等周问题(Isoperimetric problem) 是几何学中的核心问题之一. 从等周问题发展起来的等周不等式影响到数学的众多方面, 如分析中的Sobolev嵌入问题、代数几何中的Hodge指标定理、方程中的Monge-Ampère方程等. 等周不等式或许是最早最经典的几何不等式之一, 关于它的研究有着悠久的历史. 圆的等周性质很早就被古希腊人意识到了; 但等周问题解的存在性直到19世纪Weierstrass运用变分法才得以圆满解决; 后续Santaló、Poincaré 运用积分几何方法给出等周不等式新的证明; 随后, 一方面数学家把等周不等式从欧氏空间推到其他更广泛空间, 如常曲率空间、黎曼空间、极小曲面等, 另一方面研究等周不等式的加强形式, 如Bonnesen型不等式、两凸体的混合对称Bonnesen型不等式等; 这方面研究主要有: 张新民教授通过离散的Wirtinger不等式与多边形的密切联系, 获得了关于多边形的Bonnesen型不等式^[1]; 国内数学家任德麟教授、周家足教授等利用积分几何中包含测度思想, 给出了等周不等式的新证明, 并获得了一系列Bonnesen型不等式的统一证明, 这是研究几何不等式的新的有效方法^[2]; 朱保成、陈方维等最近研究了在常曲率曲面上的Bonnesen型不等式以及在常曲率曲面上的反向Bonnesen型不等式等^[3-5].

经典的等周不等式描述的是: 在欧氏平面$ {{\mathbb R}}^2 $中, 周长固定的简单闭曲线组成的域中, 圆的面积最大. 具体表述如下^[6-9].

(等周不等式)  设$ D $是欧氏平面$ {{\mathbb R}} ^2 $中简单闭曲线$ \Gamma $组成的域, 其面积、周长分别为$ A $、$ L $, 则

$ L^2-4\pi A\ge 0, $

等号成立当且仅当$ D $为圆盘.

定义平面上一域$ D $的等周亏格为

$ \Delta_2 (D) = L^2-4\pi A, $

等周亏格刻画了半径为$ \frac{L}{2\pi} $的圆盘与周长, 面积分别为$ L $, $ A $的域$ D $的偏离程度.

1920年前后, Bonnesen给出了一系列等周亏格的下界估计, 即具有以下特征的不等式

(1.1) $ \begin{equation} \Delta_2 (D) = L^2-4\pi A\ge B_D, \end{equation} $

其中$ B_D $为与$ D $有关的一非负量, 且$ B_D = 0 $当且仅当$ D $为圆盘.

我们称形如(1.1) 式的不等式为Bonnesen型不等式. Bonnesen型不等式是等周不等式的加强. 近年来周家足、朱保成等利用积分几何方法获得了一系列欧氏平面$ {{\mathbb R}}^2 $上的Bonnesen型不等式^{[2, 8, 10-12]}:

设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^2 $中周长和面积分别为$ L $、$ A $, 最小外接圆半径和最大内接圆半径分别为$ R $、$ r $的平面域, 则

$ \begin{eqnarray*} L^2-4\pi A \ge \pi^2\left(R-r\right)^2;\, \, \, \, \, &L^2-4\pi A \ge \left(L-2\pi r\right)^2;\\ L^2-4\pi A \ge \pi^2\left(R-\sqrt{\frac{A}{\pi}}\right)^2;\, \, \, \, \, &L^2-4\pi A \ge \pi^2\left(\sqrt{\frac{A}{\pi}}-r\right)^2;\\ L^2-4\pi A \ge A^2\left(\frac1{r}-\frac1{R}\right)^2;\, \, \, \, \, &L^2-4\pi A \ge L^2\left(\frac{R-r}{R+r}\right)^2; \end{eqnarray*} $

等号成立的充分必要条件为$ r = R $, 即$ D $为圆盘.

或许数学家们更感兴趣的是高维凸体$ D $的Bonnesen型不等式

$ \Delta_n (D) = A^n-n^n \omega_n V^{n-1}\ge B_D, $

其中$ B_D $为与$ D $有关的一非负量, 且$ B_D = 0 $当且仅当$ D $为圆盘. 其中, $ \omega_n $为$ {{\mathbb R}}^n $中单位球的体积, 且

$ \omega_n = \frac{2\pi^{n/2}}{n\Gamma(\frac{n}{2})}, $

这里$ \Gamma $为Gamma函数.

