众所周知,凸体的等周不等式可以陈述为(参见文献[1, p382])

若$ K $是$ {\Bbb R}^{n} $的一个凸体,则

(1.1) $ \begin{align} \left(\frac{V(K)}{V(B)}\right)^{n-1}\leq\left(\frac{S(K)}{S(B)}\right)^{n}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $是$ n $维球,其中, $ B $是质心在原点的单位球,并且$ V(K) $表示凸体$ K $的体积.凸体$ K $的表面积表示为$ S(K) $,且定义为(参见文献[1, p376])

(1.2) $ \begin{align} S(K) = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{V(K+\varepsilon B)-V(K)}{\varepsilon}, \end{align} $

其中和“$ + $”表示通常的Minkowski和.

凸体著名的Mikowski不等式可以陈述为:若$ K $和$ L $是$ {\Bbb R}^{n} $的凸体,则

(1.3) $ \begin{align} V_{1}(K, L)^{n}\geq V(K)^{n-1}V(L), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是相似的,其中,凸体$ K $和$ L $的混合体积表示为$ V_{1}(K, L) $,定义为(参见文献[2, p357])

$ V_{1}(K, L) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}h(L, u){\rm d}S(K, u), $

其中$ S^{n-1} $表示$ {\Bbb R}^{n} $上的单位球面, $ u $表示单位向量, $ {\rm d}S(K, u) $表示凸体$ K $的表面积微元,且$ h(L, \cdot): S^{n-1} \rightarrow{\Bbb R} $表示凸体$ L $的支撑函数(参见文献[1, 3])

$ h(L, u) = \max\{u\cdot x: x\in L\}, $

其中$ u\cdot x $表示$ {\Bbb R}^{n} $上$ u $与$ x $通常的内积.

近些年,凸体的等周不等式引起了许多数学家的关注与研究(参见文献[1-7]). 2004年,凸体$ K $和$ D $的体积差函数首次被冷岗松教授定义(参见文献[8]).

$ Dv(K, D) = V(K)-V(D), \; \; D\subseteq K. $

凸体的体积差函数的Minkowski不等式被建立如下.

定理1.1^[8]  若$ K, L $和$ D $是$ {\Bbb R}^{n} $的凸体或紧域,使得$ D\subseteq K $和$ D'\subseteq L $,且$ D' $是$ D $的一个相似的复本,则

(1.4) $ \begin{align} (V_{1}(K, L)-V_{1}(D, D'))^{n}\geq (V(K)-V(D))^{n-1}(V(L)-V(D')), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是相似的,且$ (V(K), V(D)) = \mu(V(L), V(D')) $,其中$ \mu $是常数.

最近,体积差的等周不等式被建立成下列定理.这是一个非常有趣的凸体等周不等式的改进.

定理1.2^[7]  若$ K $是$ {\Bbb R}^{n} $的凸体, $ D $是一个$ n $ -维球且$ D\subseteq K $.令$ B $和$ B' $是$ {\Bbb R}^{n} $上质心在原点的球,使得$ B\supseteq B' $且它们的半径分别是$ r $和$ r' $,则

(1.5) $ \begin{align} \left(\frac{rS(K)-r'S(D)}{rS(B)-r'S(B')}\right)^{n}\geq\left(\frac{V(K)-V(D)}{V(B)-V(B')}\right)^{n-1}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $是一个$ n $ -维球,且$ (V(K), V(D)) = \mu(V(B), V(B')), $其中$ \mu $是常数.

不难看出:不等式(1.5)中, $ D $必须限定是一个特殊凸体,即$ n $ -维球.因此,一个很自然的问题被提出:如果不限制凸体$ D $是球,让$ D $是$ {\Bbb R}^{n} $的任意凸体,上述体积差的等周不等式是否存在?本文的主要目的就是给出了这个问题的正确回答.如果$ D $换成任意星体不必限制为球,上面体积差的等周不等式仍是成立的.我们获得了下列凸体和星体混合的新的等周不等式.

