本文研究如下Kirchhoff型问题

正基态解的存在性, 其中$a>0$, $b>0$, $4<p<6$, $\varepsilon>0$. 此外, $V(x)$是一个非负函数且满足

问题(1.1) 与下面方程

对应的稳态相关. 1983年, 作为经典D'Alembert波动方程的延伸, Kirchhoff^[1]在研究拉伸弦的横向振动, 特别是考虑到横向振动引起的弦的长度变化时首次提出方程(1.2), 其中$u$表示变量, 且当$b$与弦的内在属性相关时, $h$是外力, $a$是初始应变量, 如Young's模.

近年来, 采用非线性分析的工具和变分方法, 许多学者对下列非线性Kirchhoff型方程

进行了大量的研究, 建立了基态解, 束缚态解和半经典态解等的存在性和多重性. 例如: 当$V(x): = C$时, Xu和Chen^[2]证明了方程(1.3) 具有径向基态解, 其中$f(x, u)$满足临界Berestycki-Lions型条件. 当$C = 0$时, 问题(1.3) 可简化为如下方程

Liu和Guo^[3]研究了临界增长中具有一般非线性的问题(1.4) 的基态解的存在性. 当(1.4) 式中$f(x, u) = g(x)|u|^{2^{\ast}-2}u+\lambda h(x)|u|^{q-1}u$时, Li^[4]通过Nehari法和变分法得到了问题(1.4) 的正基态解的存在性. 有关问题(1.4) 基态解的更多结果, 参看文献[5-7].

关于基态解的研究方面, 最近, Li和Ye^[8]假设$V(x)$满足以下假设.

(ⅰ) $V(x)\in{\cal C}({{\Bbb R}} ^3, {{\Bbb R}} )$弱可微且满足$(\nabla V(x), x)\in L^{\infty}({{\Bbb R}} ^3)\cup L^{\frac{3}{2}}({{\Bbb R}} ^3)$和

(ⅱ) 对任意的$x\in{{\Bbb R}} ^3$, $V(x)\leq\liminf\limits_{|y|\rightarrow \infty}V(y): = V_{\infty}<+\infty$且其在Lebesgue正测度的子集中是严格的;

(ⅲ) 存在$\bar{C}>0$使得

采用单调性技巧, Pohozaev-Nehari流形和全局紧性引理证明了当$f(x, u) = |u|^{p-1}u$, $2<p<5$时问题(1.3) 正基态解的存在性. Wu^[9]利用Pohozaev流形证明了问题(1.3) 存在正基态解. 当$f(x, u)$在无穷远是次临界且在原点附近是超线性的, $V(x)$满足与上面(ⅰ) 和(ⅱ) 相似的一些条件时, Guo^[10]用变分方法证明了问题(1.3) 存在正基态解. 当$f(x, u) = K(x)|u|^4u+g(x, u)$且$V(x)$满足渐近周期条件时, 作者们在文献[11]中证明了问题(1.3) 存在正基态解. 当$f(x, u)$在无穷远是次临界, 在原点是超线性的且满足Berestycki-Lions条件和位势$V(x)$满足与上面(ⅰ)–(ⅲ) 类似的一些条件时, Liu和Guo^[12]利用Jeanjean建立的抽象临界点定理和一个新全局紧性引理证明了问题(1.3) 至少存在一个基态解. 随后, Tang和Chen^[13]对位势$V(x)\in{\cal C}({{\Bbb R}} ^3, [0, \infty))$提出一些更强的条件, 他们证明了问题(1.3) 存在一个Nehari-Pohozaev型的基态解. 后来, Chen和Tang^[14]又证明了问题(1.3) 存在一个基态解, 其中$f(x, u)$满足一般的Berestycki-Lions假设和位势$V(x)\in{\cal C}({{\Bbb R}} ^3, [0, \infty))$满足类似文献[13]的条件. Ye^[15]证明了问题(1.3) 存在正基态解, 其中$f(x, u) = a(x)f(u)+u^5$且$V(x)$在无穷远处满足指数阶衰减. 当位势$V(x)$有一个井位势, Sun和Wu^[16]得到了一类如下Kirchhoff型问题基态解的存在性

关于问题(1.3) 基态解的更多结果, 参看文献[17-26].

