最近, Cianchi 和 Maz'ya^[1] 在 ${\Bbb R}^n$ 中的有界开集上考虑了形如

的方程, 当函数 $a:(0,+ \infty ) \rightarrow (0,+ \infty ) \in C^1(0,+ \infty )$ 满足

时, 获得了该方程的 Dirichlet 和 Neumann 椭圆边值问题弱解的全局 Lipschitz 正则性. 进一步, 他们^[2] 也考虑了该类型椭圆方程组的情况, 建立了弱解的全局有界性. 2020 年, Yao, Zhang 和 Zhou^[3] 在全空间 ${\Bbb R}^n$上考虑了拟线性椭圆方程

利用 Hardy-Littlewood 极大函数建立了该方程的弱解的全局 BMO 估计, 并且使用迭代覆盖方法, 获得了方程

弱解在全空间 ${\Bbb R}^n$上的 $L^p$ 型估计. 关于方程(1.1), 在 2017 年 Yao 和 Zhou^[4] 就在 ${\Bbb R}^n$ 中的有界开集上考虑了拟线性椭圆方程(1.1)弱解的局部 Calderón-Zygmund 估计, 主要使用 Hardy-Littlewood 极大函数在 $L^p$ 空间的有界性方法, 获得了该方程弱解的局部 $L^p$ 型估计. 随后 Yao^[5] 在 ${\Bbb R}^n$ 中的有界凸域上考虑了带有 Neumann 数据的椭圆方程(1.1)的全局 Calderón-Zygmund 估计.

本文考虑与定义在 ${\Bbb R}^n$上的椭圆方程(1.1)对应的如下 Young 函数增长的障碍问题, 其中 ${\boldsymbol f}=(f^1,f^2,\cdots,f^n)$ 是给定的向量, 函数 $a:(0,+ \infty ) \rightarrow (0,+ \infty ) \in C^1(0,+ \infty )$ 满足

特别地, 当 $a(t)=t^{p-2}$, $p\geq 2$, 方程(1.1)即为 $p$-Laplace 方程

定义

由(1.2)式知, $b(t)$ 在 $[0,+ \infty )$ 上连续并严格递增, $B(t)$ 在 $[0,+ \infty )$ 上递增.

设 $\psi$ 为 ${\Bbb R}^n$上取值于 $\Bbb R\bigcup \{\pm\infty\}$ 的任意函数, 定义障碍问题的容许函数类

$\begin{eqnarray*} K_{\psi}^{B}({\Bbb R}^n ):=\left \{u \in W^{1,B}({\Bbb R}^n ): \mbox{在$ {\Bbb R}^n $ 上几乎处处有}\ u\geq\psi\right \}. \end{eqnarray*}$

关于 $W^{1,B}({\Bbb R}^n)$ 的含义见下节. 首先给出如下定义.

定义1.1 函数 $u \in K_{\psi}^{B} ({\Bbb R}^n)$ 称为方程 $(1.1)$ 的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, 若

对于任意的 $v\in K_{\psi}^{B} ({\Bbb R}^n )$ 都成立.

DiBenedetto 和 Manfredi^[6] 在 $p>2$ 的情况下获得了拟线性椭圆方程组 ${\rm div} (|Du|^{p-2}Du)\\ ={\rm div}(|{\boldsymbol F}|^{p-2}{\boldsymbol F})$ 弱解梯度在全空间 ${\Bbb R}^n$上的全局 BMO 估计; Diening, Kaplický 和 Schwarz-acher^[7] 在 $p>1$ 的情况下获得了非齐次椭圆方程组 $-{\rm div} (A(\nabla u))={\rm div}\textbf{f}$ 在 ${\Bbb R}^n$ 中的球 $B$ 上的局部 BMO 估计; Yao, Zhang 和 Zhou^[3] 利用Hardy-Littlewood极大函数有界性获得了一类拟线性椭圆方程 ${\rm div} (a(|\nabla u|)\nabla u)={\rm div}{\boldsymbol f}$ 弱解在全空间 ${\Bbb R}^n$上的全局 BMO 估计; Liang 和 Zheng^[8] 获得了具有部分BMO的椭圆障碍问题在 Orlicz 空间中的全局梯度估计. 关于椭圆方程的更多研究具体参见文献[9⇓⇓⇓⇓⇓-15].

本文主要受到 Yao, Zhang 和 Zhou 在文献[3]以及 Liang 和 Zheng 在文献[8]中关于 BMO 估计以及障碍问题的处理思想的启发, 对梯度 $Du$ 在有限球上的局部 BMO 半范作逐点估计, 由于估计界一致性, 对半径取极限, 从而建立全空间上具有散度形式的椭圆方程障碍问题弱解梯度的 BMO 估计. 下面是本文的主要结论.

