数学物理学报, 2023, 43(1): 159-168

一类椭圆障碍问题弱解梯度的全局 BMO 估计

佟玉霞, 郭艳敏, 谷建涛,*

华北理工大学理学院 河北唐山 063210

Global BMO Estimation for the Gradient of Weak Solutions to a Class of Elliptic Obstacle Problems

Tong Yuxia, Guo Yanmin, Gu Jiantao,*

College of Science, North China University of Science and Technology, Hebei Tangshan 063210

通讯作者: *谷建涛, E-mail: jiantaogu@126.com

收稿日期: 2020-11-17   修回日期: 2022-03-4  

基金资助: 河北省教育厅重点项目(ZD2022070)

Received: 2020-11-17   Revised: 2022-03-4  

Fund supported: key project of Hebei Provincial Department of Education(ZD2022070)

摘要

该文基于 Hardy-Littewood 极大函数有界性、Young 函数的 Jensen 不等式和扰动法等技巧, 获得了一类椭圆方程障碍问题弱解梯度在全空间上的全局 BMO 估计.

关键词： 障碍问题; 弱解; BMO 估计

Abstract

In this paper, the global BMO estimates for the gradient of weak solutions to a class of elliptic equation obstacle problems is considered by using the Hardy-Littlewood maximal functions, the Jensen inequality for Young function, the perturbation method and other techniques.

Keywords： Obstacle problem; Weak solution; BMO estimation

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本文引用格式

佟玉霞, 郭艳敏, 谷建涛. 一类椭圆障碍问题弱解梯度的全局 BMO 估计[J]. 数学物理学报, 2023, 43(1): 159-168

Tong Yuxia, Guo Yanmin, Gu Jiantao. Global BMO Estimation for the Gradient of Weak Solutions to a Class of Elliptic Obstacle Problems[J]. Acta Mathematica Scientia, 2023, 43(1): 159-168

1 引言

最近, Cianchi 和 Maz'ya[1] 在 ${\Bbb R}^n $ 中的有界开集上考虑了形如

${\rm div} (a(|\nabla u|)\nabla u)=f(x),\qquad x\in \Bbb R^n $

的方程, 当函数 $a:(0,+ \infty ) \rightarrow (0,+ \infty ) \in C^1(0,+ \infty )$ 满足

$ 0\leq i_{a}:=\inf_{t>0}\frac{ta'(t)}{a(t)}\leq \sup_{t>0}\frac{ta'(t)}{a(t)}=:s_{a}<\infty $

时, 获得了该方程的 Dirichlet 和 Neumann 椭圆边值问题弱解的全局 Lipschitz 正则性. 进一步, 他们[2] 也考虑了该类型椭圆方程组的情况, 建立了弱解的全局有界性. 2020 年, Yao, Zhang 和 Zhou[3] 在全空间 ${\Bbb R}^n $上考虑了拟线性椭圆方程

${\rm div} (a(|\nabla u|)\nabla u)={\rm div}{\boldsymbol f}, $

利用 Hardy-Littlewood 极大函数建立了该方程的弱解的全局 BMO 估计, 并且使用迭代覆盖方法, 获得了方程

$\begin{equation}\label{(1.1)} {\rm div} (a(|\nabla u|)\nabla u)={\rm div}(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}) \end{equation}$

弱解在全空间 ${\Bbb R}^n $上的 $L^p$ 型估计. 关于方程(1.1), 在 2017 年 Yao 和 Zhou[4] 就在 ${\Bbb R}^n$ 中的有界开集上考虑了拟线性椭圆方程(1.1)弱解的局部 Calderón-Zygmund 估计, 主要使用 Hardy-Littlewood 极大函数在 $L^p$ 空间的有界性方法, 获得了该方程弱解的局部 $L^p$ 型估计. 随后 Yao[5] 在 ${\Bbb R}^n $ 中的有界凸域上考虑了带有 Neumann 数据的椭圆方程(1.1)的全局 Calderón-Zygmund 估计.