受上述文献的启发, 本文考虑具有小临界扰动项的问题(1.1) 基态解的存在性. 与上述文献相比, 我们只需求$V(x)\in L_{\rm loc}^{\frac{3}{2}}({{\Bbb R}} ^3)$或$V(x)$可能在局部区域比$V_{\infty}$大. 这是本文主要结果的新奇之处, 其方法是基于约束极小化方法. 主要的困难在于非局部项$\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\nabla u|^2\, {\rm d}x\Delta u$的出现, 由于${{\Bbb R}} ^3$的无界性以及带有临界扰动项的非线性而缺乏紧性. 此外, 由于$V(x)$非径向对称, 故不能将问题限制在径向对称Sobolev空间$H_r^1({{\Bbb R}} ^3)$中, 其中$H_r^1({{\Bbb R}} ^3)\hookrightarrow L^q({{\Bbb R}} ^3)$$(2<s<6)$是紧的. 为克服这些困难, 必须进行更仔细的分析. 特别地, 对于序列$\{u_n\}\subset H^1({{\Bbb R}} ^3)$且$u_n$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$弱收敛于$u$, 将仔细分析$\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\nabla u_n|^2\, {\rm d}x$和$\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\nabla u|^2\, {\rm d}x$的不同来恢复紧性.

若$\varepsilon = 0$, 则问题(1.1) 有一个正基态解, 显然, 当$\varepsilon$趋于0时, 对于方程(1.1) 来说, 我们期望这种结果不会改变. 本文将试图证明该现象. 本文的主要结果如下.

定理1.1  假设$V(x)$满足$(V_0)$和

那么存在$\varepsilon_0>0$, 对任意的$\varepsilon\in(0, \varepsilon_{0})$, 问题(1.1) 有一个正基态解.

当位势$V(x)$不满足(1.5) 式时, 通过考虑下列极限问题的正基态解

证明问题(1.1) 的基态解的存在性. 事实上, 根据文献[18, 27], 在相差平移的情形下, 方程(1.6) 存在唯一的正的径向对称解, 记为$w$. 现陈述如下结果.

定理1.2 假设$V(x)$满足$(V_0)$, 如果存在$z\in{{\Bbb R}} ^3$满足

其中$w_z(x): = w(x-z)$, 且$w$是问题(1.6) 的正径向基态解. 那么对任意小的$\varepsilon$, 问题(1.1) 存在正的基态解.

注意到当$V(x)\equiv V_{\infty}$时, 那么对任意$z\in{{\Bbb R}} ^3$, (1.7) 式成立.

此篇论文的结构如下. 在第2节, 将给出一些符号且回忆了一些学过的知识. 在第3节, 将给出定理1.1和定理1.2的证明.

不失一般性, 假设$V_{\infty} = 1$. 在下文中, 将使用以下符号.

$\bullet$$H^1({{\Bbb R}} ^3)$是Sobolev空间, 其内积和范数如下

同时, 在这里我们将引入一种等价范数

事实上

显然成立. 反之, 根据$(V_0)$可得, 存在$R>0$使得当$|x|\geq R$时有$V(x)<2V_{\infty}$, 从而有

$\bullet$${\cal D}^{1, 2}({{\Bbb R}} ^3)$是通常的Sobolev空间, 其标准范数为$\|u\|_{{\cal D}}: = (\int_{{{\Bbb R}} ^3}|\nabla u|^2{\rm d}x)^{\frac{1}{2}}$.

$\bullet$${\cal L}^q({\cal O})$表示Lebesgue空间, 其中$1\leq q\leq\infty$, ${\cal O}\subseteq{{\Bbb R}} ^3$是一个可测集. 当${\cal O}$是${{\Bbb R}} ^3$的适当可测子集时, ${\cal L}^q({\cal O})$上的范数为$|\cdot|_{{\cal L}^q({\cal O})}$. 当${\cal O} = {{\Bbb R}} ^3$时, 其范数为$|\cdot|_q$.

