考虑如下的混合型随机微分方程

(1.1) $ \begin{eqnarray} X(t)& = &X_0+\int_0^ta(s, X(s)){\rm d}s+\int_0^tb(s, X(s)){\rm d}W(s){}\\ &&+\int_0^tc(s, X(s)){\rm d}B^H(s), \; \; t\in[0, T], \end{eqnarray} $

这里$ a:[0, T]\times{{\Bbb R}} ^d\rightarrow{{\Bbb R}} ^d $及$ b, c:[0, T]\times{{\Bbb R}} ^d\rightarrow{{\Bbb R}} ^{d\times k} $是一些适当的函数, 我们将在后面详细讨论他们；$ W $是标准的Wiener过程, $ B^H $是Hurst参数$ 1/2<H<1 $的分数布朗运动; 随机积分$ \int_0^tc(s, X(s)){\rm d}B^H(s) $是样本轨道意义下的Riemann-Stieltjes积分, 这就是说这种随机积分是Young^[22]和Zähle^[23-24]在分数Sobolev型空间中定义的积分.

考虑这种混合型随机微分方程的动机来自于金融数学.在模拟金融市场的随机性时, 有必要区分两种不同的主要随机性来源.噪音的第一个来源是证券交易所的数千个经纪人, 这类随机噪声可以被认为为白噪声, 可以使用Wiener过程来模拟.第二类噪声源于常常具有长相依性和自相似性的财政和经济状况, 这类噪声能够使用Hurst参数$ 1/2<H<1 $的分数布朗运动来模拟.因此, 利用Wiener过程和分数布朗运动驱动的混合型随机微分方程描述证券的价格行为更加合理.

最近, 混合型随机微分方程吸引了广泛的关注.例如, Guerra和Nualart^[5]及Kubilius^[6]考虑了混合型随机微分方程(1.1)强解的存在唯一性; Mishura和Shevchenko^[12]研究了方程(1.1)解的存在唯一性及收敛性; Mishura等^[13]调查了混合时滞微分方程解的Euler逼近的收敛性; Liu和Luo^[9]使用修正的Euler方法讨论了方程(1.1)解的均方收敛率; Melnikov等^[11]研究了方程(1.1)的随机可行性和比较定理.

另一方面, 关于各种随机过程的Talagrand -类型的传输不等式已有大量的研究结果.文献[2, 20-21]研究了$ {{\Bbb R}} ^d $上的扩散过程, 文献[17-18]研究了Riemannian流形上的扩散过程, 文献[14]研究了多维半鞅, 文献[19]研究了纯跳过程驱动的随机微分方程, 文献[16]研究了分数布朗运动驱动的随机微分方程, 文献[8]研究了Hurst参数$ 1/2<H<1 $分数布朗运动驱动的随机时滞发展方程以及文献[1]研究了Hurst参数$ 0<H<1/2 $分数布朗运动驱动的中立性随机时滞发展方程. TCIs是处理测量现象的集中问题的有效工具, TCIs在Tsirel'son -类型和Hoeffding -类型不等式^{[2, 20-21]}以及经验测度集中度^{[10, 19]}等中的广泛应用使得它吸引了越来越多的关注.

假设$ (E, d) $是$ \sigma $ -域$ {\cal B} $上使得距离$ d(\cdot, \cdot) $是$ {\cal B}\otimes {\cal B} $ -可测的度量空间.给定$ p\geq 1 $和两个$ E $上的概率测度$ \mu $和$ \nu $, 定义Wasserstein距离如下

$ W^d_p(\mu, \nu) = \inf\limits_{\pi\in {\cal C}(\mu, \nu)}\left(\int\int d(x, y)^p{\rm d}\pi(x, y)\right)^{1/p}, $

这里$ {\cal C}(\mu, \nu) $表示乘积空间$ E\times E $上所有边际为$ \mu $和$ \nu $的概率测度.概率测度$ \nu $关于$ \mu $的相对熵定义为

$ \begin{eqnarray*} {\bf H}(\nu|\mu) = \left\{ \begin{array}{ll} { } \int \rm{ln}\frac{{\rm d}\nu}{{\rm d}\mu}{\rm d}\nu, {\quad} & \nu\ll\mu, \\ +\infty, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;& \rm{其他}. \end{array} \right. \end{eqnarray*} $

