半无穷柱体上Forchheimer方程组解的Phragmén-Lindelöf型二择一结果

半无穷柱体上Forchheimer方程组解的Phragmén-Lindelöf型二择一结果

陈雪姣^,, 李远飞^,^*, 侯春娟

广州华商学院应用数学系广州 511300

Phragmén-Lindelöf Type Results for the Solutions of Forchheimer Equations on a Semi-Infinite Cylinder

Chen Xuejiao^,, Li Yuanfei^,^*, Hou Chunjuan

Department of Apllied Mathematics, Guangzhou Huashang College, Guangdong 511300

通讯作者: *李远飞，E-mail: liqfd@163.com

收稿日期: 2021-09-10 修回日期: 2022-09-20

基金资助:

广东省普通高校重点项目(自然科学)(2019KZDXM042)
广州华商学院科研团队项目(2021HSKT01)

Received: 2021-09-10 Revised: 2022-09-20

Fund supported:

Key Projects of Universities in Guangdong Province(2019KZDXM042)
Research Team Project of Guangzhou Huashang College(2021HSKT01)

作者简介 About authors

陈雪姣，E-mail:1032170427@qq.com

摘要

考虑了定义在三维半无限柱体上多孔介质中的Forchheimer流体. 建立了一个能量函数, 推导了一个关于该能量函数的微分不等式, 由此不等式得到了解的二择一结果. 在衰减的情况下, 通过设置一个大于零的参数, 得到了解的快速衰减率.

关键词： Forchheimer方程组; 微分不等式; 二择一

Abstract

The Forchheimer fluid defined in porous media on a three-dimensional semi-infinite cylinder is considered. An energy function is established, and a differential inequality about the energy function is derived. From the inequality, an alternative result of the solutions is obtained. In the case of decay, the fast decay rate of the solutions is obtained by setting a positive parameter.

Keywords： Forchheimer matrixs; Differential inequality technique; Alternative

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本文引用格式

陈雪姣, 李远飞, 侯春娟. 半无穷柱体上Forchheimer方程组解的Phragmén-Lindelöf型二择一结果[J]. 数学物理学报, 2023, 43(2): 505-514

Chen Xuejiao, Li Yuanfei, Hou Chunjuan. Phragmén-Lindelöf Type Results for the Solutions of Forchheimer Equations on a Semi-Infinite Cylinder[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(2): 505-514

1 引言

众所周知的Forchheimer方程以及Brinkman, Darcy, Stokes方程组主要用于描述多孔介质中的流体, Nield和Bejan^[1]以及Straughan^[2]对此做了详细的论述. 在过去的几十年, 这些方程在半无穷柱体上的空间衰减性得到了广泛关注, 出现了大量的成果. Payne和Song^[3]研究了定义在半无穷柱体上的多孔Forchheimer流, 得到了Saint-Venant原理型衰减估计. Li等人^[4]进一步研究了Brinkman-Forchheimer方程组解的空间衰减估计. 更多的成果见文献[5 ⇓⇓⇓⇓-10]. 这种类型的研究通常被称为Saint-Venant原理型研究, 在推导解的衰减性时需要解在无穷远处满足一定的先验假设.

经典的Phragmén-Lindelöf型二择一定理不必假设方程组的解在无限端趋近于零, 而是证明方程组的解随距有限端的距离的增大要么呈指数(多项式)增长要么呈指数(多项式)衰减. 由于其在弹性力学、流体力学等领域上的广泛应用, 自上世纪九十年代以来Phragmén-Lindelöf型二择一研究逐步成为了研究的热点(见文献[11 ⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-20]). 上述文献大多研究的是线性微分方程, 非线性方程解的二择一性质还没有得到充分关注, 本文研究半无穷柱体上Forchheimer方程控制的流体解的空间性质. 在衰减的情况下, 通过设置一个大于零的任意常数, 得到了解的快速衰减率. 由于Forchheimer方程中具有非线性项, 所以文献中的结果并不能直接推广到本文中来. 因此, 本文的研究对其他类型的偏微分方程解的二择一研究提供借鉴.

2 准备工作

令 $R$ 表示三维区域上母线平行于坐标轴 $x_3$ 的半无限的柱体

$R=\Big\{(x_1,x_2,x_3)|(x_1,x_2)\in D,\ x_3\geq0\Big\},$

其中 $D$ 是坐标平面 $x_1Ox_2$ 上一个有界的区域, 并且光滑的边界 $\partial D$ . 设 $z$ 是 $x_3$ 轴上的一个动点. 我们令 $R_z$ 表示 $R$ 的一个子区域, $D_z$ 表示 $x_3=z$ 处的截面, 即

$R_z=\Big\{(x_1,x_2,x_3)|(x_1,x_2)\in D,\ x_3\geq z\geq0\Big\},$

$D_z=\Big\{(x_1,x_2,x_3)|(x_1,x_2)\in D,\ x_3=z\Big\}.$

设 $u_i(i=1,2,3), T, p$ 分别表示流体的速度、温度和压力. 本文研究的多孔介质中的Forchheimer流体可以写为

$-\Delta u_i +(1+\gamma T)u_i=-p_{,i}+g_iT,\ \ \mbox{在}\ R\times\{t>0\},$

(2.1)

$u_{i,i}=0,\ \ \mbox{在}\ R\times\{t>0\},$

(2.2)

