近年来Navier-Stokes方程截断模型的稳定性与分岔问题引起了众多学者的普遍关注. 1963年美国气象学家Lorenz在研究两板间对流的Saltzman方程时,首次给出的著名的Lorenz方程开创了通过Fourier展开截取有限的模式来研究统治流体的偏微分方程的先河. 20世纪后期Franceschini又在此方向上进一步扩展,多次和其他学者合作研究Navier-Stokes方程的截断模型,读者可参见Lorenz、Franceschini等人的文献[1-12].

以往的研究工作大都侧重于从流动的稳定性和分岔理论开展研究,主要是利用分岔理论来解释和分析实验中观察到的流动发展到湍流前的各种涡流及其相互演化的过程,以及从层流过渡到湍流的方式及仿真等,而对截断模型的物理背景、物理意义以及流动的生成机理和能量演化等问题很少有文献涉及,诸如能量的守恒,内能,耗散和外力等相互转化和物理意义等问题几乎无人关注.因此探讨复杂流动模式和混沌的生成机理及其物理意义等相关问题是非常有意义和具有挑战性的.本文把五模类Lorenz系统的状态变量视为角动量,将矢量场分解为惯性力矩,耗散力矩和外力矩,不同的力矩的耦合视为不同的动力模式,通过分析各种力矩耦合模态和混沌生成的因果关系,揭示五模类Lorenz系统动力学和能量特征以及混沌生成的力学机理.

混沌系统按其各项及相互作用是相当复杂的.如果从力学角度对混沌进行研究,可以从中发现更多的混沌基本成因.从力学角度研究混沌系统已经有了良好的开端,阿诺德用Kolmogorov系统来描述具有哈密顿函数的不同的强迫动力系统,流体动力系统等^[13]. Pasini和Pelino对Lorenz系统进行了研究,并给出了统一的柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)和洛伦茨(Lorenz)系统^[14-16].齐和梁将混沌系统转换成Kolmogorov形系统,进行力的分析,解释角动量的混沌状态,讨论能量循环^[17-19].借助扩展的Kolmogorov系统, Pelino等研究了洛伦兹系统的能量转换^[20].文献[16]研究了Chen混沌系统力学机理与能量转换,将Chen混沌系统转换成Kolmogorov形系统,通过不同力矩的结合分析和研究了Chen混沌系统产生混沌的关键因素和物理意义.研究了哈密顿能量,动能和势能之间的相互转换.讨论了能量与雷诺数之间的关系.文献[17]研究了齐四翼混沌系统的力学机理与能量转换,通过与Kolmogorov系统和欧拉方程的比较,把四翼混沌系统的矢量场分解为惯性力矩、内力矩、耗散和外力矩来探讨产生混沌的基本因素.利用Lie-Poisson括号揭示哈密顿能,动能与势能的相互转换.通过五种情形分析研究了四翼混沌吸引子不同类型力矩的功能和作用以及产生不同类型动力学模式的关键因素.此外,借助扩展的Kolmogorov系统, Pelino等研究了洛伦兹系统的能量转换^[18].基于这些工作本文研究了五模类Lorenz系统力学机理、物理意义和能量演化.并估计了混沌吸引子的界.

由于五模系统的全局吸引子是非常复杂和难于计算的.系统的轨道从一个不稳定的平衡点移动到另一个不稳定的平衡点,相应地,轨道和平衡点之间的距离随参数和时间的不同而变化.我们发现,卡西米尔(Casimir)函数与距离有密切关系,关于洛伦茨吸引子的可预测性和能量可以通过能量转换来进行研究^[20].因此,通过引入卡西米尔函数的导数,我们给出了五模系统的能量演化,并且分析了它们的动力学和能量演化.

本文的结构如下:第2节将五模系统转换为Kolmogorov系统.第3节分析了不同动力模式的力学机理.在第4节,引入卡西米尔函数来获得混沌吸引子的边界,探讨它的动态行为.第5节按扩展Kolmogorov系统和能量转换,分析了五模系统的力学机制,能量转换和卡西米尔函数的关系.最后,第6部分是总结.

