本文考虑如下边值问题$ L\left( {p, q, h} \right) $:

(1.1) $ \begin{equation} y'' + \left( {{\rho ^2} - 2\rho p(x) - q(x)} \right)y = 0, \quad x \in (0, 1), \end{equation} $

(1.2) $ \begin{equation} y'(0) - hy(0) = 0, \quad y(1) = 0, \end{equation} $

其中$ \rho $为谱参数, $ h $为实数, $ p\left( x \right), q\left( x \right) $为实值函数, 且$ p\in L^1(0, 1), q\in C[0, 1] $. 边值问题$ L\left( {p, q, h} \right) $源于量子力学中的粒子互相碰撞问题, $ {\rho ^2} $表示粒子的能量, $ p\left( x \right), q\left( x \right) $称为势函数^[1]. 当$ p\left( x \right) = 0 $时, 方程(1.1)–(1.2) 即为经典的Sturm-Liouville问题^[2-5]. 对于方程(1.1), 经典的逆谱问题旨在由其谱信息(如: 两组谱、Weyl函数, 或者一组谱和部分势函数信息等)重构算子的系数^[6-9]. Buterin和Yurko研究了方程(1.1) 在Dirichlet边界条件的逆谱问题, 并给出了由相应的谱信息重构势函数的算法^[6]. 王於平、杨传富、黄振友以及Koyunbakan和Panakhov等学者研究了相关的半逆问题和逆结点问题^[7-10]. 本文将研究边值问题$ L\left( {p, q, h} \right) $基于一类特殊特征值的逆谱问题, 即考虑无穷个具有不同边界条件的边值问题, 从每一个边值问题中抽取第$ n $个特征值, 以其组成的谱数据来重构方程(1.1) 中的势函数. 这种思想最早是由McLaughlin和Rundell给出的^[2] (后被称为McLaughlin-Rundell问题), 他们研究了带有边界条件

$ y(0) = 0, \quad y'\left( \pi \right) + {H_k}y\left( \pi \right) = 0 $

的Sturm-Liouville方程, 证明了一类特殊的谱集合$ \left\{ {{\lambda _n}\left( {q, {H_k}} \right)} \right\}_{k = 1}^{ + \infty } $可以唯一确定势函数$ q\left( x \right) $, 其中$ n $是固定的, $ {H_k}\left( {k \ge 1} \right) $是不同的实数. 对于方程(1.1), 王於平首先研究了带有如下边界条件的McLaughlin-Rundell问题^[10]

$ \begin{eqnarray*} y'\left( 0 \right) - hy\left( 0 \right) = 0, \quad y'\left( 1 \right) + {H_k}y\left( 1 \right) = 0, \end{eqnarray*} $

并且证明了唯一性定理, 然而从该唯一性定理中并不能获得相应的重构算法. 受到文献[6] 和[10]的启发, 本文将研究边值问题$ L\left( {p, q, h} \right) $的McLaughlin-Rundell问题, 并且给出一种比文献[10] 更为简单的唯一性定理证明, 而且我们的证明中还蕴含了重构势函数的算法.

本文约定$ {\Bbb Z} $为整数集, $ {\Bbb N} $为正整数集, $ {\Bbb R} $为实数集, $ {\Bbb C} $为复平面.

设$ \varphi \left( {x, \rho } \right) $为方程(1.1) 满足$ \varphi \left( {1, \rho } \right) = 0, \;\varphi '\left( {1, \rho } \right) = 1 $的解. 由文献[6] 知, 对于固定的$ x \in [0, 1] $, $ \varphi \left( {x, \rho } \right) $和$ \varphi' \left( {x, \rho } \right) $为$ \rho $的整函数, 并且对于充分大的$ |\rho| $, 有

(2.1) $ \begin{eqnarray} {} \varphi \left( {x, \rho } \right)& = & - \frac{{\sin \left( {\rho \left( {1 - x} \right) - Q\left( 1 \right) + Q\left( x \right)} \right)}}{\rho }\left\{ {1 + \frac{{p\left( 1 \right) + p\left( x \right)}}{{2\rho }}} \right\}\\ && + \frac{{\cos \left( {\rho \left( {1 - x} \right) - Q\left( 1 \right) + Q\left( x \right)} \right)}}{{{\rho ^2}}}\left( {{\omega _1} - \omega \left( x \right)} \right)+ o\left( {\frac{1}{{{\rho ^2}}}{e^{\left| \tau \right|\left( {1 - x} \right)}}} \right), \end{eqnarray} $

