考虑如下形式的非线性Chern-Simons-Schrödinger方程

(1.1) $ \begin{equation} -\Delta u +\bigg( \int_{|x|}^{\infty } \frac{h(s)}{s} u^{2}(s) {\rm d}s+\frac{h^{2}(|x|)}{|x|^{2} } \bigg)u=\beta |u|^{p}u+\lambda u, x\in {{\Bbb R}} ^{2}, \end{equation} $

其中$ h(s)=\int_{0}^{s} \frac{r}{2} u^{2} (r){\rm d}r $. 方程(1.1) 的由来及其相关的物理背景可参见文献[1-3]. 利用经典的变分方法和临界点理论, 方程(1.1) 非平凡解和基态解的存在性及其解的相关性质得到了广泛的研究, 相关结果可参见文献[1, 4, 6, 7, 10, 13-15].

如果将方程(1.1) 中的参数$ \lambda\in{{\Bbb R}} $看作一个未知的Lagrange乘子, 易知方程(1.1) 的求解可归结为寻找变分泛函

$ E^\beta_{p} (u)= \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{2} } \big[| \nabla u | ^{2} +V(x)u^{2}\big]{\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x -\frac{\beta}{p+2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u|^{p+2}{\rm d}x, $

在约束集合

$ S_1=\bigg\{u\in {\cal H}: \int_{{{\Bbb R}} ^{2} } u^2{\rm d}x=1\bigg\}, \ \mbox{这里} \ {\cal H}=\bigg\{u\in H_r^1({{\Bbb R}} ^2) : \int_{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u^2{\rm d}x<+\infty\bigg\} $

上的临界点, 其中

$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ):=\left \{ u\in H^{1}({{\Bbb R}} ^{2} ):u(x)=u(|x|) \right \}. $

因此下文中我们将主要研究如下约束变分极小化问题

(1.2) $ \begin{equation} d_\beta(p)=\min \{E^\beta_{p} (u):u\in S_1\}. \end{equation} $

特别地, 当$ V(x)\equiv0 $时, $ {\cal H}=H_r^1({{\Bbb R}} ^2) $. 此时, 我们记

(1.3) $ \begin{equation} \widetilde{d}_\beta(p)=\min\bigg\{\widetilde{E}^\beta_{p} (u): \int_{{{\Bbb R}} ^2}|u|^2{\rm d}x=1\bigg\}= \min\bigg\{\widetilde{E}^\beta_{p} (u): u\in S_1\bigg\}, \end{equation} $

其中

$ \begin{eqnarray*} {\widetilde{E}}^\beta_{p} (u)&=&E^\beta_{p} (u)|_{V(x)\equiv0}\\ &=& \frac{1}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{2} } | \nabla u | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x -\frac{\beta}{p+2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u|^{p+2}{\rm d}x \end{eqnarray*} $

且$ \beta>0 $是一个待确定的参数. 为了方便起见, 下文我们将记$ \left \|\cdot \right \| $为$ H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2} ) $的范数, 记$ |\cdot|_p $为$ L^{p}({{\Bbb R}} ^{2}) $中的范数, $ 1\leq p<+\infty $.

对于任意的$ u\in H_r^1({{\Bbb R}} ^2) $和$ t>0 $, 记$ u_t(x)=tu(tx) $, 则$ |u_t|_2=|u|_2 $且

(1.4) $ \begin{equation} {\widetilde{E}}^\beta_{p} (u_t)= \frac{t^2}{2}\int_{{{\Bbb R}} ^{2} } | \nabla u | ^{2} {\rm d}x+\frac{t^2}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x -\frac{\beta t^p}{p+2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u|^{p+2}{\rm d}x, \end{equation} $

如果$ 0<p<2 $, 对于固定的$ u $, 由(1.4) 式可以看出, 当$ t $足够小时, 那么$ \widetilde{d}_\beta(p)<0 $; 如果$ p=2 $, 对于固定的$ u $, 由(1.4) 式可以看出, 当$ t\rightarrow0 $时, 那么$ \widetilde{d}_\beta(p)\leq0 $; 如果$ p>2 $, 对于固定的$ u $, 由(1.4) 式可以看出, 当$ t\rightarrow +\infty $时, 那么$ \widetilde{d}_\beta(p)=-\infty $. 因此, $ p=2 $通常称为约束极小问题(1.3) 的质量临界指标.

在文献[1] 中, 作者们通过寻找泛函$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $限制在

$ \begin{eqnarray*} S_{c}:=\left \{ u\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ): | u |^{2} _{2}=c >0 \right \} \end{eqnarray*} $

上的临界点, 并证明了当$ p\in(0, 1] $时, 对任意$ c>0 $, 泛函$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $在$ S_{c} $上存在正的可达元; 当$ p\in(1, 2) $时, 对于足够小的$ c $, 泛函$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $在$ S_{c} $上存在正的可达元. 那么$ c=1 $时会出现怎样的情况? 因此, 本文将重点讨论当$ p\in(0, 2] $且$ c=1 $时, 泛函$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $在$ S_{1} $上是否可达.

在文献[18] 中, 作者通过研究能量泛函$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $在$ S_{c} $上的极小化问题来研究方程(1.1) 具有事先给定$ L^{2} $范数的解的多重性, 利用极大极小值原理, 证明了当$ p\in(0, 1] $时, 对任意$ c>0 $, 方程(1.1) 有无穷多对不同的径向对称解; 当$ p\in(1, 2) $时, 对于足够小的$ c $, 方程(1.1) 有无穷多对不同的径向对称解; 当$ p>2 $时, 存在$ c_{1}>0 $, 使得对于所有的$ c\in(0, c_{1}) $, 方程(1.1) 有无穷多对不同的径向对称解. 但$ c_{1} $的取值并不能具体确定.

在文献[8] 中, 作者研究了一类非线性Chern-Simons-Schrödinger方程在$ {{\Bbb R}} ^{2} $上具有特定$ L^{2} $范数的解的存在性和多重性, 通过寻找能量泛函$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $限制在$ S_{c} $上的临界点来得到这样的解. 当$ p=2 $时, 作者给出了对于确定范围内的$ c $, $ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $在$ S_{c} $上不存在约束临界点的一个充分条件; 并证明了$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $在$ S_{8\pi} $上有无穷多个极小元; 当$ p>2 $时, 通过在$ S_{c} $的一个合适子流形上应用约束极小化方法, 证明了对于特定的$ c>0 $, $ \widetilde{E}^\beta_{p} (u) $在$ S_{c} $上有一个临界点.

受文献[1, 4, 8] 的启发, 本文将研究Chern-Simons-Schrödinger方程在$ {{\Bbb R}} ^{2} $上带位势$ V(x) $的情况下, 对应能量泛函的约束极小化问题, 研究方程在$ L^{2} $约束下的最低能量解. 我们考虑$ V(x)\equiv0 $和$ V(x)\not\equiv0 $两种情况, 研究当$ 0<p\leq2 $时, 极小化问题(1.3) 的可达性, 并确定使得能量泛函可达和不可达时$ \beta $的取值范围. 此外, 我们还将讨论当指数$ p\rightarrow2 $时, 极小化问题(1.3) 相应的能量关于$ p $的连续性.