Lorenz方程源于满足一定的边界条件的Navier-Stokes方程的适当截断,通常的程序是在方程的展开式中截取有限项. Boldrighini和Franceschini考虑平面不可压缩Navier-Stokes方程,得到了下列五模方程组

(2.1) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \dot x_1 = -2x_1+4x_2x_3+4x_4x_5 , \\ \dot x_2 = -9x_2+3x_1x_3, \\ \dot x_3 = -5x_3-7x_1x_2+r, \\ \dot x_4 = -5x_4-x_1x_5, \\ \dot x_5 = -x_5-3x_1x_4, \end{array} \right. \end{equation} $

这里$ x_i $ ($ i = 1, \cdots, 5 $)是傅里叶系数,它们是时间$ t $的函数, $ r $为雷诺数.当$ 28.73\leq r\leq 33.43 $系统存在混沌吸引子^[4].容易获得系统(2.1)有下列三个平衡点

(2.2) $ \begin{equation} \begin{array}{l} O = [0, 0, \frac{r}{5}, 0, 0], \\ P^{\pm} = [\pm\sqrt{\sqrt{6}/7}\sqrt{r-5\sqrt{3/2}}, \pm\sqrt{1/7\sqrt{6}}\sqrt{r-5\sqrt{3/2}}, \sqrt{3/2}, 0, 0]. \end{array} \end{equation} $

为了发现系统(2.1)的状态变量的物理意义和系统(2.1)的力学机理我们引进如下的Kolmogorov系统

(2.3) $ \begin{equation} \dot X = \{X, H\} -\Lambda X+f, \end{equation} $

其中$ X = [x_1, x_2, x_3, x_4, x_5]^T $,反对称括号$ \{\cdot, \cdot\} $表示哈密顿函数$ H $动能部分的代数结构,以及cosymplectic矩阵$ J $,或Lie-Poisson结构^[21]

(2.4) $ \begin{equation} \{F, G\} = J_{ik}\partial_i F\partial_k G. \end{equation} $

系统(2.3)是Kolmogorov描述具有哈密顿函数的不同强迫动力系统、流体动力系统等引入的^[13].在欧拉方程中力(或力矩)$ \{X, H\} $是惯性力(离心力).系统(2.3)是具有耗散力和外力的广义欧拉方程^[19].定义哈密顿能量$ H = K + U $,其中动能$ K = \frac{1}{2}(9x^2_1+2x^2_2+6x^2_3+6x^2_4+10x^2_5) $,由于我们考虑的是平面流动,故势能$ U = 0 $.因此哈密顿能量$ H $仅包含动能$ K $.利用广义行列式把系统(2.1)描述为如下的Kolmogorov系统

(2.5) $ \begin{equation} \dot X = \left( \begin{array}{c} 4x_2x_3+4x_4x_5 \\ 3x_1x_3\\ -7x_1x_2\\ -x_1x_5\\ -3x_1x_4 \end{array} \right ) -\left( \begin{array}{c} 2x_1 \\ 9x_2\\ 5x_3\\ 5x_4\\ x_5 \end{array} \right ) +\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0\\ r\\ 0\\ 0 \end{array} \right ) = \{X, H\} -\Lambda X+f, \end{equation} $

其中$ \Lambda = diag(2, 9, 5, 5, 1) $, $ f = (0, 0, r, 0, 0)^T $.

注1  变量$ X $相当于角动量,时间导数$ \dot X $表示流体流动的反应力矩.第一项$ \{X, H\} $是守恒项,包括由动能产生的惯性力矩和势能释放的内力矩.第二项$ \Lambda X $是耗散力矩,即摩擦或加热交换或粘滞力,最后一项$ f $是外力矩(驱动力矩).

本节我们研究不同类型的力矩对系统(2.5)的影响,从而发现产生混沌的关键因素.

