考虑如下形式的非线性Chern-Simons-Schrödinger方程

其中$h(s)=\int_{0}^{s} \frac{r}{2} u^{2} (r){\rm d}r$. 方程(1.1) 的由来及其相关的物理背景可参见文献[1-3]. 利用经典的变分方法和临界点理论, 方程(1.1) 非平凡解和基态解的存在性及其解的相关性质得到了广泛的研究, 相关结果可参见文献[1, 4, 6, 7, 10, 13-15].

如果将方程(1.1) 中的参数$\lambda\in{{\Bbb R}}$看作一个未知的Lagrange乘子, 易知方程(1.1) 的求解可归结为寻找变分泛函

在约束集合

上的临界点, 其中

因此下文中我们将主要研究如下约束变分极小化问题

特别地, 当$V(x)\equiv0$时, ${\cal H}=H_r^1({{\Bbb R}} ^2)$. 此时, 我们记

其中

且$\beta>0$是一个待确定的参数. 为了方便起见, 下文我们将记$\left \|\cdot \right \|$为$H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2} )$的范数, 记$|\cdot|_p$为$L^{p}({{\Bbb R}} ^{2})$中的范数, $1\leq p<+\infty$.

对于任意的$u\in H_r^1({{\Bbb R}} ^2)$和$t>0$, 记$u_t(x)=tu(tx)$, 则$|u_t|_2=|u|_2$且

如果$0<p<2$, 对于固定的$u$, 由(1.4) 式可以看出, 当$t$足够小时, 那么$\widetilde{d}_\beta(p)<0$; 如果$p=2$, 对于固定的$u$, 由(1.4) 式可以看出, 当$t\rightarrow0$时, 那么$\widetilde{d}_\beta(p)\leq0$; 如果$p>2$, 对于固定的$u$, 由(1.4) 式可以看出, 当$t\rightarrow +\infty$时, 那么$\widetilde{d}_\beta(p)=-\infty$. 因此, $p=2$通常称为约束极小问题(1.3) 的质量临界指标.

在文献[1] 中, 作者们通过寻找泛函$\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$限制在

上的临界点, 并证明了当$p\in(0, 1]$时, 对任意$c>0$, 泛函$\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$在$S_{c}$上存在正的可达元; 当$p\in(1, 2)$时, 对于足够小的$c$, 泛函$\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$在$S_{c}$上存在正的可达元. 那么$c=1$时会出现怎样的情况? 因此, 本文将重点讨论当$p\in(0, 2]$且$c=1$时, 泛函$\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$在$S_{1}$上是否可达.

在文献[18] 中, 作者通过研究能量泛函$\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$在$S_{c}$上的极小化问题来研究方程(1.1) 具有事先给定$L^{2}$范数的解的多重性, 利用极大极小值原理, 证明了当$p\in(0, 1]$时, 对任意$c>0$, 方程(1.1) 有无穷多对不同的径向对称解; 当$p\in(1, 2)$时, 对于足够小的$c$, 方程(1.1) 有无穷多对不同的径向对称解; 当$p>2$时, 存在$c_{1}>0$, 使得对于所有的$c\in(0, c_{1})$, 方程(1.1) 有无穷多对不同的径向对称解. 但$c_{1}$的取值并不能具体确定.

在文献[8] 中, 作者研究了一类非线性Chern-Simons-Schrödinger方程在${{\Bbb R}} ^{2}$上具有特定$L^{2}$范数的解的存在性和多重性, 通过寻找能量泛函$\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$限制在$S_{c}$上的临界点来得到这样的解. 当$p=2$时, 作者给出了对于确定范围内的$c$, $\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$在$S_{c}$上不存在约束临界点的一个充分条件; 并证明了$\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$在$S_{8\pi}$上有无穷多个极小元; 当$p>2$时, 通过在$S_{c}$的一个合适子流形上应用约束极小化方法, 证明了对于特定的$c>0$, $\widetilde{E}^\beta_{p} (u)$在$S_{c}$上有一个临界点.

