带有经济效益的时滞分数阶微分-代数捕食-被捕食系统的Hopf分岔

带有经济效益的时滞分数阶微分-代数捕食-被捕食系统的Hopf分岔

张道祥, 李奔, 陈丹丹, 林雅婷, 王鑫梅

安徽师范大学数学与统计学院安徽芜湖 241002

Hopf Bifurcation for a Fractional Differential-Algebraic Predator-Prey System with Time Delay and Economic Profit

Zhang Daoxiang, Li Ben, Chen Dandan, Lin Yating, Wang Xinmei

School of Mathematics and Statistics, Anhui Normal University, Wuhu Anhui 241002

收稿日期: 2020-11-30

基金资助:

国家自然科学基金.  11671013
国家自然科学基金.  11302002
安徽省自然科学基金.  2008085MA13

Received: 2020-11-30

Fund supported:

the NSFC.  11671013
the NSFC.  11302002
the NSF of Anhui Province.  2008085MA13

Abstract

A fractional differential-algebraic biological economic system with harvest and time delay is firstly proposed and investigated in this paper. By using the Hopf bifurcation theory, some sufficient conditions for the existence of Hopf bifurcation induced by delay are obtained. The results show that in the case of zero economic profit, the biological equilibrium point of the system is asymptotically stable. Under positive economic profit condition, the system produces limit cycles at the positive equilibrium point as the delay increases through a certain threshold. It is found that fractional exponent, economic interest and delay can affect the other dynamic behavior of the system through some numerical simulations.

Keywords： Fractional system ; Hopf bifurcation ; Time delay

PDF (959KB) 元数据多维度评价相关文章导出 EndNote| Ris| Bibtex 收藏本文

本文引用格式

张道祥, 李奔, 陈丹丹, 林雅婷, 王鑫梅. 带有经济效益的时滞分数阶微分-代数捕食-被捕食系统的Hopf分岔. 数学物理学报[J], 2022, 42(2): 570-582 doi:

Zhang Daoxiang, Li Ben, Chen Dandan, Lin Yating, Wang Xinmei. Hopf Bifurcation for a Fractional Differential-Algebraic Predator-Prey System with Time Delay and Economic Profit. Acta Mathematica Scientia[J], 2022, 42(2): 570-582 doi:

1 引言

由于环境的恶化和资源的短缺, 具有经济效益的生态模型的建模和分析越来越受到人们的关注, 其中最典型的模型是捕食-被捕食模型^[1-6]. 这些模型通常由差分方程、常微分方程或带有扩散的偏微分方程描述. 它们在稳定性、分岔、周期解和空间模式等方面表现出复杂和丰富的动力学特性^[5-8].

众所周知, 捕食者和被捕食者之间的相互作用并不是瞬时发生的, 常伴有滞后效应, 比方资源再生时间、成熟期、反应时间、喂养时间和妊娠期, 常用时滞表示^[9-11]. Liao和Yu^[12]采用具有妊娠时滞的Crowley-Martin功能反应模型研究了海洋生态模型

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} { } \frac{{\rm d}P(t)}{{\rm d}t} = P\left( t \right)\left( {1 - aP\left( t \right)} \right) - \frac{{bP\left( t \right)Z\left( t \right)}}{{1 + cP\left( t \right) + dZ\left( t \right) + eP\left( t \right)Z\left( t \right)}}, \\ { } \frac{{\rm d}Z(t)}{{\rm d}t} = \frac{{gP\left( {t - \tau } \right)Z\left( {t - \tau } \right)}}{{1 + cP\left( {t - \tau } \right) + dZ\left( {t - \tau } \right) + eP\left( {t - \tau } \right)Z\left( {t - \tau } \right)}} - hZ\left( t \right), \end{array} \right. \end{equation}$

(1.1)

系统(1.1)中的所有参数均假定为正常数, 具体生物学意义见表 1 (参见文献[13]). Liao和Yu指出, 时滞会改变正平衡点的稳定性. 赵洪涌等人^[14]研究了一类带有线性捕捞努力量的捕食-被捕食扩散系统, 结果表明时滞在生态模型的的动力学中具有失稳效应, 当时滞增加到一定的阈值时, 系统会出现Hopf分岔甚至混沌现象.

表 1 系统(1.1)相关变量和参数的意义

变量(参数)	意义
$P\left( t \right)$	浮游植物的密度
$Z\left( t \right)$	浮游动物的密度
$a$	浮游植物种内干扰系数
$b$	成熟捕食者的捕食率
$c$	反应时间
$d$	捕食者(浮游动物)之间的干扰程度
$e$	喂食率
$g$	转换效率
$h$	浮游动物的死亡率
$\tau$	时滞
$f\left( {P, Z} \right) = \frac{{P}}{{1 + cP + dZ + ePZ}}$	Crowley-Martin^[13] 功能反应

新窗口打开| 下载CSV

近几十年来, 分数阶微分方程在工程^[15]、力学^[16]、物理学^[17]、化学^[18]等许多领域都有了很大的发展. 与经典的整数微分方程模型相比, 大多数分数阶微分方程模型在描述过程的记忆和遗传特征方面具有许多优势^[19-20]. 此外, 由于分数阶导数的特殊性, 系统将产生丰富的动力学行为^[21-23]. 因此, 考虑系统(1.1)的分数阶导数是有必要的.

在日常生活中, 经济效益和自然资源与每个人的生活息息相关. 1954年, Gordon提出了渔业自然资源利用的经济理论^[24]: 净经济收入=总收入-总成本. 依据此理论, 文献[25-27] 提出了一系列的带有经济效益的捕食-被捕食微分-代数系统, 分析了系统的动力学行为, 讨论了捕捞努力量对渔业生态系统的影响.

