令$ I:=[a, b]\subset{{\Bbb R}} $为一个紧区间.给定一个连续函数$ F:I\to I $, 如果存在一个连续函数$ f:I\to I $使得

(1.1) $ \begin{equation} f^n(x)=F(x), \; \; \; \; \; \forall x\in I, \end{equation} $

其中$ n>1 $是一个整数, $ f^n $是$ f $的$ n $次迭代, 归纳地定义为对所有$ x\in I $有$ f^n(x):=f(f^{n-1}(x)) $, $ f^0(x):=x $, 则我们称$ f $是$ F $的一个$ n $阶连续迭代根.

在动力系统理论中, 嵌入流是一个非常重要的问题, 是连接离散动力系统和连续动力系统的桥梁^{[2-4, 12, 14, 15]}.作为嵌入流的一个弱形式, 迭代根特别是一维情形得到了广泛研究, 参见文献[1, 5, 9, 11, 13, 16].

众所周知, 紧区间上连续单调函数的迭代根已经有丰富的结果^{[6, 7]}.自上个世纪80年代开始^{[16, 17]}, 有限个非单调点的非单调函数也受到关注.一个连续自映射$ F:I\to I $被称为逐段单调连续函数(简称PM函数)如果$ F $只有有限多个非单调点, 记为$ \{c_i\}_{i=1}^{v} $满足

$ c_0:=a<c_1<c_2<\cdots<c_v<c_{v+1}:=b. $

显然, 对任意$ 0\le i\le v $, $ F $在每一个子区间$ [c_i, c_{i+1}] $上严格单调, 这样的一个子区间$ [c_i, c_{i+1}] $称为$ F $的一个单调区间.令$ N(F) $为$ F $的非单调点个数.由文献[16, 17]可知, 序列$ \{N(F^i)\}_{i\in {\Bbb N}} $是不减少的, 即

$ 0=N(F^0)\le N(F)\le N(F^2)\le \cdots \le N(F^n)\le \cdots. $

进一步, 如果$ N(F^{i_0})=N(F^{i_0+1}) $对某个$ i_0\ge0 $成立, 则$ N(F^{i_0})=N(F^{i_0+j}) $对所有$ j\ge1 $都成立.其中, 使得$ N(F^{i_0})=N(F^{i_0+1}) $成立的最小的$ i_0\in {\Bbb N} $被称为$ F $的非单调高度$ H(F) $ (简称高度).如果这样的$ {i_0} $不存在, 我们称$ H(F)=\infty $.我们记由所有PM函数构成的集合为$ {\cal PM}(I, I) $.可以证明如果存在一个$ F $的单调区间包含$ F $的值域当且仅当$ H(F) =1 $, 这样的单调区间被称为$ F $的特征区间, 记为$ K(F) $.关于高度为1 PM函数连续迭代根的一个重要结果如下.

定理A^{[17, 定理4]}  令$ F\in {\cal PM}(I, I) $的高度为1.设

(K$ ^+ $) $ F $在特征区间$ K(F):=[a', b'] $上严格单调递增;

(K$ ^+_0 $) $ F $在$ I $上不能取到$ a' $和$ b' $除非$ F(a')=a' $或$ F(b')=b' $.

则对任意整数$ n>1 $, $ F $有$ n $阶连续迭代根.反之, 当$ n>N(F)+1 $, 条件(K$ ^+ $), (K$ ^+_0 $)是必要的.

这个定理反之部分蕴含一个公开问题^{[16, 17]}:如果条件(K$ ^+_0 $) (称为特征端点条件)不满足, 高度为1的PM函数$ F $有阶数$ \leq N(F)+1 $的连续迭代根吗?此公开问题在很多情形下被本文的第二个作者和张伟年教授^[10]解决了.他们考虑了该问题连续迭代根的存在性和不存在性, 结果展示在表 1中.

由于迭代运算的复杂性, 本文只针对$ n=2 $的情形研究上述公开问题.根据文献[9, 引理2], 我们只需要考虑$ H(f)=n=2 $的情形.并且, $ F $非单调点的个数$ N(F) $必须大于$ 2 $.事实上, 当$ N(F)=1 $时, 若$ F $有一个$ 2 $阶的连续迭代根, 我们得到$ N(F)=N(f^2)>N(f)\ge 1 $, 推出$ N(F)\ge 2 $, 与$ N(F)=1 $矛盾.如表 1所示, 情形$ N(F)=n=2 $已经完全被解决.因此, 我们的研究的情形是$ H(f)=n=2<N(F) $, 该情形在文献[10]中并没有被考虑.

本文的组织如下.在第2节中, 我们给出一个充分条件使得$ F $存在特征区间上严格递增的连续迭代根, 也得到一个充分条件使得$ F $存在特征区间上严格递减的连续迭代根.第3节我们给出一些辅助的引理.最后, 我们在第4节证明我们的主要定理.

当$ F $在特征区间$ [a', b'] $上严格递增时, 它的连续迭代根有两种可能:在$ [a', b'] $上严格递增和在$ [a', b'] $上严格递减.我们将分别在下面两个子节中讨论这两类迭代根(高度和阶数都为2).我们在本节中只给出定理表述并将其证明留在第4节.

下面的定理2.1处理的情形是$ F $的特征区间是第一个单调区间, 即, $ K(F)=[c_0, c_1] $.

定理2.1  设$ F\in {\cal PM}(I, I) $, $ H(F)=1 $, $ K(F)=[c_0, c_1] $, 并且条件(K$ ^+ $)成立.设$ F(c_3)= \max_{x\in[c_0, c_u]}F(x) $, 其中$ c_u\in \{c_4, c_5, \cdots , c_{v+1}\} $是最小的点使得$ F(c_u)=c_0 $, 并且$ F $满足(2.1)–(2.3)式的其中一个条件

(2.1) $ \begin{eqnarray} F(c_2)=c_0=F(c_0), \; \; \; \; \; &F(c_1)<F(c_3)<c_1=M, \end{eqnarray} $

(2.2) $ \begin{eqnarray} c_0<F(c_2)<F(c_0), \; \; \; \; \; &F(c_3)=c_1=F(c_1), \end{eqnarray} $

(2.3) $ \begin{eqnarray} c_0<F(c_2)<F(c_0), \; \; \; \; \; &F(c_1)<F(c_3)<c_1, \end{eqnarray} $

这里$ M=\max_{x\in I} F(x) $.则$ F $有一个高度为$ 2 $, 且在$ [c_0, c_1] $上严格递增的$ 2 $阶连续迭代根.