$\partial_{t}T+u_iT_{,i}=\Delta T, \ \ \mbox{在}\ R\times\{t>0\},$

(2.3)

$u_i=0, T=0,\ \ \ \mbox{在}\ \partial D\times\{x_3>0\}\times\{t>0\},$

(2.4)

$u_{3}(x_1, x_2, 0, t)=f(x_1, x_2, t), \ \ \ mbox{在}\ D\times\{t>0\},$

(2.5)

$T(x_1, x_2, 0, t)=h(x_1, x_2, t),\ \ \ \mbox{在}\ D\times\{t>0\},$

(2.6)

$T(x_1, x_2, x_3, 0)=0, \ \ \ \mbox{在}\ R,$

(2.7)

其中 $\Delta$ 是拉普拉斯算子, $\gamma$ 是大于零的常数, $g_i$ 是重力函数, 不失一般性假设 $g_ig_i\leq1$ . $f$ 和 $h$ 是给定的已知函数, 并在柱体的侧面上满足兼容性条件. 在方程(2.1)-(2.7)中我们用 $i$ 表示对 $x_i$ 求导, 利用重复英文字母表示从1到3求和, 重复希腊字母表示从1到2求和. 例如: $u_{i,j}u_{i,j}=\sum\limits_{i, j=1}^3\Big(\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\Big)^2, u_{\alpha,\beta}u_{\alpha,\beta}=\sum\limits_{\alpha,\beta=1}^2\Big(\frac{\partial u_\alpha}{\partial x_\beta}\Big)^2$ .

为了得到二择一结果, 我们建立以下辅助函数

$\begin{matrix} F(z, t)&=&-\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}pu_3{\rm d}A{\rm d}\eta+\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{i,3}u_i{\rm d}A{\rm d}\eta \nonumber\\ &&-\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_3T^2{\rm d}A{\rm d}\eta+\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T_{,3}T{\rm d}A{\rm d}\eta\nonumber\\ &\doteq& I_1+I_2+I_3+I_4, \end{matrix}$

(2.8)

其中 $\delta_1, \delta_2$ 是大于零的常数. 利用散度定理和方程(2.1)-(2.7), 可得

$\begin{matrix} F(z, t)-F(z_0, t)&=&-\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}p_{,i}u_i{\rm d}A {\rm d}\xi {\rm d}\eta +\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}(u_{i,j}u_i)_{,j}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta \nonumber\\ &&-\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}u_iT_{,i}T{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta+\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}(T_{,i}T)_{,i}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber\\ &=&\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}\Big[\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{1}{2}\delta_1T^2\Big]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber\\ &&+\frac{1}{2} e^{-\delta_1 t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}T^2{\rm d}A{\rm d}\xi-\delta_2\int_0^t\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}g_i u_iT{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta, \end{matrix}$

(2.9)

其中 $z_0$ 是 $x_3$ 坐标轴上的某个点, 满足 $0\leq z_0\leq z$ . 对(2.9)式微分, 可得

$\begin{matrix}\frac{\partial}{\partial z}F(z, t) &=&\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}\Big[\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{1}{2}\delta_1T^2\Big]{\rm d}A {\rm d}\eta\nonumber\\ &&+\frac{1}{2} e^{-\delta_1 t}\int_{D_z}T^2{\rm d}A-\delta_2\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}g_i u_iT{\rm d}A{\rm d}\eta. \end{matrix}$

(2.10)

接下来, 我们给出四个本文经常使用的引理.

引理2.1^[21] 设 $D$ 是平面上的有界区域, 并具有光滑的边界, $w$ 是 $D$ 上的充分光滑的函数. 如果 $w\big|_{\partial D}=0,$ 则 $\lambda_1\int_Dw^2{\rm d}A\leq\int_Dw_{,\alpha}w_{,\alpha}{\rm d}A,$ 其中 $\lambda_1$ 是问题 $\varphi_{,\alpha\alpha}+\lambda\varphi=0,$ 在 $D, \varphi=0,$ 在 $\partial D$ 的第一特征值.

引理2.2^[21] 设 $D$ 是有界的平面区域并具有光滑的边界 $\partial D$ , $w$ 是Dirichlet可积函数, 且 $w\big|_{\partial D}=0$ . 则

$\int_Dw^4{\rm d}A\leq k_1\Big(\int_Dw^2{\rm d}A\Big)\Big(\int_Dw_{,\alpha}w_{,\alpha}{\rm d}A\Big),$

其中 $k_1$ 是大于零的常数.

引理2.3^[3] 设 $w$ 是连续可微的函数, 且 $w\big|_{\partial D}=0$ , 则存在一个向量函数 ${\textbf{v}}=(v_1, v_2)$ 满足 $v_{\alpha, \alpha}=w,\ \mbox{在}\ D, \ v_\alpha=0, \mbox{在}\ \partial D,$ 以及存在一个仅依赖于 $D$ 的大于零的常数 $k_2$ 使得 $\int_Dv_{\alpha,\beta}v_{\alpha,\beta}{\rm d}A\leq k_2\int_Dv_{\alpha,\alpha}^2\mbox{d}A.$

利用引理2.1-2.3以及微分不等式技术, 可得以下引理.

