在理论与应用中的多种数学物理方程, 如热传导方程、波动方程、Schrödinger 方程、反应扩散方程等均可化为某个函数型 Banach空间$X$中的抽象半线性发展方程

的形式, 其中$A: D(A)\subset X\to X$为$X$中的稠定闭线性算子, $ -A$生成$X$中的 $C_{0}$ -算子半群$T(t)(t\ge 0)$, $\,f:{\Bbb R}\times X\to X$ 为非线性映射. 在这些发展方程中, 周期解的存在性引起了人们的关注, 已被许多学者研究^[1]. 本文假设$f(t,\,x)$ 于$t$以$\omega$为周期, 在一般Banach空间$X$中研究抽象发展方程(1.1) $\omega$ -周期 mild 解的存在性.

对于抽象发展方程(1.1)的周期问题, 其解的存在性已有一些的研究, 参见文献[2⇓⇓⇓⇓-7]. Liu J^[2]在方程(1.1)有有界mild 解的情形下, 获得了周期mild 解的存在性. 文献[3⇓-5]讨论了$X$为有序Banach空间, $T(t)(t\ge 0)$为正$C_0$ -半群的情形. 文献[3-4] 在方程(1.1)具有一对有序的下$\omega$ -解$v_0$与上$\omega$ -解$w_0$的条件下, 应用单调迭代方法获得方程(1.1)在$v_0$与$w_0$之间最大与最小周期 mild 解的存在性. 文献[5]在非线性项 $f$ 满足适当的序不等式条件下, 获得了方程 (1.1) $\omega$ -周期 mild 解的存在性与唯一性结果. 文献[6]研究了$X$ 为 Hilbert 空间, $A$ 为正定自伴算子的情形, 在 $f$ 满足与 $A$ 谱分离的条件下, 获得了方程(1.1) $\omega$ -周期强解的存在性与唯一性结果. 文献[7]在有序Banach空间, 应用正算子半群理论与Leray-Schauder不动点定理获得了方程(1.1)正 $\omega$ -周期 mild 解的存在唯一性.

不同于上述文献涉及的特殊情形, 本文讨论一般 Banach 空间 $X$ 中半线性发展方程 (1.1)$\omega$ -周期 mild 解的存在性. 不失一般性, 我们假设$ -A$生成的 $C_0$ -半群 $T(t)\ (t\ge 0)$ 指数稳定, 即线性算子 $A$ 满足如下假设.

(H1) $-A$ 生成 $X$ 中 $C_{0}$ -半群 $T(t)(t\ge 0)$, 且存在常数$\,M\ge 1$ 及$\,\nu>0$, 使得

否则, 取适当大的常数$\,C$, 方程(1.1)两边同加$Cu(t)$, 以$A_1=A+C\,{\rm I}$代替$A$讨论. 因为$ -A_1$生成$C_0$ -半群$T_1(t)=e^{-Ct}T(t)(t\ge 0)$, 按 $C_0$ -半群 $T(t)$ 的指数有界性, 当 $C>0$ 适当大时, $T_1(t)$ 指数稳定. 因此我们总假设(H1)成立. 此外, 我们总假设非线性项 $f$ 满足

(H2) $f: {\Bbb R}\times X\to X$ 连续, $f(t,\,x)$关于$t$ 以 $\omega$ 为周期.

设$X$为Banach空间, $\,A:D(A)\subset X\to X$为线性算子, $ -A$生成$X$中的$C_{0}$ -算子半群$T(t)(t\geq0)$. 关于 $C_{0}$ -算子半群的有关概念与性质, 参见文献[8]. 记 $X_{1}$为 $D(A)$ 按图像范数 $\|x\|_{1}=\|x\|+\|Ax\|$ 构成的Banach空间, $C_{\omega}({\Bbb R},\,X)$为以$\omega$为周期的$X$ -值连续函数 $u$ 按范数 $\|u\|_{C}=\max\limits_{t\in[\omega]}\|u(t)\|$ 构成的Banach空间, $C_{\omega}^1({\Bbb R}, X)$ 为以 $\omega$为周期的$X$ -值连续可微函数空间.