(2.2) $ \begin{eqnarray} {} \varphi '\left( {x, \rho } \right)& = &\cos \left( {\rho \left( {1 - x} \right) - Q\left( 1 \right) + Q\left( x \right)} \right)\left\{ {1 + \frac{{p\left( 1 \right) - p\left( x \right)}}{{2\rho }}} \right\}\\ &&+ \frac{{\sin \left( {\rho \left( {1 - x} \right) - Q\left( 1 \right) + Q\left( x \right)} \right)}}{\rho }\left( {{\omega _1} - \omega \left( x \right)} \right) + o\left( {\frac{1}{\rho }{e^{\left| \tau \right|\left( {1 - x} \right)}}} \right), \end{eqnarray} $

其中

$ Q\left( x \right): = \int_0^x {p\left( t \right){\rm d}t}, \quad \omega \left( x \right): = \frac{1}{2}\int_0^x {\left( {q\left( t \right) + {p^2}\left( t \right)} \right){\rm d}t} $

$ {\omega _0} = \frac{{Q\left( 1 \right)}}{\pi }, \quad {\omega _1}: = \omega \left( 1 \right), \quad \tau = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \rho . $

记

(2.3) $ \begin{equation} \Delta \left( \rho \right) = \varphi '\left( {0, \rho } \right) - h\varphi (0, \rho ). \end{equation} $

易知$ \Delta \left( \rho \right) $的零点即为边值问题$ L\left( {p, q, h} \right) $的特征值, 将(2.1)–(2.2) 式代入(2.3) 式得: 当$ \rho\to\infty $时, $ \Delta \left( \rho \right) $有如下渐近估计

(2.4) $ \begin{eqnarray} {} \Delta \left( \rho \right) & = & \cos \left( {\rho - Q\left( 1 \right)} \right) + \frac{{\left( {p\left( 1 \right) - p\left( 0 \right)} \right)\cos \left( {\rho - Q\left( 1 \right)} \right)}}{{2\rho }} \\ &&+ \frac{{\sin \left( {\rho - Q\left( 1 \right)} \right)}}{\rho }\left( {{\omega _1} + h} \right) + o\left( {\frac{{{e^{\left| \tau \right|}}}}{\rho }} \right). \end{eqnarray} $

由标准的方法^{[2, p9]}, 利用Rouché 定理及(2.4) 式知$ \Delta \left( \rho \right) $有无穷多个零点, 记为

$ {\left\{ {{\rho _n}(p, q, h)} \right\}_{n \in {\Bbb Z}}}, $

其满足如下渐近性

(2.5) $ \begin{equation} {\rho _n} = \left( {n + \frac{1}{2} + {\omega _0}} \right)\pi + \frac{{{\omega _1} + h}}{{n\pi }} + o\left( {\frac{1}{n}} \right), \quad \left| n \right| \to\infty. \end{equation} $

记

$ M(\rho ): = \frac{{\varphi '(0, \rho )}}{{\varphi (0, \rho )}}, $

这是$ \rho $的亚纯函数, 被称为Weyl函数. 注意到$ \varphi '(0, \rho) $与$ \varphi (0, \rho) $不可能同时为零, 所以$ M(\rho) $的极点即为$ \varphi (0, \rho) $的零点, 记$ \varphi (0, \rho) $的零点为$ {\left\{ {{\mu _k}} \right\}_{\left| k \right| \in{\Bbb N}}} $, 其重数为$ m_k $. 由文献[6] 知

(2.6) $ \begin{equation} M\left( \rho \right) = \sum\limits_{v = 0}^{{m_k} - 1} {\frac{{{M_{k + v}}}}{{{{\left( {\rho - {\mu _k}} \right)}^{v + 1}}}}} + M_k^0\left( \rho \right), \end{equation} $

其中$ {M_{k + {m_k} - 1}} \ne 0 $, $ M_k^0\left( \rho \right) $为$ M\left( \rho \right) $在$ \mu_k $展开的正则部分, 序列$ {\left\{ {{M_n}} \right\}_{\left| n \right| \in {\Bbb N}}} $称为Weyl序列.

Buterin和Yurko证明了Weyl函数$ M(\rho) $可以唯一确定势函数$ p(x) $和$ q(x) $, 并且给出了由谱数据$ {\left\{ {{M_n}, {\mu _n}} \right\}_{\left| n \right| \in {\Bbb N}}} $重构$ p(x) $和$ q(x) $的算法^[6].

本节将给出唯一性定理和重构算法.对于边值问题$ L\left( {p, q, h} \right) $, 我们考虑另一个边值问题$ L\left( {\tilde{p}, \tilde{q}, h} \right) $. 本文约定：若$ \delta $表示$ L\left( {p, q, h} \right) $的物理量, 则$ \tilde{\delta} $表示$ L\left( {\tilde{p}, \tilde{q}, h} \right) $相应的物理量.