$\bullet$$c, c_i, C, C_i, \cdots$表示一些正常数.

问题(1.1) 对应的能量泛函是$I_{\varepsilon}:H^{1}({{\Bbb R}} ^3)\rightarrow {{\Bbb R}}$定义为

显然, $I_{\varepsilon}\in C^1(H^1({{\Bbb R}} ^3), {{\Bbb R}} )$且$I_{\varepsilon}$的临界点是问题(1.1) 的弱解. 问题(1.1) 对应的极限方程如下

且其对应的泛函为$I_{\varepsilon, \infty}:H^1({{\Bbb R}} ^3)\rightarrow {{\Bbb R}}$, 定义如下

与$I_{\varepsilon}$具有相同性质的泛函定义如下

定义泛函$I$, $I_{\varepsilon}$, $I_{\infty}$和$I_{\varepsilon, \infty}$上的Nehari流形如下

定义

注意到, 当$\varepsilon>0$时有$m_{\varepsilon}\leq m$. 事实上, 设$w$满足$I_{\infty}(w) = m$且存在$\tau_{\varepsilon}>0$使得$\tau_{\varepsilon}w\in {\cal N}_{\varepsilon, \infty}$, 那么

引理2.1  (ⅰ) 存在唯一$t_u>0$使得$t_{u}u\in{\cal N}$, 有

且$u\longmapsto t_u$是从$H^1({{\Bbb R}} ^3)\backslash\{0\}$到${{\Bbb R}} ^{+}$的连续映射. 若在${\cal N}_{\infty}$, ${\cal N}_{\varepsilon}$和${\cal N}_{\varepsilon, \infty}$上分别考虑$I_{\infty}$, $I_{\varepsilon}$和$I_{\varepsilon, \infty}$, 类似的结论成立.

(ⅱ) 对任意的$u\in{\cal N}_{\varepsilon, \infty}$, 存在正常数$C>0$使得$\|u\|\geq C>0$, 其中$C$与$\varepsilon$无关.

(ⅲ) 对任意的$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$, 设$u$是约束在${\cal N}_{\varepsilon, \infty}$上的$I_{\varepsilon, \infty}$的极小元, 那么存在正常数$C_1>0$使得$|u|_p^p\geq C_1>0$, 其中$C_1$与$\varepsilon$无关.

证   根据标准的讨论, 可得(ⅰ) 成立.

(ⅱ) 对任意的$u\in {\cal N}_{\varepsilon, \infty}$, 由Sobolev嵌入定理得

即$\|u\|^2\leq c_1\|u\|^p+c_2\varepsilon\|u\|^6$, 其中$c_1, c_2>0$与$\varepsilon$和$u$无关. 因此, 对任意的$\varepsilon>0$, 有

成立, 其中$C$是与$\varepsilon$和$u$无关的正常数.

(ⅲ) 设$u$是$I_{\varepsilon, \infty}$约束在${\cal N}_{\varepsilon, \infty}$上的极小元, 可得

由上式和(2.3) 式可得

从(2.4) 式可得$\|u\|$有正下界, 且从(2.5) 式可得$\|u\|$有正上界. 因此, 利用Sobolev嵌入定理, 可得

其中$c, c_1>0$与$\varepsilon$和$u$无关. 证毕.

命题2.1  下列估计成立

其中${\cal S}$是最佳Sobolev常数.

证   注意到(2.8) 式中的${\cal S}_{a, b}$是下列方程解的基态水平

即

事实上, 下列问题

的正解具有如下形式

事实上, 最佳Sobolev常数${\cal S}$可通过下式定义

注意到, 对任意的$u\in{\cal D}^{1, 2}({{\Bbb R}} ^3)\backslash\{0\}$, 存在唯一的$t>0$使得$tu$满足

即

通过计算得

因此, 由上式可知

另一方面, 关于Sobolev常数${\cal S}$, 设$U_0$是满足$|U_0|_6 = 1$的达到${\cal S}$的函数, 那么存在唯一的$t_{U_0}>0$使得$t_{U_0}U_0$满足(2.10) 式. 因此, 通过计算, 有

从而由(2.11) 式和(2.12) 式可得(2.8) 式成立.

