令 $\Omega$ 表示 $ \Bbb R^N (N\geq 2)$ 中光滑有界的严格凸区域. 本文的目的是对下述边界爆破 Monge-Ampère 问题严格凸解的最优全局估计进行综述,

其中 $M[u]=\det\, (u_{x_{i}x_{j}})$ 表示 Monge-Ampère 算子, 在 $\partial\Omega$ 上 $u=+\infty$ 意味着当 ${\rm dist}(x,\partial\Omega)\to 0$ 时

$ \mbox{ $u(x)\to+\infty$}. $

另外, 我们假设 $K$ 和 $f$ 满足

(K) $K\in C^\infty(\Omega)$ 且在 $\Omega$ 上 $K(x)>0$;

(f) 存在 $\eta\in \Bbb R^1\cup\{-\infty\},$ 使得

(i) $f\in C^{\infty}(\eta,\infty)$ 在 $(\eta,\infty)$ 上是正的且严格增;

(ii) 如果 $\eta\in\Bbb R^1$, 那么 $f(\eta):=\lim\limits_{s\rightarrow \eta}f(s)=0$.

我们不仅讨论对 $K(x)$ 和 $f(u)$ 附加的各种条件, 进而证明或者回顾(当结论已知时)问题(1.1)严格凸解的最优估计, 而且给出一些新的不存在性的结果.

据我们所知, 边界爆破解是由 Bieberbach^[1]率先进行了研究. 确切地说, Bieberbach^[1] 研究了如下$N=2$ 情况下的问题

其中 $K(x)\equiv 1 $在 $\Omega$上, $f(u)={\rm e}^{u}$. 后来, Rademacher ^[24] 把 Bieberbach^[1] 的工作推广到了 $N=3$ 的情况. 在任意维空间中带有一般非线性项的边界爆破问题直到1957 年才被研究. Keller ^[16] 和 Osserman ^[22] 分别讨论了问题(1.2)边界爆破解的存在性, 并且他们对 $f$ 提出了使得问题(1.2)在一个有界区域有解的充分必要条件. 此后, 许多作者提出并研究了很多的相关问题^{[13-14,29⇓⇓⇓⇓-34]}.

特别地, 由于在几何中的应用, Cheng 等^[6-7] 当 $f(u)$ 是 $u$ 的指数函数时对问题(1.1)进行了研究. 当 $f(u)=u^p$ ($p>0$) 时, 如果 $p>N$ 且 $K(x)$ 在 $\overline\Omega$ 上是一个正函数, Lazer 和 McKenna^[17]证明了问题(1.1)有一个严格的凸解. 对于 $f$ 和 $K$ 满足同样的条件, 如果 $0<p\leq N$, 他们还证明了问题(1.1)不存在严格的凸解. 令 $K\in C^\infty(\overline \Omega)$ 是正的 (因而满足条件 (K)), 且 $f$ 满足条件 (f), 那么由文献[18-19]知如果 $f$ 还满足

那么问题(1.1)存在一个严格凸解; 如果

那么问题(1.1)不存在严格凸解, 其中

众所周知, 当 $K\in C^\infty(\overline \Omega)>0$ 时,(1.3)式就是著名的 Keller-Osserman 型条件. 事实上, 这就是当 $f(u)=u^p$ 和 $f(u)={\rm e}^u$ 时问题(1.1)存在严格凸解的充要条件. 最近, Zhang和Du^[31]证明了: 如果 $\eta>-\infty$, 那么仅有条件(1.3)不能保证带有一般形式非线性项的问题(1.1)严格凸解的存在性. 这时, 还需要如下条件 (在问题(1.1)和(1.2)式中, 当 $f(u)=u^p$ 和 $f(u)={\rm e}^u$ 时, 下面的条件自然满足)

这里 $\int_{\eta^+}\Phi(s){\rm d}s=\infty$ 蕴含着对任意正数 $\epsilon$ 都有

显然,(1.5)式等价于 $\lim\limits_{s\to \eta^+}\Psi(s)=\infty.$ 我们还可以看出(1.5)式是 Monge-Ampère 方程(1.1)存在严格凸解的必要条件^[31], 或者 $p$-Laplacian 方程^[21] (在这种情况下(1.5)式变为 $\int_{\eta^+}[F(s)]^{-1/p}{\rm d}s=\infty$).

同时, 在文献[31,定理 1.1]中, Zhang 和 Du^[31] 还证明了, 如果 $K\in C^\infty(\overline \Omega)>0$, 且 $f$ 满足条件 (f), 那么(1.3)式还是问题(1.1)有严格凸解的必要条件.

当 $K\in C^\infty(\overline \Omega)>0$ 时, 我们发现上述文章在证明严格凸解的存在性以及凸解的渐近行为时 Keller-Osserman 型条件(1.3)(如果 $\eta\in\Bbb R^1$, 还有条件(1.5)) 起着重要作用. 在文献[33] 中, Zhang 和 Feng 研究了 $k$-Hessian 方程 (当 $k=N$ 时, 就是 Monge-Ampère 方程(1.1)). 他们定义了一个函数 $I(s)$

其中, 当 $k=N$ 时, $\Psi$ 由(1.3)式定义. 作者断言如果

那么问题(1.1)存在一个严格解 $u$ 的充分必要条件是(1.3)式成立, 且对某些 $0<c_{2}<c_{1}$使得 $u$ 满足

其中 $\psi$ 是 $\Psi$ 的逆. Lazer 等^[17] 和 Matero^[18]还得到了全局估计(1.6)式. 由下面的定理 3.2 知 $I_\eta\neq \infty$ 蕴含着(1.5)式.

