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数学物理学报, 2023, 43(1): 181-202

Monge-Ampère方程边界爆破解的最优估计和不存在性

冯美强,1,*, 张学梅,2

1北京信息科技大学理学院 北京 100192

2华北电力大学数理学院 北京 102206

On the Optimal Global Estimates of Boundary Blow-up Solutions to the Monge-Ampère Equation

Feng Meiqiang,1,*, Zhang Xuemei,2

1School of Applied Science, Beijing Information Science & Technology University, Beijing 100192

2School of Mathematics and Physics, North China Electric Power University, Beijing 102206

通讯作者: *冯美强, E-mail: meiqiangfeng@sina.com

收稿日期: 2021-11-24   修回日期: 2022-04-24  

基金资助: 北京市自然科学基金(1212003)

Received: 2021-11-24   Revised: 2022-04-24  

Fund supported: Beijing Natural Science Foundation of China(1212003)

作者简介 About authors

张学梅,E-mail:zxm74@sina.com

摘要

该文致力于研究如下Monge-Ampère方程边界爆破解的最优估计和严格凸解的不存在性 M[u](x)=K(x)f(u), xΩ,u(x)+  当  dist(x,Ω)0. 这里 M[u]=det 是 Monge-Ampère 算子, \Omega \Bbb R^N (N\geq 2) 中的光滑有界严格凸区域. 文中不仅得到了K(x)f(u) 的各种条件之间的关系, 还通过和已有文献中相关结果的比较明确了条件和估计之间的关系. 并且, 在 \Omega 是一般区域的情况下给出了严格凸解不存在的结果, 而这在以往文献中尚未提及.

关键词: Monge-Ampère方程; 边界爆破解; 最优估计; 严格凸解; 不存在性

Abstract

This paper is dedicated to studying the optimal global estimates and nonexistence of strictly convex solutions to the boundary blow-up Monge-Ampère problem M[u](x)=K(x)f(u) \mbox{ for } x \in \Omega,\; u(x)\rightarrow +\infty \mbox{ as } {\rm dist}(x,\partial \Omega)\rightarrow 0. Here M[u]=\det\, (u_{x_{i}x_{j}}) is the Monge-Ampère operator, and \Omega denotes a smooth, bounded, strictly convex domain in \Bbb R^N (N\geq 2). The interesting features in our proof are that we not only obtain the relations among various conditions imposed on K(x) and f(u), but make comparison of some results of global estimates in previous literatures and make clear what conditions lead to what estimations. Moreover, when \Omega is a general region, we give some nonexistence results which is rarely discussed in previous literatures.

Keywords: Monge-Ampère equation; Boundary blow-up; Global estimates; Strictly convex solution; Nonexistence

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本文引用格式

冯美强, 张学梅. Monge-Ampère方程边界爆破解的最优估计和不存在性[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 181-202

Feng Meiqiang, Zhang Xuemei. On the Optimal Global Estimates of Boundary Blow-up Solutions to the Monge-Ampère Equation[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 181-202

1 引言

\Omega 表示 \Bbb R^N (N\geq 2) 中光滑有界的严格凸区域. 本文的目的是对下述边界爆破 Monge-Ampère 问题严格凸解的最优全局估计进行综述,

\begin{equation} \label{MA} M[u]=K(x)f(u),\ x\in \Omega,\; u= +\infty\ \mbox{在 $\partial \Omega$上 }, \end{equation}
(1.1)

其中 M[u]=\det\, (u_{x_{i}x_{j}}) 表示 Monge-Ampère 算子, 在 \partial\Omegau=+\infty 意味着当 {\rm dist}(x,\partial\Omega)\to 0

\mbox{ $u(x)\to+\infty$}.

另外, 我们假设 Kf 满足

(K) K\in C^\infty(\Omega) 且在 \OmegaK(x)>0;

(f) 存在 \eta\in \Bbb R^1\cup\{-\infty\}, 使得

(i) f\in C^{\infty}(\eta,\infty)(\eta,\infty) 上是正的且严格增;

(ii) 如果 \eta\in\Bbb R^1, 那么 f(\eta):=\lim\limits_{s\rightarrow \eta}f(s)=0.

我们不仅讨论对 K(x)f(u) 附加的各种条件, 进而证明或者回顾(当结论已知时)问题(1.1)严格凸解的最优估计, 而且给出一些新的不存在性的结果.

据我们所知, 边界爆破解是由 Bieberbach[1]率先进行了研究. 确切地说, Bieberbach[1] 研究了如下N=2 情况下的问题

\begin{equation} \label{Lp} \left\{\begin{array}{ll} \Delta u=K(x)f(u), \ &x\in \Omega,\;\\ u= +\infty, \ &x\in \partial \Omega, \end{array}\right. \end{equation}
(1.2)

其中 K(x)\equiv 1 \Omega上, f(u)={\rm e}^{u}. 后来, Rademacher [24] 把 Bieberbach[1] 的工作推广到了 N=3 的情况. 在任意维空间中带有一般非线性项的边界爆破问题直到1957 年才被研究. Keller [16] 和 Osserman [22] 分别讨论了问题(1.2)边界爆破解的存在性, 并且他们对 f 提出了使得问题(1.2)在一个有界区域有解的充分必要条件. 此后, 许多作者提出并研究了很多的相关问题[13-14,29-34].

特别地, 由于在几何中的应用, Cheng 等[6-7]f(u)u 的指数函数时对问题(1.1)进行了研究. 当 f(u)=u^p (p>0) 时, 如果 p>NK(x)\overline\Omega 上是一个正函数, Lazer 和 McKenna[17]证明了问题(1.1)有一个严格的凸解. 对于 fK 满足同样的条件, 如果 0<p\leq N, 他们还证明了问题(1.1)不存在严格的凸解. 令 K\in C^\infty(\overline \Omega) 是正的 (因而满足条件 (K)), 且 f 满足条件 (f), 那么由文献[18-19]知如果 f 还满足

\begin{equation} \label{suf} \Psi(s)=\int_{s}^\infty [(N+1)F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty,\forall s>\eta, \end{equation}
(1.3)

那么问题(1.1)存在一个严格凸解; 如果

\begin{equation} \label{nec} \int_{1}^\infty f(s)^{-1/N}{\rm d}s=\infty, \end{equation}
(1.4)

那么问题(1.1)不存在严格凸解, 其中

\mbox{当}\ \eta\in\Bbb R^1 \ \mbox{时},\ F(s)=\int_\eta^sf(t){\rm d}t; \ \mbox{当 }\ \eta=-\infty \ \mbox{时},\ F(s)=\int_0^s f(t){\rm d}t.

众所周知, 当 K\in C^\infty(\overline \Omega)>0 时,(1.3)式就是著名的 Keller-Osserman 型条件. 事实上, 这就是当 f(u)=u^pf(u)={\rm e}^u 时问题(1.1)存在严格凸解的充要条件. 最近, Zhang和Du[31]证明了: 如果 \eta>-\infty, 那么仅有条件(1.3)不能保证带有一般形式非线性项的问题(1.1)严格凸解的存在性. 这时, 还需要如下条件 (在问题(1.1)和(1.2)式中, 当 f(u)=u^pf(u)={\rm e}^u 时, 下面的条件自然满足)

\begin{equation} \label{extra} \int_{\eta^+}[(N+1)F(s)]^{-1/(N+1)}{\rm d}s=\infty. \end{equation}
(1.5)

这里 \int_{\eta^+}\Phi(s){\rm d}s=\infty 蕴含着对任意正数 \epsilon 都有

\int_\eta^{\eta+\epsilon}\Phi(s){\rm d}s=\infty.

显然,(1.5)式等价于 \lim\limits_{s\to \eta^+}\Psi(s)=\infty. 我们还可以看出(1.5)式是 Monge-Ampère 方程(1.1)存在严格凸解的必要条件[31], 或者 p-Laplacian 方程[21] (在这种情况下(1.5)式变为 \int_{\eta^+}[F(s)]^{-1/p}{\rm d}s=\infty).

同时, 在文献[31,定理 1.1]中, Zhang 和 Du[31] 还证明了, 如果 K\in C^\infty(\overline \Omega)>0, 且 f 满足条件 (f), 那么(1.3)式还是问题(1.1)有严格凸解的必要条件.

