Rabinovich系统源自于国际知名学者Pikovski、Rabinovich和Trakhtengerts在研究等离子体中三种共振耦合波相互作用问题时, 发现下述动力学方程(其常被简称为PRT系统)能准确地描述平行于磁场的等离子体波与离子声波的相互作用, 以及等离子体在低杂化共振附近的振荡的等离子体动力学行为^[1]:

(1.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} \dot{x} = hy-v_{1}x-yz, \\ \dot{y} = hx-v_{2}y+xz, \\ \dot{z} = xy-v_{3}z, \end{array} \right. \end{eqnarray} $

其中$ (x, y, z)\in{\Bbb R}^3 $. 从其表达形式不难看出, 系统(1.1)关于$ x = -x $, $ y = -y $对称. 众所周知, 在参数值$ v_{1} = 1 $, $ v_{2} = 4 $, $ v_{3} = 1 $, $ 4.84\leq h\leq h_{0} $ ($ h_{0}\geq4 .92) $下, Rabinovich系统(1.1) 表现出混沌属性. 设$ h = 6.75 $, 从典型的吸引子相图(见图 1)可以看出, 它与Lorenz吸引子相图十分相似. 此外, 专著[2]明确指出, Rabinovich系统和Lorenz系统都可视为广义Lorenz系统的特例.

鉴于Rabinovich系统在耦合波和等离子等物理领域的重要作用, 近些年来其研究已有丰富的结果. 经典的代表工作有, 文献[1]探讨了系统(1.1)的混沌化路径; 文献[3]对Rabinovich系统混沌吸引子的有界性给出了精细的研究, 并分析了系统的局部分岔、同宿分岔和全局渐近稳定性条件; 文献[4]给出了正参数值条件下Rabinovich系统的所有紧不变集; 文献[5]运用Poincáre紧致化技术给出了系统(1.1)的全局描述.

当前研究动力系统稳定性的两大高效方法当属Lyapunov稳定性理论和KCC理论. Lyapunov稳定性理论^[6-7]是研究描述动力系统的微分方程的解的稳定性非常成熟的技术, 其也常运用于研究系统的混沌行为, 如正向不变集和分形维数的估计等. 此外, 在刻画关于系统平衡点的几何结构时, 往往引进Lyapunov指数, 使之能并量化地给出轨迹的指数偏差. 但对于"混沌: 对于初始值的极度敏感性是如何与经典的不稳定性联系起来的呢?" 这个问题, 有学者认为经典Lyapunov不稳定性定理已不足以充分描述这些现象的本质^[8-9], 特别是近期关于只有稳定平衡点或甚至没有平衡点的混沌系统和隐藏吸引子概念的问题的引入.

KCC理论是源于Kosambi^[10], Cartan^[11]和Chern^[12]的开创性工作所提出的一种研究动力系统稳定性的几何动力学方法(geometrodynamical approach), 其基本思想是考虑到二阶动力系统与相关Finsler空间中的测地线方程之间存在一一对应关系. 准确而言, 其是构建整体轨迹偏离附近轨迹的变分方程的微分几何理论. 从动力系统的几何描述而言, 其将非线性联络和Berwald联络关联到微分系统中, 从而获得五个几何不变量. 其中, 第二个不变量, 也被称为偏离曲率张量, 能准确刻画系统的Jacobi稳定性(KCC理论也常被称为Jacobi分析方法). Jacobi稳定性事实上是将测地线流在具有度量(黎曼(Riemann)或芬斯勒(Finsler))的可微流形上的稳定性推广至非度量上的一种自然演化, 进而构成了KCC理论的重要组成部分^[13]. Jacobi分析方法是从系统轨迹的任何一点出发, 通过计算系统轨迹偏离曲率张量所构成的不变量: 线性化特征值, 根据特征值的实部的符号来判断系统的稳定性. 可见它不仅能分析系统平衡点的稳定性, 也能分析没有平衡点的系统的轨线上任意一点处的稳定性情况. 这给含隐藏吸引子^[14]系统的复杂性分析提供了一种很好的几何方法. 事实上, Maria等人自1997年开始建立了一个理论框架^[15], 致力于动力系统行为的几何描述以及它们的混沌特性.

