一类与 Klein-Gordon-Maxwell 问题有关的方程组的基态解的存在性
The Existence of Ground State Solutions for a Class of Equations Related to Klein-Gordon-Maxwell Systems
Received: 2021-05-18 Revised: 2022-01-10
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该文利用临界点理论、变分法以及集中紧性原理等理论方法, 研究如下一类非线性方程组的基态解的存在性.
其中
关键词:
In this paper, we will study the existence of ground state solutions for a class of nonlinear equations by using the theory of compactness of concentration, variational method and critical point theory.
where
If
Keywords:
本文引用格式
李易娴, 张正杰.
Li Yixian, Zhang Zhengjie.
1 引言
考虑以下非线性 Klein-Gordon 方程
并联立方程
其中
其中
方程组(1.3)称为 Klein-Gordon-Maxwell 方程组,研究方程组(1.3)的基态解, 则转化为研究以下泛函
对
(A1)
(A2)
(A3)
定理 1.1 和定理 1.2 是本文研究得到的主要结论.
2 准备工作
本节中, 我们先给出一些标记.
在
考虑直接找泛函
有唯一解
则由以上定义在
其中
参考线性方程解的性质, 可得以下引理成立.
(i)
(ii)
(iii) 对任意的
综上, 对(2.1)式左右同乘
由引理 2.1 可用
(i)
(ii) 已知
又
(iii) 记
由于
其次假设
综上变分泛函(2.3)具有山路引理几何结构.
3 主要定理的证明
本节中, 我们对
(1)假设
则方程的系数全为常数,类似于文献[9-10],我们可以在球对称空间
其中 \Gamma=\left\{g \in \mathcal{C}\left([0,1], H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right) \mid g(0)=0, I(g(1))=I(e) \leq 0, g(1)=e\right\}
运用山路引理可证上述极大极小可达,是泛函
是方程组(1.3)的基态解,从而得到了定理 1.1 的证明.
(2)假设
为了证明定理
首先有如下引理.
(ii) 存在
(iii)
因此, 我们的目标是找到
引理 3.3 的证明参考文献 [6,引理2.4].
由引理 3.3 与引理 2.2 的 (ii),有
又
引理 3.5 的证明参考文献 [12,定理3.21].
定义
取
为了证明定理 1.2, 我们考虑
定义函数
若
若(3.1)式满足, 则有
可知
为了证明
则由(3.1)式可知,
消失性: 对任给的
二分性: 存在一个常数
紧性: 在
(i) 消失性不成立.
假设成立, 即对任给的
由文献[4,引理I.1]可知在
矛盾.
(ii) 二分性不成立.
假设成立, 即存在一个常数
记
若记
也即
由 Sobolev 嵌入定理, 当
考虑
其中
由已知在
所以
可得, 当
则
考虑
由已知在
所以
由引理2.1与2.2, 存在同构
由于
由于
则
其中
则有
由(3.4)-(3.6)式可知
综上可有
对任意的
由引理 3.5, 任意的 n\geq1, 存在 \theta_{n}\in{\Bbb R} ^{+}, 使得 \{(u_{1n})_{\theta_{n}}\}_{n}\subset{\cal N}, 则有
下面将在三种情形下对(3.7)式进行讨论.
由
证毕.
因此, 在
综上所述, 消失性与二分性均不成立.
因此
由
由(3.9)式成立, 且
由(3.2)式与(3.11)式, 令
其中
其中
并且对任意的
当
由(3.2), (3.12), (3.14)式可推出
最后, 由(3.2), (3.13), (3.14)式可知
因此可知,
参考文献
Solitons and the electromagnetic field
DOI:10.1007/PL00004759 URL [本文引用: 1]
Layered solutions for a semilinear elliptic system in a ball
DOI:10.1016/j.jde.2005.12.009 URL
The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations
The concentration-compactness principle in the Calculus of Variations
Nonradial solutions for the Klein-Gordon-Maxwell equations
On a "zero mass" nonlinear Schrödinger equation
DOI:10.1515/ans-2007-0406
URL
[本文引用: 2]
We look for positive solutions to the nonlinear Schrödinger equation
Ground state solutions for quasilinear scalar field equations arising in nonlinear optics
DOI:10.1007/s00030-020-00664-6
On a class of nonlinear Schrödinger equations
The Schrödinger-Poisson equation under the effect of a nonlinear local term
DOI:10.1016/j.jfa.2006.04.005 URL [本文引用: 2]
Semiclassical states for coupled Schrödinger-Maxwell equations: concentration around a sphere
DOI:10.1142/S0218202505003939
URL
[本文引用: 2]
In this paper we study a coupled nonlinear Schrödinger–Maxwell system of equations. In this framework, we are concerned with the existence of semiclassical states. We use a perturbation scheme in a variational setting in order to study the concentration of the solutions when the Planck constant is supposed to be small enough.
Sign-changing solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson system in
A multiplicity results for the nonhomogeneous Klein-Gordon-Maxwell system in rotationally symmetric bounded domain
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