对于一般形式的 $K(x)$, Mohammed^[19] 指出如果 $K(x)$ 满足条件 (K) 且使得 Dirichlet 问题

有一个严格凸解, 那么问题(1.1)有一个严格凸解的条件是 $f$ 满足条件 (f) 和(1.3)式(如前所述, 如果 $\eta\in\Bbb R^1$, 还需要满足(1.5)式). 在文献[32] 中, Zhang 和 Feng 证明了(1.3)式 (如果 $\eta\in\Bbb R^1$, 还要满足(1.5)) 是问题(1.1)存在严格凸解的充分必要条件.

由文献[4,定理1.1]知, 如果 $K\in C^\infty(\overline \Omega)$, 那么问题(1.7)有严格凸解. 如果 $K(x)$ 在 $\partial\Omega$ 附近奇异, 那么问题(1.7)并总是有解.

令 $ d(x):={\rm dist} (x,\partial\Omega)$. 在文献[5]中, 对于某些 $\delta>0$ 和 $C>0$, 当 $0<K(x)<Cd(x)^{\delta-N-1}\ (x\in\Omega)$ 时, Cheng 和 Yau 证明了问题(1.7)有严格凸解.

在文献[20] 中, 对于某些 $C>0$, 当 $K(x)\geq Cd(x)^{-N-1}\ (x\in\Omega)$ 时, Mohammed 证明了问题(1.7)没有严格凸解. Yang 和 Chang^[30]推广了这些结果. 当 $K(x)$ 满足条件 (K) 时, 他们得到了如下结论

(i) 对于某些 $C>0$, 如果在 $\partial\Omega$ 附近 $K(x)\geq Cd(x)^{-N-1}(-\ln d(x))^{-N}$, 那么问题(1.7)没有严格凸解;

(ii) 对于某些 $q>N$ 和 $C>0$, 如果在 $\partial\Omega$ 附近 $K(x)\leq Cd(x)^{-N-1}(-\ln d(x))^{-q}$, 那么问题(1.7)存在一个严格凸解.

下面, 我们介绍 Zhang 和 Du^[31]得到的一个结果. 在这个结果中, 他们对于 $K(x)$ 提出了一个新的条件. 这个条件保证了问题(1.7)存在或者不存在严格凸解, 并且比 Yang 和 Chang^[30]提出的条件更具有一般性.

为了便于叙述, 我们用到以下符号.

令 $p(t)\in C^1(0,\infty)$ 是一个正函数并且满足

为了区分其在$t=0$附近的行为, 假设 $P(\tau)=\int_{\tau}^{1}p(t){\rm d}t$. 如果

那么我们称 $p(t)$ 是 ${\cal P}_{finite}$ 类. 如果

那么我们称 $p(t)$ 是 ${\cal P}_\infty$ 类.

定理 1.1 (Zhang 和 Du^{[31,定理 1.5]}) 令 $K$ 满足条件 (K), 则

(i) 如果存在一个 ${\cal P}_\infty$ 类函数 $p(t)$ 在 $\partial \Omega$ 附近使得 $K(x)\geq p(d(x))$, 那么问题(1.7)没有严格凸解;

(ii) 如果存在一个 ${\cal P}_{finite}$ 类函数 $p(t)$ 在 $\partial \Omega$ 附近使得 $K(x)\leq p(d(x))$, 那么问题(1.7)有一个严格凸解.

另外, 在上面的情况 (ii) 中, 如果定义

那么问题(1.7)有一个严格凸解 $u\in C^{\infty}(\Omega)\cap C(\overline\Omega)$ 使得

其中 $l_{0}>0$.

注 1.1 Zhang 和 Du^[31] 中对函数 $p(t)$ 的分类几乎是最好的. 事实上, 由众多文献知附加在函数$p(t)$ 的条件等价于

例如, 令

那么 $p(t)$ 满足

但是

这表明条件(1.11)比条件(1.8)强. 条件(1.8)和条件(1.11)之间的关系由下图1 给出.

对充分大的 $t$, 我们修正函数 $p(t)$ 的定义. 对某些正常数 $c_0$ 和充分大的 $t$ (比如说 $t\geq M_0$), 令 $p(t)=c_0{\rm e}^{-t}$. 对这样的 $p(t)$, 如果定义

那么还能够得到

另外, 显然有

令

定义

假设 $\lim\limits_{s\rightarrow 0^{+}}J(s)$ 存在, 并且用 $J_{0}$ 表示.

如果假设 $f$ 满足上面的条件, $K$ 满足条件 (K) 并且存在一个 ${\cal P}_{finite}$ 类函数 $p(t)$ 使得 $K(x)\sim p(d(x))$ 且 $J_{0}\neq 0$, 那么由文献 [33,定理 1.5] (当 $k=N$ 时)知, 对于某些 $0<c_{2}<c_{1}$, 严格凸解 $u$ 满足

可以看出下列函数

满足 $J_{0}\neq 0$.

最近, Zhang^[34]得到了严格凸解的最优的全局估计和边界渐近行为. 作者对 $f$ 的关键假设条件为

令

关于 $f$ 和 $K$, 在适当条件下 (见第四部分), Zhang^[34] 获得的主要结果是: 证明了问题(1.1)存在严格凸解, 并且有下面的全局渐近性质

其中, $\gamma(s)$ 表示 $\Gamma(s)$ 的逆.

接下来有一个自然的问题：如果 $K(x)$ 使得(1.7)式没有严格凸解, 问题(1.1)有没有严格凸解? 问题(1.1)有或者没有严格凸解将依赖于 $f$ 在无穷远处的行为. 一般来说, 在这种情况下很难找到使得问题(1.1)有严格凸解的充要条件. Zhang 和 Du^[31]仅考虑了径向对称的情况, 在 $f$ 的不同条件下得到问题(1.1)有无穷多个严格凸解或者没有严格凸解的结果. 在本文中, 我们将在 $\Omega$ 为一般区域的情况下给出问题(1.1)严格凸解不存在的结果.