如果存在常数$ C\geq0 $使得对任意的概率测度$ \nu $, 有

$ W^d_p(\mu, \nu)\leq \sqrt{2C{\bf H}(\nu|\mu)}, $

则称概率测度$ \mu $满足$ (E, d) $上的$ T^p $传输不等式, 并记$ \mu \in T_p(C) $表示这种关系. "$ p = 1 $"和"$ p = 2 $"特别令人感兴趣. $ T_1(C) $可以很好的描述测量现象的集中问题. $ T_2(C) $比$ T_1(C) $强且与Poincaré不等式、对数Sobolev不等式及Hamilton-Jacobi方程紧密相连.

文献[2]引入的Girsanov变换方法是一类建立$ T_2 $传输不等式的有效方法.使用分数布朗运动的Girsanov定理, 在Wiener积分意义下, Li和Luo^[8]与Boufoussi和Hajji^[1]分别对Hurst参数$ H\in({1}/{2}, 1) $和$ H\in(0, 1/2) $分数布朗运动驱动的可加性随机发展方程建立了$ T_2 $传输不等式. Saussereau^[16]首先在$ {{\Bbb R}} ^d $上对可加分数噪声驱动的随机微分方程建立了$ T_2 $传输不等式, 随后利用常数变异公式^[23]对乘积分数噪声驱动的时齐随机微分方程给出了$ T_2 $传输不等式.

尽管如此, 因为积分项$ \int_0^tb(s, X(s)){\rm d}W(s) $的出现, 使用对可加分数噪声驱动的随机微分方程建立的$ T_2 $传输不等式及常数变异公式对混合型随机微分方程(1.1)获得$ T_2 $传输不等式似乎是无效的.此外, 如果我们想直接通过对分数布朗运动使用Girsanov定理获得混合型随机微分方程(1.1)解的$ T_2 $传输不等式, 那么我们将不得不估计

$ \Big|\int_0^t(c(s, X(s))-c(s, Y(s))){\rm d}B^H(s)\Big|. $

通常我们将通过下一节的(2.4)式把估计$ \Big|\int_0^t(c(s, X(s))-c(s, Y(s))){\rm d}B^H(s)\Big| $转化为估计$ \|c(s, X(s))-c(s, Y(s))\|_{\alpha, \lambda} $.但是, 为了获得$ T_2 $传输不等式Gronwall's引理将不再有效.为了克服这些缺陷, 我们将试图把(1.1)转变为Itô随机微分方程, 构造一个Itô随机微分方程解序列$ X^n $使之依概率收敛到方程(1.1)的解$ X $.进一步, 我们通过对$ X_n $建立$ T_2 $传输不等式对方程(1.1)的解$ X $建立$ T_2 $传输不等式.

本文结构如下:第2节给出一些必要的预备知识.第3节阐述并证明本文的主要结果.

假设$ (\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_t\}_{t\geq 0}, {\Bbb P}) $是一个满足通常条件的过滤的完备的概率空间, 也就是过滤是一个右连续递增族且$ {\cal F}_0 $包含了所有的$ P $ -零测集.设$ W = \{(W_1(t), \cdots, W_m(t)), t\geq0\} $是标准的$ m $ -维$ {\cal F}_t $ -适应的Wiener过程, $ B^H = \{(B_1^H(t), \cdots, B_r^H(t)), t\geq0\} $是$ r $ -维$ {\cal F}_t $ -适应的分数布朗运动.在$ {{\Bbb R}} ^d $上考虑下面的混合型随机微分方程

(2.1) $ \begin{eqnarray} X(t)& = &X_0+\int_0^ta(s, X(s)){\rm d}s+\int_0^t\sum\limits_{k = 1}^mb_k(s, X(s)){\rm d}W_k(s) {}\\ &&+\int_0^t\sum\limits_{j = 1}^rc_j(s, X(s)){\rm d}B^H_j(s), \; \; t\in[0, T]. \end{eqnarray} $

为了方便, 记

$ b(s, X(s)){\rm d}W(s): = \sum\limits_{k = 1}^mb_k(s, X(s)){\rm d}W_k(s), $

$ c(s, X(s)){\rm d}B^H(s): = \sum\limits_{j = 1}^rc_j(s, X(s)){\rm d}B^H_j(s), $

这里关于Wiener过程的积分是标准的Itô积分, 关于分数布朗运动的积分是样本轨道的Riemann-Stieltjes积分.