本文考虑与定义在 ${\Bbb R}^n $上的椭圆方程(1.1)对应的如下 Young 函数增长的障碍问题, 其中 $ {\boldsymbol f}=(f^1,f^2,\cdots,f^n)$ 是给定的向量, 函数 $a:(0,+ \infty ) \rightarrow (0,+ \infty ) \in C^1(0,+ \infty )$ 满足

$\begin{equation}\label{(1.2)} 0\leq i_{a}:=\inf_{t>0}\frac{ta'(t)}{a(t)}\leq \sup_{t>0}\frac{ta'(t)}{a(t)}=:s_{a}<\infty. \end{equation}$

特别地, 当 $a(t)=t^{p-2}$, $p\geq 2$, 方程(1.1)即为 $p$-Laplace 方程

$ {\rm div} (|\nabla u|^{p-2}\nabla u)= {\rm div} (|{\boldsymbol f}|^{p-2}{\boldsymbol f}).$

定义

$\begin{equation}\label{(1.3)} b(t)=ta(t),\quad B(t)=\int _{0}^{t}\tau a(\tau) {\rm d}\tau=\int _{0}^{t}b(\tau) {\rm d}\tau, \quad \mbox{当}\ t\geq0. \end{equation}$

由(1.2)式知, $b(t)$ 在 $[0,+ \infty )$ 上连续并严格递增, $B(t)$ 在 $[0,+ \infty )$ 上递增.

设 $\psi$ 为 ${\Bbb R}^n $上取值于 $ \Bbb R\bigcup \{\pm\infty\}$ 的任意函数, 定义障碍问题的容许函数类

$\begin{eqnarray*} K_{\psi}^{B}({\Bbb R}^n ):=\left \{u \in W^{1,B}({\Bbb R}^n ): \mbox{在$ {\Bbb R}^n $ 上几乎处处有}\ u\geq\psi\right \}. \end{eqnarray*}$

关于 $W^{1,B}({\Bbb R}^n)$ 的含义见下节. 首先给出如下定义.

定义1.1 函数 $u \in K_{\psi}^{B} ({\Bbb R}^n)$ 称为方程 $(1.1)$ 的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, 若

$\begin{equation}\label{(1.4)} \int _{{\Bbb R}^n }\left \langle a(|\nabla u|)\nabla u,\nabla (v-u) \right \rangle {\rm d}x \geq \int _{{\Bbb R}^n}\left \langle a(| {\boldsymbol f} |) {\boldsymbol f},\nabla (v-u) \right \rangle {\rm d}x \end{equation}$

对于任意的 $ v\in K_{\psi}^{B} ({\Bbb R}^n )$ 都成立.

DiBenedetto 和 Manfredi[6] 在 $p>2$ 的情况下获得了拟线性椭圆方程组 $ {\rm div} (|Du|^{p-2}Du)\\ ={\rm div}(|{\boldsymbol F}|^{p-2}{\boldsymbol F}) $ 弱解梯度在全空间 ${\Bbb R}^n $上的全局 BMO 估计; Diening, Kaplický 和 Schwarz-acher[7] 在 $p>1$ 的情况下获得了非齐次椭圆方程组 $ -{\rm div} (A(\nabla u))={\rm div}\textbf{f} $ 在 ${\Bbb R}^n $ 中的球 $B$ 上的局部 BMO 估计; Yao, Zhang 和 Zhou[3] 利用Hardy-Littlewood极大函数有界性获得了一类拟线性椭圆方程 $ {\rm div} (a(|\nabla u|)\nabla u)={\rm div}{\boldsymbol f} $ 弱解在全空间 ${\Bbb R}^n $上的全局 BMO 估计; Liang 和 Zheng[8] 获得了具有部分BMO的椭圆障碍问题在 Orlicz 空间中的全局梯度估计. 关于椭圆方程的更多研究具体参见文献[9⇓⇓⇓⇓⇓-15].

本文主要受到 Yao, Zhang 和 Zhou 在文献[3]以及 Liang 和 Zheng 在文献[8]中关于 BMO 估计以及障碍问题的处理思想的启发, 对梯度 $Du$ 在有限球上的局部 BMO 半范作逐点估计, 由于估计界一致性, 对半径取极限, 从而建立全空间上具有散度形式的椭圆方程障碍问题弱解梯度的 BMO 估计. 下面是本文的主要结论.