由上面的文献可知, 如果 $K\in C^\infty(\overline \Omega)$, 那么 $\Psi,\ \Gamma,\ I_{\eta},\ I_{1\eta},$ 和

在研究严格凸解的存在性和渐近行为是起着重要作用. 事实上, 当 $K$ 在 $\partial\Omega$ 附近具有奇异性时, $\omega$ 和 $J_{0}$ 对严格图解的存在性和渐近行为也有影响. 很自然地, 我们想知道哪一个是最优条件. 在本文, 我们想对这个问题做一些有益的探索. 我们将应用 Karamata 正规变化理论研究它们对严格图解的存在性和渐近行为所起的作用.

由文献[31,定理 4.1]的证明可知: 如果 $\eta=-\infty$, 那么我们不需要条件(1.5). 如果 $\eta\in \Bbb R$, 用 $f(t+\eta)$ 替换$f(t)$, $u-\eta$ 替换 $u$, 我们可以假定 $\eta=0$. 因此, 在本文我们仅仅考虑 $\eta=0$ 的情况.

论文的其余部分做如下安排. 在第二部分, 我们将引入 Karamata 正规变化理论并且回顾一些下文证明中要用到的结论. 第三部分致力于对 $\Psi,\ \Gamma,\ I_{\eta},\ I_{1\eta}$ 和

进行比较. 在第四部分, 我们将对上述文献的一些定理进行比较, 寻找条件和估计之间的关系. 在第五部分, 我们在 $K(x)$ 使得问题(1.7)没有严格凸解的情况下给出问题(1.1)严格凸解不存在的结果.

在这一节, 我们将回顾和 Karamata 正规变化理论相关的概念和结论, 详细内容请见参考文献[2,15,26]. 另外, 我们还将研究 $ I_{0}, I_{\infty}, I_{10}$ 和 $I_{1\infty}$ 的性质.

定义2.1 对于 $A>0$, 假设 $f$ 是定义在 $[A,\infty)$ 上的一个正的可测函数. 如果对任意$\xi>0$ 都有

其中 $\rho\in R$, 那么称 $f$ 在无穷远处正规变化. 记作 $f \in RV_{\rho}$.

一般地, 当 $\rho=0$ 时, 称 $f$ 在无穷远处慢变化. 容易看出, 如果 $f \in RV_\rho$, 那么函数 $L(s)=\frac{f(s)}{s^\rho}$ 在无穷远处慢变化.

定义2.2 对于 $A>0$, 假设 $f$ 是定义在 $[A,\infty)$ 上的一个正的可测函数. 如果对每一个$\rho>1$ 都有

那么称 $f$ 在无穷远处快变化.

命题2.1 (一致收敛定理) 令 $f \in RV_\rho$, 那么, 对任意 $\xi \in [c_1,c_2]$ 满足 $0<c_1<c_2$,(2.1)式一致成立. 另外, 如果 $\rho < 0$, 那么一致收敛在 $(c_{1}, \infty) $ 成立, 其中 $c_{1} > 0$; 如果 $\rho > 0$ 且 $f $ 在 $(0, c_{2}]$ 上有界, 那么一致收敛在 $(0, c_{2}] $ 成立, 其中 $c_{2} > 0$.

命题2.2 (表示定理) 假设 $A_1\geq A$, 称一个函数 $L$ 在无穷远处慢变化当且仅当 $L$ 可以表示成

其中 $\psi$ 和 $y$ 是连续函数, 且对任意 $s \to \infty$ 都有 $y(s)\to 0,\ \psi (s) \to c_0$, 其中 $c_0>0$.

有人称 $ \hat{L}(s)=c_0\exp\left(\int_{A_1}^s\frac{y(\tau)}{\tau}{\rm d}\tau\right) $ 是在无穷远处规范慢变化; 称 $ f(s)=s^\rho\hat{L}(s),\ s\geq A_{1}, $ 是在无穷远处规范正规变化, 记作 $f\in NRV_\rho $.

不难看出, 当 $s\rightarrow \infty$ 时, $L(s)\sim \hat {L}(s)$.

命题2.3 对于 $A_1>0$ 和

一个函数 $f\in RV_\rho$ 属于 $NRV_\rho$ 当且仅当 $ f\in C^1[A_1,\infty). $

命题2.4 如果函数 $f, g$ 和 $L$ 是在无穷远处慢变化, 那么

1) $f^p (p \in R),\ c_1f+c_2g(c_1,c_2 \ge 0)$和$ f\circ g$ (如果当 $s \to 0^+$ 时$ g(s)\to 0)$ 也是在无穷远处慢变化.

2) 对每一个 $\rho>0$, 当 $s\to \infty$ 时, $ s^{-\rho} L(s)\to 0,\ s^{\rho}L(s)\to \infty. $

3) 对任意 $\rho \in R$, 当 $s\to \infty$ 时, $\frac{\ln(L(s))}{\ln s} \to 0,\ \mbox{且}\ \frac{\ln (s^\rho L(s))}{\ln s} \to \rho.$

命题2.5 如果 $f_1\in RV_{\rho_1},\ f_2\in RV_{\rho_2},$ 那么 $f_1f_2\in RV_{\rho_1+\rho_2}, \ f_1 \circ f_2 \in RV_{\rho_1 \rho_2}.$

命题2.6 (渐近行为) 如果一个函数 $L$ 在无穷远处是慢变化, 那么对于 $a\geq 0$, 当 $s\to \infty$ 时,

1)$\int_a^{t}s^\rho L(s){\rm d}s \cong (1+\rho)^{-1}t^{1+\rho}L(t),\ \forall\ \rho>-1;$

2)$\int_t^{\infty} s^\rho L(s){\rm d}s \cong (-1-\rho)^{-1}t^{1+\rho}L(t),\ \forall\ \rho<-1.$

注2.1 当 $t\rightarrow \infty$ 时, 如果

那么命题 2.6 对于 $\rho=-1$ 的情况依然成立.