情形1  系统只包含惯性力矩(由动能$ K $产生的),即系统仅包含动能,

(3.1) $ \begin{equation} \dot X = \{X, K\} = \left( \begin{array}{c} 4x_2x_3+4x_4x_5 \\ 3x_1x_3\\ -7x_1x_2\\ -x_1x_5\\ -3x_1x_4 \end{array} \right ). \end{equation} $

Hamiltonian(动能)函数的导数

$ \dot H = \dot K = 9x_1\dot x_1+2x_2\dot x_2+6x_3\dot x_3+6x_4\dot x_4+10x_5\dot x_5 = 0. $

显然,系统(3.1)是保守系统,因此,一个闭合的周期轨道产生如图 1(a)和图 2(a)所示,状态变量$ x_1 $和$ x_3 $的轨迹如图 1(b)和图 2(b)所示.

情形2  系统包含哈密顿函数中的惯性力矩(由动能$ K $产生的)和耗散力矩,相应的方程为

(3.2) $ \begin{equation} \dot X = \{X, K+U\} -\Lambda X = \left( \begin{array}{c} 4x_2x_3+4x_4x_5 \\ 3x_1x_3\\ -7x_1x_2\\ -x_1x_5\\ -3x_1x_4 \end{array} \right ) -\left( \begin{array}{c} 2x_1 \\ 9x_2\\ 5x_3\\ 5x_4\\ x_5 \end{array} \right ). \end{equation} $

容易获得

$ Div(V) = \frac{\partial\dot x_1}{\partial x_1}+\frac{\partial\dot x_2}{\partial x_2} +\frac{\partial\dot x_3}{\partial x_3}+\frac{\partial\dot x_4}{\partial x_4}+\frac{\partial\dot x_5}{\partial x_5} = -22<0, $

其中V是系统相空间的体积.因此,此情形下系统是耗散的,即相空间的体积在流量下以指数形式收缩^[22].哈密顿函数的变化率是

$ \dot H = 9x_1\dot x_1+2x_2\dot x_2+6x_3\dot x_3+6x_4\dot x_4+10x_5\dot x_5 = -(18x^2_1+18x^2_2+30x^2_3+30x^2_4+10x^2_5). $

根据文献[15, 20]中讨论的Kolmogorov系统,我们能通过哈密顿函数的导数来确定能量耗散.图 3(a)给出了哈密顿函数$ H $的时间演化,显示能量是耗散的,因为体积$ V $耗散从而能量减少,如图 3(b)所示.

情形3  系统在惯性力矩和外力矩下,即系统包含内能和驱动因素,但不包含耗散因素,相应的方程为

(3.3) $ \begin{equation} \dot X = \{X, K+U\} +f = \left( \begin{array}{c} 4x_2x_3+4x_4x_5 \\ 3x_1x_3\\ -7x_1x_2\\ -x_1x_5\\ -3x_1x_4 \end{array} \right ) +\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0\\ r\\ 0\\ 0 \end{array} \right ). \end{equation} $

由于有了外力矩$ f $,总的角动量在外力矩的方向发展,这意味着轨道不仅在周期加倍内移动,而且还被外力矩拉伸以产生螺旋状的曲线,如图 4(a)$ (r = 27) $所示.图 4(b)显示状态变量$ x_3 $的振荡频率随时间增长($ r = 27 $).令$ V_1 = x_3 $,那么它的导数$ \dot{V}_1 = \dot{x}_3 = r-7x_1x_2 $.当$ r $充分大时, $ \dot{V}_1 > 0 $.导数积分后,很容易获得$ V_1(t)-V_1(0) = \int^t_0(r-7x_1x_2){\rm d}s = rt-7\int^t_0x_1x_2{\rm d}s > 0 $,即当$ t\rightarrow +\infty $或$ r\rightarrow +\infty $时, $ V_1(t)\rightarrow \infty $.也就是说$ x_3 $是无界的,因此,哈密顿函数H也趋于无穷,如图 5所示.实际上,外力矩主要增加了动能;相比之下,势能则受到外力矩的影响较小.可以看出,随着时间的推移,动能增加,这就导致了哈密顿能量的增加.