为了便于叙述本文的主要结果, 我们引入如下半线性椭圆方程

(1.5) $ \begin{equation} -\frac{p}{2} \Delta u+u-u^{p+1}=0, \ x\in {{\Bbb R}} ^{2}, \ p\in (0, +\infty ). \end{equation} $

由文献[17]可知方程(1.5) 在不计平移意义下存在唯一的径向对称且在无穷远处具有指数衰减的正解$ \phi_{p}\in H^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $. 此外, 由Pohožaev恒等式可知

(1.6) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \phi _{p} ^{2} {\rm d}x=\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla \phi _{p}| ^{2} {\rm d}x=\frac{2}{p+2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\phi _{p}| ^{p+2} {\rm d}x. \end{equation} $

本文还将反复利用如下Gagliardo-Nirenberg不等式^[16]:

(1.7) $ \begin{equation} | u | _{p+2}^{p+2} \le \frac{p+2}{2| \phi _{p} | _{2 }^{p} }| \nabla u| _{2}^{p} | u | _{2}^{2}, \ 0<p<+\infty. \end{equation} $

本文的主要结果可以叙述如下:

定理1.1  如果$ V(x)\equiv0 $, 记$ \phi_{*}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $为方程(1.5) 在$ p=2 $时的唯一径向对称解, 且$ \beta _{*} =| \phi _{*} | _{2 }^{2} $, $ \beta^{*}=| \phi _{*} | _{2 }^{2}+\frac{1}{8\pi} $, 则对于问题(1.3) 所定义的约束变分极小化问题有

(ⅰ) 当$ p\in(0, 2) $时, 对于任意的$ \beta>0 $, $ \widetilde{d}_\beta(p)<0 $且可达;

(ⅱ) 当$ p=2 $时, 对于任意的$ \beta\in(-\infty, \beta_{*}]\cup(\beta^{*}, +\infty) $, $ \widetilde{d}_\beta(p) $不可达.

定理1.2  如果$ V(x) $满足以下条件

(1.8) $ \begin{equation} 0\not\equiv V(x)\in C({{\Bbb R}} ^{2}, {{\Bbb R}} ^{+} ), \lim\limits_{|x| \to \infty} V(x)=\infty \ \mbox{ 并且}\ \mathop {\inf }\limits_{x \in {\mathbb{R}^2}} V(x) = 0. \end{equation} $

那么, 对于问题(1.2) 中所定义的约束变分极小化问题, 我们有:

(ⅰ) 当$ p\in(0, 2) $时, 对于任意$ \beta>0 $, $ d_\beta(p) $可达;

(ⅱ) 当$ p=2 $时, 当$ \beta\in(0, \beta_{*}] $时, $ d_\beta(p) $可达; 当$ \beta\in(\beta^{*}, +\infty) $时, $ d_\beta(p)=-\infty $. 这里$ \beta_{*} $和$ \beta^{*} $为定理1.1给定的常数.

定理1.3  对于任给的$ \beta \in (0, \beta _{*} ) $且$ \beta _{*}=| \phi _{*} | _{2 }^{2} $. 若$ V(x) $满足条件(1.8), 且对$ p\in (0, 2) $, $ u_{p} \in S_{1} $是$ d_{\beta } (p) $的可达元. 那么, 当$ p\rightarrow2 $时存在$ \{ u_{p} \} $的子列, 仍记作$ \{ u_{p}\} $和$ u_{2} \in {\cal H} $使得

$ d_{\beta } (p)\to d_{\beta } (2)\ \text{且}{u_p} \to {u_2}{\text{ 于}}{\cal H}. $

并且$ u_{2} \in S_{1} $是$ d_{\beta } (2) $的一个极小元. 特别地, 上述结论当$ V(x)\equiv0 $时也成立.

注1.1  定理1.1–1.3的结果在一定程度上改进和完善了已有文献的相关结果. 如: 文献[1] 讨论了解的存在性, 但只给出了当$ p\in(0, 2) $且$ | u |_{2}^{2}=c $足够小时, 方程(1.1) 的解存在, 但$ c $小到什么程度并不清楚. 当$ 0<p<2 $时, 作者分$ 0<p\leq1 $和$ 1<p<2 $两种情形证明解的存在性. 文献[8] 讨论了质量临界问题, 即$ p=2 $时, 作者找到了使方程(1.1) 有解时$ | u |_{2}^{2} $的具体数值. 本文中, 我们考虑到$ V(x)\equiv0 $和$ V(x)\not\equiv0 $两种情形下, 当$ 0<p\leq2 $时, 方程(1.1) 最低能量解的存在性, 并明确了相应的$ \beta $的范围, 当$ 0<p<2 $时, 不需分$ 0<p\leq1 $和$ 1<p<2 $两种情形证明最低能量解的存在性. 这在以前的文献中似乎还没有出现过. 此外, 我们还讨论了当$ p\rightarrow2 $时约束最低能量的连续性. 由于非局部项$ \int_{|x|}^{\infty } \frac{h(s)}{s} u^{2}(s) {\rm d}s +\frac{h^{2}(|x|)}{|x|^{2} } $的引入, 使得局部项和非局部项之间存在竞争关系, 以及$ {\cal H} $嵌入$ L^{2}({{\Bbb R}} ^{2}) $时紧性缺失, 这些都给我们的研究带来了一些困难.

最后, 简单介绍一下本文主要结果的证明思路. 当$ V(x)\equiv0 $时, 证明定理1.1的关键是克服$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )\hookrightarrow L^{2} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $时紧性缺失困难. 这里我们的策略是利用$ \widetilde{d}_{\beta}(p)<0 $这一性质去直接证明极小化序列的弱极限即为$ \widetilde{d}_{\beta}(p) $的达到函数, 从而避免了紧嵌入缺失的困难. 证明定理1.2的时候, 因为$ V(x)\not\equiv0 $, $ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )\hookrightarrow L^{2} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $的紧性得以恢复. 此时, 我们面临的主要困难是当$ p=2 $时难以验证极小化序列$ \{u_{n}\} $在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中的有界性. 我们应用反证法, 克服了这一困难. 证明定理1.3, 主要是当$ p\rightarrow2 $时, 通过放缩法估计能量泛函$ d_{\beta } (p) $的上确界和下确界, 然后利用夹逼定理, 得到$ d_{\beta } (p) $收敛到$ d_{\beta } (2) $.

这一节我们主要不加以证明地给出几个基本引理, 其证明可在给出的文献中找到, 这些引理在后面证明主要定理时都将用到.