给定$ t\in[0, T] $.记$ W^{\alpha, \infty}([t, T];{{\Bbb R}} ^d) $, $ 0<\alpha<1 $为所有使得

$ \|f\|_{\alpha, \infty;[t, T]}: = \sup\limits_{s\in[t, T]}\Big(|f(s)|+\int_t^s\frac{|f(s)-f(r)|} {(s-r)^{\alpha+1}}{\rm d}r\Big)<\infty $

的连续函数$ f:[t, T]\rightarrow {{\Bbb R}} ^d $构成的空间.对任意的$ \lambda\geq 0 $定义它的一个等价范数为

$ \|f\|_{\alpha, \lambda;[t, T]}: = \sup\limits_{s\in[t, T]}e^{-\lambda s}\Big(|f(s)|+\int_t^s\frac{|f(s)-f(r)|} {(s-r)^{\alpha+1}}{\rm d}r\Big)<\infty. $

对任意的$ 0<\mu\leq 1 $, 记$ C^\mu([t, T];{{\Bbb R}} ^d) $表示范数为

$ \|f\|_{\mu;[t, T]}: = \|f\|_{\infty;[t, T]}+\sup\limits_{t\leq s<r\leq T}\frac{|f(s)-f(r)|} {(s-r)^{\mu}}, $

这里$ { }\|f\|_{\infty;[t, T]}: = \sup\limits_{s\in[t, T]}|f(s)| $的$ \mu $-Hölder连续函数$ f:[t, T]\rightarrow {{\Bbb R}} ^d $构成的空间.对所有的$ 0<\varepsilon<\alpha $有连续嵌入

$ C^{\alpha+\varepsilon}([t, T];{{\Bbb R}} ^d)\subset W^{\alpha, \infty}([t, T];{{\Bbb R}} ^d)\subset C^{\alpha-\varepsilon}([t, T];{{\Bbb R}} ^d). $

给定参数$ 0<\alpha<1/2 $.记$ \tilde{W}^{1-\alpha, \infty}([t, T];{{\Bbb R}} ^d) $为使得

$ \|g\|_{\tilde{W}^{1-\alpha, \infty}([t, T];{{\Bbb R}} ^d)}: = |g(t)|+\sup\limits_{t<r<s<T} \Big(\frac{|g(s)-g(r)|}{(s-r)^{1-\alpha}}+\int_r^s\frac{|g(y)-g(r)|}{(y-r)^{2-\alpha}}{\rm d}y\Big)<\infty $

的连续函数$ g:[t, T]\rightarrow{{\Bbb R}} ^k $构成的空间.显然

$ C^{1-\alpha+\varepsilon}([t, T];{{\Bbb R}} ^d)\subset \tilde{W}^{1-\alpha, \infty}([t, T];{{\Bbb R}} ^d)\subset C^{1-\alpha}([t, T];{{\Bbb R}} ^d), \; \; \forall \varepsilon>0. $

记

$ \Lambda_{\alpha}(g;[t, T]): = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\sup\limits_{t<r<s<T}|(D^{1-\alpha}_{s-}g_{s-})(r)|, $

这里

$ \Gamma(\alpha) = \int_0^{+\infty}x^{\alpha-1}e^{-x}{\rm d}x $

是Euler函数以及

$ (D^{1-\alpha}_{s-}g_{s-})(r) = \frac{e^{i\pi(1-\alpha)}}{\Gamma(\alpha)}\Big(\frac{g(r)-g(s)} {s-r^{1-\alpha}}+(1-\alpha)\int_r^s\frac{g(y)-g(r)}{(y-r)^{2-\alpha}}{\rm d}y\Big){\cal I}_{(t, s)}(r). $

