统计推断中的贝叶斯方法依赖于先验分布和损失函数的选择.但先验分布可能依赖于超参数, 在这种情况下, 我们通常使用层次贝叶斯方法(hierarchical Bayesian method). 另一方面, 损失函数在贝叶斯方法中也很重要. 在贝叶斯统计推断中, 平方损失是最常用的. 这个损失函数是对称的, 对高估和低估给予同等的权重. 众所周知, 对称损失函数在许多情况下可能是不合适的, 特别是当正误差和负误差有不同的后果时. 最常用的非对称损失函数之一是LINEX(线性指数)损失函数.这是由Varian^[1]提出的, 并因为Zellner^[2]而被广泛应用. 在许多实际情况下, 用比率来表示损失似乎更现实.在这种情况下, Parsian & Nematollahi^[3]指出另一个有用的非对称损失函数是熵损失函数. 熵损失函数下的参数估计, 见文献[3–4]等. 关于不同损失函数下贝叶斯估计的相关研究, 详见文献[4–8]等.

Lindley & Smith^[9]介绍了层次先验分布的思想. 层次贝叶斯方法需要两个阶段来完成先验分布的设置, 因此它比贝叶斯方法更具有稳健性. 近年来, 层次贝叶斯方法被应用到数据分析中, 更多细节见文献[4, 8, 10–15]等. 然而层次贝叶斯估计往往涉及到复杂积分的计算, 此时一些计算方法如MCMC(Markov chain Monte Carlo)方法可用. 层次贝叶斯方法和E-Bayes方法都是处理先验分布中含有未知参数(超参数)的方法. 关于E-Bayes方法的相关研究, 详见文献[4, 8, 13–14, 16–26]等.

本文在第2节中, 将介绍E-Bayes估计及其E-MSE的定义; 在第3节中, 将介绍不同损失函数下的Bayes估计; 在第4节中, 将给出不同损失函数下失效概率的E-Bayes估计; 在第5节中, 将给出不同损失函数下$ \widehat p_{iEBj} $的E-MSE的估计; 在第6节中, 将给出Monte Carlo模拟计算; 在第7节中, 将给出应用实例.

本节将分别介绍E-Bayes估计及其E-MSE的定义.

考虑$ k $次I型截尾试验, 在第$ i( i=1, 2, \cdots, k) $次截尾试验中, 截尾时间为$ t_{i} $, 相应的样本容量为$ n_{i} $, 在试验的过程中失效样本容量为$ r_{i}(r_{i}=0, 1, \cdots, n_{i}) $, 称$ \{(n_{i}, r_{i}, t_{i}), i=1, 2, \cdots, k\} $为该试验获得的试验数据.

茆诗松, 罗朝斌^[27]提出了配分布曲线法, 其基本思路是: 先估计时刻$ t_{i} $处的失效概率(failure probability) $ p_{i}=P\{T\le t_{i}\} $, 然后用最小二乘法给出分布参数的估计, 最后给出可靠度的估计.其中关键是估计$ t_{i} $处的失效概率$ p_{i} $.

如果取$ p_{i} $的先验分布为其共轭分布——Beta分布, 其概率密度函数(pdf)为

(2.1) $ \begin{align} \pi(p_{i}|a, b)=\frac{{p_{i}}^{a-1}(1-p_{i})^{b-1}}{B(a, b)}, \end{align} $

其中$ 0<p_{i}<1 $, $ B(a, b)=\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{b-1}{\rm d}t $是Beta函数, $ a>0 $和$ b>0 $为超参数.

Han^[16]提出了一种参数估计方法——E-Bayes估计法. 在先验分布中有两个超参数情形, 给出了失效概率的E-Bayes估计的定义, 在此基础上给出了平方损失函数下失效概率的E-Bayes估计, 并给出了三个不同先验分布下失效概率的E-Bayes估计的性质(但没有考虑不同先验分布下E-Bayes估计的评价问题).

根据文献[16], 超参数$ a $和$ b $的范围为$ 0<a<1 $和$ 1<b<c $, 其中$ c>1 $为常数($ c $的确定稍后在"应用实例"中介绍). 根据文献[16], $ p_{i} $的E-Bayes估计的定义如定义2.1.