定理1.1 假设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $B(t)$ 满足(1.3)式, 且有

$ a(|\nabla\psi|)\nabla\psi\in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}),\quad a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}\in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}). $

若 $u$ 是方程(1.1)的 $ K_{\psi}^{B} $ - 障碍问题的弱解, 则 $\nabla u \in {\rm BMO}(\Bbb R^{n})$, 且有估计式

$\begin{matrix}\label{jieguo1.9} B\left(||\nabla u||_{{\rm BMO}(\Bbb R^{n})}\right) &\leq& C\widetilde{B}\left(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{{\rm BMO}(\Bbb R^{n})}\right)+C\widetilde{B}\left(||a(|\nabla\psi|)\nabla\psi||_{ {\rm BMO}(\Bbb R^{n})}\right) \end{matrix}$

成立, 其中正常数 $C$ 与 $u,{\boldsymbol f},\psi$ 无关.

推论1.1 若 $u$ 是 $p$-{Laplace} 方程 $ {\rm div} (|\nabla u|^{p-2}\nabla u)={\rm div}(\left | {\boldsymbol f}\right|^{p-2}{\boldsymbol f}) $ 的 $ K_{\psi}^{B} $ - 障碍问题的弱解, 且有 $ \left | \nabla\psi\right|^{p-2}\nabla\psi\in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}),$$ \left | {\boldsymbol f}\right|^{p-2}{{\boldsymbol f}}\in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}), $ 则 $\nabla u \in {\rm BMO}(\Bbb R^{n}),$ 且有估计式

$\begin{matrix}\label{jieguo1.10} \|\nabla u\|_{{\rm BMO}(\Bbb R^{n})} \leq \displaystyle C\|\left | {\boldsymbol f}\right|^{p-2}{{\boldsymbol f}}\|_{{\rm BMO}(\Bbb R^{n})}^{1/(p-1)} +C\| \left | \nabla\psi\right|^{p-2}\nabla\psi\|_{{\rm BMO}(\Bbb R^{n})}^{1/(p-1)} \end{matrix}$

成立, 其中正常数 $C$ 与 $u,{\boldsymbol f},\psi$ 无关.

2 预备知识

首先给出广义 Orlicz 空间中的一些定义与引理.

定义2.1[3] 若函数 $B:[0,+ \infty )\rightarrow \left [ 0,+ \infty \right )$ 是凸函数, 且满足 $B(0)=0$, 则称函数 $B$ 为 $\rm{Young}$ 函数. 如果对 $t>0$, 有 $0<B(t)<\infty$, 且

$\begin{equation}\label{Definition 2.1} \lim_{t\rightarrow +\infty}\frac{B(t)}{t}=\lim_{t\rightarrow 0^{+} }\frac{t}{B (t)}=+\infty, \end{equation}$

则 $\rm {Young}$ 函数 $B$ 也称为 $N$ - 函数. 此外, 定义 $N$ - 函数 $B$ 的 $\rm {Young}$ 共轭 $\widetilde{B}$ 为

$\widetilde{B}(t)=\sup_{s\geq 0}\{st-B(s)\}, \quad \mbox{当} \ t\geq0. $

如果 $B$ 是 $N$ - 函数, 则 $\widetilde{B}$ 也是 $N$ - 函数.

定义2.2[3] 若存在一个正常数 $K$, 使得对于任意 $t> 0$, 有

$\begin{equation}\label{Definition 2.2} B(2t)\leq KB(t), \end{equation}$

则称 $N$ - 函数 $B$ 满足全局 $\triangle _{2}$ 条件, 表示为 $B \in \triangle _{2}$. 若存在一个常数 $\theta>1$, 使得对于任意 $t>0$, 有

$\begin{equation}\label{Definition 2.3} B(t)\leq \frac{B(\theta t)}{2\theta}, \end{equation}$

则称 $N$ - 函数 $B$ 满足全局 $\bigtriangledown _{2}$ 条件, 表示为 $B \in \bigtriangledown _{2}$.

引理2.1[3] 若 $B$ 是 $N$ - 函数, 则 $B$ 满足下面的 $\rm{Young}$ 不等式

$\begin{equation}\label{(2.4)} st\leq \widetilde{B}(s)+B(t),\quad \mbox{对任意$ s,t\geq0.$} \end{equation}$

若 $B \in \triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$, 则有

$\begin{equation}\label{(2.5)} st\leq \varepsilon\widetilde{B}(s)+C(\varepsilon)B(t),\quad \mbox{对任意$s,t\geq0$和}\ \varepsilon>0. \end{equation}$