引理2.4 如果 $w\big|_{\partial D}=0,$ 则对于(2.8)式所定义的 $F(z, t)$ 满足以下微分不等式

$\begin{matrix}|F(z, t)|\leq b_1\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]+b_2\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^\frac{5}{4},\end{matrix}$

(2.11)

其中 $b_1=\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{\frac{k_2}{\lambda_1}}+\frac{1}{\sqrt{\delta_1}}, b_2=\sqrt[4]{\frac{4k_1k_2^2}{\lambda_1\delta_1}}+\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\gamma\delta_1\delta_{2}}}.$

证首先, 利用Hölder不等式和Young不等式, 可得

$\begin{matrix}\Big|-\delta_2\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}g_iu_iT{\rm d}A {\rm d}\eta\Big| &\leq&\frac{1}{2}\delta_2\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}|\textbf{{u}}|^2{\rm d}A {\rm d}\eta +\frac{1}{2}\delta_2\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A {\rm d}\eta\nonumber\\ &\leq&\frac{1}{2}\delta_2\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T)|\textbf{{u}}|^2{\rm d}A {\rm d}\eta\nonumber\\ &&+\frac{1}{2}\delta_2\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A {\rm d}\eta. \end{matrix}$

(2.12)

取 $2\delta_2\leq\delta_1$ , 然后把(2.12)式代入到(2.10)式可得

$\begin{matrix}\label{2.13}\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)&\geq&\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}\Big[\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\frac{1}{2}\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{1}{4}\delta_1T^2\Big]{\rm d}A {\rm d}\eta\nonumber\\& &+\frac{1}{2} e^{-\delta_1 t}\int_{D_z}T^2{\rm d}A \end{matrix}$

(2.13)

和

$\begin{matrix}\label{2.14} \frac{\partial}{\partial z}F(z, t) &\leq&\int_0^t\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}\Big[\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\frac{3}{2}\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{3}{4}\delta_1T^2\Big]{\rm d}A {\rm d}\eta\nonumber\\ &&+\frac{1}{2} e^{-\delta_1 t}\int_{D_z}T^2{\rm d}A. \end{matrix}$

(2.14)

其次, 我们用 $\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)$ 来控制 $I_i(i=1,2,3,4)$ . 我们注意到

$\begin{matrix}\int_{D_z}u_{3}{\rm d}A&=&\int_{D_0}u_{3}{\rm d}A+\int_{0}^{z}\int_{D_\xi}u_{3,3}{\rm d}A{\rm d}\xi\nonumber\\ &=&\int_{D_0}u_{3}{\rm d}A-\int_{0}^{z}\int_{D_\xi}u_{\alpha,\alpha}{\rm d}A{\rm d}\xi=\int_{D_0}f{\rm d}A.\nonumber \end{matrix}$

因为 $\int_{D_0}f{\rm d}A=0,$ 所以 $\int_{D_z}u_3{\rm d}A=0$ . 根据引理2.3, 存在向量函数 $\textbf{{v}}=(v_1, v_2)$ 满足

$v_{\alpha,\alpha}=u_3,\ \mbox{在}\ D, v_\alpha=0, \mbox{在}\ \partial D.$

所以利用散度定理和(2.1)式, 有

$\begin{matrix}&&-\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}pu_{3}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\\&=&-\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}pv_{\alpha,\alpha}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta=\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta} p_{,\alpha}v_\alpha {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber \\&=&\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}\Big[g_\alpha T-\Delta u_\alpha-(1+\gamma T)u_\alpha\Big]v_\alpha {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber\\ &=&\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}g_\alpha v_\alpha T{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta+\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,j} v_{\alpha,j}{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta \nonumber\\ &&-\delta_2\int_{0}^{t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T)u_\alpha v_{\alpha} {\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta.\nonumber \end{matrix}$

所以

$\begin{matrix}I_1&=&\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}g_\alpha v_\alpha T{\rm d}A{\rm d}\eta+\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,j} v_{\alpha,j}{\rm d}A{\rm d}\eta \nonumber\\ &&-\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T)u_\alpha v_{\alpha} {\rm d}A{\rm d}\eta\nonumber\\ &\doteq &I_{11}+I_{12}+I_{13}. \end{matrix}$

(2.15)

利用Hölder不等式, Young不等式, 引理2.1和引理2.2, 可得

$\begin{matrix}|I_{11}|&\leq&\delta_2\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}v_{\alpha}v_{\alpha}{\rm d}A{\rm d}\eta \int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{\delta_2}{\sqrt{\lambda_1}}\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}v_{\alpha,\beta}v_{\alpha,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta \int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{\delta_2\sqrt{k_2}}{\sqrt{\lambda_1}}\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}v_{\alpha,\alpha}v_{\alpha,\alpha}{\rm d}A{\rm d}\eta \int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{2\sqrt{2\delta_2k_2}}{\sqrt{\delta_1\lambda_1}}\Big[\frac{1}{2}\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{3}^2{\rm d}A{\rm d}\eta \frac{1}{4}\delta_1\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{\sqrt{2\delta_2k_2}}{\sqrt{\delta_1\lambda_1}}\Big[\frac{1}{2}\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T)|\textbf{{u}}|^2{\rm d}A{\rm d}\eta +\frac{1}{4}\delta_1\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big] \end{matrix}$

(2.16)