近年来, 从几何角度出发探究系统轨线的复杂性的研究越来越受关注^[16-19]. 早期, KCC理论主要应用在二维系统中, 包括生物系统^[20]、化学系统^[21]. 后来逐渐应用到了宇宙学^[22]、力学^[23-24]、天体物理学^[25]、医学^[26]等领域的研究中^[27]. 目前, KCC理论主要集中应用到三维的混沌系统, 如Lorenz系统^[28], Hamiltonian系统^[29], Rössler系统^[30], Rikitake系统^[31-32], Chua系统^[33]和其他的三维混沌系统^[34-37]. 值得提及, 文献[17, 28]指出偏离矢量的曲率通过从正值到负值的过渡, 本质上同轨线的混沌行为存在紧密联系, 早期的过渡意味着混沌的发生.

本节将介绍KCC理论的一些基本概念, 包括五个KCC不变量, Jacobi稳定性的概念等^{[12, 38]}. 全文沿用爱因斯坦和式公约.

令$ (x) = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\in{\Bbb R}^n $, $ (y) = (y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n})\in{\Bbb R}^n $, $ y_{i} = {\rm d}x_{i}/{\rm d}t $. 考虑二阶微分方程组

(2.1) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}^{2}x_{i}}{{\rm d}t^{2}}+2G_{i}(x, y, t) = 0, i = 1, 2, \ldots, n, \end{equation} $

其中$ (x, y, t)\in\Omega\subset{\Bbb R}^n\times{\Bbb R}^n\times{\Bbb R} $, $ \Omega $为一连通开集, $ G_{i}(x, y, t)\in C^{\infty} $.

定义

(2.2) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm D}\xi_{i}}{{\rm d}t} = \frac{{\rm d}\xi_{i}}{{\rm d}t}+N^{i}_{j}\xi_{j}, \end{eqnarray} $

其中, $ N^{i}_{j} = \partial G_{i}/\partial y_{j} $. 由方程(2.2), 方程(2.1)可简约为

(2.3) $ \begin{equation} \frac{{\rm D}y_{i}}{{\rm d}t} = N^{i}_{j}y_{j}-2G_{i} = -\epsilon_{i}. \end{equation} $

$ \epsilon_{i} $称为方程(2.1)的第一个KCC不变量. 方程(2.1)轨线$ x_{i}(t) $一个微小扰动, 记为

(2.4) $ \begin{eqnarray} \tilde{x}_{i}(t) = x_{i}(t)+\eta\xi_{i}(t), \end{eqnarray} $

$ |\eta| $是小参数, $ \xi_{i}(t) $是沿着轨线$ x_{i}(t) $定义的逆变矢量场的分量. 将方程(2.4)代入方程(2.1) 中, 取极限$ \eta\rightarrow0 $, 可获得下述偏离方程

(2.5) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm d}^{2}\xi_{i}}{{\rm d}t^{2}}+2N^{i}_{j}\frac{{\rm d}\xi_{j}}{{\rm d}t}+2\frac{\partial G_{i}}{\partial x_{j}}\xi_{j} = 0. \end{eqnarray} $

运用KCC协变微分和方程(2.5), 可得

(2.6) $ \begin{eqnarray} \frac{{\rm D}^{2}\xi_{i}}{{\rm d}t^{2}} = P^{i}_{j}\xi_{j}, \end{eqnarray} $

其中

(2.7) $ \begin{equation} P^{i}_{j} = -2\frac{\partial G_{i}}{\partial x_{j}}-2G_{l}G^{i}_{jl}+y_{l}\frac{\partial N^{i}_{j}}{\partial x_{l}}+N^{i}_{l}N^{l}_{j}+\frac{\partial N^{i}_{j}}{\partial t}, \end{equation} $

这里$ G^{i}_{jl} = \partial N^{l}_{j}/\partial y_{l} $, 张量$ P^{i}_{j} $称为第二个KCC不变量或者偏离曲率张量. 系统(2.1)的第三、第四和第五KCC不变量定义如下

(2.8) $ \begin{equation} P^{i}_{jk} = \frac{1}{3}\left(\frac{\partial P^{i}_{j}}{\partial y_{k}}-\frac{\partial P^{i}_{k}}{\partial y_{j}}\right), P^{i}_{jkl} = \frac{\partial P^{i}_{jk}}{\partial y_{l}}, D^{i}_{jkl} = \frac{\partial G^{i}_{jk}}{\partial y_{l}}. \end{equation} $

在几何上, 可以把第三个KCC不变量$ P^{i}_{jk} $解释为绕率张量. 而第四和第五个KCC不变量$ P^{i}_{jkl} $, $ D^{i}_{jkl} $分别被称为Riemann-Christoffel曲率张量和Douglas张量.