定义2.3[3] 设 $B$ 是 $N$ - 函数, $\Omega$ 是 ${\Bbb R}^n$ 中的任何开子集, 则 $\rm Orlicz$ 类 $K^{B}(\Omega )$ 是满足

$\begin{eqnarray*} \int _{\Omega }B (\left | g \right |){\rm d}x< \infty \end{eqnarray*}$

的所有可测函数 $g:\Omega \rightarrow \Bbb R$ 组成的集合. $\rm Orlicz$ 空间 $L^{B}(\Omega )$ 是 $K^{B}(\Omega )$ 的线性闭包, 且具有Luxemburg 范数

$\begin{eqnarray*} ||g||_{L^B(\Omega )}={\rm{inf}} \left\{k>0:\int_{\Omega}B\left( \frac{|g(x)|}{k}\right){\rm d}x\leq 1\right\}. \end{eqnarray*}$

此外, $\mathrm{Orlicz}$ -$\mathrm{Sobolev}$ 空间 $W^{1,B}(\Omega )=\{g \in L^{B}(\Omega)|\nabla g\in L^{B}(\Omega)\}$, 具有范数 $||g||_{W^{1,B}(\Omega )}=||g||_{L^B(\Omega )}+||\nabla g||_{L^B(\Omega )}$.

一般地, $K^{B}(\Omega )\subset L^B(\Omega )$ (参见文献[16], 第 8 章). 如果 $B \in \triangle _{2}$, 那么 $K^{B}(\Omega )= L^B(\Omega )$.

引理2.2 假设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $B(t)$ 满足(1.3)式, 则有

$(1)$$B(t)$ 是严格凸的$N$ - 函数, $\widetilde B \in \triangle _{2}$, 且

$\begin{equation}\label{(2.6)} \widetilde B(b(t))\leq C_{0}B(t),\quad \mbox{当}\ t\geq 0, \ C_0>0. \end{equation}$

$(2)$$B(t)\in\triangle _{2}\bigcap \bigtriangledown _{2}$.

引理2.3[4] 假设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $B(t)$ 满足(1.3)式, 则有

$(1)$ 对任意 $\xi\in \Bbb R^n$, 有

$\begin{equation}\label{(2.7)} a(|\xi|)\xi\cdot\xi\geq C(i_a,s_a)B(|\xi|). \end{equation}$

$(2)$ 对任意 $\xi,\eta \in\Bbb R^n$, 有

$\begin{equation}\label{(2.8)} \left \langle a(|\xi| )\xi-a(|\eta |)\eta,\xi -\eta \right \rangle\geq C(i_a,s_a)B(|\xi-\eta|),\quad \mbox{当}\ i_a\geq 0. \end{equation}$

引理2.4[3,17] 若 $B\in\triangle _{2}, v\in W^{1,B}(B_{R})$, 则有

$ -\!\!\!\!\!\!\int _{B_{R}}B\left( \frac{|v-v_{B_{R}}|}{R}\right){\rm d}x\leq CB\left(||v||_{{\rm BMO}(B_R)} \right). $

下面给出 BMO 空间的定义.

定义2.4[3]$\rm BMO$ 空间 $BMO(\Bbb R^n)$ 是满足 $ ||h||_{BMO(\Bbb R^n)}< \infty $ 的所有函数 $h$ 组成的集合, 其中,

$ || h||_{BMO(\Bbb R^n)}:= \sup_{{x\in\Bbb R^n\atop B_{r}(x)\subset \Bbb R^n}} -\!\!\!\!\!\!\int _{B_{r}(x)}|h-h_{B_{r}(x)}|{\rm d}x. $

特别地, 对于限制在球 $B_R(x_0)$上的 $\rm BMO$ 半范定义为

$ || h||_{{\rm BMO}(B_R(x_0))}:= \sup_{0<r<R} -\!\!\!\!\!\!\int _{B_{r}(x_0)}|h-h_{B_{r}(x)}|{\rm d}x. $

下面的引理在证明中起重要作用.