和

$\begin{matrix} |I_{12}|&=&\delta_2\Big|\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,\beta} v_{\alpha,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big| +\delta_2\Big|\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,3} v_{\alpha,3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big| \nonumber\\ &\leq&\delta_2\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,\beta}u_{\alpha,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}v_{\alpha,\beta}v_{\alpha,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &&+\delta_2\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,3}u_{\alpha,3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}v_{\alpha,3}v_{\alpha,3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\delta_2\sqrt{k_2}\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,\beta}u_{\alpha,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{3}^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &&+\delta_2\frac{1}{\sqrt{\lambda_1}}\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,3}u_{\alpha,3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}v_{\alpha,\beta3}v_{\alpha,\beta3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber \end{matrix}$

$\begin{matrix}&\leq&\delta_2\sqrt{\frac{k_2}{\lambda_1}}\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,\beta}u_{\alpha,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{3,\beta}u_{3,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &&+\delta_2\sqrt{\frac{k_2}{\lambda_1}}\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{\alpha,\beta}u_{\alpha,\beta}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u^2_{3,3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{\delta_2}{2}\sqrt{\frac{k_2}{\lambda_1}}\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{i,j}u_{i,j}{\rm d}A{\rm d}\eta. \end{matrix}$

(2.17)

利用引理2.1-2.3和算术几何平均不等式, 可得

$\begin{matrix} |I_{13}|&\leq &\delta_2\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_\alpha u_{\alpha} {\rm d}A{\rm d}\eta\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}v_\alpha v_{\alpha} {\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\nonumber\\& &+\delta_{2}\gamma \Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}Tu_\alpha u_{\alpha} {\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{4}\nonumber\\ &&\cdot\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(v_\alpha v_{\alpha})^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{4}\nonumber\\ &\leq&\delta_2\sqrt{\frac{k_2}{\lambda_1}}\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_\alpha u_{\alpha} {\rm d}A{\rm d}\eta\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_3^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\nonumber\\ &&+\delta_{2}\sqrt[4]{\frac{k_1k_2^2}{\lambda_1}} \Big(\gamma\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}Tu_\alpha u_{\alpha} {\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\nonumber\\ &&\cdot\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{4} \Big(\gamma\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_3^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\sqrt{\frac{k_2}{\lambda_1}}\Big(\frac{\delta_2}{2}\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T)|\textbf{{u}}|^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)\nonumber\\ &&+\sqrt[4]{\frac{4k_1k_2^2}{\lambda_1\delta_1}} \Big(\frac{\delta_2}{2}\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T)|\textbf{{u}}|^2 {\rm d}A{\rm d}\eta\Big)\nonumber\\ &&\cdot\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}\frac{1}{4}\delta_1T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{4}. \end{matrix}$

(2.18)

把(2.16)-(2.18)式代入到(2.15)式, 可得

$\begin{matrix}|I_1|&\leq&\sqrt{\frac{k_2}{\lambda_1}}\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]+\sqrt[4]{\frac{4k_1k_2^2}{\lambda_1\delta_1}}\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^\frac{5}{4}. \end{matrix}$

(2.19)

利用Schwarz不等式, 可得

$\begin{matrix} |I_2|&\leq&\delta_2\Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{i,3}u_{i,3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}|{\textbf{u}}|^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \nonumber\\ &\leq&\sqrt{2}\Big[\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}u_{i,3}u_{i,3}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2} \Big[\frac{1}{2}\delta_2\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big]^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{\sqrt{2}}{2}\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]. \end{matrix}$

(2.20)

对于 $I_3$ , 利用Hölder不等式、引理2.2和算术几何平均不等式, 可得

$\begin{matrix}|I_3|&\leq&\frac{1}{2}\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T u_3^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{4} \Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^4{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{4} \nonumber\\ &\leq&\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\gamma\delta_1\delta_{2}}}\Big(\frac{\delta_2}{2}\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}(1+\gamma T) u_3^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\Big(\frac{1}{4}\delta_1\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\nonumber\\ &&\cdot\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T_{,\alpha}T_{,\alpha}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{4} \nonumber\\ &\leq&\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\gamma\delta_1\delta_{2}}}\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^\frac{5}{4}. \end{matrix}$

(2.21)

类似地, 对于 $I_4$ , 有

$\begin{matrix}|I_4|&\leq&\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T_{,3}^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2} \Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{2}{\sqrt{\delta_1}}\Big(\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T_{,i}T_{,i}{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2} \Big(\frac{1}{4}\delta_1\int_{0}^{t}\int_{D_z}e^{-\delta_1\eta}T^2{\rm d}A{\rm d}\eta\Big)^\frac{1}{2}\nonumber\\ &\leq&\frac{1}{\sqrt{\delta_1}}\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]. \end{matrix}$

(2.22)

最后把(2.19)-(2.22)式代入到(2.8)式即可完成引理2.4的证明.

3 二择一结果

对引理2.4进行分析, 可得以下定理.