定理1.3  若$ K $是$ {\Bbb R}^{n} $的凸体, $ L $是$ {\Bbb R}^{n} $的星体,并使得$ L\subseteq K $,则存在实数$ R > r\geq 0 $使得下列不等式成立

(1.6) $ \begin{align} \left(\frac{RS(K)-rS'(L)}{R^{n}S(B)-r^{n}S(B)}\right)^{n}\geq\left(\frac{V(K)-V(L)}{R^{n}V(B)-r^{n}V(B)} \right)^{n-1}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是$ n $ -维球,且$ V(rK) = V(RL) $,其中$ B $是质心在原点的单位球.

这里, $ S'(L) $表示星体$ L $的对偶表面积,定义为

(1.7) $ \begin{align} S'(L) = \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{V(L\tilde{+}\varepsilon B)-V(L)}{\varepsilon} = n\widetilde{V}_{1}(L, B), \end{align} $

其中和$ \tilde{+} $表示径向Minkowski和.另外, $ \widetilde{V}_{1}(K, L) $表示星体$ K $和$ L $的对偶混合体积,定义为(参见文献[9])

$ \widetilde{V}_{1}(K, L) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho(K, u)^{n-1}\rho(L, u){\rm d}S(u), $

其中,对于$ u\in S^{n-1} $,有

$ \rho(K, u) = \max\{\lambda\geq 0: \lambda u\in K\}, $

表示星体$ K $的极经函数.

注1.1  若令$ L $是单个的点且$ r = 0 $,则(1.6)式就变成等周不等式(1.1).这显示了(1.6)式是经典等周不等式的一个推广形式.

事实上,定理1.2存在一点问题.为了更正,我们提出如下一个改进与修正版本.

定理1.4  若$ K $是$ {\Bbb R}^{n} $上的凸体, $ D $是$ n $ -维球, $ \sqrt[n]{k}D\subseteq K $,且$ k $是正整数.令$ B' $和$ B'' $是$ {\Bbb R}^{n} $上的质心在原点$ n $ -维球,使得$ B'\supseteq \sqrt[n]{k}B'' $,且它们的半径分别是$ r $和$ r' $,则

(1.8) $ \begin{align} \left(\frac{rS(K)-kr'S(D)}{r^{n}S(B)-k(r')^{n}S(B)}\right)^{n}\geq\left(\frac{V(K)-kV(D)}{V(B') -kV(B'')}\right)^{n-1}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $是一个$ n $ -维球,且$ (V(K), V(D)) = \mu(V(B'), V(B'')), $其中$ \mu $是常数.

注1.2  若$ D $和$ B'' $都是单个的点, (1.8)式变成等周不等式(1.1).当$ k = 1 $, (1.8)式变成(1.5)式的正确版本.

该文之研究假设在$ n $ -维欧式空间$ {\Bbb R}^{n} $范围内.令$ {\cal K}^{n} $是$ {\Bbb R}^{n} $上的凸体集合(所谓凸体是指$ {\Bbb R}^{n} $上的含有非空内点的紧致凸子集).令$ \delta $表示$ {\cal K}^{n} $上的Hausdorff距离,即:对于$ K, L\in {\cal K}^{n}, $有

$ \delta(K, L) = |h(K, \cdot)-h(L, \cdot)|_{\infty}, $

其中$ |\cdot|_{\infty} $表示连续函数空间$ C(S^{n-1}) $的上界范数.