引理2.5[18] 设 $a(t)$ 满足(1.2)式, $v\in W^{1,B}(B_{R})$ 是方程

$ {\rm div} (a(|\nabla v|)\nabla v)=0 $

的局部弱解, 则存在两个正常数 $C,\sigma$, 有

$ \begin{equation}\label{(2.9)} \sup_{{B_{R/2}}}B(|\nabla v|)\leq C -\!\!\!\!\!\!\int _{B_{R}}B(|\nabla v|){\rm d}x, \end{equation}$
$\begin{equation}\label{(2.10)} -\!\!\!\!\!\!\int _{B_{\rho}}B(|\nabla v-(\nabla v)_{B_{\rho}}|){\rm d}x\leq C(\frac{\rho}{R})^{\sigma} -\!\!\!\!\!\!\int _{B_{R}}B(|\nabla v-(\nabla v)_{B_{R}}|){\rm d}x, \quad \mbox{对任意}\ \rho<R, \end{equation}$

其中 $C,\sigma$ 依赖于 $n,i_a,s_a$.

为完成证明, 需要给出下面几个引理.

令 $w,v\in W^{1,B}(B_R)$ 分别为下列边值问题的弱解

$ \begin{matrix}\label{(2.11)} \left\{\begin{array}{ll} {\rm div} (a(|\nabla w|)\nabla w)={\rm div} (a(|\nabla \psi|)\nabla \psi),\quad & x\in B_{R},\\ w=u, &x\in\partial B_{R}. \end{array}\right. \end{matrix}$
$\begin{matrix}\label{(2.12)} \left\{\begin{array}{ll} {\rm div} (a(|\nabla v|)\nabla v)=0,\quad& x\in B_{R},\\ v=w, & x\in\partial B_{R}. \end{array}\right. \end{matrix}$

引理2.6 假设 $w\in W^{1,B}(B_R)$ 满足问题

$ \begin{matrix}\label{(2.13)} \left\{\begin{array}{ll} -{\mathrm{div}} (a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)\leq-\mathrm{div} (a(|\nabla w|)\nabla w),\quad &x\in B_{R},\\ \psi \leq w, & x\in\partial B_{R}. \end{array}\right. \end{matrix}$

在弱意义下, 对所有非负函数 $\varphi\in W_{0}^{1,B}(B_R)$ 有

$ \begin{matrix}\label{(2.14)} \int_{B_R} \left \langle a(|\nabla \psi|)\nabla \psi- a(|\nabla w|)\nabla w, \nabla \varphi \right \rangle {\rm d}x \leq 0, \end{matrix}$

且 $(\psi-w)^{+}\in W_{0}^{1,B}(B_R)$, 则在 $B_R$ 上几乎处处有 $\psi \leq w$.

证 选取检验函数 $\varphi=(\psi-w)^{+}\in W_{0}^{1,B}(B_R)$ 代入 $(2.14)$ 式, 有

$ \int_{B_R} \left \langle a(|\nabla \psi|)\nabla \psi- a(|\nabla w|)\nabla w, \nabla ((\psi-w)^{+} )\right \rangle {\rm d}x \leq 0. $

于是有

$ \int_{\{x\in B_R:\psi \geq w\}} \left \langle a(|\nabla \psi|)\nabla \psi- a(|\nabla w|)\nabla w, \nabla ((\psi-w))\right \rangle {\rm d}x \leq 0. $

结合引理 $2.3(2)$, 有

$ \int_{\{x\in B_R:\psi \geq w\}}B(|\nabla \psi-\nabla w|){\rm d}x =0. $

这表明在 $\{x\in B_R:\psi \geq w\}$ 上几乎处处有 $\nabla \psi=\nabla w$, 于是在 $B_R$ 上几乎处处有 $\nabla ((\psi-w)^{+} )=0$. 又因为 $(\psi-w)^{+}\in W_{0}^{1,B}(B_R)$, 所以在 $B_R$ 上几乎处处有 $\psi \leq w$. 引理 $2.6$ 得证.

引理2.7 假设 $a(|\nabla\psi|)\nabla\psi\in BMO(\Bbb R^{n})$, $a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}\in BMO(\Bbb R^{n}). $$u$ 是方程(1.1)的 $ K_{\psi}^{B} $ - 障碍问题的弱解, $v$ 是边值问题(2.12)的弱解, 则

$ \begin{matrix}\label{(2.15)} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_R}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x \leq C\widetilde{B}\left(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{{\rm BMO}(B_R)}\right)+C\widetilde{B}\left(||a(|\nabla\psi|)\nabla\psi||_{{\rm BMO}(B_R)}\right). \end{matrix}$

