考虑以下非线性 Klein-Gordon 方程

并联立方程

其中 $\psi=\psi(x, t)\in{\cal C}(x\in{\Bbb R}^{3}, t\in{\Bbb R} )$, $A$ 与 $\phi$ 均为 ${\Bbb R}^{3}$ 上的实函数且分别表示强制位势与电势, $m_{0}>0$ 为质量, $\lambda>0$, $p>2$ 为实常数.对于问题(1.1)与(1.2), 我们寻找驻波解 $\psi(x, t)=u(x)e^{i\omega t}$, 其中 $u(x)$ ($x\in{\Bbb R}^{3}$) 为实函数且 $\omega>0$ 表示频率，则得到以下方程组

其中 $u\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, $\phi\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 同时 $\lambda$, $m=m_{0}^{2}+\omega^{2}$ 与 $\omega$ 均为正常数.

方程组(1.3)称为 Klein-Gordon-Maxwell 方程组,研究方程组(1.3)的基态解, 则转化为研究以下泛函 $F(u, \phi)$ 的临界点

研究泛函 $F(u, \phi)$ 临界点的存在性主要会遇到以下两个难点: 第一是由于泛函 $F$ 表现出强不定性, 即它在无限维子空间中是无界的; 第二是区域 ${\Bbb R}^{3}$ 的无界性导致的 Sobolev 空间嵌入缺乏紧性. 为了克服这些困难, 我们将引用文献[1] 中的约简方法对 $F$ 进行适当变换, 运用P. L. Lions^[3-4]的集中紧性原理, 证明了方程组(1.3)基态解的存在性.

对 $A(x)$ 分两种情况分析: 首先, 我们先假设 $A(x)$ 是一个正常数. 事实上, $A(x)$ 若为球对称函数时与 $A(x)$ 是常值函数类似.我们运用球对称空间 $H^{1}_{r}({\Bbb R}^{3})$ 中 Sobolev 嵌入具有紧性,从而可以证明极小能量解的存在. 其次, 当 $A(x)$ 为一般非球对称函数时, 基于Rabinowitz^[12]提出的条件假设, 我们在 Nihari 流形上研究 $I(u)$ 的极值问题得到了相应的存在性结果.

${\bf定理1.1}$ 若 $A(x)$ 为正常数, 则方程组(1.3)对任意 $p\in(4,6)$ 都有基态解.

${\bf定理1.2}$ 假设 $A(x)$ 满足以下条件

(A1) $A(x)\in{\cal C}({\Bbb R}^{3}, {\Bbb R} )$,

(A2) $0<C_{1}\leq A(x)\leq C_{2}$, $\forall x\in{\Bbb R}^{3}$,

(A3) $A_{\infty}:=\limsup\limits_{|y|\rightarrow\infty}A(y)\leq A(x)$, $\forall x\in{\Bbb R}^{3}$, 并且存在 $x\in{\Bbb R}^{3}$ 使严格不等式成立.若 $A(x)$ 满足条件 (A1)-(A3), 那么方程组(1.3)对任意 $p\in(4,6)$ 都有基态解.

定理 1.1 和定理 1.2 是本文研究得到的主要结论.

本节中, 我们先给出一些标记.

$L^{s}({\Bbb R}^{3})$ ($1\leq s<+\infty$)是通常被赋予以下范数的 Lebesgue 空间

$H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 是通常被赋予以下范数的 Sobolev 空间

在 ${\Bbb R}^{3}$ 上对函数 $f(x)$ 积分可简写为

$C$, $C^{'}$, $C_{i}$, $i=0, 1, 2, 3,\cdots$ 均为正常数;$o_{n}(1)$ 表示当 $n\rightarrow \infty$ 时, $o_{n}(1)=0$.

考虑直接找泛函 $F(u,\phi)$ 的临界点有一定的困难, 因为它依赖于两个变量函数且具有强不定性. 因此,我们需要进行适当的变换, 为此引入如下的引理.

${\bf引理2.1}$ 对给定的 $u\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 且 $\lambda>0$, $\omega>0$, 方程组(1.3)的第二个方程

有唯一解 $\phi_{u}\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$.