一个紧子集$ K $具有有连续的径向函数且它相对于原点是星形的.它的极径函数$ \rho(K, \cdot): S^{n-1}\rightarrow \mathbb{R}, $对于$ u\in S^{n-1} $,被定义为$ \rho(K, u) = \max\{\lambda\geq 0: \lambda u\in K\}. $若$ \rho(K, \cdot) $是正的,连续的, $ K $被称为星体.令$ {\cal S}^{n} $表示$ \mathbb{R} ^{n} $中所有星体的集合.另外,令$ \tilde{\delta} $表示极径Hausdorff距离,若$ K, L\in {\cal S}^{n} $,则

$ \tilde{\delta}(K, L) = |\rho(K, \cdot)-\rho(L, \cdot)|_{\infty}. $

若$ K_i\in {\cal K}^n $且$ \lambda_i $是非负实数$ (i = 1, 2, \cdots, r) $,则$ \sum\limits_{i = 1}^r\lambda_iK_i $的混合体积是$ \lambda_{i} $的一个齐次$ n $次多项式,被定义为(参见文献[1, p280]或[10])

(2.1) $ \begin{align} V(\lambda_1K_1+\cdots +\lambda_rK_r) = \sum\limits_{1\leq i_1, \cdots , i_n\leq r}\lambda_{i_1}\cdots \lambda_{i_n}V_{i_1, \cdots , i_n}, \end{align} $

其中的和取遍所有$ n $元组$ (i_{1}, \cdots, i_{n}) $, $ n $是不超过$ r $的正整数.系数$ V_{i_{1}, \cdots, i_{n}} $是由(2.1)式唯一确定、非负且仅依赖于体$ K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}} $.这里$ V_{i_{1}, \cdots, i_{n}} $表示$ V(K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}}) $并称为$ K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}} $的混合体积且写成$ V(K_{i_1}, \cdots, K_{i_n}) $.若$ K_1 = \cdots = K_{n-i-1} = K $, $ K_{n-i} = \cdots = K_{n-1} = B $且$ K_{n} = L $,则混合体积$ V(K_1, \cdots, K_n) $写成$ W_i(K, L) $.若$ K_1 = \cdots = K_{n-i} = K $且$ K_{n-i+1} = \cdots = K_n = L $,则混合体积$ V(K_1, \cdots, K_n) $写成$ V_i(K, L) $.若$ K_1 = \cdots = K_{n-i} = K $和$ K_{n-i+1} = \cdots = K_n = B $,则混合体积$ V_i(K, L) $写成$ W_i(K) $且称为凸体$ K $的$ i $次均值积分.这个均值积分可用Steiner平行公式表示为(参见文献[3, p141])

(2.2) $ \begin{align} V(K+\lambda B) = \sum\limits_{i = 0}^{n}\Big(^{n}_{i}\Big)\lambda^{i}W_{i}(K). \end{align} $

若$ K, L\in {\cal K}^{n}, $则(参见文献[10])

(2.3) $ \begin{align} \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon} = nV_{1}(K, L). \end{align} $

对于$ K_{1}, \cdots, K_{r}\in {\cal S}^{n} $且$ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}\in {\Bbb R} $,星体$ K_{1}, \cdots, K_{r} $的径向Minkowski线性组合, $ \lambda_{1}K_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r} K_{r}, $被定义为$ \lambda_{1}K_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r} K_{r} = \{\lambda_{1}x_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r} x_{r}: x_{i}\in K_{i}\}. $容易得到下列性质: $ \rho (\lambda_1K_1\tilde{+}\cdots \tilde{+}\lambda_rK_r, \cdot) = \lambda_1\rho (K_1, \cdot)+\cdots +\lambda_r\rho (K_r, \cdot) $.对$ K_{1}, \cdots, K_{r}\in {\cal S}^n $和$ \lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}\geq 0 $,径向Minkowski线性组合$ \lambda_{1}K_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r}K_{r} $的体积是$ \lambda_{i} $的一个齐次$ n $次多项式[2, p362]

(2.4) $ \begin{align} V(\lambda_{1}K_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r}K_{r}) = \sum \widetilde{V}_{i_{1}, \cdots , i_{n}}\lambda_{i_{1}}\cdots\lambda_{i_{n}}, \end{align} $