引理2.1^[1] (Pohožaev恒等式) 设$ b $, $ c $和$ d $为实常数, 并且$ u\in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2}) $是以下方程的弱解

$ \begin{eqnarray*} \Delta u+bu+c\bigg(\int_{|x|}^{\infty } \frac{h(s)}{s} u^{2}(s) {\rm d}s\bigg)u+c\frac{h^{2}(|x|)}{|x|^{2} } u+d|u|^{p}u=0, \ x \in {{\Bbb R}} ^{2}, \end{eqnarray*} $

这里$ h(s)=\int_{0}^{s} \frac{t}{2} u^{2} (t){\rm d}t $, 则$ u $满足如下的$ \rm Pohožaev $恒等式

$ \begin{eqnarray*} b\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u \right | ^{2} {\rm d}x+2c\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{h^{2} (|x|)}{\left | x \right | ^{2} }u^{2}{\rm d}x+\frac{2d}{p+2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u|^{p+2}{\rm d}x =0. \end{eqnarray*} $

引理2.2^[1]  假设序列$ \left \{ u_{n} \right \} \in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2}) $且在$ n\to +\infty $时弱收敛到函数$ u $. 那么对任意的$ \varphi \in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2}) $, $ c(u_{n} ) $, $ c'(u_{n} )\varphi $和$ c'(u_{n} )u_{n} $在子列意义下, 当$ n\to +\infty $时分别收敛到$ c(u) $, $ c'(u)\varphi $和$ c'(u)u $, 这里$ c(u)= \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\big(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s\big)^{2} {\rm d}x $, $ u\in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2}) $.

引理2.3^[8]  对任意$ u\in H_r^1({{\Bbb R}} ^2) $, 有

(2.1) $ \begin{equation} c(u)= \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x\le \frac{1}{16\pi ^{2} }| \nabla u |_{2} ^{2}| u |_{2} ^{4}. \end{equation} $

进一步地, 由$ \rm Gagliardo-Nirenberg $不等式可以得到

(2.2) $ \begin{equation} c(u)\le \frac{1}{8\pi|\phi _{*}|^{2}_{2}}| \nabla u |_{2} ^{2}| u |_{2} ^{4}, \end{equation} $

其中$ \phi_{*}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $为方程(1.5) 在$ p=2 $时的唯一径向对称解.

引理2.4^[17]  设$ X $是$ \rm Banach $空间, $ \psi\in C^{2}(X, {{\Bbb R}} ) $, $ V:=\{v\in X:\psi(v)=1\} $, 对于每个$ v\in V $, $ \psi^{\prime}(v)\neq 0 $. $ V $在点$ v $处的切线空间被定义为$ T_{v}V:=\{y\in X:\langle\psi^{\prime}(v), y\rangle=0\} $, 定义$ \| \varphi^{\prime}(u)\|_{*}=\sup\limits_{y\in T_{v}V, \| y\|=1}\langle\varphi^{\prime}(v), y\rangle $, 如果$ \varphi\in C^{1}(X, {{\Bbb R}} ) $, 并且$ u\in V $, 那么$ \| \varphi^{\prime}(u)\|_{*}=\min\limits_{\lambda\in{{\Bbb R}} }\| \varphi^{\prime}(u)-\lambda \psi^{\prime}(u)\| $. 特别地, $ u $是$ \varphi|{V} $的一个临界点当且仅当存在$ \lambda\in{{\Bbb R}} $使得$ \varphi^{\prime}(u)=\lambda \psi^{\prime}(u) $.

引理2.5^[11]  对于任意的$ N\geq1 $, 令$ V(x) $满足条件(1.8) 式, 那么$ {\cal H} $嵌入$ L^{q}({{\Bbb R}} ^{N}) $ ($ 2\leq q <2^{*} $)是紧嵌入(如果$ N>2 $, 那么$ 2^{*}=\frac{2N}{N-2} $, 如果$ N=1, 2 $那么$ 2^{*}=+\infty $).

本节我们讨论的极小化问题是问题(1.2) 在$ V(x)\equiv0 $时所对应的问题(1.3), 证明定理1.1之前, 我们先证明几个需要被用到的引理.

引理3.1  对于问题(1.3) 所对应的$ \widetilde{d} _{\beta } (p) $, 若$ p=2 $, 则对所有的$ \beta\leq \beta _{*} $都有$ \widetilde{d} _{\beta } (p)=0 $, 并且对所有$ \beta>\beta^{*} $, 都有$ \widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty $, 这里的$ \beta_{*} =| \phi _{*} | _{2 }^{2} $, $ \beta^{*}=| \phi _{*} | _{2 }^{2}+\frac{1}{8\pi} $, $ \phi _{*} $为方程(1.5) 在$ p=2 $时的唯一径向对称解.

证  我们分两种情况来证明该引理.

$ \bullet $首先证明: 对于任意的$ \beta\leq\beta _{*} $, $ \widetilde{d} _{\beta } (p)=0 $, 其中$ \beta _{*} =| \phi _{*} | _{2}^{2} $.

令$ u\in S_{1} $, 当$ \beta\leq\beta _{*} $时, 根据(1.7) 式且$ p=2 $可得

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{E} _{p}^{\beta } (u) &=&\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{p +2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u|^{p +2}{\rm d}x \nonumber \\ & \ge& \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{2| \phi _{*}| _{2}^{2} }| \nabla u| _{2} ^{2}\nonumber \\ & \ge& \frac{1}{2}\bigg(1-\frac{\beta }{| \phi _{*}| _{2}^{2} } \bigg)\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u \right | ^{2} {\rm d}x\nonumber =\frac{1}{2}\bigg(1-\frac{\beta }{\beta _{*} } \bigg)\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u \right | ^{2} {\rm d}x\geq0, \end{eqnarray*} $

再根据(1.4) 式知: 如果$ p=2 $, 对于固定的$ u $, 由(1.4) 式可以看出, 当$ t\rightarrow0 $时, 那么$ \widetilde{d}_\beta(p)\leq0 $, 综上可得$ \widetilde{d} _{\beta } (p^{*})=0 $.

$ \bullet $其次证明: 对任意的$ \beta>\beta^{*} $, $ \widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty $, 其中$ \beta^{*}=| \phi _{*} | _{2}^{2}+\frac{1}{8\pi} $.

令$ u\in S_{1} $, 且

$ u_{t} = \frac{t\phi _{p}(tx) }{| \phi _{p}|_{2} }, (t>0), $

则$ u_{t} \in S_{1} $, 结合(1.6) 式有

$ \int _{ {{\Bbb R}} ^{2} }| \nabla u_{t} | ^{2} {\rm d}x=\frac{t^{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla \phi _{p}| ^{2} {\rm d}x}{| \phi _{p}|_{2}^{2} }=t^{2}, $

$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }| u_{t} | ^{p+ 2} {\rm d}x=\frac{t^{p} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\phi _{p}| ^{p+2} {\rm d}x}{| \phi _{p}|_{2}^{p+2} }=\frac{(p+2)t^{p}}{2{| \phi _{p}|_{2}^{p} }}. $

注意到$ p=2 $, 因此

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{E} _{p}^{\beta } (u_{t} ) &=&\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{t} \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{t} ^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{t} ^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{p+2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{t} |^{p +2}{\rm d}x\nonumber\\& =&\frac{t^{2} }{2} +\frac{t^{2}}{2| \phi _{*}|_{2}^{6} } \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{\phi _{*} ^{2}(x) }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}\phi _{* }^{2} (s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x-\frac{\beta t^{2} }{2| \phi _{*}|_{2}^{2} }, \end{eqnarray*} $

由(1.6) 式和(2.2) 式可得

$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{\phi _{*} ^{2}(x) }{\left|x\right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}\phi _{*}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x\le \frac{| \nabla \phi _{* }|_{2}^{2} | \phi _{*}|_{2}^{4}}{8\pi| \phi _{*}|_{2}^{2} }=\frac{| \phi _{*}|_{2}^{4}}{8\pi}, $

那么

$ \widetilde{E} _{p}^{\beta } (u_{t} )\le \frac{t^{2} }{2} +\frac{t^{2}}{16\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} }-\frac{\beta t^{2} }{2| \phi _{*}|_{2}^{2} } = \frac{t^{2} }{2}\bigg(1+\frac{1}{8\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} } -\frac{\beta }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\bigg). $

当$ \beta > | \phi _{*}|_{2}^{2} +\frac{1}{8\pi } $时, $ \big(1+\frac{1}{8\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} } -\frac{\beta }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\big)<0 $, 且$ t\rightarrow +\infty $时, $ \widetilde{E} _{p}^{\beta } (u_{t} )\rightarrow -\infty $, 因此$ \widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty $. 证明完毕.