${\bf证}$ 定义 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 中的双线性型$a(\phi,\psi)=\int\nabla\phi\nabla\psi+\lambda\phi\psi$显然有 $a(\phi,\phi)\geq C_{1}\|\phi\|^{2}$. 又由于 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 连续嵌入于 $L^{6}({\Bbb R}^{3})$, 且由 Hölder 不等式,

则由以上定义在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 中的双线性型是 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 中的标准内积. 此外, 由于 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 连续嵌入于 $L^{6}({\Bbb R}^{3})$, 则有 $u^{2}\in L^{1}({\Bbb R}^{3})\cap L^{3}({\Bbb R}^{3})$. 由内插不等式, 可得 $u^{2}\in L^{\frac{6}{5}}({\Bbb R}^{3}).$ 又由 $L^{\frac{6}{5}}({\Bbb R}^{3})$ 连续嵌入于 $H^{-1}$, 即有 $u^{2}\in H^{-1}$. 由 Lax-Milgram 引理, 存在一个唯一的 $\phi_{u}\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 使得

其中 $\psi\in H^{1}$ 是任意的, 即 $\phi_{u}$ 是(2.1)式的唯一解.证毕.

参考线性方程解的性质, 可得以下引理成立.

${\bf引理2.2}$ 方程(2.1)的解 $\phi_{u}$ 具有以下性质

(i) $\phi_{u}\geq0$.

(ii) $\|\phi_{u}\|\leq C\| u\|^{2}$, 其中 $C$ 为正常数. 且存在 $C^{'}>0$, 使得

(iii) 对任意的 $ t>0:$$\phi_{tu}=t^{2}\phi_{u}.$

综上, 对(2.1)式左右同乘 $\phi$ 并积分, 则有

由引理 2.1 可用 $\phi_{u}$ 取代(1.4)式中的 $\phi$, 并运用(2.2)式可得

${\bf引理2.3}$ 变分泛函(2.3)具有山路引理几何结构. 其中 $u\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, $4<p<6$, $m$ 与$\omega$ 均为正常数. 考虑 $A(x)$ 或为正常数或为满足条件 (A1)-(A3) 的函数.

${\bf证}$ 首先假设 $A(x)$ 为正常数时, 记 $A(x)\equiv 1$, 则有

(i) $I(0)=0$;

(ii) 已知 $u\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 由 Sobolev 嵌入定理

又 $4<p<6$, 可知存在 $u\in H^{1}({\Bbb R}^{3})\backslash\{0\}$, 使得 $\|u\|=\rho$ 充分小时, 有 $I(u)\big|_{\|u\|=\rho}\geq\alpha>0$;

(iii) 记 $v_{t}(x)=t^{2}u(x)\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 代入泛函(2.3)中, 且由引理2.2的 (iii) 可知

由于 $p>4$ 时, 当 $t\rightarrow+\infty$, 则有 $I(u)=I(v_{t})\rightarrow -\infty$.

其次假设 $A(x)$ 满足条件 (A1)-(A3) 时, 考虑到对任意的 $x\in{\Bbb R}^{3}$, $0<C_{4}\leq A(x)\leq C_{5}$, 可重复 $A(x)\equiv1$ 时的证明, 同理可得.

综上变分泛函(2.3)具有山路引理几何结构.

本节中, 我们对 $A(x)$ 分类讨论,并证明 $I(u)$ 临界点的存在性,相应得到问题解的存在性结果.

(1)假设 $A(x)$ 是一个正常数, 在不失一般性的情况下, 不妨设 $A(x)=1.$

则方程的系数全为常数,类似于文献[9-10],我们可以在球对称空间$H^{1}_{r}(R^3)$ 中研究方程组解的存在性,从而转化为在球对称空间中研究相应变分泛函的临界点的存在性.由于球对称空间中相应的Sobolev 嵌入具有紧性,则类似于文献[4,9-10,12] 可以证明对应的变分泛函$I(u)$ 满足 $(PS)$ 条件,又由引理2.3知泛函 $I(u)$ 具有山路引理的几何结构, 可以定义一个新的映射 $\theta:H^{1}_r({\Bbb R}^{3})\backslash\{0\}\rightarrow{\Bbb R} ^{+}$, 使得对任意的 $u\in H^{1}_r({\Bbb R}^{3})\backslash\{0\}$, 有 $I(u_{\theta(u)})=\max\limits_{\theta\geq0}I(u_{\theta})$. 记