证 不失一般性, 假设 $R=1.$ 由 $w$ 的定义及引理 $2.6$ 知, 在 $B_1$ 中几乎处处有 $w\geq \psi$. 在 $\Bbb R^{n} \setminus B_1$ 中令 $w=u,$ 从而使得 $w$ 从 $B_1$ 扩展至 $\Bbb R^{n}$. 由于 $w\in W^{1,B}(B_1)$, 且在 $B_1$ 中几乎处处有 $w \geq \psi$, 则 $w\in K_{\psi}^{B} (B_1)$, 且 $w\in K_{\psi}^{B} (\Bbb R^{n})$. 因为 $u$ 是方程(1.1)的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解, 则 $u$ 也是方程

$\begin{matrix}\label{(2.16)} {\rm div} (a(|\nabla u|)\nabla u)={\rm div}(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}-(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f})_{B_{1}}) \end{matrix}$

的 $K_{\psi}^{B}$ - 障碍问题的弱解. 选取容许函数 $w$, 根据定义 1.1 有

$\begin{eqnarray*}\label{} \int_{\Bbb R^{n}}\left \langle a(|\nabla u|)\nabla u,\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x \geq \int_{\Bbb R^{n}}\left \langle a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}-(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f})_{B_{1}},\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x. \end{eqnarray*}$

注意到 $w-u\in W_{0}^{1,B}(B_{1})$, 上式即为

$\begin{matrix}\label{(2.17)} \int_{B_{1}}\left \langle a(|\nabla u|)\nabla u,\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x \geq \int_{B_{1}}\left \langle a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}-(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f})_{B_{1}},\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x. \end{matrix}$

因为 $w$ 是边值问题(2.11)的弱解, 于是 $w$ 在 $B_{1}$ 中也满足方程

$\begin{matrix}\label{(2.18)} {\rm div} \left(a(|\nabla w|)\nabla w\right)={\rm div}\left(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}}\right). \end{matrix}$

注意到 $w-u\in W_{0}^{1,B}(B_{1}),$ 在弱意义下取检验函数 $w-u$, 有

$\begin{equation}\label{(2.19)} \int_{B_{1}}\left \langle a(|\nabla w|)\nabla w,\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x = \int_{B_{1}}\left \langle a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}},\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x. \end{equation}$

由(2.19)式减去(2.17)式可得

$ \begin{matrix}\label{(2.20)} &&\int_{B_{1}}\left \langle a(|\nabla w|)\nabla w-a(|\nabla u|)\nabla u,\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \int_{B_{1}}\left \langle a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}},\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle -\int_{B_{1}}\left \langle a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}-(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f})_{B_{1}},\nabla(w-u) \right \rangle {\rm d}x. \end{matrix}$

上式可以表示为

$ \begin{equation}\label{(2.21)} I_1 \leq I_2+I_3. \end{equation}$

估计 $I_1: $ 由引理 $2.3$ 有

$\begin{equation}\label{(2.22)} I_1 \geq C\int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla u|){\rm d}x. \end{equation}$

估计 $I_2,I_3$: 由引理 $2.1$ 有

$\begin{matrix}\label{(2.23)} I_2 &\leq& \displaystyle \int_{B_{1}}|a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}}||\nabla w-\nabla u| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \varepsilon_{1} \int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla u|){\rm d}x +C(\varepsilon_{1})\int_{B_{1}}\widetilde{B}(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}}){\rm d}x. \end{matrix}$
$ \begin{matrix} \label{(2.24)} I_3 &\leq& \displaystyle \int_{B_{1}}|a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}-(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f})_{B_{1}}||\nabla w-\nabla u| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \varepsilon_{2} \int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla u|){\rm d}x+C(\varepsilon_{2})\int_{B_{1}}\widetilde{B}(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}-(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f})_{B_{1}}){\rm d}x. \end{matrix}$

结合(2.21)-(2.24)式并取积分平均, 选取足够小的 $ \varepsilon_{1},\varepsilon_{2}$,有

$\begin{matrix}\label{(2.25)} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla u|){\rm d}x &\leq& \displaystyle C -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{1}}\widetilde{B}(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}}){\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle + C -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{1}}\widetilde{B}(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}-(a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f})_{B_{1}}){\rm d}x. \end{matrix}$