现在, 设径向函数$\bar{U}\in{\cal D}^{1, 2}({{\Bbb R}} ^3)$达到(2.8) 式的函数. 设$v_n(x) = \zeta(|x|)n^{\frac{1}{2}}\bar{U}(nx)$, $n\in{\Bbb N}$, 其中$\zeta\in{\cal C}_0^{\infty}({{\Bbb R}} ^{+}, [0, 1])$是一个截断函数, 且对$s\in[0, 1]$有$\zeta(s) = 1$. 因此, 存在唯一的$t_n>0$满足$u_n: = t_nv_n\in{\cal N}_{\varepsilon, \infty}$, 即

由$v_n$的定义可得

利用Lebesgue控制收敛定理可得

类似可得

由(2.16) 式和插值不等式可知, $v_n\rightarrow0$在$L^p({{\Bbb R}} ^3)$. 由(2.15) 式和(2.16) 式得, 当$n\rightarrow \infty$时有$\|v_n-n^{\frac{1}{2}}\bar{U}(nx)\|_{H^1}\rightarrow0$.

断言当$n\rightarrow \infty$时, $t_n\rightarrow1$. 事实上, 从(2.13) 式可知, $\{t_n\}$有界. 由(2.14)–(2.16) 式可得

即

由$\bar{U}$的定义和(2.17) 式, 可推出

即

从而推出了$t_n\rightarrow1$. 因此, 有

注意到

因此, 由$m_{\varepsilon}$的定义可得出(2.6) 式.

推论2.1 对充分小的$\varepsilon>0$, 有下面估计成立

证   由(2.6)式可知, $m_{\varepsilon}\leq{\cal S}_{a, b}$. 假设$m_{\varepsilon} = {\cal S}_{a, b}$成立, 由命题2.1可得, 当$u_n = t_nv_n(x) = t_n\zeta(|x|)n^{\frac{1}{2}}\bar{U}(nx)\in{\cal N}_{\varepsilon, \infty}$时, 其中$\bar{U}$是方程(2.8) 的一个极小元, 可得$t_n\rightarrow1$, $v_n\rightarrow0$在$L^p({{\Bbb R}} ^3)$, 其中$2\leq p<6$和$I_{\varepsilon, \infty}(u_n)\rightarrow {\cal S}_{a, b}$.

利用引理2.1的(ⅲ) 可得, $|t_nv_n|_p^p\geq C_1>0$. 从$t_n\rightarrow1$可知, $|v_n|_p^p\geq C_1>0$, 与$v_n\rightarrow0$在$L^p({{\Bbb R}} ^3)$矛盾. 因此(2.19) 式成立. 证毕.

对于极限问题(2.1), 有下面的存在性结果.

定理2.1  存在$\varepsilon_{0}>0$, 对任意的$\varepsilon\in(0, \varepsilon_{0})$, 问题(2.1) 存在正径向对称基态解$w_{\varepsilon}$.

证   令

易证$m_{\varepsilon} = \inf\limits_{u\in{\cal N}_r}I_{\varepsilon, \infty}(u)$. 设$\{u_n\}_n$是${\cal N}_r$的一个极小化序列且满足

又$m_{\varepsilon}\leq m$和$p>4$, 这导出了$\{u_n\}_n$在$H_r^1({{\Bbb R}} ^3)$上有界. 因此, 通过选取子列, 仍记为$\{u_n\}_n$, 假设存在$w_{\varepsilon}\in H_r^1({{\Bbb R}} ^3)$使得