基于上述讨论, 我们在系统(1.1)引入如下代数方程

$\left( {{p_1}QP - {p_2}} \right)E - m = 0,$

其中 $p_2 (>0)$ 是收获努力量的固定成本, $p_1 (>0)$ 表示鱼的单价, $Q(>0)$ 是捕捞能力系数, $E$ 是收获努力量, $m$ 是总经济效益. 因此, 本文提出如下带有经济效益的时滞分数阶微分-代数捕食-被捕食系统

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} { } {{\rm D}^{{q_1}}}P = P\left( {1 - aP} \right) - \frac{{bPZ}}{{1 + cP + dZ + ePZ}} - QEP, \\ { } {{\rm D}^{{q_2}}}Z = \frac{{gP\left( {t - \tau } \right)Z\left( {t - \tau } \right)}}{{1 + cP\left( {t - \tau } \right) + dZ\left( {t - \tau } \right) + eP\left( {t - \tau } \right)Z\left( {t - \tau } \right)}} - hZ, \\ \left( {{p_1}QP - {p_2}} \right)E - m = 0 , \end{array} \right. \end{equation}$

(1.2)

初始条件 $P\left( s \right) = \chi \left( s \right) > 0, Z\left( s \right) = \phi \left( s \right) > 0, s \in \left[ { - \tau , 0} \right], E\left( 0 \right) = E_0 > 0$ , $\chi \left( s \right), \phi \left( s \right)$ 是光滑函数. 系统(1.2)中所有参数同系统(1.1). ${\rm D}^{{q_i}}$ 表示Caputo分数阶导数, $q_i$ 表示分数阶阶数.

本文亮点有: (1)将微分代数系统^[25-27]推广到多分数阶时滞微分-代数系统. (2)当生态经济处于平衡状态( $m=0$ )时, 系统(1.2)的生态平衡点是局部渐近稳定的, 这与时滞无关. 然而, 在正生态经济( $m>0$ )情况下, 系统(1.2)在正平衡点附近会产生极限环.(3)与仅考虑分数阶微分代数系统的文献[28, 29]的结果相比, 本文提出的系统(1.2)更能反应现实情况, 并且通过数值模拟得到的系统(1.2)的动力学行为更丰富.

2 局部稳定性分析

2.1 零收益系统的稳定性分析

当生态经济平衡发生( $m=0$ ), 考虑生态学平衡点.

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} { } P\left( {1 - aP} \right) - \frac{{bPZ}}{{1 + cP + dZ + ePZ}} - QEP = 0, \\ { } \frac{{gPZ}}{{1 + cP + dZ + ePZ}} - hZ = 0, \\ p_1 QPE - p_2 E = 0, \\ \end{array} \right. \end{equation}$

(2.1)

解系统(2.1)的第三个方程, 有

$P_0 = \frac{{p_2 }}{{p_1 Q}}.$

把 $P_0$ 代入系统(2.1)的第二个方程, 有

$Z_0 = \frac{{gP_0 - h - chP_0 }}{{dh + ehP_0 }},$

把 $P_0$ 和 $Z_0$ 代入系统(2.1)的第一个方程, 有

$E_0 = \frac{1}{Q}\left( {1 - aP_0 - \frac{{bZ_0 }}{{1 + cP_0 + dZ_0 + eP_0 Z_0 }}} \right).$

假设

$\begin{array}{l} { } \left( {\rm H_1}\right)\; \; P_0 > \frac{h}{{g - ch}}, \\ { } \left( {\rm H_2}\right)\; \; 1 - aP_0 > \frac{{bZ_0 }}{{1 + cP_0 + dZ_0 + eP_0 Z_0 }}. \\ \end{array}$

定理2.1 当条件 $({\rm H}_1)$ 和 $({\rm H}_2)$ 成立时, 系统(2.1)有一个正平衡点 $X_0 = \left( {P_0 , Z_0 , E_0 } \right)$ .

证由假设 $({\rm H}_1)$ 和 $({\rm H}_2)$ , 可得 $Z_0 >0$ 和 $E_0 >0$ . 因此, 生态学平衡点 $X_0 = \left( {P_0 , Z_0 , E_0 } \right)$ 存在. 证毕.

令 $\hat{P}\left(t\right) = P-P_0, \hat{Z}\left(t\right) = Z-Z_0, \hat{E}\left(t\right) = E-E_0$ . 系统(1.2)在生态学平衡点 $X_0 = \left( {P_0 , Z_0 , E_0 } \right)$ 处的线性化系统为

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {\rm D}^{q_1 } \hat{P}\left(t\right) = a_{11} \hat{P}\left(t\right) + a_{12} \hat{Z}\left(t\right) + a_{13} \hat{E}\left(t\right), \\ {\rm D}^{q_2 } \hat{Z}\left(t\right) = a_{22} \hat{Z}\left(t\right) + b_{21} \hat{P}\left( t -\tau \right) + b_{22} \hat{Z}\left( t -\tau \right), \\ 0 = a_{31} \hat{P}\left( t \right), \\ \end{array} \right. \end{equation}$

(2.2)

其中

$\begin{eqnarray*} && a_{11} = 1 - 2aP_0 - \frac{{bZ_0 + bdZ_0 ^2 }}{{\left( {1 + cP_0 + dZ_0 + eP_0 Z_0 } \right){}^2}} - QE_0, \; \; a_{12} = - \frac{{bP_0 + bcP_0 ^2 }}{{\left( {1 + cP_0 + dZ_0 + eP_0 Z_0 } \right){}^2}}, \\ && a_{13} = - QP_0, \; \; a_{22} = - h, \; \; b_{21} = \frac{{gZ_0 + gdZ_0 ^2 }}{{\left( {1 + cP_0 + dZ_0 + eP_0 Z_0 } \right){}^2}}, \; \; b_{22} = \frac{{h\left( {1 + cP_0 } \right)}}{{1 + cP_0 + dZ_0 + eP_0 Z_0 }}, \\ && a_{31} = p_1 QE_0. \end{eqnarray*}$

定理2.2 在定理2.1的条件下, 系统(1.2)的生态学平衡点 $X_0$ 是局部渐近稳定的.