于是

$ \Lambda_{\alpha}(g;[t, T])\leq\frac{1}{\Gamma(1-\alpha)\Gamma(\alpha)}\|g\|_{\tilde{W}^{1-\alpha, \infty} ([t, T];{{\Bbb R}} ^d)}. $

很明显

$ \Lambda_{\alpha}(g;[t, T])\leq\Lambda_{\alpha}(g;[0, T])(: = \Lambda_{\alpha}(g)). $

假设$ W^{\alpha, 1}([t, T];{{\Bbb R}} ^d) $是使得

$ \|f\|_{\alpha, 1;[t, T]}: = \int_t^T\Big[\frac{|f(s)|}{(s-t)^{\alpha}}+\int_t^s\frac{|f(s)-f(y)|} {s-y}^{\alpha+1}{\rm d}y\Big]{\rm d}s<\infty $

的$ [t, T] $上的可测函数$ f $构成的空间.显然$ W^{\alpha, \infty}([t, T];{{\Bbb R}} ^d)\subset W^{\alpha, 1}([t, T];{{\Bbb R}} ^d) $及$ \|f\|_{\alpha, 1;[t, T]}\leq(T+\frac{T^{1-\alpha}}{1-\alpha})\|f\|_{\alpha, \infty;[t, T]} $.记

(2.2) $ \begin{equation} (D^{\alpha}_{t+}f)(r) = \frac{1}{\Gamma(1-\alpha)}\Big(\frac{f(r)}{(r-t)^{\alpha}}+\alpha\int_t^r \frac{f(r)-f(y)} {r-y}^{\alpha+1}{\rm d}y\Big) {\cal I}_{(t, T)}(r). \end{equation} $

定义2.1  假设$ 0\leq\alpha<1/2 $.如果$ f\in W^{\alpha, 1}([t, T];{{\Bbb R}} ^{d\times k}) $和$ g\in \tilde{W}^{1-\alpha, \infty}([t, T];{{\Bbb R}} ^k) $, 那么下面定义的积分

(2.3) $ \begin{equation} \int_t^sf(r){\rm d}g(r): = (-1)^{\alpha}\int_t^s(D^{\alpha}_{t+}f)(r)(D^{1-\alpha}_{s-}g_{s-})(r){\rm d}r \end{equation} $

对所有的$ s\in[t, T] $存在, 而且

(2.4) $ \begin{eqnarray} \Big|\int_t^Tf(r){\rm d}g(r)\Big|&\leq &\sup\limits_{t\leq r<s<T}|(D^{1-\alpha}_{s-}g_{s-})(r)|\int_t^T|(D^{\alpha}_{t+}f)(s)|{\rm d}s{}\\ &\leq &\Lambda_{\alpha}(g;[t, T])\|f\|_{\alpha, 1;[t, T]}. \end{eqnarray} $

接下来, 我们考虑如下的假设.

(H1)   存在正数$ C_1 $和一些$ \beta\in(1-H, 1] $使得对所有的$ t, s\in[0, T] $及$ x, y\in{{\Bbb R}} ^d $有

$ |a(t, x)|\leq C_1(1+|x|), \; \; |a(t, x)-a(t, y)|\leq C_1|x-y| $

及

$ |a(t, x)-a(s, x)|\leq C_1|t-s|^\beta. $

(H2)   对每一个$ k = 1, \cdots, m $和一些$ \beta\in(1-H, 1] $, 存在正数$ C_2 $使得对所有的$ t, s\in[0, T] $及$ x, y\in{{\Bbb R}} ^d $有

$ |b_k(t, x)|\leq C_2(1+|x|), \; \; |b_k(t, x)-b_k(t, y)|\leq C_2|x-y| $

及

$ |b_k(t, x)-b_k(s, x)|\leq C_2|t-s|^\beta. $

(H3)   对每一个$ j = 1, \cdots, r $, $ i = 1, \cdots, d $和一些$ \beta\in(1-H, 1] $, 存在正数$ C_3 $使得对所有的$ s, t\in[0, T] $及$ x, y\in{{\Bbb R}} ^d $有

$ |c_j(t, x)|\leq C_3(1+|x|), $

$ |c_j(t, x)-c_j(t, y)|\leq C_3|x-y|, \; \; \; \; |\partial_{x_i}c_j(t, x)-\partial_{x_i}c_j(t, y)|\leq C_3|x-y| $

和

$ |c_j(t, x)-c_j(s, x)|\leq C_3|t-s|^\beta, \; \; \; |\partial_{x_i}c_j(t, x)-\partial_{x_i}c_j(s, x)|\leq C_3|t-s|^\beta. $

下面的两个结果来自Mishura和Shevchenko^[12].