显然, 满足(2.1)–(2.3)式中任一条件, 且对$ c_u\in \{c_4, c_5, \cdots , c_{v+1}\} $, 满足$ F(c_u)=c_0 $的$ F $不满足条件(K$ ^+_0 $).为了阐述定理2.1中的条件, 我们给出下列例子(见图 1).从图 1中, 很容易看到$ F\in {\cal PM}(I, I) $, $ H(F)=1 $, $ K(F)=[c_0, c_1] $, 并且$ F $在$ [c_0, c_1] $上严格递增.并且, $ F $满足条件(2.3)且$ c_6 $是$ \{c_4, c_5, \cdots , c_8\} $中最小点使得$ F(c_6)=c_0 $.此外, $ F(c_3)=\max F|_{[c_0, c_6]} $.因此, 图 1中的$ F $满足定理2.1的条件.

当$ F $的特征区间是最后一个单调区间时, 即, $ K(F)=[c_v, c_{v+1}] $, 通过一个坐标变换$ \varphi(x)=-x+a+b $, 我们得到一个变换之后的映射$ G:=\varphi^{-1}\circ F\circ \varphi. $显然, $ G\in{\cal PM}(I, I) $, $ H(G)=1 $, $ G $的特征区间是$ G $的第一个单调区间.因此, 根据定理2.1, 通过在$ G $上加对应的条件, 函数$ G $有一个高度为2, 且在特征区间上严格递增的2阶连续迭代根$ g $.则$ H(\varphi\circ g\circ \varphi^{-1})=2 $, 函数$ \varphi\circ g\circ \varphi^{-1} $在$ [c_v, c_{v+1}] $上严格递增且是$ F $的一个2阶迭代根.

下面, 我们考虑$ F $的特征区间既不是第一个单调区间也不是最后一个单调区间的情形, 即, $ K(F)=[c_k, c_{k+1}] $, 其中$ 1\le k\le v-1 $.

定理2.2  设$ F\in{\cal PM}(I, I) $, $ H(F)=1 $, $ K(F)=[c_k, c_{k+1}] $满足条件(K$ ^+ $)但(K$ ^+_0 $) 不成立, 其中$ 1\le k\le v-1 $.设$ F $满足(2.4)–(2.6)式其中一个条件

(2.4) $ \begin{eqnarray} & &c_k<F(c_{k+2})<F(c_k), \; \; \; F(c_{k-1})=c_{k+1}=F(c_{k+1}), \end{eqnarray} $

(2.5) $ \begin{eqnarray} & &c_k=F(c_k)=F(c_{k+2}), \; \; \; F(c_{k+1})<F(c_{k-1})<c_{k+1}, \end{eqnarray} $

(2.6) $ \begin{eqnarray} & &c_k<F(c_{k+2})<F(c_k), \; \; \; F(c_{k+1})<F(c_{k-1})<c_{k+1}. \end{eqnarray} $

进一步假设存在非单调点

(2.7) $ \begin{equation} c_{\ell_0}:=c_{k-1}>c_{\ell_1}>c_{\ell_2}>\cdots>c_{\ell_s}> c_{\ell_{s+1}}:=c_0 \end{equation} $

使得

(2.8) $ \begin{equation} F(c_{\ell_j})=\left\{\begin{array}{ll} F(c_{k-1}), \; \; \; &\mbox{对}\; \; \; j\equiv 0 \; \mbox{或}\; 1( {\rm mod}\, 4), \\ F(c_{k+2}), \; \; \; &\mbox{对}\; \; \; j\equiv 2 \; \mbox{或}\; 3( {\rm mod}\, 4), \end{array}\right. \end{equation} $

并且除去$ j=s+1 $, 有

(2.9) $ \begin{eqnarray} && \max\limits_{x\in [c_{\ell_{j+1}}, c_{\ell_j}]} F(x) =F(c_{k-1}), \; \; \mbox{对}\; \; j\equiv 0, 1 \; \mbox{或}\; 3( {\rm mod}\, 4), \end{eqnarray} $

(2.10) $ \begin{eqnarray} && \max\limits_{x\in [c_{\ell_{j+1}}, c_{\ell_j}]} F(x)=F(c_{k+2}), \; \; \mbox{对}\; \; j\equiv 1, 2 \; \mbox{或}\; 3( {\rm mod}\, 4) \end{eqnarray} $

和非单调点

(2.11) $ \begin{equation} c_{r_0}:=c_{k+2}<c_{r_1}<c_{r_2}<\cdots<c_{r_t}<c_{r_{t+1}}:=c_{n+1}, \end{equation} $

使得

(2.12) $ \begin{equation} F(c_{r_j})=\left\{\begin{array}{ll} F(c_{k+2}), \; \; \; &\mbox{对}\; \; \; j\equiv 0 \; \mbox{或}\; 1( {\rm mod}\, 4), \\ F(c_{k-1}), \; \; \; &\mbox{对}\; \; \; j\equiv 2 \; \mbox{或}\; 3( {\rm mod}\, 4), \end{array}\right. \end{equation} $

并且除去$ j=t+1 $, 有

(2.13) $ \begin{eqnarray} & &\min\limits_{x\in [c_{r_j}, c_{r_{j+1}}]} F(x)=F(c_{k+2}), \; \; \mbox{对}\; \; j\equiv0, 1 \; \mbox{或}\; 3( {\rm mod}\, 4), \end{eqnarray} $

(2.14) $ \begin{eqnarray} && \min\limits_{x\in [c_{r_j}, c_{r_{j+1}}]} F(x)=F(c_{k-1}), \; \; \mbox{对}\; \; j\equiv1, 2\; \mbox{或}\; 3( {\rm mod}\, 4), \end{eqnarray} $

则$ F $有一个高度为$ 2 $, 且在$ [c_k, c_{k+1}] $上严格递增的$ 2 $阶连续迭代根.

为了阐述定理2.2的条件, 我们给出下列例子(见图 2).从图 2中, 我们可以验证$ F\in{\cal PM}(I, I), H(F)=1, K(F)=[c_7, c_8] $, $ F $在区间$ [c_7, c_8] $上严格递增.因为$ F(c_5)=F(c_{15})=c_7<F(c_7) $, $ F(c_2)=F(c_{10})=c_8>F(c_8) $, 我们可知$ F $不满足特征端点条件.此外, 很容易验证$ F $满足(2.6)式并且存在非单调点

$ c_{\ell_0}:=c_6>c_{\ell_1}:=c_4>c_{\ell_2}:=c_3>c_{\ell_3}:=c_1> c_{\ell_4}:=c_0 $

使得$ F(c_4)=F(c_6), F(c_1)=F(c_3)=F(c_9) $, 并且

$ \max\limits_{x\in [c_0, c_1]} F(x)=\max\limits_{x\in [c_3, c_4]} F(x)=\max\limits_{x\in [c_4, c_6]} F(x)=F(c_6), $

$ \min\limits_{x\in [c_0, c_1]} F(x)=\min\limits_{x\in [c_1, c_3]} F(x)=\min\limits_{x\in [c_3, c_4]} F(x)=F(c_9) $