定理3.1 假设 $(u_i, T)$ 是问题(2.1)-(2.7)的解, 并且 $\int_Df{\rm d}A=0$ . 则要么

$\begin{matrix} &&\lim_{z\rightarrow\infty}\Big\{z^{-5}\Big[\int_0^t\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}\Big(\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\frac{3}{2}\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{3}{4}\delta_1T^2\Big){\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber\\& &+\frac{1}{2}e^{-\delta_1 t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}T^2{\rm d}A{\rm d}\xi\Big]\Big\}\geq c_1 \end{matrix}$

(3.1)

成立, 要么

$\begin{matrix} &&\int_0^t\int_z^\infty\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}\Big[\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\frac{1}{2}\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{1}{4}\delta_1T^2\Big]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber\\ &&+\frac{1}{2}e^{-\delta_1 t}\int_z^\infty\int_{D_\xi}T^2{\rm d}A{\rm d}\xi\nonumber\\ &\leq &m_4Q^2(0, t)e^{-\frac{2z}{m_3\delta_3}}+m_3\delta_3Q(0, t)e^{-\frac{z}{m_3\delta_3}} \end{matrix}$

(3.2)

成立, 其中 $c_1, m_3, m_4$ 是大于零的常数, $\delta_3$ 是大于零的任意常数以及 $Q(0, t)$ 将由(3.17)式定义.

证我们对(2.11)式分两种情形进行分析.

I 如果存在一个 $z_0\geq0$ , 使得 $F(z_0,t)>0$ . 由(2.13)式可知 $\frac{\partial}{\partial z}F(z,t)\geq0$ , 所以 $F(z,t)>0,$ $z\geq z_0$ . 则(2.11) 式可以写为

$\begin{matrix}F(z, t)\leq b_1\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]+b_2\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^\frac{5}{4}.\end{matrix}$

(3.3)

在(3.3)式右边的第一项应用Young不等式, 可得

$\begin{matrix}\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]=\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^{\frac{5}{8}\cdot\frac{2}{5}}\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^{\frac{5}{4}\cdot\frac{3}{5}}\leq\frac{2}{5}\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^{\frac{5}{8}}+\frac{3}{5}\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^{\frac{5}{4}}.\end{matrix}$

(3.4)

把(3.4)式代入到(3.3)式, 可得

$\begin{matrix}F(z, t)\leq m_1\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^\frac{5}{8}+m_2\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^\frac{5}{4}, \end{matrix}$

(3.5)

其中 $m_1=\frac{2}{5}b_1,m_2=\frac{3}{5}b_1+b_2.$ 由(3.5)可得

$\begin{matrix}\label{3.6} F(z, t)+\frac{m_1^2}{4m_2}\leq m_2\Big[\Big(\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big)^\frac{5}{8}+\frac{m_1}{2m_2}\Big]^2,\ z\geq z_0. \end{matrix}$

(3.6)

在(3.6)式中解出 $\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)$ , 可得

$\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\geq \Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^\frac{8}{5},\ z\geq z_0.$

于是有

$\begin{matrix} &&\Big\{2m_2\frac{1}{\Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^\frac{3}{5}}+m_1\frac{1}{\Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^\frac{8}{5}}\Big\}\nonumber\\ &&\cdot d\Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]\geq1,\ z\geq z_0. \end{matrix}$

(3.7)

对(3.7)式从 $z_0$ 到 $z$ 积分, 可得

$\begin{matrix}&&5m_2\Big\{\Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^\frac{2}{5}-\Big[\sqrt{\frac{1}{m_1}F(z_0, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^\frac{2}{5}\Big\}\nonumber\\ &&-\frac{5}{3}m_1\Big\{\Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^{-\frac{3}{5}} -\Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z_0, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^{-\frac{3}{5}}\Big\}\nonumber\\ &\geq &z-z_0,\ z\geq z_0. \end{matrix}$

(3.8)

在(3.8)式的左边舍弃第二项和第三项, 在第一项中利用不等式

$\sqrt{a+b}\leq\sqrt{a}+\sqrt{b},\ a,b\geq0,$

可得

$\begin{matrix}\label{3.9} F(z, t)\geq m_2\Big\{\frac{1}{5m_2}(z-z_0) -\frac{m_1}{3m_2}\Big[\sqrt{\frac{1}{m_2}F(z_0, t)+\frac{m_1^2}{4m_2^2}}-\frac{m_1}{2m_2}\Big]^{-\frac{3}{5}}\Big\}^5. \end{matrix}$

(3.9)

另一方面, 对(2.14)式从 $z_0$ 到 $z$ 积分, 可得

$\begin{matrix}\label{3.10} F(z, t)-F(z_0, t)&\leq&\int_0^t\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}\Big[\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\frac{3}{2}\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{3}{4}\delta_1T^2\Big]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber\\& &+\frac{1}{2}e^{-\delta_1 t}\int_{z_0}^z\int_{D_\xi}T^2{\rm d}A{\rm d}\xi. \end{matrix}$

(3.10)

结合(3.9)和(3.10)式可以完成(3.1)式的证明.

II 如果 $\forall z>0,$ $F(z,t)<0$ , 则(2.11)式可以写为

$\begin{matrix} -F(z, t)\leq b_1\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]+b_2\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^\frac{5}{4}, \end{matrix}$

(3.11)

对(3.11)式右边的第二项应用Young不等式, 可得

$\begin{matrix} \Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^\frac{5}{4}=\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^{1\cdot\frac{3}{4}} \Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^{2\cdot\frac{1}{4}}\leq\frac{3}{4}\delta_3\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]+ \frac{1}{4}\delta_3^{-3}\Big[\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\Big]^2, \end{matrix}$

(3.12)

其中 $\delta_3$ 是一个大于零的任意常数. 把上式代入到(3.11)式, 可得

$\begin{matrix} -F(z,t)\leq m_3\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]+m_4\Big[\frac{\partial}{\partial z}F(z, t)\Big]^2, \end{matrix}$

(3.13)