证系统(2.2)的特征矩阵是

$\left( {\begin{array}{*{20}c} {s^{q_1 } - a_{11} } & { - a_{12} } & { - a_{13} } \\ { - b_{21} e^{ - s\tau } } & {\quad} {s^{q_2 } - a_{22} - b_{22} e^{ - s\tau } } {\quad} & 0 \\ { - a_{31} } & 0 & 0 \\ \end{array}} \right),$

可得系统(2.2)的特征方程是

$\begin{equation} - a_{13} a_{31} \left( {s^{q_2 } - a_{22} - b_{22} e^{ - s\tau } } \right) = 0. \end{equation}$

(2.3)

接下来, 将利用反证法说明特征值 $s$ 具有负实部. 假设 $s = r\left( {\cos \theta + {\rm i}\sin \theta } \right)\left( {r\cos \theta \ge 0} \right)$ , 代入方程(2.3) 得

$\begin{equation} {r^{{q_2}}}\left( {\cos \left( {\theta {q_2}} \right) + {\rm i}\sin \left( {\theta {q_2}} \right)} \right) - {a_{22}} - {b_{22}}{e^{ - r\left( {\cos \theta + {\rm i}\sin \theta } \right)\tau }} = 0. \end{equation}$

(2.4)

分离上式的虚部和实部得

$\begin{equation} {r^{{q_2}}}\left( {\cos \left( {\theta {q_2}} \right)} \right) = {a_{22}} + {b_{22}}{e^{ - r\tau\cos \theta }}\cos \left( {r\tau \sin \theta } \right), \end{equation}$

(2.5)

注意到 ${r\cos \theta \ge 0}$ , 有 ${r^{{q_2}}}\cos \left( {\theta {q_2}} \right) \ge 0$ 和 ${a_{22}} + {b_{22}}{e^{ - r\tau\cos \theta }}\cos \left( {r\tau \sin \theta } \right) < 0$ . 这就产生了矛盾, 因此 $s$ 有负实部. 根据文献[20, 引理1], 系统(1.2)的平衡点 $X_0$ 是渐近稳定的. 证毕.

注2.1 定理2.2表明, 当经济效益为零且 $X_0$ 存在时, 系统(1.2)在没有其他约束条件的情况下是局部渐近稳定的, 这与分数阶阶数无关.

2.2 正收益系统的稳定性分析

事实上, 我们更关心的是正经济效益( $m > 0$ ). 考虑到实际情况, 我们只讨论系统(1.2)在正平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 处的动力学行为. 当

$\begin{eqnarray*} && \left( {{\rm H}_3 } \right)\; \; P^* > \frac{h}{{g - ch}}, \\ && \left( {{\rm H}_4 } \right)\; \; p_1 QP^* > p_2 \end{eqnarray*}$

成立, 则 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 存在, 其中

$Z^* = \frac{{gP^* - h - chP^* }}{{dh + ehP^* }}, {\qquad} E^* = \frac{m}{{p_1 QP^* - p_2 }}.$

$P^*$ 是下述方程的正根

$A_4 x^4 + A_3 x^3 + A_2 x^2 + A_1 x + A_0 = 0,$

其中

$\begin{eqnarray*} && A_4 = aegp_1 Q, \\ && A_3 = adgp_1 Q - aegp_2 - egp_1 Q, \\ && A_2 = egp_2 + egmQ + bgp_1 Q - dgp_1 Q - adgp_2 - bchp_1 Q, \\ && A_1 = dgp_2 + dgmQ + bchp_2 - bgp_2 - bhp_1 Q, \\ && A_0 = bhp_2 . \end{eqnarray*}$

令 $\widetilde{P}\left(t\right) = P-P^*, \widetilde{Z}\left(t\right) = Z-Z^*, \widetilde{E}\left(t\right) = E-E^*$ , 系统(1.2)在正平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 处的线性化系统为

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} D^{q_1 } \widetilde{P}\left( t \right) = a_{11} \widetilde{P}\left( t \right) + a_{12} \widetilde{Z}\left( t \right) + a_{13} \widetilde{E}\left( t \right), \\ D^{q_2 } \widetilde{Z}\left( t \right) = a_{22} \widetilde{Z}\left( t \right) + b_{21} \widetilde{P}\left( t - \tau \right) + b_{22} \widetilde{Z}\left( t -\tau \right), \\ 0 = a_{31} \widetilde{P}\left( t \right) + a_{33} \widetilde{E}\left( t \right), \end{array} \right. \end{equation}$

(2.6)

其中 ${a_{11}}, {a_{12}}, {a_{22}}, {a_{23}}, {a_{32}}, {b_{11}}, {b_{21}}$ 与系统(2.2)相同, $a_{33} = \frac{m}{{E^* }}$ . 进一步得到系统(2.6)在平衡点 $X^*$ 处的特征矩阵为

$\left( {\begin{array}{*{20}c} {s^{q_1 } - a_{11} } & { - a_{12} } & { - a_{13} } \\ { - b_{21} e^{ - s\tau } } &{\quad} {s^{q_2 } - a_{22} - b_{22} e^{ - s\tau } }{\quad} & 0 \\ { - a_{31} } & 0 & { - a_{33} } \\ \end{array}} \right).$

由此, 得到系统(2.6)的特征方程

$\begin{equation} {P_1}\left( s \right) + {P_2}\left( s \right){e^{ - s\tau }} = 0, \end{equation}$

(2.7)

其中

$\begin{array}{l} {P_1}\left( s \right) = {a_{33}}{s^{{q_1} + {q_2}}} + \left( {{a_{13}}{a_{31}} - {a_{11}}{a_{33}}} \right){s^{{q_2}}} - {a_{22}}{a_{33}}{s^{{q_1}}} + \left( {{a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}} \right){a_{22}}, \\ {P_2}\left( s \right) = {a_{11}}{b_{22}}{a_{33}} - {a_{13}}{b_{22}}{a_{31}} - {a_{12}}{b_{21}}{a_{33}} - {b_{22}}{a_{33}}{s^{{q_1}}}. \end{array}$

首先, 考虑当 $\tau = 0$ 时, 系统(1.2)在正平衡点 $X^*$ 处的稳定性. 假设

$\left( {{\rm H}_5 } \right)\; \; a_{11} a_{33} - a_{13} a_{31} < 0.$

定理2.3 若 $\tau = 0$ 且假设 $({{\rm H}_5})$ 成立, 系统(1.2)的平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 是局部渐近稳定的.