选择序列$ {\left\{ {{h_k}} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $满足

(3.1) $ \begin{equation} - \infty < C < \cdots < {h_{k + 1}} < {h_k} < \cdots < {h_2} < {h_1} < + \infty , \end{equation} $

其中$ C\in {\Bbb R}. $

定理3.1 (唯一性)    设序列$ {\left\{ {{h_k}} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $满足(3.1) 式, 若对某个固定的$ n\in {\Bbb Z} $有

(3.2) $ \begin{equation} {\rho _n}\left( {p, q, {h_k}} \right) = {\rho _n}\left( {\tilde p, \tilde q, {h_k}} \right), \quad k \in {\Bbb Z}, \end{equation} $

则$ p\left( x \right) \mathop = \limits^{a.e.} \tilde p\left( x \right), q\left( x \right) = \tilde q\left( x \right), x\in [0, 1]. $

引理3.1    设$ {\left\{ {{h_k}} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $满足(3.1)式, 则$ {\left\{ {{\rho _n}\left( {p, q, {h_k}} \right)} \right\}_{n \in {\Bbb Z}}} \cap {\left\{ {{\rho _n}\left( {p, q, {h_{k + 1}}} \right)} \right\}_{n \in {\Bbb Z}}} = \emptyset . $

引理3.1的证明可参考文献[10] 中引理2.1. 结合(2.5) 式及引理3.1, 我们得到如下引理.

引理3.2   对于任意固定的$ n\in {\Bbb Z} $, 谱集合$ \left\{ {{\rho _n}\left( {q, p, {h_k}} \right)} \right\}_{k = 1}^\infty $是一个有界无穷数集.

引理3.3^[11]   设$ f_1(z) $和$ f_2(z) $为整函数, $ {\left\{ {{z_n}} \right\}_{n \ge 1}} $为有聚点的序列. 若$ {f_1}\left( {{z_n}} \right) = {f_2}\left( {{z_n}} \right) $, $ n\in {\Bbb N} $, 则$ {f_1}\left( z \right) = {f_2}\left( z \right), \;z \in {\Bbb C} $.

证   文献[6] 已经证明：若$ M(\rho ) = \tilde M(\rho ) $, 则$ p\left( x \right) \mathop = \limits^{\rm a.e.} \tilde p\left( x \right), q\left( x \right) = \tilde q\left( x \right). $下面我们仅需证明: 若(3.2) 式成立, 则$ M(\rho ) = \tilde M(\rho ) $. 固定$ j_1\in {\Bbb Z} $, 记$ \rho _k^{{j_1}}: = {\rho _{{j_1}}}(p, q, {h_k}), k \in {\Bbb N} $. 由$ M(\rho ) $的定义知

(3.3) $ \begin{equation} M(\rho _k^{{j_1}}) = \frac{{\varphi '(0, \rho _k^{{j_1}})}}{{\varphi (0, \rho _k^{{j_1}})}} = {h_k}, \quad k \in {\Bbb N}, \end{equation} $

类似地, 也有

(3.4) $ \begin{equation} \tilde{M}(\rho _k^{{j_1}}) = \frac{{\tilde{\varphi} '(0, \rho _k^{{j_1}})}}{{\tilde{\varphi} (0, \rho _k^{{j_1}})}} = {h_k}, \quad k \in {\Bbb N}, \end{equation} $

结合(3.3) 和(3.4) 式得

$ \tilde \varphi '\left( {0, \rho _k^{{j_1}}} \right)\varphi \left( {0, \rho _k^{{j_1}}} \right) = \tilde \varphi \left( {0, \rho _k^{{j_1}}} \right)\varphi '\left( {0, \rho _k^{{j_1}}} \right), \quad k\in {\Bbb N}. $

记

$ {f_1}\left( \rho \right): = \tilde \varphi '\left( {0, \rho } \right)\varphi \left( {0, \rho } \right), \quad {f_2}\left( \rho \right): = \tilde \varphi \left( {0, \rho } \right)\varphi '\left( {0, \rho } \right), $

则$ {f_1}\left( \rho \right) $和$ {f_2}\left( \rho \right) $为整函数. 由引理3.2知, $ {\big\{ {\rho _k^{{j_1}}} \big\}_{k \in {\Bbb N}}} $为有界无限点集, 所以必有聚点. 因此, 由引理3.3知$ {f_1}\left( \rho \right) = {f_2}\left( \rho \right), \;\rho \in {\Bbb C}. $结合$ M(\rho ) $和$ \tilde M(\rho ) $的定义得

$ M(\rho ) = \tilde M(\rho ), {\quad} \rho\in {\Bbb C}. $

证毕.