K\in C^\infty(\overline \Omega)>0 时, 我们发现上述文章在证明严格凸解的存在性以及凸解的渐近行为时 Keller-Osserman 型条件(1.3)(如果 \eta\in\Bbb R^1, 还有条件(1.5)) 起着重要作用. 在文献[33] 中, Zhang 和 Feng 研究了 k-Hessian 方程 (当 k=N 时, 就是 Monge-Ampère 方程(1.1)). 他们定义了一个函数 I(s)

I(s)=\frac{\Psi''(s)\Psi(s)}{(\Psi'(s))^2},

其中, 当 k=N 时, \Psi 由(1.3)式定义. 作者断言如果

I_{\eta}=\lim\limits_{s\to \eta^{+}}I(s)\neq\infty\ (\eta\in\Bbb R^1),

那么问题(1.1)存在一个严格解 u 的充分必要条件是(1.3)式成立, 且对某些 0<c_{2}<c_{1}使得 u 满足

\begin{equation}\label{1.11}\psi(c_{1}d(x))\leq u(x)\leq \psi(c_{2}d(x)), x\in \Omega,\end{equation}
(1.6)

其中 \psi\Psi 的逆. Lazer 等[17] 和 Matero[18]还得到了全局估计(1.6)式. 由下面的定理 3.2 知 I_\eta\neq \infty 蕴含着(1.5)式.

对于一般形式的 K(x), Mohammed[19] 指出如果 K(x) 满足条件 (K) 且使得 Dirichlet 问题

\begin{equation} \label{K} M[u]=K(x),\ x\in \Omega,\; u=0,\ x\in \partial \Omega \end{equation}
(1.7)

有一个严格凸解, 那么问题(1.1)有一个严格凸解的条件是 f 满足条件 (f) 和(1.3)式(如前所述, 如果 \eta\in\Bbb R^1, 还需要满足(1.5)式). 在文献[32] 中, Zhang 和 Feng 证明了(1.3)式 (如果 \eta\in\Bbb R^1, 还要满足(1.5)) 是问题(1.1)存在严格凸解的充分必要条件.

由文献[4,定理1.1]知, 如果 K\in C^\infty(\overline \Omega), 那么问题(1.7)有严格凸解. 如果 K(x)\partial\Omega 附近奇异, 那么问题(1.7)并总是有解.

d(x):={\rm dist} (x,\partial\Omega). 在文献[5]中, 对于某些 \delta>0C>0, 当 0<K(x)<Cd(x)^{\delta-N-1}\ (x\in\Omega) 时, Cheng 和 Yau 证明了问题(1.7)有严格凸解.

在文献[20] 中, 对于某些 C>0, 当 K(x)\geq Cd(x)^{-N-1}\ (x\in\Omega) 时, Mohammed 证明了问题(1.7)没有严格凸解. Yang 和 Chang[30]推广了这些结果. 当 K(x) 满足条件 (K) 时, 他们得到了如下结论

(i) 对于某些 C>0, 如果在 \partial\Omega 附近 K(x)\geq Cd(x)^{-N-1}(-\ln d(x))^{-N}, 那么问题(1.7)没有严格凸解;

(ii) 对于某些 q>NC>0, 如果在 \partial\Omega 附近 K(x)\leq Cd(x)^{-N-1}(-\ln d(x))^{-q}, 那么问题(1.7)存在一个严格凸解.

下面, 我们介绍 Zhang 和 Du[31]得到的一个结果. 在这个结果中, 他们对于 K(x) 提出了一个新的条件. 这个条件保证了问题(1.7)存在或者不存在严格凸解, 并且比 Yang 和 Chang[30]提出的条件更具有一般性.

为了便于叙述, 我们用到以下符号.

p(t)\in C^1(0,\infty) 是一个正函数并且满足

p'(t)<0,\ \lim_{t\to 0^+}p(t)=+\infty.

为了区分其在t=0附近的行为, 假设 P(\tau)=\int_{\tau}^{1}p(t){\rm d}t. 如果

\begin{equation} \label{P_inftyp} \int_{0^+}[P(\tau)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}\tau<\infty, \end{equation}
(1.8)

那么我们称 p(t){\cal P}_{finite} 类. 如果

\int_{0^+}[P(\tau)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty,

那么我们称 p(t){\cal P}_\infty 类.

定理 1.1 (Zhang 和 Du[31,定理 1.5]) 令 K 满足条件 (K), 则

(i) 如果存在一个 {\cal P}_\infty 类函数 p(t)\partial \Omega 附近使得 K(x)\geq p(d(x)), 那么问题(1.7)没有严格凸解;

(ii) 如果存在一个 {\cal P}_{finite} 类函数 p(t)\partial \Omega 附近使得 K(x)\leq p(d(x)), 那么问题(1.7)有一个严格凸解.

另外, 在上面的情况 (ii) 中, 如果定义

\begin{equation} \label{omega} \omega_0(t):=\int_{0}^{t}(NP(\tau))^{\frac{1}{N}}{\rm d}\tau,\ \ \forall t\in (0,b), \end{equation}
(1.9)

那么问题(1.7)有一个严格凸解 u\in C^{\infty}(\Omega)\cap C(\overline\Omega) 使得

\begin{equation} \label{u_0} -l_{0}\,\omega_0(d(x))\leq u(x)<0,\ \ \forall x\in \Omega, \end{equation}
(1.10)

其中 l_{0}>0.

注 1.1 Zhang 和 Du[31] 中对函数 p(t) 的分类几乎是最好的. 事实上, 由众多文献知附加在函数p(t) 的条件等价于

\begin{equation} \label{P_infty1} \int_{0^+}[p(\tau)]^{\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau<\infty. \end{equation}
(1.11)

例如, 令

p(t)=t^{-N-1}(-\ln t)^{-\beta}, 0<t<t_{0}<1,\ \beta\in (N,N+1],

那么 p(t) 满足

\int_{0^+}[P(\tau)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}\tau<\infty,\ i.e. \ p\in P_{finite},

但是

\int_{0^+}[p(\tau)]^{\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty.

这表明条件(1.11)比条件(1.8)强. 条件(1.8)和条件(1.11)之间的关系由下图1 给出.

图1

图1   条件(1.8)和条件(1.11)之间的关系


对充分大的 t, 我们修正函数 p(t) 的定义. 对某些正常数 c_0 和充分大的 t (比如说 t\geq M_0), 令 p(t)=c_0{\rm e}^{-t}. 对这样的 p(t), 如果定义

\tilde P(\tau)=\int_\tau^\infty p(t){\rm d}t,

那么还能够得到

\begin{equation} \label{P_infty} \int_{0^+}[\tilde P(\tau)]^{\frac1N}{\rm d}\tau<\infty. \end{equation}
(1.12)

另外, 显然有

\begin{equation} \label{P/p} \tilde P(t)=c_0{\rm e}^{-t},\; \tilde P(t)/p(t)=1,\ \ \forall t\geq M_0,\ \mbox{且当}\ t\to 0 \ \mbox{时},\ \tilde P(t)/p(t)\to 0. \end{equation}
(1.13)

\begin{equation} \label{omega-1} \omega(t):=\int_{0}^{t}(N\tilde P(\tau))^{\frac{1}{N}}{\rm d}\tau,\ \ \forall\ t>0. \end{equation}
(1.14)

定义

\begin{equation} \label{1.13}J(s)=-\frac{\omega(s)\omega''(s)}{(\omega'(s))^2}.\end{equation}
(1.15)

假设 \lim\limits_{s\rightarrow 0^{+}}J(s) 存在, 并且用 J_{0} 表示.

如果假设 f 满足上面的条件, K 满足条件 (K) 并且存在一个 {\cal P}_{finite} 类函数 p(t) 使得 K(x)\sim p(d(x))J_{0}\neq 0, 那么由文献 [33,定理 1.5] (当 k=N 时)知, 对于某些 0<c_{2}<c_{1}, 严格凸解 u 满足

\begin{equation} \label{1-14}\psi(c_{1}[\omega(d(x))]^{\frac{N}{N+1}})\leq u(x)\leq \psi(c_{2}[\omega(d(x))]^{\frac{N}{N+1}}), x\in \Omega.\end{equation}
(1.16)

可以看出下列函数

p(t)=t^{\sigma}(\sigma>-1-N),\ \ \ p(t)=t^{-N-1}(-\ln t)^{-q}(q>N)

满足 J_{0}\neq 0.