其中 $\Gamma=\left\{g \in \mathcal{C}\left([0,1], H^{1}\left(\mathbb{R}^{3}\right)\right) \mid g(0)=0, I(g(1))=I(e) \leq 0, g(1)=e\right\}$

运用山路引理可证上述极大极小可达,是泛函$I(u)$的临界值,对应的达到函数为 $\bar{u}$, 即 $I(\bar{u})=c$. 因此 $(\bar{u},\phi_{\bar{u}})$

是方程组(1.3)的基态解,从而得到了定理 1.1 的证明.

(2)假设 $A(x)$ 满足条件 (A1)-(A3), 且 $p\in(4,6)$.

为了证明定理 $1.2$, 我们研究问题所对应泛函 $I(u)$ 在 Nehari 流形 ${\cal N}$ 上的极值. 其中

首先有如下引理.

${\bf引理3.1}$ (i) 对任给的 $u\neq0$, 存在唯一的 $\bar{t}\in{\Bbb R} ^{+}$, 使得 $\bar{t}u\in{\cal N}$ 且 $I(\bar{t}u)=\max\limits_{t\geq0}I(tu)$;

(ii) 存在 $C\in{\Bbb R} ^{+}$, 使得任意的 $u\in{\cal N}$, 有 $\|u\|_{p}\geq C$;

(iii) ${\cal N}$ 是 $I$ 的一个自然限制, 意味着 $I\mid_{{\cal N}}$ 的临界点也是 $I$ 的临界点.

${\bf引理3.2}$ 定义 $c_{A}:=\inf\limits_{u\in{\cal N}}I(u)$, 则有 $c_{A}=\inf\limits_{g\in\Gamma}\max\limits_{t\in[0,1]}I\big(g(t)\big)=\inf\limits_{u\neq0}\max\limits_{t\geq0}I(tu) $.

引理 $3.1\mbox{、}$ 3.2 的证明类似于以前研究半线性椭圆型方程解的存在性方法,参考文献[3-4,6].

因此, 我们的目标是找到 $\bar{u}\in{\cal N}$ 使得 $I(\bar{u})=c_{A}$, 从而得出$(\bar{u},\phi_{\bar{u}})$ 是方程组(1.3)的基态解. 接下来为了解决紧性问题, 我们先给出一些引理.

${\bf引理3.3}$ 令 $\{u_{n}\}\subset H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 使得 $\|u_{n}\|\geq c> 0$, 且 $\max\limits_{t\geq 0}I(tu_{n})\leq c_{A}+\delta_{n}$, 其中 $\delta_{n}\rightarrow 0^{+}$. 则存在序列 $\{y_{n}\}_{n}\subset{\Bbb R}^{3}$ 与两正常数 $R$, $\mu> 0$, 使得 $\mathop{\liminf}\limits_{n}\int_{B_{R}(y_{n})}|u_{n}|^{2}{\rm d}x> \mu$.

引理 3.3 的证明参考文献 [6,引理2.4].

${\bf引理3.4}$ 令 $\{u_{n}\}_{n}\subset H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 使得 $\|u_{n}\|=1$, 且 $I\big(t(u_{n})u_{n}\big)=\max\limits_{t\geq 0}I(tu_{n})\rightarrow c_{A}$, $n\rightarrow\infty$. 则序列 $\{t(u_{n})\}_{n}\subset{\Bbb R} ^{+}$ 有有界子列.

${\bf证}$ 若一个子列满足对任意的 $n\geq1$, $t(u_{n})\leq1$, 则结论已成立. 不妨假设 $t(u_{n})>1$, 则由 $I\big(t(u_{n})u_{n}\big)\rightarrow c_{A}$ 与引理3.2可知 $\{t(u_{n})u_{n}\}_{n}\subset{\cal N}$, 记 $t(u_{n})=t_{n}$, 则有

由引理 3.3 与引理 2.2 的 (ii),有

又 $p\in(4,6)$, 则 $\{t_{n}\}_{n}$ 有界. 证毕.