于是由引理 $2.2$ 和引理 $2.4$ 得

$\begin{matrix}\label{(2.26)} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla u|){\rm d}x \leq C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{{\rm BMO}(B_{1})}) + C \widetilde{B}(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{{\rm BMO}(B_{1})}). \end{matrix}$

因为 $w$ 在 $B_{1}$ 中满足方程(2.18), $v$ 是边值问题(2.12)的弱解, 注意到 $w-v\in W_{0}^{1,B}(B_{1})$, 故在弱意义下选取检验函数 $w-v$, 有

$ \begin{matrix}\label{(2.27)} &&\int_{B_{1}}\left \langle a(|\nabla w|)\nabla w-a(|\nabla v|)\nabla v,\nabla(w-v) \right \rangle {\rm d}x \nonumber\\ &=& \displaystyle \int_{B_{1}}\left \langle a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}},\nabla(w-v) \right \rangle {\rm d}x. \end{matrix}$

由引理 $2.3$ 和引理 $2.1$, 有

$\begin{matrix}\label{(2.28)} && C\int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla v|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \int_{B_{1}}|a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}}||\nabla w-\nabla v| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \varepsilon_{3} \int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla v|){\rm d}x +C(\varepsilon_{3})\int_{B_{1}}\widetilde{B}(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}}){\rm d}x. \end{matrix}$

上式取积分平均, 并取 $\varepsilon_{3}$ 足够小, 有

$\begin{matrix}\label{(2.29)} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla v|){\rm d}x \leq C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{1}}\widetilde{B}(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi-(a(|\nabla \psi|)\nabla \psi)_{B_{1}}){\rm d}x. \end{matrix}$

于是由引理 $2.2$ 和引理 $2.4$ 得

$\begin{matrix}\label{(2.30)} && -\!\!\!\!\!\!\int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla v|){\rm d}x \leq C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{{\rm BMO}(B_{1})}). \end{matrix}$

综合(2.26)式和(2.30)式, 有

$\begin{matrix}\label{(2.31)} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_1}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x &\leq& \displaystyle C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_1}B(|\nabla u-\nabla w|){\rm d}x+C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_1}B(|\nabla w-\nabla v|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{{\rm BMO}(B_{1})}) + C \widetilde{B}(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{{\rm BMO}(B_{1})}). \end{matrix}$

引理 $2.7$ 得证.

引理2.8 设 $u$ 是方程(1.1)的 $ K_{\psi}^{B} $ - 障碍问题的弱解, 则在 $R>0$ 时, 对于某 $\varepsilon_{0}\in(0,1),$ 存在常数 $\theta=\theta(\varepsilon_{0})\in(0,1),$ 使得

$\begin{matrix}\label{(2.32)} && -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}(x_0)}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{\theta R}(x_0)}|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{{\rm BMO}(B_{R}(x_0))}) + C \widetilde{B}(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{{\rm BMO}(B_{R}(x_0))}) \nonumber\\ && \displaystyle +\varepsilon_{0}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}(x_0)}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{R}(x_0)}|){\rm d}x \end{matrix}$

成立.

证 不失一般性, 假设 $x_{0}=0.$ 若 $v$ 是边值问题(2.12)的弱解, 则由引理 $2.7$ 知

$\begin{matrix}\label{(2.33)} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x \leq C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{{\rm BMO}(B_{R})}) + C \widetilde{B}(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{{\rm BMO}(B_{R})}). \end{matrix}$

又有

$\begin{matrix}\label{(2.34)} && -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{\theta R}}|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x +C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(|(\nabla u)_{B_{\theta R}}-(\nabla v)_{B_{\theta R}}|){\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(|\nabla v-(\nabla v)_{B_{\theta R}}|){\rm d}x \nonumber\\ &:=& \displaystyle K_1+K_2+K_3. \end{matrix}$

估计 $K_1$:

$\begin{matrix}\label{(2.35)} K_1=C \theta^{-n}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{ R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x. \end{matrix}$

估计 $K_2$: 利用 Jensen 不等式计算得

$\begin{matrix}\label{(2.36)} K_2 &= & \displaystyle C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(|-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}(\nabla u-\nabla v){\rm d}x|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}|\nabla u-\nabla v|{\rm d}x){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C \theta^{-n}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x. \end{matrix}$