设$\,h\in C_{\omega}({\Bbb R},\,X)$, 考虑$X$中的线性发展方程

$\omega$ -周期解的存在性. 设算子$A$满足假设(H1), 由Gelfand谱半径公式及(1.2)式

因此, 1为算子 $T(\omega)$的正则值, 从而 ${\rm I}-T(\omega)$ 有有界逆算子 $({\rm I}-T(\omega))^{-1}$, 且

当 $h\in C_{\omega}^1({\Bbb R},\,X)$时, 按算子半群性质^[8], 易验证方程(2.1)存在唯一的$\omega$ -周期解

且该解 $u\in C_{\omega}^1({\Bbb R},\,X)\cap C_{\omega}({\Bbb R},\,X_1)$. 对一般的 $h\in C_\omega({\Bbb R},\,X)$, 由(2.3)式确定的 $u=S h\in C_\omega({\Bbb R},\,X)$, $\,u$ 不一定可微, 是方程 (2.1) 的一种 $\omega$ -周期的广义解, 称为 $\omega$ -周期 mild 解 ^[5]. 按(2.3)式, 线性方程(2.1)的 $\omega$ -周期解算子$S: C_{\omega}({\Bbb R},\,X)\to C_{\omega}({\Bbb R},\,X)$为线性有界算子. 进一步地, 有如下引理.

${\bf引理2.1}$ 设 $A: D(A)\subset X\to X$满足假设(H1), 则线性方程(2.1)的$\omega$ -周期解算子 $S: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 的范数满足: $\|S\|\leq\frac{M}{\nu}$.

${\bf证}$ 对$\;\forall\; h\in C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 及 $\;t\in{\Bbb R}$, 由(2.2)及(2.3)式, 有

因此, $\|Sh\|_C\le\frac{M}{\nu}\|h\|_C$. 故引理结论成立.

设$f: {\Bbb R}\times X\to X$满足(H2). 对非线性方程(1.1), 类似于线性方程(2.1), 若 $u\in C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 满足积分方程

则称 $u$ 为方程(1.1)的 $\omega$ -周期 mild 解. 当$f: {\Bbb R}\times X\to X$为$C^1$ -映射时, 按mild解的正则性^[8], 方程(1.1)的$\omega$ -周期mild解$\,u\in C_{\omega}^1({\Bbb R},\,X)\cap C_{\omega}({\Bbb R},\,X_1)$是古典解. 定义积分算子 $\,Q: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$

则方程(1.1)的 $\omega$ -周期mild解等价于$\,Q\,$的不动点. 我们将对$\,Q\,$应用不动点定理, 来获得方程(1.1) $\omega$ -周期mild解的存在性.

以下, $X$与$C_{\omega}({\Bbb R},\,X)$中有界集的 Kuratowski 非紧性测度均用 $\alpha(\cdot)$ 表示. 对 $B\subset C_{\omega}({\Bbb R},\,X)$ 及 $\,t\in{\Bbb R}$, 记 $B(t)=\{u(t)\;|\;u\in B\}$. 当$B$有界时, $B(t)\subset X$有界, 且$\,\alpha(B(t))\le \alpha(B)$.

引理2.2 设$B\subset C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 为等度连续的有界集, 则$\,\alpha(B(t))\,$在$\,{\Bbb R}\,$上连续, 且 $\alpha(B)=\max\limits_{0\le t\le \omega}\alpha(B(t))$.

该引理参见文献[9,定理1.1.2].

${\bf引理2.3}$$B\subset C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 有界, 则存在$B$的可列子集$B_0$使得: $\alpha(B)\le 2\,\alpha(B_0)$.

引理2.3见文献[引理3].

${\bf引理2.4}$ 设$J=[a,\,b]$为区间, $B=\{u_n\}\subset C(J,\,E)$为可数集, 若存在$\psi\in L^1(J)$使得:

$\|u_n(t)\|\le \psi(t)\;$ a. e. $\;t\in J$, $\;n=1,\,2,\,\cdots$, 则$\alpha(B(t))$在$J$上可积, 且

特别, 当$B$为有界可数集时, 引理2.4的结论成立. 该引理见文献[11,推论3.1(b)].

我们讨论发展方程(1.1)周期mild解的存在性. 对$C_0$ -半群 $T(t)(t\ge 0)$, 若$t>0$时, $T(t)$为$X$中的紧算子, 则称其为紧半群. 首先, 对紧半群情形, 有如下的存在性结果.