定义2.1   若$ \widehat{p_{i}}(a, b) $是连续的, 称

$ \widehat{p_{i}}_{EB}=\int\!\!\!\int_D\widehat p_{iB}(a, b)\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b $

为$ p_{i} $的E-Bayes估计(expected Bayesian estimation). 其中$ \int\!\!\!\int_D\widehat p_{iB}(a, b)\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b $是存在的, $ D=\{(a, b):0<a<1, 1<b<c\} $, $ \pi(a, b) $为$ a $和$ b $在区域$ D $上的密度函数, $ \widehat p_{iB}(a, b) $为$ p_{i} $的Bayes估计(用超参数$ a $和$ b $表示), $ i=1, 2, \cdots, k $.

从定义2.1可以看出, $ p_{i} $的E-Bayes估计

$ \widehat{p_{i}}_{EB}=\int\!\!\!\int_D\widehat p_{iB}(a, b)\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b=E\left[\widehat p_{iB}(a, b)\right] $

是$ \widehat p_{iB}(a, b) $对超参数$ a $和$ b $的数学期望(expectation).

提出一种参数估计方法, 一般要给出估计的误差, 通常用MSE(mean square error)来度量估计的误差. E-Bayes估计法提出的时间不长, 其研究成果也不多. 以前E-Bayes估计误差的解析表达式一直没有被研究, Han^[28]提出了E-MSE(expected mean square error)的定义, 并在刻度平方误差损失函数(不同刻度参数)下结合指数分布, 分别给出E-Bayes估计及其E-MSE的表达式. 对于E-MSE的定义, 见如下的定义2.2.

定义2.2   若MSE$ [\widehat p_{iB}(a, b)] $是连续的, 称

$ E-MSE(\widehat p_{iEB})=\int\!\!\!\int_D MSE[\widehat p_{iB}(a, b)]\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b $

为$ \widehat{p_{i}}_{EB} $的E-MSE (expected mean square error). 其中$ \int\!\!\!\int_D MSE[\widehat p_{iB}(a, b)]\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b $是存在的, $ D=\{(a, b):0<a<1, 1<b<c \} $, $ \pi(a, b) $为$ a $和$ b $在区域$ D $上的密度函数, MSE$ [\widehat p_{iB}(a, b)] $是$ \widehat p_{iB}(a, b) $的MSE(用超参数$ a $和$ b $表示), $ i=1, 2, \cdots, k $.

从定义2.2可以看出, $ \widehat p_{iEB} $的E-MSE

$ E-MSE(\widehat p_{iEB})=\int\!\!\!\int_D MSE[\widehat p_{iB}(a, b)]\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b=E\left\{MSE[\widehat p_{iB}(a, b)]\right\} $

是$ MSE[\widehat p_{iB}(a, b)] $对超参数$ a $和$ b $的数学期望.

损失函数在贝叶斯统计推断中很重要, 以下分别介绍平方损失函数、LINEX损失函数, 并介绍相应的Bayes估计.

根据文献[6], 有如下的引理3.1.

引理3.1   在平方损失函数$ L_{1}(\theta, \delta)=(\theta-\delta)^2 $下(这里$ \delta $是参数$ \theta $的一个估计), 对于$ \theta $的任意先验分布$ \pi(\theta) $, 则参数$ \theta $的贝叶斯估计为$ \widehat{\theta}_{B_{1}}(x)=E(\theta|x). $

根据文献[2], 有如下的引理3.2.

引理3.2   在LINEX损失函数$ L_{2}(\theta, \delta)=\exp[k(\delta-\theta)]-k(\delta-\theta)-1 $下, $ k\in {{\Bbb R}} $, $ k\neq 0 $ (这里$ \delta $是参数$ \theta $的一个估计), 对于$ \theta $的任意先验分布$ \pi(\theta) $, 则参数$ \theta $的贝叶斯估计为$ \widehat{\theta}_{B_{2}}(x)=-\frac{1}{k}\ln E[\exp(-k\theta)|x]. $

本节以下分别在平方损失函数和LINEX损失函数下, 给出参数$ p_{i} $的E-Bayes估计.