命题 2.6 理解为 $L(s)$ 可以当作 $L(t)$ 从积分里面提出来$L(t)$, 即

当 $\rho=-1$ 时, 令 $z(s)=s^{-1}L(s)$, 则

命题2.7 (渐近行为[2,定理 1.5.9b]) 如果一个函数 $z\in RV_{-1}$ 且 $\int_{s}^{\infty}z(\tau){\rm d}\tau<\infty, s>0,$ 那么 $\int_{s}^{\infty}z(\tau){\rm d}\tau$ 在无穷远处是慢变化, 且

类似于定义 2.1, 2.2, 对于 $a_{1} > 0,$ 如果用 $s\to 0^{+}$ 替换 $s\to \infty$, 那么还可以称定义在 $(0, a_{1})$ 上的连续函数 $f$ 在 $0$ 点是正规变化, 慢变化, 快变化. 如果 $f$ 关于指数 $\rho$ 在 $0$ 点是正规变化, 那么就记作 $f \in RVZ_{\rho}$. 它也具有命题2.1 -命题2.7 的性质. 为了应用方便, 我们给出如下结果.

命题2.8 对于 $s>0$, 如果 $z\in RV_{-1}$ 且 $\int_{s}^{a_{1}}z(\tau){\rm d}\tau<\infty,$ 那么 $\int_{s}^{a_{1}}z(\tau){\rm d}\tau$ 在无穷远处是慢变化, 且

证 证明过程类似于文献[2,定理 1.5.9 b]中的证明, 我们在这里省略掉证明过程.

给出一些在 $0$ 点正规变化, 慢变化和快变化的例子.

(1) $[\ln(1+x)]^\beta$ 在 $0$ 点关于指数 $\beta$ 是正规变化.

(2) $\frac{1}{\ln\frac{1}{x}}$ 在 $0$ 点是慢变化.

(3) ${\rm e}^{-\frac{1}{x}}$ 在 $0$ 点是快变化.

下面, 利用正规变化的理论, 我们证明 $I(s)$ 和 $I_{1}(s)$ 等的性质.

由(1.3)式知

从而, 得

故, 由 $I(s)$ 的定义得

假设极限 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}I(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I(s)$ 存在, 且分别用 $I_{\infty}$ 和 $I_{0}$ 表示, 则有如下结论.

引理2.1 令 $f$ 满足条件 (f) 和(1.3)式. 如果极限 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}I(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I(s)$ 存在, 那么

证 对 $I(s)$ 从 $a(a>0)$ 到 $v$ 积分得

因为 $\Psi'(v)<0$, 所以得到

即 $I_{\infty}\ge 1.$ 类似地, 可以证明 $I_{0}\ge 1.$ 证毕.

引理2.2 令 $f$ 满足条件 (f) 和(1.3)式. 假设极限 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}I(s)$ 存在, 那么

(1) $I_{\infty}\in (1,\infty)$ 当且仅当 $F\in NRV_{q+1}\ (q>N)$. 从这个意义上说, $f\in RV_{q}$;

(2) 如果 $I_{\infty}=1$, 那么 $F$ 在无穷远处是快变化;

(3) 如果 $F\in NRV_{N+1}$, 那么 $I_{\infty}=\infty$.

证 (1) 必要性. 由引理 2.1 得

根据命题 2.3 得

这表明 $F\in NRV_{(N+1)I_{\infty}/(I_{\infty}-1)}.$ 用 $q+1$ 表示 $(N+1)I_{\infty}/(I_{\infty}-1)$, 那么 $q+1>N+1$, 即 $q>N$.

充分性. 如果 $F\in NRV_{q+1}\ (q>N)$, 那么

且

其中 $ S_{0}$ 充分大, $\hat{L}(s)$ 在无穷远处是规范慢变化. 故, 由命题 2.6 知

从而 $I_{\infty}=\frac{q+1}{q-N}>1$.

从这个意义上说, $F(s)=s^{q+1}\hat{L}(s), \forall s\geq S_{0}.$ 因此, 由命题 2.2 知

其中 $ \lim\limits_{s\to \infty}y(s)=0$.

(2) 若 $I_{\infty}=1$, 则由(2.3)式得

令

即

对(2.4)式由 $S_{0}$ 到 $s$ 积分得

其中 $c_{0}=-\frac{1}{\Psi'(S_{0})}.$

根据 $\lim\limits_{s\to \infty}y(s)=\infty,$ 则对每一个 $\xi>1$ 得

这表明 $-\frac{1}{\Psi'(s)}$ 在无穷远处是快变化. 因此, $F$ 在无穷远处是快变化.

(3) 如果 $F\in NRV_{N+1}$, 那么由命题 2.3 知

这表明

故, 由(1.3)式和命题 2.7 知

从而

引理 2.2 证毕.

类似地, 得到下面的引理.

引理2.3 如果 $f$ 满足条件 (f) 和(1.3)式, 且极限 $\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}I(s)$ 存在, 那么

(1) $I_{0}\in (1,\infty)$ 当且仅当 $F\in NRVZ_{q+1}\ (q>N)$. 从这个意义上说, $f\in RVZ_{q}$;

(2) 如果 $I_{0}=1$, 那么 $F$ 在 $0$ 点是快变化;

(3) 如果 $F\in NRVZ_{N+1}$, 那么 $I_{0}=\infty$.