断言当$n\rightarrow \infty$时, $I'_{\varepsilon, \infty}(u_n)\rightarrow0$. 令$G(u) = I_{\varepsilon, \infty}' (u)[u]+1, \forall u\in{\cal N}_r = \{u\in H_r^1({{\Bbb R}} ^3)\backslash\{0\}:G(u) = 1\}$, 显然由$p>2$可得$G(u)\in{\cal C}^{2}(H^1({{\Bbb R}} ^3), {{\Bbb R}} )$. 通过引理2.1 (ⅱ), 可得

这意味着对任意的$u\in{\cal N}_{\varepsilon, \infty}$有$G'(u)\neq0$. 由于$I_{\varepsilon, \infty}(u_n)\rightarrow m_{\varepsilon}$, 利用Ekeland变分原理(参见文献[28, 定理8.5])可得: 对于$\delta = \frac{1}{\sqrt{n}}$, 存在$v_n\in{\cal N}_{\varepsilon, \infty}$使得

从而, 利用$I_{\varepsilon, \infty}'$和$G'$的连续性, 不妨将$v_n$替换为$u_n$, 易得

其中$\lambda_{n}\in{{\Bbb R}}$. 选取$v = u_n\in{\cal N}_r$, 可得

由$\{u_n\}$的有界性和(2.21) 式可得$\lambda_{n} = o(1)$. 因此, 由(2.22) 式可知

断言成立.

令$w_n: = u_n-w_{\varepsilon}$, 欲证当$n\rightarrow \infty$时, 有$\|w_n\|_{{\cal D}}\rightarrow0$. 存在一个直到子序列, 仍记为$w_n$, 假设$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|w_n\|_{{\cal D}} = l_1\geq0$.

由(2.20) 式, Brezis-Lieb引理和$u_n\in {\cal N}_r$可推导出

因此

利用(2.24) 式, 有

由(2.25) 式和(2.26) 式可得

若当$n\rightarrow \infty$时, $|w_n|_6\rightarrow0$. 由(2.27) 式得$w_n\rightarrow0$在$H_r^1({{\Bbb R}} ^3)$, 故$l_1 = 0$.

若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|w_n|_6\neq0$, 假设$l_2 = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}|w_n|^6_6>0$.

从(2.27) 式和${\cal S}l_2^{\frac{1}{3}}\leq l_1^2$, 可推导出$al_1^2+bl_1^4\leq\varepsilon l_2$且$\varepsilon l_2\geq al_1^2+bl_1^4\geq a{\cal S}l_2^{\frac{1}{3}}+b{\cal S}^{2}l_2^{\frac{2}{3}},$这意味着$\varepsilon l_2^{\frac{2}{3}}-b{\cal S}^2l_2^{\frac{1}{3}}-a{\cal S}\geq0,$即

由(2.26) 式可得

结合(2.28) 式, 有

这与(2.19) 式矛盾. 因此可得

由(2.24) 和(2.29) 式, 可知$w_{\varepsilon}\in H_r^1({{\Bbb R}} ^3)$是极小化函数且使得$w_{\varepsilon}$是下面方程的解

为证明$w_{\varepsilon}$是正的, 注意到$|w_{\varepsilon}|$也是$I_{\varepsilon, \infty}$约束在${\cal N}_{\varepsilon, \infty}$上的极小元, 故可假设$w_{\varepsilon}\geq0$. 另外, 由$w_{\varepsilon}$是(2.30) 的解, 由强极值原理可得$w_{\varepsilon}>0$.

引理2.2

证   设$w_{\varepsilon}$是$m_{\varepsilon}$的极小元, 其中$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$和$w_{\varepsilon}$是定理2.1得到的解. 选取$t_{\varepsilon}>0$使得$t_{\varepsilon}w_{\varepsilon}\in{\cal N}_{\infty}$, 即

由引理2.1(ⅲ) 的证明, 易得$\|w_{\varepsilon}\|^2\leq4m$, 这推出了$|\nabla w_{\varepsilon}|_2$有界. 另外, 由引理2.1(ⅲ) 可知$|w_{\varepsilon}|_p^p\geq C_1>0$. 因此从(2.31) 式可推出

由$4<p<6$, 可得$\{t_{\varepsilon}\}$有界. 因此, 由(2.3) 式可得

上式令$\varepsilon\rightarrow0$, 可得结论成立.