其中的和取遍所有$ n $元组$ (i_{1}, \cdots, i_{n}) $, $ n $是不超过$ r $的正整数.系数$ \widetilde{V}_{i_{1}, \cdots, i_{n}} $是(2.4)式唯一确定的、非负的且仅依赖于体$ K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}} $.这里$ \widetilde{V}_{i_{1}, \cdots, i_{n}} $表示$ \widetilde{V}(K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}}) $并称为$ K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}} $的对偶混合体积.若$ K_1 = \cdots = K_{n-i-1} = K $, $ K_{n-i} = \cdots = K_{n-1} = B $且$ K_{n} = L $,则对偶混合体积$ \widetilde{V}(K_1, \cdots, K_n) $写成$ \widetilde{W}_i(K, L) $.若$ K_{1} = \cdots = K_{n-i} = K, $$ K_{n-i+1} = \cdots = K_{n} = L $,这个对偶混合体积被写成$ \widetilde{V}_{i}(K, L) $.若$ L = B, $这个对偶混合体积$ \widetilde{V}_{i}(K, L) = \widetilde{V}_{i}(K, B) $被写成$ \widetilde{W}_{i}(K) $并且称为对偶均值积分.若$ K, L\in{\cal S}^{n} $,由(2.4)式直接产生

(2.5) $ \begin{align} \lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{V(K\tilde{+}\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon} = n\widetilde{V}_{1}(K, L). \end{align} $

若$ K_{1}, \cdots, K_{n}\in {\cal S}^{n} $,则这个对偶混合体积$ \widetilde{V}(K_{1}, \cdots, K_{n}) $被定义为(参见文献[9])

(2.6) $ \begin{align} \widetilde{V}(K_{1}, \cdots , K_{n}) = \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho(K_{1}, u)\cdots\rho(K_{n}, u){\rm d}S(u). \end{align} $

引理3.1^[1]  若$ K, L\in {\cal K}^{n} $且$ 0\leq i < n $,则

(3.1) $ \begin{align} W_{i}(K, L)^{n-i}\geq W_{i}(K)^{n-i-1}W_{i}(L), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是相似的.

引理3.2^[2]  若$ K, L\in {\cal S}^{n} $且$ 0\leq i < n $,则

(3.2) $ \begin{align} \widetilde{W}_{i}(K, L)^{n-i}\leq\widetilde{W}_{i}(K)^{n-i-1}\widetilde{W}_{i}(L), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是膨胀的.

引理3.3^{[11, p58]} (Popoviciu不等式)  若$ p > 0, q > 0 $, $ 1/p + 1/q = 1 $, $ a = \{a_{1}, \cdots, a_{n}\} $且$ b = \{b_{1}, \cdots, b_{n}\} $是两个正实数列使得$ a_{1}^{p}-\sum\limits_{i = 2}^{n} a_{i}^{p} > 0 $且$ b_{1}^{q}-\sum\limits_{i = 2}^{n} b_{i}^{q} > 0 $,则

(3.3) $ \begin{align} \left(a_{1}^{p}-\sum\limits_{i = 2}^{n}a_{i}^{p}\right)^{1/p}\left(b_{1}^{q}-\sum\limits_{i = 2}^{n}b_{i}^{q}\right)^{1/q} \leq a_{1}b_{1}-\sum\limits_{i = 2}^{n}a_{i}b_{i}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ a = \mu b $,其中$ \mu $是常数.

引理3.4^[9]  若$ K_{1}, \cdots, K_{n}\in {\cal K}^{n} $,则

(3.4) $ \begin{align} \widetilde{V}(K_{1}, \cdots , K_{n})\leq V(K_{1}, \cdots , K_{n}), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K_{1}, \cdots, K_{n} $都是相似的.