证当 $\tau = 0$ 时, 由特征方程(2.7)可得

$\begin{equation} {B_1}{\lambda ^2} + {B_2}\lambda + {B_3} = 0, \end{equation}$

(2.8)

其中

$\begin{array}{l} {B_1} = {a_{33}}, \\ {B_2} = {a_{13}}{a_{31}} - \left( {{a_{11}} + {a_{22}} + {b_{22}}} \right){a_{33}}, \\ {B_3} = \left( {{a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}} \right)\left( {{a_{22}} + {b_{22}}} \right) - {a_{12}}{b_{21}}{a_{33}}. \end{array}$

令 ${\lambda _1}$ 和 ${\lambda _2}$ 是方程(2.8)的两个根. 那么

$\begin{eqnarray*} && {\lambda _1} + {\lambda _2} = - \frac{{{B_2}}}{{{B_1}}} = - \frac{{{a_{13}}{a_{31}} - \left( {{a_{11}} + {a_{22}} + {b_{22}}} \right){a_{33}}}}{{{a_{33}}}}, \\ &&{\lambda _1}{\lambda _2} = \frac{{{B_3}}}{{{B_1}}} = \frac{{\left( {{a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}} \right)\left( {{a_{22}} + {b_{22}}} \right) - {a_{12}}{b_{21}}{a_{33}}}}{{{a_{33}}}}. \end{eqnarray*}$

注意到 $a_{12} < 0$ , $a_{13} < 0$ , $b_{21} > 0$ , $a_{22} + b_{22} < 0$ , $a_{31} > 0$ , $a_{33} > 0$ 和 $({\rm H}_5)$ 成立, 因此 ${B_3} > 0, {B_2} > 0, {B_1} > 0$ 成立. 那么 ${\lambda _1} + {\lambda _2} < 0, {\lambda _1}{\lambda _2} > 0$ , 这表示 $\lambda _1, \lambda _2$ 有负实部. 根据文献[20, 引理1], 当 $\tau = 0$ 时, 系统(1.2)的平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 是局部渐近稳定的. 证毕.

然后假设 $s = w\left( {\cos \frac{\pi }{2} + {\rm i}\sin \frac{\pi }{2}} \right)\left( {w > 0} \right)$ 是方程(2.7)的一个纯虚根, 代入后分离虚部和实部可得

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} {C_1}\cos w\tau + {D_1}\sin w\tau = - {C_2}, \\ {D_1}\cos w\tau - {C_1}\sin w\tau = - {D_2}, \end{array} \right. \end{equation}$

(2.9)

其中

$\begin{eqnarray*} && { } {C_1} = {a_{11}}{b_{22}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}{b_{22}} - {a_{12}}{b_{21}}{a_{33}} - {b_{22}}{a_{33}}{w^{{q_1}}}\cos \frac{{\pi {q_1}}}{2}, \\ &&{ } {D_1} = - {b_{22}}{a_{33}}{w^{{q_1}}}\sin \frac{{\pi {q_1}}}{2}, \\ &&{ } {C_2} = {a_{33}}{w^{{q_1} + {q_2}}}\cos \frac{{\pi \left( {{q_1} + {q_2}} \right)}}{2} - {a_{22}}{a_{33}}{w^{{q_1}}}\cos \frac{{\pi {q_1}}}{2}\\ &&{ } \; \; \; \; \; \; \; \; + \left( {{a_{13}}{a_{31}} - {a_{11}}{a_{33}}} \right){w^{{q_2}}}\cos \frac{{\pi {q_2}}}{2} + \left( {{a_{11}}{a_{33}} - {a_{13}}{a_{31}}} \right){a_{22}}, \\ &&{ } {D_2} = {a_{33}}{w^{{q_1} + {q_2}}}\sin \frac{{\pi \left( {{q_1} + {q_2}} \right)}}{2} - {a_{22}}{a_{33}}{w^{{q_1}}}\sin \frac{{\pi {q_1}}}{2} + \left( {{a_{13}}{a_{31}} - {a_{11}}{a_{33}}} \right){w^{{q_2}}}\sin \frac{{\pi {q_2}}}{2}. \end{eqnarray*}$

求解方程(2.9)可得

$\begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} { } \cos w\tau = - \frac{{{C_1}{C_2} + {D_1}{D_2}}}{{C_1^2 + D_1^2}} = {f_1}\left( w \right), \\ { } \sin w\tau = \frac{{ - {C_2}{D_1} + {C_1}{D_2}}}{{C_1^2 + D_1^2}} = {f_2}\left( w \right). \end{array} \right. \end{equation}$

(2.10)

注意到 ${\cos ^2}w\tau + {\sin ^2}w\tau = 1$ , 可以得到关于 $w$ 的方程

$\begin{equation} f_1^2\left( w \right) + f_2^2\left( w \right) = 1. \end{equation}$

(2.11)

假设方程(2.11)至少有一个正实根 $w_0$ . 再由方程(2.10)中的第一个式子可得

$\begin{equation} {\tau ^{\left( k \right)}} = \frac{1}{w}[\arccos {f_1}\left( w \right) + 2k\pi ], \; \; k = 0, 1, 2 \cdots . \end{equation}$

(2.12)

进一步定义分岔点

${\tau _0} = \min \left\{ {{\tau ^{\left( k \right)}}} \right\}, \; \; k = 0, 1, 2 \cdots .$

最后, 假设

$\left( {\rm H}_6 \right)\; \; \frac{{{X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2}}}{{X_2^2 + Y_2^2}} \ne 0,$

其中

$\begin{array}{l} X_1 = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {P_2 \left( {{\rm i}w_0 } \right)e^{ - {\rm i}w_0 \tau _0 } {\rm i}w_0 } \right], \\ Y_1 = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {P_2 \left( {{\rm i}w_0 } \right)e^{ - {\rm i}w_0 \tau _0 } {\rm i}w_0 } \right], \\ X_2 = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {P'_1 \left( {{\rm i}w_0 } \right) + P_2 ^\prime \left( {{\rm i}w_0 } \right)e^{ - {\rm i}w_0 \tau _0 } - P_2 \left( {{\rm i}w_0 } \right)e^{ - {\rm i}w_0 \tau _0 } \tau _0 } \right], \\ Y_2 = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left[ {P'_1 \left( {{\rm i}w_0 } \right) + P_2 ^\prime \left( {{\rm i}w_0 } \right)e^{ - {\rm i}w_0 \tau _0 } - P_2 \left( {{\rm i}w_0 } \right)e^{ - {\rm i}w_0 \tau _0 } \tau _0 } \right]. \\ \end{array}$