和非单调点

$ c_{r_0}:=c_9<c_{r_1}:=c_{11}<c_{r_2}:=c_{14}<c_{r_3}:=c_{16}<c_{r_4}:=c_{17}<c_{r_5}:=c_{19} $

使得$ F(c_9)=F(c_{11})=F(c_{17}), F(c_6)=F(c_{14})=F(c_{16}) $, 并且

$ \min\limits_{x\in[c_9, c_{11}]} F(x)=\min\limits_{x\in[c_{11}, c_{14}] }F(x)=\min\limits_{x\in[c_{16}, c_{17}]} F(x)=\min\limits_{x\in[c_{17}, c_{19}]} F(x)=F(c_9), $

$ \max\limits_{x\in[c_{11}, c_{14}]} F(x)=\max\limits_{x\in[c_{14}, c_{16}]} F(x)=\max\limits_{x\in[c_{16}, c_{17}]} F(x)=F(c_6). $

以上讨论表明图 2中的$ F $满足定理2.2的条件.

在给出本子节主要结果之前, 我们引入反序对应的概念^{[6, 11]}.

定义2.1  令$ [\alpha, \beta]\subset{{\Bbb R}} $是一个紧区间.一个严格递增连续函数$ \phi:[\alpha, \beta]\to[\alpha, \beta] $被称为是反序对应的如果

(ⅰ)存在一个$ \xi\in {\rm Fix}\phi $和一个严格递减映射$ \omega: $$ {\rm Fix}\phi\to {\rm Fix}\phi $满足$ \omega(\xi)=\xi $, 其中$ {\rm Fix}\phi $表示由$ \phi $的所有不动点组成的集合,

(ⅱ) $ \alpha $和$ \beta $同时属于或同时不属于$ {\rm Fix}\phi $,

(ⅲ)对任意一对相邻的不动点$ \xi_1 $和$ \xi_2 $满足$ \xi_1<\xi_2\le \xi $, 我们有$ (\phi(x)-x)(\phi(y)-y)<0 $对$ \forall (x, y)\in(\xi_1, \xi_2)\times(\omega(\xi_2), \omega(\xi_1)) $成立.

与特征区间上递增的迭代根讨论一样, 我们先考虑特征区间为第一个单调区间的情形, 即$ K(F)=[c_0, c_1] $.

定理2.3  设$ F\in {\cal PM}(I, I) $, $ H(F)=1 $, $ K(F)=[c_0, c_1] $且条件 (K$ ^+ $)成立.设$ F $在$ [c_0, c_1] $上是反序对应的且满足

(2.15) $ \begin{equation} F(c_0)>c_0, \; \; \; F(c_1)<c_1, \; \; \; F(c_2)=c_0, \end{equation} $

则$ F $有一个高度为$ 2 $, 且在$ [c_0, c_1] $上严格递减的$ 2 $阶连续迭代根.

根据条件(2.15), 很容易验证定理2.3中的$ F $不满足(K$ ^+_0 $).我们也给一个满足定理2.3条件的函数(见图 3).

类似地, 当最后一个单调区间$ [c_v, c_{v+1}] $是$ F $的特征区间时, 通过坐标变换$ \varphi(x)=-x+a+b $, 定理2.3可以应用到函数$ G:=\varphi^{-1}\circ F\circ \varphi $, 这里$ G $的特征区间为第一个单调区间, 则我们可以通过$ G $的迭代根讨论$ F $的迭代根.

下面, 我们考虑$ K(F)=[c_k, c_{k+1}] $的情形, 其中$ 1\le k\le v-1 $.

定理2.4  设$ F\in{\cal PM}(I, I) $, $ H(F)=1 $, $ K(F)=[c_k, c_{k+1}] $, 条件 (K$ ^+ $) 成立但(K$ ^+_0 $)不成立, 其中$ 1\le k\le v-1 $.设$ F $在$ [c_k, c_{k+1}] $上是反序对应的, 并且满足(2.16)–(2.18)式中任意一个条件

(2.16) $ \begin{eqnarray} && c_k=F(c_{k+2})<F(c_k)<F(c_{k+1})=F(c_{k-1})<c_{k+1}, \end{eqnarray} $

(2.17) $ \begin{eqnarray} && c_k<F(c_{k+2})<F(c_k)<F(c_{k+1})<F(c_{k-1})<c_{k+1}, \end{eqnarray} $

(2.18) $ \begin{eqnarray} && c_k<F(c_{k+2})=F(c_k)<F(c_{k+1})<F(c_{k-1})=c_{k+1}. \end{eqnarray} $

如果定理$ 2.2 $中的条件(2.7)–(2.14)也成立, 则$ F $有一个高度为$ 2 $, 且在$ [c_0, c_1] $上严格递减的$ 2 $阶连续迭代根.

我们可以验证图 2中的函数$ F $也满足定理2.4的条件.事实上, 从图 2中, 我们看到$ F(c_7)>c_7 $, $ F(c_8)<c_8 $, $ F $在$ [c_7, c_8] $上有且仅有一个不动点, 蕴含着$ F|_{[c_7, c_8]} $在$ [c_7, c_8] $上是反序对应的.此外, 注意到$ F(c_9)<F(c_7)<F(c_8)<F(c_6) $, 即, $ F $满足条件(2.17).最后, 如定理2.2后的讨论, $ F $满足条件(2.7)–(2.14).

在本节中, 我们给出一些将在第4节有用的引理.

引理3.1  令$ \Phi:[\alpha, \beta]\to[\alpha, \beta] $是一个连续严格递增函数, 其中$ \alpha, \beta\in {{\Bbb R}} $.若$ \Phi(x)> x $ (分别地$ \Phi(x)< x) $对所有的$ x\in [\alpha, \beta) $ (分别地$ x\in (\alpha, \beta]) $都成立, 则, 对任意$ x_*\in(\alpha, \Phi(\alpha)) $ (分别地$ y_*\in(\Phi(\beta), \beta)) $, 函数$ \Phi $有一个满足$ \varphi(\alpha)=x_* $ (分别地$ \varphi(\beta)=y_*) $的$ 2 $阶连续严格递增迭代根$ \varphi $.