关于$ {{\mathbb R}} ^3 $中凸体的Bonnesen型不等式, 张高勇教授利用凸体之间的混合不等式得到表面积为$ A $, 体积为$ V $的凸体$ D $的Bonnesen型不等式^[13]

$ A^3-36\pi V^2\ge 36\pi \left(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{\frac{4\pi}{3}}\, r\right)^6, $

其中$ r $为凸体$ D $的最大内切球半径, 等号成立当且仅当凸体$ D $为球.

而离散几何体如多边形或者多面体的等周问题, 称其为离散的等周问题. 对于这一问题, 注意到平面情形仅有张新民^[1]的部分结果; 更高维情形, 由于多面体会受到自身复杂性的限制, 使得研究具有一定难度. 目前马磊在文献[14] 中获得了$ {{\mathbb R}} ^3 $中四面体的几个Bonnesen型不等式. 本文将在张新民、马磊的工作研究基础上, 继续研究关于$ {{\mathbb R}} ^3 $中四面体的Bonnesen型不等式. 文中第二部分我们获得了四面体的几个新Bonnesen型不等式(如定理2.1–2.4), 并提供了四面体的等周不等式的一种简化证明(推论2.1). 注意到四面体的等周不等式由Sturm于1884年给出^{[15, p109-111]}, 尽管他的证明是初等的, 但其思想和计算过程并不简单. 第三部分主要考虑四面体的逆Bonnesen型不等式, 即对$ {{\mathbb R}} ^3 $中等周亏格的上界进行估计, 获得了几个用四面体内切球半径以及外接球半径表示的新的逆Bonnesen型不等式(定理3.1–3.4).

为了后面研究方便, 我们首先给出下列引理^[16-18].

引理2.1  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V $, 外接球半径和内切球半径分别为$ R $、$ r $的四面体, 则

(2.1) $ \begin{align} k r ^3\le V\le \frac{k R ^3}{27};\, \, \, \, \, r = \frac{3V}A; \end{align} $

(2.2) $ \begin{align} 3kr^2\le A;\, \, \, \, \, k = 8\sqrt{3}. \end{align} $

等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理2.1  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V, $外接球半径和内切球半径分别为$ R $、$ r $的四面体, 则

(2.3) $ \begin{align} A^3-27kV^2 \ge \frac{A^3}{kR ^3}(V-k r ^3 ), \end{align} $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  由引理2.1中的$ V\le \frac{kR ^3}{27} $, 则

$ 0\le \frac{27V}{kR ^3}\le 1, \, \, \, \, \, 0\le \frac{V}{kR ^3}\le 1. $

因此

$ A^3-27kV^2\ge (A^3-27kV^2 )\frac{V}{kR ^3} = \frac{VA^3}{kR ^3}-\frac{27V^3}{R ^3}. $

又根据$ r = \frac{3V}{A} $ (即$ V = \frac{Ar}3 $) 可得

$ \frac{VA^3}{kR ^3}-\frac{27V^3}{R ^3} = \frac{VA^3}{kR ^3}-\frac{27}{R ^3}\left(\frac{Ar}3\right)^3 = \frac{A^3}{kR ^3}\left(V-k r ^3\right). $

所以

$ A^3-27kV^2 \ge \frac{A^3}{kR ^3}(V-k r ^3 ). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

由定理2.1及(2.1) 式的前半部分, 马上得到如下推论.

推论2.1^[15]  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积为$ A $, 体积为$ V $的四面体, 则

(2.4) $ \begin{align} A^3-27kV^2\ge 0, \end{align} $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

上式(2.4) 为$ {{\mathbb R}} ^3 $中四面体的等周不等式的具体表达.

定理2.2  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V, $内切球半径为$ r $的四面体, 则

$ A^3-27kV^2\ge Akr^2\left(A-3kr^2\right), $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  由引理2.1中的$ 3kr^2\le A $, 可以得到

$ 0\le \frac{3kr^2}{A}\le 1, \, \, \, \, \, 0\le \frac{kr^2}{A}\le 1. $

因此

$ A^3-27kV^2\ge(A^3-27kV^2 )\frac{kr^2}{A} = A^2kr^2-\frac{27k^2V^2r^2}{A} = Akr^2\left(A-3k\frac{9V^2}{A^2}\right). $

又根据$ r = \frac{3V}A $, 可得

$ A^3-27kV^2\ge Akr^2(A-3kr^2 ). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理2.3  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V, $内切球半径为$ r $的四面体, 则

$ A^3-27kV^2\ge \frac{27V^2}{r ^3}\left(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{kr ^3}\right)^3. $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  由于$ r = \frac{3V}A $, 则

$ A^3-27kV^2 = \left(\frac{3V}{r}\right)^3-27kV^2 = 27\left(\frac{V^3}{r ^3}-kV^2\right) = \frac{27V^2}{r ^3}\left(V-kr ^3\right). $