${\bf定理3.1}$ 设 $A: D(A)\subset X\to X$满足(H1), 且$ -A$ 生成 $C_0$ -半群$T(t)(t\geq0)$为紧半群, $f: {\Bbb R}\times X\to X$ 满足 (H2) 及下列增长条件

(H3) 存在常数 $C_{0}\ge 0$及 $0\le C_1<\frac{\nu}{M}$, 使得

则发展方程 (1.1) 至少有一个 $\omega$ -周期mild解.

${\bf证}$ 要证由(2.4)式定义的积分算子$\,Q: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$存在不动点. 对$\forall\; u\in C_\omega({\Bbb R},\,X)$, 令

则按假设(H2), 易证$F: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$连续, 且由条件(H3), 有

按定义(2.4), $Q$为线性方程(2.1)的$\omega$ -周期解算子 $S$与$F$ 的复合,

因此, $\,Q: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$连续. 取正数

及$C_{\omega}({\Bbb R},\,X)$中的有界凸闭集

则对 $\;\forall\;u\in \Omega_0$, 由引理 2.1及(3.2)式, 有

因此, $Q(\Omega_0)\subset \Omega_0$. 下证 $Q(\Omega_0)$为$C_\omega({\Bbb R},\,X)$中的相对紧集.

先证$\,Q(\Omega_0)\,$为等度连续集. 对$\;\forall u\in \Omega_0$及 $t_1,\;t_2\in{\Bbb R}$, 不妨设 $t_1\le t_2$, $t_2-t_1<\omega$, 按(2.4)与(3.1)式有

我们分别估计$\|J_1\|$, $\|J_2\|$, $\|J_3\|$. 记 $\,M_0=\|({\rm I}-T(\omega))^{-1}\|$, 对$J_1$与$J_2$, 由(1.2)与(3.2)式, 有

按紧半群的性质, $T(t)(t\ge 0)$也是等度连续半群^[8], 即当$\,t>0\,$时, $T(t)$按算子范数连续. 对$J_3$, 利用$T(t)$在$(0,\,+\infty)$上按算子范数的连续性及积分的Lebesgue有界收敛定理, 有

因此, 与 $u\in \Omega_0$ 无关, 有

故$\,Q(\Omega_0)\,$等度连续.

再证明, 对于 $\,\forall\;t\in {\Bbb R}$, $\,Q(\Omega_0)(t)\,$在$X$ 中相对紧. 对$\delta>0$, 作算子 $\,Q_\delta: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$

因为$Q_\delta(\Omega_0)(t)=T(\delta)(Q(\Omega_0)(t))$, 按$Q(\Omega_0)(t)$的有界性及$T(\delta)$的紧性, $Q_\delta(\Omega_0)(t)$在$X$中相对紧. 另一方面, 对$\;\forall\;u\in \Omega_0\,$及$\,t\in{\Bbb R}$, 由(2.4)式、(3.5)式及$T(t)$在$(0,\,+\infty)$上按算子范数的连续性, 并用积分的Lebesgue有界收敛定理, 得

因此, 对$\;\forall\;\varepsilon>0$, 当$\delta$充分小时, 有 $\|Q_\delta u(t)-Qu(t)\|<\varepsilon$. 即$\,Q_\delta(\Omega_0)(t)$为$Q(\Omega_0)(t)$的相对紧的$\varepsilon$ -网. 因此, $Q(\Omega_0)(t)$为$X$中的完全有界, 从而相对紧.

综上所证, $Q(\Omega_0)$是$C_\omega({\Bbb R},\,X)$中逐点相对紧的等度连续集. 按照 Arzela-Ascoli定理, $Q(\Omega_0)$相对紧. 因此, 由 Schauder 不动点定理, $\,Q$ 在 $\Omega_0$ 中有不动点$u_0$, 该不动点为发展方程(1.1)的$\omega$ -周期 mild 解. 证毕.

我们再考察非紧半群的情形. 对$C_0$ -半群$T(t)(t\ge 0)$, 若$T(t)$在$(0,\,+\infty)$上按算子范数连续, 则称其为等度连续半群. 熟知, 紧半群是等度连续半群. 对等度连续半群情形, 有如下存在性结果.