${\bf引理3.5}$ 假设 $A(x)$, $A_{n}(x)$ 满足条件 (A1)-(A2). 对任意的 $n\geq1$, 若在 $L^{\infty}({\Bbb R}^{3})$ 内 $A_{n}(x)\rightarrow A(x)$, 则有 $c_{A_{n}}\rightarrow c_{A}$.

引理 3.5 的证明参考文献 [12,定理3.21].

定义

${\bf引理3.6}$ 若 $A(x)$ 满足条件 (A1)-(A3), 可得 $c_{A}<c_{\infty}$.

${\bf证}$ 由定理1.1, 存在 $(\bar{u},\phi_{\bar{u}})\in H^{1}({\Bbb R}^{3})\times H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 是以下方程组的解.

取 $t(\bar{u})>0$, 使得 $t(\bar{u})\bar{u}\in{\cal N}$. 则由 (A3) 可得

为了证明定理 1.2, 我们考虑 $\{u_{n}\}_{n}\subset{\cal N}$, 使得

定义函数 $J:H^{1}({\Bbb R}^{3})\rightarrow{\Bbb R} $

若 $u\in{\cal N}$, 由引理 2.2 的 (i), 有 $J(u)\geq 0$, 且 $I(u)=I(u)-\frac{1}{p}\tilde{G}(u)=J(u)$.

若(3.1)式满足, 则有

可知 $\{u_{n}\}_{n}\subset{\cal N}$ 在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 内有界, 则存在有 $\{u_{n}\}_{n}$ 的子列(不妨仍记 $\{u_{n}\}_{n})$, 以及 $\bar{u}\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 使得

为了证明 $u_{n}$ 在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 中强收敛, 我们将运用集中紧性原理. 对任意给定的 $u_{n}\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 定义测度

则由(3.1)式可知, $\upsilon_{n}({\Bbb R}^{3})=J(u_{n})\rightarrow c_{A}$. 由 P. L. Lions^[4], 有以下三种可能性.

消失性: 对任给的 $r>0$, $\lim\limits_{n}\mathop{\sup}\limits_{\xi\in{\Bbb R}^{3}}\int_{B_{r}(\xi)}{\rm d}\upsilon_{n}=0$.

二分性: 存在一个常数 $\tilde{c}\in(0, c)$, 两个序列 $\{\xi_{n}\}_{n}$ 和 $\{r_{n}\}_{n}$, 其中当 $n\rightarrow\infty$时 $r_{n}\rightarrow+\infty$, 且有两个非负测度 $\upsilon_{n}^{1}$ 和 $\upsilon_{n}^{2}$, 使得

紧性: 在 ${\Bbb R}^{3}$ 中存在一个具有以下性质的序列 $\{\xi_{n}\}_{n}$: 任给 $\delta>0$, 存在 $r=r(\delta)>0$, 使得 $\int_{B_{r}(\xi_{n})}{\rm d}\upsilon_{n}\geq c-\delta$.

(i) 消失性不成立.

假设成立, 即对任给的 $r>0$, $\lim\limits_{n}\mathop{\sup}\limits_{\xi\in{\Bbb R}^{3}}\int_{B_{r}(\xi)}{\rm d}\upsilon_{n}=0$. 特别地, 存在 $\bar{r}>0$ 使得

由文献[4,引理I.1]可知在 $L^{s}({\Bbb R}^{3})$ 内 $u_{n}\rightarrow0$, 其中 $2<s<6$. 由 $u_{n}\in{\cal N}$, 则

矛盾.

(ii) 二分性不成立.

假设成立, 即存在一个常数 $\tilde{c}_{A}\in(0, c_{A})$, 两个序列 $\{\xi_{n}\}_{n}$ 和 $\{r_{n}\}_{n}$, 其中 $r_{n}\rightarrow+\infty$$ (n\rightarrow\infty)$, 且有两个非负测度 $\upsilon_{n}^{1}$ 和 $\upsilon_{n}^{2}$, 使得

记 $u_{1n}:=\rho_{n}u_{n}$, $u_{2n}:=(1-\rho_{n})u_{n}$, 使得 $u_{n}=u_{1n}+u_{2n}$, 其中 $\rho_{n}\in{\cal C}^{1}({\Bbb R}^{3})$, 满足在 $B_{r_{n}}(\xi_{n})$ 内 $\rho_{n}\equiv1$, 在 ${\Bbb R}^{3}\backslash B_{2r_{n}}(\xi_{n})$ 内 $\rho_{n}\equiv0$, $0\leq\rho_{n}\leq1$ 且 $|\nabla\rho_{n}|\leq\frac{2}{r_{n}}$. 则有