下面考虑对应于定理3.1的重构算法. 文献[6] 已经给出由序列$ {\left\{ {{M_k}} \right\}_{{\rm{|}}k{\rm{|}} \in {\Bbb N}}} $和$ {\left\{ {{\mu _k}} \right\}_{{\rm{|}}k{\rm{|}} \in {\Bbb N}}} $重构$ p(x) $和$ q(x) $的算法, 我们仅需给出由$ {\left\{ {{\rho _{{j_1}}}\left( {q, p, {h_k}} \right)} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $和$ {\left\{ {{h_k}} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $重构序列$ {\left\{ {{M_k}} \right\}_{{\rm{|}}k{\rm{|}} \in {\Bbb N}}} $和$ {\left\{ {{\mu _k}} \right\}_{{\rm{|}}k{\rm{|}} \in {\Bbb N}}} $的算法即可. 为此我们需要如下引理.

引理3.4   如果$ R>0 $是如下幂级数的收敛半径

$ \begin{eqnarray*} f(z) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{(z - {z_0})}^n}}, \end{eqnarray*} $

则$ f(z) $在$ \left\{ {z:\left| {z - {z_0}} \right| < R} \right\} $上解析, 并且在$ \left\{ {z:\left| {z - {z_0}} \right| = R} \right\} $上至少存在一个奇点.

因为两集合$ {\left\{ {{h_k}} \right\}_{k \in {\Bbb N}}}, {\big\{ {\rho _k^{{j_1}}} \big\}_{k \in {\Bbb N}}} $有界并且无限, 所以存在聚点(分别记为$ h_*, \rho_* $)满足

(3.5) $ \begin{equation} {h_ * } = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {h_k}, \quad {\rho _ * } = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \rho _k^{{j_1}}. \end{equation} $

令

(3.6) $ \begin{equation} a_0 = h_*, \quad {a_n} = \mathop {\lim }\limits_{k \to + \infty } \frac{{{h_k} - \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {{a_i}{{(\rho _k^{{j_1}} - {\rho _ * })}^i}} }}{{{{(\rho _k^{{j_1}} - {\rho _ * })}^n}}}{\rm{ }}n \in {\Bbb N}. \end{equation} $

由(3.3)、(3.5) 和(3.6) 式知$ a_n\;(n\ge 0) $为$ M(\rho) $的Taylor系数, 因此

(3.7) $ \begin{equation} M(\rho ) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_n}{{(\rho - {\rho _ * })}^n}} , \quad\rho \in {D_1} = \left\{ {\rho :\left| {\rho - {\rho _ * }} \right| < {R_ * }} \right\}, \end{equation} $

其中$ R_*>0 $为级数(3.7) 的收敛半径, 且

(3.8) $ \begin{equation} {R_ * } = \frac{1}{{\overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } } \sqrt[n]{{\left| {{a_n}} \right|}}}}. \end{equation} $

利用幂级数解析延拓法对$ M(\rho) $进行解析延拓. 由引理3.4知, $ M(\rho) $在

$ {\Omega _*} = \left\{ {\rho :\left| {\rho - {\rho _ * }} \right| = {R_ * }} \right\} $

上至少存在一个(至多有限个^[6])极点. 下面确定$ M(\rho) $在$ {\Omega _*} $上的极点. 在$ D_1 $内任取一点$ {\rho _{1{\rm{*}}}} $, 将$ M(\rho) $在$ {\rho _{1{\rm{*}}}} $处Taylor展开, 则存在一个收敛半径$ R_1 $, 使得级数(3.7) 在$ {D_2} = \left\{ {\rho: \left| {\rho - \rho _{1*}} \right| < {R_1}} \right\} $内收敛. $ D_1 $和$ D_2 $有两种情况:

1. 内切;

2. 相交(如图 1所示).

若内切, 则由引理3.4, 说明切点为极点. 若是第二种情况, 则$ M(\rho) $在$ D_2 $内的一段弧$ l_1 $上(不包括端点) 无极点, 此时可以令$ \rho $从$ D_1 $内趋于弧$ l_1 $的两个端点, 观察$ M(\rho) $是否趋于无穷来判断这两个端点是否为$ M(\rho) $的极点. 这样可以通过在$ D_1 $内选择有限个点, 将$ M(\rho) $在这有限个点处Taylor展开, 从而找出$ M(\rho) $在$ \Omega_* $上的所有极点$ \left\{ {\rho _{1k}} \right\}_{k = 1}^{{N_1}} $.

