本文主要研究定义$ {{\mathbb{R}}}^3\times (0, T) $上的三维不可压Navier-Stokes方程

(1.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \partial_t u+u\cdot \nabla u-\nu\Delta u+\nabla\pi=0, \\ \nabla\cdot u=0, \\ u|_{t=0}=u_0, \end{array} \right. \end{equation} $

其中$ u=u(t, x) $是速度场, $ \pi $是压力, $ \nu $是粘性常数.

Leray和Hopf^[11-12]在初值$ u_0\in L^2 $且$ \nabla\cdot u_0=0 $的条件下构造整体弱解.然而弱解的正则性问题是流体力学中的公开问题. 第一个正则性准则是由Serrin^[14]建立的, 具体内容是: 如果$ u $是三维Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解且满足

$ \begin{eqnarray*} u\in L^q(0, T; L^p({{\Bbb R}}^3)), \quad \frac{2}{q}+\frac{3}{p}=1, \quad 3< p\le\infty, \end{eqnarray*} $

则解在$ (0, T] $是正则的. Beiráo da Veiga^[3]给出了Navier-Stokes方程的Leray-Hopf弱解是正则的另一个充分条件

$ \begin{eqnarray*} \nabla u\in L^q(0, T; L^p({{\Bbb R}}^3)), \quad \frac{2}{q}+\frac{3}{p}=2, \quad \frac32< p\le\infty. \end{eqnarray*} $

继Prodi和Serrin的开创性工作后, 有关三维Navier-Stokes方程解的整体正则性的充分性条件的文章大量涌现, 见文献[1, 6–7, 9, 13]等. 另一方面, 根据压力的增长性条件给出Navier-Stokes方程的判别准则是十分有趣的问题. 许多数学家给压力或压力梯度添加类似于Lebesge空间上的Serrin条件. 譬如: 2001年, Chae和Lee^[5]证明了当压力$ \pi $满足

$ \begin{eqnarray*} \pi\in L^r(0, T; L^s({{\Bbb R}}^3)), \quad \frac2r+\frac3s<2, \quad s>\frac32, \end{eqnarray*} $

则$ u $是正则解. Berselli和Galdi^[4]证明了当

$ \begin{eqnarray*} \nabla\pi\in L^r(0, T; L^s({{\Bbb R}}^3)), \quad \frac2r+\frac3s=3, \quad\quad s\in [\frac97, 3], \end{eqnarray*} $

则$ u $也是正则解. 近来Zhou^[16]证明了当

$ \begin{eqnarray*} \nabla\pi\in L^r(0, T; L^s({{\Bbb R}}^3)), \quad \frac2r+\frac3s\le3, \quad\quad s\in [1, \infty], \end{eqnarray*} $

则弱解$ u $是正则的. 2006年, Chen和Zhang^[8]证明了当$ \pi $满足

$ \begin{eqnarray*} \int_0^T \|\pi\|_{B_{\infty, \infty}^0}{\rm d}t<\infty, \end{eqnarray*} $

则$ u $在$ (0, T] $正则. 受文献[4–5, 8, 16]的启发, 我们将研究压力或压力梯度属于Triebel-Lizorkin空间上Navier-Stokes方程弱解的正则性准则. 主要结果如下.

定理1.1   设$ u_0\in L^2({{\Bbb R}}^3)\cap L^4({{\Bbb R}}^3) $且$ \nabla\cdot u_0=0 $, 且$ u(t, x) $是(1.1)在$ (0, T) $上的Leray-Hopf弱解, 如果压力$ \pi $满足

(1.2) $ \begin{eqnarray} \int_0^T\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^p{\rm d}\tau<\infty, \quad \frac{2}{p}+\frac{3}{q}=\frac12+\frac{9}{5q}, \quad \frac{12}{5}<q<4, \end{eqnarray} $

则$ u $能光滑地延拓出$ t=T $.