引理2.4 对于 $a_{1}>0$, 令 $f$ 是定义在 $(0,a_{1})$ 上的一个正的可测函数, 且 $\lim\limits_{s\to 0^{+}}f(s)=0$. 那么下列结论成立

(1) 如果 $f$ 在 $0$ 点是快变化, 或者 $f\in RVZ_{q}\ (q>N)$, 那么(1.5)式成立;

(2) 如果 $f$ 在 $0$ 点是慢变化, 或者 $f\in RVZ_{q}\ (q<N)$, 那么(1.5)式不成立.

证(1) 假设 $f$ 在 $0$ 点是快变化, 那么 $\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}\frac{f(s)}{s^N}=0.$ 这表明存在 $\delta>0$ 使得 $f(s)<s^N, $$ \forall 0<s<\delta.$ 因此

故

这表明(1.5)式成立.

另外, 如果 $f\in RVZ_{q}\ (q>N)$, 那么 $F\in RVZ_{q+1}\ (q+1>N+1)$. 因此, $F(s)=s^{N+1}L(s)$, 其中 $L(s)$ 在 $0$ 点是慢变化. 由命题 2.6 得

故(1.5)式成立.

(2) 证明过程同上.

引理2.4得证.

注2.2 如果 $f\in RVZ_{N}$, 那么我们不能断定(1.5)式是否成立. 例如, 令

则 $F\in RVZ_{N+1},\ f\in RVZ_{N}\ \mbox{且}\ \lim\limits_{s\to 0^{+}}f(s)=0.$ 因此

类似地, 可得引理2.5.

引理2.5 对于 $A_{1}>0$, 令 $f$ 是定义在 $(A_{1},\infty)$ 上的一个正的可测函数, 且 $\lim\limits_{s\to \infty}f(s)=\infty$. 那么下列结论成立

(1) 如果 $f$ 在无穷远处是快变化, 或者 $f\in RV_{q}\ (q>N)$, 那么(1.3)式成立;

(2) 如果 $f$ 在无穷远处是慢变化, 或者 $f\in RV_{q}\ (q<N)$, 那么(1.3)式不成立.

注2.3 令 $f\in RV_{q}\ (q=N)$, 那么不能断定(1.3)式是否成立.

例如, 对充分大的 $s$, 令 $F(s)=s^{N+1}(\ln s)^\beta,$ 那么 $F\in RV_{N+1},\ f\in RV_{N}\ \mbox{且}\ \lim\limits_{s\to \infty}f(s)=\infty.$ 因此,

由(1.17)式得 $\Gamma'(s)=-[Nf(s)]^{-\frac{1}{N}},\ \Gamma''(s)=[Nf(s)]^{-\frac{1}{N}-1}f'(s),$ 进而

故

假设 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_1(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I_1(s)$ 存在且分别用 $I_{1\infty}$ 和 $I_{10}$ 表示.

类似于引理 2.1 -引理2.3, 还可以得到如下结果.

引理2.6 如果 $f$ 满足条件 (f) 和(1.17)式, 且极限 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_1(s), \lim\limits_{s\rightarrow 0}I_1(s)$ 存在, 那么 $ I_{1\infty}\ge 1,\ I_{10}\geq 1.$

引理2.7 如果 $f$ 满足条件 (f) 和(1.17)式, 且极限 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_1(s)$ 存在, 那么

(1) $I_{1\infty}\in (1,\infty)$ 当且仅当 $F\in NRV_{q+1}\ (q>N)$. 从这个意义上说, $f\in RV_{q}$;

(2) 如果 $I_{1\infty}=1$, 那么 $F$ 在无穷远处是快变化;

(3) 如果 $F\in NRV_{N+1}$, 那么 $I_{1\infty}=\infty$.

引理2.8 如果 $f$ 满足条件 (f) 和(1.17)式, 且极限 $\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}I_1(s)$ 存在, 那么

(1) $I_{10}\in (1,\infty)$ 当且仅当 $F\in NRVZ_{q+1}\ (q>N)$. 从这个意义上说, $f\in RVZ_{q}$;

(2) 如果 $I_{10}=1$, 那么 $F$ 在 $0$ 点是快变化;

(3) 如果 $F\in NRVZ_{N+1}$, 那么 $I_{10}=\infty$.

接下来我们考虑 $J(s)$的性质. 由(1.14)和(1.15)式有

引理2.9 设 $p\in {\cal P}_{finite}$ 如第一部分定义, 则 $J_{0}\geq 0.$

引理2.10 设 $p\in {\cal P}_{finite}$ 如第一部分定义, 且$\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}I_1(s)$ 存在, 那么

(1) $J_{0}\in (0,\infty)$ 当且仅当 $\tilde P\in NRVZ_{q+1}$ 且 $-1>q>-N-1$. 从这个意义上说, $p\in RVZ_{q}$;

(2) 如果$J_{0}=0$, 那么 $\tilde P$ 在$0$点慢变化;

(3) 如果 $\tilde P\in NRVZ_{-N}$, 那么 $J_{0}=\infty$.

引理2.11 设 $p\in {\cal P}_{finite}$ 如第一部分定义.

(1) 如果 $p$ 在 $0$ 点慢变化或 $p\in RVZ_{q}$ 且 $q>-N-1$, 那么(1.12)式成立;

(2) 如果 $p$ 在 $0$ 点快变化或 $p\in RVZ_{q}$ 且 $q<-N-1$, 那么(1.12)式不成立.

证 (1) 如果 $p$ 在 $0$ 点慢变化, 则由命题 2.4 得 $\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}s^2 p(s)=0.$ 因此存在 $\delta>0$ 使得 $p(s)<s^{-2}, \ \forall \ 0<s<\delta.$ 从而$\tilde P(s)<s^{-1}, \ \forall \ 0<s<\delta.$ 从而得到

这表明(1.12)式成立.

