2$, 方程 (1.3) 有一个非径向解. 进一步, 当 $c\rightarrow -\infty$ 时, 非径向解的大小趋于 $\infty$.

如果 $q=(n+2)/(n-2)$, 定理 1.2 退化为文献 [12,定理 1.1] 的结论之一. 注意到文献 [12,定理 1.3] 的分歧结果是次临界的. 所以 $q=N^*$ 的情形不能由文献 [12,定理 1.3] 推出.

定理 1.1 和定理 1.2 的证明分别在第 2 节和第 3 节给出. 在最后一节中, 我们给出了文献 [12,定理 1.3] 在 Yamabe 乘积流形上的一个应用, 其中一个流形为单位球面.

称定义在 $\mathbb{S}^N$ 上的函数 $v$ 是 $G$-不变的, 若对于 $\theta\in \mathbb{S}^N$, $O\in G$ 满足 $v(O\theta) = v(\theta)$. 一个在 $\mathbb{S}^N$ 上的 $G$-不变函数 $v$, 对于某些定义在 $[-1, 1]$ 上的函数 $\widetilde{v}$ 能被改写成 $v(\theta) = \widetilde{v}\left(\theta_{N+1}\right)$, 其中 $\theta_{N+1}$ 表示 $\theta$ 对应的第 $N+1$ 个值. 接下来, 我们给出 $\mathbb{S}^N$ 上的 $G$-不变函数 $v$, 我们总是用 $\widetilde{v}$ 表示定义在 $[-1, 1]$ 上满足 $v(\theta) = \widetilde{v}\left(\theta_{N+1}\right)$ 的函数. 对于任意非负整数 $l$ 与 $\alpha\in(0,1)$, 令

设 $v=\lambda^{1/(N*-1)}(w+1)$, 则 $w$ 满足方程

为了证明定理 1.1, 对于任意 $m\in \mathbb{N}$, 考虑下列近似方程

其中

基于文献 [12,定理 1.3] 与分支近似理论, 下面给出定理 1.1 的证明.

定理 1.1 的证明 因为 $\Delta_{\mathbb{S}^N}$ 是 $O(N +1)$-不变的, 所以推出 $\Delta_{\mathbb{S}^N} + I: C_G^{4,\alpha}\left(\mathbb{S}^N\right)\rightarrow C_G^{2,\alpha}\left(\mathbb{S}^N\right)$ 是可逆的. 设 $T$ 为其逆算子, 则 $T : C_G^{2,\alpha}\left(\mathbb{S}^N\right)\rightarrow C_G^{2,\alpha}\left(\mathbb{S}^N\right)$ 是一个紧线性算子. 设 $\mu=\left(p_m-1\right)\lambda+1$ 且

所以求 (2.2) 式的 $G$-不变非零解等价于求下列算子方程的非零解

其中

因为 $p_m$ 是次临界的, 对于任意 $k\geq1$, 运用文献 [12,定理 1.3], 我们得 (2.3) 式的一个无界算子 $\mathcal{C}_k$ 由 $\left(\mu_k, 0\right)$ 在条件 $\mu_k=1+k(N+k-1)$ 下所得的分歧, 使得对于任意 $\mu>\mu_k$, 满足 $\mathcal{C}_k\subset \mathbb{R}\times \mathcal{S}_k$, $\mathcal{C}_k\cap \left\{(\mu,0)\right\}=\left\{\left(\mu_k,0\right)\right\}$且$\mathcal{C}_k\cap\left(\{\mu\}\times C_G^{2,\alpha}\left(\mathbb{S}^N\right)\right)\neq\emptyset$.

类似地运用 $\mu=\left(p_m-1\right)\lambda+1$, 可得 (2.2) 式的一个无边界算子 $\mathcal{C}_{k,m}$ 由 $\left(\lambda_{k,m}, 0\right)$ 在条件 $\lambda_{k,m}=k(N+k-1)/\left(p_m-1\right)$ 下所得的分歧, 使得对于任意 $\mu>\lambda_{k,m}$, $\mathcal{C}_{k,m}\subset \mathbb{R}\times \mathcal{S}_k$, $\mathcal{C}_{k,m}\cap \left\{(\lambda,0)\right\}=\left\{\left(\lambda_{k,m},0\right)\right\}$ 且 $\mathcal{C}_{k,m}\cap\left(\{\mu\}\times C_G^{2,\alpha}\left(\mathbb{S}^N\right)\right)\neq\emptyset$. 因此, $\mathcal{C}_{k,m}$ 在参数方向是无界的.