为了分析和比较各种力矩对五模系统动力学所起的作用,我们讨论了上面虚拟的三种情形,下面的情形4才具有真实的物理意义.

情形4  系统在全部力矩下,即系统包含内能,同时包含耗散因素和驱动因素,相应的方程为,

(3.4) $ \begin{equation} \dot X = \{X, K\}+\{X, U\}-\Lambda X+f = \left( \begin{array}{c} 4x_2x_3+4x_4x_5 \\ 3x_1x_3\\ -7x_1x_2\\ -x_1x_5\\ -3x_1x_4 \end{array} \right ) -\left( \begin{array}{c} 2x_1 \\ 9x_2\\ 5x_3\\ 5x_4\\ x_5 \end{array} \right ) +\left( \begin{array}{c} 0 \\ 0\\ r\\ 0\\ 0 \end{array} \right ). \end{equation} $

当$ r = 29 $时系统(3.4)存在混沌吸引子如图 6(a)所示.情形2中没有外力矩,五模系统解趋于平衡点$ O $.而情形3下五模系统解在没有耗散的情况下无限增长.因此,外力和耗散耦合是五模系统产生混沌吸引子的必要条件.然而,当外力矩与耗散力矩不匹配时,耗散并不足以保证五模系统的能量衰减,也就是说外力和耗散虽然是产生混沌的基本因素,但外力和耗散简单的耦合并不总是使系统产生混沌.例如,大参数$ r $可以使系统具有周期性或无穷大,如图 6(b)所示.图 7(a)绘制了当$ r = 76 $时系统的准周期吸引子.只有当参数$ r $在一定范围内取值($ 28.73\leq r\leq 33.43 $),且当驱动因素(外力)与耗散因素相匹配时,系统才可能产生混沌.图 7(b)绘制动能和势能的时间演化($ r = 30 $).

混沌系统具有一些奇异的性质:如初始灵敏性和解的有界性.对于非混沌系统,正Lyapunov指数意味着系统解无限制地增长.然而,对于一个有界的混沌吸引子来说,其轨线增长的同时在不断的折叠,因此,解的边界性质在混沌系统研究中是至关重要的.通常很难找到混沌吸引子的边界,利用拉格朗日乘数法和卡西米尔函数法,我们得到了五模系统混沌吸引子的边界.数值模拟表明,这是一个清晰的边界.卡西米尔函数$C$,就像在流体动力学中的涡量拟能或势能涡度,对于分析一个动态系统的稳定性条件和全局描述非常有用,它由括号(2.4)的内核定义,即

$\{C, G\}=0, \quad \forall G\inC^\infty(g^*), $

这意味着在Lie-Poisson括号下卡西米尔函数与每个函数交换^[21].对于五模系统来说,卡西米尔函数定义为

$C=\frac{1}{2}(x^2_1+x^2_2+x^2_3+x^2_4+x^2_5).$

从方程(2.4)和文献[21],我们有

$\{C, G\}=-X\cdot(\nabla C \times \nabla G)=-X\cdot(X \times \nabla G)=0, $

其中$X=[x_1, x_2, x_3, x_4, x_5]^T $.根据方程(2.5)得

$\dot{C}=-(2x^2_1+9x^2_2+5x^2_3+5x^2_4+x^2_5)+rx_3.$

令

$\Xi_0=\bigg\{(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5)\mid 2x^2_1+9x^2_2+5(x_3-\frac{r}{10})^2+5x^2_4+x^2_5=\frac{r^2}{20}\bigg\}.$

显然$\Xi_0$是$R^5$中的椭球,在$\Xi_0$表面上$\dot{C}=0$,所以$C(t)$的所有极值点均位于$\Xi_0$的表面.当系统(2.5)或(5.2)的轨线从$\Xi_0$的内部移出时$\dot{C} < 0$,因此卡西米尔函数下降到$\dot{C}=0$,达到其极小值.当轨线进入$\Xi_0$内,有$\dot{C}>0$,然后,卡西米尔函数增加直到$\dot{C}=0$达到它的最大值.应该注意的是,三个平衡点均位于$\Xi_0$的表面,因为平衡点是通过$\dot{X}=0$求得的,推得$\dot{C}=0$.受文献[24]方法的启发,下面我们给出卡西米尔函数和混沌吸引子的边界.