令 $p\in RVZ_{q}$ 且 $q>-N-1$, 则有 $\tilde P\in RVZ_{q+1}$ 且 $q+1>-N$. 因此 $\tilde P(s)=s^{q+1}L(s)$,其中 $L(s)$ 在 $0$ 点慢增长. 由命题 2.6 我们有

这表明(1.12)式成立.

(2) 设 $p$ 在 $0$ 点快增长, 则由定义 2.2 我们得到

因此存在很小的 $\delta>0$ 和很大的 $M>0$ 使得 $p(s)>Ms^{-N-1}, \ \forall \ 0<s<\delta.$ 从而

由此可以得到

这表明(1.12)式不成立

如果 $p\in RVZ_{q}$ 且 $q<-N-1$, 则我们有 $\tilde P\in RVZ_{q+1}$ 且 $q+1<-N$. 从而 $\tilde P(s)=s^{q+1}L(s)$, 其中 $L(s)$ 在 $0$ 点慢变化. 由命题2.6 我们有

这表明(1.12)式不成立. 引理2.11证毕.

注2.4 如果 $p\in RVZ_{q}$ 且 $q=-N-1$, 则我们不能判断(1.12)式是否成立. 例如, 取 $\tilde P(s)=s^{-N}(\ln s)^{-\beta},$ 则有$\tilde P\in RVZ_{-N}, p\in RVZ_{-N-1}.$ 从而

在本节, 我们主要分析对$f$施加的各种条件, 并研究附加在 $\Psi,\ \Gamma,\ I_{\eta},\ I_{1\eta}$和

上各种条件之间的关系.

第一个结果是处理 $\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty$ 和 $\int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty$之间的关系.

定理3.1 (1) 如果 $f\in RV_p(p>N)$ 或者 $f$ 在无穷远处是快变化, 那么

(2) 如果 $f\in RV_p(p<N)$ 或者 $f$ 在无穷远处是慢变化, 那么

(3) 如果 $f\in RV_N$, 那么 $\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty$ 蕴含着 $\int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty.$ 但是反之不成立.

证 (1) 如果 $f\in RV_p(p> N)$, 那么 $F\in RV_{p+1},\ f(s)=s^pL(s),\ F(s)=s^{p+1}L(s),$ 其中 $L(s)$ 在无穷远处是慢变化. 由命题 2.6 知

另外, 如果 $f$ 在无穷远处是快变化, 那么对 $\rho>N$ 得 $\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\frac{f(s)}{s^{\rho}}=\infty.$ 因此存在 $M>0$ 和 $S>0$ 使得对任意 $s>S$ 都有 $f(s)>Ms^{\rho}$, 进而得到 $f(s)^{-\frac{1}{N}}<[Ms^{\rho}]^{-\frac{1}{N}}.$

由 $\tau (\tau>S)$ 到 $\infty$ 积分得

类似地, 可以证明

(2) 如果 $f\in RV_p (p<N)$, 那么由命题 2.6 知

另外, 如果 $f$ 在无穷远处是慢变化, 那么由命题 2.4 得 $\lim\limits_{s\rightarrow\infty}\frac{f(s)}{s^N}=0.$

因此存在 $m>0$ 和 $S>0$ 使得对于任意 $s>S$ 都有 $f(s)<ms^N$, 进而得到

从$\tau (\tau>S)$ 到 $\infty$ 积分得

类似地, 可以证明

(3) 如果 $f\in RV_N$, 由文献 [12,引理 2.1]知

故

反过来, 对充分大的 $u$, 令 $f(u)=u^N(\log u)^\alpha,\alpha\in (N, N+1],$ 那么

且 $\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau=\infty.$

这表明$\int_{s}^\infty [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty$不能蕴含着 $\int_{s}^\infty [F(\tau)]^{-1/(N+1)}{\rm d}\tau<\infty.$ 定理3.1得证.

下面的结果是处理 $I_0\neq \infty$ 和 $\int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty$ 之间的关系.

定理3.2$I_0\neq \infty$ 蕴含着 $\int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty$, 但是反之不成立.

证 根据引理 2.12, 2.13, 我们可以从 $I_0\neq \infty$ 推导出 $\int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty$.

下面, 通过一个例子证明反之不成立.

令

表示 $g(x)={\rm e}^{x-\frac{1}{x}}$ 的逆.

通过计算知道

(1)

且 $f_1(x)$ 在 $(0,\infty)$ 上是增函数.

(2)

(3) $f_1(x)$ 在 $0$ 点和 $\infty$ 处都是慢变化.

令

则

因此,

且

这表明由 $\int_{0^+}[F(\tau)]^{-\frac{1}{N+1}}{\rm d}\tau=\infty$ 推不出 $I_0\neq\infty$. 定理 3.2 得证.

定理 3.3 将要处理 $I_{10}\neq \infty$ 和 $\int_{0^+}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty$ 之间的关系.

定理3.3$I_{10}\neq \infty$ 蕴含着 $\int_{0^+}[f(\tau)]^{-\frac{1}{N}}{\rm d}\tau=\infty$, 但是反之不成立.

证 令 $f_1(x)$ 和定理 3.2 中的定义一样. 另外, 假设

那么

类似于定理 3.2 的证明可得

因此,

不能蕴含 $I_{10}\neq\infty$. 定理 3.3 得证.

最后, 考察

和

之间的关系.

定理3.4 (1) 如果 $f\in RVZ_p,p>N$ 或者 $f$ 在 $0$ 点是快变化, 那么

(2) 如果 $f\in RVZ_p(p<N)$ 或者 $f$ 在无穷远处是慢变化, 那么

(3) 如果 $f\in RVZ_N$, 那么

蕴含着

但是反之不成立.

证 因为(1) 和 (2) 的证明过程类似于定理 3.1 的证明, 所以省略.