注1.1   由于Lebesgue空间是Tribel-Lizorkin空间的特列, 所以定理1.1推广了文献[5]中的结果.

定理1.2  设$ u_0\in L^2({{\Bbb R}}^3)\cap L^4({{\Bbb R}}^3) $且$ \nabla\cdot u_0=0 $且$ u(t, x) $是(1.1)在$ (0, T) $上的Leray-Hopf弱解. 如果$ \nabla\pi $满足

(1.3) $ \begin{eqnarray} \int_0^T\|\nabla\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^p{\rm d}\tau<\infty, \quad \frac{2}{p}+\frac{3}{q}=\frac{11}{4}, \quad \frac{12}{11}<q< 4, \end{eqnarray} $

则$ u $能光滑地延拓出$ t=T $.

注1.2  类似注1.1知定理1.2部分地改进了文献[4]和[16]中的结果.

本文的困难和创新性见如下

$ \bullet $本文第一个给出压力属于Triebel-Lizorkin空间的不可压Navier-Stokes方程的正则性准则.

$ \bullet $定理证明过程中最大的困难在于处理非线性项, 我们将非线性项$ \int_{{{\Bbb R}}^3}\pi u\cdot\nabla|u|^2{\rm d}x $分解为

$ \int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j<-N}\dot{\Delta}_j\pi\|u\|\nabla|u|\bigg|^2{\rm d}x, \quad \int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j=-N}^N\dot{\Delta}_j\pi \|u\|\nabla|u|\bigg|^2{\rm d}x, \quad \int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg| \sum\limits_{j>N}\dot{\Delta}_j\pi \|u\|\nabla|u|\bigg|^2{\rm d}x. $

此时文献[8]中的分解在本文失效了.

$ \bullet $另一个新颖之处是定理1.2的证明过程中第三个非线性项的处理方式.如果直接用Berstern不等式, $ \nabla\pi $将损失一阶导数, 这样我们就不能利用不等式(2.3), 但是通过分部积分可以克服这个困难, 详见(4.5)式的估计.

本文余下部分做安排如下: 有关齐次Besov空间和齐次Tribel-Lizorkin空间的信息见第二小节; 定理1.1的证明在第3小节; 定理1.2的证明在第4小节.

首先给出Leray-Hopf弱解的定义.

定义2.1   设$ u_0\in L^2({{\Bbb R}}^3) $且$ \nabla\cdot u_0=0 $.如果$ u $满足

(i) $ u\in L^\infty(0, T; L^2({{\Bbb R}}^3))\cap L^2(0, T; H^1({{\Bbb R}}^3)) $;

(ii) 方程(1.1)在分布意义下成立;

(iii) 能量不等式

(2.1) $ \begin{eqnarray} \|u(t)\|_{L^2}^2+2\int_0^t\|\nabla u(\tau)\|_{L^2}^2{\rm d}\tau\le \|u_0\|_{L^2}^2, \end{eqnarray} $

其中$ t\in[0, T] $.称$ u(t, x) $是$ (0, T) $上方程(1.1)上的Leray-Hopf弱解.

根据Navier-Stokes方程可得$ {{\Bbb R}}^3 $中压力和速度满足

$ \pi=(-\Delta)^{-1}\mbox{divdiv}(u\otimes u) $

和

$ \nabla\pi=\nabla(-\Delta)^{-1}\mbox{div}(u\cdot\nabla u). $

由Riesz变换的$ L^p $有界性知道

(2.2) $ \begin{equation} \|\pi\|_{L^s}\le C\|u\|_{L^{2s}}^2 \end{equation} $

和

(2.3) $ \begin{equation} \|\nabla\pi\|_{L^s}\le C\|u\cdot\nabla u\|_{L^{s}}, \end{equation} $

其中$ 1<s<\infty $. Riesz变换的$ L^p $有界性见文献[15].