受文献[1, 4, 8] 的启发, 本文将研究Chern-Simons-Schrödinger方程在${{\Bbb R}} ^{2}$上带位势$V(x)$的情况下, 对应能量泛函的约束极小化问题, 研究方程在$L^{2}$约束下的最低能量解. 我们考虑$V(x)\equiv0$和$V(x)\not\equiv0$两种情况, 研究当$0<p\leq2$时, 极小化问题(1.3) 的可达性, 并确定使得能量泛函可达和不可达时$\beta$的取值范围. 此外, 我们还将讨论当指数$p\rightarrow2$时, 极小化问题(1.3) 相应的能量关于$p$的连续性.

为了便于叙述本文的主要结果, 我们引入如下半线性椭圆方程

由文献[17]可知方程(1.5) 在不计平移意义下存在唯一的径向对称且在无穷远处具有指数衰减的正解$\phi_{p}\in H^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$. 此外, 由Pohožaev恒等式可知

本文还将反复利用如下Gagliardo-Nirenberg不等式^[16]:

本文的主要结果可以叙述如下:

定理1.1  如果$V(x)\equiv0$, 记$\phi_{*}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$为方程(1.5) 在$p=2$时的唯一径向对称解, 且$\beta _{*} =| \phi _{*} | _{2 }^{2}$, $\beta^{*}=| \phi _{*} | _{2 }^{2}+\frac{1}{8\pi}$, 则对于问题(1.3) 所定义的约束变分极小化问题有

(ⅰ) 当$p\in(0, 2)$时, 对于任意的$\beta>0$, $\widetilde{d}_\beta(p)<0$且可达;

(ⅱ) 当$p=2$时, 对于任意的$\beta\in(-\infty, \beta_{*}]\cup(\beta^{*}, +\infty)$, $\widetilde{d}_\beta(p)$不可达.

定理1.2  如果$V(x)$满足以下条件

那么, 对于问题(1.2) 中所定义的约束变分极小化问题, 我们有:

(ⅰ) 当$p\in(0, 2)$时, 对于任意$\beta>0$, $d_\beta(p)$可达;

(ⅱ) 当$p=2$时, 当$\beta\in(0, \beta_{*}]$时, $d_\beta(p)$可达; 当$\beta\in(\beta^{*}, +\infty)$时, $d_\beta(p)=-\infty$. 这里$\beta_{*}$和$\beta^{*}$为定理1.1给定的常数.

定理1.3  对于任给的$\beta \in (0, \beta _{*} )$且$\beta _{*}=| \phi _{*} | _{2 }^{2}$. 若$V(x)$满足条件(1.8), 且对$p\in (0, 2)$, $u_{p} \in S_{1}$是$d_{\beta } (p)$的可达元. 那么, 当$p\rightarrow2$时存在$\{ u_{p} \}$的子列, 仍记作$\{ u_{p}\}$和$u_{2} \in {\cal H}$使得

并且$u_{2} \in S_{1}$是$d_{\beta } (2)$的一个极小元. 特别地, 上述结论当$V(x)\equiv0$时也成立.

注1.1  定理1.1–1.3的结果在一定程度上改进和完善了已有文献的相关结果. 如: 文献[1] 讨论了解的存在性, 但只给出了当$p\in(0, 2)$且$| u |_{2}^{2}=c$足够小时, 方程(1.1) 的解存在, 但$c$小到什么程度并不清楚. 当$0<p<2$时, 作者分$0<p\leq1$和$1<p<2$两种情形证明解的存在性. 文献[8] 讨论了质量临界问题, 即$p=2$时, 作者找到了使方程(1.1) 有解时$| u |_{2}^{2}$的具体数值. 本文中, 我们考虑到$V(x)\equiv0$和$V(x)\not\equiv0$两种情形下, 当$0<p\leq2$时, 方程(1.1) 最低能量解的存在性, 并明确了相应的$\beta$的范围, 当$0<p<2$时, 不需分$0<p\leq1$和$1<p<2$两种情形证明最低能量解的存在性. 这在以前的文献中似乎还没有出现过. 此外, 我们还讨论了当$p\rightarrow2$时约束最低能量的连续性. 由于非局部项$\int_{|x|}^{\infty } \frac{h(s)}{s} u^{2}(s) {\rm d}s +\frac{h^{2}(|x|)}{|x|^{2} }$的引入, 使得局部项和非局部项之间存在竞争关系, 以及${\cal H}$嵌入$L^{2}({{\Bbb R}} ^{2})$时紧性缺失, 这些都给我们的研究带来了一些困难.