根据$ kr ^3\le V $以及$ a^3-b^3\ge (a-b)^3 $ (其中$ a\ge b>0 $), 可以得到

$ A^3-27kV^2\ge \frac{27V^2}{r ^3}\left(\sqrt[3]{V}-\sqrt[3]{kr ^3}\right)^3. $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理2.4  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V $, 内切球半径为$ r $的四面体, 则

$ A^3-27kV^2\ge 27k^2r ^3\left(V-kr ^3\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  由于$ r = \frac{3V}A $ (即$ A = \frac{3V}r $), 可以得到

$ A^3-27kV^2 = A\left(A^2-\frac{27kV^2}{A}\right) = A\left(\left(\frac{3V}{r}\right)^2-9kVr\right) = \frac{9AV}{r^2}\left(V-kr ^3\right). $

据$ kr ^3\le V $, $ 3kr^2\le A, $则

$ A^3-27kV^2\ge 27k^2r ^3\left(V-kr ^3\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

在凸几何中, 关于反向几何不等式的研究非常有意义. 与Bonnesen型不等式相对应, 人们自然地会考虑如下逆向问题: 是否存在不变量$ U_D $使得

(3.1) $ \begin{align} \Delta_2(D) = L^2-4\pi A\le U_D, \end{align} $

其中$ U_D $为与$ D $有关的一非负量, 且$ U_D = 0 $当且仅当$ D $为圆盘.

我们称形如(3.1) 式的不等式为逆Bonnesen型不等式. 当$ D $为欧氏平面上的严格闭凸曲线围成的区域时, Bottema于1933年给出如下经典结果^[9]

$ \Delta_2 (D) = L^2-4\pi A\le \pi^2\left(\rho_M-\rho_m\right)^2, $

其中$ \rho_M $为边界$ \partial D $的曲率半径$ \rho $的最大值, $ \rho_m $为最小值.

1955年, Pleijel加强了Bottema的结果^[9]

$ \Delta_2(D) = L^2-4\pi A\le \pi (4-\pi)(\rho_M-\rho_m). $

对于一般情形凸域的逆Bonnesen型不等式, 近年来潘生亮、周家足以及他的研究生马磊、岳双珊、曾春娜获得了如下新进展^{[2, 10]}.

设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^{2} $中周长和面积分别为$ L $、$ A $的凸域, 则

$ L^2-4\pi A \le 2\pi L\left(r_e-r_i\right); $

$ L^2-4\pi A \le \frac{\pi L^2}{A}\left(r_e^2-r_i^2\right); $

$ L^2-4\pi A \le 4\pi^2 \left(r_e^2-r_i^2 \right); $

其中$ r_i $为凸域$ D $的内切圆半径的最大值, $ r_e $为外接圆半径的最小值. 等号成立当且仅当凸域$ D $为圆.

对于离散凸体的逆Bonnesen型不等式的结果在高维情形下少之甚少. 基于$ {{\mathbb R}} ^3 $中四面体的等周不等式, 我们定义等周亏格为

$ \Delta_3(D) = A^3-27kV^2, $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, $ V $、$ A $分别为四面体的体积和表面积.

为了后半部分研究方便, 我们首先给出下列引理.

引理3.1  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V $, 外接球半径和内切球半径分别为$ R $、$ r $的四面体, 则

$ r = \frac{3V}A\le \sqrt[3]{\frac{V}k}\le \sqrt{\frac{A}{3k}}\le \sqrt \frac{R ^3}{27r}. $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  根据引理2.1中$ kr ^3\le V $, 可以得到

$ r\le \sqrt[3]{\frac{V}{k}}. $

由推论2.1中$ A^3-27kV^2\ge 0 $ (即$ V\le \sqrt{\frac{A^3}{27k}} $), 有

$ \sqrt[3]{\frac{V}{k}}\le \sqrt{\frac{A}{3k}}. $

根据引理2.1中的$ V\le \frac{kR ^3}{27} $ (即$ k\ge \frac{27V}{R ^3} $), 以及$ r = \frac{3V}A $, 则

$ \sqrt{\frac{A}{3k}}\le \sqrt{\frac{AR ^3}{81V}} = \sqrt \frac{R ^3}{27r}. $

因此

$ r = \frac{3V}A\le \sqrt[3]{\frac{V}k}\le \sqrt{\frac{A}{3k}}\le \sqrt \frac{R ^3}{27r}. $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理3.1  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V $, 内切球半径和外接球半径分别为$ r $、$ R $的四面体, 则