定理4.1  卡西米尔函数被限制在如下集合内

$\Xi=\bigg\{(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) |\sum^5_{i=1} x^2_i\leq(\frac{r}{5})^2\bigg\}.$

证  根据上述分析, $C(t)$的最大最小值点均位于集合$\Xi_0$内,因此, $C(t)$的上界可以用如下有约束的优化问题来处理

(4.1) $\begin{equation} \begin{array}{lll} \max \quad C=\frac{1}{2}\bigg(\sum^5_{i=1} x^2_i\bigg) \\[3mm] {\rm s.t.}\quad (2x^2_1+9x^2_2+5x^2_3+5x^2_4+x^2_5)-rx_3=0. \end{array}\end{equation}$

定义拉格朗日函数$L=\frac{1}{2}(\sum\limits^5_{i=1} x^2_i)+\lambda(2x^2_1+9x^2_2+5x^2_3+5x^2_4+x^2_5-rx_3), $其中$\lambda$是拉格朗日乘子.

通过计算我们得到如下关于变量的导数

(4.2) $\begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \frac{\partial L}{\partial x_1}=x_1+4\lambda x_1=0, \\[3mm] \frac{\partial L}{\partial x_2}=x_2+18\lambda x_2=0, \\[3mm] \frac{\partial L}{\partial x_3}=x_3+10\lambda x_3-r\lambda=0, \\[3mm] \frac{\partial L}{\partial x_4}=x_4+10\lambda x_4=0, \\[3mm] \frac{\partial L}{\partial x_5}=x_5+2\lambda x_5=0, \\[3mm] \frac{\partial L}{\partial \lambda}=2x^2_1+9x^2_2+5x^2_3+5x^2_4+x^2_5-rx_3. \end{array} \right.\end{equation}$

因此得到两个解$(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, \lambda) =(0, 0, 0, 0, 0, 0)\quad\mbox{和}\quad (0, 0, \frac{r}{5}, 0, 0, -\frac{1}{5}).$

所以, $C$的最大值为$(\frac{r}{5})^2/2$,即

$C=\frac{1}{2}\bigg(\sum^5_{i=1} x^2_i\bigg)\leq \frac{1}{2}\bigg(\frac{r}{5}\bigg)^2.$

证毕.

定理4.1给出了五模系统混沌吸引子边界的精确估计.卡西米尔函数的值如图 8(a) ($r=80$)所示,我们可以看到函数$C(t)$以$C(t) < (\frac{r}{5})^2/2$为上界振荡.混沌吸引子被包围在边界球内,如图 8(b)所示(这是5维吸引子的3维视图).

为了显示卡西米尔函数与平衡点$P^\pm$之间的关系,我们定义两种距离

(4.3) $\begin{equation}D_1(t) = |X(t)-P^+|, \quad D_2(t) = |X(t)-P^-|, \end{equation}$

这表示系统(2.5)的轨道与平衡点$P^\pm$之间的距离.在图 9(a) ($r=30$)中,实线是Casimir函数,虚线是$D_1(t)$和$D_2(t)$.

图 9(a)表明,当轨线远离平衡点$P^+$或$P^-$时卡西米尔函数达到最大值.当轨线同时接近平衡点$P^\pm$时,卡西米尔函数达到最小值.图 9(b) ($r=31$)中显示了更紧密的关系,在这个图中,虚线是$D_1(t)$与$D_2(t)$之和,它与Casimir函数具有类似的动态.他们的极值点几乎在同一时间点,而且他们也有同样的上升和下降趋势.