为了定义Besov空间和Triebel-Lizorkin空间, 首先介绍Littlewood-Paley分解理论. 用$ {\cal S}(R^n) $表示速降函数空间Schwartz类. 对给定的$ f\in {\cal S}(R^n) $, 其Fourier变换$ {\cal F}(f)=\hat{f} $和Fourier逆变换$ {\cal F}^{-1}(f)=\check{f} $分别定义为

$ \hat{f}(\xi)=\int_{R^n}e^{-{\rm i}x\cdot\xi}f(x){\rm d}x $

和

$ \check{f}(x)=\int_{R^n}e^{{\rm i}x\cdot\xi}f(x){\rm d}\xi. $

取非负径向函数$ \chi, \varphi\in{\cal S}(R^n) $满足supp$ \chi\subset B=\{\xi\in R^n:|\xi|\le \frac{4}{3}\} $及supp$ \varphi\subset {\cal C}=\{\xi\in R^n:\frac{3}{4}\le |\xi|\le \frac{8}{3}\} $使得

$ \sum\limits_{j\in Z}\varphi(2^{-j}\xi)=1, \quad \forall \xi\in R^n\backslash\{0\} $

和

$ \chi(\xi)+\sum\limits_{j\ge 0}\varphi(2^{-j}\xi)=1, \quad \forall \xi\in R^n. $

设$ \dot{\Delta}_j $是定义在环$ \{|\xi|\sim 2^j\} $的时频投影算子, $ \dot{S}_j $是定义在球$ \{|\xi|\le 2^j\} $上的时频投影算子.

令$ s\in R, p, q\in [1, \infty] $.齐次Besov空间$ \dot{B}^{s}_{p, q}(R^n) $是集合

$ \bigg\{f\in{\cal S}'_h:\bigg(\sum\limits_{j\in Z}2^{jsq}\|\dot{\Delta}_j f\|_{L^p}^q\bigg)^{\frac1q}<\infty\bigg\}, $

其范数为

(2.4) $ \begin{eqnarray} \|f\|_{\dot{B}_{p, q}^s(R^n)}=\left\{ \begin{array}{ll} { } \bigg(\sum\limits_{j\in Z}2^{jsq}\|\dot{\Delta}_j f\|_{L^p}^q\bigg)^{\frac1q}, & 1\le q<\infty, \\ { } \sup\limits_{j\in Z}\{2^{js}\|\dot{\Delta}_j f\|_{L^p}\}, & q=\infty. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

齐次Triebel-Lizorkin空间$ \dot{F}^{s}_{p, q}(R^n) $是集合

$ \begin{eqnarray*} \bigg\{f\in{\cal S}'_h:\bigg\|\bigg(\sum\limits_{j\in Z}2^{jsq}|\dot{\Delta}_j f|^q\bigg)^{\frac1q}\bigg\|_{L^p}<\infty\bigg\}, \end{eqnarray*} $

其范数为

(2.5) $ \begin{eqnarray} \|f\|_{\dot{F}_{p, q}^s(R^n)}=\left\{ \begin{array}{ll} { } \bigg\|\bigg(\sum\limits_{j\in Z}2^{jsq}|\dot{\Delta}_j f|^q\bigg)^{\frac1q}\bigg\|_{L^p}, & 1\le q<\infty, \\ { } \Big \|\sup\limits_{j\in Z}|2^{js}\dot{\Delta}_j f|\Big\|_{L^p}, & q=\infty. \end{array}\right. \end{eqnarray} $

为了证明定理1.1和定理1.2, 需要如下的Bernstein不等式.