证  由于情形$ \Phi(x)< x $的证明是类似的, 我们只证明$ \Phi(x)> x $的情形.令$ x_0:=\alpha $, $ x_1:=x_* $, 且对任意$ i\ge 1 $令$ \Phi^i(x_0)=x_{2i} $, $ \Phi^i(x_1)=x_{2i+1} $.因为$ \Phi $严格递增且当$ x\in[\alpha, \beta) $时$ \Phi(x)>x $, 序列$ \{x_i\}_{i\ge0} $也是严格递增的.注意到$ \Phi $是连续的, 从而$ \Phi(\beta)=\beta $, 从中得到$ x_i\to \beta $当$ i\to +\infty $.固定一个严格递增且连续的双射$ \varphi_0:[x_0, x_1] \to [x_1, x_2] $.则$ \varphi_0 $可以唯一地延拓为$ \Phi $在$ [\alpha, \beta] $上的$ 2 $阶连续且严格递增的迭代根$ \varphi $.事实上, 这里的$ 2 $阶迭代根$ \varphi:[\alpha, \beta]\to [\alpha, \beta] $可以定义为

$ \begin{eqnarray*} \varphi(x):=\left\{\begin{array}{ll} \varphi_i(x), \; \; \; &x\in [x_i, x_{i+1}], \; i\ge0, \\ \beta, \; \; \; &x=\beta, \end{array}\right. \end{eqnarray*} $

其中$ \varphi_i: [x_i, x_{i+1}]\to [x_{i+1}, x_{i+2}] $由$ \varphi_i(x):=\Phi\circ \varphi_{i-1}^{-1}(x), $当$ x\in[x_i, x_{i+1}], \; i\ge1, $归纳地定义.

引理3.2  令$ \Phi:[\alpha, \beta]\cup[\eta, \xi] \to [\alpha, \beta]\cup[\eta, \xi] $是一个连续严格递增的函数, 其中$ \alpha, \beta, \eta, $$ \xi\in {{\Bbb R}} $, $ \beta\le\eta $.设$ \Phi(\alpha)>\alpha, \Phi(\beta)=\beta, \Phi(\eta)=\eta $, $ \Phi(\xi)<\xi $.则对任意$ (x_*, y_*)\in \{ (\Phi(\alpha), \xi)\}\cup (\alpha, \Phi(\alpha)) \times (\Phi(\xi), \xi) \cup \{(\alpha, \Phi(\xi)) \} $, 函数$ \Phi $有一个满足$ \varphi(\alpha)=y_* $, $ \varphi(\beta)=\eta $, $ \varphi(\xi) =x_* $的$ 2 $阶连续严格递减迭代根.

证  我们仅证明$ (x_*, y_*)\in(\alpha, \Phi(\alpha)) \times (\Phi(\xi), \xi) $的情形因为余下情形的证明类似.固定一个连续严格递减且满足

(3.1) $ \begin{equation} \varphi_0(\alpha)=y_*, \; \; \; \varphi_0(\Phi(\alpha))=\Phi(y_*) , \; \; \; \varphi_0(x_*)=\Phi(\xi) \end{equation} $

的函数$ \varphi_0:[\alpha, \Phi(\alpha)]\to[\Phi(y_*), y_*] $.显然, $ \varphi_0 $是良定义的因为$ x_*\in (\alpha, \Phi(\alpha)) $, $ \Phi(\xi)\in (\Phi(y_*), y_*) $.由文献[7, 定理5.3.1]可知, 函数$ \varphi_0 $可以被延拓为方程

(3.2) $ \begin{equation} \widehat{\varphi}(\Phi(x))=\Phi(\widehat{\varphi}(x)), \; \; \; x\in [\alpha, \beta] \end{equation} $

的一个连续严格递减解$ \widehat{\varphi}:[\alpha, \beta]\to[\eta, y_*] $且满足$ \widehat{\varphi}(\beta)=\eta $.为了使证明更具可读性, 我们接下来给出延拓的细节.对每个$ x\in[\Phi^i(\alpha), \Phi^{i+1}(\alpha)] $, $ i\ge1 $, 定义

(3.3) $ \begin{equation} \varphi_i(x):=\Phi^i\circ \varphi_0\circ \Phi^{-i}(x). \end{equation} $

显然, 对所有$ i\ge1 $, $ \varphi_i $是连续严格递减的.由(3.1)式, 我们可以验证对所有$ i\ge1 $, $ \varphi_i(\Phi^i(\alpha))=\Phi^i(y_*) $, $ \varphi_i(\Phi^{i+1}(\alpha))=\Phi^{i+1}(y_*) $.因此, 函数

(3.4) $ \begin{equation} \widehat{\varphi}(x):= \left\{\begin{array}{ll} \varphi_i(x), \; \; \; & x\in [\Phi^i(\alpha), \Phi^{i+1}(\alpha)], \; i\ge1, \\ \eta, \; \; \; &x=\beta \end{array}\right. \end{equation} $

是良定义的, 且在$ [\alpha, \beta] $上连续.注意到对每个$ x\in[\alpha, \beta) $, 存在一个整数$ i $, 使得$ x\in[\Phi^i(\alpha), \Phi^{i+1}(\alpha)] $, 且

$ \begin{eqnarray*} \widehat{\varphi}(\Phi(x)) = \varphi_{i+1}(\Phi(x))=\Phi^{i+1}\circ \varphi_0\circ \Phi^{-i-1}(\Phi(x))=\Phi(\Phi^i\circ \varphi_0\circ \Phi^{-i}(x))=\Phi(\widehat{\varphi}(x)). \end{eqnarray*} $

另外, $ \widehat{\varphi}(\Phi(\beta))=\widehat{\varphi}(\beta)=\eta=\Phi(\widehat{\varphi}(\beta)) $.这就证明了由(3.4)式定义的$ \widehat{\varphi} $是方程(3.2)的一个连续严格递减解.

现在, 我们定义一个本引理希望得到的函数.令

(3.5) $ \begin{equation} \varphi(x):=\left\{\begin{array}{ll} \widehat{\varphi}(x), \; \; \; &x\in [\alpha, \beta], \\ \widehat{\varphi}^{-1}\circ \Phi(x), \; \; \; &x\in [\eta, \xi]. \end{array}\right. \end{equation} $

显然, $ \widehat{\varphi}^{-1}\circ \Phi $是一个从$ [\eta, \xi] $到$ [x_*, \beta] $的连续严格递减函数.对每个$ x\in[\alpha, \beta] $, 由(3.2)和(3.5)式, 我们有$ \varphi^2(x)=\widehat{\varphi}^{-1}\circ \Phi\circ \widehat{\varphi}(x) =\widehat{\varphi}^{-1}\circ\widehat{\varphi}\circ \Phi(x)=\Phi(x) $.对每个$ x\in[\eta, \xi] $, 由(3.5)式, 我们有$ \varphi^2(x)=\widehat{\varphi}\circ\widehat{\varphi}^{-1}\circ \Phi(x)=\Phi(x) $.这证明了由(3.5)式定义的$ \varphi $是$ \Phi $的一个$ 2 $阶连续递减迭代根.根据(3.5), (3.4)和(3.1)式的第一个等式, 我们有$ \varphi(\alpha)=y_* $且$ \varphi(\beta)=\eta $.进一步地, 由(3.1)式的第三个等式, 我们得到$ \varphi(\xi)=\widehat{\varphi}^{-1}\circ \Phi(\xi)=\varphi_0^{-1}\circ \Phi(\xi)=x_*. $证毕.