最近, Zhang[34]得到了严格凸解的最优的全局估计和边界渐近行为. 作者对 f 的关键假设条件为

\begin{equation} \label{onf} \Gamma(s)=\int_{s}^\infty [Nf(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty,\forall s>\eta. \end{equation}
(1.17)

\begin{equation}\label{1-16}I_1(s)=\frac{\Gamma''(s)\Gamma(s)}{(\Gamma'(s))^2}.\end{equation}
(1.18)

关于 fK, 在适当条件下 (见第四部分), Zhang[34] 获得的主要结果是: 证明了问题(1.1)存在严格凸解, 并且有下面的全局渐近性质

\begin{equation} \gamma(c_{1}[\omega(d(x))]^{\frac{N}{N+1}})\leq u(x)\leq \gamma(c_{2}[\omega(d(x))]^{\frac{N}{N+1}}), x\in \Omega,\end{equation}
(1.19)

其中, \gamma(s) 表示 \Gamma(s) 的逆.

接下来有一个自然的问题:如果 K(x) 使得(1.7)式没有严格凸解, 问题(1.1)有没有严格凸解? 问题(1.1)有或者没有严格凸解将依赖于 f 在无穷远处的行为. 一般来说, 在这种情况下很难找到使得问题(1.1)有严格凸解的充要条件. Zhang 和 Du[31]仅考虑了径向对称的情况, 在 f 的不同条件下得到问题(1.1)有无穷多个严格凸解或者没有严格凸解的结果. 在本文中, 我们将在 \Omega 为一般区域的情况下给出问题(1.1)严格凸解不存在的结果.

由上面的文献可知, 如果 K\in C^\infty(\overline \Omega), 那么 \Psi,\ \Gamma,\ I_{\eta},\ I_{1\eta},

\int_{\eta^+}[F(s)]^{-1/(N+1)}{\rm d}s,\ \int_{\eta^{+}}[f(s)]^{-1/N}{\rm d}s

在研究严格凸解的存在性和渐近行为是起着重要作用. 事实上, 当 K\partial\Omega 附近具有奇异性时, \omegaJ_{0} 对严格图解的存在性和渐近行为也有影响. 很自然地, 我们想知道哪一个是最优条件. 在本文, 我们想对这个问题做一些有益的探索. 我们将应用 Karamata 正规变化理论研究它们对严格图解的存在性和渐近行为所起的作用.

由文献[31,定理 4.1]的证明可知: 如果 \eta=-\infty, 那么我们不需要条件(1.5). 如果 \eta\in \Bbb R, 用 f(t+\eta) 替换f(t), u-\eta 替换 u, 我们可以假定 \eta=0. 因此, 在本文我们仅仅考虑 \eta=0 的情况.

论文的其余部分做如下安排. 在第二部分, 我们将引入 Karamata 正规变化理论并且回顾一些下文证明中要用到的结论. 第三部分致力于对 \Psi,\ \Gamma,\ I_{\eta},\ I_{1\eta}

\int_{\eta^+}[F(s)]^{-1/(N+1)}{\rm d}s,\ \int_{\eta^{+}}[f(s)]^{-1/N}{\rm d}s

进行比较. 在第四部分, 我们将对上述文献的一些定理进行比较, 寻找条件和估计之间的关系. 在第五部分, 我们在 K(x) 使得问题(1.7)没有严格凸解的情况下给出问题(1.1)严格凸解不存在的结果.

2 Karamata 正规变化理论

在这一节, 我们将回顾和 Karamata 正规变化理论相关的概念和结论, 详细内容请见参考文献[2,15,26]. 另外, 我们还将研究 I_{0}, I_{\infty}, I_{10}I_{1\infty} 的性质.

定义2.1 对于 A>0, 假设 f 是定义在 [A,\infty) 上的一个正的可测函数. 如果对任意\xi>0 都有

\begin{equation} \lim_{s\to \infty} \frac{f(\xi s)}{f(s)}=\xi^\rho, \end{equation}
(2.1)

其中 \rho\in R, 那么称 f 在无穷远处正规变化. 记作 f \in RV_{\rho}.

一般地, 当 \rho=0 时, 称 f 在无穷远处慢变化. 容易看出, 如果 f \in RV_\rho, 那么函数 L(s)=\frac{f(s)}{s^\rho} 在无穷远处慢变化.

定义2.2 对于 A>0, 假设 f 是定义在 [A,\infty) 上的一个正的可测函数. 如果对每一个\rho>1 都有

\begin{equation} \lim_{s\to \infty}\frac{f(s)}{s^\rho}=\infty, \end{equation}
(2.2)

那么称 f 在无穷远处快变化.

命题2.1 (一致收敛定理) 令 f \in RV_\rho, 那么, 对任意 \xi \in [c_1,c_2] 满足 0<c_1<c_2,(2.1)式一致成立. 另外, 如果 \rho < 0, 那么一致收敛在 (c_{1}, \infty) 成立, 其中 c_{1} > 0; 如果 \rho > 0f (0, c_{2}] 上有界, 那么一致收敛在 (0, c_{2}] 成立, 其中 c_{2} > 0.

命题2.2 (表示定理) 假设 A_1\geq A, 称一个函数 L 在无穷远处慢变化当且仅当 L 可以表示成

L(s)=\psi(s)\exp\left(\int_{A_1}^s\frac{y(\tau)}{\tau}{\rm d}\tau\right),\ s\geq A_1,

其中 \psiy 是连续函数, 且对任意 s \to \infty 都有 y(s)\to 0,\ \psi (s) \to c_0, 其中 c_0>0.

有人称 \hat{L}(s)=c_0\exp\left(\int_{A_1}^s\frac{y(\tau)}{\tau}{\rm d}\tau\right) 是在无穷远处规范慢变化; 称 f(s)=s^\rho\hat{L}(s),\ s\geq A_{1}, 是在无穷远处规范正规变化, 记作 f\in NRV_\rho .

不难看出, 当 s\rightarrow \infty 时, L(s)\sim \hat {L}(s).

命题2.3 对于 A_1>0

\lim_{s\to \infty} \frac{sf'(s)}{f(s)}=\rho,

一个函数 f\in RV_\rho 属于 NRV_\rho 当且仅当 f\in C^1[A_1,\infty).

命题2.4 如果函数 f, gL 是在无穷远处慢变化, 那么

1) f^p (p \in R),\ c_1f+c_2g(c_1,c_2 \ge 0) f\circ g (如果当 s \to 0^+ g(s)\to 0) 也是在无穷远处慢变化.

2) 对每一个 \rho>0, 当 s\to \infty 时, s^{-\rho} L(s)\to 0,\ s^{\rho}L(s)\to \infty.

3) 对任意 \rho \in R, 当 s\to \infty 时, \frac{\ln(L(s))}{\ln s} \to 0,\ \mbox{且}\ \frac{\ln (s^\rho L(s))}{\ln s} \to \rho.

命题2.5 如果 f_1\in RV_{\rho_1},\ f_2\in RV_{\rho_2}, 那么 f_1f_2\in RV_{\rho_1+\rho_2}, \ f_1 \circ f_2 \in RV_{\rho_1 \rho_2}.

命题2.6 (渐近行为) 如果一个函数 L 在无穷远处是慢变化, 那么对于 a\geq 0, 当 s\to \infty 时,

1)\int_a^{t}s^\rho L(s){\rm d}s \cong (1+\rho)^{-1}t^{1+\rho}L(t),\ \forall\ \rho>-1;

2)\int_t^{\infty} s^\rho L(s){\rm d}s \cong (-1-\rho)^{-1}t^{1+\rho}L(t),\ \forall\ \rho<-1.

注2.1t\rightarrow \infty 时, 如果

\frac{\int_a^{t}s^{-1} L(s){\rm d}s}{L(t)}\rightarrow \infty,

那么命题 2.6 对于 \rho=-1 的情况依然成立.

命题 2.6 理解为 L(s) 可以当作 L(t) 从积分里面提出来L(t), 即

\int_a^{t}s^\rho L(s){\rm d}s\sim L(t) \int_a^{t}s^\rho {\rm d}s (t\rightarrow \infty).

\rho=-1 时, 令 z(s)=s^{-1}L(s), 则

命题2.7 (渐近行为[2,定理 1.5.9b]) 如果一个函数 z\in RV_{-1}\int_{s}^{\infty}z(\tau){\rm d}\tau<\infty, s>0, 那么 \int_{s}^{\infty}z(\tau){\rm d}\tau 在无穷远处是慢变化, 且

\lim\limits_{s\to\infty}\frac{sz(s)}{\int_{s}^{\infty}z(\tau){\rm d}\tau}=0.