随着$r$增大时,系统(2.5)的动能增加,如图 10所示,外力矩主要是增加动能,最终导致分岔和混沌.图 11显示了距离$D_1$和$D_2$的总和与卡西米尔函数随参数$r$变化的变化趋势.

根据以上理论分析和仿真结果,我们得出如下结论,当$r < 5\sqrt{3/2}$时,系统(2.1)仅存在平衡点$O$,当$r>5\sqrt{3/2}$,系统存在以下三个平衡: $O, P^+, P^-, $平衡点$O$从稳定结点变成鞍结点,新平衡点$P^{\pm}$是稳定的.新的平衡点随着$r$增加逐渐丧失其稳定性,他们从稳定结点发展到稳定焦点,最后变成了鞍结点.同时,系统(2.1)的轨线趋于$P^{\pm}$,在$P^{+}$和$P^{-}$之间来回跳跃.距离$D_1$与$D_2$之和随$r$增大而单调递增.动能从最小值逐渐增加, Casimir函数也有类似的增加趋势.在耗散和驱动的内禀作用下,系统的内能不断增大,系统变得不稳定最终到达混沌.在下表中,我们给出了这些相关结论的细节.

我们注意到系统(2.5)的第一项是由哈密顿能量传递的力矩,它似乎与后面两项,即耗散和外力矩没有关系,但从图 10中我们发现能量与这两项有关.由于每一类型的力矩是一个耦合的线性或非线性的具有三个分量的矢量,其作用于一个质点上,因此很难研究系统(2.5)的力矩.但是,由于能量是一个标量,所以通过研究能量来发现力矩特征是很容易的,而能量是流体流动的一个重要因素,在接下来的讨论中,我们讨论了能量与这两种力矩的关系.莫里森通过Lyapunov函数将哈密顿动力学的Li-Poisson括号扩展为包括耗散^[23],即

(5.1) $ \begin{equation} \dot X = \{X, H\} +\langle X, L\rangle, \end{equation} $

其中$ \langle F, L\rangle = g_{ij}\frac{\partial F}{\partial x_i}\frac{\partial L}{\partial x_j} $是爱因斯坦符号, $ L $是一个Lyanpunov函数耗散部分, $ g_{ij} = \frac{1}{2}\varepsilon_{im}^n \varepsilon_{kn}^m $是Cartan-Killing指标.运用哈密顿能量与耗散能量交换思想,佩利诺等用$ L+G $替换$ L $,其中$ G $是外力释放的能量^[24].因此,方程(2.5)重写为

(5.2) $ \begin{equation} \dot X = \{X, H\} +\langle X, L\rangle+\langle X, G\rangle, \end{equation} $

其中$ L = \frac{1}{2}(2x^2_1+9x^2_2+5x^2_3+5x^2_4+x^2_5), G = rx_3 $, $ \langle X, P\rangle = -\frac{\partial P}{\partial X} $.方程(5.2)可以解释为整个混沌系统包含四种类型的能量:动能、势能、耗散能和外力能,这些能量转换为四种类型的力矩:惯性力矩、内力矩、耗散力矩和外力矩.对于五模流动,流体粒子包含动能和源自于重力、热量损失以及辐射吸收的势能,作用于流体粒子上的总力矩产生角加速度.

根据方程(2.3)和(5.2),我们有

(5.3) $ \begin{equation} \frac{\partial K}{\partial X}\{X, H\} = \{K, H\} , \quad \quad\frac{\partial K}{\partial X}\langle X, L\rangle = \langle K, L\rangle. \end{equation} $

那么

(5.4) $ \begin{eqnarray} \dot K& = &\frac{\partial K}{\partial X}\dot{X} = \frac{\partial K}{\partial X}(\{X, H\}+\langle X, L\rangle+\langle X, G\rangle) \\ & = & \{K, H\} +\langle K, L\rangle +\langle K, G\rangle = \{K, U\} +\langle K, L\rangle+\langle K, G\rangle \\ & = &-(18x^2_1+18x^2_2+30x^2_3+30x^2_4+10x^2_5)+6rx_3, \end{eqnarray} $

因此,动能的变化率与势能、耗散能、外能量有一定的关系.