本节主要通过分析在水平$c$上的$(PS)_c$序列来证明问题(1.1) 基态解的存在性, 其中$c$小于极限问题(2.1) 的基态能量值.

引理3.1  设$\{u_n\}_n$是$I_{\varepsilon}$的$(PS)_c$序列, 那么$\{u_n\}_n$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$上有界且$c\geq0$.

证   由$\{u_n\}_n$是$I_{\varepsilon}$的$(PS)_c$序列, 可得

这蕴含了$\|u_n\|_V^2\leq4c+o(1)\|u_n\|_{V}.$因此, $\{u_n\}_n$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$有界. 由$4<p<6$和(3.1) 式知$c\geq0$.

命题3.1  假设$V(x)$满足条件$(V_0)$和(1.5). 设$\{u_n\}_n$是$I_{\varepsilon}$约束在${\cal N}_{\varepsilon}$的$(PS)_c$序列. 若对任意的$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$, 有$c<m_{\varepsilon}$, 则$\{u_n\}_n$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$中是相对紧的.

证   设$\{u_n\}_n$是$I_{\varepsilon}$约束在${\cal N}_{\varepsilon}$上的$(PS)_c$序列, 由引理3.1知, $\{u_n\}_n$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$中有界. 令$\rho_n(x): = V(x)|u_n|^2+|u_n|^p+\varepsilon|u_n|^6\in L^1({{\Bbb R}} ^3)$, 则$\{\rho_n\}$在$L^1({{\Bbb R}} ^3)$中有界. 因此, 通过选择子序列, 可假设$|\rho_n|_1\rightarrow l,$当$n\rightarrow \infty,$于是得到$l>0$, 否则, 有$I_{\varepsilon}(u_n)\rightarrow0$, 这与$I_{\varepsilon}(u_n)\rightarrow c$相矛盾. 事实上, 由$\{u_n\}_n$是$(PS)_c$序列且在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$中有界, 可得

这意味着$\|u_n\|_V\rightarrow0$, 因而有$I_{\varepsilon}(u_n)\rightarrow0$.

现在, 利用文献[29] 中的集中紧性原理去建立序列${\rho_n}$的紧性.

(1) (消失性)   若${\rho_n}$消失, 则$\{u_n^2\}$也消失, 即存在$R>0$使得

利用消失引理[28, 引理1.21]可得, 对于$2<r<6$, 有$u_n\rightarrow0$在$L^r({{\Bbb R}} ^3)$. 于是

这意味着

和

因此, 可假设

然后由(3.3) 式和${\cal S}t_{2}^{\frac{1}{3}}\leq t_{1}^{2}$, 可推导出下式

即

另一方面, 有

这与$c<m_{\varepsilon}$矛盾. 因此, 消失性不会发生.

(2) (二分性)   证明二分性不会发生. 用反证法, 假设存在$\alpha\in(0, l)$和$\{x_n\}\subset{{\Bbb R}} ^3$使得对任意$r>R_{\varepsilon}$和$r'>R_{\varepsilon}$, 有

因此, 这里存在$\varepsilon_{n}\rightarrow0$, $r_n\rightarrow +\infty$和$r'_n = 4r_n$, 所以

这意味着

令$\varphi_{0}\in{\cal C}^{\infty}({{\Bbb R}} _{+})$是一个截断函数且满足$0\leq\varphi_{0}\leq1$, 当$2\leq s\leq3$时$\varphi_{0}(s) = 1$, 当$s\leq1$或$s\geq4$时$\varphi_{0}(s) = 0$和$|\varphi'_{0}(s)|\leq2$. 假设$\varphi_{n}(x) = \varphi_{0}(\frac{|x-x_n|}{r_n})$, 可得

其中

由$\varphi_{n}$的定义和Hölder不等式, 可推导出

类似地, 有

因此, 很容易得到$\varphi_{n}u_n\in H^1({{\Bbb R}} ^3)$和

令$A: = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|u_n\|_{{\cal D}}^2>0$, 断言

事实上, 由(3.5) 式可得

因此, 由(3.8) 式和(3.10)–(3.12) 式可得

因为

由(3.6), (3.7) 和(3.13) 式可得

从而证明了(3.9) 式.