估计 $K_3$: 由引理 $2.5$ 和 Jensen 不等式得

$\begin{matrix}\label{(2.37)} K_3 &\leq & \displaystyle C \theta^{\sigma}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla v-(\nabla v)_{B_{R}}|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C\theta^{\sigma}\big( -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{ R}}B(|\nabla v-\nabla u|){\rm d}x +-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{R}}|){\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|(\nabla u)_{B_{R}}-(\nabla v)_{B_{R}}|){\rm d}x \big) \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C\theta^{\sigma}\big( -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{ R}}B(|\nabla v-\nabla u|){\rm d}x +-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{R}}|){\rm d}x \big). \end{matrix}$

记 $C\theta^{\sigma}=\varepsilon_{0}$, 综合(2.33)-(2.37)式有

$\begin{matrix}\label{(2.38)} && -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{\theta R}}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{\theta R}}|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C \theta^{-n}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x +C\theta^{\sigma}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +C\theta^{\sigma}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{R}}|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C \theta^{-n}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-\nabla v|){\rm d}x +C\theta^{\sigma}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{R}}|){\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{{\rm BMO}(B_{R})}) + C \widetilde{B}(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{{\rm BMO}(B_{R})}) \nonumber\\ && \displaystyle +\varepsilon_{0}-\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R}}B(|\nabla u-(\nabla u)_{B_{R}}|){\rm d}x. \end{matrix}$

引理 $2.8$ 得证.

3 主要结论的证明

定理 1.1 的证明 令

$\begin{matrix}\label{(3.1)} M_{B_R}^{\sharp}(h,x_{0})= \sup_{0<r<R} -\!\!\!\!\!\!\int _{B_{r}(x_{0})}B(|h-h_{B_{r}(x_{0})}|){\rm d}x. \end{matrix}$

一方面, 在(2.32)式的两端对 $R$ 取上确界可得

$\begin{matrix}\label{(3.2)} M_{B_R}^{\sharp}(\nabla u,x_{0}) &\leq& C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{BMO(\Bbb R^n)})\nonumber\\ && \displaystyle + C \widetilde{B}(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{BMO(\Bbb R^n)}) +\varepsilon_{0} M_{B_R}^{\sharp}(\nabla u,x_{0}). \end{matrix}$

由于 $\varepsilon_{0}\in(0,1)$, 于是有

$\begin{matrix}\label{(3.3)} M_{B_R}^{\sharp}(\nabla u,x_{0}) &\leq& C \widetilde{B}(||a(|\nabla \psi|)\nabla \psi||_{BMO(\Bbb R^n)}) + C \widetilde{B}(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{BMO(\Bbb R^n)}). \end{matrix}$

另一方面, 考虑 $B:[0,+ \infty )\rightarrow \left [ 0,+ \infty \right )$ 是凸函数, 由 Jensen 不等式得到

$\begin{matrix}\label{(3.4)} B(||\nabla u||_{{\rm BMO}(B_R)})\leq || M_{B_R}^{\sharp}(\nabla u,x_{0})||_{L^{\infty}(B_R)}. \end{matrix}$

结合(3.3)式和(3.4)式, 得到

$\begin{matrix}\label{(3.5)} B\left(||\nabla u||_{{\rm BMO}(B_R)}\right) \leq \displaystyle C\widetilde{B}\left(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{BMO(\Bbb R^{n})}\right)+C\widetilde{B}\left(||a(|\nabla\psi|)\nabla\psi||_{BMO(\Bbb R^{n})}\right). \end{matrix}$

由于(3.5)式左侧关于任何球 $B_R$ 上有一致估计, 令 $R\rightarrow \infty$, 则有

$ B\left(||\nabla u||_{BMO(\Bbb R^{n})}\right) \leq \displaystyle C\widetilde{B}\left(||a(|{\boldsymbol f}|){\boldsymbol f}||_{BMO(\Bbb R^{n})}\right)+C\widetilde{B}\left(||a(|\nabla\psi|)\nabla\psi||_{BMO(\Bbb R^{n})}\right). $

定理 $1.1$ 得证.

推论 1.1 的证明 在定理 1.1 中取 $a(t)=t^{p-2}(p\geq 2)$, 此时 $B(t)=t^p/p$, $\widetilde{B}(t)=\frac{p-1}{p}t^{\frac{p}{p-1}}$, 推论 $1.1$ 得证.

致谢

本文工作的完成得益于郑神州教授给予的指导, 在此致谢. 同时感谢审稿专家的宝贵建议.

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