定理2.4 令 $s\left( \tau \right) = \zeta \left( \tau \right) + {\rm i}\varpi \left( \tau \right)$ 是特征方程(4.8) 在 $\tau = {\tau _0}$ 时满足 $\zeta \left( {\tau _j } \right) = 0, \varpi \left( {\tau _j } \right) = \varpi _0$ 的根, 那么有如下穿越性条件成立

${{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{\rm d}s}{{\rm d}\tau}} \right]|_{\left( {\tau = {\tau _0}, w = {w_0}} \right)}} \ne 0.$

证对特征方程(2.7)的两边关于 $\tau$ 求导

$\begin{equation} {P_1}^\prime \left( s \right){\frac{{\rm d}s}{{\rm d}\tau}} + {P_2}^\prime \left( s \right){\frac{{\rm d}s}{{\rm d}\tau}}{e^{ - s\tau }} - {P_2}\left( s \right){e^{ - s\tau }}\tau {\frac{{\rm d}s}{{\rm d}\tau}} - {P_2}\left( s \right){e^{ - s\tau }}s = 0, \end{equation}$

(2.13)

化简可得

$\begin{equation} \frac{{\rm d}s} {{\rm d}\tau} = \frac{{P_2 \left( s \right)e^{ - s\tau } s}} {{P_1 ^\prime \left( s \right) + P_2 ^\prime \left( s \right)e^{ - s\tau } - P_2 \left( s \right)e^{ - s\tau } \tau }} = \frac{{X_1 + {\rm i}Y_1 }} {{X_2 + {\rm i}Y_2 }}, \end{equation}$

(2.14)

因此

$\begin{equation} {{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left[ {\frac{{\rm d}s}{{\rm d}\tau}} \right] |_{\left( {\tau = {\tau _0}, w = {w_0}} \right)}}\frac{{{X_1}{X_2} + {Y_1}{Y_2}}}{{X_2^2 + Y_2^2}} \ne 0. \end{equation}$

(2.15)

假设 $({\rm H}_6)$ 表明穿越性条件成立. 证毕.

定理2.5 假设 $({\rm H}_3)$ - $({\rm H}_6)$ 成立, 那么对于系统(1.2):

$\rm (i)$ 当 $\tau \in \left[ {0, {\tau _0}} \right)$ 时, 正平衡点 $X^* \left( {P* , Z^* , E^* } \right)$ 是局部渐近稳定的;

$\rm (ii)$ 当 $\tau = {\tau _0}$ 时, 在正平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 附近发生Hopf分岔.

3 数值模拟

3.1 零经济收益下系统的稳定性

选择系统参数

$\begin{array}{l} a = 1, b = 5, c = 2, d = 6, e = 0.001, h = 0.3, g = 5, \\ {p_1} = 10, {p_2} = 0.6, Q = 0.2, {q_1} = 0.8, {q_2} = 0.9. \end{array}$

简单计算可以得到系统(1.2)有一个生态学平衡点 ${X_0}\left( {0.3, 0.5666, 0.6668} \right)$ . 根据定理2.2, 对于任何 $\tau$ , 唯一的生态学平衡点是局部渐近稳定的. 当 $\tau=0$ 和 $\tau=2, 10$ 时, 从图 1和图 2中可以看出系统(1.2)的生物学平衡点总是局部渐近稳定的. 数值模拟的结果也能验证这个结论, 如图 1 ( $\tau=0$ )和图 2 ( $\tau=2$ 和 $\tau=10$ ). 这再次表明, 当生态经济平衡发生时, 时滞不会影响平衡点的定性行为( $m=0$ ).

图 1

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 1 $\tau=0$ 时系统(1.2)的积分曲线

图 2

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 2 $\tau = 2$ 和 $\tau = 10$ 时系统(1.2)的积分曲线

3.2 正经济收益下系统的稳定性和Hopf分岔

选择参数

$\begin{array}{l} a = 1, b = 8, c = 3.9, d = 1.2, e = 0.0005, h = 1.1, \\ g = 8, {p_1} = 10, {p_2} = 0.1, Q = 0.3, m = 0.26, q_1 = 0.8, q_2 = 0.9. \end{array}$

容易得到系统(1.2)的正平衡点为 ${X^*}\left({0.3619, 0.1839, 0.2637}\right)$ , 临界值 ${\tau_0}=2.5919$ . 显然, 选取的参数满足条件 $({\rm H}_3)$ - $({\rm H}_6)$ . 根据定理2.5, 当 $\tau = 2.4 < {\tau _0}$ 时, 系统(1.2) 在正平衡点 ${X^*}$ 处是局部渐近稳定的, 如图 3. 当 $\tau = 2.68 > {\tau _0}$ 时, 系统(1.2)在正平衡点 ${X^*}$ 附近发生Hopf分岔, 产生极限环, 如图 4.

图 3

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 3 系统(1.2)的积分曲线和相图. $a = 1, b = 8, c = 3.9, d = 1.2, e = 0.0005, h = 1.1,$ $g = 8, {p_1} = 10, {p_2} = 0.1, Q = 0.3, m = 0.26, q_1 = 0.8, q_2 = 0.9, \tau = 2.4 < {\tau _0}$

图 4

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 4 系统(1.2)的积分曲线和相图. $a = 1, b = 8, c = 3.9, d = 1.2, e = 0.0005, h = 1.1,$ $g = 8, {p_1} = 10, {p_2} = 0.1, Q = 0.3, m = 0.26, q_1 = 0.8, q_2 = 0.9, \tau = 2.68 > {\tau _0}$

3.3 经济效益对系统的影响

接下来, 考虑经济效益 $m$ 对系统(1.2)的影响. $m$ 在区间 $\left[ {0.1, 1.5} \right]$ 上取不同的值, 可以得到一系列的正平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ , 如图 5. 从图 5中可以看出, 随着经济效益 $m$ 的增加, 捕捞努力量 $E$ 和被捕食者 $P$ 的数量在增加, 而捕食者 $Z$ 的数量在减少. 这说明人类为了获得更多的经济效益, 会加大对捕食者的捕捞强度, 导致捕食者数量下降甚至灭绝, 而被捕食因为捕食者的数量的减少, 有了更好的生存空间, 数量会上升. 根据(2.10)和(2.11)式, 通过计算, 可以得到 $\tau_0$ 随 $m$ 变化的Hopf分岔曲线, 如图 6. 分岔曲线表明 $\tau_0$ 随着 $m$ 的增加而减小, 而且曲线将平面分成上下两个区域, 其中曲线的下方为稳定区域, 曲线的上方为不稳定区域.