考虑另一截断函数$\eta$, 满足$0\leq\eta\leq1$, 当$s\leq2$时$\eta(s) = 1$, 当$s\geq3$时$\eta(s) = 0$且$|\eta'(s)|\leq2$. 令$U_n(x) = \eta\big(\frac{|x-x_n|}{r_n}\big)u_n(x),$$W_n(x) = \Big(1-\eta\big(\frac{|x-x_n|}{r_n}\big)\Big)u_n(x),$然后由(3.4) 式可得

从(3.9) 式和$\eta$的定义可得

这意味着

类似地, 由(3.12) 式可得

现在区分以下两种情况.

情形1   若$\{x_n\}$有界, 由$(V_0)$得, 对任意的$\varepsilon>0$, 存在$R_0>0$使得

由$\{x_n\}\subset{{\Bbb R}} ^3$的有界性可得, 存在$R'>0$使得$|x_n|\leq R'$. 因此, 当$n$充分大时, 有${{\Bbb R}} ^3\backslash B_{r_n}(x_n)\subset{{\Bbb R}} ^3\backslash B_{r_n-R'}(0)\subset {{\Bbb R}} ^3\backslash B_{R_0}(0)$. 由(3.16) 式和假设(1.5) 可推导出

且由$\varepsilon$的任意性可导出

令

此时可断言

事实上, 由(3.9) 式可得, 当$n$充分大时有

从(3.9) 式得, 当$n$充分大时, 有

类似地, 有

且根据(3.12) 和(3.17) 式, 可得

因此, 由(3.19)–(3.22) 式可推出(3.18) 式. 因为$\|W_n\|_{{\cal D}}^2<\|u_n\|_{{\cal D}}^2$, 存在$t_n<1$使得$t_nW_n\in{\cal N}_{\varepsilon, \infty}$和

这就产生了矛盾.

情形2   若$\{x_n\}$无界, 选取子列, 仍记为$\{x_n\}$, 使得$|x_n|\geq 2r_n$. 那么有$B_{2r_n}(x_n)\subset {{\Bbb R}} ^3\backslash B_{r_n}(0)\subset{{\Bbb R}} ^3\backslash B_{R_0}(0)$. 类似于(3.17) 式的证明, 可推出

类似于$\{x_n\}$有界的情形, 可得出矛盾$m_{\varepsilon}<m_{\varepsilon}$. 因此, 二分性不会发生.

据以上讨论, 序列$\{\rho_n\}$是紧的, 即存在$\{x_n\}\subset{{\Bbb R}} ^3$, $\widetilde{R}>0$使得对任意的$\hat{\delta}>0$有

断言序列$\{x_n\}$一定有界. 否则, 选取$r_n$使得当$r_n\rightarrow +\infty$时, 有$|x_n|\geq r_n\geq \widetilde{R}+R_0$. 当$n$充分大时, 有$B_{\widetilde{R}}(x_n)\subset {{\Bbb R}} ^3\backslash B_{r_n-\widetilde{R}}(0)\subset{{\Bbb R}} ^3\backslash B_{R_0}(0)$. 由(3.16) 和(3.23) 式得

因此, $I_{\varepsilon}(u_n) = I_{\varepsilon, \infty}(u_n)+o(1)$和$o(1) = \langle I'_{\varepsilon}(u_n), u_n\rangle = \langle I'_{\varepsilon, \infty}(u_n), u_n\rangle +o(1)$. 于是存在$t_n\rightarrow1$使得$t_nu_n\in{\cal N}_{\varepsilon, \infty}$. 因此, 当$n$充分大时, 有

这与条件$c<m_{\varepsilon}$相矛盾. 因此断言得证.