定理2.1  在假设(H1)–(H3)下, 方程(2.1)存在唯一解, 而且

$ \|X\|_{\beta, \infty;[0, T]}<\infty. $

考虑下面的方程序列

(2.5) $ \begin{eqnarray} X^n(t)& = &X_0+\int_0^ta(s, X^n(s)){\rm d}s+\int_0^tb(s, X^n(s)){\rm d}W(s){}\\ &&+\int_0^tc(s, X^n(s)){\rm d}B^H_n(s), \; \; t\in[0, T], \end{eqnarray} $

这里$ \{B^H_n, n\geq1\} $一列Hurst参数为$ H $的分数布朗运动.

定理2.2  如果$ \|B^H-B^H_n\|_{\beta, \infty;[0, T]} $依概率收敛到$ 0 $, 那么$ X^n(t) $对$ t $一致的依概率收敛到$ X(t) $.

在这一节, 我们将使用逼近方法讨论方程(2.1)解的传输不等式.为此, 对$ x\in{{\Bbb R}} ^d $, $ n\geq1 $记$ k_n(x) = \frac{x}{|x|}(|x|\wedge n) $及

(3.1) $ \begin{equation} B^H_n(t) = n\int_{(t-1/n)\vee0}^tk_n(B^H(s)){\rm d}s. \end{equation} $

由文献[12, 引理2.1]知对$ \alpha\in(1-H, 1/2) $有

(3.2) $ \begin{equation} \|B^H_n-k_n(B^H)\|_{\beta, \infty;[0, T]}\leq CK_H(k_n(B^H))n^{1-H-\alpha}, \end{equation} $

这里$ K_H(g) = \sup\limits_{0\leq s\leq t\leq T}\frac{|g(t)-g(s)|}{(t-s)^H} $是$ g $的Hölder连续常数.显然

$ \|B^H_n-B^H\|_{\beta, \infty;[0, T]}\leq\|B^H_n-k_n(B^H)\|_{\beta, \infty;[0, T]}+\|B^H-k_n(B^H)\|_{\beta, \infty;[0, T]}. $

注意到$ B^H $是连续的, 于是它是有界的.因此

$ \|B^H-k_n(B^H)\|_{\beta, \infty;[0, T]}\rightarrow0, \; \; \; n\rightarrow\infty, $

结合(3.2)式和不等式$ K_H(k_n(B^H))\leq K_H(B^H)<\infty $知

$ \|B^H_n-B^H\|_{\beta, \infty;[0, T]}\rightarrow0, \; \; \; n\rightarrow\infty. $

定理3.1  假设条件(H1)–(H3)成立, $ {\Bbb P}_{X_0} $是方程(2.1)解过程$ X(\cdot, X_0) $的概率测度.那么概率测度$ {\Bbb P}_{X_0} $在度量空间$ C([0, T];{{\Bbb R}} ^d) $上满足如下的$ T_2(C) $

(a)   如果

$ d_{\infty}(\gamma_1, \gamma_2): = \sup\limits_{0\leq t\leq T}|\gamma_1-\gamma_2|, \;\;\; \gamma_1, \gamma_2\in C([0, T];{{\Bbb R}} ^d), $

那么$ C = 3TC_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2} $.

(b)   如果

$ d_2(\gamma_1, \gamma_2) = \bigg(\int_0^T|\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|^2 {\rm d}t\bigg)^{1/2}, \;\;\; \gamma_1, \gamma_2\in C([0, T];{{\Bbb R}} ^d), $

那么$ C = 3T^2C_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2} $.

这里$ C_4 = (M+C_2)(1+T^\beta)+|b(0, X_0)| $, $ M $是$ X $的Hölder连续常数.

证  定理的证明分为三步.