引理3.2  若$ p\in(0, 2) $, 则对于问题(1.3) 所定义的极小化问题有$ \widetilde{d} _{\beta } (p)<0 $且可达.

证  如果$ 0<p<2 $, 对于固定的$ u $, 由(1.4) 式可以看出, 当$ t $足够小时, 那么$ \widetilde{d}_\beta(p)<0 $.

接下来证明$ \widetilde{d} _{\beta } (p) $可达.

令$ \{u_{n}\}\subset S_{1} $是$ \widetilde{d} _{\beta } (p ) $的极小化序列, 并结合(1.7) 式, 则

$ \begin{eqnarray*} \widetilde{E} _{p}^{\beta } (u_{n} )&\ge& \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{2| \phi _{p}| _{2}^{p} }| \nabla u_{n}| _{2}^{p}\nonumber\\ & \ge&\frac{1}{2}| \nabla u_{n}| _{2}^{2}-\frac{\beta }{2| \phi _{p}| _{2}^{p} }| \nabla u_{n}| _{2}^{p}, \end{eqnarray*} $

因为$ p<2 $, 所以$ \{u_{n}\} $在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中是有界的. 故存在$ \{u_{n}\} $的子列, 仍记为$ \{u_{n}\} $, 以及存在某个$ {u_{0}}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $使得

(3.1) $\begin{array}{*{20}{l}} {{u_n}\mathop \rightharpoonup \limits^n {u_0}{\text{在}}H_r^1({\mathbb{R}^2}){\text{中弱收敛}},\;\;{u_n}\mathop \to \limits^n {u_0}{\text{在}}{\mathbb{R}^2}中几乎处处收敛,} \\ {并且当q \in (2, + \infty )时,{u_n}\mathop \to \limits^n {u_0}在{L^q}({\mathbb{R}^2}){\text{中强收敛}}.} \end{array}$

我们断言$ u_{0}\not\equiv0 $. 否则, 由(3.1) 式可知

$ {当} {n\rightarrow +\infty} {时}, \ \ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{n} |^{p+2}{\rm d}x\rightarrow 0. $

又由$ \{u_{n}\}\subset S_{1} $是$ \widetilde{d} _{\beta } (p ) $的极小化序列并且$ \widetilde{d}_\beta(p)<0 $, 可知

$ \begin{eqnarray*} 0\le \lim\limits_{n \to \infty}\bigg[ \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x\bigg]=\widetilde{d} _{\beta } (p) <0, \end{eqnarray*} $

得出矛盾. 因此, $ u_{0}\not\equiv0 $, 由引理2.2知

(3.2) $ \begin{equation} \widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{0} ) \le \liminf\limits_{n \to \infty}\widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} ) =\widetilde{d} _{\beta } (p). \end{equation} $

要证$ \widetilde{d} _{\beta } (p) $可达, 只需证$ u_{0}\in S_{1} $. 为此, 取$ \varphi (x)\in C_{0}^{\infty } ({{\Bbb R}} ^{2} ) $, 对于上述极小化序列$ \{u_{n}\} $, 定义$ j(\tau, \sigma )=\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2}} ( u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi )^{2}{\rm d}x $, 则$ j(0, 0)=\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2}} u_{n}^{2}{\rm d}x=\frac{1}{2} $,

$ \frac{\partial j(\tau , \sigma )}{\partial \sigma } |_{(0, 0)} =\bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} ( u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi )\varphi {\rm d}x\bigg)|_{(0, 0)}=\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} u_{n}\varphi {\rm d}x, $

$ \frac{\partial j(\tau , \sigma )}{\partial \tau } |_{(0, 0)} =\bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} ( u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi )u_{n}{\rm d}x\bigg)|_{(0, 0)}=\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} u_{n} ^{2} {\rm d}x=1\ne 0, $

应用隐函数定理, 则存在常数$ \sigma _{n} >0 $和函数$ \tau (\sigma )\in C^{1}\big( \left ( -\sigma _{n}, \sigma _{n} \right ), {{\Bbb R}} \big) $, 使得$ \tau (0)=0 $, $ \tau^{\prime } (0)=-\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} u_{n} \varphi {\rm d}x $且$ j\big(\tau\left ( \sigma \right ) , \sigma \big)=j(0, 0)=\frac{1}{2} $. 表明当$ \sigma\in\left ( -\sigma _{n}, \sigma _{n} \right ) $时, $ u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi\in S_{1} $. 根据问题(1.3) 的定义知, $ \widetilde{d}_\beta(p)\le \widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n})\le\widetilde{d}_\beta(p)+\frac{1}{n} $, 由Ekeland变分原理^{[13,Theorem 5.1]}知

$ \widetilde{E}^\beta_{p} (v)\ge\widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n} )-\frac{1}{n} \left \| u_{n}-v \right \|, v\in S_{1}, $

所以$ \widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi )\ge\widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n} )-\frac{1}{n} \left \| \tau u_{n}+\sigma \varphi\right \| $, 令$ \sigma \rightarrow0^{+} $和$ \sigma \rightarrow0^{-} $, 相应地, 可得

$ \left | \langle [\widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n})]^{\prime }|_{S_{1}}, \tau^{\prime }(0)u_{n}+\varphi\rangle \right | \le\frac{1}{n} \left \| \tau^{\prime }(0)u_{n}+\varphi \right \|, $

因为$ \tau^{\prime } (0)=-\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} \left |u_{n} \right |\varphi {\rm d}x $, $ \varphi (x)\in C_{0}^{\infty } ({{\Bbb R}} ^{2} ) $以及$ \{u_{n}\} $有界, 所以$ \left \| \tau^{\prime }(0)u_{n}+\varphi \right \|<C $, 其中$ C $代表常数. 那么,

$ \langle [\widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n})]^{\prime }, \varphi\rangle =\frac{\rm d}{{\rm d}\sigma }\widetilde{E}^\beta_{p}(u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi) |_{\sigma =0}=\langle [\widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n})]^{\prime }, \tau^{\prime }(0)u_{n}+\varphi\rangle \le\frac{C}{n}, $

故当$ n\rightarrow +\infty $时, $ [\widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} )]^{\prime}|_{S_{1}} \rightarrow 0 $.