最后, 简单介绍一下本文主要结果的证明思路. 当$V(x)\equiv0$时, 证明定理1.1的关键是克服$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )\hookrightarrow L^{2} ({{\Bbb R}} ^{2} )$时紧性缺失困难. 这里我们的策略是利用$\widetilde{d}_{\beta}(p)<0$这一性质去直接证明极小化序列的弱极限即为$\widetilde{d}_{\beta}(p)$的达到函数, 从而避免了紧嵌入缺失的困难. 证明定理1.2的时候, 因为$V(x)\not\equiv0$, $H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )\hookrightarrow L^{2} ({{\Bbb R}} ^{2} )$的紧性得以恢复. 此时, 我们面临的主要困难是当$p=2$时难以验证极小化序列$\{u_{n}\}$在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中的有界性. 我们应用反证法, 克服了这一困难. 证明定理1.3, 主要是当$p\rightarrow2$时, 通过放缩法估计能量泛函$d_{\beta } (p)$的上确界和下确界, 然后利用夹逼定理, 得到$d_{\beta } (p)$收敛到$d_{\beta } (2)$.

这一节我们主要不加以证明地给出几个基本引理, 其证明可在给出的文献中找到, 这些引理在后面证明主要定理时都将用到.

引理2.1^[1] (Pohožaev恒等式) 设$b$, $c$和$d$为实常数, 并且$u\in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2})$是以下方程的弱解

这里$h(s)=\int_{0}^{s} \frac{t}{2} u^{2} (t){\rm d}t$, 则$u$满足如下的$\rm Pohožaev$恒等式

引理2.2^[1]  假设序列$\left \{ u_{n} \right \} \in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2})$且在$n\to +\infty$时弱收敛到函数$u$. 那么对任意的$\varphi \in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2})$, $c(u_{n} )$, $c'(u_{n} )\varphi$和$c'(u_{n} )u_{n}$在子列意义下, 当$n\to +\infty$时分别收敛到$c(u)$, $c'(u)\varphi$和$c'(u)u$, 这里$c(u)= \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \frac{u^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\big(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u^{2}(s){\rm d}s\big)^{2} {\rm d}x$, $u\in H_{r}^{1}({{\Bbb R}} ^{2})$.

引理2.3^[8]  对任意$u\in H_r^1({{\Bbb R}} ^2)$, 有

进一步地, 由$\rm Gagliardo-Nirenberg$不等式可以得到

其中$\phi_{*}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$为方程(1.5) 在$p=2$时的唯一径向对称解.

引理2.4^[17]  设$X$是$\rm Banach$空间, $\psi\in C^{2}(X, {{\Bbb R}} )$, $V:=\{v\in X:\psi(v)=1\}$, 对于每个$v\in V$, $\psi^{\prime}(v)\neq 0$. $V$在点$v$处的切线空间被定义为$T_{v}V:=\{y\in X:\langle\psi^{\prime}(v), y\rangle=0\}$, 定义$\| \varphi^{\prime}(u)\|_{*}=\sup\limits_{y\in T_{v}V, \| y\|=1}\langle\varphi^{\prime}(v), y\rangle$, 如果$\varphi\in C^{1}(X, {{\Bbb R}} )$, 并且$u\in V$, 那么$\| \varphi^{\prime}(u)\|_{*}=\min\limits_{\lambda\in{{\Bbb R}} }\| \varphi^{\prime}(u)-\lambda \psi^{\prime}(u)\|$. 特别地, $u$是$\varphi|{V}$的一个临界点当且仅当存在$\lambda\in{{\Bbb R}}$使得$\varphi^{\prime}(u)=\lambda \psi^{\prime}(u)$.

引理2.5^[11]  对于任意的$N\geq1$, 令$V(x)$满足条件(1.8) 式, 那么${\cal H}$嵌入$L^{q}({{\Bbb R}} ^{N})$ ($2\leq q <2^{*}$)是紧嵌入(如果$N>2$, 那么$2^{*}=\frac{2N}{N-2}$, 如果$N=1, 2$那么$2^{*}=+\infty$).