图 5

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 5 $m$ 与正平衡点 ${X^*}$ 的关系图

图 6

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 6 稳定区域和不稳定区域随 $m$ 的增加而变化

根据以上的分析, 在稳定区域取 $\tau = 1$ 和 $m = 0.5$ . 图 7表示系统(1.2)在此参数条件下的积分曲线, 它显示了系统(1.2)在正平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 处是局部渐近稳定的; 在不稳定区域取 $\tau= 1$ 和 $m = 0.65$ 时, 图 8 (积分曲线)表明系统(1.2)在正平衡点 $X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$ 附近出现Hopf分岔产生了极限环.

图 7

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 7 $\tau=1, m = 0.5$ 时, 系统(1.2)的积分曲线

图 8

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 8 $\tau=1, m = 0.65$ 时, 系统(1.2)产生Hopf分岔

3.4 分数阶阶数的影响

考虑分数阶阶数对系统(1.2)稳定性的影响, 选取 $m= 0.3$ 来考虑 $q_1, q_2$ 对系统(1.2)Hopf分岔的影响. 其他参数与3.2节中相同. 确定 $q_2=0.9$ , 进一步得到 $q_1$ 和 $\tau_0$ 之间的关系, 如图 9. 类似地, 图 10表示当 $q_1=0.8$ 时, $\tau_0$ 和 $q_2$ 之间的关系. 根据图 9和图 10, 不难发现 $\tau_0$ 和 $q_1$ 或 $q_2$ 呈负相关.

图 9

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 9 $q_1$ 和 ${\tau _0}$ 的关系图

图 10

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 10 $q_2$ 和 ${\tau _0}$ 的关系图

图 11和图 12是 ${q_2}=0.9, \tau=2, q_1=0.7, 0.75, 0.8$ 时, $P\left(t\right)$ 和 $Z\left(t\right)$ 的积分曲线. 图 13是其对应的相图. 图 11-13表明, 随着 $q_1$ ( $q_1 = 0.7, 0.75, 0.8$ 和 $\tau=2$ )的减小, $P\left( t \right)$ , $Z\left( t \right)$ 振荡时间会变短, 系统会更早地趋于稳定. 换言之, Hopf分岔将随着 $q_1$ 的减少而延迟. 同样, 从图 14-16中也可以得出相同的结论( $q_2=0.825, 0.875, 0.925$ 和 $\tau=2.2$ ). 数值结果表明分数阶阶数可以抑制系统的振荡.

图 11

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 11 ${q_2} = 0.9, \tau = 2, q_1 = 0.7, 0.75, 0.8$ 时系统(1.2)的积分曲线

图 12

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 12 ${q_2} = 0.9, \tau = 2, q_1 = 0.7, 0.75, 0.8$ 时系统(1.2)的积分曲线

图 13

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 13 ${q_2} = 0.9, \tau = 2, q_1 = 0.7, 0.75, 0.8$ 时系统(1.2)的相图

图 14

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 14 ${q_1} = 0.8, \tau = 2.2, q_2 = 0.825, 0.875, 0.925$ 时系统(1.2)的积分曲线

图 15

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 15 ${q_1} = 0.8, \tau = 2.2, q_2 = 0.825, 0.875, 0.925$ 时系统(1.2)的积分曲线

图 16

新窗口打开| 下载原图ZIP| 生成PPT

图 16 ${q_1} = 0.8, \tau = 2.2, q_2 = 0.825, 0.875, 0.925$ 时系统(1.2)的相图

4 结论

考虑了经济效益的影响, 本文提出了一类时滞的分数阶微分-代数捕食-被捕食系统, 研究了经济效益、分数阶阶数和时滞对此系统稳定性的影响. 所得解结果表明:

(1) 在零经济收益条件下, 系统的正平衡点是局部渐近稳定的; 在正经济收益条件下, 系统的正平衡点附近产生了Hopf分岔;

(2) 分数阶阶数可以抑制所研究系统的振荡;

(3) 时滞是生态系统稳定性改变的原因, 当时滞超过一定阈值时, 系统发生Hopf分岔产生周期解.

E-mail: 18955302433@163.com

参考文献

原文顺序

文献年度倒序

文中引用次数倒序

被引期刊影响因子

[1]

Legendre

The significance of microalgal blooms for fisheries and for the export of particulate organic carbon in oceans

Journal of Plankton Research, 1990, 12 (4): 681- 699

DOI:10.1093/plankt/12.4.681 [本文引用: 1]

[2]

Liu

X X

, Huang

Q D

The dynamics of a harvested predator-prey system with Holling type IV functional response

BioSystems, 2018, 169: 26- 39

[3]

Nosrati

, Shafiee

Dynamic analysis of fractional-order singular Holling type-Ⅱ predator-prey system

Applied Mathematics and Computation, 2017, 313: 159- 179

DOI:10.1016/j.amc.2017.05.067

[4]

Scheffer

Fish and nutrients interplay determines algal biomass: a minimal model

Oikos, 1991, 62: 271- 282

DOI:10.2307/3545491

[5]

Rihan

F A

, Anwar

M N

Qualitative analysis of delayed SIR epidemic model with a saturated incidence rate

International Journal of Differential Equations, 2012,

DOI:10.1155/2012/408637 [本文引用: 1]

[6]

Zhang

D X

, Sun

G X

, Zhao

L X

, Yan

Pattern formation and selection in a diffusive predator-prey system with ratio-dependent functional response

Acta Ecologica Sinica, 2017, 38 (5): 290- 297

[本文引用: 1]

[7]

Hillary

, Bees

Plankton lattices and the role of chaos in plankton patchiness

Physical Review E, 2004, 69 (3): 1- 11

[8]

Han

R J

, Dai

B X

Hopf bifurcation in a reaction-diffusive two-spcies model with nonlocal delay effect and general functional response

Chaos Solitons and Fractals, 2017, 96: 90- 109

DOI:10.1016/j.chaos.2016.12.022 [本文引用: 1]

[9]