类似于定义 2.1, 2.2, 对于 a_{1} > 0, 如果用 s\to 0^{+} 替换 s\to \infty, 那么还可以称定义在 (0, a_{1}) 上的连续函数 f0 点是正规变化, 慢变化, 快变化. 如果 f 关于指数 \rho0 点是正规变化, 那么就记作 f \in RVZ_{\rho}. 它也具有命题2.1 -命题2.7 的性质. 为了应用方便, 我们给出如下结果.

命题2.8 对于 s>0, 如果 z\in RV_{-1}\int_{s}^{a_{1}}z(\tau){\rm d}\tau<\infty, 那么 \int_{s}^{a_{1}}z(\tau){\rm d}\tau 在无穷远处是慢变化, 且

\lim\limits_{s\to 0^{+}}\frac{sz(s)}{\int_{s}^{a_{1}}z(\tau){\rm d}\tau}=0.

证明过程类似于文献[2,定理 1.5.9 b]中的证明, 我们在这里省略掉证明过程.

给出一些在 0 点正规变化, 慢变化和快变化的例子.

(1) [\ln(1+x)]^\beta0 点关于指数 \beta 是正规变化.

(2) \frac{1}{\ln\frac{1}{x}}0 点是慢变化.

(3) {\rm e}^{-\frac{1}{x}}0 点是快变化.

下面, 利用正规变化的理论, 我们证明 I(s)I_{1}(s) 等的性质.

由(1.3)式知

\Psi'(s)=-[(N+1)F(s)]^{-\frac{1}{N+1}},
\Psi''(s)=[(N+1)F(s)]^{-\frac{1}{N+1}-1}f(s).

从而, 得

-\frac{1}{\Psi'(s)}=[(N+1)F(s)]^{\frac{1}{N+1}}.

故, 由 I(s) 的定义得

I(s)=\frac{f(s)\Psi(s)}{[(N+1)F(s)]^{\frac{N}{N+1}}}.

假设极限 \lim\limits_{s\rightarrow \infty}I(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I(s) 存在, 且分别用 I_{\infty}I_{0} 表示, 则有如下结论.

引理2.1f 满足条件 (f) 和(1.3)式. 如果极限 \lim\limits_{s\rightarrow \infty}I(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I(s) 存在, 那么

I_{\infty}\ge 1,\ \ I_{0}\geq 1.

I(s)a(a>0)v 积分得

\begin{eqnarray*} \int_{a}^{v}I(s){\rm d}s&=&\int_{a}^{v}\frac{\Psi''(s)\Psi(s)}{(\Psi'(s))^2}{\rm d}s\\ &=&\int_{a}^{v}\frac{\Psi(s)}{(\Psi'(s))^2}{\rm d}\Psi'(s)\\ &=&\frac{\Psi(s)}{\Psi'(s)}\Big|_{a}^{v}-\int_{a}^{v}\frac{(\Psi'(s))^3-2\Psi(s)\Psi'(s)\Psi''(s)}{(\Psi'(s))^3}{\rm d}s\\ & =&\frac{\Psi(v)}{\Psi'(v)}-\frac{\Psi(a)}{\Psi'(a)}-v+a+2\int_{a}^{v}I(s){\rm d}s. \end{eqnarray*}

因为 \Psi'(v)<0, 所以得到

0\ge \lim\limits_{v\to \infty}\frac{\Psi(v)}{v\Psi'(v)}=1-\lim\limits_{v\to \infty}\frac{\int_{a}^{v}I(s){\rm d}s}{v}=1-\lim\limits_{v\to \infty}I(v)=1-I_{\infty},

I_{\infty}\ge 1. 类似地, 可以证明 I_{0}\ge 1. 证毕.

引理2.2f 满足条件 (f) 和(1.3)式. 假设极限 \lim\limits_{s\rightarrow \infty}I(s) 存在, 那么

(1) I_{\infty}\in (1,\infty) 当且仅当 F\in NRV_{q+1}\ (q>N). 从这个意义上说, f\in RV_{q};

(2) 如果 I_{\infty}=1, 那么 F 在无穷远处是快变化;

(3) 如果 F\in NRV_{N+1}, 那么 I_{\infty}=\infty.

(1) 必要性. 由引理 2.1 得

\begin{matrix}\label{3.6I} \lim\limits_{s\to \infty}\frac{-\frac{1}{\Psi'(s)}}{s(-\frac{1}{\Psi'(s)})'} &=&-\lim\limits_{s\to \infty}\frac{\frac{1}{\Psi'(s)}\Psi(s)}{s\frac{\Psi''(s)}{(\Psi'(s))^2}\Psi(s)} \\ & =&-\frac{1}{I_{\infty}}\lim\limits_{s\to \infty}\frac{\frac{\Psi(s)}{\Psi'(s)}}{s} \\ & =&-\frac{1}{I_{\infty}}\lim\limits_{s\to \infty}\frac{(\Psi'(s))^2-\Psi(s)\Psi''(s)}{(\Psi'(s))^2} \\ & =&\frac{I_{\infty}-1}{I_{\infty}}. \end{matrix}
(2.3)

根据命题 2.3 得

-\frac{1}{\Psi'(s)}\in NRV_{I_{\infty}/(I_{\infty}-1)}.

这表明 F\in NRV_{(N+1)I_{\infty}/(I_{\infty}-1)}.q+1 表示 (N+1)I_{\infty}/(I_{\infty}-1), 那么 q+1>N+1, 即 q>N.

充分性. 如果 F\in NRV_{q+1}\ (q>N), 那么

-\frac{1}{\Psi'}\in NRV_{(q+1)/(N+1)},

\lim\limits_{s\to \infty}\frac{s(-\frac{1}{\Psi'(s)})'}{-\frac{1}{\Psi'(s)}}=\frac{q+1}{N+1},\ \ -\frac{1}{\Psi'(s)}=s^{\frac{q+1}{N+1}}\hat{L}(s), \ \ \forall s\ge S_{0},

其中 S_{0} 充分大, \hat{L}(s) 在无穷远处是规范慢变化. 故, 由命题 2.6 知

\begin{eqnarray*} \lim\limits_{s\to \infty}(-\frac{1}{\Psi'(s)})'\Psi(s) &=&\lim\limits_{s\to \infty}\frac{s(-\frac{1}{\Psi'(s)})'}{-\frac{1}{\Psi'(s)}}\lim\limits_{s\to \infty}\frac{-\frac{1}{\Psi'(s)}}{s}\Psi(s)\\ &=&\frac{q+1}{N+1}\lim\limits_{s\to \infty}s^{\frac{q-N}{N+1}}\hat{L}(s)\int_{s}^{+\infty}\tau^{-\frac{q+1}{N+1}}\hat{L}^{-1}(\tau){\rm d}\tau\\ &=&\frac{q+1}{N+1}\lim\limits_{s\to \infty}s^{\frac{q-N}{N+1}}\hat{L}(s)(\frac{q+1}{N+1}-1)^{-1}s^{1-\frac{q+1}{N+1}}\hat{L}^{-1}(s). \end{eqnarray*}

从而 I_{\infty}=\frac{q+1}{q-N}>1.

从这个意义上说, F(s)=s^{q+1}\hat{L}(s), \forall s\geq S_{0}. 因此, 由命题 2.2 知

f(s)=s^q[(q+1)+y(s)]\hat{L}(s)\in RV_{q}, \forall s\geq S_{0},

其中 \lim\limits_{s\to \infty}y(s)=0.

(2) 若 I_{\infty}=1, 则由(2.3)式得

\lim\limits_{s\to \infty}\frac{s(-\frac{1}{\Psi'(s)})'}{-\frac{1}{\Psi'(s)}}=\infty.

\frac{s(-\frac{1}{\Psi'(s)})'}{-\frac{1}{\Psi'(s)}}:=y(s),\forall s>0,

\begin{equation} \label{3.7I} \frac{(-\frac{1}{\Psi'(s)})'}{-\frac{1}{\Psi'(s)}}=\frac{y(s)}{s},\forall s>0. \end{equation}
(2.4)

对(2.4)式由 S_{0}s 积分得

-\frac{1}{\Psi'(s)}=c_{0}\mbox{exp}\ \bigg(\int_{S_{0}}^{s}\frac{y(\tau)}{\tau}{\rm d}\tau\bigg),\ s>S_{0},

其中 c_{0}=-\frac{1}{\Psi'(S_{0})}.