本节我们讨论的极小化问题是问题(1.2) 在$V(x)\equiv0$时所对应的问题(1.3), 证明定理1.1之前, 我们先证明几个需要被用到的引理.

引理3.1  对于问题(1.3) 所对应的$\widetilde{d} _{\beta } (p)$, 若$p=2$, 则对所有的$\beta\leq \beta _{*}$都有$\widetilde{d} _{\beta } (p)=0$, 并且对所有$\beta>\beta^{*}$, 都有$\widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty$, 这里的$\beta_{*} =| \phi _{*} | _{2 }^{2}$, $\beta^{*}=| \phi _{*} | _{2 }^{2}+\frac{1}{8\pi}$, $\phi _{*}$为方程(1.5) 在$p=2$时的唯一径向对称解.

证  我们分两种情况来证明该引理.

$\bullet$首先证明: 对于任意的$\beta\leq\beta _{*}$, $\widetilde{d} _{\beta } (p)=0$, 其中$\beta _{*} =| \phi _{*} | _{2}^{2}$.

令$u\in S_{1}$, 当$\beta\leq\beta _{*}$时, 根据(1.7) 式且$p=2$可得

再根据(1.4) 式知: 如果$p=2$, 对于固定的$u$, 由(1.4) 式可以看出, 当$t\rightarrow0$时, 那么$\widetilde{d}_\beta(p)\leq0$, 综上可得$\widetilde{d} _{\beta } (p^{*})=0$.

$\bullet$其次证明: 对任意的$\beta>\beta^{*}$, $\widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty$, 其中$\beta^{*}=| \phi _{*} | _{2}^{2}+\frac{1}{8\pi}$.

令$u\in S_{1}$, 且

则$u_{t} \in S_{1}$, 结合(1.6) 式有

注意到$p=2$, 因此

由(1.6) 式和(2.2) 式可得

那么

当$\beta > | \phi _{*}|_{2}^{2} +\frac{1}{8\pi }$时, $\big(1+\frac{1}{8\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} } -\frac{\beta }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\big)<0$, 且$t\rightarrow +\infty$时, $\widetilde{E} _{p}^{\beta } (u_{t} )\rightarrow -\infty$, 因此$\widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty$. 证明完毕.

引理3.2  若$p\in(0, 2)$, 则对于问题(1.3) 所定义的极小化问题有$\widetilde{d} _{\beta } (p)<0$且可达.

证  如果$0<p<2$, 对于固定的$u$, 由(1.4) 式可以看出, 当$t$足够小时, 那么$\widetilde{d}_\beta(p)<0$.

接下来证明$\widetilde{d} _{\beta } (p)$可达.

令$\{u_{n}\}\subset S_{1}$是$\widetilde{d} _{\beta } (p )$的极小化序列, 并结合(1.7) 式, 则

因为$p<2$, 所以$\{u_{n}\}$在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中是有界的. 故存在$\{u_{n}\}$的子列, 仍记为$\{u_{n}\}$, 以及存在某个${u_{0}}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$使得

我们断言$u_{0}\not\equiv0$. 否则, 由(3.1) 式可知

又由$\{u_{n}\}\subset S_{1}$是$\widetilde{d} _{\beta } (p )$的极小化序列并且$\widetilde{d}_\beta(p)<0$, 可知

得出矛盾. 因此, $u_{0}\not\equiv0$, 由引理2.2知

要证$\widetilde{d} _{\beta } (p)$可达, 只需证$u_{0}\in S_{1}$. 为此, 取$\varphi (x)\in C_{0}^{\infty } ({{\Bbb R}} ^{2} )$, 对于上述极小化序列$\{u_{n}\}$, 定义$j(\tau, \sigma )=\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2}} ( u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi )^{2}{\rm d}x$, 则$j(0, 0)=\frac{1}{2} \int _{{{\Bbb R}} ^{2}} u_{n}^{2}{\rm d}x=\frac{1}{2}$,