Rihan

F A

Numerical modelling in biosciences using delay differential equations

Joural of Computational and Applied Mathematics, 2000, 125 (1/2): 183- 199

[本文引用: 1]

[10]

Zhang

D X

, Ding

W W

, Zhu

Existence of positive periodic solutions of competitor-competitor-mutualist Lotka-Volterra systems with infinite delays

Journal of Systems Science and Complexity, 2015, 28 (2): 316- 326

DOI:10.1007/s11424-015-3128-y

[11]

Rihan

F A

Sensitivity analysis of dynamic systems with time lags

Joural of Computational and Applied Mathematics, 2003, 151 (2): 445- 462

DOI:10.1016/S0377-0427(02)00659-3 [本文引用: 1]

[12]

Liao T C, Yu H G, Zhao M. Dynamics of delayed phytoplankton-zooplankton system with Crowley-Martin functional response. Advances in Difference Equations, 2017, 2017, Article number: 5

[本文引用: 1]

[13]

Crowley

P H

, Martin

E K

Functional response and interference within and between year classes of a dragonfly population

Journal of the North American Benthological Society, 1989, 8 (3): 211- 221

DOI:10.2307/1467324 [本文引用: 2]

[14]

Zhao

H Y

, Zhang

X B

, Huang

X X

Hopf bifurcation and spatial patterns of a delayed biological economic system with diffusion

Applied Mathematics and Computation, 2015, 266: 462- 480

DOI:10.1016/j.amc.2015.05.089 [本文引用: 1]

[15]

Battaglia

J L

, Cois

, Puigsegur

, Oustaloup

Solving an inverse heat conduction problem using a non-integer identified model

International Journal of Heat and Mass Transf, 2001, 44 (14): 2671- 2680

DOI:10.1016/S0017-9310(00)00310-0 [本文引用: 1]

[16]

Mainardi F. Fractional Calculus: Some Basic Problems in Continuum and Statistical Mechanics//Carpenteri A, Mainardi F. Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. Wien: Springer, 1997: 291-348

[本文引用: 1]

[17]

Hilfer

Applications of Fractional Calculus in Physics. Singapore: World Scientific, 2000

[本文引用: 1]

[18]

Tlacuahuac

A F

, Biegler

L T

Optimization of fractional order dynamic chemical processing systems

Industrial and Engineering Chemistry Research, 2014, 53 (13): 5110- 5127

DOI:10.1021/ie401317r [本文引用: 1]

[19]

Ahmed

, El-Sayed

A M A

, El-Saka

H A

Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models

Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2007, 325 (1): 542- 553

DOI:10.1016/j.jmaa.2006.01.087 [本文引用: 1]

[20]

Huang

C D

, Li

, Cao

J D

A novel strategy of bifurcation control for a delayed fractional predator-prey model

Applied Mathematics and Computation, 2019, 347: 808- 838

DOI:10.1016/j.amc.2018.11.031 [本文引用: 3]

[21]

Abdelouahab

M S

, Hamri

N E

, Wang

Hopf bifurcation and chaos in fractional-order modified hybrid optical system

Nonlinear Dynamics, 2011, 69 (1/2): 275- 284

[本文引用: 1]

[22]

Gutierrez-Vega

J C

Fractionalization of optical beams: I. Planar analysis

Optics Letters, 2007, 32 (11): 1521- 1523

DOI:10.1364/OL.32.001521

[23]

, Zhang

, Hu

Dynamic analysis of a fractional-order single-species model with diffusion

Nonlinear Analysis: Modelling and Control, 2017, 22 (3): 303- 316

DOI:10.15388/NA.2017.3.2 [本文引用: 1]

[24]

Gordon

The economic theory of a common property resource: The fishery

Journal of Political Economy, 1954, 62: 124- 142

DOI:10.1086/257497 [本文引用: 1]

[25]

Zhang

, Zhang

Bifurcations of a class of singular biological economic models

Chaos Solitons and Fractals, 2009, 40 (3): 1309- 1318

DOI:10.1016/j.chaos.2007.09.010 [本文引用: 2]

[26]

Zhang

, Zhang

Q Q

Bifurcation analysis and control of a differential-algebraic predator-prey model with Allee effect and time delay

Journal of Applied Mathematics, 2014,

DOI:10.1155/2014/107565

[27]

Zhang

, Zhu

, Chen

Hopf bifurcation and stability for a differential-algebraic biological economic system

Applied Mathematics and Computation, 2010, 217 (1): 330- 338

DOI:10.1016/j.amc.2010.05.065 [本文引用: 2]

[28]

El-Saka

H A A

, Lee

, Jang

Dynamic analysis of fractional-order predator-prey biological economic system with Holling type Ⅱ functional response

Nonlinear Dynamics, 2019, 96: 407- 416

DOI:10.1007/s11071-019-04796-y [本文引用: 1]

[29]

Nosrati

, Shafiee

Dynamic analysis of fractional-order singular Holling type-Ⅱ predator-prey system

Applied Mathematics and Computation, 2017, 313: 159- 179

DOI:10.1016/j.amc.2017.05.067 [本文引用: 1]

The significance of microalgal blooms for fisheries and for the export of particulate organic carbon in oceans

1990

... 由于环境的恶化和资源的短缺, 具有经济效益的生态模型的建模和分析越来越受到人们的关注, 其中最典型的模型是捕食-被捕食模型^[1-6]. 这些模型通常由差分方程、常微分方程或带有扩散的偏微分方程描述. 它们在稳定性、分岔、周期解和空间模式等方面表现出复杂和丰富的动力学特性^[5-8]. ...

The dynamics of a harvested predator-prey system with Holling type IV functional response

2018

Dynamic analysis of fractional-order singular Holling type-Ⅱ predator-prey system

2017

Fish and nutrients interplay determines algal biomass: a minimal model

1991

Qualitative analysis of delayed SIR epidemic model with a saturated incidence rate

2012

Pattern formation and selection in a diffusive predator-prey system with ratio-dependent functional response

2017

Plankton lattices and the role of chaos in plankton patchiness

2004

Hopf bifurcation in a reaction-diffusive two-spcies model with nonlocal delay effect and general functional response

2017

Numerical modelling in biosciences using delay differential equations

2000

... 众所周知, 捕食者和被捕食者之间的相互作用并不是瞬时发生的, 常伴有滞后效应, 比方资源再生时间、成熟期、反应时间、喂养时间和妊娠期, 常用时滞表示^[9-11]. Liao和Yu^[12]采用具有妊娠时滞的Crowley-Martin功能反应模型研究了海洋生态模型 ...