下面, 证明 (3) 成立. 假设

满足

其中$L(s)\in C^1(0,a)(a>0)$ 在无穷远处是慢变化, 那么$f\in RVZ_N$且$F(s)=s^{N+1}L(s).$

如果$\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}L(s)=c\geq 0,$ 那么

如果 $\lim\limits_{s\rightarrow 0^+}L(s)=\infty,$ 那么

由规范慢变化的定义知

因此,

从而

故

反过来, 令

则由知

定理 3.4 得证.

在本节, 我们将对已有文献中的一些最优估计的结果作进行比较, 并阐述条件和估计之间的关系: 何种条件导致何种估计.

定理4.1 ([31,定理 1.2]) 假设 $K(x)$ 满足条件(K) 并且使得问题(1.7)有一个严格凸解. 假设 $f(u)$ 满足条件 (f),并且当 $\eta\in \Bbb R^1$ 时, 它还满足条件(1.5). 那么, 当条件(1.3)成立时, 问题(1.1)有一个严格凸解.

注 4.1 由定理 4.1 的证明知问题(1.1)的解 $u(x)$ 有如下全局估计

其中 $0<c_2<c_1$ 是常数, 且 $\gamma_1(s)$ 是

的逆, 不管$\int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau=\infty,$ 还是 $\int_{0^+} [f(\tau)]^{-1/N}{\rm d}\tau<\infty.$

注 4.2 Zhang 和 Feng^[32]给出了定理 4.1 中条件(1.3)必要性的证明.

当 $b(x)$ 替换 $K(x)$时, Zhang^[34] 研究了问题(1.1). 假设 $f$ 和 $b$ 满足如下条件

(S$_1$) $f\in C^1[0,\infty), f(0)=0,$ 且 $f$ 在 $[0,\infty)$ 上严格增; 或者

(S$_{01}$) $f\in C^1(R), f(s)>0,\forall s\in R,$ 且 $f$ 在 $\Bbb R$ 上严格增.

(f$_1$) $\int_{s}^{\infty}\frac{{\rm d}\tau}{H(\tau)}<\infty, H(s)=f(s)^{1/N}.$

(f$_{2})$ 存在 $E^{\infty}_{f}\in (0,\infty)$ 使得 $\lim\limits_{s\rightarrow \infty}I_{f}(s)=E^{\infty}_{f},$ 其中

(f$_{3})$ 如果 $\eta>-\infty$, $\int_{\eta^{+}}\frac{{\rm d}\tau}{H(\tau)}=\infty$, 那么存在 $E^{\eta}_{f}\in (0,\infty)$ 使得 $\lim\limits_{s\rightarrow \eta^{+}}I_{f}(s)=E^{\eta}_{f}.$

(f$_{4})$ 如果 $\eta=-\infty$, 那么存在 $E^{-\infty}_{f}\in (0,\infty)$ 使得 $\lim\limits_{s\rightarrow -\infty}I_{f}(s)=E^{-\infty}_{f}.$

(B$_{1})$$b\in C^{\infty}(\Omega)$ 在 $\Omega$ 上是正的.

(b$_{1})$ 存在正数$b_{i}(i=1,2)$和$\sigma>-1-N$使得 $b_1(d(x))^{\sigma}\leq b(x)\leq b_2(d(x))^{\sigma}, x\in \Omega.$

(b$_{3})$ 存在 $\mu>1$ 和正数 $b_{i}(i=1,2)$ 使得

由第一节知在条件 (b$_{1})$ 和 (b$_{3})$ 中的函数属于 $P_{finite}$ 类. 为了证明方便, 把它们记为

(B) 存在正数 $b_{i}(i=1,2)$ 和 $p\in P_{finite}$ 使得 $b_1p(d(x))\leq b(x)\leq b_2p(d(x)), x\in \Omega.$

因此, 可以把 Zhang 在文献[34]中的定理描述为如下定理4.2.

定理4.2 ([34,定理 2.4]) 令 $f$ 满足条件 (S$_1$)(或者 S$_{01}$), (f$_1$), (f$_2$) 和条件 (f$_3$)(或者 (f$_4$)). 如果 $b$ 满足条件 (B$_{1})$ 和 (B), 那么问题(1.1)有一个严格凸解 $u$ 且满足

其中 $0<c_2<c_1$ 是常数.

注 4.3 如果定理 4.2 中的 $b\in C^{\infty}(\bar\Omega)$ 是正的, 那么严格凸解 $u$ 的全局估计是

注 4.4 由文献[31,定理 4.1]知, 当 $\eta=-\infty$ 时, 不需要条件(1.5). 因此, 定理 4.2 中的条件 (f$_{4})$ 可以省略.

注 4.5 由(1.18)式, 条件 (f$_{2})$ 和条件 (f$_{3})$ 知 $E^{\eta}_{f},\ E^{\infty}_{f}$ 和 $I_{1\eta},\ I_{1\infty}$ 有同样的含义. 如果 $\eta>-\infty$, 那么可以假定 $\eta=0$. 那么 (f$_{2})$ 等价于 $I_{1\infty}\neq \infty$; (f$_{3})$ 等价于 $I_{10}\neq \infty$. 由文献[34,定理 4.2]的证明过程可以看出, 为了使用 $\gamma$ 构造上估计, 作者对 $f$ 附加了条件 $I_{1\infty}\neq \infty$. 由引理 2.7 知$I_{1\infty}\neq \infty$ 蕴含着 $f\notin RV_N$. 然而, 当我们使用 $\psi$ 构造上估计时, 我们不需要这个极限条件.

同时, 作者为了控制下估计, 对 $f$ 附加了条件 $I_{10}\neq \infty$. 不过, 根据定理 3.3 和定理 3.4 可知条件 $I_{10}\neq \infty$ 比条件(1.5)强. 从这个意义上说, 当 $b\in C^{\infty}(\bar\Omega)$ 时, 定理 4.1 给出了比定理 4.2 更好的估计. 至此, 如果存在严格凸解, 那么(4.1)式是在最弱条件下的最优全局估计.