定理4.1   对某产品进行$ k $次I型截尾试验, 获得的试验数据为$ \{(n_{i}, r_{i}, t_{i}), i=1, 2, \cdots, k\} $, 记$ s_{i}=\sum\limits_{j=i}^k n_{j}, i=1, 2, \cdots, k. $若$ p_{i} $的先验密度函数$ \pi(p_{i}|a, b) $由(2.1)式给出, $ a $和$ b $的先验密度函数为

(4.1) $ \begin{align} \pi(a, b)=\pi(a)\pi(b)=\frac{1}{c}, \ 0<a<1, 1<b<c, \end{align} $

则有如下结论:

(ⅰ) 在平方损失下, $ p_{i} $的Bayes估计为$ \widehat p_{iB1}(a, b)=\frac{a+r_{i}}{a+b+s_{i}}, $ E-Bayes估计为

$ \widehat p_{iEB1}=\frac{1}{c-1}\int_1^c\int_0^1\frac{a+r_{i}}{a+b+s_{i}}{\rm d}a{\rm d}b. $

(ⅱ)在LINEX损失下, $ p_{i} $的Bayes估计为

$ \widehat p_{iB2}(a, b)=-\frac{1}{k}\ln \left[ \int_0^1 \frac{\exp(-kp_{i}){p_{i}}^{a+r_{i}-1}(1-p_{i})^{b+s_{i}-r_{i}-1}}{B(a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i})}{\rm d}p_{i}\right], $

E-Bayes估计为

$ \widehat p_{iEB2}= -\frac{1}{k(c-1)}\int_1^c\int_0^1 \left\{\ln \left[ \int_0^1 \frac{\exp(-kp_{i}){p_{i}}^{a+r_{i}-1}(1-p_{i})^{b+s_{i}-r_{i}-1}}{B(a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i})}{\rm d}p_{i} \right] \right\}{\rm d}a{\rm d}b. $

证   对某产品进行$ k $次I型截尾试验, 获得的试验数据为$ \{(n_{i}, r_{i}, t_{i}), i=1, 2, \cdots, k\} $, 似然函数为$ L(r_{i}|p_{i})=C^{r_{i}}_{s_{i}}p_{i}^{r_{i}}(1-p_{i})^{s_{i}-r_{i}}, $其中$ s_{i}=\sum\limits_{j=i}^k n_{j}, i=1, 2, \cdots, k. $若$ p_{i} $的先验密度函数$ \pi(p_{i}|a, b) $由(2.1)式给出, 根据Bayes定理, 则$ p_{i} $的后验密度函数为

$ h(p_{i}|r_{i})= \frac{\pi(p_{i}|a, b)L(r_{i}|p_{i})}{\int_0^1\pi(p_{i}|a, b)L(r_{i}|p_{i}){\rm d}p_{i}} =\frac{p_{i}^{a+r_{i}-1}(1-p_{i})^{b+s_{i}-r_{i}-1}}{B(a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i})}, 0<p_{i}<1. $

所以$ p_{i} $的后验分布为Beta$ (a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i}) $.

(ⅰ) 在平方损失下, 根据引理3.1, $ p_{i} $的Bayes估计为

$ \widehat p_{iB1}(a, b)=E(p_{i}|x)=\frac{a+r_{i}}{a+b+s_{i}}. $

如果$ a $和$ b $的先验密度$ \pi(a, b) $由(4.1)式给出, 根据定义2.1, 则$ p_{i} $的E-Bayes估计为

$ \begin{eqnarray*} \widehat p_{iEB1}&=&\int\!\!\!\int_D \widehat{p}_{iB1}(a, b)\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b =\frac{1}{c-1}\int_1^c\int_0^1\frac{a+r_{i}}{a+b+s_{i}}{\rm d}a{\rm d}b. \end{eqnarray*} $