由引理2.4可知: 当$ n\rightarrow +\infty $时, 存在常数$ \lambda _{n}\in{{\Bbb R}} $使得在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $的对偶空间中$ [ \widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} ) ] ^{\prime } -\lambda _{n}u_{n}\rightarrow0 $, 又因为$ \{u_{n}\} $在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中有界, 所以$ \langle [\widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} )] ^{\prime } -\lambda _{n}u_{n} , u_{n} \rangle\rightarrow0 $. 即得到

(2.3) $ \begin{equation} \lambda _{n} -\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x-3 \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\beta\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{p+2} {\rm d}x \mathop{\rightarrow }\limits^n0, \end{equation} $

由(3.3) 式、$ \{u_{n}\} $在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中有界、$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\big(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \big)^{2} {\rm d}x $有界和$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{p+2} {\rm d}x $在$ L^{p+2}({{\Bbb R}} ^{2} ) $中有界知, $ \{\lambda_{n}\} $在$ {{\Bbb R}} $中有界, 从而在子列意义下存在$ \lambda\in{{\Bbb R}} $使得$ \lambda_{n}\rightarrow \lambda $. 由$ \lambda_{n}\rightarrow \lambda $, 结合$ \{u_{n}\} $在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中弱收敛, 可得

(3.4) $ \begin{equation} u_{0}\ \mbox{是方程}\ -\Delta u+\bigg( \int_{|x|}^{\infty } \frac{h(s)}{s} u^{2}(s) {\rm d}s+\frac{h^{2}(|x|)}{|x|^{2} } \bigg)u= \beta|u|^{p}u+\lambda u\ \mbox{的弱解, } \end{equation} $

所以有

(3.5) $ \begin{eqnarray} &&\left \langle \left [\widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{0} ) \right ] ^{\prime } -\lambda u_{0} , u_{0}\right \rangle\\ &=&\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x+3 \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{0}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{0}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x- \beta\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{p+2} {\rm d}x-\lambda\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x=0, \end{eqnarray} $

即

(3.6) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x-\lambda\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x=\beta\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{p+2} {\rm d}x-3 \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{0}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{0}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x. \end{equation} $

又因为$ \left [ \widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} ) \right ] ^{\prime } -\lambda _{n}u_{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n0 $, $ c(u_{n})\rightarrow c(u_{0}) $和$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{p+2} {\rm d}x\rightarrow \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{p+2} {\rm d}x $可得

(3.7) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x-\lambda\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x \mathop{\rightarrow }\limits^n \beta\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{p+2} {\rm d}x-3 \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{0}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{0}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x. \end{equation} $

联立(3.6) 式和(3.7) 式可得

(3.8) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x-\lambda\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x \mathop{\rightarrow }\limits^n\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x-\lambda\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x. \end{equation} $

下面我们证明$ \lambda<0 $.

对(3.4) 式和引理2.1中的Pohožaev恒等式可得

(3.9) $ \begin{equation} \lambda\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x=2 \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{0}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{0}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x-\frac{ 2\beta}{p+2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{p+2} {\rm d}x, \end{equation} $

联立(3.5) 式和(3.9) 式得

(3.10) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{p+2} {\rm d}x=\frac{p+2}{\beta p } \left [ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x+\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{0}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{0}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x \right ], \end{equation} $

将(3.10) 式代入(3.5) 式可得

$ \begin{eqnarray*} \lambda\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x=\frac{2}{p} \left [ \left ( p-1 \right )\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{0}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{0}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x-\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x \right], \end{eqnarray*} $

当$ p\in(0, 1] $时, 显然$ \lambda<0 $; 当$ p\in(1, 2) $时, 因为$ 0\not\equiv u_{0}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $, 且由(2.1) 式知

$ \begin{eqnarray*} \lambda \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x\le \frac{2}{p} \left [ \frac{\left ( p-1 \right )}{16\pi ^{2} } -1\right] \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

故此时$ \lambda<0 $. 综上, 当$ p\in(0, 2) $时, $ \lambda<0 $. 由(3.8) 式, $ \lambda<0 $以及在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中$ u_{n}\rightharpoonup u_{0} $, 可得$ u_{n} {\to } u_{0} $在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中强收敛. 即$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x=1 $. 证明完毕.

定理1.1的证明 (ⅰ) 由引理3.2知, 若$ p\in(0, 2) $则$ \widetilde{d} _{\beta } (p)<0 $且可达.

(ⅱ) 当$ p=2 $时, 由引理3.1知, 对任意的$ \beta>\beta^{*} $, $ \widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty $, 故此时$ \widetilde{d} _{\beta } (p) $无极小元.

假设当$ \beta\leq\beta _{*} $时, $ \widetilde{d} _{\beta } (p) $存在极小元$ u_{0}\in S_{1} $, 那么根据$ \widetilde{d} _{\beta } (p)=0 $及(1.7) 式, 可知

$ \begin{eqnarray*} & &\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{0} ^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{0} ^{2}(s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x\nonumber\\& =&\frac{\beta }{4}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{0} |^{4}{\rm d}x\le \frac{\beta _{*} }{2| \phi _{*}|_{2}^{2}}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x=\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

其中$ \phi _{*} $为方程(1.5) 在$ p=2 $时的唯一径向对称解. 也就是说, $ u_{0}\equiv0 $, 这与$ u_{0}\in S_{1} $矛盾. 因此, 对任意的$ \beta\leq\beta _{*} $, $ \widetilde{d} _{\beta } (p) $也没有极小元. 证明完毕.

本节我们将考虑$ V(x)\not\equiv0 $的约束变分极小化问题(1.2), 此时我们看到对于质量临界的情形(即$ p=2 $), 问题(1.2) 的可达性与$ V(x)\equiv0 $时有明显的不同.

定理1.2的证明 (ⅰ) 对于任意的$ \beta>0 $, $ u\in S_{1} $, 由(1.7) 式知

(4.1) $ \begin{eqnarray} {E} _{p}^{\beta } (u)& =&\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u^{2}{\rm d}x\\& & -\frac{\beta }{p +2}\int _{R^{2} }|u|^{p +2}{\rm d}x\\& \ge& \frac{1}{2}| \nabla u| _{2}^{2}+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u^{2}{\rm d}x -\frac{\beta }{2| \phi _{p }| _{2}^{p} }| \nabla u| _{2}^{p}, \end{eqnarray} $

因为$ 0<p<2 $, 由(4.1) 式, 可得$ d_{\beta}(p)>-\infty $.