由于$ \{C, K\} $和$ \{C, U\} $都为零,卡西米尔函数显然不会与$ U $和$ K $交互.因此,引入新状态函数$ W = \dot{C} = -(2L+G) $ (参见文献[24]).卡西米尔函数是热力学能,因此,卡西米尔变化率为耗散与供给能量之间的交换率.通过类似的方法我们有.

(5.5) $ \begin{eqnarray} \dot W& = &\{W, K\} +\{W, U\} +\langle W, L\rangle +\langle W, G\rangle \\ & = &8x^2_1+162x^2_2+50x^2_3+50x^2_4+2x^2_5-15rx_3-7rx_1x_2+r^2. \end{eqnarray} $

然后,五模系统的能量转换可以写成

(5.6) $ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lll} \dot K = -\{U, K\}+\langle K, L+G\rangle, \\ \dot{U} = \{U, K\}+\langle U, L+G\rangle, \\ \dot W = \{W, K\} +\{W, U\} +\langle W, L\rangle+\langle W, G\rangle\\ = 8x^2_1+162x^2_2+50x^2_3+50x^2_4+2x^2_5-15rx_3-7rx_1x_2+r^2. \end{array} \right. \end{equation} $

这考虑了在$ K, U $和$ W $交换项中的耗散和力.方程(5.4)–(5.6)表明参数$ r $对五模系统的能量演化有显著影响.

五模系统有螺旋式轨道,它的轨道从一个不稳定的平衡点移动到另一个不稳定的平衡点.当轨道远离不稳定的平衡点之一时, $ D_1 $与$ D_2 $的距离和因参数$ r $增大而逐渐增大,如图 11所示.也就是$ r $增大,使得驱动与耗散相匹配,二者共同作用导致系统内能增大,导致分歧发生,最终出现混沌.因而轨线在两个不稳定的平衡点之间频繁跳跃,使得$ D_1 $与$ D_2 $的距离和也逐渐增大.

虽然五模系统与Lorenz系统不同,但能量转换时间演化与文献[18]的结果相似,能量、西米尔函数以及$ D_1 $与$ D_2 $的距离之和与外力矩(雷诺数$ r $)间的演化关系是本文的重要发现.

本文研究了五模类洛伦兹系统的动力学机理和能量转换,通过理论和数值结果揭示了五模系统的力学机制和物理意义.首先,探讨了五模类洛伦兹系统作为柯尔莫哥洛夫系统的力学和物理意义.剖析了五模混沌系统三种不同类型的力矩,研究了这些力矩的耦合的四种情况,探讨了产生混沌的关键因素.在保守的情况下,哈密顿量是一个常数,相应的方程产生周期解.当耗散力矩或外力矩加入到保守系统中时,哈密顿函数趋近于零或无穷大,对应的系统不会产生混沌.当考虑到所有力矩时,五模系统才产生混沌.对于五模系统,内能、耗散因素和驱动因素并存是产生混沌的必要条件,而且,只有当耗散与驱动相匹配时,系统才能生成混沌.增加的动能导致流动不稳定,通过分岔最终到达混沌.其次,本文将五模混沌系统作为一个扩展的Kolmogorov系统研究了其力学和物理意义.引进卡西米尔函数来分析系统动力学和能量转换.两种不稳定平衡点的距离之和与卡西米尔函数有密切的关系,它们的时间演化是一致的.卡西米尔函数是内能,因此,它的变化速率是耗散与供给能量(外力矩)之间的交换速率.内能的导数起着能量转换的作用,平衡点距离的时间演化也有类似的动态.

五模系统是耗散系统,其有界性是不平凡的,通过拉格朗日乘数法和卡西密尔函数法,得到了混沌吸引子的一个清晰的边界,数值仿真显示了方法的有效性.