若记 $\Omega_{n}:=B_{2r_{n}}(\xi_{n})\backslash B_{r_{n}}(\xi_{n})$, 则有

也即 $\upsilon_{n}(\Omega_{n})\rightarrow 0$. 因此当 $n\rightarrow\infty$ 时, 可得

由 Sobolev 嵌入定理, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, 可得

考虑

其中

由已知在 $\Omega_{n}$ 上 $0\leq\rho_{n}\leq1$, $|\nabla\rho_{n}|\leq\frac{2}{r_{n}}$, 且 $r_{n}\rightarrow+\infty\ (n\rightarrow\infty)$, 则

所以

可得, 当 $n\rightarrow\infty$ 时

则

考虑

由已知在 $\Omega_{n}$ 上, $0\leq\rho_{n}\leq1$, 则 $\int_{\Omega_{n}}\rho_{n}^{m}(1-\rho_{n})^{p-m}|u_{n}|^{p}\leq\int_{\Omega_{n}}|u_{n}|^{p}\rightarrow0$, 所以

所以

由引理2.1与2.2, 存在同构 $L:H^{1}({\Bbb R}^{3})\rightarrow H^{-1}({\Bbb R}^{3})$, 满足 $<L\phi,\psi>=\int\{\nabla\phi\nabla\psi+\lambda\phi\psi\}$, 其中 $\phi$, $\psi\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$. 由 $u^{2}\in H^{1}({\Bbb R}^{3})$, 则有唯一 $\phi_{u}$, 使得 $L\phi_{u}=\omega u^{2}$, 也即 $\phi_{u}=L^{-1}(\omega u^{2})=\omega L^{-1}u^{2}$, 则有

由于$\rho_{n}(1-\rho_{n})u_{n}^{2}\geq 0$, 则 $L^{-1}\big(\rho_{n}(1-\rho_{n})u_{n}^{2}\big)\geq 0$. 则有

由于

则

其中 $0\leq\rho_{n}\leq1$, 所以 $0\leq2\rho_{n}(1-\rho_{n})\leq2\times\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$, 则

则有

由(3.4)-(3.6)式可知

综上可有

对任意的 $u_{n}\in{\cal N}$, $\tilde{G}(u_{n})=0$. 同理由(3.4)-(3.6)式可知

由引理 $3.5$, 任意的 $n\geq1$, 存在 $\theta_{n}\in{\Bbb R} ^{+}$, 使得 $\{(u_{1n})_{\theta_{n}}\}_{n}\subset{\cal N}$, 则有

下面将在三种情形下对(3.7)式进行讨论.

${\bf情形1}$$\tilde{G}(u_{1n})\leq0$ 不成立.

${\bf 证}$ 假设成立. 将 $\theta_{n}^{2p-4}\tilde{G}(u_{1n})\leq0$ 与(3.8)式相减, 得

由 $\theta_{n}\in{\Bbb R} ^{+}$ 且 $p>4$, 可得 $0<\theta_{n}\leq1$. 因此, 任给 $n\geq1$, 有矛盾

证毕.

${\bf 情形2}$$\tilde{G}(u_{2n})\leq0$ 不成立.

${\bf 证}$ 与情形$1$同理可证. 证毕.

${\bf 情形3}$$\tilde{G}(u_{1n})>0$ 且 $\tilde{G}(u_{2n})>0$ 也不成立.

${\bf 证}$ 假设成立. 由(3.7)式, 可记 $\tilde{G}(u_{1n})=o_{n}(1)$, $\tilde{G}(u_{2n})=o_{n}(1)$. 若 $\theta_{n}\leq1+o_{n}(1)$, 可重复情形$1$的证明过程. 所以不妨假设 $\lim\limits_{n}\theta_{n}=\theta_{0}>1$. 由(3.8)式, 则有

因此, 在 $H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 内 $u_{1n}\rightarrow0$, 与 $J(u_{1n})\rightarrow\tilde{c}_{A}\in(0, c_{A})$ 矛盾. 证毕.