${\bf定理3.2}$ 设 $A: D(A)\subset X\to X$满足(H1), 且$ -A$ 生成 $C_0$ 半群$T(t)(t\geq0)$为等度连续半群, $f: {\Bbb R}\times X\to X$ 满足 (H2)与(H3) 及下列非紧性测度条件

(H4) 存在常数 $0\le L<\frac{\nu}{4M}$, 使得对任意有界的$D\subset X$, 有

则发展方程 (1.1) 至少有一个 $\omega$ -周期 mild 解.

${\bf证}$ 设$\,Q: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$为(2.4)式定义的积分算子, $\Omega_0\subset C_\omega({\Bbb R},\,X)$为由(3.4)式定义的有界凸闭集, 则由定理3.1的证明, $Q(\Omega_0)\subset \Omega_0$, 且 $\,Q(\Omega_0)$ 等度连续. 下证 $\,Q: \Omega_0\to \Omega_0$为凝聚映射.

任取 $\;B\subset \Omega_0$, 我们估计$\alpha(Q(B))$. 对$Q(B)$应用引理2.3知, 存在可数子集$B_0=\{\,u_n\;|\;n=1,\,2,\,\cdots\,\}\subset B$, 使得

由$Q(\Omega_0)$的等度连续性, $Q(B_0)\subset Q(\Omega_0)$等度连续. 因此, 由引理2.2,有

对$\;\forall\;t\in [\omega]$及$s\in [t-\omega,\,t]$, 由(2.2)式及假设(H1), 有

因此, 由引理2.4及假设(H4), 有

因此, 有

于是, 由(3.6)$\mbox{、}$ (3.7)及上式, 有

因为$\frac{4ML}{\nu}<1$, 故 $Q: \Omega_0\to \Omega_0$为凝聚映射. 因此, 由Sadovskii不动点定理, $\,Q$ 在 $\Omega_0$ 中有不动点, 其不动点为发展方程(1.1)的$\omega$ -周期 mild 解. 证毕.

在定理3.2中, 若$f(t,\,x)$在$[\omega]\times X$的有界集上一致连续, 则(H4)中的$L< \frac{\nu}{4M}$可放宽为$L<\frac{\nu}{M}$.

${\bf定理3.3}$ 设 $A: D(A)\subset X\to X$满足(H1), 且$ -A$ 生成 $C_0$ 半群$T(t)(t\geq0)$为等度连续半群, $f: {\Bbb R}\times X\to X$ 满足 (H2)与(H3) 及下列条件

(H4)$^*$ 存在常数 $0\le L<\frac{\nu}{M}$, 使得对任意有界的$D\subset X$, $f(t,\,x)$在$[\omega]\times D$上一致连续, 且

则发展方程 (1.1) 至少有一个 $\omega$ -周期 mild 解.

${\bf证}$ 设$\Omega_0\subset C_\omega({\Bbb R},\,X)$为由(3.4) 式定义的有界凸闭集. 按定理3.1的证明, $Q(\Omega_0)\subset \Omega_0$, $\,Q(\Omega_0)$ 等度连续. 由$\,Q(\Omega_0)$ 的等度连续性, 易证其的凸闭包

等度连续. 按$\Omega_1$的定义, $\,Q(\Omega_1)\subset Q(\Omega_0)\subset \Omega_1$.下证 $\,Q: \Omega_1\to \Omega_1$为凝聚映射.

对$\;\forall\;B\subset \Omega_1$, 由$\Omega_1$的等度连续性, $B$等度连续. 由$f(t,\,x)$的一致连续性, 易证 $F(B)$等度连续. 因此, 由引理2.2及假设(H4)$^*$, 有

因此, 有

因此, $\, A:\Omega_1\to \Omega_1$为凝聚映射. 由 Sadovskii 不动点定理, $\,Q$ 在 $\Omega_1$ 中有不动点, 其不动点为发展方程(1.1)的$\omega$ -周期 mild 解. 证毕.

对一般$C_0$ -半群的情形, 我们有如下存在性唯一性结果.

${\bf定理3.4}$ 设 $A: D(A)\subset X\to X$满足(H1), $f: {\Bbb R}\times X\to X$ 满足(H2)及下列 Lipschitz 条件

(H5) 存在常数 $0< L<\frac{\nu}{M}$, 使得

则半线性发展方程(1.1)存在唯一$\,\omega$ -周期 mild 解.