以下定理是来自于 Zhang 和 Feng^[33] (当 $k=N$ 时).

定理4.3 ([33,定理 1.3]) 假设 $K(x)$ 满足条件 (K) 且 $K\in C^{\infty}(\bar\Omega)$ 是正的, $f(u)$ 满足条件 (f) 且使得 $I_{0}\neq \infty$. 那么问题(1.1)存在一个严格凸解 $u$ 的充分必要条件是(1.3)式成立, 且 $u$ 满足

其中 $0<c_{2}<c_{1}$.

定理4.4 ([33,定理 1.5]) 假设 $K(x)$ 满足条件 (K) 且存在一个 ${\cal P}_{finite}$ 类函数 $p(t)$ 使得在 $\partial \Omega$ 附近有

其中 $k_{1}>k_{2}>0$. 另外, 假定 $f(u)$ 满足条件 (f) 且使得 $I_{0}\neq \infty$, 并且 $I_{\infty}=\infty$ 和 $J_{0}=\infty$ 不能同时成立. 那么, 当条件(1.3)成立时, 问题(1.1)有一个严格凸解$u$, 且 $u$ 满足

其中 $0<c_{2}<c_{1}$.

注 4.6 条件(1.3)的必要性在定理 4.4 中亦成立.

注 4.7 在定理 4.3 中, 用 $I_0\neq \infty$ 替换条件(1.5), 我们也可以得到最优的全局估计(4.4). 由定理 3.2 知 $I_0\neq \infty$ 要比条件(1.5)强. 然而,(4.4)式能帮助我们获得更好的边界估计.

注 4.8 由引理 2.3 和引理 2.8 知 $I_0\neq \infty$ 等价于 $I_{10}\neq \infty$. 由引理 2.2 和引理 2.7 知 $I_{\infty}\neq \infty$ 等价于 $I_{1\infty}\neq \infty$. 在这种情况下 $f\notin RV_N$ 且 $f\notin RVZ_N$, 可以借助 $\gamma$ 或者 $\psi$ 构造解的全局估计. 从而, 我们就能够得到(4.2)式或者(4.4)式. 特别地, 当

时,(4.2)式就是(4.4)式. 然而, 由定理 4.4 知我们有更多的选择, 即如果 $J_{0}\neq\infty$, 那么我们可以允许 $I_{\infty}=\infty$. 在这种情况下,(4.4)式依然成立, 不过我们得不到(4.2)式中上界估计. 故定理 4.2 中的条件比定理 4.4 中的条件强.

在这一部分我们研究当$K(x)$ 使得方程(1.7)没有严格凸解时方程(1.1)不存在严格凸解的情形. 因为以前几乎没有论文考虑这种情况下在一般区域上方程(1.1)不存在严格凸解的情形，所以需要特别的知识和技巧.

定理5.1 设 $K(x)$ 满足假设 (K) 及

(K1) 在 $ \partial\Omega$附近 $ K(x)\geq Cd(x)^{-\gamma}$, 其中 $\gamma\geq 2N$ 且 $C$ 是一个正常数.

如果 $f(u)$ 满足假设(f), 那么当(1.3)式满足时问题(1.1)没有严格凸解.

证用反证法. 假如问题(1.1)有一个严格凸解 $u$. 对于 $x\in \Omega$ 且 $d(x)<d_0$, 其中 $d_0$ 是很小的正数, 令

则有 $x+d(x)y\in \Omega$, 且

因为 $\gamma\geq 2N$, 我们得到

其中 $C $ 是任意常数, 每一处不一定是同一个数. 从而得到 $v\leq V$, 其中 $V$ 是以下方程的正解 (由文献[31,定理1.1]可得)

$ \left\{\begin{array}{ll} M[V]=Cf(V) \ &\mbox{在$ B_{1/2}(0)$内},\\ V= +\infty \ &\mbox{在$ \partial B_{1/2}(0)$上}. \end{array} \right. $

由此可得 $u(x)=v(0)\leq V(0)$, 也就是说 $u$ 在 $\partial\Omega$ 附近有界, 然而这是不可能的, 所以得到矛盾.

注 5.1 部分证明思路来自 García-Melián^[11].

注 5.2 我们可以把条件(K1) 放宽成

(K1)' 存在函数 $p(t)\in RVZ_r(r\leq -2N)$ 使得在 $ \Omega$ 上 $ K(x)\geq Cp(d(x)$, 其中 $C$ 是正常数.

定理5.2 设 $K(x)$ 满足 (K) 及 (K1)'. 如果 $f(u)$ 满足 (f), 那么当(1.3)式满足时,问题(1.1)没有严格凸解.

证 用反证法. 假如问题(1.1)有一个严格凸解 $u$. 对于 $x\in \Omega$ 且 $d(x)<d_0$, 其中 $d_0$ 是很小的正数, 令

因为 $p(t)\in RVZ_r(r<-2N)$, 我们有 $p(d(x))^{-1/2N}\leq d(x)$. 从而 $x+p(d(x))^{-1/2N}y\in \Omega,$ 且

又因为 $p(t)\in RVZ_r$, 我们有 $p(3/2d(x))\geq m_0p(d(x)).$ 从而

接下来的证明与定理 5.1类似. 证毕.

注 5.3 由以上定理 5.1, 5.2, 我们给出以下表格. 在 (1) 和 (2) 的情况下问题(1.1)有严格凸解. 在 (3)-(7) 的情况下问题(1.1)没有严格凸解. 在 (8)-(10) 的情况下现在还无法确定是否有严格凸解.