(ⅱ) 根据$ p_{i} $的后验密度函数$ h(p_{i}|r_{i}) $，有

$ E[\exp(-kp_{i})|x]=\int_0^1 \exp(-kp_{i})h(p_{i}|r_{i}){\rm d}p_{i}= \int_0^1\frac{ \exp(-kp_{i}){p_{i}}^{a+r_{i}-1}(1-p_{i})^{b+s_{i}-r_{i}-1}}{ B(a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i}) }{\rm d}p_{i}. $

在LINEX损失下, 根据引理3.2, $ p_{i} $的Bayes估计为

$ \begin{eqnarray*} \widehat p_{iB2}(a, b)&=& -\frac{1}{k}\ln E[\exp(-k p_{i})|x] \\&=& -\frac{1}{k}\ln \left[ \int_0^1 \frac{\exp(-kp_{i}){p_{i}}^{a+r_{i}-1}(1-p_{i})^{b+s_{i}-r_{i}-1}}{B(a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i})}{\rm d}p_{i}\right]. \end{eqnarray*} $

如果$ a $和$ b $的先验密度$ \pi(a, b) $由(4.1)式给出，根据定义2.1, 则$ p_{i} $的E-Bayes估计为

$ \begin{eqnarray*} \widehat p_{iEB2}&=&\int\!\!\!\int_D \widehat{p}_{iB2}(a, b)\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b \\&=& -\frac{1}{k(c-1)}\int_1^c\int_0^1 \left\{\ln \left[ \int_0^1 \frac{\exp(-kp_{i}){p_{i}}^{a+r_{i}-1}(1-p_{i})^{b+s_{i}-r_{i}-1}}{B(a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i})}{\rm d}p_{i} \right] \right\}{\rm d}a{\rm d}b. \end{eqnarray*} $

证毕.

本节以下分别在平方损失函数和LINEX损失函数下, 给出$ \widehat p_{iEBj} $的E-MSE的估计.

定理5.1   对某产品进行$ k $次I型截尾试验, 获得的试验数据为$ \{(n_{i}, r_{i}, t_{i}), i=1, 2, \cdots, k\} $, 记$ s_{i}=\sum\limits_{j=i}^k n_{j}, i=1, 2, \cdots, k. $若$ p_{i} $的先验密度函数$ \pi(p_{i}|a, b) $由(2.1)式给出, $ a $和$ b $的先验密度函数$ \pi(a, b) $由(4.1)式给出, 则有如下结论

(ⅰ) 在平方损失下, $ \widehat p_{iB1}(a, b) $的MSE为

$ MSE[\widehat p_{iB1}(a, b)]=\frac{(a+r_{i})(b+s_{i}-r_{i})}{(a+b+s_{i})^2(a+b+s_{i}+1)}, $

$ \widehat{p}_{iEB1} $的E-MSE为

$ E-MSE(\widehat{p}_{iEB1})=\frac{1}{c-1}\int_1^c\int_0^1\frac{(a+r_{i})(b+s_{i}-r_{i})}{(a+b+s_{i})^2(a+b+s_{i}+1)}{\rm d}a{\rm d}b. $

(ⅱ)在LINEX损失下, $ \widehat p_{iB2}(a, b) $的MSE为

$ MSE[\widehat p_{iB2}(a, b)]= \frac{(a+r_{i}+1)(a+r_{i})}{(a+b+s_{i}+1)(a+b+s_{i})}-2\frac{(a+r_{i})}{(a+b+s_{i})}\widehat p_{iB2}(a, b)+[\widehat p_{iB2}(a, b)]^2, $

这里$ \widehat p_{iB2}(a, b) $由定理4.1的(ii)给出, 则$ \widehat{p}_{iEB2} $的E-MSE为

$ E-MSE(\widehat{p}_{iEB2})=\frac{1}{c-1}\int_1^c\int_0^1 MSE[\widehat p_{iB2}(a, b)]{\rm d}a{\rm d}b. $

证   (ⅰ) 根据定理4.1, $ p_{i} $的后验分布为Beta$ (a+r_{i}, b+s_{i}-r_{i}) $, 则有

$ \widehat p_{iB1}(a, b)=E(p_{i}|x)=\frac{a+r_{i}}{a+b+s_{i}}, {\quad} {\rm Var}(p_{i}|x)=\frac{(a+r_{i})(b+s_{i}-r_{i})}{(a+b+s_{i})^2(a+b+s_{i}+1)}. $