根据 \lim\limits_{s\to \infty}y(s)=\infty, 则对每一个 \xi>1

\begin{equation} \label{3.8I} -\frac{1}{\Psi'(\xi s)}/-\frac{1}{\Psi'(s)}=\exp \bigg(\int_{s}^{\xi s}\frac{y(\tau)}{\tau}{\rm d}\tau\bigg) =\exp \bigg(\int_{1}^{\xi}\frac{y(sv)}{v}{\rm d}v\bigg)\rightarrow\infty \ \mbox{as}\ s\rightarrow\infty. \end{equation}
(2.5)

这表明 -\frac{1}{\Psi'(s)} 在无穷远处是快变化. 因此, F 在无穷远处是快变化.

(3) 如果 F\in NRV_{N+1}, 那么由命题 2.3 知

-\frac{1}{\Psi'(s)}\in NRV_{1}, -\Psi'(s)\in NRV_{-1}.

这表明

\lim\limits_{s\to \infty}\frac{s(-\frac{1}{\Psi'(s)})'}{-\frac{1}{\Psi'(s)}}=1.

故, 由(1.3)式和命题 2.7 知

\lim\limits_{s\to \infty}\frac{s\Psi'(s)}{\int_{s}^{\infty}\Psi'(\tau){\rm d}\tau}=0.

从而

I_{\infty}=\lim\limits_{s\to \infty}\frac{\Psi''(s)\Psi(s)}{(\Psi'(s))^2}=\lim\limits_{s\to \infty}\frac{s(\frac{1}{\Psi'(s)})'}{\frac{1}{\Psi'(s)}}\frac{\int_{s}^{\infty}(-\Psi'(\tau)){\rm d}\tau}{-s\Psi'(s)}=\infty.

引理 2.2 证毕.

类似地, 得到下面的引理.

引理2.3 如果 f 满足条件 (f) 和(1.3)式, 且极限 \lim\limits_{s\rightarrow 0^+}I(s) 存在, 那么

(1) I_{0}\in (1,\infty) 当且仅当 F\in NRVZ_{q+1}\ (q>N). 从这个意义上说, f\in RVZ_{q};

(2) 如果 I_{0}=1, 那么 F0 点是快变化;

(3) 如果 F\in NRVZ_{N+1}, 那么 I_{0}=\infty.

引理2.4 对于 a_{1}>0, 令 f 是定义在 (0,a_{1}) 上的一个正的可测函数, 且 \lim\limits_{s\to 0^{+}}f(s)=0. 那么下列结论成立

(1) 如果 f0 点是快变化, 或者 f\in RVZ_{q}\ (q>N), 那么(1.5)式成立;

(2) 如果 f0 点是慢变化, 或者 f\in RVZ_{q}\ (q<N), 那么(1.5)式不成立.

(1) 假设 f0 点是快变化, 那么 \lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{f(s)}{s^N}=0. 这表明存在 \delta>0 使得 f(s)<s^N, \forall 0<s<\delta. 因此

F(s)<\frac{1}{N+1}s^{N+1}, \forall 0<s<\delta.

\int_{0}^{\delta}F(s)^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}s=\infty.

这表明(1.5)式成立.

另外, 如果 f\in RVZ_{q}\ (q>N), 那么 F\in RVZ_{q+1}\ (q+1>N+1). 因此, F(s)=s^{N+1}L(s), 其中 L(s)0 点是慢变化. 由命题 2.6 得

\begin{eqnarray*} \int_{t}^{\infty}[(N+1)F(s)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}s &=&\int_{t}^{\infty}(N+1)^{-\frac{1}{N+1}}s^{-\frac{q+1}{N+1}}(L(s))^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}s\\ &=&(\frac{q-N}{N+1})^{-1}t^{\frac{N-q}{N+1}}(L(t))^{-\frac{1}{N+1}}\rightarrow\infty \ \mbox{as}\ t\rightarrow 0. \end{eqnarray*}

故(1.5)式成立.

(2) 证明过程同上.

引理2.4得证.

注2.2 如果 f\in RVZ_{N}, 那么我们不能断定(1.5)式是否成立. 例如, 令

F(s)=s^{N+1}(\ln\frac{1}{s})^\beta, 0<s<1,

F\in RVZ_{N+1},\ f\in RVZ_{N}\ \mbox{且}\ \lim\limits_{s\to 0^{+}}f(s)=0. 因此

\begin{eqnarray*} \int_{t}^{a_{1}}[(N+1)F(s)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}s &=&\int_{t}^{a_{1}}(N+1)^{-\frac{1}{N+1}}s^{-1}(\ln\frac{1}{s})^{-\frac{\beta}{N+1}}{\rm d}s\\ &=& -(N+1)^{-\frac{1}{N+1}}\frac{N+1}{N+1-\beta}(\ln\frac{1}{s})^{\frac{N+1-\beta}{N+1}}\Big|_{t}^{a_{1}}\\ &\rightarrow& \left\{\begin{array}{ll} 0,\ &\beta>N+1,\\ \infty,\ &\beta\leq N+1, \end{array} \right. \mbox{as}\ \ t\rightarrow 0^{+}. \end{eqnarray*}

类似地, 可得引理2.5.

引理2.5 对于 A_{1}>0, 令 f 是定义在 (A_{1},\infty) 上的一个正的可测函数, 且 \lim\limits_{s\to \infty}f(s)=\infty. 那么下列结论成立

(1) 如果 f 在无穷远处是快变化, 或者 f\in RV_{q}\ (q>N), 那么(1.3)式成立;

(2) 如果 f 在无穷远处是慢变化, 或者 f\in RV_{q}\ (q<N), 那么(1.3)式不成立.

注2.3f\in RV_{q}\ (q=N), 那么不能断定(1.3)式是否成立.

例如, 对充分大的 s, 令 F(s)=s^{N+1}(\ln s)^\beta, 那么 F\in RV_{N+1},\ f\in RV_{N}\ \mbox{且}\ \lim\limits_{s\to \infty}f(s)=\infty. 因此,

\begin{eqnarray*} \int_{a_{1}}^{t}[(N+1)F(s)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}s &=&\int_{a_{1}}^{t}(N+1)^{-\frac{1}{N+1}}s^{-1}(\ln s)^{-\frac{\beta}{N+1}}{\rm d}s\\ &= &(N+1)^{-\frac{1}{N+1}}\frac{N+1}{N+1-\beta}(\ln s)^{\frac{N+1-\beta}{N+1}}\Big|_{a_{1}}^{t}\\ &\rightarrow& \left\{\begin{array}{ll} 0,\ &\beta>N+1,\\ \infty,\ &\beta\leq N+1, \end{array} \right. \mbox{as}\ \ t\rightarrow \infty. \end{eqnarray*}

由(1.17)式得 \Gamma'(s)=-[Nf(s)]^{-\frac{1}{N}},\ \Gamma''(s)=[Nf(s)]^{-\frac{1}{N}-1}f'(s), 进而

-\frac{1}{\Gamma'(s)}=[Nf(s)]^{\frac{1}{N}}.

I_{1}(s)=\frac{f'(s)\Gamma(s)}{[Nf(s)]^{\frac{N-1}{N}}}.

假设 \lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_1(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I_1(s) 存在且分别用 I_{1\infty}I_{10} 表示.

类似于引理 2.1 -引理2.3, 还可以得到如下结果.

引理2.6 如果 f 满足条件 (f) 和(1.17)式, 且极限 \lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_1(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I_1(s) 存在, 那么 I_{1\infty}\ge 1,\ I_{10}\geq 1.

引理2.7 如果 f 满足条件 (f) 和(1.17)式, 且极限 \lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_1(s) 存在, 那么

(1) I_{1\infty}\in (1,\infty) 当且仅当 F\in NRV_{q+1}\ (q>N). 从这个意义上说, f\in RV_{q};

(2) 如果 I_{1\infty}=1, 那么 F 在无穷远处是快变化;

(3) 如果 F\in NRV_{N+1}, 那么 I_{1\infty}=\infty.

引理2.8 如果 f 满足条件 (f) 和(1.17)式, 且极限 \lim\limits_{s\rightarrow 0^+}I_1(s) 存在, 那么

(1) I_{10}\in (1,\infty) 当且仅当 F\in NRVZ_{q+1}\ (q>N). 从这个意义上说, f\in RVZ_{q};

(2) 如果 I_{10}=1, 那么 F0 点是快变化;

(3) 如果 F\in NRVZ_{N+1}, 那么 I_{10}=\infty.

接下来我们考虑 J(s)的性质. 由(1.14)和(1.15)式有

J(s)=\frac{p(s)\int_{0}^s[N\tilde P(\tau)]^\frac{1}{N}{\rm d}\tau}{[N\tilde P(s)]^\frac{N+1}{N}}.