应用隐函数定理, 则存在常数$\sigma _{n} >0$和函数$\tau (\sigma )\in C^{1}\big( \left ( -\sigma _{n}, \sigma _{n} \right ), {{\Bbb R}} \big)$, 使得$\tau (0)=0$, $\tau^{\prime } (0)=-\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} u_{n} \varphi {\rm d}x$且$j\big(\tau\left ( \sigma \right ) , \sigma \big)=j(0, 0)=\frac{1}{2}$. 表明当$\sigma\in\left ( -\sigma _{n}, \sigma _{n} \right )$时, $u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi\in S_{1}$. 根据问题(1.3) 的定义知, $\widetilde{d}_\beta(p)\le \widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n})\le\widetilde{d}_\beta(p)+\frac{1}{n}$, 由Ekeland变分原理^{[13,Theorem 5.1]}知

所以$\widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n} +\tau u_{n}+\sigma \varphi )\ge\widetilde{E}^\beta_{p} (u_{n} )-\frac{1}{n} \left \| \tau u_{n}+\sigma \varphi\right \|$, 令$\sigma \rightarrow0^{+}$和$\sigma \rightarrow0^{-}$, 相应地, 可得

因为$\tau^{\prime } (0)=-\int _{{{\Bbb R}} ^{2}} \left |u_{n} \right |\varphi {\rm d}x$, $\varphi (x)\in C_{0}^{\infty } ({{\Bbb R}} ^{2} )$以及$\{u_{n}\}$有界, 所以$\left \| \tau^{\prime }(0)u_{n}+\varphi \right \|<C$, 其中$C$代表常数. 那么,

故当$n\rightarrow +\infty$时, $[\widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} )]^{\prime}|_{S_{1}} \rightarrow 0$.

由引理2.4可知: 当$n\rightarrow +\infty$时, 存在常数$\lambda _{n}\in{{\Bbb R}}$使得在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$的对偶空间中$[ \widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} ) ] ^{\prime } -\lambda _{n}u_{n}\rightarrow0$, 又因为$\{u_{n}\}$在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中有界, 所以$\langle [\widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} )] ^{\prime } -\lambda _{n}u_{n} , u_{n} \rangle\rightarrow0$. 即得到

由(3.3) 式、$\{u_{n}\}$在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中有界、$\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }\frac{u_{n}^{2} }{\left | x \right | ^{2} }\big(\int_{0}^{|x|} \frac{s}{2}u_{n}^{2}(s){\rm d}s \big)^{2} {\rm d}x$有界和$\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{p+2} {\rm d}x$在$L^{p+2}({{\Bbb R}} ^{2} )$中有界知, $\{\lambda_{n}\}$在${{\Bbb R}}$中有界, 从而在子列意义下存在$\lambda\in{{\Bbb R}}$使得$\lambda_{n}\rightarrow \lambda$. 由$\lambda_{n}\rightarrow \lambda$, 结合$\{u_{n}\}$在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中弱收敛, 可得

所以有

即

又因为$\left [ \widetilde{E}_{p}^{\beta }(u_{n} ) \right ] ^{\prime } -\lambda _{n}u_{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n0$, $c(u_{n})\rightarrow c(u_{0})$和$\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{n} \right | ^{p+2} {\rm d}x\rightarrow \int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{p+2} {\rm d}x$可得

联立(3.6) 式和(3.7) 式可得

下面我们证明$\lambda<0$.

对(3.4) 式和引理2.1中的Pohožaev恒等式可得

联立(3.5) 式和(3.9) 式得

将(3.10) 式代入(3.5) 式可得

当$p\in(0, 1]$时, 显然$\lambda<0$; 当$p\in(1, 2)$时, 因为$0\not\equiv u_{0}\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$, 且由(2.1) 式知

故此时$\lambda<0$. 综上, 当$p\in(0, 2)$时, $\lambda<0$. 由(3.8) 式, $\lambda<0$以及在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中$u_{n}\rightharpoonup u_{0}$, 可得$u_{n} {\to } u_{0}$在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中强收敛. 即$\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | u_{0} \right | ^{2} {\rm d}x=1$. 证明完毕.

定理1.1的证明 (ⅰ) 由引理3.2知, 若$p\in(0, 2)$则$\widetilde{d} _{\beta } (p)<0$且可达.