在欧几里得空间$ ({\Bbb R}^{n}, \langle\cdot, \cdot\rangle) $中, 常把系统(2.1)的轨线$ x_{i} = x_{i}(t) $视为曲线, 其中$ \langle\cdot, \cdot\rangle $是$ {\Bbb R}^{n} $中的典范内积. 本文的主要目的是探究系统(2.1)的轨线$ x_{i} = x_{i}(t) $在点$ x_{i}(t_{0}) $附近的聚焦趋势. 为了方便, 假设$ t_{0} = 0 $.

假设$ \xi(t) $满足初始条件$ \xi(0) = O $, $ \dot{\xi}(0) = W\neq O $, $ O\in {\Bbb R}^{n} $是零向量. 引进向量$ \xi(t) $的一内积$ \langle\langle X, Y\rangle\rangle $如下: 对$ X, Y\in {\Bbb R}^{n} $, 有

$ \langle\langle X, Y\rangle\rangle: = \frac{1}{\langle W, W\rangle}\cdot \langle X, Y\rangle, $

不难看出, $ \parallel W\parallel^{2}: = \langle\langle W, W\rangle\rangle = 1 $.

于是, 轨线在$ t = 0 $附近的聚焦趋势具有下述特征

$ \bullet $如果$ \parallel \xi(t)\parallel^{2}<t^{2} $, $ t\approx 0^{+} $, 则轨线是聚集的.

$ \bullet $如果$ \parallel\xi(t)\parallel^{2}>t^{2} $, $ t\approx 0^{+} $, 则轨线是发散的.

首先, 通过简单计算可知: 当$ h<\sqrt{v_{1}v_{2}} $时, Rabinovich系统只有一个平衡点$ S_{0}(0, 0, 0) $; 若$ h>\sqrt{v_{1}v_{2}} $时, 系统有三个实数平衡点

$ S_{0}(0, 0, 0), $

$ S_{1}\left(\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}, \sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}, z_{0}\right), $

$ S_{2}\left(-\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}, -\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}, z_{0}\right), $

其中$ z_{0} = \sqrt{h^{2}-v_{1}v_{2}} $. 特别地(详细参见文献[3])取参数$ v_{1} = 1, v_{2} = 4, v_{3} = 1 $, 当$ h<2 $时, 系统在原点$ S_{0}(0, 0, 0) $处渐近稳定; 若$ h = 2 $时, 系统在原点处失稳, 发生叉式分岔并产生两稳定平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $; 但$ h = 3.99 $时, 系统发生同宿分岔: 原点的一维不稳定流形(与$ z = 0 $平面相切)同它的二维稳定流形相连; 而$ h = 4.8 $时, 系统产生异宿分岔: 原点的不稳定流形的左(右)部分与围绕平衡点$ S_{1} $($ S_{2} $) 的极限环(马鞍型)的一维稳定流形相连, 此时平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $均为稳定的; 当$ h = 5 $时, 系统在平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $处失稳, 同时发生次临界Hopf分岔现象.

下面利用KCC理论, 讨论Rabinovich系统(1.1)平衡点的Jacobi稳定性. 全文假设所有参数$ h $, $ v_{1} $, $ v_{2} $, $ v_{3} $值均严格大于零.

由系统(1.1)可得

(3.1) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} \ddot{x} = h\dot{y}-v_{1}\dot{x}-\dot{y}z-y\dot{z}, \\ \ddot{y} = h\dot{x}-v_{2}\dot{y}+\dot{x}z+x\dot{z}, \\ \ddot{z} = \dot{x}y+x\dot{y}-v_{3}\dot{z}. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

令$ x = x_{1} $, $ \dot{x} = y_{1} $, $ y = x_{2} $, $ \dot{y} = y_{2} $, $ z = x_{3} $, $ \dot{z} = y_{3} $, 则Rabinovich系统可化为

(3.2) $ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{lll} \ddot{x_{1}}-hy_{2}+v_{1}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{2}y_{3} = 0, \\ \ddot{x_{2}}-hy_{1}+v_{2}y_{2}-x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3} = 0, \\ \ddot{x_{3}}-x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}+v_{3}y_{3} = 0. \end{array} \right. \end{eqnarray} $