综上所述, 消失性与二分性均不成立.

${\bf定理 1.2的证明}$ 记 $\{u_{n}\}_{n}\subset{\cal M}$, 且(3.1)式成立, 定义测度 $\{\upsilon_{n}\}_{n}$ 如(3.3)式, 由以上集中紧性原理的证明可知存在 $\{\xi_{n}\}_{n}\subset{\Bbb R}^{3}$ 具有性质: 对任给的 $\delta>0$, 存在 $r=r(\delta)>0$, 使得

${\bf引理3.7}$$\{\xi_{n}\}_{n}\subset{\Bbb R}^{3}$ 有界.

${\bf证}$ 矛盾假设. 假设 $\{\xi_{n}\}_{n}$ 无界, 则存在子列(不妨仍记 $\{\xi_{n}\}_{n}$) 满足 $|\xi_{n}|\rightarrow\infty\ (n\rightarrow\infty)$. 固定 $\hat{A}>A_{\infty}$, 并令 $\hat{I}$ 表示 $\hat{A}$ 替代 $A(x)$ 后的泛函(2.3)中的 $I$. 对任意的 $n\geq1$, 令 $v_{n}=u_{n}(\cdot-\xi_{n})$ 且 $\hat{t}_{n}> 0$, 使得函数 $\hat{t}_{n}v_{n}$ 在泛函 $\hat{I}$ 的 Nehari 流形 $\hat{\cal N}$ 内. 令 $\delta> 0$, $r>0$ 使得(3.9)式成立. 当 $n$ 充分大时, 可得

因此

由 $\{\hat{t}_{n}v_{n}\}_{n}\subset\hat{{\cal N}}$, 可利用引理3.4得 $\{\hat{t}_{n}\}_{n}$ 有界. 因此, $c_{A}\geq c_{\hat{A}}-C\delta$, 利用$\delta> 0$ 的任意性, 得到 $c_{A}>c_{\hat{A}}$. 利用引理3.5, 取 $\{\hat{A}_{n}\}_{n}$ 满足 $\hat{A}_{n}>A_{\infty}$ 且 $\lim\limits_{n}\hat{A}_{n}=A_{\infty}$, 则有 $c_{\hat{A}_{n}}\rightarrow c_{\infty}$. 可得 $c_{A}\geq c_{\infty}$. 与引理3.6矛盾. 证毕.

由(3.9)式成立, 且 $\{\xi_{n}\}_{n}$ 在 ${\Bbb R}^{3}$ 内有界可知: 对任意的 $\delta> 0$, 存在 $r=r(\delta)> 0$, 任给 $n\geq1$, 使得

由(3.2)式与(3.11)式, 令 $2\leq s<6$, 对任意的 $\delta> 0$, 存在 $r> 0$ 使得对任意的 $n\geq 1$ 充分大时

其中 $C\in{\Bbb R} ^{+}$ 是 $H^{1}(B_{r}^{c})\hookrightarrow L^{s}(B_{r}^{c})$ 的嵌入常数, 可以推出

其中 $2\leq s<6$. 又因为 $\phi$ 是 $L^{\frac{12}{5}}({\Bbb R}^{3})\rightarrow H^{1}({\Bbb R}^{3})$ 的连续函数, 由(3.12)式可推出

并且对任意的 $\psi\in C_{0}^{\infty}({\Bbb R}^{3})$, 有

当 $\{u_{n}\}_{n}$ 满足(3.1)式, 显然 $\{u_{n}\}_{n}$ 为 $I\big{|}_{{\cal N}}$ 的 $(PS)_{c}$ 序列, 因此也是 $I$ 的 $(PS)_{c}$ 序列.

由(3.2), (3.12), (3.14)式可推出 $I^{'}(\bar{u})=0$. 由于 $\{u_{n}\}_{n}\subset{\cal N}$, 由引理3.5的 (ii), $\{\|u_{n}\|_{p}\}_{n}$ 有正下界, 因此由(3.12)式可知 $\bar{u}\neq 0$ 且有 $\bar{u}\in{\cal N}$.

最后, 由(3.2), (3.13), (3.14)式可知

因此可知, $(\bar{u},\varphi_{\bar{u}})$ 是方程(1.3)的基态解.