引理2.1   设$ {\cal C} $是环、$ B $是球. 存在常数$ C $使得对任意非负整数$ k $及$ (p, q)\in [1, \infty]^2 $满足$ q\ge p\ge 1 $, 和函数$ u\in L^p $, 有

$ {\rm supp}\hat{u}\subset\lambda B\Longrightarrow \sup\limits_{|\alpha|=k}\|D^{\alpha}u\|_{L^q}\le C^{k+1}\lambda^{k+d(\frac1p-\frac1q)}\|u\|_{L^p}, $

$ {\rm supp}\hat{u}\subset\lambda {\cal C}\Longrightarrow C^{-k-1}\lambda^{k}\|u\|_{L^p}\le \|D^ku\|_{L^p}\le C^{k+1}\lambda^{k}\|u\|_{L^p}. $

上述引理证明见文献[2].

不妨设$ \nu=1 $, 本小节首先将建立方程(1.1)的光滑解先验界

$ \begin{eqnarray*} \|u(t)\|_{L^4}\le (\|u_0\|_{L^4}+T^{\frac14}+e)\exp\bigg(C\int_0^T\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}{\rm d}\tau\bigg), \end{eqnarray*} $

其中$ p=\frac{10q}{5q-6} $且$ \frac{12}5<q<4 $.

证   方程(1.1)两边乘以$ |u|^2u $且分部积分得

(3.1) $ \begin{eqnarray} &&\frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^4}^4+\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla u|^2|u|^2{\rm d}x+\frac12\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla|u|^2|^2{\rm d}x{}\\ &=&\int_{{{\Bbb R}}^3}\pi\nabla\cdot(|u|^2u){\rm d}x=\int_{{{\Bbb R}}^3}\pi u\cdot\nabla|u|^2{\rm d}x{}\\ &\le& \int_{{{\Bbb R}}^3}|\pi| |u||\nabla|u|^2|{\rm d}x:=I, \end{eqnarray} $

其中我们使用$ \int_{{{\Bbb R}}^3}u\cdot\nabla u\cdot |u|^2u{\rm d}x=0 $.

根据Littlewood-Paley分解, 将$ \pi $分解为

(3.2) $ \begin{eqnarray} \pi=\sum\limits_{j=-\infty}^{+\infty}\dot{\Delta}_j\pi=\sum\limits_{j<-N}\dot{\Delta}_j\pi+\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot{\Delta}_j\pi+\sum\limits_{j>N}\dot{\Delta}_j\pi, \end{eqnarray} $

其中$ N $是待定的正整数. 根据(3.2)式得

(3.3) $ \begin{eqnarray} I&\le& C\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j<-N}\dot{\Delta}_j\pi| |u||\nabla|u|^2\bigg|{\rm d}x{}\\ &&+C\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot{\Delta}_j\pi| |u||\nabla|u|^2\bigg|{\rm d}x+C\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j>N}\dot{\Delta}_j\pi| |u||\nabla|u|^2\bigg|{\rm d}x{}\\ &:=&I_1+I_2+I_3. \end{eqnarray} $

对于$ I_1 $. 利用Hölder不等式, 插值不等式和(2.2)式得

(3.4) $ \begin{eqnarray} I_1&\le& C\sum\limits_{j<-N}\|\dot{\Delta}_j\pi\|_{L^3}\|u\|_{L^6}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le & C\sum\limits_{j<-N}2^{\frac{j}2}\|\pi\|_{L^2}\|u\|_{L^4}^{\frac12}\|u\|_{L^{12}}^{\frac12}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le & C\sum\limits_{j<-N}2^{\frac{j}2}\|\pi\|_{L^2}\|u\|_{L^4}^{\frac12}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^{\frac54}{}\\ &\le & C2^{\frac{-N}2}\|u\|_{L^4}^{\frac52}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^{\frac54}{}\\ &\le & \frac{1}{16}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^{2}+C2^{\frac{-4N}3}\|u\|_{L^4}^{\frac{20}3}. \end{eqnarray} $