引理2.9p\in {\cal P}_{finite} 如第一部分定义, 则 J_{0}\geq 0.

引理2.10p\in {\cal P}_{finite} 如第一部分定义, 且\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}I_1(s) 存在, 那么

(1) J_{0}\in (0,\infty) 当且仅当 \tilde P\in NRVZ_{q+1}-1>q>-N-1. 从这个意义上说, p\in RVZ_{q};

(2) 如果J_{0}=0, 那么 \tilde P0点慢变化;

(3) 如果 \tilde P\in NRVZ_{-N}, 那么 J_{0}=\infty.

引理2.11p\in {\cal P}_{finite} 如第一部分定义.

(1) 如果 p0 点慢变化或 p\in RVZ_{q}q>-N-1, 那么(1.12)式成立;

(2) 如果 p0 点快变化或 p\in RVZ_{q}q<-N-1, 那么(1.12)式不成立.

(1) 如果 p0 点慢变化, 则由命题 2.4 得 \lim\limits_{s\rightarrow 0^+}s^2 p(s)=0. 因此存在 \delta>0 使得 p(s)<s^{-2}, \ \forall \ 0<s<\delta. 从而\tilde P(s)<s^{-1}, \ \forall \ 0<s<\delta. 从而得到

\int_{0}^{s}[N\tilde P(\tau)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}\tau<\infty.

这表明(1.12)式成立.

p\in RVZ_{q}q>-N-1, 则有 \tilde P\in RVZ_{q+1}q+1>-N. 因此 \tilde P(s)=s^{q+1}L(s),其中 L(s)0 点慢增长. 由命题 2.6 我们有

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}[N\tilde P(s)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}s&=&\int_{0}^{t}N^{\frac{1}{N}}s^{\frac{q+1}{N}}(L(s))^{\frac{1}{N}}{\rm d}s\\ &=&N^{\frac{1}{N}}(\frac{q+1}{N}+1)^{-1}t^{\frac{q+1}{N}+1}(L(t))^{\frac{1}{N}}\rightarrow 0\ \mbox{as}\ t\rightarrow 0, \end{eqnarray*}

这表明(1.12)式成立.

(2) 设 p0 点快增长, 则由定义 2.2 我们得到

\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}p(s)s^{N+1}=\infty.

因此存在很小的 \delta>0 和很大的 M>0 使得 p(s)>Ms^{-N-1}, \ \forall \ 0<s<\delta. 从而

\tilde P(s)>\frac{M}{N}s^{-N}, \forall \ 0<s<\delta.

由此可以得到

\int_{0}^{s}[N\tilde P(\tau)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty.

这表明(1.12)式不成立

如果 p\in RVZ_{q}q<-N-1, 则我们有 \tilde P\in RVZ_{q+1}q+1<-N. 从而 \tilde P(s)=s^{q+1}L(s), 其中 L(s)0 点慢变化. 由命题2.6 我们有

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}[N\tilde P(s)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}s&=&\int_{0}^{t}N^{\frac{1}{N}}s^{\frac{q+1}{N}}(L(s))^{\frac{1}{N}}{\rm d}s\\ &=&N^{\frac{1}{N}}(-\frac{q+1}{N}-1)^{-1}t^{\frac{q+1}{N}+1}(L(t))^{\frac{1}{N}}\rightarrow \infty\ \mbox{as}\ t\rightarrow 0. \end{eqnarray*}

这表明(1.12)式不成立. 引理2.11证毕.

注2.4 如果 p\in RVZ_{q}q=-N-1, 则我们不能判断(1.12)式是否成立. 例如, 取 \tilde P(s)=s^{-N}(\ln s)^{-\beta}, 则有\tilde P\in RVZ_{-N}, p\in RVZ_{-N-1}. 从而

\begin{eqnarray*} \int_{0}^{t}[N\tilde P(s)]^{\frac{1}{N}}{\rm d}s &=&\int_{0}^{t}N^{\frac{1}{N}}s^{-1}(\ln s)^{-\frac{\beta}{N}}{\rm d}s\\ &= &N^{\frac{1}{N}}\frac{N}{N-\beta}(\ln s)^{\frac{N-\beta}{N}}\Big|_{0}^{t}\\ &\rightarrow& \left\{\begin{array}{ll} 0,\ &\beta>N,\\ \infty,\ &\beta\leq N, \end{array} \right. \mbox{as}\ \ t\rightarrow 0^{+}. \end{eqnarray*}

3 成对条件的比较

在本节, 我们主要分析对f施加的各种条件, 并研究附加在 \Psi,\ \Gamma,\ I_{\eta},\ I_{1\eta}

\int_{\eta^+}[F(s)]^{-1/(N+1)}{\rm d}s,\ \int_{\eta^{+}}[f(s)]^{-1/N}{\rm d}s

上各种条件之间的关系.

第一个结果是处理 \int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty\int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty之间的关系.

定理3.1 (1) 如果 f\in RV_p(p>N) 或者 f 在无穷远处是快变化, 那么

\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty \ \mbox{且}\ \int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty.

(2) 如果 f\in RV_p(p<N) 或者 f 在无穷远处是慢变化, 那么

\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty \ \mbox{且}\ \int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau=\infty.

(3) 如果 f\in RV_N, 那么 \int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty 蕴含着 \int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty. 但是反之不成立.

(1) 如果 f\in RV_p(p> N), 那么 F\in RV_{p+1},\ f(s)=s^pL(s),\ F(s)=s^{p+1}L(s), 其中 L(s) 在无穷远处是慢变化. 由命题 2.6 知

\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty,\int_s^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau <\infty.

另外, 如果 f 在无穷远处是快变化, 那么对 \rho>N\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\frac{f(s)}{s^{\rho}}=\infty. 因此存在 M>0S>0 使得对任意 s>S 都有 f(s)>Ms^{\rho}, 进而得到 f(s)^{-\frac{1}{N}}<[Ms^{\rho}]^{-\frac{1}{N}}.

\tau (\tau>S)\infty 积分得

\int_\tau^\infty [f(s)]^{-1/N}{\rm d}s <\infty.

类似地, 可以证明

\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty.

(2) 如果 f\in RV_p (p<N), 那么由命题 2.6 知

\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty,\int_s^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau =\infty.

另外, 如果 f 在无穷远处是慢变化, 那么由命题 2.4 得 \lim\limits_{s\rightarrow\infty}\frac{f(s)}{s^N}=0.

因此存在 m>0S>0 使得对于任意 s>S 都有 f(s)<ms^N, 进而得到

f(s)^{-\frac{1}{N}}>[ms^N]^{-\frac{1}{N}}.

\tau (\tau>S)\infty 积分得

\int_\tau^\infty [f(s)]^{-1/N}{\rm d}s =\infty.

类似地, 可以证明

\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty.

(3) 如果 f\in RV_N, 由文献 [12,引理 2.1]知

\lim_{t\to\infty} \frac{F(t)^{1/(N+1)}}{f(t)^{1/N}}=0.

\int_s^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty.

反过来, 对充分大的 u, 令 f(u)=u^N(\log u)^\alpha,\alpha\in (N, N+1], 那么

\int_s^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau <\infty

\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty.

这表明\int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty不能蕴含着 \int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty. 定理3.1得证.

下面的结果是处理 I_0\neq \infty\int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty 之间的关系.

定理3.2I_0\neq \infty 蕴含着 \int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty, 但是反之不成立.

根据引理 2.12, 2.13, 我们可以从 I_0\neq \infty 推导出 \int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty.

下面, 通过一个例子证明反之不成立.

f_1(x)=\frac{\ln x+\sqrt{(\ln x)^2+4}}{2}

表示 g(x)={\rm e}^{x-\frac{1}{x}} 的逆.

通过计算知道

(1)

\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f_1(x)=0,\ \lim\limits_{x\rightarrow \infty}f_1(x)=\infty

f_1(x)(0,\infty) 上是增函数.

(2)

f_1(x)\sim -\frac{1}{\ln x}(x\rightarrow 0^+),\ f_1(x)\sim \ln x(x\rightarrow \infty).

(3) f_1(x)0 点和 \infty 处都是慢变化.

F(x)=x^{N+1}[f_1(x)]^{\beta}(\beta> N+1),

F(x)\sim x^{N+1}(-\frac{1}{\ln x})^{\beta}(x\rightarrow 0^+),~F(x)\sim x^{N+1}(\ln x)^{\beta}(x\rightarrow \infty).