令$ {\{u_{n}\}}\subset{\cal H} $是$ d_{\beta}(p) $的一个极小化序列,

$ \begin{eqnarray*} {E} _{p}^{\beta } (u_{n} )&=&\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x\\ && +\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x -\frac{\beta }{p +2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{n}|^{p +2}{\rm d}x \\ &\ge& \frac{1}{2}| \nabla u_{n}| _{2}^{2}+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x\nonumber -\frac{\beta }{2| \phi _{p }| _{2}^{p} }| \nabla u_{n}| _{2}^{p}\nonumber\\ & \ge & \frac{1}{2}| \nabla u_{n}| _{2}^{2}-\frac{\beta }{2| \phi _{p }| _{2}^{p} }| \nabla u_{n}| _{2}^{p}, \end{eqnarray*} $

因为$ 0<p<2 $, 所以我们可以得到$ {\{u_{n}\}} $在$ {\cal H} $中有界. 由引理2.5知, 存在某个$ u_{0}\in {\cal H} $, 以及$ {\{u_{n}\}} $的子列, 仍记为$ {\{u_{n}\}} $, 使得

$ \begin{eqnarray*} && u_{n} \mathop{\rightharpoonup }\limits^n u_{0} 在 {\cal H} {中弱收敛}, \ \ u_{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n u_{0} {在} {{\Bbb R}} ^{2} {中几乎处处收敛}, \\ &&{并且当} q\in [2, +\infty ) {时}, u_{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n u_{0} {在} L^{q} ({{\Bbb R}} ^{2} ) {中强收敛}. \end{eqnarray*} $

结合引理2.2, 我们有$ { } d_{\beta}(p)=\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {E} _{p}^{\beta } (u_{n} )\ge {E} _{p}^{\beta } (u_{0} )\geq d_{\beta}(p) $. 因此, 对任意的$ \beta>0 $, $ u_{0} $是$ d_{\beta}(p) $的可达元.

(ⅱ) 当$ p=2 $时, 首先证明对于任意的$ \beta\in (0, \beta_{*}] $, $ d_{\beta}(p) $是可达的.

令$ u\in S_{1} $, 由$ \beta\leq\beta_{*} $, $ \beta_{*} $的定义, 以及(0.7) 式, 可以看到

$ \begin{eqnarray*} {E} _{p }^{\beta } (u) &\ge& \frac{1}{2}| \nabla u| _{2}^{2}+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s \bigg)^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u^{2}{\rm d}x-\frac{\beta }{2| \phi _{* }| _{2}^{2} }| \nabla u| _{2}^{2}\nonumber\\ &\ge& \frac{1}{2}| \nabla u| _{2}^{2}-\frac{\beta }{2| \phi _{*}| _{2}^{2} }| \nabla u| _{2}^{2} \ge \frac{1}{2}\bigg(1-\frac{\beta }{\beta _{* } }\bigg )| \nabla u | _{2}^{2}, \end{eqnarray*} $

这表明$ d_{\beta}(p)\geq0 $.

实际上, 令$ \left \{u_{n} \right \} $是$ d_{\beta}(p) $的极小化序列, 由(1.7) 式和$ \beta_{*}=| \phi _{*}| _{2}^{2} $, 可得

(4.2) $ \begin{eqnarray} {E} _{p}^{\beta } (u_{n} )&=&\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x\\& & -\frac{\beta }{4}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{n}|^{4}{\rm d}x\\& \ge& \frac{1}{2}| \nabla u_{n}| _{2}^{2}+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x-\frac{\beta }{2| \phi _{*}| _{2}^{2} }| \nabla u_{n}| _{2}^{2}\\& =&\frac{1}{2}\bigg(1-\frac{\beta }{| \phi _{*}| _{2}^{2} }\bigg)| \nabla u_{n}| _{2}^{2}+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x\\& \ge&\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x\ge 0. \end{eqnarray} $

我们知道

(4.3) $ \begin{equation} \limsup\limits_{n\to \infty}\bigg(\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x\bigg)<+\infty. \end{equation} $

我们断言$ \limsup\limits_{n\to \infty}\big(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x\big)<+\infty. $否则, 我们可以假设

(4.4) $ \begin{equation} \limsup\limits_{n\to \infty}\bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x\bigg)=+\infty. \end{equation} $

那么, 由(4.2) 式, (4.3) 式以及(4.4) 式, 可得$ \limsup\limits_{n\to \infty} \big(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{n}|^{4}{\rm d}x\big)=+\infty $. 从而

$ \begin{eqnarray*} 0&=&\lim\limits_{n\to \infty}\frac{{E} _{p}^{\beta } (u_{n} )}{| u_{n}| _{4}^{4}}\nonumber\\& =&\lim\limits_{n\to \infty}\bigg(\frac{\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\big(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \big )^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)u_{n}^{2}{\rm d}x}{| u_{n}| _{4}^{4}}+\frac{\frac{1}{2}| \nabla u_{n}| _{2}^{2}}{| u_{n}| _{4}^{4}}-\frac{\beta }{4}\bigg), \end{eqnarray*} $

因此$ \lim\limits_{n\to \infty}\frac{| \nabla u_{n}| _{2}^{2}}{| u_{n}| _{4}^{4}}=\frac{\beta }{2}. $令$ w_{n} =\varepsilon _{n} u_{n} (\varepsilon _{n}x) $且$ \varepsilon _{n}=|\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x|^{-\frac{1}{2} } $, 则$ \varepsilon _{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n 0 $且

(4.5) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | w_{n} \right | ^{2} {\rm d}x=\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x=1; \end{equation} $

(4.6) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla w_{n} \right | ^{2} {\rm d}x= \varepsilon_{n} ^{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x=1; \end{equation} $

由$ \varepsilon _{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n 0 $及(4.3) 式知

(4.7) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{w_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} } \bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}w_{n}^{2}(s){\rm d}s\bigg )^{2} {\rm d}x=\varepsilon_{n} ^{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x \mathop{\rightarrow }\limits^n0; \end{equation} $

(4.8) $ \begin{equation} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|w_{n}|^{4}{\rm d}x=\varepsilon_{n} ^{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{n}|^{4}{\rm d}x =\frac{\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{n}|^{4}{\rm d}x}{|\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x| } \mathop{\rightarrow }\limits^n \frac{2}{\beta } >0. \end{equation} $

结合(4.5) 式和(4.6) 式可知$ \|w_{n}\|^{2} $=2, 则$ \{w_{n}\} $在$ H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $中有界, 所以存在$ w\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) $, 使得$ \{w_{n}\} $在子列的意义下弱收敛到$ w $, 由(4.7) 式, 引理2.2以及$ c(u) $是凸函数, 可得$ w=0 $, 又因为(4.8) 式蕴含着$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|w|^{4}{\rm d}x=\frac{2}{\beta } >0 $, 故出现矛盾. 因此

$ \lim\limits_{n\to \infty}\sup \bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x\bigg)<+\infty, $

故$ {\{u_{n}\}} $在$ {\cal H} $中有界. 即存在$ {\{u_{n}\}} $的子列, 仍记为$ {\{u_{n}\}} $, 以及某个$ {u_{0}}\in {\cal H} $使得

(4.9) $ \begin{eqnarray} \begin{array}{ll} u_{n} \mathop{\rightharpoonup }\limits^n u_{0} {在} {\cal H} {中弱收敛}, u_{n}\to u_{0} {在} {{\Bbb R}} ^{2} {中几乎处处收敛, }\\ {并且当} q\in [2, +\infty ) {时}, u_{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n u_{0} {在} L^{q} ({{\Bbb R}} ^{2} ) {中强收敛}. \end{array} \end{eqnarray} $

因此, 由引理2.2, 可得

(4.10) $ \begin{equation} {d} _{\beta } (p )= \lim\limits_{n\to \infty}\inf {E}_{p }^{\beta }(u_{n} )\ge {E}_{p }^{\beta }(u_{0} )\geq {d} _{\beta } (p). \end{equation} $

故(4.9) 和(4.10) 式蕴含了$ u_{0} $是$ d_{\beta } (p) $的可达元.