${\bf证}$ 我们证明$\,Q: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 存在唯一不动点. 对$\;\forall\;u_1,\,u_2\in C_{\omega}({\Bbb R},\,X)$及$\,t\in {\Bbb R}$, 由(3.1)式及条件(H5), 有

因此

故由引理 2.1, 有

因为 $\frac{ML}{\nu}<1$, 故$\,Q: C_\omega({\Bbb R},\,X)\to C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 为压缩映射. 因此, $\,Q$在$C_\omega({\Bbb R},\,X)$ 中有唯一不动点, 该不动点为发展方程(1.1)唯一的$\omega$ -周期 mild 解. 证毕.

在上述定理中, 从定理3.1到定理3.4, 算子半群$T(t)(t\ge 0)$的条件逐步减弱, 而非线性项的条件逐步加强. 容易看出: (H5)$\,\Longrightarrow\,$(H3), (H4).

${\bf 例1}$ 抛物型偏微分方程的时间周期解.

设$\Omega\subset {\Bbb R}^N$为具有$C^{2+\mu}$ -($0<\mu<1$)光滑边界$\partial\Omega$的有界区域,

为$\Omega$上散度式一致椭圆算子, 其中$D_i=\frac{\partial}{\partial x_i}$, $i=1,\,2,\,\cdots,\,N$, 其系数函数 $a_{ij}\in C^{1+\mu}(\overline{\Omega})$$(i,\,j=1,2,\cdots,N)$, $a_{0}\in C^{\mu}(\overline{\Omega})$, 且$a_0\ge 0$. 考虑抛物型偏微分方程

时间周期解的存在性, 其中$g\in C(\overline{\Omega}\times{\Bbb R}^2)$为非线性项.

${\bf定理4.1}$ 设$g\in C^1(\overline{\Omega}\times{\Bbb R}^2)$, $\,g(x,\,t,\,\xi)$关于$t$ 以 $\omega$ 为周期. 若$g$满足条件

其中$\lambda_1>0$为椭圆算子 $A(x,\,D)$ 在零边界条件 $u\,|_{\partial\,\Omega}=0$下的第一特征值, 则半线性抛物方程(4.1)至少存在一个时间$\omega$ -周期解 $u\in C^{2,1}(\overline{\Omega}\times{\Bbb R})$.

${\bf证}$ 取$X=L^2(\Omega)$, 则$X$为 Hilbert 空间. 作 $X$ 中的算子 $A$

则$A$为$X$中的正定算子. 因此$ -A+\lambda_1I$是耗散算子, 由Lumer-Phillips定理^[8], $ -A+\lambda_1I$ 生成$X$中压缩$C_0$ -半群$S(t)(t\ge 0)$. 由$S(t)(t\ge 0)$ 的压缩性, $ -A$ 生成的$C_0$ -半群 $T(t)=e^{-\lambda_1t}S(t)$指数稳定, 满足假设(H1), 其中$M=1$, $\nu=\lambda_1$. 根据文献[第七章,定理2.7], $ -A$生成半群$T(t)(t\ge 0)$ 是 $X$ 中的解析半群. 因为 $A$在$L^2(\Omega)$中预解式是紧的, 按$T(t)$的解析性, $T(t)$也是$X$中的紧半群. 定义非线性映射$f: {\Bbb R}\times X\to X$

则抛物型偏微分方程(4.1)化为 $X$ 中的发展方程(1.1). 则由$g$的光滑性及(4.2)式易见, (4.4)式定义的 $f\in C^1({\Bbb R}\times X,\,X)$, 满足条件(H2)与(H3). 按定理3.1, 方程(4.1)存在$\omega$ -周期的$L^2(\Omega)$ -mild 解 ${u}\in C_\omega({\Bbb R},\,X)$. 因为$f: {\Bbb R}\times X\to X$是$C^1$ -映射, 按mild解的正则性, $u\in C_\omega^1({\Bbb R},\,X)\cap C_\omega({\Bbb R},\,X_1)$为方程(4.1)的 $L^2(\Omega)$解. 再按文献[12]中的正则化方法, 可证$u\in C^{2,1}(\overline{\Omega}\times{\Bbb R})$为方程(4.1)的古典解. 证毕.

${\bf例 2}$ 弱阻尼波方程的周期解.