因此,

\int_{s}^\infty [(N+1)F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau\sim\int_{s}^\infty (N+1)^{-1/(N+1)}x^{-1}(\ln x)^{-\frac{\beta}{N+1}}{\rm d}\tau<\infty,
\int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau\sim\int_{0^{+}} x^{-1}(-\ln x)^{\frac{\beta}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty,

\begin{eqnarray*} I_0&=&\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{f(s)\Psi(s)}{[(N+1)F(s)]^{\frac{N}{N+1}}}\\ & =&\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{s^Nf_1^{\beta}\bigg[(N+1)+\frac{\beta}{\sqrt{(\ln s)^2+4}}\bigg](-\ln x)^{\frac{N+1+\beta}{N+1}}}{(N+1-\beta)s^Nf_1^{\frac{N\beta}{N+1}}}\\ &=&\infty. \end{eqnarray*}

这表明由 \int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty 推不出 I_0\neq\infty. 定理 3.2 得证.

定理 3.3 将要处理 I_{10}\neq \infty\int_{0^+}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty 之间的关系.

定理3.3I_{10}\neq \infty 蕴含着 \int_{0^+}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty, 但是反之不成立.

f_1(x) 和定理 3.2 中的定义一样. 另外, 假设

f(x)=x^N[f_1(x)]^{\beta}(\beta> N),

那么

f(x)\sim x^{N}(-\frac{1}{\ln x})^{\beta}(x\rightarrow 0^+),~f(x)\sim x^{N}(\ln x)^{\beta}(x\rightarrow \infty).

类似于定理 3.2 的证明可得

\int_{0^+}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty,\ I_{10}=\infty.

因此,

\int_{0^+}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty

不能蕴含 I_{10}\neq\infty. 定理 3.3 得证.

最后, 考察

\int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty

\int_{0^+}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty

之间的关系.

定理3.4 (1) 如果 f\in RVZ_p,p>N 或者 f0 点是快变化, 那么

\int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau=\infty\ \mbox{且}\ \int_{0^+} [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty.

(2) 如果 f\in RVZ_p(p<N) 或者 f 在无穷远处是慢变化, 那么

\int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty\ \mbox{且}\ \int_{0^+} [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty.

(3) 如果 f\in RVZ_N, 那么

\int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau=\infty

蕴含着

\int_{0^+} [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty,

但是反之不成立.

因为(1) 和 (2) 的证明过程类似于定理 3.1 的证明, 所以省略.

下面, 证明 (3) 成立. 假设

f(s)=(N+1)s^NL(s)+s^{N+1}L'(s)

满足

\int_{0^{+}}[f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau=\infty,

其中L(s)\in C^1(0,a)(a>0) 在无穷远处是慢变化, 那么f\in RVZ_NF(s)=s^{N+1}L(s).

如果\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}L(s)=c\geq 0, 那么

\int_{0^+} [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau =\int_{0^+}\tau^{-1}(L(\tau))^{-1}{\rm d}\tau >k\int_{0^+}\tau^{-1}{\rm d}\tau =\infty.

如果 \lim\limits_{s\rightarrow 0^+}L(s)=\infty, 那么

\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{[F(s)]^{\frac{N}{N+1}}}{f(s)}=\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{[L(s)]^{\frac{N}{N+1}}}{(N+1)L(s)+sL'(s)} =\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{1}{(N+1)[L(s)]^{\frac{1}{N+1}}+\frac{sL'(s)}{[L(s)]^{\frac{N}{N+1}}}}.

由规范慢变化的定义知

L(s)=c_0\exp\left(\int_{A_1}^s\frac{y(\tau)}{\tau}{\rm d}\tau\right).

因此,

\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{sL'(s)}{[L(s)]^{\frac{N}{N+1}}}=0.

从而

\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{[F(s)]^{\frac{N}{N+1}}}{f(s)}=0.

\int_{0^+} [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty.

反过来, 令

F(s)=s^{N+1}(\ln\frac{1}{s})^\beta,\ N<\beta\leq N+1.

则由知

\int_{0^+} [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty,\ \int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty.

定理 3.4 得证.

4 文献[31], [33]和[34]中边界爆破解的最优估计

在本节, 我们将对已有文献中的一些最优估计的结果作进行比较, 并阐述条件和估计之间的关系: 何种条件导致何种估计.

定理4.1 ([31,定理 1.2]) 假设 K(x) 满足条件(K) 并且使得问题(1.7)有一个严格凸解. 假设 f(u) 满足条件 (f),并且当 \eta\in \Bbb R^1 时, 它还满足条件(1.5). 那么, 当条件(1.3)成立时, 问题(1.1)有一个严格凸解.

注 4.1 由定理 4.1 的证明知问题(1.1)的解 u(x) 有如下全局估计

\begin{equation}\label{4.1}\gamma_1(c_1d(x))\leq u(x)\leq \psi(c_2d(x)), x\in \Omega,\end{equation}
(4.1)

其中 0<c_2<c_1 是常数, 且 \gamma_1(s)

\Gamma_1(s)=-\int_s^{\infty}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=-\Gamma(s)

的逆, 不管\int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau=\infty, 还是 \int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty.

注 4.2 Zhang 和 Feng[32]给出了定理 4.1 中条件(1.3)必要性的证明.

b(x) 替换 K(x)时, Zhang[34] 研究了问题(1.1). 假设 fb 满足如下条件

(S_1) f\in C^1[0,\infty), f(0)=0,f[0,\infty) 上严格增; 或者

(S_{01}) f\in C^1(R), f(s)>0,\forall s\in R,f\Bbb R 上严格增.

(f_1) \int_{s}^{\infty}\frac{{\rm d}\tau}{H(\tau)}<\infty, H(s)=f(s)^{1/N}.

(f_{2}) 存在 E^{\infty}_{f}\in (0,\infty) 使得 \lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_{f}(s)=E^{\infty}_{f}, 其中

I_{f}(s)=H'(s)\int_{s}^{\infty}\frac{{\rm d}\tau}{H(\tau)}.

(f_{3}) 如果 \eta>-\infty, \int_{\eta^{+}}\frac{{\rm d}\tau}{H(\tau)}=\infty, 那么存在 E^{\eta}_{f}\in (0,\infty) 使得 \lim\limits_{s\rightarrow \eta^{+}}I_{f}(s)=E^{\eta}_{f}.

(f_{4}) 如果 \eta=-\infty, 那么存在 E^{-\infty}_{f}\in (0,\infty) 使得 \lim\limits_{s\rightarrow -\infty}I_{f}(s)=E^{-\infty}_{f}.

(B_{1})b\in C^{\infty}(\Omega)\Omega 上是正的.

(b_{1}) 存在正数b_{i}(i=1,2)\sigma>-1-N使得 b_1(d(x))^{\sigma}\leq b(x)\leq b_2(d(x))^{\sigma}, x\in \Omega.

(b_{3}) 存在 \mu>1 和正数 b_{i}(i=1,2) 使得

b_1(d(x))^{-1-N}(-\ln(d(x)))^{-N\mu}\leq b(x)\leq b_2(d(x))^{-1-N}(-\ln(d(x)))^{-N\mu}, x\in \Omega.

由第一节知在条件 (b_{1}) 和 (b_{3}) 中的函数属于 P_{finite} 类. 为了证明方便, 把它们记为

(B) 存在正数 b_{i}(i=1,2)p\in P_{finite} 使得 b_1p(d(x))\leq b(x)\leq b_2p(d(x)), x\in \Omega.

因此, 可以把 Zhang 在文献[34]中的定理描述为如下定理4.2.

定理4.2 ([34,定理 2.4]) 令 f 满足条件 (S_1)(或者 S_{01}), (f_1), (f_2) 和条件 (f_3)(或者 (f_4)). 如果 b 满足条件 (B_{1}) 和 (B), 那么问题(1.1)有一个严格凸解 u 且满足

\begin{equation}\label{4.2}\gamma(c_1\omega(d(x)))\leq u(x)\leq \gamma(c_2\omega(d(x))),\end{equation}
(4.2)

其中 0<c_2<c_1 是常数.

注 4.3 如果定理 4.2 中的 b\in C^{\infty}(\bar\Omega) 是正的, 那么严格凸解 u 的全局估计是

\begin{equation}\label{4.3}\gamma(c_1d(x))\leq u(x)\leq \gamma(c_2d(x)),\end{equation}
(4.3)

注 4.4 由文献[31,定理 4.1]知, 当 \eta=-\infty 时, 不需要条件(1.5). 因此, 定理 4.2 中的条件 (f_{4}) 可以省略.