接下来证明$ \beta>\beta^{*} $时, $ d_{\beta }(p) $不可达. 选取非负函数$ \varphi \in C_{0}^{\infty } \left ( {{\Bbb R}} ^{2} \right ) $使得当$ \left | x\right |\le 1 $时, $ \varphi \left ( x \right ) =1 $, 当$ \left | x \right |\ge 2 $时, $ \varphi \left ( x \right ) =0 $, 并且$ \left |\nabla \varphi \left ( x \right ) \right | \le 2 $.

令$ u_{t} = \frac{A_{t} t }{| \phi _{*}|_{2} }\varphi \left ( x \right )\phi _{*}(t x) $, $ (t>0) $, 其中$ \phi _{*} $为方程(1.5) 在$ p=2 $时的唯一径向对称解, $ A_{t} $的取值需要保证$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } u_{t}^{2} {\rm d}x=1 $.

$ \begin{eqnarray*} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } u_{t}^{2} {\rm d}x = \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{A_{t}^{2} t^{2} }{| \phi _{*}|_{2}^{2} } \varphi ^{2}\left ( x \right ) \phi^{2} _{*}(t x) {\rm d}x = \frac{A_{t}^{2} }{| \phi _{*}|_{2}^{2} } \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\varphi ^{2}(\frac{x}{t})\phi^{2} _{*}(x) {\rm d}x=1, \end{eqnarray*} $

可以知道, 当$ t\rightarrow +\infty $时

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{A_{t}^{2}}=\frac{1}{| \phi _{*}|_{2}^{2} } \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\left ( \varphi ^{2}(\frac{x}{t})-1 \right ) \phi^{2} _{*}(x)+ \phi^{2} _{*}(x) {\rm d}x \longrightarrow 1, \end{eqnarray*} $

所以$ A_{t} \ge 1 $并且$ \lim\limits_{t\to +\infty} A_{t} = 1 $. 进一步的, 有

$ \begin{eqnarray*} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{t}^{2} {\rm d}x = \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{A_{t}^{2} t^{2} V(x) }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\varphi ^{2}\left ( x \right ) \phi^{2} _{*}(t x) {\rm d}x = \frac{A_{t}^{2} }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } V(\frac{x}{t})\varphi ^{2}(\frac{x}{t})\phi^{2} _{*}(x) {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

所以$ t \to +\infty $时, 我们应用控制收敛定理有$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{t}^{2} {\rm d}x\to V(0) $. 并且

$ \begin{eqnarray*} \frac{\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{t} |^{4}{\rm d}x}{t^{2} } &=&\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{A_{t}^{4} t^{2}}{| \phi _{*}|_{2}^{4} }\varphi ^{4}\left ( x \right ) \phi^{4} _{*}(t x) {\rm d}x =\frac{A_{t}^{4}}{| \phi _{*}|_{2}^{4} } \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\varphi ^{4}\left ( \frac{x}{t} \right ) \phi^{4} _{*}(x) {\rm d}x\nonumber\\ & =&\frac{A_{t}^{4}}{| \phi _{*}|_{2}^{4} } \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \phi^{4} _{*}(x){\rm d}x+\frac{A_{t}^{4}}{| \phi _{*}|_{2}^{4} } \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\left [ \varphi ^{4}\left ( \frac{x}{t} \right )-1 \right ] \phi^{4} _{*}(x) {\rm d}x\nonumber\\ & =&\frac{2}{| \phi _{*}|_{2}^{2} }+\frac{A_{t}^{4}}{| \phi _{*}|_{2}^{4} } \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\left [ \varphi ^{4} \left ( \frac{x}{t} \right )-1 \right ] \phi^{4} _{*}(x) {\rm d}x \to \frac{2}{| \phi _{*}|_{2}^{2} }, \end{eqnarray*} $

即当$ t\to +\infty $时

$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{t} |^{4}{\rm d}x=\frac{2t^{2}}{| \phi _{*}|_{2}^{2} }+o(t^2), $

同样地

$ \begin{eqnarray*} \frac{\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{t} ^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{t} ^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x}{t^{2} } & =& \frac{A_{t}^{6} }{| \phi _{*}|_{2}^{6} }\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{\varphi ^{2}\left ( \frac{x}{t} \right ) \phi _{*} ^{2}\left ( x \right ) }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}\varphi\left ( \frac{s}{t} \right ) \phi _{*} ^{2} \left ( s \right ) {\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x\nonumber\\ & \to& \frac{ 1 }{| \phi _{*}|_{2}^{6} }\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{\phi _{*} ^{2}\left ( x \right ) }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}\phi _{*} ^{2}\left ( s \right ){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x, \end{eqnarray*} $

即当$ t\to +\infty $时

$ \begin{eqnarray*} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{t} ^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{t} ^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x=\frac{ t^2 }{| \phi _{*}|_{2}^{6} }\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{\phi _{*} ^{2}\left ( x \right ) }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}\phi _{*} ^{2}\left ( s \right ){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x+o(t^2), \end{eqnarray*} $

根据(1.6) 和(2.2) 式可得

$ \frac{ t^2 }{| \phi _{*}|_{2}^{6} }\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{\phi _{*} ^{2}\left ( x \right ) }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}\phi _{*} ^{2}\left ( s \right ){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x \le\frac{ t^2 }{8\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} }, $

综上, 当$ p=2, t\to +\infty $时, 可得

$ \begin{eqnarray*} E _{p }^{\beta } (u_{t} ) & =& \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } [\left | \nabla u_{t} \right | ^{2}+V(x) u_{t}^{2}]{\rm d}x+\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{t} ^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\bigg(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{t} ^{2}(s){\rm d}s \bigg )^{2} {\rm d}x -\frac{\beta }{p+2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{t} |^{p+2}{\rm d}x\nonumber\\ & \le& \frac{t^{2} }{2}+\frac{1}{2}V(0) +\frac{t^{2} }{16\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} }-\frac{\beta t^{2} }{2 | \phi _{*}|_{2}^{2} } +o(t^{2 })\nonumber\\ & = &\frac{t^{2} }{2}\bigg(1+\frac{1}{8\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} } -\frac{\beta }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\bigg)+ \frac{1}{2}V(0)+o(t^{2 }). \end{eqnarray*} $

$ \beta>\beta^{*} $时, $ \big(1+\frac{1}{8\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} } -\frac{\beta }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\big)<0 $, 即当$ t\rightarrow +\infty $时, $ d_{\beta }(p)\leq E _{p}^{\beta } (u_{t} )\rightarrow -\infty $, 因此$ d_{\beta }(p)=-\infty $. 因此对任意的$ \beta>\beta^{*} $, $ d_{\beta }(p) $不可达. 证明完毕.