其中 $m_3=b_1+\frac{3}{4}b_2\delta_{3},\ m_2=\frac{1}{4}b_2\delta_3^{-3}.$ 由(3.13)式可得

$\frac{\partial F}{\partial z}(z, t)\geq \sqrt{-\frac{F(z,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}-\frac{m_3}{2m_4}.\nonumber$

于是, 有

$\begin{matrix}\Big\{-2m_4-m_3\frac{1}{\sqrt{-\frac{F(z,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}-\frac{m_3}{2m_4}}\Big\}d\Big\{\sqrt{-\frac{F(z,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m^2_4}}-\frac{m_3}{2m_4}\Big\}\geq 1,\ z\geq 0. \end{matrix}$

(3.14)

对(3.14)式从 $0$ 到 $z$ 积分, 可得

$\begin{matrix} &&2m_4\Big[\sqrt{-\frac{F(z,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}-\sqrt{-\frac{F(0,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}\Big]\nonumber\\ &&+m_3\ln\Big[\sqrt{-\frac{F(z,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}-\frac{m_3}{2m_4}\Big]-m_3 \ln\Big[\sqrt{-\frac{F(0,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}} -\frac{m_3}{2m_4}\Big]\nonumber\\ &\leq&-z. \end{matrix}$

(3.14)

舍弃(3.15)式左边的第一项, 可得

$\begin{matrix} &&m_3\ln\Big[\sqrt{-\frac{F(z,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}-\frac{m_3}{2m_4}\Big]\\&\leq&-z +2m_4\sqrt{-\frac{F(0,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}+m_3\ln\Big[\sqrt{-\frac{F(0,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}-\frac{m_3}{2m_4}\Big].\nonumber \end{matrix}$

所以

$\begin{matrix} \sqrt{-\frac{F(z,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}\leq Q(0, t)e^{-\frac{z}{m_3}}+\frac{m_3}{2m_4}, \end{matrix}$

(3.16)

其中

$\begin{matrix} Q(0, t)=\Big[\sqrt{-\frac{F(0,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}-\frac{m_3}{2m_4}\Big]e^{\frac{2m_4}{m_3} \sqrt{-\frac{F(0,t)}{m_4}+\frac{m_3^2}{4m_4^2}}}.\end{matrix}$

(3.17)

在(3.16)式两边平方, 可得

$\begin{matrix}-F(z,t)\leq m_4Q^2(0, t)e^{-\frac{2z}{m_3}}+m_3Q(0, t)e^{-\frac{z}{m_3}}, \end{matrix}$

(3.17)

所以 $\lim_{z\rightarrow\infty}\Big[-F(z, t)\Big]=0$ . 现对(2.13)式从 $z$ 到 $\infty$ 积分, 可得

$\begin{matrix} -F(z, t)&\geq&\int_0^t\int_z^\infty\int_{D_\xi}e^{-\delta_1\eta}\Big[\delta_2 u_{i,j}u_{i,j}+\frac{1}{2}\delta_2(1+\gamma T)|{\textbf{u}}|^2+T_{,i}T_{,i}+\frac{1}{4}\delta_1T^2\Big]{\rm d}A{\rm d}\xi {\rm d}\eta\nonumber\\& &+\frac{1}{2}e^{-\delta_1 t}\int_z^\infty\int_{D_\xi}T^2{\rm d}A{\rm d}\xi. \end{matrix}$

(3.19)

联合(3.18)和(3.19)式可以完成对(3.2)式的证明. 证毕.

注3.1 定理3.1表明当 $z\rightarrow\infty$ 时方程(2.1)-(2.7)的解要么多项式增长要么指数式衰减, 其中增长速度至少和 $z^{5}$ 一样快.

注3.2 由于 $\delta_3$ 是大于零的任意常数, 只要选择 $\delta_3$ 足够大使得 $m_{3}\geq b_{1}$ , 则衰减速度至多和 $e^{-\frac{z}{b_{1}}}$ 一样快.

注3.3 在衰减的情形, 为了使得衰减结果有意义, 还必须推导 $-F(0, t)$ 的显式上界. 我们可以使用文献[3,4]中的方法, 易得该上界, 故本文略去.

4 总结

本文考虑了半无穷柱体上多孔介质中的Forchheimer方程组, 成功的控制了非线性项, 获得了解的Phragmén-Lindelöf型二择一结果. 本文的研究可以为其它类型的偏微分方程(例如Brinkman方程组,Stokes方程组等)提供借鉴.

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Nield

D A

, Bejan

. Convection in Porous Media. New York: Springer-Verlag Press, 1992

[本文引用: 1]

[2]

Straughan

. Mathematical Aspects of Penetrative Convection. Florida: CRC Press, 1993

[本文引用: 1]

[3]

Payne

L E

, Song

J C

Spatial decay bounds for the Forchheimer matrixs

International Journal of Engineering Science, 2002, 40: 943-956

DOI:10.1016/S0020-7225(01)00102-1 URL [本文引用: 3]

[4]

Y F

, Liu

, Luo

S G

, Lin

Decay estimates for the Brinkman-Forchheimer matrixs in a semi-infinite pipe

ZAMM Z Angew Math Mech, 2012, 92(2): 160-176

DOI:10.1002/zamm.201000202 URL [本文引用: 2]

[5]