因此, 可将系统(3.2)简记为

$ \ddot{x}_{i}+2G_{i}(x_{i}, y_{i}, t) = 0, i = 1, 2, 3, $

其中

$ G_{1}\left(x, y, t\right) = \frac{1}{2}\left(v_{1}y_{1}+x_{3}y_{2}+x_{2}y_{3}-hy_{2}\right), \\ G_{2}\left(x, y, t\right) = \frac{1}{2}\left(v_{2}y_{2}-x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-hy_{1}\right), \\ G_{3}\left(x, y, t\right) = \frac{1}{2}\left(v_{3}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right). $

通过计算, 不难得出

$ N^{1}_{1} = \frac{1}{2}v_{1}, N^{1}_{2} = \frac{1}{2}(x_{3}-h), N^{1}_{3} = \frac{1}{2}x_{2}, \\ N^{2}_{1} = -\frac{1}{2}(x_{3}+h), N^{2}_{2} = \frac{1}{2}v_{2}, N^{2}_{3} = -\frac{1}{2}x_{1}, \\ N^{3}_{1} = -\frac{1}{2}x_{2}, N^{3}_{2} = -\frac{1}{2}x_{1}, N^{3}_{3} = \frac{1}{2}v_{3}, $

由于上述非线性联络的每一分量均与$ y_{l} $无关($ l = 1, 2, 3 $), 因此Berwald联络的每一分量都等于零, 即$ G^{i}_{jk} = 0 $. 由(2.3)式可计算得出第一个KCC不变量

$ \epsilon_{1} = \frac{1}{2}\left(v_{1}y_{1}-x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}-hy_{2}\right), \\ \epsilon_{2} = \frac{1}{2}\left(v_{2}y_{2}-x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-hy_{1}\right), \\ \epsilon_{3} = \frac{1}{2}\left(v_{3}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\right). $

同时运用(2.7)式, 得到偏离曲率张量(第二个KCC不变量)分量

$ P^{1}_{1} = \frac{1}{4}\left(v_{1}^{2}+h^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}\right), P^{1}_{2} = \frac{1}{4}\left[(v_{1}+v_{2})x_{3}-x_{1}x_{2}-(v_{1}+v_{2})h-2y_{3}\right], \\ P^{1}_{3} = \frac{1}{4}\left[(v_{1}+v_{3})x_{2}-x_{1}x_{3}+hx_{1}-2y_{2}\right], \\ P^{2}_{1} = \frac{1}{4}\left[x_{1}x_{2}-(v_{1}+v_{2})x_{3}-(v_{1}+v_{2})h+2y_{3}\right], \\ P^{2}_{2} = \frac{1}{4}\left(v_{2}^{2}+h^{2}+x_{1}^{2}-x_{3}^{2}\right), P^{2}_{3} = -\frac{1}{4}\left[2y_{1}-(v_{2}+v_{3})x_{1}-hx_{2}-x_{2}x_{3}\right], \\ P^{3}_{1} = \frac{1}{4}\left[hx_{1}+x_{1}x_{3}-(v_{1}+v_{3})x_{2}+2y_{2}\right], P^{3}_{2} = \frac{1}{4}\left[hx_{2}-x_{2}x_{3}-(v_{2}+v_{3})x_{1}+2y_{1}\right], \\ P^{3}_{3} = \frac{1}{4}\left(v_{3}^{2}+x_{1}^{2}-x_{2}^{2}\right), $

在Rabinovich系统中, 显然可知(2.8)式的第三、第四和第五个KCC不变量均为零.