引理3.3^{[8, 引理3.1]}  令$ F\in{\cal PM}(I, I) $且$ H(F)=m\in (0, +\infty) $.则$ m $是满足$ F^m(I) \subset K(F^m) $的最小正整数, 其中$ K(F^m) $表示$ F^m $的特征区间.

本节我们将分别证明第2节中的定理2.1–2.4.

定理2.1的证明  第一步  在$ [c_0, c_1] $上构造$ F $的一个连续且严格递增的两次迭代根.

在条件(2.1), (2.2) (或(2.3))下, 根据文献[6, 定理15.7]和引理3.1, 我们可以构造一个连续且严格递增的函数$ f_0:[c_0, c_1]\to[c_0, c_1] $满足

(4.1) $ \begin{equation} f_0(c_0)=F(c_2), \; \; \; \; \; f_0(c_1)=F(c_3), \end{equation} $

并且对所有$ x\in [c_0, c_1] $有$ f_0^2(x)=F(x) $.

第二步  在每个区间$ [c_i, c_{i+1}] $, $ 1\le i\le n $上定义一个函数$ f_i $.

对所有$ i=1, 2, $定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to [c_0, c_1] $为

(4.2) $ \begin{equation} f_i(x):=f_0^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in[c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

根据(4.1)式和$ F(c_3)>F(c_1) $, 可以验证$ F([c_i, c_{i+1}])(i=1, 2) $包含在$ f_0 $的值域内, 这意味着所有$ f_i (i=1, 2) $是良定义的.显然, $ f_1 $和$ f_2 $在各自定义域内连续且严格单调.另外, 根据(4.1)式我们有

(4.3) $ \begin{eqnarray} &f_1(c_1)=f_0^{-1}\circ F(c_1)=f_0^{-1}\circ f_0^2(c_1)=f_0(c_1), \end{eqnarray} $

(4.4) $ \begin{eqnarray} &f_1(c_2) =f_2(c_2)= f_0^{-1}\circ F(c_2)= c_0, \end{eqnarray} $

(4.5) $ \begin{eqnarray} &f_2(c_3)=f_0^{-1}\circ F(c_3)=c_1. \end{eqnarray} $

对于$ 3\le i\le u-1 $, 定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to [c_1, c_2] $为

(4.6) $ \begin{equation} f_i(x):=f_1^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in[c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

因为$ F(c_3)=\max F|_{[c_0, c_u]} $, 根据(4.1), (4.3)–(4.4)式, 我们得到$ F([c_i, c_{i+1}])\subseteq [c_0, F(c_3)]=[f_1(c_2), f_1(c_1)] $对所有$ i=3, \cdots, u-1 $成立, 这也表明$ F([c_i, c_{i+1}]) $, $ i=3, \cdots, u-1 $包含在$ f_1 $的值域内.因此, $ f_i $, $ i=3, \cdots, u-1 $的定义也是良性的.对于$ u\le i\le n $, 定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to [c_2, c_3] $为

(4.7) $ \begin{equation} f_i(x):=f_2^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in[c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

因为$ H(F)=1 $且$ K(F)=[c_0, c_1] $, 我们得到$ F(I)\subseteq [c_0, c_1] $.特别地, $ F([c_i, c_{i+1}])\subset[c_0, c_1] $对所有$ u\le i\le n $成立.根据(4.4)–(4.5)式, 我们可知$ f_2 $的值域是$ [c_0, c_1] $.因此, $ F([c_i, c_{i+1}]) $包含在$ f_2 $的值域里.这也意味着对每一个$ u\le i\le n $, (4.7)式中定义的$ f_i $都是良性的.

第三步  连接这些$ f_i(0\le i\le n) $, 我们得到定理2.1中所需的两次连续迭代根.

对于$ i=0, \cdots, n $, 令$ f: I \to I $为$ f(x):=f_i(x) $, $ \forall x\in [c_i, c_{i+1}] $.我们断言$ f $是$ F $的两次连续迭代根, 并且$ f $在$ [c_0, c_1] $上严格递增满足$ H(f)=2 $.事实上, 容易验证所有$ f_i $, $ i=0, \cdots, n $在其定义域上连续.根据(4.1), (4.3), (4.5)–(4.7)式我们有

$ f_3(c_3)=f_1^{-1}\circ F(c_3)=f_1^{-1}\circ f_0(c_1)=f_1^{-1}\circ f_1(c_1)=c_1=f_2(c_3), $

$ f_i(c_{i+1})=f_1^{-1}\circ F(c_{i+1})=f_{i+1}(c_{i+1}), \; \; 3\le i\le u-2, $

$ f_{u-1}(c_u) =f_1^{-1}\circ F(c_u)=f_1^{-1}(c_0)=c_2=f_2^{-1}(c_0)=f_2^{-1}\circ F(c_u)=f_u(c_u), $

$ f_i(c_{i+1})=f_2^{-1}\circ F(c_{i+1})=f_{i+1}(c_{i+1}), \; \; u\le i\le n. $

由(4.3)–(4.4)式, 我们可知$ f $在$ I $上连续.另一方面, 显然$ f^2(x)=F(x) $对所有$ x\in[c_0, c_1] $成立.那么根据(4.2)式, 我们有

$ f^2(x) = f\circ f_0^{-1}\circ F(x)=f_0\circ f_0^{-1}\circ F(x)=F(x), \; \; \forall x\in[c_1, c_3]. $

再利用(4.6)式, 我们有

$ f^2(x) = f\circ f_1^{-1}\circ F(x)=f_1\circ f_1^{-1}\circ F(x)=F(x), \; \; \forall x\in[c_3, c_u]. $

最后由(4.7)式, 我们进一步得到

$ f^2(x) = f\circ f_2^{-1}\circ F(x)=f_2\circ f_2^{-1}\circ F(x)=F(x), \; \; \forall x\in[c_u, c_{n+1}]. $

上述的讨论表明$ f $是$ F $的两次迭代根.另外, $ f=f_0 $在$ [c_0, c_1] $上严格递增.最后, 注意到$ f([c_i, c_{i+1}])\subset [c_0, c_1] $对所有$ i=1, 2 $成立, $ f([c_i, c_{i+1}])\subset [c_1, c_2] $对所有$ i=3, \cdots, u-1 $成立, 并且$ f([c_i, c_{i+1}])\subset [c_2, c_3] $对所有$ i=u, \cdots, n $成立, 我们得到$ f(I)\not\subset[c_0, c_1] $但是$ f^2(I)\subset[c_0, c_1] $.根据引理3.3, 这说明$ H(f)=2 $.