Horgan

C O

, Wheeler

L T

Spatial decay estimates for the Navier-Stokes matrixs with application to the problem of entry flow

SIAM J Appl Math, 1978, 35: 97-116

DOI:10.1137/0135008 URL [本文引用: 1]

[6]

Ames

K A

, Payne

L E

, Schaefer

P W

Spatial decay estimates in time-dependent Stokes flow

SIAM J Math Anal, 1993, 24: 1395-1413

DOI:10.1137/0524081 URL [本文引用: 1]

[7]

Y F

, Liu

, Lin

Decay estimates for homogeneous Boussinesq matrixs in a semi-infinite pipe

Nonlinear Analysis Theory Methods and Applications. 2011, 74(13): 4399-4417

[本文引用: 1]

[8]

Knops

R J

, Quintanilla

Spatial decay in transient heat conduction for general elongated regions

Q Appl Math, 2017, 76(4): 611-625

DOI:10.1090/qam/2018-76-04 URL [本文引用: 1]

[9]

石金诚, 李远飞.

多孔介质中相互作用的Brinkman-Forchheimer流与Darcy流的空间衰减估计

河南师范大学学报(自然科学版), 2021, 49(5): 19-26

[本文引用: 1]

Shi

J C

, Li

Y F

Spatial decay estimates for Brinkman-Forchheimer fluid interfacing with a Darcy fluid in porous medium

Journal of Henan Normal University (Natural Science Edition), 2021, 49(5): 19-26

[本文引用: 1]

[10]

Liu

, Li

Y F

, Lin

C H

, Yao

Z H

Spatial decay bounds for the channel flow of the Boussinesq matrixs

J Math Anal Appl, 2011, 381(1): 87-109

DOI:10.1016/j.jmaa.2011.02.066 URL [本文引用: 1]

[11]

Leseduarte

M C

, Quintanilla

Phragmén-Lindelöf of alternative for the Laplace matrix with dynamic boundary conditions

Journal of Applied Analysis and Computation, 2017, 7(4): 1323-1335

[本文引用: 1]

[12]

Liu

, Lin

C H

Phragmén-Lindelöf type alternative results for the stokes flow matrix

Mathematical Inequalities & Applications, 2006, 9(4): 671-694

[本文引用: 1]

[13]

李远飞, 李丹丹, 陈雪姣, 石金诚.

一类拟线性瞬态抛物方程组的空间二择性

山东大学学报(理学版), 2021, 56(6): 1-9

[本文引用: 1]

Y F

, Li

D D

, Chen

X J

, Shi

J C

Alternative results of a class of quasilinear transient parabolic matrixs

Journal of Shandong University (Natural Science), 2021, 56(6): 1-9

[本文引用: 1]

[14]

李远飞, 肖胜中, 陈雪姣.

Ⅲ型热弹性方程的空间二择性及稳定性

应用数学和力学, 2021, 42(4): 431-440

[本文引用: 1]

Y F

, Xiao

Sh Z

, Chen

X J

Spatial alternative and stability of type III Thermoelastic matrixs

Applied Mathematics and Mechanics, 2021, 42(4): 431-440

[本文引用: 1]

[15]

李远飞, 郭连红, 曾鹏.

波动方程在半无穷柱体和外部区域上的空间爆破和衰减性

吉林大学学报(理学版), 2021, 59(2): 196-206

[本文引用: 1]

Y F

, Guo

L H

, Zeng

Spatial blow up and decay of wave matrixin a semi-infinite cylinder and on an exterior region

Journal of Jilin University (Science Edition), 2021, 59(2): 196-206

[本文引用: 1]

[16]

Horgan

C O

, Payne

L E

Phragmén-Lindelöf type results for Harmonic functions with nonlinear boundary conditions

Arch Rational Mech Anal, 1993, 122(2): 123-144

DOI:10.1007/BF00378164 URL [本文引用: 1]

[17]

李远飞

具有非线性阻尼和源项的波动方程系统的空间渐近性质

数学季刊, 2021, 36(1): 67-78

[本文引用: 1]

Y F

Spatial asymptotic properties of a system wave matrixs with nonlinear damping and source terms

Chinese Quarterly Journal of Mathematics, 2021, 36(1): 67-78

[本文引用: 1]

[18]

李远飞, 李志青.

具有非线性边界条件的瞬态热传导方程的二择一结果

数学物理学报, 2020, 40A(5): 1248-1258

[本文引用: 1]

Y F

, Li

Z Q

Phragmén-Lindelöf type results for transient heat conduction matrix with nonlinear boundary conditions

Acta Mathematica Scientia, 2020, 40A(5): 1248-1258

[本文引用: 1]

[19]

Lin

C H

, Payne

L E

Phragmén-Lindelöf alternative for a class of quasilinear second order parabolic problems

Diff Integ Equa, 1995, 8: 539-551

[本文引用: 1]

[20]

Lin

C H

, Payne

L E

A Phragmén-Lindelöf type results for second order quasilinear parabolic matrix in $R^2$

Z Angew Math Phys, 1994, 45: 294-311

DOI:10.1007/BF00943507 URL [本文引用: 1]

[21]

BandleE

. Isoperimetric Inequalities and Their Applications. London: Pitman Press, 1980

[本文引用: 2]

1992

... 众所周知的Forchheimer方程以及Brinkman, Darcy, Stokes方程组主要用于描述多孔介质中的流体, Nield和Bejan^[1]以及Straughan^[2]对此做了详细的论述. 在过去的几十年, 这些方程在半无穷柱体上的空间衰减性得到了广泛关注, 出现了大量的成果. Payne和Song^[3]研究了定义在半无穷柱体上的多孔Forchheimer流, 得到了Saint-Venant原理型衰减估计. Li等人^[4]进一步研究了Brinkman-Forchheimer方程组解的空间衰减估计. 更多的成果见文献[5⇓⇓⇓⇓-10]. 这种类型的研究通常被称为Saint-Venant原理型研究, 在推导解的衰减性时需要解在无穷远处满足一定的先验假设. ...