相似地, 在平衡点$ S_{0} $, $ S_{1} $, $ S_{2} $处, 可获得Rabinovich系统的第二个KCC不变量的各个分量如下

$ P^{1}_{1}(S_{0}) = \frac{1}{4}\left(v_{1}^{2}+h^{2}\right), P^{1}_{2}(S_{0}) = P^{2}_{1}(S_{0}) = -\frac{1}{4}\left(v_{1}+v_{2}\right)h, \\ P^{2}_{2}(S_{0}) = \frac{1}{4}\left(v_{2}^{2}+h^{2}\right), P^{3}_{3}(S_{0}) = \frac{1}{4}v_{3}^{2}, \\ P^{1}_{3}(S_{0}) = P^{2}_{3}(S_{0}) = P^{3}_{1}(S_{0}) = P^{3}_{2}(S_{0}) = 0, \\ P^{1}_{1}(S_{1}) = P^{1}_{1}(S_{2}) = \frac{1}{4}\left(v_{1}^{2}+v_{1}v_{2}-\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}\right), \\ P^{1}_{2}(S_{1}) = P^{1}_{2}(S_{2}) = \frac{1}{4}\left[(v_{1}+v_{2}-v_{3})z_{0}-(v_{1}+v_{2})h\right], \\ P^{1}_{3}(S_{1}) = -P^{1}_{3}(S_{2}) = \frac{1}{4}\left[(v_{1}+v_{3}+2v_{2})\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}} -(h+z_{0})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right], \\ P^{2}_{1}(S_{1}) = P^{2}_{1}(S_{2}) = \frac{1}{4}\left[(v_{3}-v_{2}-v_{1})z_{0}-(v_{1}+v_{2})h\right], \\ P^{2}_{2}(S_{1}) = P^{2}_{2}(S_{1}) = \frac{1}{4}\left[v_{2}^{2}+v_{1}v_{2}+\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}\left(h-z_{0}\right)\right], \\ P^{2}_{3}(S_{1}) = -P^{2}_{3}(S_{2}) = -\frac{1}{4}\left[(h-3z_{0})\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}-(2v_{1}+v_{2}+v_{3})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right], \\ P^{3}_{1}(S_{1}) = -P^{3}_{1}(S_{2}) = \frac{1}{4}\left[(3h+3z_{0})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}-(v_{1}+v_{3}+2v_{2})\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}\right], \\ P^{3}_{2}(S_{1}) = -P^{3}_{2}(S_{2}) = \frac{1}{4}\left[(3h-3z_{0})\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}-(2v_{1}+v_{2}+v_{3})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right], \\ P^{3}_{3}(S_{1}) = P^{3}_{3}(S_{2}) = \frac{1}{4}\left[v_{3}^{2}+\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})-\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}\right]. $

故, 可将系统的第二个KCC不变量(偏离曲率张量)写成下述矩阵形式

$ P = \left( \begin{array}{cccc} P_{1}^{1} &{\quad} P_{2}^{1}{\quad} &P_{3}^{1}\\ P_{1}^{2} &P_{2}^{2} &P_{3}^{2}\\ P_{1}^{3} &P_{2}^{3} &P_{3}^{3} \end{array}\right), $

其特征多项式为

(3.3) $ \begin{eqnarray} \lambda^{3} -(P_{1}^{1}+P_{2}^{2}+P_{3}^{3})\lambda^{2}+(P_{1}^{1}P_{2}^{2}+P_{1}^{1}P_{3}^{3}+P_{2}^{2}P_{3}^{3} +P^{1}_{3}P^{3}_{1}+P^{2}_{3}P^{3}_{2}+P^{1}_{2}P^{2}_{1})\lambda {}\\ -(P_{1}^{1}P_{2}^{2}P_{3}^{3}+P^{1}_{2}P^{2}_{3}P^{3}_{1}+P^{1}_{3}P^{2}_{1}P^{3}_{2}+ P^{1}_{3}P_{2}^{2}P^{3}_{1}+P_{1}^{1}P^{2}_{3}P^{3}_{2}+P^{1}_{2}P^{2}_{1}P_{3}^{3}) = 0. \end{eqnarray} $

沿用上述形式, 可计算出Rabinovich系统在平衡点$ S_{0}(0, 0, 0) $处的偏离曲率张量

$ P(S_{0}) = \left( \begin{array}{cccc}{ } \frac{1}{4}\left(v_{1}^{2}+h^{2}\right) &{ }-\frac{1}{4}\left(v_{1}+v_{2}\right)h &0\\ { } -\frac{1}{4}\left(v_{1}+v_{2}\right)h &{\quad}{ }\frac{1}{4}\left(v_{2}^{2}+h^{2}\right) {\quad} &0\\ 0 &0 &{ }\frac{1}{4}v_{3}^{2} \end{array}\right). $