下面来确定每个极点的阶数. 注意到, $ M(\rho) $的任意一个极点, 虽然不一定是简单极点, 但一定是有穷极点. 利用公式

(3.9) $ \begin{equation} {c_{ - m}} = \mathop {\lim }\limits_{ \rho \to \rho \atop \rho \in {D_1}} {(\rho - \rho _{1k}^{})^m}M(\rho ), \end{equation} $

通过取$ m = 1, 2, \cdots $来判断极点的阶数. 若$ {c_{ - m}} = \infty $, 则$ m $的值需要继续增加; 若$ c_{-m} $为非零常数, 则$ \rho_{1k} $为$ m $阶极点.

设$ \rho_{1k} $的阶数为$ m_{1k}\;(k = 1, 2, \cdots , {N_1}) $, 则利用公式(2.6) 得到$ \left\{ {\rho _{1k}^{}} \right\}_{k = 1}^{{N_1}} $所对应的Weyl序列

$ M_{k + {m_{1k}} - 1}^1{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{\rho \to {\rho _{1k}}} {\left( {\rho - {\rho _{1k}}} \right)^{{m_{1k}}}}M\left( \rho \right), $

$ M_{k + {m_{1k}} - 2}^1{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{\rho \to {\rho _{1k}}} {\left( {\rho - {\rho _{1k}}} \right)^{{m_{1k}} - 1}}\left( {M\left( \rho \right) - \frac{{M_{k + {m_{1k}} - 1}^1}}{{{{\left( {\rho - {\rho _{1k}}} \right)}^{{m_{1k}}}}}}} \right), $

$ \vdots $

$ M_{k + {m_{1k}} - 1}^1{\rm{ = }}\mathop {\lim }\limits_{\rho \to {\rho _{1k}}} {\left( {\rho - {\rho _{1k}}} \right)^{{m_{1k}}}}M\left( \rho \right). $

由已找到的$ M(\rho) $的极点$ \rho_{1k} $及其重数$ m_{1k}\;(k = 1, 2, \cdots , {N_1}) $, 构造函数

$ {M_1}\left( \rho \right) = {\prod\limits_{k = 1}^{{N_1}} {\left( {\rho - \rho _{1k}^{}} \right)} ^{{m_{1k}}}}M\left( \rho \right). $

显然函数$ M_1(\rho) $在$ \Omega_* $上解析. 在$ D_1 $内找一点$ z_1\;(z_1\ne \rho_*) $, 将$ M_1(\rho) $在$ z_1 $处Taylor展开得

$ {M_1}(\rho ) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{a_{1, n}}{{(\rho - {z_1})}^n}} , \quad \rho \in {D_3}: = \left\{ {\rho \in :|\rho - {z_1}{\rm{| < }}{R_2}} \right\}, $

其中

$ {a_{1, n}} = \frac{{M_1^{(n)}({z_1})}}{{n!}}, \quad {R_2} = \frac{1}{{\overline {\mathop {\lim }\limits_{n \to {\rm{ + }}\infty } } \sqrt[n]{{\left| {{a_{1, n}}} \right|}}}}. $

对函数$ M_1(\rho) $重复上面$ M(\rho) $的步骤(此时在$ D_3\setminus D_1 $内选择有限个点), 可以获得$ M_1(\rho) $在$ D_3 $边界上的极点及其重数, 然后再次利用公式(2.6) 获得对应的Weyl序列. 这样一直进行下去可以得到Weyl函数$ M(\rho) $的所有极点及Weyl序列, 然后运用文献[6] 中的方法可以重构出$ p(x) $和$ q(x) $.

对上述由序列$ {\left\{ {{\rho _{{j_1}}}(p, q, {h_k})} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $和$ {\left\{ {{h_k}} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $重构势函数$ p(x) $和$ q(x) $的算法总结如下:

第1步: 定义集合$ {\left\{ {{\rho _{{j_1}}}(p, q, {h_k})} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $到集合$ {\left\{ {{h_k}} \right\}_{k \in {\Bbb N}}} $的映射, 记为$ M(\rho) $;

第2步: 从上述两个集合中分别选取聚点$ \rho_* $和$ h_* $, 满足(3.5) 式;

第3步: 构造幂级数(3.7), 其中$ a_n $由(3.6) 式给出, $ R_* $由(3.8) 式给出;

第4步: 运用上述的幂级数解析延拓法找到Weyl函数$ M(\rho) $的所有极点和Weyl序列;

第5步: 应用文献[6] 中的方法重构$ p(x) $和$ q(x) $.