定理1.1 假设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $B(t)$ 满足(1.3)式, 且有

若 $u$ 是方程(1.1)的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, 则 $\nabla u \in {\rm BMO}(\Bbb R^{n})$, 且有估计式

成立, 其中正常数 $C$ 与 $u,{\boldsymbol f},\psi$ 无关.

推论1.1 若 $u$ 是 $p$-{Laplace} 方程 ${\rm div} (|\nabla u|^{p-2}\nabla u)={\rm div}(\left | {\boldsymbol f}\right|^{p-2}{\boldsymbol f})$ 的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, 且有 $\left | \nabla\psi\right|^{p-2}\nabla\psi\in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}),$$\left | {\boldsymbol f}\right|^{p-2}{{\boldsymbol f}}\in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}),$ 则 $\nabla u \in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}),$ 且有估计式

成立, 其中正常数 $C$ 与 $u,{\boldsymbol f},\psi$ 无关.

首先给出广义 Orlicz 空间中的一些定义与引理.

定义2.1^[3] 若函数 $B:[0,+ \infty )\rightarrow \left [ 0,+ \infty \right )$ 是凸函数, 且满足 $B(0)=0$, 则称函数 $B$ 为 $\rm{Young}$ 函数. 如果对 $t>0$, 有 $0<B(t)<\infty$, 且

则 $\rm {Young}$ 函数 $B$ 也称为 $N$ - 函数. 此外, 定义 $N$ - 函数 $B$ 的 $\rm {Young}$ 共轭 $\widetilde{B}$ 为

如果 $B$ 是 $N$ - 函数, 则 $\widetilde{B}$ 也是 $N$ - 函数.

定义2.2^[3] 若存在一个正常数 $K$, 使得对于任意 $t> 0$, 有

则称 $N$ - 函数 $B$ 满足全局 $\triangle _{2}$ 条件, 表示为 $B \in \triangle _{2}$. 若存在一个常数 $\theta>1$, 使得对于任意 $t>0$, 有

则称 $N$ - 函数 $B$ 满足全局 $\bigtriangledown _{2}$ 条件, 表示为 $B \in \bigtriangledown _{2}$.

引理2.1^[3] 若 $B$ 是 $N$ - 函数, 则 $B$ 满足下面的 $\rm{Young}$ 不等式

若 $B \in \triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$, 则有

定义2.3^[3] 设 $B$ 是 $N$ - 函数, $\Omega$ 是 ${\Bbb R}^n$ 中的任何开子集, 则 $\rm Orlicz$ 类 $K^{B}(\Omega )$ 是满足

的所有可测函数 $g:\Omega \rightarrow \Bbb R$ 组成的集合. $\rm Orlicz$ 空间 $L^{B}(\Omega )$ 是 $K^{B}(\Omega )$ 的线性闭包, 且具有Luxemburg 范数

此外, $\mathrm{Orlicz}$ -$\mathrm{Sobolev}$ 空间 $W^{1,B}(\Omega )=\{g \in L^{B}(\Omega)|\nabla g\in L^{B}(\Omega)\}$, 具有范数 $||g||_{W^{1,B}(\Omega )}=||g||_{L^B(\Omega )}+||\nabla g||_{L^B(\Omega )}$.

一般地, $K^{B}(\Omega )\subset L^B(\Omega )$ (参见文献[16], 第 8 章). 如果 $B \in \triangle _{2}$, 那么 $K^{B}(\Omega )= L^B(\Omega )$.

引理2.2 假设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $B(t)$ 满足(1.3)式, 则有

$(1)$$B(t)$ 是严格凸的$N$ - 函数, $\widetilde B \in \triangle _{2}$, 且

$(2)$$B(t)\in\triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$.

引理2.3^[4] 假设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $B(t)$ 满足(1.3)式, 则有

$(1)$ 对任意 $\xi\in \Bbb R^n$, 有

$(2)$ 对任意 $\xi,\eta \in\Bbb R^n$, 有

引理2.4^[3,17] 若 $B\in\triangle _{2}, v\in W^{1,B}(B_{R})$, 则有

下面给出 BMO 空间的定义.

定义2.4^[3]$\rm BMO$ 空间 $BMO(\Bbb R^n)$ 是满足 $||h||_{BMO(\Bbb R^n)}< \infty$ 的所有函数 $h$ 组成的集合, 其中,

特别地, 对于限制在球 $B_R(x_0)$上的 $\rm BMO$ 半范定义为

下面的引理在证明中起重要作用.

引理2.5^[18] 设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $v\in W^{1,B}(B_{R})$ 是方程

的局部弱解, 则存在两个正常数 $C,\sigma$, 有

其中 $C,\sigma$ 依赖于 $n,i_a,s_a$.

为完成证明, 需要给出下面几个引理.