第一步  构造序列$ X^n $逼近$ X $.对任意的$ n\geq1 $, 假设$ B^H_n $如(3.1)式定义.考虑下面的随机微分方程

(3.3) $ \begin{eqnarray} X^n(t)& = &X_0+\int_0^ta(s, X^n(s)){\rm d}s+\int_0^tb(s, X^n(s)){\rm d}W(s){}\\ &&+\int_0^tc(s, X^n(s)){\rm d}B^H_n(s), \; \; t\in[0, T]. \end{eqnarray} $

由定理2.1和定理2.2知对任意的$ n\geq1 $, 方程(3.3)存在唯一的解$ X^n(t) $, 且$ X^n(t) $对$ t\in[0, T] $依概率一致收敛到$ X(t) $, 当$ n\rightarrow\infty $.进一步, $ X^n(t) $是$ \beta $ -阶Hölder连续的.

利用(3.1)式, 我们知道(3.3)式能变为下面的Itô随机微分方程

$ X^n(t) = X_0+\int_0^ta^n(s, X^n(s)){\rm d}s+\int_0^tb(s, X^n(s)){\rm d}W(s), \; \; t\in[0, T], $

这里

(3.4) $ \begin{eqnarray} a^n(t, x)& = &a(t, x)+\sum\limits_{j = 1}^rc_j(t, x)\dot{B^H}_{n, j}(t) {}\\ & = &a(t, x)+\sum\limits_{j = 1}^rc_j(t, x)n(k_{n, j}(B^H(t))-k_{n, j}(B^H((t-1/n)\vee0))), \end{eqnarray} $

$ k_{nj}(x) $是$ k_n(x) $的第$ j $个分量.

第二步  对每一个$ n\geq1 $, 假设$ {\Bbb P}^n_{X_0} $是方程(3.3)解过程$ X^n(\cdot, X_0) $的概率测度, $ {\Bbb Q} $是$ {{\Bbb R}} ^d $上使得$ {\Bbb Q}\ll {\Bbb P}^n_{X_0} $的任意的概率测度.对每一个$ n\geq1 $, 定义

(3.5) $ \begin{eqnarray} \widetilde{{\Bbb Q}}_n: = \frac{d{\Bbb Q}}{d{\Bbb P}^n_{X_0}}(X(\cdot, \varphi)){\Bbb P} \end{eqnarray} $

是$ (\Omega, {\cal F}) $上的概率测度.回忆熵的定义、使用测度变换方法利用(3.5)式知

$ \begin{eqnarray*} \textbf{H}(\widetilde{{\Bbb Q}}_n|{\Bbb P})& = &\int_{\Omega} \rm{ln}\left(\frac{{\rm d}\widetilde{{\Bbb Q}}_n}{{\rm d}{\Bbb P}}\right){\rm d}\widetilde{{\Bbb Q}}_n = \int_{\Omega} \rm{ln}\left(\frac{{\rm d}{\Bbb Q}}{{\rm d}{\Bbb P}^n_{X_0}}(X(\cdot, X_0))\right)\frac{{\rm d}{\Bbb Q}}{{\rm d}{\Bbb P}^n_{X_0}}(X(\cdot, X_0)){\rm d}{\Bbb P}\\ & = &\int_{{\cal L}} \rm{ln}\left(\frac{{\rm d}{\Bbb Q}}{{\rm d}{\Bbb P}^n_{X_0}}\right)\frac{{\rm d}{\Bbb Q}}{{\rm d}{\Bbb P}^n_{X_0}}{\rm d}{\Bbb P}^n_{X_0}\\ & = &\textbf{H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}^n_{X_0}). \end{eqnarray*} $

由文献[3]知, 存在可料过程$ h_n(t)_{0\leq t\leq T}\in {{\Bbb R}} $满足$ \int_0^T\|h_n(s)\|^2{\rm d}s<\infty $, $ {\Bbb P} $-a.s.及

$ \textbf{H}(\widetilde{{\Bbb Q}}_n|{\Bbb P}) = \textbf{H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}^n_{X_0}) = \frac{1}{2}{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\int_0^T|h_n(t)|^2{\rm d}t. $