回顾文献 [19] 中下极限的定义. 设 $G$ 是任意点集构成的无限集合, 其中元素不一定不同. 所有点 $x$ 组成的集合使得包含点 $x$ 的所有邻域包含除有限个集合外的所有集合的点称为 $G$ 的下极限, 并且记为 $\liminf\ G$. 取 $z^*=(k(N+k-1)/(N^*-1),0)$. 关于点 $z^*$ 的任意邻域 $\mathscr{N}$, 因为 $p_m\rightarrow N^*$, 则存在 $\tilde{m}\in\mathbb{N}$ 使得$(\lambda_{k,m},0)\in\mathcal{N}$ 对于任意 $m>\tilde{m}$. 已经知道$(\lambda_{k,m},0)\in\mathcal{N}\in\mathcal{C}_{k,m}$. 根据以上定义, 得出$z^*\in\liminf\limits_{m\rightarrow+\infty}\mathcal{C}_{k,m}$. 断言$\left(\bigcup\limits_{m=1}^{+\infty}\mathcal{C}_{k,m}\right)\bigcap B_R$ 是预紧的. 根据 $g$ 的定义, $T$ 的紧性推导出 $g$ 是紧的.对于任意序列 $(\lambda_n,w_n)\in\left(\bigcup\limits_{m=1}^{+\infty}\mathcal{C}_{k,m}\right)\bigcap B_R$ 对于任意固定 $R>0$, 可知 $(\lambda_n,w_n)$ 是有界的. 进一步, 考虑 $\mu=(p_m-1)\lambda+1$, $(\mu_n,w_n)$ 在 $\mathbb{R}\times C_G^{2,\alpha}(\mathbb{S}^N)$ 上有界. 由 (2.3) 式和 $T$、$g$ 的紧性, 最终趋于一个子列, 于是 $w_n$ 是收敛的. 显然, 收敛到一个子列, $\mu_n$ 也是收敛的. 所以 $\left(\bigcup\limits_{m=1}^{+\infty}\mathcal{C}_{k,m}\right)\bigcap B_R$ 是预紧的. 文献 [7,定理 2.1] 表明 $\mathscr{C}_k=\limsup\limits_{m\rightarrow +\infty}\mathcal{C}_{k,m}$ 无界并且连通, 使得 $z^*\in\mathscr{C}_k$

令

我们断言 $\Lambda=+\infty$. 采用反证法, 假设 $\Lambda<+\infty$. 对于任意 $\epsilon>0$, 由文献 [命题 3], 存在一个 $m_0>0$ 使得 $\mathcal{C}_{k,m}\subset V_{\epsilon}(\mathscr{C}_k)$ 对于任意 $m>m_0$ 成立, 其中 $V_{\epsilon}(\mathscr{C}_k)$ 是 $\mathscr{C}_k$ 的 $\epsilon$ 邻域. 推出 Proj$(\mathcal{C}_{k,m})$$\subset$ Proj$(V_{\epsilon}(\mathscr{C}_k))$, 其中 Proj$(\mathcal{C}_{k,m})$ 表示 $\mathcal{C}_{k,m}$ 在 $\mathbb{R}$ 上的投影. 得出 Proj$(V_{\epsilon}(\mathscr{C}_k))\subset(a,\Lambda+\epsilon)$ 对于某个 $a>0$ 与任意 $m>m_0$ 成立. 所以推出 Proj$(\mathcal{C}_{k,m})\subset(a,\Lambda+\epsilon)$. 由此推出 $\mathcal{C}_{k,m}$ 是对于任意 $m$ 在参数方向上是无界的. 所以 $\mathscr{C}_k$ 在参数方向上是无界的.

对于任意 $(\lambda,w)\in \mathscr{C}_k$, 根据文献 [19] 上极限的定义推出存在一个序列 $\left(\lambda_m,w_m\right)\in \mathscr{C}_{k,m}$ 使得 $\left(\lambda_m,w_m\right)\rightarrow (\lambda,w)$ 当 $m\rightarrow+\infty$. 明显地, 有 $ w_m=\mu_m Tw_m+g\left(\mu_m,w_m\right),\nonumber $ 其中 $\mu_m=\left(p_m-1\right)\lambda_m+1$. 令 $m\rightarrow+\infty$, 得到 $ w=\mu Tw+g(\mu,w),\nonumber $ 其中 $\mu=\left(N^*-1\right)\lambda+1$. 由此可知 $w$ 是方程 (2.1) 的一个解. 因此, 对于任意 $(\lambda,w)\in \mathscr{C}_k$, $w$ 是 (2.1) 的解.