定理2.2的证明  第一步  在$ [c_k, c_{k+1}] $上构造$ F $的一个连续且严格递增的两次迭代根.

在条件(2.4), (2.5) (或者(2.6))下, 根据[6, 定理15.7]和引理3.1, 我们可以找到一个连续且严格递增的函数$ f_k:[c_k, c_{k+1}]\to [c_k, c_{k+1}] $满足

(4.8) $ \begin{equation} f_k(c_k)=F(c_{k+2}), \; \; \; \; \; f_k(c_{k+1})=F(c_{k-1}), \end{equation} $

并且对所有$ x\in[c_k, c_{k+1}] $有$ f_k^2(x)=F(x) $.

第二步  在区间$ [c_{k-1}, c_k] $和$ [c_{k+1}, c_{k+2}] $上分别定义一个函数.

对于$ i=k-1, k+1 $, 我们定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to [c_k, c_{k+1}] $为

(4.9) $ \begin{equation} f_i(x):=f_k^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; \; x\in [c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

注意到$ F(c_k)=F(c_{k+2})\ge f_k(c_k) $并且$ F(c_{k+1})=F(c_{k-1})\le f_k(c_{k+1}) $.根据(4.8)式, 并且$ F $在所有区间$ [c_i, c_{i+1}] $, $ i=k-1, k+1 $上单调的事实, 我们可知$ F([c_i, c_{i+1}]) $ ($ i=k-1, k+1 $)包含在$ f_k $的值域里.这意味着(4.9)式中定义的$ f_i $是良性的.由于$ f_k $递增且$ F|_{[c_i, c_{i+1}]} $ ($ i=k-1, k+1 $)递减, 我们得到$ f_i $ ($ i=k-1, k+1 $)也递减.显然, $ f_i $ ($ i=k-1, k+1 $)都连续.进一步, 根据(4.8)–(4.9)式, 我们有

(4.10) $ \begin{eqnarray} &f_{k-1}(c_{k-1})=f_k^{-1}\circ F(c_{k-1})=c_{k+1}, \end{eqnarray} $

(4.11) $ \begin{eqnarray} &f_{k-1}(c_k)=f_k^{-1}\circ F(c_k)=f_k^{-1}\circ f_k^2(c_k)=f_k(c_k), \end{eqnarray} $

(4.12) $ \begin{eqnarray} &f_{k+1}(c_{k+1})=f_k^{-1}\circ F(c_{k+1})=f_k^{-1}\circ f_k^2(c_{k+1})=f_k(c_{k+1}), \end{eqnarray} $

(4.13) $ \begin{eqnarray} &f_{k+1}(c_{k+2})=f_k^{-1}\circ F(c_{k+2})=c_k. \end{eqnarray} $

第三步  定义区间$ [c_0, c_{k-1}] $上的函数.

对于$ \ell_{j+1}\le i\le \ell_j-1 $满足$ j\equiv 0( {\rm mod}\, 4) $, 我们定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to[c_{k+1}, c_{k+2}] $为

(4.14) $ \begin{equation} f_i(x):=f_{k+1}^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in [c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

根据(2.9), (4.12), (4.13)和(4.8)式, 我们有$ F([c_{\ell_{j+1}}, c_{\ell_j}])\subset[c_k, F(c_{k-1})]=[c_k, f_k(c_{k+1})]=[c_k, f_{k+1}(c_{k+1})] $, 这说明$ F([c_{\ell_{j+1}}, c_{\ell_j}]) $包含在$ f_{k+1} $的值域里, 也意味着(4.14)式中定义的$ f_i $都是良性的.

对于$ \ell_{j+1}\le i\le \ell_j-1 $满足$ j\equiv 1 $或$ 3({\rm mod}\, 4) $, 我们定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to[c_k, c_{k+1}] $为

(4.15) $ \begin{equation} f_i(x):=f_k^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in [c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

由(2.10)和(4.8)式, 我们可知$ F([c_{\ell_{j+1}}, c_{\ell_j}]) $包含在$ f_k $的值域内.这意味着(4.15)中定义的每个$ f_i $是良性的.

对于$ \ell_{j+1}\le i\le \ell_j-1 $满足$ j\equiv 2( {\rm mod}\, 4) $, 我们定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to[c_{k-1}, c_k] $为

(4.16) $ \begin{equation} f_i(x):=f_{k-1}^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in [c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

由(2.10), (4.10), (4.11)和(4.8)式容易验证(4.16)式中定义的$ f_i $也是良性的.

第四步  定义区间$ [c_{k+2}, c_{n+1}] $上的函数.

对于$ r_j \le i\le r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv 0( {\rm mod}\, 4) $, 我们定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to[c_{k-1}, c_k] $为(4.16)式.对于$ r_j \le i\le r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv 1\; \mbox{or}\; 3( {\rm mod}\, 4) $, 定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to[c_k, c_{k+1}] $为(4.15)式.对于$ r_j \le i\le r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv 2( {\rm mod}\, 4) $, 定义$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to[c_{k+1}, c_{k+2}] $为(4.14)式.根据(2.13), (2.14), (4.10)–(4.13)和(4.8)式, 容易验证所有$ f_i $, $ k+2\le i\le n $, 都是良性的.

第五步  对于所有$ 0\le i\le n $, 连接这些$ f_i $可定义一个连续的两次迭代根.

在每个区间$ [c_i, c_{i+1}] $, $ 0\le i\le n $上定义$ f=f_i $.我们断言函数$ f $是$ F $的两次连续迭代根, 满足$ f $在$ [c_k, c_{k+1}] $上严格递增且$ H(f)=2 $.事实上, 每个$ f_i $, $ 0\le i\le n $在各自定义域内连续.由(4.11)–(4.12)式可知$ f $在点$ c_k $和$ c_{k+1} $处连续.因此, 为了证明$ f $在整个区间$ I $上的连续性, 我们只需证明$ f $在每个点$ \{c_i\}_{i=1}^{n}\setminus\{c_k, c_{k+1}\} $上连续.对于每一个$ \ell_{j+1}\le i\le \ell_j-2 $, $ 0\le j\le s $和$ r_j\le i\le r_{j+1}-1 $, $ 0\le j\le t $, 我们有$ f_i(c_{i+1})=f_{i+1}(c_{i+1}). $同理, $ f_i $和$ f_{i+1} $具有同样的表达式, 为(4.14), (4.15)和(4.16)式的其中一种.这表明$ f $在以下这些点连续

$ \bigcup\limits_{0\le j\le s} \{c_i\}_{i=\ell_{j+1}+1}^{\ell_j-1}\; \; \; \mbox{和}\; \; \; \bigcup\limits_{0\le j\le t} \{c_i\}_{i=r_j+1}^{r_{j+1}-1}. $