在平方损失下, $ \widehat{p}_{iB1}(a, b) $的MSE为

$ MSE[\widehat{p}_{iB1}(a, b)]=E\left\{\left[p_{i}-\widehat p_{iB1}(a, b)\right]^2|x\right\}={\rm Var}(p_{i}|x)=\frac{(a+r_{i})(b+s_{i}-r_{i})}{(a+b+s_{i})^2(a+b+s_{i}+1)}. $

如果$ a $和$ b $的先验密度$ \pi(a, b) $由(4.1)式给出, 根据定义2.2, 则$ \widehat p_{iEB1} $的E-MSE为

$ \begin{eqnarray*} E-MSE(\widehat p_{iEB1})&=&\int\!\!\!\int_D MSE[\widehat p_{iB1}(a, b)]\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b \\&=&\frac{1}{c-1}\int_1^c\int_0^1\frac{(a+r_{i})(b+s_{i}-r_{i})}{(a+b+s_{i})^2(a+b+s_{i}+1)}{\rm d}a{\rm d}b. \end{eqnarray*} $

(ⅱ) 根据$ p_{i} $的后验密度函数$ h(p_{i}|r_{i}) $，有

$ E(p_{i}^{2}|x)=\int_0^1 p_{i}^{2} h(p_{i}|r_{i}){\rm d}p_{i} =\frac{(a+r_{i}+1)(a+r_{i})}{(a+b+s_{i}+1)(a+b+s_{i})}. $

根据定理4.1的(ⅰ), 有$ E(p_{i}|x)=\frac{a+r_{i}}{a+b+s_{i}}. $在LINEX损失下, $ \widehat{p}_{iB2}(a, b) $的MSE为

(5.1) $ \begin{eqnarray} && MSE[\widehat{p}_{iB2}(a, b)] {}\\ &=& E\left\{\left[p_{i}-\widehat p_{iB2}(a, b)\right]^2|x\right\} {}\\ &=&E(p_{i}^{2}|x)-2E(p_{i}|x)\widehat{p}_{iB2}(a, b)+[\widehat{p}_{iB2}(a, b)]^2 {}\\ &=& \frac{(a+r_{i}+1)(a+r_{i})}{(a+b+s_{i}+1)(a+b+s_{i})}-2\frac{(a+r_{i})}{(a+b+s_{i})}\widehat p_{iB2}(a, b)+[\widehat p_{iB2}(a, b)]^2, \end{eqnarray} $

这里$ \widehat p_{iB2}(a, b) $由定理4.1的(ⅱ)给出.

如果$ a $和$ b $的先验密度$ \pi(a, b) $由(4.1)式给出, 根据定义2.2, 则$ \widehat p_{iEB2} $的E-MSE为

$ E-MSE(\widehat p_{iEB2})=\int\!\!\!\int_D MSE[\widehat p_{iB2}(a, b)]\pi(a, b){\rm d}a{\rm d}b =\frac{1}{c-1}\int_1^c\int_0^1 MSE[\widehat p_{iB2}(a, b)] {\rm d}a{\rm d}b, $

这里$ MSE[\widehat p_{iB2}(a, b)] $由(5.1)式给出. 证毕.

以下采用Monte Carlo方法计算$ \widehat p_{iEBj}\ (j=1, 2) $和E-MSE$ (\widehat p_{iEBj})\ (j= 1, 2) $, 其中$ \widehat p_{iEBj} $$ (j=1, 2) $和E-MSE$ (\widehat p_{iEBj}) $$ (j= 1, 2) $分别由定理4.1和定理5.1给出.

从均匀分布中生成样本容量分别为$ s_{i} $=10, 20, 50和100的随机样本, 其中相应的失效样本量分别为$ r_{i} $=0, 1, 5, 10; 0, 5, 10, 20; 0, 10, 30, 50; 0, 20, 50, 100.