最后, 通过变换 $v=\lambda^{1/\left(N^*-1\right)}(w+1)$, 对于任意 $\lambda>\lambda_k$, 方程 (1.1) 至少有一个非常数解 $v_k$ 使得 $v_k-\lambda^{1/\left(N^*-1\right)}\in \mathcal{S}_k$. 证毕.

考虑方程

由 Obata^[14]、Gidas-Ni-Nirenberg^[10] 和 Caffarelli-Gidas-Spruck^[6] 中的结论, 可知当 $c = 0$ 时, (3.1) 式解的渐进行为以及全局解的分类都得到了明晰的结论. 对于 $c\in \mathbb{R}$, $c\neq 0$ 并且 $n \geq 3$ 的情况, 文献 [12,定理 1.1] 证明了对于任意 $c<-(n-2)/4$, (3.1) 式都有非径向解. 于是这里考虑更为一般的方程 (1.3).

定理 1.2 的证明 设 $v(t, \theta) := {\rm e}^{-\frac{2}{q-1}t}u(r, \theta)$, 其中 $(r, \theta)$ 表示 $\mathbb{R}^n$ 中的极坐标, $0 < r <+\infty$, $\theta\in \mathbb{S}^{n-1}$, $t = -\ln r$. 则通过一些复杂的计算, 我们得出$u$ 是 (1.3) 式的解当且仅当 $v$ 满足方程

如果 $v$ 只取决于 $\theta\in \mathbb{S}^{n-1}$, 得到

利用文献 [12,定理 1.3] 与定理 1.1, 对于任意 $c<[(n-3)(q-1)-4]/(q-1)^2$, (1.3) 式有非径向解. 进一步, 非径向解的大小趋于 $\infty$ 当 $c\rightarrow -\infty$. 证毕.

我们也考虑了关于闭流形 $\left(M^n, g\right)$ 的黎曼乘积, $\left(N^m, h\right)$ 具有常标量曲率 $s_g$, $\left(N^m, h\right)$ 有常标量曲率 $s_h$. 我们用 $W^k:=M\times N$ 上的度量 $g+\delta h$, 其中 $k=m+n$ 且 $\delta\in(0,+\infty)$. 在 Yamabe 闭不变流形的研究中, 此种情况尤为关键. Schoen^[18] 和 Kobayashi^[13] 已经考虑了 $M = S^1$ 的情况. 在文献 [9] 中, 作者得出了乘积流形上 Yamabe 方程的局部分歧结论. 具体的, 如果 $s_g$, $s_h$ 均为正, 作者证明了存在一个从 $0$ 到 $+\infty$ 的可列集 $\Lambda\subset(0,+\infty)$ 使得对于任意 $\delta\in \Lambda$, 存在一个源自平凡点 $\delta$ 的局部非平凡分歧. 其他相近的结论在文献 [2,3,15] 中得到了讨论.

由文献 [16], 定义在 $M$ 上的正函数是 $(g+\delta h)$-Yamabe 方程的解当且仅当其满足

令

则通过基本计算, 可得等价方程

由于 $(k+2)/(k-2)<(n+2)/(n-2)$, 运用文献 [12,定理 1.3] 可得以下结论.

推论 4.1 假设 $M$ 是 $n$ 维单位球面, $n\geq2$, $s_g<n(k-2)/4$ 且 $s_h>0$. 设

对于任意 $i\geq1$. 对于任意 $\delta>\delta_k^{(1)}$, 方程 (4.1) 至少有一个非常数解 $u_i$ 使得 $v_i-\lambda^{1/(k^*-1)}$ 正好有 $i$ 个零解, 均在 $(-1,1)$ 中, 且为单根.

Yamabe 问题中, 流形 $\left(M^n, g\right)$ 与 $\left(N^m, h\right)$ 是对称的. 因此, $N$ 上定义的正函数是 $(\delta h+g)$-Yamabe 方程解等价于它是下式的解

由以上情形, 得出下列等价方程

其中

类似地, 可得

推论 4.2 假设 $N$ 是 $m$ 维单位球面, $m\geq2$, $s_h<n(k-2)/4$ 且 $s_g>0$. 设

对于任意 $i\geq1$. 对于任意 $\delta>\delta_k^{(2)}$, 方程 (4.1) 至少有一个非常数径向解 $u_i$ 使得 $v_i-\mu^{1/(k^*-1)}$ 正好有 $i$ 个零解均在 $(-1,1)$ 中, 且为单根.