对于$ I_2 $. 利用Hölder不等式, 插值不等式和$ s=2 $情形的不等式(2.2)得

(3.5) $ \begin{eqnarray} I_2&\le & C\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot{\Delta}_j\pi| |u||\nabla|u|^2\bigg|{\rm d}x{}\\ &\le& C\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg(\sum\limits_{j=-N}^{N}|\dot{\Delta}_j\pi|^{\frac{10q}{5q+6}}\bigg)^{\frac{5q+6}{10q}}N^{\frac{5q-6}{10q}}|u||\nabla|u|^2|{\rm d}x{}\\ &\le & CN^{\frac{5q-6}{10q}}\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}\|u\|_{L^{\frac{2q}{q-2}}}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le & CN^{\frac{5q-6}{10q}}\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}\|u\|_{L^2}^{1-\frac{12}{5q}}\|u\|_{L^{12}}^{\frac{12}{5q}}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le & CN^{\frac{5q-6}{10q}}\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}\|u\|_{L^2}^{1-\frac{12}{5q}}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^{\frac{5q+6}{5q}}{}\\ &\le & \frac{1}{16}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^2+CN\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{\frac{10q}{5q-6}}\|u\|_{L^2}^{\frac{10q-24}{5q-6}}, \end{eqnarray} $

其中$ \frac{12}5<q<4 $. 最后估计$ I_3 $. 由Hölder不等式, 引理2.1, 插值不等式和(2.3)式得

(3.6) $ \begin{eqnarray} I_3&\le & C\sum\limits_{j>N}\|\dot{\Delta}_j\pi\|_{L^5}\|u\|_{L^{\frac{10}{3}}}\|\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le & C\sum\limits_{j>N}2^{-j}\|\dot{\Delta}_j\nabla\pi\|_{L^5}\|u\|_{L^2}^{\frac15}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{4}{5}}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le & C2^{-\frac{N}{10}}\|\nabla\pi\|_{L^2}\|u\|_{L^2}^{\frac15}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{4}{5}}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le &C2^{-\frac{N}{10}}\||\nabla u||u|\|_{L^2}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{4}{5}}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}{}\\ &\le & C2^{-\frac{N}{10}}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{4}{5}}\||u||\nabla u|\|_{L^2}^2. \end{eqnarray} $

综合(3.4), (3.5) 和(3.6)式得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^4}^4+\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla u|^2|u|^2{\rm d}x+\frac18\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla|u|^2|^2{\rm d}x\\ &\le & C2^{\frac{-4N}3}\|u\|_{L^4}^{\frac{20}3}+CN\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{\frac{10q}{5q-6}}\|u\|_{L^2}^{\frac{10q-24}{5q-6}}+ C2^{-\frac{N}{10}}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{4}{5}}\||u||\nabla u|\|_{L^2}^2, \end{eqnarray*} $

结合不等式(2.1)得

(3.7) $ \begin{eqnarray} &&\frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^4}^4+\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla u|^2|u|^2{\rm d}x+\frac18\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla|u|^2|^2{\rm d}x{}\\ &\le & \big(C_02^{\frac{-N}{5}}\|u\|_{L^4}\big)^{\frac{20}3}+C_1N\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{\frac{10q}{5q-6}}+ \big(C_22^{-\frac{N}8}\|u\|_{L^{4}}\big)^{\frac{4}{5}}\||u||\nabla u|\|_{L^2}^2. \end{eqnarray} $

选取(3.7)式中的$ N $使得

$ \big(C_22^{\frac{-N}{8}}\|u\|_{L^{4}}\big)^{\frac{4}{5}}\le \frac12, $

具体地说

$ N\ge 8\bigg(\frac{\log^+(C_2\|u\|_{L^{4}})}{\log 2}+1\bigg), $

其中$ \log^+t=\log t $当$ t\ge 1 $及$ \log^+t=0 $当$ 0<t<1 $.