Existence of positive periodic solutions of competitor-competitor-mutualist Lotka-Volterra systems with infinite delays

2015

Sensitivity analysis of dynamic systems with time lags

2003

Functional response and interference within and between year classes of a dragonfly population

1989

... 系统(1.1)中的所有参数均假定为正常数, 具体生物学意义见表 1 (参见文献[13]). Liao和Yu指出, 时滞会改变正平衡点的稳定性. 赵洪涌等人^[14]研究了一类带有线性捕捞努力量的捕食-被捕食扩散系统, 结果表明时滞在生态模型的的动力学中具有失稳效应, 当时滞增加到一定的阈值时, 系统会出现Hopf分岔甚至混沌现象. ...

... 系统(1.1)相关变量和参数的意义

变量(参数)	意义
$P\left( t \right)$	浮游植物的密度
$Z\left( t \right)$	浮游动物的密度
$a$	浮游植物种内干扰系数
$b$	成熟捕食者的捕食率
$c$	反应时间
$d$	捕食者(浮游动物)之间的干扰程度
$e$	喂食率
$g$	转换效率
$h$	浮游动物的死亡率
$\tau$	时滞
$f\left( {P, Z} \right) = \frac{{P}}{{1 + cP + dZ + ePZ}}$	Crowley-Martin^[13] 功能反应

Hopf bifurcation and spatial patterns of a delayed biological economic system with diffusion

2015

Solving an inverse heat conduction problem using a non-integer identified model

2001

... 近几十年来, 分数阶微分方程在工程^[15]、力学^[16]、物理学^[17]、化学^[18]等许多领域都有了很大的发展. 与经典的整数微分方程模型相比, 大多数分数阶微分方程模型在描述过程的记忆和遗传特征方面具有许多优势^[19-20]. 此外, 由于分数阶导数的特殊性, 系统将产生丰富的动力学行为^[21-23]. 因此, 考虑系统(1.1)的分数阶导数是有必要的. ...

2000

Optimization of fractional order dynamic chemical processing systems

2014

Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models

2007

A novel strategy of bifurcation control for a delayed fractional predator-prey model

2019

... 注意到

${r\cos \theta \ge 0}$

, 有

${r^{{q_2}}}\cos \left( {\theta {q_2}} \right) \ge 0$

和

${a_{22}} + {b_{22}}{e^{ - r\tau\cos \theta }}\cos \left( {r\tau \sin \theta } \right) < 0$

. 这就产生了矛盾, 因此

$s$

有负实部. 根据文献[20, 引理1], 系统(1.2)的平衡点

$X_0$

是渐近稳定的. 证毕. ...

... 注意到

$a_{12} < 0$

$a_{13} < 0$

$b_{21} > 0$

$a_{22} + b_{22} < 0$

$a_{31} > 0$

$a_{33} > 0$

和

$({\rm H}_5)$

成立, 因此

${B_3} > 0, {B_2} > 0, {B_1} > 0$

成立. 那么

${\lambda _1} + {\lambda _2} < 0, {\lambda _1}{\lambda _2} > 0$

, 这表示

$\lambda _1, \lambda _2$

有负实部. 根据文献[20, 引理1], 当

$\tau = 0$

时, 系统(1.2)的平衡点

$X^* \left( {P^* , Z^* , E^* } \right)$

是局部渐近稳定的. 证毕. ...

Hopf bifurcation and chaos in fractional-order modified hybrid optical system

2011

Fractionalization of optical beams: I. Planar analysis

2007

Dynamic analysis of a fractional-order single-species model with diffusion

2017

The economic theory of a common property resource: The fishery

1954

... 在日常生活中, 经济效益和自然资源与每个人的生活息息相关. 1954年, Gordon提出了渔业自然资源利用的经济理论^[24]: 净经济收入=总收入-总成本. 依据此理论, 文献[25-27] 提出了一系列的带有经济效益的捕食-被捕食微分-代数系统, 分析了系统的动力学行为, 讨论了捕捞努力量对渔业生态系统的影响. ...

Bifurcations of a class of singular biological economic models

2009

... 本文亮点有: (1)将微分代数系统^[25-27]推广到多分数阶时滞微分-代数系统. (2)当生态经济处于平衡状态(

$m=0$

)时, 系统(1.2)的生态平衡点是局部渐近稳定的, 这与时滞无关. 然而, 在正生态经济(

$m>0$

)情况下, 系统(1.2)在正平衡点附近会产生极限环.(3)与仅考虑分数阶微分代数系统的文献[28, 29]的结果相比, 本文提出的系统(1.2)更能反应现实情况, 并且通过数值模拟得到的系统(1.2)的动力学行为更丰富. ...

Bifurcation analysis and control of a differential-algebraic predator-prey model with Allee effect and time delay

2014

Hopf bifurcation and stability for a differential-algebraic biological economic system

2010

... 本文亮点有: (1)将微分代数系统^[25-27]推广到多分数阶时滞微分-代数系统. (2)当生态经济处于平衡状态(

$m=0$

)时, 系统(1.2)的生态平衡点是局部渐近稳定的, 这与时滞无关. 然而, 在正生态经济(

$m>0$

Dynamic analysis of fractional-order predator-prey biological economic system with Holling type Ⅱ functional response

2019

... 本文亮点有: (1)将微分代数系统^[25-27]推广到多分数阶时滞微分-代数系统. (2)当生态经济处于平衡状态(

$m=0$

)时, 系统(1.2)的生态平衡点是局部渐近稳定的, 这与时滞无关. 然而, 在正生态经济(

$m>0$

Dynamic analysis of fractional-order singular Holling type-Ⅱ predator-prey system

2017

... 本文亮点有: (1)将微分代数系统^[25-27]推广到多分数阶时滞微分-代数系统. (2)当生态经济处于平衡状态(

$m=0$

)时, 系统(1.2)的生态平衡点是局部渐近稳定的, 这与时滞无关. 然而, 在正生态经济(

$m>0$

〈

〉