由Girsanov定理知对每一个$ n\geq1 $, 过程$ (\widetilde{W}_n(t))_{t\in [0, T]} $

$ \widetilde{W}_n(t) = W(t)-\int_0^th_n(s){\rm d}s $

是概率空间$ (\Omega, {\cal F}, \widetilde{{\Bbb Q}}_n) $上关于$ \{{\cal F}_t\}_{t\geq0} $的布朗运动.于是对每一个$ n\geq1 $, 在概率测度$ \widetilde{{\Bbb Q}}_n $下$ \{X^n(t, X_0)\}_{t\in [0, T]} $满足

(3.6) $ \begin{eqnarray} X^n(t) = X_0+\int_0^ta^n(s, X^n(s)){\rm d}s+\int_0^tb(s, X^n(s))h_n(s){\rm d}s+\int_0^tb(s, X^n(s)){\rm d}\widetilde{W}_n(s). \end{eqnarray} $

现在对每一个$ n\geq1 $, 考虑下面的方程在$ \widetilde{{\Bbb Q}}_n $下的解$ Y^n $

(3.7) $ \begin{eqnarray} Y^n(t) = X_0+\int_0^ta^n(s, Y^n(s)){\rm d}s+\int_0^tb(s, Y^n(s)){\rm d}\widetilde{W}_n(s). \end{eqnarray} $

因为$ k_n(B^H) $有界, 所以$ a^n $对$ x $是Lipschitz连续和线性增长的.于是, 对每一个$ n\geq1 $, (3.7)式在$ \widetilde{{\Bbb Q}}_n $下有唯一的解$ Y^n $, 而且在$ \widetilde{{\Bbb Q}}_n $下$ Y^n(\cdot) $的分布就是$ {\Bbb P}^n_{X_0} $.因此, 在$ \widetilde{{\Bbb Q}}_n $下$ (X^n, Y^n) $是$ (\widetilde{{\Bbb Q}}_n, {\Bbb P}^n_{X_0}) $的一对耦合, 于是我们知

$ [W_2^{d_2}({\Bbb Q}, {\Bbb P}^n_{X_0})]^2\leq {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}(|d_2(X^n, Y^n)|^2) = {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\left(\int_0^T|X^n(t)-Y^n(t)|^2{\rm d}t\right), $

$ [W_2^{d_{\infty}}({\Bbb Q}, {\Bbb P}^n_{X_0})]^2\leq {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}(|d_{\infty}(X^n, Y^n)|^2) = {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\left(\sup\limits_{0\leq t\leq T}|X^n(t)-Y^n(t)|^2\right). $

接下来我们估计$ X^n $和$ Y^n $关于$ d_2 $和$ d_{\infty} $的距离.

由(3.6)和(3.7)式知

(3.8) $ \begin{eqnarray} X^n(t)-Y^n(t)& = &\int_0^t[a^n(s, X^n(s))-a^n(s, Y^n(s))]{\rm d}s +\int_0^tb(s, X^n(s))h_n(s){\rm d}s{}\\ &&+\int_0^t[b(s, X^n(s))-b(s, Y^n(s))]{\rm d}\widetilde{W}_n(s) {}\\ :& = &I_1(t)+I_2(t)+I_3(t). \end{eqnarray} $

注意到$ a^n $的Lipschitz常数与$ n $无关.实际上, 利用一些简单的计算我们知$ a^n $的Lipschitz常数为$ C_1+C_3 $.从而, 使用Hölder's不等式得到

(3.9) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}|I_1(s)|^2 & = &{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}\Big|\int_{0}^s[a^n(u, X^n(u))-a^n(u, Y^n(u))]{\rm d}u\Big|^2{}\\ & \leq &t(C_1+C_3)^2{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\int_{0}^t\sup\limits_{0\leq u\leq s}|X^n(u)-Y^n(u)|^2{\rm d}s. \end{eqnarray} $

根据假设(H2)和$ X^n $的Hölder连续性, 对任意的$ t\in[0, T] $有

$ \begin{eqnarray*} |b(t, X^n(t))|&\leq &|b(t, X^n(t))-b(0, X_0)|+|b(0, X_0)|\\ &\leq& |b(t, X^n(t))-b(t, X_0)|+|b(t, X_0)-b(0, X_0)|+|b(0, X_0)|\\ &\leq&C_2|X^n(t))-X(0)|+C_2t^\beta+|b(0, X_0)|\\ &\leq&(C_2M+C^2)t^\beta+|b(0, X_0)|\\ &\leq&(M+C^2)(1+T^\beta)+|b(0, X_0)|: = C_4, \end{eqnarray*} $

这里$ M $是$ X^n $的Hölder常数, 并且与$ C_1, C_2, C_3, T, X_0, H $及$ \beta $无关.