另一方面, 易得

$ \big(C_22^{-\frac{N}5}\|u\|_{L^{4}}\big)^{\frac{4}{5}}\le\big(C_22^{\frac{-N}{8}}\|u\|_{L^{4}}\big)^{\frac{4}{5}}\le \frac12 $

和

$ C_02^{\frac{-N}{5}}\|u\|_{L^4}\le C. $

因此由(3.7)式得

(3.8) $ \begin{eqnarray} \frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^4}^4&\le & C\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \tilde{q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{\frac{10q}{5q-6}}\log(\|u\|_{L^4}+e)+C{}\\ &\le & C\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{\frac{10q}{5q-6}}(\|u\|_{L^4}^4+e)+C, \end{eqnarray} $

其中$ 0<t<T $. 根据Gronwall不等式可得

$ \begin{eqnarray*} \|u(t)\|_{L^4}^4&\le & (\|u_0\|_{L^4}^4+T+e)\exp\bigg(C\int_0^T\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{\frac{10q}{5q-6}}{\rm d}\tau\bigg)\\ &\le & (\|u_0\|_{L^4}^4+T+e)\exp\bigg(C\int_0^T\|\pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{10q}{5q+6}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}{\rm d}\tau\bigg), \end{eqnarray*} $

其中$ p=\frac{10q}{5q-6} $. 定理1.1证毕.

证   类似定理1.1, 考虑如下$ L^4 $能量估计.

(4.1) $ \begin{eqnarray} \frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^4}^4+\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla u|^2|u|^2{\rm d}x+\frac12\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla|u|^2|^2\text{d}x =\int_{{{\Bbb R}}^3}\nabla\pi\cdot(|u|^2u){\rm d}x=II. \end{eqnarray} $

将(3.2)式代入(4.1)式得

(4.2) $ \begin{eqnarray} II&\le& \int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j<-N}\dot{\Delta}_j\nabla\pi\bigg| |u|^3{\rm d}x +\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg|\sum\limits_{j=-N}^{N}\dot{\Delta}_j\nabla\pi\bigg| |u|^3{\rm d}x+\int_{{{\Bbb R}}^3}\nabla\bigg(\sum\limits_{j>N}\dot{\Delta}_j\pi\bigg)\cdot u|u|^2{\rm d}x{}\\ & =&II_1+II_2+II_3. \end{eqnarray} $

利用Hölder不等式, 引理2.1, Sobolev嵌入和(2.3)式得

(4.3) $ \begin{eqnarray} II_1&\le &\sum\limits_{j<-N}\|\dot{\Delta}_j\nabla\pi\|_{L^6}\|u\|_{L^2} \|u\|_{L^{6}}^2{}\\ &\le & \sum\limits_{j<-N}2^{j}\|\dot{\Delta}_j\nabla\pi\|_{L^2}\|u\|_{L^2} \|u\|_{L^{4}}\|\|u\|_{L^{12}}{}\\ &\le & \sum\limits_{j<-N}2^{j}\|\nabla\pi\|_{L^2}\|u\|_{L^4}\|\nabla|u|^2\|_{L^{2}}^{\frac12}{}\\ &\le &2^{-N}\|u\|_{L^4}\||u|\nabla|u|\|_{L^2}^{\frac32}\le \frac18\||u|\nabla|u|\|_{L^2}^{2}+C2^{-4N}\|u\|_{L^4}^4. \end{eqnarray} $

下面估计$ II_2 $. 由Hölder不等式, 插值不等式, Sobolev不等式和Young不等式得

(4.4) $ \begin{eqnarray} II_2&\le & C\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg(\sum\limits_{j=-N}^{N}|\dot{\Delta}_j\nabla\pi|^{\frac{8q}{12-3q}}\bigg)^{\frac{12-3q}{8q}}N^{1-\frac{12-3q}{8q}}|u|^3{\rm d}x{}\\ &\le& CN^{1-\frac{12-3q}{8q}}\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}\|u\|_{L^{3q'}}^3{}\\ &\le & CN^{1-\frac{12-3q}{8q}}\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{3(3q-4)}{2q}}\|u\|_{L^{12}}^{\frac{3(4-q)}{2q}}{}\\ &\le &CN^{1-\frac{12-3q}{8q}}\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{3(3q-4)}{2q}}\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^{\frac{3(4-q)}{4q}}{}\\ &\le &\frac14\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^2+CN\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{36q-48}{11q-12}}{}\\ &\le &\frac18\|\nabla|u|^2\|_{L^2}^2+CN\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}(1+\|u\|_{L^{4}}^4), \end{eqnarray} $