重复进行10000次随机抽样, $ \widehat p_{iEBj}\ (j=1, 2) $和E-MSE$ (\widehat p_{iEBj})\ (j= 1, 2) $的计算结果(所有计算均使用MATLAB(R2016b)进行)如表 1, 表 2所示($ c=2, k=1 $).

从表 1, 表 2可以得出以下结论

(ⅰ)从表 1我们发现, 对于相同的$ s_{i} $和$ r_{i} $, $ \widehat p_{iEBj}\ (j= 1, 2) $的值非常接近.

(ⅱ)从表 2我们发现, 对于相同的$ s_{i} $和$ r_{i} $, E-MSE$ (\widehat p_{iEBj})\ (j= 1, 2) $的值具有以下顺序关系: E-MSE$ (\widehat p_{iEB1})< $E-MSE$ (\widehat p_{iEB2}) $. 这也表明, 如果用E-MSE作为评价标准, 那么$ \widehat p_{iEB1} $优于$ \widehat p_{iEB2} $.

某型发动机的I型截尾寿命试验数据如表 3所示(时间单位: 小时)^[13].

通过定理4.1和定理5.1, 我们可以得到E-Bayes估计及其E-MSE; 通过MCMC方法, 我们可以得到层次贝叶斯估计.

通过定理4.1、定理5.1和表 3, 我们可以得到$ \widehat p_{iEBj} $$ (j= 1, 2) $和E-MSE$ (\widehat p_{iEBj}) $$ (j= 1, 2) $, 其计算结果见表 4–表 9 ($ c=1.1, 2, 3; k=1 $).

从表 4–表 9可以得出以下结论

(ⅰ)从表 4, 表 6和表 8我们发现, 对于相同的$ t_{i} $和$ c $, $ \widehat p_{iEBj}\ (j= 1, 2) $的值非常接近.

(ⅱ)从表 5, 表 7和表 9我们发现, 对于相同的$ t_{i} $和$ c $, E-MSE$ (\widehat p_{iEBj})\ (j= 1, 2) $的值具有以下顺序关系: E-MSE$ (\widehat p_{iEB1})< $E-MSE$ (\widehat p_{iEB2}) $. 这也表明, 如果用E-MSE作为评价标准, 那么$ \widehat p_{iEB1} $优于$ \widehat p_{iEB2} $.

(ⅲ)对于相同的$ t_{i} $和不同的$ c(c=1.1, 2, 3) $, $ \widehat p_{iEBj} $$ (j=1, 2) $和E-MSE$ (\widehat p_{iEBj}) $$ (j=1, 2) $都是稳健的. 在应用中作者建议$ c $在区间(1, 3]居中取值, 即$ c=2 $.

根据文献[13], 表 3中发动机的寿命服从Weibull分布，其分布函数(cdf) 为

(7.1) $ \begin{align} F(t)=1-\exp\left\{-\left(\frac{t}{\eta}\right)^m\right\}, \ \eta>0, \ m>0, \ t>0. \end{align} $

根据文献[27], $ \eta $和$ m $的最小二乘估计分别为

(7.2) $ \begin{align} \widehat{\eta}=\exp(\widehat{\mu}), \ \widehat{m}=\frac{1}{\widehat{\sigma}}, \end{align} $

其中$ \widehat{\mu}=\frac{BC-AD}{mB-A^{2}}, \ \widehat{\sigma}=\frac{mD-AC}{mB-A^{2}} $, $ A=\sum\limits_{i=1}^k x_{i} $, $ B=\sum\limits_{i=1}^k {x_{i}}^{2} $, $ C=\sum\limits_{i=1}^k y_{i} $, $ D=\sum\limits_{i=1}^k x_{i}y_{i} $, $ x_{i}=\ln\ln\left\{(1-\widehat p_{i})^{-1})\right\} $, $ \widehat p_{i} $是$ p_{i} $的估计, $ y_{i}=\ln t_{i}(i=1, \ 2, \cdots, \ k) $.

根据(7.2)式, 可以得到(时间$ t $处)可靠度函数的估计

(7.3) $ \begin{align} \widehat{R}(t)=\exp\left\{-\left(\frac{t}{\widehat{\eta}}\right)^{\widehat{m}}\right\}, \end{align} $

这里$ \widehat{\eta} $和$ \widehat{m} $由(7.2)式给出.