$ A^3-27kV^2\le \frac{k^3R^6}{729r ^3}\left(R ^3-(3r)^3\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  根据$ r = \frac{3V}A $, 得到

$ A^3-27kV^2 = A^2\left(A-\frac{27kV^2}{A^2}\right) = A^2(A-3kr^2) = 3A^2k\left(\frac{A}{3k}-r^2\right). $

由引理3.1中的$ \frac{A}{3k}\le \frac{R ^3}{27r} $, 则

$ A^3-27kV^2\le 3A^2k\left(\frac{R ^3}{27r}-r^2\right). $

由引理3.1中的$ \sqrt{\frac{A}{3k}}\le \sqrt \frac{R ^3}{27r} $ (即$ A\le \frac{kR ^3}{9r} $), 则

$ A^3-27kV^2\le \frac{k^3R^6}{729r ^3}\left(R ^3-(3r)^3\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理3.2  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V $, 内切球半径和外接球半径分别为$ r $、$ R $的四面体, 则

$ A^3-27kV^2\le \frac{k^3R ^3}{3^6r ^3}\left(R^6-(3r)^6\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  根据引理2.1中的$ kr ^3\le V $以及$ r = \frac{3V}A $, 得到

$ A^3-27kV^2 = k^2 V\left(\frac{A^3}{k^2V}-\frac{27V}{k}\right)\le k^2 V\left(\frac{3A^2}{k^2r}-27r ^3\right) = \frac{27k^2V}{r} \left(\left(\frac{A}{3k}\right)^2-r^4\right). $

由引理3.1中的$ \frac{A}{3k}\le \frac{R ^3}{27r} $, 则

$ A^3-27kV^2\le \frac{27k^2V}{r}\left(\frac{R^6}{3^6r^2}-r^4\right) = \frac{k^2V}{3^3r ^3}\left(R^6-(3r)^6\right). $

根据引理2.1中的$ V\le \frac{kR ^3}{27} $, 则

$ A^3-27kV^2\le \frac{k^3R ^3}{3^6r ^3}\left(R^6-(3r)^6\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理3.3  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V $, 内切球半径和外接球半径分别为$ r $、$ R $的四面体, 则

$ A^3-27kV^2\le \frac{k^3}{3^6r ^3}(R^9-(3r)^9). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  根据引理2.1中的$ kr ^3\le V $, 可以得到

$ A^3-27kV^2\le A^3-27k^3r^6 = 27k^3\left(\left(\frac{A}{3k}\right)^3-r^6\right). $

根据引理3.1中的$ \frac{A}{3k}\le \frac{R ^3}{27r} $, 则

$ A^3-27kV^2\le 27k^3\left(\left(\frac{R ^3}{27r}\right)^3-r^6\right) = \frac{k^3}{3^6r ^3}\left(R^9-(3r)^9\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

定理3.4  设$ D $为$ {{\mathbb R}} ^3 $中表面积和体积分别为$ A $、$ V $, 内切球半径和外接球半径分别为$ r $、$ R $的四面体, 则

$ A^3-27kV^2\le \frac{k^3R ^3}{r^6}\left(\frac{R^9}{3^9}-r^9\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.

证  根据$ r = \frac{3V}A $, 可以得到

$ A^3-27kV^2 = \bigg(\frac{3V}r\bigg)^3-27kV^2 = \frac{27Vk^2}{r ^3}\left(\frac{V^2}{k^2} -\frac{Vr ^3}k\right). $

由引理3.1中的$ \sqrt[3]{\frac{V}k}\le \sqrt \frac{R ^3}{27r} $ (即$ \frac{V^2}{k^2} \le \frac{R^9}{27^3r ^3} $) 以及引理2.1中的$ kr ^3\le V $, 则

$ \frac{27Vk^2}{r ^3}\left(\frac{V^2}{k^2} -\frac{Vr ^3}k\right)\le \frac{27Vk^2}{r ^3} \left(\frac{R^9}{27^3r ^3}-\frac{Vr ^3}k \right)\le \frac{27Vk^2}{r ^3}\left(\frac{R^9}{27^3r ^3}-r^6\right). $

根据引理2.1中的$ V\le \frac{k{{\mathbb R}} ^3}{27} $, 则

$ \frac{27Vk^2}{r ^3}\left(\frac{R^9}{27^3r ^3}-r^6\right)\le \frac{k^3R ^3}{r ^3}\left(\frac{R^9}{27^3r ^3}-r^6\right) = \frac{k^3R ^3}{r^6}\left(\frac{R^9}{3^9}-r^9\right). $

其中$ k = 8\sqrt{3} $, 等号成立当且仅当$ D $为正四面体.