为了证明$ f $的连续性, 现在只需证明$ f $在这些点$ \{c_{\ell_j}\}_{j=0}^s $和$ \{c_{r_j}\}_{j=0}^t $上连续.根据(4.12)和(4.8)式, 我们注意到$ f_{k+1}(c_{k+1})=f_k(c_{k+1})=F(c_{k-1}) $.再由(4.11)和(4.8)式可知

(4.17) $ \begin{equation} f_{k+1}^{-1}\circ F(c_{k-1})=f_k^{-1}\circ F(c_{k-1})=c_{k+1}, \end{equation} $

且$ f_{k-1}(c_k)=f_k(c_k)=F(c_{k+2}) $, 这意味着

(4.18) $ \begin{equation} f_{k-1}^{-1}\circ F(c_{k+2})=f_k^{-1}\circ F(c_{k+2})=c_k. \end{equation} $

因此, 对于每一个$ 0\le j\le s $且满足$ j\equiv0({\rm mod}\, 4) $, 我们有

(4.19) $ \begin{equation} f_{\ell_j-1}(c_{\ell_j})=f_{k+1}^{-1}\circ F(c_{\ell_j})=f_{k+1}^{-1}\circ F(c_{k-1})=c_{k+1}, \end{equation} $

(4.20) $ \begin{equation} f_{\ell_j}(c_{\ell_j})=\left\{\begin{array}{ll} f_{k-1}(c_{k-1})=c_{k+1}\; \; \; & \mbox{对}\; \; j=0, \\ f_k^{-1}\circ F(c_{\ell_j}) = f_k^{-1}\circ F(c_{k-1})=c_{k+1}& \mbox{对}\; \; j>0. \end{array}\right. \end{equation} $

事实上, (4.19)式可由(4.14), (2.8)和(4.17)式得到, (4.20)式可由(4.10), (4.15), (2.8)和(4.18)式得到.这表明$ f $在点$ c_{\ell_j} $处连续, 其中$ j\equiv0( {\rm mod}\, 4) $.对于$ 0\le j\le s $满足$ j\equiv1( {\rm mod}\, 4) $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} f_{\ell_j-1}(c_{\ell_j})=f_k^{-1}\circ F(c_{\ell_j}) = f_k^{-1}\circ F(c_{k-1})=c_{k+1}\; \; &(\mbox{根据(4.15), (2.8) 和 (4.17)式), } \\ f_{\ell_j}(c_{\ell_j})=f_{k+1}^{-1}\circ F(c_{\ell_j})= f_{k+1}^{-1}\circ F(c_{k-1})=c_{k+1}\; \; &(\mbox{根据(4.14), (2.8)和 (4.17)式).} \end{eqnarray*} $

这说明$ f $在点$ c_{\ell_j} $处连续, 其中$ j\equiv1( {\rm mod}\, 4) $.对于$ 0\le j\le s $且满足$ j\equiv2( {\rm mod}\, 4) $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} f_{\ell_j-1}(c_{\ell_j})=f_{k-1}^{-1}\circ F(c_{\ell_j})=f_{k-1}^{-1}\circ F(c_{k+2})=c_k\; \; &(\mbox{根据(4.16), (2.8)和 (4.18)式), } \\ f_{\ell_j}(c_{\ell_j})=f_k^{-1}\circ F(c_{\ell_j})= f_k^{-1}\circ F(c_{k+2})=c_k\; \; &(\mbox{根据(4.15), (2.8)和 (4.18)式).} \end{eqnarray*} $

这意味着$ f $在点$ c_{\ell_j} $处连续, 其中$ j\equiv2( {\rm mod}\, 4) $.对于$ 0\le j\le s $满足$ j\equiv3( {\rm mod}\, 4) $, 我们有

$ \begin{eqnarray*} f_{\ell_j-1}(c_{\ell_j})=f_k^{-1}\circ F(c_{\ell_j})= f_k^{-1}\circ F(c_{k+2})=c_k\; \; &(\mbox{根据 (4.15), (2.8)和 (4.18)式), } \\ f_{\ell_j}(c_{\ell_j})=f_{k-1}^{-1}\circ F(c_{\ell_j})= f_{k-1}^{-1}\circ F(c_{k+2})=c_k\; \; &(\mbox{根据 (4.16), (2.8)和 (4.18)式).} \end{eqnarray*} $

这意味着$ f $在点$ c_{\ell_j} $处连续, 其中$ j\equiv3( {\rm mod}\, 4) $.类似地, 根据(2.12), (4.14)–(4.18)式, 我们可以证明$ f $在所有$ c_{r_j} $, $ 0\le j\le t $处连续.因此, $ f $在整个区间$ I $上连续.

接下来, 我们证明$ f $是$ F $的两次迭代根.对于每一个$ x\in [c_k, c_{k+1}] $, 由于$ f=f_k $并且$ f_k $是$ F|_{[c_k, c_{k+1}]} $的两次迭代根, 我们得到$ f^2(x)=F(x) $.对于所有$ x\in[c_i, c_{i+1}] $, 其中$ i=k-1, k+1, \ell_{j-1}, \cdots, \ell_j-1\; \mbox{满足}\; j\equiv1 $或者$ 3( {\rm mod}\, 4) $或$ i=r_j, \cdots, r_{j+1}-1\; \mbox{满足}\; j\equiv1 $或者$ 3( {\rm mod}\, 4) $, 我们有$ f^2(x)= f_k\circ f_k^{-1}\circ F(x)=F(x). $对于$ x\in[c_i, c_{i+1}] $, 其中$ i=\ell_{j-1}, \cdots, \ell_j-1 $满足$ j\equiv2( {\rm mod}\, 4) $或$ i= r_j, \cdots, r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv0( {\rm mod}\, 4) $, 我们有$ f^2(x)=f_{k-1} \circ f_{k-1}^{-1}\circ F(x)=F(x). $对于$ x\in[c_i, c_{i+1}] $, 其中$ i=\ell_{j-1}, \cdots, \ell_j-1 $满足$ j\equiv0( {\rm mod}\, 4) $或$ i=r_j, \cdots, r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv2( {\rm mod}\, 4) $, 我们有$ f^2(x)=f_{k+1}\circ f_{k+1}^{-1} \circ F(x)=F(x). $因此, $ f $是$ F $的两次迭代根.显然, $ f=f_k $在区间$ [c_k, c_{k+1}] $上严格递增.最后, 根据(4.9)和(4.15)式, 我们可知$ f([c_i, c_{i+1}]) \subset [c_k, c_{k+1}] $对所有$ i=k-1, k+1, \ell_{j-1}, \cdots, \ell_j-1 $满足$ j\equiv1 $或者$ 3( {\rm mod}\, 4) $和$ i= r_j, \cdots, r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv1 $或者$ 3( {\rm mod}\, 4) $成立.同时, 由(4.16)式可知, $ f([c_i, c_{i+1}]) \subset [c_{k-1}, c_k] $对所有$ i=\ell_{j-1}, \cdots, \ell_j-1 $满足$ j\equiv2( {\rm mod}\, 4) $和$ i=r_j, \cdots, r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv0( {\rm mod}\, 4) $成立, 并且根据(4.14)式, $ f([c_i, c_{i+1}]) \subset [c_{k+1}, c_{k+2}] $对所有$ i=\ell_{j-1}, \cdots, \ell_j-1 $满足$ j\equiv0( {\rm mod}\, 4) $和$ i=r_j, \cdots, r_{j+1}-1 $满足$ j\equiv2( {\rm mod}\, 4) $也成立.因此, 由引理3.3可知$ H(f)=2 $.