该矩阵的特征多项式为

$ \left(\lambda-\frac{1}{4}v_{3}^{2}\right)\left[\lambda^{2}-\frac{1}{4}(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+2h^{2})\lambda +\frac{1}{16}\left(v_{1}^{2}+h^{2}\right)\left(v_{2}^{2}+h^{2}\right)-\frac{1}{16}(v_{1}+v_{2})^{2}h^{2}\right] = 0, $

显然, $ \frac{1}{4}v_{3}^{2}>0 $为上述特征多项式的一特征值. 由文献[12, 38]给出的Jacobi稳定性定义可知, 系统在平衡点$ S_{0}(0, 0, 0) $处总是Jacobi不稳定的. 而在平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $处, 系统对的偏离曲率张量所诱导的特征多项式是一致的(参见(3.3)式), 故系统在平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $处的Jacobi稳定性是一致的. 令$ v_{1} = 1, v_{2} = 4, v_{3} = 1 $, 那么系统在平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $处的偏离曲率张量的特征多项式可以表示为

(3.4) $ \begin{eqnarray} \lambda^{3}+b_{1}\lambda^{2}+b_{2}\lambda+b_{3} = 0, \end{eqnarray} $

其中

$ b_{1} = \frac{21h-2h^{3}-18z_{01}+2h^{2}z_{01}}{2(z_{01}-h)}, \\ b_{2} = \frac{1}{16(z_{01}-h)^{3}}[16h^{6}z_{01}-72h^{5}-16h^{7}+8h^{4}(13z_{01}-35A_{1}B_{1})\nonumber\\ \qquad-32(38z_{01}+A_{1}B_{1})+h^{2}(585z_{01}+856A_{1}B_{1})-8h(37z_{01}A_{1}B_{1}-332)\nonumber\\ \qquad+5h^{3}(56z_{01}A_{1}B_{1}-69)], \\ b_{3} = \frac{1}{16(z_{01}-h)^{3}}[1008h^{5}+4h^{7}+2521z_{01}-4h^{6}z_{01}-2448A_{1}B_{1}\nonumber\\ \qquad+20h^{2}(87z_{01}-112A_{1}B_{1})+h^{4}(1153A_{1}B_{1}-1016z_{01})-2h(532+33z_{01}A_{1}B_{1})\nonumber\\ \qquad-h^{3}(3780+1153z_{01}A_{1}B_{1})], \\ z_{01} = \sqrt{h^{2}-4}, \; A_{1} = \sqrt{\frac{z_{01}}{h-z_{01}}}, \; B_{1} = \sqrt{4-h^{2}+hz_{01}}. $

于是根据Routh-Hurwitz判别法则, 可知在指定的参数条件下, 平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $是Jacobi稳定的, 当且仅当参数$ h $同时满足以下条件

$ b_{1}>0, \;b_{3}>0, $

且

$ \frac{1}{32(h-z_{01})^{4}}[64h^{10}-384h^{8}-64h^{9}z_{01}-67456+5472z_{01}A_{1}B_{1}+32h^{7}(8z_{01}+35A_{1}B_{1})\nonumber\\ -48h(179z_{01}+571A_{1}B_{1})-4h^{5}(607z_{01}+2713A_{1}B_{1})+h^{3}(37279z_{01}+32324A_{1}B_{1})\nonumber\\ -4h^{6}(280z_{01}A_{1}B_{1}-703)-20h^{2}(867z_{01}A_{1}B_{1}-6814)+h^{4}(8612z_{01}A_{1}B_{1}-41879)]>0. $

通过选取参数$ h $不同取值, 分别获得平衡点$ S_0 $, $ S_1 $, $ S_2 $的Jacobi稳定性态列表如表 1.

从表 1可以看出, 在给定的四组参数条件下, 平衡点$ S_{0} $, $ S_{1} $和$ S_{2} $既是线性不稳定也是Jacobi不稳定.

本节将通过分析偏离向量、偏离向量曲率和不稳定性指数的时间演化对Rabinovich系统(1.1)的混沌属性进行直观的探讨.

由第3节可知(见表 1), 当$ v_{1} = 1 $, $ v_{2} = 4 $, $ v_{3} = 1 $, $ h $分别取$ 5.5, 6.75, 10, 15 $时, Rabinovich系统处于混沌状态, 其相图如图 2所示.