注 4.5 由(1.18)式, 条件 (f_{2}) 和条件 (f_{3})E^{\eta}_{f},\ E^{\infty}_{f}I_{1\eta},\ I_{1\infty} 有同样的含义. 如果 \eta>-\infty, 那么可以假定 \eta=0. 那么 (f_{2}) 等价于 I_{1\infty}\neq \infty; (f_{3}) 等价于 I_{10}\neq \infty. 由文献[34,定理 4.2]的证明过程可以看出, 为了使用 \gamma 构造上估计, 作者对 f 附加了条件 I_{1\infty}\neq \infty. 由引理 2.7 知I_{1\infty}\neq \infty 蕴含着 f\notin RV_N. 然而, 当我们使用 \psi 构造上估计时, 我们不需要这个极限条件.

同时, 作者为了控制下估计, 对 f 附加了条件 I_{10}\neq \infty. 不过, 根据定理 3.3 和定理 3.4 可知条件 I_{10}\neq \infty 比条件(1.5)强. 从这个意义上说, 当 b\in C^{\infty}(\bar\Omega) 时, 定理 4.1 给出了比定理 4.2 更好的估计. 至此, 如果存在严格凸解, 那么(4.1)式是在最弱条件下的最优全局估计.

以下定理是来自于 Zhang 和 Feng[33] (当 k=N 时).

定理4.3 ([33,定理 1.3]) 假设 K(x) 满足条件 (K) 且 K\in C^{\infty}(\bar\Omega) 是正的, f(u) 满足条件 (f) 且使得 I_{0}\neq \infty. 那么问题(1.1)存在一个严格凸解 u 的充分必要条件是(1.3)式成立, 且 u 满足

\begin{equation}\label{4.4}\psi(c_{1}d(x))\leq u(x)\leq \psi(c_{2}d(x)), x\in \Omega,\end{equation}
(4.4)

其中 0<c_{2}<c_{1}.

定理4.4 ([33,定理 1.5]) 假设 K(x) 满足条件 (K) 且存在一个 {\cal P}_{finite} 类函数 p(t) 使得在 \partial \Omega 附近有

k_{2}p(d(x))\leq H(x)\leq k_{1}p(d(x)),

其中 k_{1}>k_{2}>0. 另外, 假定 f(u) 满足条件 (f) 且使得 I_{0}\neq \infty, 并且 I_{\infty}=\inftyJ_{0}=\infty 不能同时成立. 那么, 当条件(1.3)成立时, 问题(1.1)有一个严格凸解u, 且 u 满足

\begin{equation} \label{4.5}\psi(c_{1}[\omega(d(x))]^{\frac{N}{N+1}})\leq u(x)\leq \psi(c_{2}[\omega(d(x))]^{\frac{N}{N+1}}), x\in \Omega,\end{equation}
(4.5)

其中 0<c_{2}<c_{1}.

注 4.6 条件(1.3)的必要性在定理 4.4 中亦成立.

注 4.7 在定理 4.3 中, 用 I_0\neq \infty 替换条件(1.5), 我们也可以得到最优的全局估计(4.4). 由定理 3.2 知 I_0\neq \infty 要比条件(1.5)强. 然而,(4.4)式能帮助我们获得更好的边界估计.

注 4.8 由引理 2.3 和引理 2.8 知 I_0\neq \infty 等价于 I_{10}\neq \infty. 由引理 2.2 和引理 2.7 知 I_{\infty}\neq \infty 等价于 I_{1\infty}\neq \infty. 在这种情况下 f\notin RV_Nf\notin RVZ_N, 可以借助 \gamma 或者 \psi 构造解的全局估计. 从而, 我们就能够得到(4.2)式或者(4.4)式. 特别地, 当

f=u^p(p>N),\ p(x)=x^{\beta}(\beta>-1-N)

时,(4.2)式就是(4.4)式. 然而, 由定理 4.4 知我们有更多的选择, 即如果 J_{0}\neq\infty, 那么我们可以允许 I_{\infty}=\infty. 在这种情况下,(4.4)式依然成立, 不过我们得不到(4.2)式中上界估计. 故定理 4.2 中的条件比定理 4.4 中的条件强.

5 K(x) 使得方程(1.7)K 没有严格凸解的情况

在这一部分我们研究当K(x) 使得方程(1.7)没有严格凸解时方程(1.1)不存在严格凸解的情形. 因为以前几乎没有论文考虑这种情况下在一般区域上方程(1.1)不存在严格凸解的情形,所以需要特别的知识和技巧.

定理5.1K(x) 满足假设 (K) 及

(K1) 在 \partial\Omega附近 K(x)\geq Cd(x)^{-\gamma}, 其中 \gamma\geq 2NC 是一个正常数.

如果 f(u) 满足假设(f), 那么当(1.3)式满足时问题(1.1)没有严格凸解.

用反证法. 假如问题(1.1)有一个严格凸解 u. 对于 x\in \Omegad(x)<d_0, 其中 d_0 是很小的正数, 令

v(y)=u(x+d(x)y),\ y\in B_{1/2}(0).

则有 x+d(x)y\in \Omega, 且

1/2d(x)\leq d(x+d(x)y)\leq 3/2 d(x), \forall y\in B_{1/2}(0).

因为 \gamma\geq 2N, 我们得到

\begin{eqnarray*} M[v]&=&d(x)^{2N}M[u]\\ &=&d(x)^{2N}K(x+d(x)y)f(u)\\ &\geq& Cd(x)^{2N}d(x+d(x)y)^{-\gamma}f(v)\\ &\geq& Cd(x)^{2N}(3/2d(x))^{-\gamma}f(v)\\ &\geq& Cf(v) \ \mbox{in} \ B_{1/2}(0), \end{eqnarray*}

其中 C 是任意常数, 每一处不一定是同一个数. 从而得到 v\leq V, 其中 V 是以下方程的正解 (由文献[31,定理1.1]可得)

\left\{\begin{array}{ll} M[V]=Cf(V) \ &\mbox{在$ B_{1/2}(0)$内},\\ V= +\infty \ &\mbox{在$ \partial B_{1/2}(0)$上}. \end{array} \right.

由此可得 u(x)=v(0)\leq V(0), 也就是说 u\partial\Omega 附近有界, 然而这是不可能的, 所以得到矛盾.

注 5.1 部分证明思路来自 García-Melián[11].

注 5.2 我们可以把条件(K1) 放宽成

(K1)' 存在函数 p(t)\in RVZ_r(r\leq -2N) 使得在 \Omega K(x)\geq Cp(d(x), 其中 C 是正常数.

定理5.2K(x) 满足 (K) 及 (K1)'. 如果 f(u) 满足 (f), 那么当(1.3)式满足时,问题(1.1)没有严格凸解.

用反证法. 假如问题(1.1)有一个严格凸解 u. 对于 x\in \Omegad(x)<d_0, 其中 d_0 是很小的正数, 令

v(y)=u(x+p(d(x))^{-1/2N}y),\ y\in B_{1/2}(0).

因为 p(t)\in RVZ_r(r<-2N), 我们有 p(d(x))^{-1/2N}\leq d(x). 从而 x+p(d(x))^{-1/2N}y\in \Omega,

1/2d(x)\leq d(x+p(d(x))^{-1/2N}y)\leq 3/2 d(x), \forall y\in B_{1/2}(0).

又因为 p(t)\in RVZ_r, 我们有 p(3/2d(x))\geq m_0p(d(x)). 从而

\begin{array}{ll} M[v]=p(d(x))^{-1}M[u]\\ \ \ \ \ \ \ \ =p(d(x))^{-1}K(x+p(d(x))^{-1/2N}y)f(u)\\ \ \ \ \ \ \ \ \geq Cp(d(x))^{-1}p(d(x+p(d(x))^{-1/2N}y))f(v)\\ \ \ \ \ \ \ \ \geq Cp(d(x))^{-1}p(3/2d(x))f(v)\\ \ \ \ \ \ \ \ \geq Cf(v) \ \mbox{in} \ B_{1/2}(0). \end{array}

接下来的证明与定理 5.1类似. 证毕.

注 5.3 由以上定理 5.1, 5.2, 我们给出以下表格. 在 (1) 和 (2) 的情况下问题(1.1)有严格凸解. 在 (3)-(7) 的情况下问题(1.1)没有严格凸解. 在 (8)-(10) 的情况下现在还无法确定是否有严格凸解.

表1   方程(1.7)有严格凸解时

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表2   方程(1.7)没有严格凸解时

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