定理2.3的证明  第一步  在$ [c_0, c_1] $上构造$ F $的一个连续且严格递减的两次迭代根.

因为$ F $在$ [c_0, c_1] $上反序对应, 由(2.15)式, 文献[6, 定理$ 15.9 $]和引理3.2, 我们可以找到一个连续且严格递减的函数$ f_0:[c_0, c_1]\to[c_0, c_1] $满足

(4.21) $ \begin{equation} f_0(c_0)=F(c_1), \; \; \; \; \; f_0(c_1)=c_0, \end{equation} $

并且对所有$ x\in[c_0, c_1] $有$ f_0^2(x)=F(x) $.

第二步  在区间$ [c_1, c_2] $上定义函数.

定义$ f_1:[c_1, c_2]\to[c_0, c_1] $为

(4.22) $ \begin{equation} f_1(x):=f_0^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in [c_1, c_2]. \end{equation} $

由于$ f_0 $在$ [c_0, c_1] $上递减并且$ F $在$ [c_1, c_2] $上递减, 由(2.15)和(4.21)式可知$ F([c_1, c_2])=[c_0, F(c_1)] = [f_0(c_1), f_0(c_0)] $, 也就是说$ F([c_1, c_2]) $包含在$ f_0 $的值域内, 这意味着(4.22)式中定义的$ f_1 $是良性的.

第三步  对$ 2\le i\le n $, 在每个区间$ [c_i, c_{i+1}] $上定义函数.

对于每一个$ 2\le i\le n $, 定义函数$ f_i:[c_i, c_{i+1}]\to[c_1, c_2] $为

(4.23) $ \begin{equation} f_i(x):=f_1^{-1}\circ F(x), \; \; \; \; \; x\in[c_i, c_{i+1}]. \end{equation} $

注意$ f_1 $严格递增, $ f_1(c_1)=c_0 $并且$ f_1(c_2)=c_1 $.由$ F([c_i, c_{i+1}])\subset[c_0, c_1] $可知(4.23)式中定义的$ f_i $是良性的.

第四步  对所有$ 0\le i\le n $连接这些函数$ f_i $, 我们得到定理2.3所需的两次迭代根.

对所有$ 0\le i\le n $, 令$ f(x):=f_i(x) $, $ \forall x\in[x_i, x_{i+1}] $.可以验证$ f $是$ F $两次迭代根, 满足$ f $在$ [c_0, c_1] $上严格递减并且$ H(f)=2 $.显然, 对每一个$ 0\le i\le n $, $ f_i $在它的定义域连续.为了证明$ f $在$ I $上的连续性, 我们只需证明$ f $在点$ \{c_i\}_{i=1}^n $处连续.因此, 根据(4.21)–(4.22)式我们有$ f_1(c_1)=f_0^{-1}\circ F(c_1)=c_0=f_0(c_1) $.这意味着$ f $在点$ c_1 $处连续.进一步, 根据(4.22), (2.15)和(4.23)式, 我们有

$ f_1(c_2)=f_0^{-1}\circ F(c_2)=f_0^{-1}(c_0)=c_1=f_1^{-1}(c_0)=f_1^{-1}\circ F(c_2)=f_2(c_2). $

这表明$ f $在点$ c_2 $处连续.注意到(4.23)式意味$ f_i(c_{i+1})=f_1^{-1}\circ F(c_{i+1})=f_{i+1}(c_{i+1}) $, $ \forall 2\le i\le n-1 $.则$ f $在点$ \{c_i\}_{i=3}^n $处连续.因此, 我们证明了$ f $在整个区间$ I $上的连续性.

另一方面, 由于$ f=f_0 $并且如第一步所示$ f_0 $是$ F $在$ [c_0, c_1] $上的两次迭代根, 容易验证$ f^2(x)=F(x) $对所有$ x\in[c_0, c_1] $成立.那么对每一个$ x\in [c_1, c_2] $, 由(4.22)式我们有

$ f^2(x)=f_0\circ f_0^{-1}\circ F(x) =F(x). $

对所有$ x\in [x_2, c_{n+1}] $, 由(4.23)式我们有

$ f^2(x)=f_1\circ f_1^{-1}\circ F(x) =F(x), $

这就证明了$ f $是$ F $的两次迭代根.

最后, 由于在区间$ [c_0, c_1] $上$ f=f_0 $, 我们可知$ f $在$ [c_0, c_1] $上严格递减.根据(4.22)–(4.23)式, 对所有$ 2\le i\le n $我们有$ f([c_1, c_2])\subset[c_0, c_1] $并且$ f([c_i, c_{i+1}])\subset[c_1, c_2] $.这说明$ f^2(I)\subset[c_0, c_1] $但是$ f(I)\not\subset[c_0, c_1] $.由引理3.3可知$ H(f)=2 $.

定理2.4的证明  第一步  在$ [c_k, c_{k+1}] $上构造$ F $的一个连续且严格递增的两次迭代根$ f_k $.

因为$ F $在$ [c_k, c_{k+1}] $上反序对应, 根据(2.16), (2.17) (或(2.18))式, 我们由文献[6, 定理$ 15.9 $]和引理3.2可知存在一个连续且严格递减的函数$ f_k:[c_k, c_{k+1}]\to[c_k, c_{k+1}] $满足

(4.24) $ \begin{equation} f_k(c_k)=F(c_{k-1}), \; \; \; \; \; f_k(c_{k+1})=F(c_{k+2}), \end{equation} $

并且对所有$ x\in[c_k, c_{k+1}] $, $ f_k^2(x)=F(x) $成立.

第二步  在区间$ [c_{k-1}, c_k] $和$ [c_{k+1}, c_{k+2}] $上分别定义函数.

第三步  在区间$ [c_0, c_{k-1}] $上定义函数.

第四步  在区间$ [c_{k+2}, c_{n+1}] $上定义函数.

第五步  连接上述函数可定义一个连续的两次迭代根.由于第二步到第五步和定理2.2的证明类似, 我们不再阐述.