此外结合方程(2.5)可得, Rabinovich系统的偏离向量$ \xi $在平衡点$ S_{i} $附近的轨线行为可以由下列方程获得

(4.1) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}^{2}\xi_{1}}{{\rm d}t^{2}}+v_{1}\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+(x_{3}-h)\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}+x_{2}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t}+y_{3}\xi_{2}+y_{2}\xi_{3} = 0, \end{equation} $

(4.2) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}^{2}\xi_{2}}{{\rm d}t^{2}}-(h+x_{3})\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+v_{2}\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}-x_{1}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t}-y_{3}\xi_{1}-y_{1}\xi_{3} = 0, \end{equation} $

(4.3) $ \begin{equation} \frac{{\rm d}^{2}\xi_{3}}{{\rm d}t^{2}}-x_{2}\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}-x_{1}\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}+v_{3}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t}-y_{2}\xi_{1}-y_{1}\xi_{2} = 0, \end{equation} $

其中偏离向量$ \xi(t) $由其分量$ \xi_{1}(t), \xi_{2}(t), \xi_{3}(t) $构成

$ \xi(t) = \sqrt{\left[\xi_{1}(t)\right]^{2}+\left[\xi_{2}(t)\right]^{2}+\left[\xi_{3}(t)\right]^{2}}. $

为了定量刻画系统的混沌机理, 在此引入不稳定指数$ \delta_{i}, i = 1, 2, 3 $和$ \delta $ (详见文献[28])

$ \delta_{i}(E) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{1}{t}\ln \left[\frac{\xi_{i}(t)}{\xi_{i0}}\right], i = 1, 2, 3, $

$ \delta(E) = \lim\limits_{t\rightarrow \infty}\frac{1}{t}\ln \left[\frac{\xi(t)}{\xi_{10}}\right]. $

将平衡点$ S_{0} $的值代入方程组(4.1)–(4.3), 于是乎可以得到偏离向量在平衡点$ S_{0} $附近的动力学方程如下

$ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{1}}{{\rm d}t^{2}}+v_{1}\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}-h\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t} = 0, $

$ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{2}}{{\rm d}t^{2}}-h\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+v_{2}\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t} = 0, $

$ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{3}}{{\rm d}t^{2}}+v_{3}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t} = 0. $

图 3呈现了系统在平衡点$ S_{0} $附近偏离向量及其分量的时间演化. 从图 3中可以看出, 在非常小的时间间隔内, 偏离向量的分量$ \xi_{1} $和$ \xi_{2} $的值仅随时间的增加发生微小振荡, 而后经过一段时间, $ \xi_{1} $, $ \xi_{2} $的值快速地增加, 并呈现出指数增加的形式. 但分量$ \xi_{3} $的值却表现出相反的动力学行为, 即$ \xi_{3} $的值从一开始便随着时间的增加而迅速增长, 经过一段时间后, 增长的速度变得比较缓慢. 偏离向量$ \xi $的值也是经过一定的时间后便随着时间的增加而快速地增加. 根据上述分析可知, 我们得到的数值结果与文献[3]的理论分析结果相一致.

不稳定性指数$ \delta $在平衡点$ S_{0} $附近的时间变化结果如图 4所示. 考虑到不稳定性指数和时间变量的关系蕴含着平衡点的稳定性行为. 因此, 图 4显示了在所选取的参数条件下, 系统在平衡点$ S_{0} $处是Jacobi不稳定性. 这与第3章的理论分析完全吻合.

同样地, 通过方程(4.1)–(4.3)可获得偏离向量在平衡点$ S_{1} $附近的动力学性质:

$ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{1}}{{\rm d}t^{2}}+v_{1}\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+(z_{0}-h)\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}+\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t} \\ +\left[(h+z_{0})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}-v_{2}\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}\right]\xi_{3} = 0, \\ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{2}}{{\rm d}t^{2}}-(h+z_{0})\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+v_{2}\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}-\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t}\nonumber\\ -\left[(h-z_{0})\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}-v_{1}\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right]\xi_{3} = 0, \\ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{3}}{{\rm d}t^{2}}-\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}-\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}+v_{3}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t}\nonumber\\ -\left[(h+z_{0})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}-v_{2}\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}\right]\xi_{1}\nonumber\\ -\left[(h-z_{0})\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}-v_{1}\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right]\xi_{2} = 0.{\nonumber} $

图 5和图 6分别呈现了系统在平衡点$ S_{1} $附近偏离向量及其分量随时间变化的趋势, 以及不稳定性指数的时间变化情况.