定理1.3的证明  令$ u_{p}\geq0 $是$ d_{\beta } (p) $的可达元, 令$ \beta_{p}=| \phi _{p}| _{2}^{p} $, 结合(1.7) 式, 可得

$ \begin{eqnarray*} &&\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{p} |^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{p}^{2} }{|x|^{2} } \bigg(\int_{0}^{|x|}\frac{s}{2}u_{p}^{2} (s){\rm d}s \bigg) ^{2} {\rm d}x +\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{p} ^{2} {\rm d}x\nonumber \\ &=& d_{\beta } (p)+\frac{\beta }{p+2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{p} |^{p+2}{\rm d}x\nonumber \le d_{\beta } (p)+\frac{\beta }{2| \phi _{p}| _{2}^{p} }| \nabla u_{p}| _{2}^{p}\nonumber = d_{\beta } (p)+\frac{\beta }{2\beta _{p} }| \nabla u_{p}| _{2}^{p}. \end{eqnarray*} $

因为$ \beta>0 $, 根据$ d_{\beta } (p) $和$ E_{p}^{\beta } $的定义, 可知对任意的$ \xi (x)\in C_{0}^{\infty } (R^{2} )\cap S_{1} $, 都有

$ \begin{eqnarray*} d_{\beta } (p)\le E_{p}^{\beta } (\xi )\le \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla\xi |^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{\xi ^{2} }{|x|^{2} } \bigg(\int_{0}^{|x|}\frac{s}{2}\xi ^{2} (s){\rm d}s \bigg) ^{2} {\rm d}x +\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x)\xi ^{2} {\rm d}x:=C, \end{eqnarray*} $

这里的常数$ C $与$ p $无关. 那么

(4.11) $ \begin{equation} \frac{1}{2}| \nabla u_{p}| _{2}^{2}\le C+\frac{\beta }{2\beta _{p} }| \nabla u_{p}| _{2}^{p}. \end{equation} $

这表明, 存在常数$ M>0 $使得

(4.12) $ \begin{equation} \mathop {\lim \sup }\limits_{p \nearrow 2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{p} |^{2} {\rm d}x\le M. \end{equation} $

否则, 当$ p\rightarrow2 $时, $ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{p} |^{2} {\rm d}x\to\infty $. 又因为$ p<2 $且$ \beta\in(0, \beta_{*}) $, 结合(4.11) 式知

$ \begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\le \lim _{p\nearrow 2 } \frac{1}{2}| \nabla u_{p}| _{2}^{2-p }\le \frac{\beta }{2\beta _{* } }<\frac{1}{2}, \end{eqnarray*} $

出现矛盾. 故(4.12) 式成立, 所以$ \{u_{p}\} $在$ {\cal H} $中有界. 所以存在某个$ u_{2}\in {\cal H} $, $ \{u_{p}\} $的子列仍记为$ \{u_{p}\} $,

(4.13) $ \begin{eqnarray} \begin{array}{ll} {当} p\to2 时, u_{p}\rightharpoonup u_{2} {在} H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} ) {中弱收敛}, u_{p}\to u_{2} {在} {{\Bbb R}} ^{2} {中几乎处处收敛, } \\ {并且当} q\in [2, +\infty ) {时}, u_{p} \to u_{2} {在} L^{q} ({{\Bbb R}} ^{2} ) {中强收敛}. \end{array} \end{eqnarray} $

由Hölder不等式, 可得

$ \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{p} |^{p+2}{\rm d}x\le \bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{p}|^{2} {\rm d}x\bigg)^{\frac{2-p }{2}} \bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{p} |^{4}{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2}}. $

$ u_{p} $是$ d_{\beta }(p) $的可达元, 再结合(4.13) 式可得

(4.14) $ \begin{eqnarray} \liminf _{p\rightarrow 2 } d_{\beta }(p)&=&\liminf _{p\rightarrow 2} \bigg\{ \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{p} |^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{p}^{2} }{|x|^{2} } \bigg (\int_{0}^{|x|}\frac{s}{2}u_{p}^{2} (s){\rm d}s \bigg) ^{2} {\rm d}x\\ & & +\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{p} ^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{p+2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{p} |^{p+2}{\rm d}x \bigg \} \\ &\ge&\liminf _{p\rightarrow2} \bigg\{ \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{p} |^{2} {\rm d}x+ \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{p}^{2} }{|x|^{2} } \bigg(\int_{0}^{|x|}\frac{s}{2}u_{p}^{2} (s){\rm d}s \bigg) ^{2} {\rm d}x\\ && +\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{p} ^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{p+2} \bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{p} |^{4}{\rm d}x\bigg)^{\frac{p}{2} } \bigg \} \\ &\ge&\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{2} |^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{2}^{2} }{|x|^{2} } \bigg(\int_{0}^{|x|}\frac{s}{2}u_{2}^{2} (s){\rm d}s \bigg) ^{2} {\rm d}x\\& & +\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{2} ^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{4} \bigg(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{2} |^{4}{\rm d}x\bigg) \\ &=&E_{2}^{\beta } (u_{2})\ge d_{\beta } (2). \end{eqnarray} $

然而, 根据$ d_{\beta}(p) $的定义, 我们知道对任意的$ \varepsilon>0 $, 都存在$ u_{\varepsilon}\in S_{1} $使得

$ E_{2}^{\beta } (u_{\varepsilon } )\le d_{\beta } (2)+\varepsilon. $

因此

(4.15) $ \begin{eqnarray} \limsup _{p\rightarrow 2} d_{\beta }(p)& \le&\limsup _{p\rightarrow2 } E_{p}^{\beta }(u_{\varepsilon } ) \\ &=&\limsup _{p\rightarrow 2 } \bigg\{ \frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{\varepsilon} |^{2} {\rm d}x+\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u_{\varepsilon}^{2} }{|x|^{2} } \bigg(\int_{0}^{|x|}\frac{s}{2}u_{\varepsilon}^{2} (s){\rm d}s \bigg) ^{2} {\rm d}x \\ && +\frac{1}{2}\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{\varepsilon} ^{2} {\rm d}x-\frac{\beta }{p+2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{\varepsilon} |^{p+2}{\rm d}x \bigg \} \\ &=& E_{2 }^{\beta }(u_{\varepsilon } )+\limsup _{p\rightarrow 2 } \bigg\{\frac{\beta }{4} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{\varepsilon} |^{4}{\rm d}x -\frac{\beta }{p+2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |u_{\varepsilon} |^{p+2}{\rm d}x \bigg\} \\ &\le& d_{\beta }(2)+\varepsilon. \end{eqnarray} $

所以, 令(4.15) 式中$ \varepsilon \to 0 $再结合(4.14) 式, 可得

$ \lim\limits_{p\rightarrow2} d_{\beta} (p)=d_{\beta } (2 )=E_{2}^{\beta } (u_{2}). $

这表明$ u_{2} $是$ d_{\beta }(2) $的可达元. 此外, 当$ p\rightarrow2 $时, $ u_{p} \to u_{2} $在$ {\cal H} $中强收敛. 特别地, 用同样的方法, 可以得到上述结论在$ V(x)\equiv0 $时也成立. 证明完毕.