因为$\{u_n\}_{n}$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$中有界, 通过取子列, 仍记为$\{u_n\}_n$, 可假设存在$\bar{u}\in H^1({{\Bbb R}} ^3)$使得

因此, 从(3.23) 式可推导出当$n\rightarrow \infty$时

令$v_n: = u_n-\bar{u}$, 欲证当$n\rightarrow \infty$时, 有$\|v_n\|_{{\cal D}}\rightarrow0$. 通过取子列, 仍记为$v_n$, 假设$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\|v_{n}\|_{{\cal D}} = \alpha_{1}\geq0$. 由$I'_{\varepsilon}(u_n)\rightarrow0$, (3.24) 式和Brezis-Lieb引理, 可推导出

从而有

此外, 有

由(3.26) 和(3.27) 式可得

若当$n\rightarrow \infty$时有$|v_n|_6\rightarrow0$, 通过(3.28) 式可知$v_n\rightarrow0$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$, 从而有$\alpha_1 = 0$.

若$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|v_n|_6\neq0$, 假设$\alpha_{2} = \lim\limits_{n\rightarrow \infty}|v_n|^6_6>0$.

由(3.28) 式和${\cal S}\alpha_2^{\frac{1}{3}}\leq \alpha_1^2$, 可推导出$a\alpha_1^2+b\alpha_1^4\leq\varepsilon \alpha_2$, 从而引出下式

这意味着

即

由(3.27) 式, 有

结合(3.29) 式, 有

这与$c<m_{\varepsilon}$相矛盾. 因此可得当$n\rightarrow \infty$时, 有$u_n\rightarrow \bar{u}$在$H^1({{\Bbb R}} ^3)$. 证毕.

定理1.1的证明   假设$V(x)\not\equiv1$. 现在, 断言

事实上, 定理2.1中的方程(2.1) 的基态解$w_{\varepsilon}$, 令$t>0$使得$tw_{\varepsilon}\in{\cal N}_{\varepsilon}$, 则有

采用定理2.1的证明方法(产生出$PS$序列), 利用命题3.1, 可得泛函$I_{\varepsilon}$在${\cal N}_{\varepsilon}$上存在极小元$u\in H^1({{\Bbb R}} ^3)$. 类似于定理2.1的讨论, 可证得$u$是正的. 证毕.

定理1.2的证明  设$z\in{{\Bbb R}} ^3$使得(1.7) 式成立, 且$t_{\varepsilon}>0$使得$t_{\varepsilon}w_z\in{\cal N}_{\varepsilon}$. 为证明问题(1.1) 存在基态解, 只需证明断言: 对于充分小$\varepsilon>0$, 成立

事实上, 若(3.31) 式成立, 则$\inf\limits_{{\cal N}_{\varepsilon}}I_{\varepsilon}<m_{\varepsilon}$. 类似于定理1.1的证明, 可证得问题(1.1) 存在基态解.

为证明(3.31) 式, 令$w_z\in{\cal N}$, 即$\|w_z\|_V^2+b|\nabla w_z|_2^4 = |w_z|_p^p$. 断言由(1.7) 式可得

现在, 由于

注意到, 由(1.7) 式和$w$是方程(1.6) 的基态解可得

由(1.7), (3.33)和(3.34)式, 可推得(3.32) 成立.

最后, 断言当$\varepsilon\rightarrow0$时, 有$t_{\varepsilon}\rightarrow 1$. 事实上, 由$t_{\varepsilon}w_z\in{\cal N}_{\varepsilon}$, 即

由上式易推得$\{t_{\varepsilon}\}$有界. 由$w_z\in{\cal N}$和(3.35) 式, 有

即

上式蕴含了$t_{\varepsilon}\rightarrow1$.

由引理2.2可得: 当$\varepsilon\rightarrow0$时, 有$m_{\varepsilon}\rightarrow m$. 因此, 对于充分小的$\varepsilon$, 由(3.32) 式可推出(3.31) 式成立. 证毕.