相似地, 偏离向量在平衡点$ S_{2} $附近的动力学方程为

$ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{1}}{{\rm d}t^{2}}+v_{1}\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+(z_{0}-h)\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}-\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t} \\ +\left[v_{2}\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}-(h+z_{0})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right]\xi_{3} = 0, \\ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{2}}{{\rm d}t^{2}}-(h+z_{0})\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+v_{2}\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}+\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t}\nonumber\\ -\left[(z_{0}-h)\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}+v_{1}\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right]\xi_{3} = 0, \\ \frac{{\rm d}^{2}\xi_{3}}{{\rm d}t^{2}}+\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}\frac{{\rm d}\xi_{1}}{{\rm d}t}+\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\frac{{\rm d}\xi_{2}}{{\rm d}t}+v_{3}\frac{{\rm d}\xi_{3}}{{\rm d}t}\nonumber\\ -\left[v_{2}\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}-(h+z_{0})\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right]\xi_{1}\nonumber\\ -\left[(z_{0}-h)\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}+v_{1}\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}\right]\xi_{2} = 0. $

图 7则给出了系统在平衡点$ S_{2} $附近偏离向量及其分量随时间变化的趋势, 而图 8展示了不稳定性指数的时间变化行为.

从图 5和7可以观察到, 偏离向量的分量$ \xi_{1} $, $ \xi_{2} $和$ \xi_{3} $三者的值随时间变化具有相同的趋势. 在相当小的时间间隔内, $ \xi_{1} $, $ \xi_{2} $和$ \xi_{3} $的值随着时间的增加发生了微小的振荡, 而经过一段时间后, $ \xi_{1} $, $ \xi_{2} $和$ \xi_{3} $的值发生大幅度的变化, 并且它们的值总体上是呈增大的趋势. 此数值结果与文献[3]的理论分析结果相一致.

从总体上看, 不稳定性指数随时间的增大而增大(见图 6和8). 因此, 在所选取的参数条件下平衡点$ S_{1} $和$ S_{2} $都是Jacobi不稳定的. 此数值结果也与第3章的理论分析结果相吻合.

另一方面, 考虑到偏离向量的曲率也可以很好地描述系统的混沌属性(参见文献[28]), 故, 根据微分几何的标准方法, 用曲线$ \xi(t) = (\xi_{1}(t), \xi_{2}(t), \xi_{3}(t)) $的几何曲率符号$ \kappa $来定量描述偏离向量的行为, 其中空间曲线曲率的计算公式为

$ \kappa(S) = \frac{\sqrt{\left[\dot{\xi}_{1}(t)\ddot{\xi}_{2}(t)-\ddot{\xi}_{1}(t) \dot{\xi}_{2}(t)\right]^{2}+\left[\dot{\xi}_{2}(t)\ddot{\xi}_{3}(t)-\ddot{\xi}_{2}(t)\dot{\xi}_{3}(t)\right]^{2} +\left[\dot{\xi}_{3}(t)\ddot{\xi}_{1}(t)-\ddot{\xi}_{3}(t)\dot{\xi}_{1}(t)\right]^{2}}}{\left\{\left[\dot{\xi}_{1}(t)\right]^2 +\left[\dot{\xi}_{2}(t)\right]^2+\left[\dot{\xi}_{3}(t)\right]^2\right\}^{3/2}}. $

由图 9可以看出, Rabinovich系统曲线的偏离方式是呈线性的, 即沿着其切线方向偏离.

本文基于KCC理论将微分几何技术应用到三维多项式系统的混沌复杂性研究. 论文从系统轨线的任意点出发分析了三维Rabinovich系统的Jacobi稳定性态, 结果表明, 系统在原点$ S_{0}(0, 0, 0) $总是Jacobi不稳定的; 而系统在平衡点$ S_{1, 2}\left(\pm\sqrt{\frac{v_{3}z_{0}}{v_{1}}(h-z_{0})}, \pm\sqrt{\frac{v_{1}v_{3}z_{0}}{h-z_{0}}}, z_{0}\right) $的Jacobi稳定性依赖于参数值. 此外, 在获得系统在平衡点附近偏离向量及其分量的时间演化的基础上, 引入不稳定性指数和曲率, 结合数值仿真对系统的混沌机理进行探讨性分析, 数值结果强有力地验证了已有的理论分析. 希望本文的研究对解释动力系统混沌机理有所帮助.