因此, 对每一个$ n\geq1 $知

(3.10) $ \begin{equation} {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}|I_2(s)|^2 \leq C_4^2T{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\int_0^T|h_n(t)|^2{\rm d}t. \end{equation} $

根据假设(H2)和Burkhold-Davis-Gundy's不等式知

(3.11) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}|I_3(s)|^2 &\leq &4{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\int_0^t|b(s, X^n(s))-b(s, Y^n(s))|^2{\rm d}s{}\\ & \leq&4C_2^2{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\int_0^t\sup\limits_{0\leq u\leq s}|X^n(u)-Y^n(u)|^2{\rm d}s. \end{eqnarray} $

从而, 联合(3.9)–(3.11)式, 得到

(3.12) $ \begin{eqnarray} {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}|X^n(s)-Y^n(s)|^2&\leq & 3{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}|I_1(s)|^2+3{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}|I_2(s)|^2 +3{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq s\leq t}|I_3(s)|^2{}\\ &\leq&\Big(12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2\Big)\int_{0}^t{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}\sup\limits_{0\leq u\leq s}|X^n(u)-Y^n(u)|^2{\rm d}s{}\\ & &+3TC_4^2\int_0^t{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}|h_n(s)|^2{\rm d}s. \end{eqnarray} $

于是, Gronwall's引理意味着对任意的$ t>0 $, 有

$ {\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}|X^n(t)-Y^n(t)|^2\leq 3TC_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2} \int_{0}^t{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}|h_n(s)|^2{\rm d}s. $

因此, 我们得到

$ d^2_{\infty}(X^n, Y^n)\leq 3TC_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2} \int_{0}^T{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}|h_n(s)|^2{\rm d}s, $

$ d^2_{2}(X^n, Y^n)\leq 3T^2C_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2} \int_{0}^T{\Bbb E}_{\widetilde{{\Bbb Q}}_n}|h_n(s)|^2{\rm d}s $

及

(3.13) $ \begin{equation} [W^{d_{\infty}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}^n_{X_0})]^2\leq 3TC_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2}{\bf H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}^n_{X_0}), \end{equation} $

(3.14) $ \begin{equation} [W^{d_{2}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}^n_{X_0})]^2\leq 3T^2C_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2}{\bf H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}^n_{X_0}). \end{equation} $

第三步  因为$ X^n(t) $对$ t\in[0, T] $一致依概率收敛到$ X(t) $, $ n\rightarrow\infty $, 于是$ {\Bbb P}^n_{X_0}\rightarrow{\Bbb P}_{X_0} $当$ n\rightarrow\infty $.由文献[15, 定理3]和$ W^{d_\infty}_2 $的定义知

$ W^{d_{\infty}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}^n_{X_0})\rightarrow W^{d_{\infty}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}_{X_0}), \; \; \rm{as}\; n\rightarrow\infty $

及

$ W^{d_{2}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}^n_{X_0})\rightarrow W^{d_{2}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}_{X_0}), \; \; \mbox{当}\; n\rightarrow\infty. $

另一方面, 由$ {\bf H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}) $的定义知

$ {\bf H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}^n_{X_0})\rightarrow{\bf H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}_{X_0}), \; \; \mbox{当} \; n\rightarrow\infty. $

因此, 在(3.13)式两边取极限得到

$ [W^{d_{\infty}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}_{X_0})]^2\leq 3TC_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2}{\bf H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}_{X_0}) $

及

$ [W^{d_{2}}_2({\Bbb Q}, {\Bbb P}_{X_0})]^2\leq 3T^2C_4^2e^{12C_2^2+3T(C_1+C_3)^2}{\bf H}({\Bbb Q}|{\Bbb P}_{X_0}). $

证毕.