设$\Omega\subset {\Bbb R}^N$为边界$\partial\Omega$光滑的有界区域, $g\in C(\overline{\Omega}\times{\Bbb R}^2)$, $g(x,\,t,\,\xi)$且关于 $t$ 以 $\omega$ 为周期. 考虑 $\Omega$上带零边界条件的弱阻尼波方程

时间周期解的存在性, 其中$0<c<1$为阻尼系数.

${\bf定理4.2}$$g\in C^1(\overline{\Omega}\times{\Bbb R}^2)$, $g(x,\,t,\,\xi)$且关于 $t$ 以 $\omega$ 为周期. 若$g$关于$\xi$的偏导数$g_\xi(x,\,t,\,\xi)$满足

则弱阻尼波方程(4.5)存在唯一的$\omega$ -周期的$L^2(\Omega)$ 解 $\,u\in C_\omega^2({\Bbb R},\, L^2(\Omega))\cap C_\omega^2({\Bbb R},\, H_0^1(\Omega))\cap C_\omega({\Bbb R},\, H^2(\Omega))$.

${\bf证}$ 在方程(4.5)中, 令$v=u_t+\frac{c}{2}u$, 则其化为偏微分方程组

取 Hilbert 空间 ${\Bbb H}=H_0^1(\Omega)\times L^2(\Omega)$, 其内积为

作 ${\Bbb H}$ 中的线性算子 ${\bf A}_{0}$, $\,{\bf A}$

其中, ${\bf I}$为${\Bbb H}$中的单位算子, 定义非线性映射 ${\bf f} : {\Bbb R}\times {\Bbb H}\to {\Bbb H}$

则方程组(4.7)化为${\Bbb H}$中的半线性发展方程

其中 ${\bf u}(t)=(u(t),\,v(t))\in {\Bbb H}$, $t\in {\Bbb R}$.

我们证明${\bf A}$满足假设(H1). 对$\;\forall\;{\bf u}=(u,\,v)\in D({\bf A}_0)$, 因为

故$ -{\bf A}_0$是${\Bbb H}$中的耗散算子, 易证${\bf A}_0$也是满射. 因此, 由Lumer-Phillips定理^[8], $ -{\bf A}_0$ 生成${\Bbb H}$中的压缩$C_0$ -半群${\bf T}_0(t\ge 0)$: 对 $\;\forall\,t\ge 0$, $\|{\bf T}_0(t)\|\le 1$. 因此, $ -{\bf A}=-{\bf A}_{0}-c{\bf I}$ 生成 ${\Bbb H}$ 中的 $C_{0}$ -半群 ${\bf T}(t)=e^{-c\,t}{\bf T}_{0}(t)$. 显然, ${\bf T}(t)$ 满足指数稳定条件(H1), 其中 $M=1,\,\nu=c$.

再证${\bf f} : {\Bbb R}\times {\Bbb H}\to {\Bbb H}$满足对应的条件(H5). 按$g$的光滑性及条件(4.6)易证, ${\bf f} : {\Bbb R}\times {\Bbb H}\to {\Bbb H}$为$C^1$ -映射. 显然, ${\bf f}(t,\,{\bf u})$ 关于$t$以$\omega$周期. 因此, ${\bf f}$满足假设(H2). 令 $\;G_0=\sup\big\{\,|g_\xi(x,\,t,\,\xi)|\;\big|\;(x,\,t,\,\xi)\in\Omega\times{\Bbb R}^2\big\}$, 取常数 $\;L=G_0+{c^2}$. 则由(4.6)式, $L<c=\frac{\nu}{M}$. 对$\;\forall\; {\bf u}_1=(u_1,\,v_1),\,{\bf u}_2=(u_2,\,v_2)$, $t\in{\Bbb R}$, 按${\bf f}$的定义(4.8), 并应用微分中值定理 及(4.6)式, 得

因此 $\,{\bf f}$ 满足条件(H5). 由定理3.4, 发展方程(4.9)存在唯一的$\omega$ -周期 mild 解${\bf u}\in C_\omega({\Bbb R},\,{\Bbb H})$. 由非线性项$f$的光滑性, ${\bf u}\in C^1_{\omega}({\Bbb R},\,{\Bbb H})\cap C_{\omega}({\Bbb R},\,{\Bbb H}_1)$为方程(4.9)的古典解. 因此其第一分量

是方程(4.5)唯一的时间$\omega$ -周期的$L^2(\Omega)$解. 证毕.