其中$ p=\frac{8q}{11q-12} $且$ \frac{12}{11}<q<4 $.

最后估计$ II_3 $, 分部积分和类似$ I_3 $的估计方法得

(4.5) $ \begin{eqnarray} II_3=-\int_{{{\Bbb R}}^3}\bigg(\sum\limits_{j>N}\dot{\Delta}_j\pi\bigg) u\cdot\nabla|u|^2{\rm d}x\le C2^{-\frac{N}{10}}\|u\|_{L^{4}}^{\frac{4}{5}}\||u||\nabla u|\|_{L^2}^2. \end{eqnarray} $

将(4.3), (4.4) 和(4.5)式代入(4.1)式得

(4.6) $ \begin{eqnarray} &&\frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^4}^4+\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla u|^2|u|^2{\rm d}x+\frac14\int_{{{\Bbb R}}^3}|\nabla|u|^2|^2{\rm d}x{}\\ &\le & (C_02^{-N}\|u\|_{L^4})^4+C_1N\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}(1+\|u\|_{L^{4}}^4) +\big(C_22^{-\frac{N}{8}}\|u\|_{L^{4}}\big)^{\frac{4}{5}}\||u||\nabla u|\|_{L^2}^2. {}\\ \end{eqnarray} $

选取(4.6)式中的$ N $使得

$ (C_22^{-\frac{N}{8}}\|u\|_{L^{4}})^{\frac{4}{5}}\le \frac14, $

这意味着

$ N>8\bigg(\frac{\log^+(C_2\|u\|_{L^{4}})}{\log 2}+1\bigg). $

另一方面, 容易验证

$ \begin{eqnarray*} (C_02^{-N}\|u\|_{L^4})^4\le (C_02^{-\frac{N}8}\|u\|_{L^4})^4\le C. \end{eqnarray*} $

因此由(4.6)式可得

(4.7) $ \begin{eqnarray} \frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u\|_{L^4}^4\le C_1\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}(e+\|u\|_{L^{4}}^4)\log(\|u\|_{L^4}+e)+C. \end{eqnarray} $

则

(4.8) $ \begin{eqnarray} \frac14\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|_{L^4}^4+e)\le C_1\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}(e+\|u\|_{L^{4}}^4)\log(\|u\|_{L^4}^4+e)+C. \end{eqnarray} $

利用Gronwall不等式得

(4.9) $ \begin{eqnarray} \|u(t)\|_{L^4}^4+e\le (\|u_0\|_{L^4}^4+CT+e)\exp\bigg\{C\int_0^t\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}\log(\|u\|_{L^4}^4+e){\rm d}\tau\bigg\}. \end{eqnarray} $

令$ X(t)=\log(\|u\|_{L^4}^4+e) $. 则不等式(4.9)变为

$ \begin{eqnarray*} X(t)\le \log(\|u_0\|_{L^4}^4+CT+e)+C\int_0^t\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}\log(\|u\|_{L^4}^4+e){\rm d}\tau. \end{eqnarray*} $

于是

$ X(t)\le \log(\|u_0\|_{L^4}^4+CT+e)\exp\bigg(\int_0^t\|\nabla \pi\|_{\dot{F}_{q, \frac{8q}{12-3q}}^0({{\Bbb R}}^3)}^{p}{\rm d}\tau\bigg). $

从而根据上述不等式可得结论. 定理1.2证毕.