令 $w,v\in W^{1,B}(B_R)$ 分别为下列边值问题的弱解

引理2.6 假设 $w\in W^{1,B}(B_R)$ 满足问题

在弱意义下, 对所有非负函数 $\varphi\in W_{0}^{1,B}(B_R)$ 有

且 $(\psi-w)^{+}\in W_{0}^{1,B}(B_R)$, 则在 $B_R$ 上几乎处处有 $\psi \leq w$.

证 选取检验函数 $\varphi=(\psi-w)^{+}\in W_{0}^{1,B}(B_R)$ 代入 $(2.14)$ 式, 有

于是有

结合引理 $2.3(2)$, 有

这表明在 $\{x\in B_R:\psi \geq w\}$ 上几乎处处有 $\nabla \psi=\nabla w$, 于是在 $B_R$ 上几乎处处有 $\nabla ((\psi-w)^{+} )=0$. 又因为 $(\psi-w)^{+}\in W_{0}^{1,B}(B_R)$, 所以在 $B_R$ 上几乎处处有 $\psi \leq w$. 引理 $2.6$ 得证.

引理2.7 假设 $a(|\nabla\psi|)\nabla\psi\in BMO(\Bbb R^{n})$, $a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}\in BMO(\Bbb R^{n}).$$u$ 是方程(1.1)的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, $v$ 是边值问题(2.12)的弱解, 则

证 不失一般性, 假设 $R=1.$ 由 $w$ 的定义及引理 $2.6$ 知, 在 $B_1$ 中几乎处处有 $w\geq \psi$. 在 $\Bbb R^{n} \setminus B_1$ 中令 $w=u,$ 从而使得 $w$ 从 $B_1$ 扩展至 $\Bbb R^{n}$. 由于 $w\in W^{1,B}(B_1)$, 且在 $B_1$ 中几乎处处有 $w \geq \psi$, 则 $w\in K_{\psi}^{B} (B_1)$, 且 $w\in K_{\psi}^{B} (\Bbb R^{n})$. 因为 $u$ 是方程(1.1)的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, 则 $u$ 也是方程

的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解. 选取容许函数 $w$, 根据定义 1.1 有

注意到 $w-u\in W_{0}^{1,B}(B_{1})$, 上式即为

因为 $w$ 是边值问题(2.11)的弱解, 于是 $w$ 在 $B_{1}$ 中也满足方程

注意到 $w-u\in W_{0}^{1,B}(B_{1}),$ 在弱意义下取检验函数 $w-u$, 有

由(2.19)式减去(2.17)式可得

上式可以表示为

估计 $I_1:$ 由引理 $2.3$ 有

估计 $I_2,I_3$: 由引理 $2.1$ 有

结合(2.21)-(2.24)式并取积分平均, 选取足够小的 $\varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$,有

于是由引理 $2.2$ 和引理 $2.4$ 得

因为 $w$ 在 $B_{1}$ 中满足方程(2.18), $v$ 是边值问题(2.12)的弱解, 注意到 $w-v\in W_{0}^{1,B}(B_{1})$, 故在弱意义下选取检验函数 $w-v$, 有

由引理 $2.3$ 和引理 $2.1$, 有

上式取积分平均, 并取 $\varepsilon_{3}$ 足够小, 有

于是由引理 $2.2$ 和引理 $2.4$ 得

综合(2.26)式和(2.30)式, 有

引理 $2.7$ 得证.

引理2.8 设 $u$ 是方程(1.1)的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, 则在 $R>0$ 时, 对于某 $\varepsilon_{0}\in(0,1),$ 存在常数 $\theta=\theta(\varepsilon_{0})\in(0,1),$ 使得

成立.

证 不失一般性, 假设 $x_{0}=0.$ 若 $v$ 是边值问题(2.12)的弱解, 则由引理 $2.7$ 知

又有

估计 $K_1$:

估计 $K_2$: 利用 Jensen 不等式计算得

估计 $K_3$: 由引理 $2.5$ 和 Jensen 不等式得

记 $C\theta^{\sigma}=\varepsilon_{0}$, 综合(2.33)-(2.37)式有

引理 $2.8$ 得证.

定理 1.1 的证明 令

一方面, 在(2.32)式的两端对 $R$ 取上确界可得

由于 $\varepsilon_{0}\in(0,1)$, 于是有

另一方面, 考虑 $B:[0,+ \infty )\rightarrow \left [ 0,+ \infty \right )$ 是凸函数, 由 Jensen 不等式得到

结合(3.3)式和(3.4)式, 得到

由于(3.5)式左侧关于任何球 $B_R$ 上有一致估计, 令 $R\rightarrow \infty$, 则有

定理 $1.1$ 得证.

推论 1.1 的证明 在定理 1.1 中取 $a(t)=t^{p-2}(p\geq 2)$, 此时 $B(t)=t^p/p$, $\widetilde{B}(t)=\frac{p-1}{p}t^{\frac{p}{p-1}}$, 推论 $1.1$ 得证.