(ⅱ) 当$p=2$时, 由引理3.1知, 对任意的$\beta>\beta^{*}$, $\widetilde{d} _{\beta } (p)=-\infty$, 故此时$\widetilde{d} _{\beta } (p)$无极小元.

假设当$\beta\leq\beta _{*}$时, $\widetilde{d} _{\beta } (p)$存在极小元$u_{0}\in S_{1}$, 那么根据$\widetilde{d} _{\beta } (p)=0$及(1.7) 式, 可知

其中$\phi _{*}$为方程(1.5) 在$p=2$时的唯一径向对称解. 也就是说, $u_{0}\equiv0$, 这与$u_{0}\in S_{1}$矛盾. 因此, 对任意的$\beta\leq\beta _{*}$, $\widetilde{d} _{\beta } (p)$也没有极小元. 证明完毕.

本节我们将考虑$V(x)\not\equiv0$的约束变分极小化问题(1.2), 此时我们看到对于质量临界的情形(即$p=2$), 问题(1.2) 的可达性与$V(x)\equiv0$时有明显的不同.

定理1.2的证明 (ⅰ) 对于任意的$\beta>0$, $u\in S_{1}$, 由(1.7) 式知

因为$0<p<2$, 由(4.1) 式, 可得$d_{\beta}(p)>-\infty$.

令${\{u_{n}\}}\subset{\cal H}$是$d_{\beta}(p)$的一个极小化序列,

因为$0<p<2$, 所以我们可以得到${\{u_{n}\}}$在${\cal H}$中有界. 由引理2.5知, 存在某个$u_{0}\in {\cal H}$, 以及${\{u_{n}\}}$的子列, 仍记为${\{u_{n}\}}$, 使得

结合引理2.2, 我们有${ } d_{\beta}(p)=\mathop {\lim \inf }\limits_{n \to \infty } {E} _{p}^{\beta } (u_{n} )\ge {E} _{p}^{\beta } (u_{0} )\geq d_{\beta}(p)$. 因此, 对任意的$\beta>0$, $u_{0}$是$d_{\beta}(p)$的可达元.

(ⅱ) 当$p=2$时, 首先证明对于任意的$\beta\in (0, \beta_{*}]$, $d_{\beta}(p)$是可达的.

令$u\in S_{1}$, 由$\beta\leq\beta_{*}$, $\beta_{*}$的定义, 以及(0.7) 式, 可以看到

这表明$d_{\beta}(p)\geq0$.

实际上, 令$\left \{u_{n} \right \}$是$d_{\beta}(p)$的极小化序列, 由(1.7) 式和$\beta_{*}=| \phi _{*}| _{2}^{2}$, 可得

我们知道

我们断言$\limsup\limits_{n\to \infty}\big(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x\big)<+\infty.$否则, 我们可以假设

那么, 由(4.2) 式, (4.3) 式以及(4.4) 式, 可得$\limsup\limits_{n\to \infty} \big(\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|u_{n}|^{4}{\rm d}x\big)=+\infty$. 从而

因此$\lim\limits_{n\to \infty}\frac{| \nabla u_{n}| _{2}^{2}}{| u_{n}| _{4}^{4}}=\frac{\beta }{2}.$令$w_{n} =\varepsilon _{n} u_{n} (\varepsilon _{n}x)$且$\varepsilon _{n}=|\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } \left | \nabla u_{n} \right | ^{2} {\rm d}x|^{-\frac{1}{2} }$, 则$\varepsilon _{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n 0$且

由$\varepsilon _{n} \mathop{\rightarrow }\limits^n 0$及(4.3) 式知

结合(4.5) 式和(4.6) 式可知$\|w_{n}\|^{2}$=2, 则$\{w_{n}\}$在$H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$中有界, 所以存在$w\in H_{r}^{1} ({{\Bbb R}} ^{2} )$, 使得$\{w_{n}\}$在子列的意义下弱收敛到$w$, 由(4.7) 式, 引理2.2以及$c(u)$是凸函数, 可得$w=0$, 又因为(4.8) 式蕴含着$\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }|w|^{4}{\rm d}x=\frac{2}{\beta } >0$, 故出现矛盾. 因此

故${\{u_{n}\}}$在${\cal H}$中有界. 即存在${\{u_{n}\}}$的子列, 仍记为${\{u_{n}\}}$, 以及某个${u_{0}}\in {\cal H}$使得

因此, 由引理2.2, 可得

故(4.9) 和(4.10) 式蕴含了$u_{0}$是$d_{\beta } (p)$的可达元.