根据(7.2)式和表 6, 我们可以得到$ \widehat{\eta} $和$ \widehat{m} $，其计算结果如表 10所示.

从表 10我们发现, 对于不同(损失函数)估计方法, $ \widehat{m} $很稳健, 但$ \widehat{\eta} $的稳健性要比$ \widehat{m} $差一些.

根据(7.3)式和表 10, 我们可以得到$ \widehat{R}_{EBj}(t)\ (j=1, 2) $, 这里$ \widehat{R}_{EBj}(t)\ (j=1, 2) $与$ \widehat p_{iEBj} (j=1, 2) $对应, 一些数值结果如表 11所示$ (c=2 $).

从表 11我们看到, $ \widehat{R}_{EB1}(t) $和$ \widehat{R}_{EB2}(t) $非常接近.

对于二项分布Bin$ (s_i, p_i) $, 如果$ p_i $的先验密度函数$ \pi(p_i|a, b) $由(2.1)式给出, $ a $和$ b $的先验密度函数$ \pi(a, b) $由(4.1)式给出, 应用MCMC方法可以得到$ p_i $的层次贝叶斯估计(下面的结果由OpenBUGS3.2.3计算得到). 我们得到10000次抽样的汇总统计数据如表 12所示($ c=2 $).

根据表 12和表 6我们发现，$ \widehat p_{iEBj}\ (i=1, 2, \cdots, 7; j=1, 2) $与表 12中的均值(作为$ p_i $的层次贝叶斯估计)非常接近.

根据(7.2)式和表 12 (均值作为$ p_{i} $的层次贝叶斯估计), 我们可以得到$ \widehat{\eta} $和$ \widehat{m} $，其计算结果如表 13所示($ c=2 $).

从表 13我们发现, 对于不同的估计方法, $ \widehat{m} $很稳健, 但$ \widehat{\eta} $的稳健性要比$ \widehat{m} $差一些.

根据(7.3)式和表 13我们可以得到$ \widehat{R}_{EBj}(t)(j=1, 2) $和$ \widehat{R}_{HB}(t) $, 其中$ \widehat{R}_{EBj}(t)\ (j=1, 2) $与$ \widehat p_{iEBj}\ (j=1, 2) $对应，$ \widehat{R}_{HB}(t) $与MCMC方法(均值作为$ p_i $的层次贝叶斯估计)得到的结果对应. 一些计算结果如表 14所示$ (c=2 $).

从表 14我们看到, $ \widehat{R}_{EBj}(t)\ (j=1, 2) $和$ \widehat{R}_{HB}(t) $非常接近.

本文研究了不同损失函数下失效概率的E-Bayes估计及其E-MSE. 在两个超参数情形, 在E-Bayes估计定义的基础上引入了E-MSE(期望均方误差)的定义, 见定义2.1和定义2.2. 在不同损失函数下失效概率的E-Bayes估计及其E-MSE的表达式, 分别见定理4.1和定理5.1.

从模拟计算和应用实例我们可以得到如下结论: $ E $-$ MSE(\widehat p_{iEB2})>E $-$ MSE(\widehat p_{iEB1}). $这也表明, 如果用E-MSE作为评价标准, 那么$ \widehat p_{iEB1} $优于$ \widehat p_{iEB2} $.

本文根据E-Bayes估计和E-MSE的定义, 在不同损失函数下分别得到了失效概率的E-Bayes估计及其E-MSE的表达式. 在考虑评价不同损失函数下的E-Bayes估计时, 本文提出E-MSE作评价标准.

层次贝叶斯方法和E-Bayes方法都是处理超参数的方法. 关于E-Bayes方法的优点, 在已有的文献[8, 12–14, 26]我们可以看到, 与层次贝叶斯方法相比E-Bayes方法简单(在一定程度上减少了层次贝叶斯估计中积分的复杂程度), 更便于应用. E-MSE的主要作用在于它作为评价不同损失函数下E-Bayes估计的评价标准.