1993

Spatial decay bounds for the Forchheimer matrixs

2002

... 引理2.3^[3] 设

$w$

是连续可微的函数, 且

$w\big|_{\partial D}=0$

, 则存在一个向量函数

${\textbf{v}}=(v_1, v_2)$

满足

$v_{\alpha, \alpha}=w,\ \mbox{在}\ D, \ v_\alpha=0, \mbox{在}\ \partial D,$

以及存在一个仅依赖于

$D$

的大于零的常数

$k_2$

使得

$\int_Dv_{\alpha,\beta}v_{\alpha,\beta}{\rm d}A\leq k_2\int_Dv_{\alpha,\alpha}^2\mbox{d}A.$

...

... 注3.3 在衰减的情形, 为了使得衰减结果有意义, 还必须推导

$-F(0, t)$

的显式上界. 我们可以使用文献[3,4]中的方法, 易得该上界, 故本文略去. ...

Decay estimates for the Brinkman-Forchheimer matrixs in a semi-infinite pipe

2012

... 注3.3 在衰减的情形, 为了使得衰减结果有意义, 还必须推导

$-F(0, t)$

的显式上界. 我们可以使用文献[3,4]中的方法, 易得该上界, 故本文略去. ...

Spatial decay estimates for the Navier-Stokes matrixs with application to the problem of entry flow

1978

Spatial decay estimates in time-dependent Stokes flow

1993

Decay estimates for homogeneous Boussinesq matrixs in a semi-infinite pipe

2011

Spatial decay in transient heat conduction for general elongated regions

2017

多孔介质中相互作用的Brinkman-Forchheimer流与Darcy流的空间衰减估计

2021

多孔介质中相互作用的Brinkman-Forchheimer流与Darcy流的空间衰减估计

2021

Spatial decay bounds for the channel flow of the Boussinesq matrixs

2011

Phragmén-Lindel?f of alternative for the Laplace matrix with dynamic boundary conditions

2017

... 经典的Phragmén-Lindelöf型二择一定理不必假设方程组的解在无限端趋近于零, 而是证明方程组的解随距有限端的距离的增大要么呈指数(多项式)增长要么呈指数(多项式)衰减. 由于其在弹性力学、流体力学等领域上的广泛应用, 自上世纪九十年代以来Phragmén-Lindelöf型二择一研究逐步成为了研究的热点(见文献[11⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓⇓-20]). 上述文献大多研究的是线性微分方程, 非线性方程解的二择一性质还没有得到充分关注, 本文研究半无穷柱体上Forchheimer方程控制的流体解的空间性质. 在衰减的情况下, 通过设置一个大于零的任意常数, 得到了解的快速衰减率. 由于Forchheimer方程中具有非线性项, 所以文献中的结果并不能直接推广到本文中来. 因此, 本文的研究对其他类型的偏微分方程解的二择一研究提供借鉴. ...

Phragmén-Lindel?f type alternative results for the stokes flow matrix

2006

一类拟线性瞬态抛物方程组的空间二择性

2021

一类拟线性瞬态抛物方程组的空间二择性

2021

Ⅲ型热弹性方程的空间二择性及稳定性

2021

Ⅲ型热弹性方程的空间二择性及稳定性

2021

波动方程在半无穷柱体和外部区域上的空间爆破和衰减性

2021

波动方程在半无穷柱体和外部区域上的空间爆破和衰减性

2021

Phragmén-Lindel?f type results for Harmonic functions with nonlinear boundary conditions

1993

具有非线性阻尼和源项的波动方程系统的空间渐近性质

2021

具有非线性阻尼和源项的波动方程系统的空间渐近性质

2021

具有非线性边界条件的瞬态热传导方程的二择一结果

2020

具有非线性边界条件的瞬态热传导方程的二择一结果

2020

Phragmén-Lindel?f alternative for a class of quasilinear second order parabolic problems

1995

A Phragmén-Lindel?f type results for second order quasilinear parabolic matrix in

$R^2$

1994

1980

... 引理2.1^[21] 设

$D$

是平面上的有界区域, 并具有光滑的边界,

$w$

是

$D$

上的充分光滑的函数. 如果

$w\big|_{\partial D}=0,$

则

$\lambda_1\int_Dw^2{\rm d}A\leq\int_Dw_{,\alpha}w_{,\alpha}{\rm d}A,$

其中

$\lambda_1$

是问题

$\varphi_{,\alpha\alpha}+\lambda\varphi=0,$

在

$D, \varphi=0,$

在

$\partial D$

的第一特征值. ...

... 引理2.2^[21] 设

$D$

是有界的平面区域并具有光滑的边界

$\partial D$

$w$

是Dirichlet可积函数, 且

$w\big|_{\partial D}=0$

. 则 ...

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