接下来证明$\beta>\beta^{*}$时, $d_{\beta }(p)$不可达. 选取非负函数$\varphi \in C_{0}^{\infty } \left ( {{\Bbb R}} ^{2} \right )$使得当$\left | x\right |\le 1$时, $\varphi \left ( x \right ) =1$, 当$\left | x \right |\ge 2$时, $\varphi \left ( x \right ) =0$, 并且$\left |\nabla \varphi \left ( x \right ) \right | \le 2$.

令$u_{t} = \frac{A_{t} t }{| \phi _{*}|_{2} }\varphi \left ( x \right )\phi _{*}(t x)$, $(t>0)$, 其中$\phi _{*}$为方程(1.5) 在$p=2$时的唯一径向对称解, $A_{t}$的取值需要保证$\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } u_{t}^{2} {\rm d}x=1$.

可以知道, 当$t\rightarrow +\infty$时

所以$A_{t} \ge 1$并且$\lim\limits_{t\to +\infty} A_{t} = 1$. 进一步的, 有

所以$t \to +\infty$时, 我们应用控制收敛定理有$\int _{{{\Bbb R}} ^{2} }V(x) u_{t}^{2} {\rm d}x\to V(0)$. 并且

即当$t\to +\infty$时

同样地

即当$t\to +\infty$时

根据(1.6) 和(2.2) 式可得

综上, 当$p=2, t\to +\infty$时, 可得

$\beta>\beta^{*}$时, $\big(1+\frac{1}{8\pi | \phi _{*}|_{2}^{2} } -\frac{\beta }{| \phi _{*}|_{2}^{2} }\big)<0$, 即当$t\rightarrow +\infty$时, $d_{\beta }(p)\leq E _{p}^{\beta } (u_{t} )\rightarrow -\infty$, 因此$d_{\beta }(p)=-\infty$. 因此对任意的$\beta>\beta^{*}$, $d_{\beta }(p)$不可达. 证明完毕.

定理1.3的证明  令$u_{p}\geq0$是$d_{\beta } (p)$的可达元, 令$\beta_{p}=| \phi _{p}| _{2}^{p}$, 结合(1.7) 式, 可得

因为$\beta>0$, 根据$d_{\beta } (p)$和$E_{p}^{\beta }$的定义, 可知对任意的$\xi (x)\in C_{0}^{\infty } (R^{2} )\cap S_{1}$, 都有

这里的常数$C$与$p$无关. 那么

这表明, 存在常数$M>0$使得

否则, 当$p\rightarrow2$时, $\int _{{{\Bbb R}} ^{2} } |\nabla u_{p} |^{2} {\rm d}x\to\infty$. 又因为$p<2$且$\beta\in(0, \beta_{*})$, 结合(4.11) 式知

出现矛盾. 故(4.12) 式成立, 所以$\{u_{p}\}$在${\cal H}$中有界. 所以存在某个$u_{2}\in {\cal H}$, $\{u_{p}\}$的子列仍记为$\{u_{p}\}$,

由Hölder不等式, 可得

$u_{p}$是$d_{\beta }(p)$的可达元, 再结合(4.13) 式可得

然而, 根据$d_{\beta}(p)$的定义, 我们知道对任意的$\varepsilon>0$, 都存在$u_{\varepsilon}\in S_{1}$使得

因此

所以, 令(4.15) 式中$\varepsilon \to 0$再结合(4.14) 式, 可得

这表明$u_{2}$是$d_{\beta }(2)$的可达元. 此外, 当$p\rightarrow2$时, $u_{p} \to u_{2}$在${\cal H}$中强收敛. 特别地, 用同样的方法, 可以得到上述结论在$V(x)\equiv0$时也成立. 证明完毕.