引理3.5  令$ K, L\in{\cal K}^{n} $且$ D, D'\in{\cal S}^{n} $并使得$ \sqrt[n-i]{k}D\subseteq K $和$ \sqrt[n-i]{k}D'\subseteq L $.若$ k $是正整数且$ 0\leq i < n, $则

(3.5) $ \begin{align} \Big(W_{i}(K, L)-k\widetilde{W}_{i}(D, D')\Big)^{n-i}\geq\Big(W_{i}(K)-k\widetilde{W}_{i}(D)\Big)^{n-i-1}\Big(W_{i}(L) -k\widetilde{W}_{i}(D')\Big), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是相似的, $ D $和$ D' $是膨胀的,且

$ \Big(W_{i}(K), W_{i}(L)\Big) = \mu\Big(\widetilde{W}_{i}(D), \widetilde{W}_{i}(D')\Big), $

其中$ \mu $是常数.

证  下面首先证明$ k = 1 $时, (3.5)式成立.注意到Minkowski不等式和它的对偶不等式,有

若$ K, L\in {\cal K}^{n} $且$ 0\leq i < n $,则

(3.6) $ \begin{align} W_{i}(K, L)^{n-i}\geq W_{i}(K)^{n-i-1}W_{i}(L), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是相似的,且若$ D, D'\in {\cal S}^{n} $且$ 0\leq i < n $,则

(3.7) $ \begin{align} \widetilde{W}_{i}(D, D')^{n-i}\leq\widetilde{W}_{i}(D)^{n-i-1}\widetilde{W}_{i}(D'), \end{align} $

等号成立当且仅当$ D $和$ D' $是膨胀的.因此

(3.8) $ \begin{align} W_{i}(K, L)-\widetilde{W}_{i}(D, D')\geq W_{i}(K)^{(n-i-1)/(n-i)}W_{i}(L)^{1/(n-i)}-\widetilde{W}_{i}(D)^{(n-i-1)/(n-i)} \widetilde{W}_{i}(D')^{1/(n-i)}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是相似的,且$ D $和$ D' $是膨胀的.由引理3.4并注意到$ D\subseteq K $与$ D'\subseteq L $,有

(3.9) $ \begin{align} W_{i}(K)\geq \widetilde{W}_{i}(K)\geq\widetilde{W}_{i}(D), \end{align} $

且

(3.10) $ \begin{align} W_{i}(L)\geq \widetilde{W}_{i}(L)\geq\widetilde{W}_{i}(D'). \end{align} $

由(3.9)和(3.10)式,并用引理3.3,有

$ \Big(W_{i}(K, L)-\widetilde{W}_{i}(D, D')\Big)^{n-i}\geq\Big(W_{i}(K)-\widetilde{W}_{i}(D)\Big) ^{n-i-1}\Big(W_{i}(L)-\widetilde{W}_{i}(D')\Big), $

等号成立当且仅当凸体$ K $和$ L $是相似的,星体$ D $和$ D' $是相互膨胀的,并且$ \Big(W_{i}(K), W_{i}(L)\Big) $$ = \mu\Big(\widetilde{W}_{i}(D), \widetilde{W}_{i}(D')\Big), $其中$ \mu $是常数.

假设$ k = m-1 $, (3.5)式成立,则

$ \Big(W_{i}(K, L)-(m-1)\widetilde{W}_{i}(D, D')\Big)^{n-i}\geq\Big(W_{i}(K)-(m-1)\widetilde{W}_{i}(D)\Big) ^{n-i-1}\Big(W_{i}(L)-(m-1)\widetilde{W}_{i}(D')\Big). $

由(3.7)和(3.3)式,并注意到$ \sqrt[n-i]{m}D\subseteq K $和$ \sqrt[n-i]{m}D'\subseteq L $,有

$ W_{i}(K)\geq \widetilde{W}_{i}(K)\geq m\widetilde{W}_{i}(D) $

且

$ W_{i}(L)\geq \widetilde{W}_{i}(L)\geq m\widetilde{W}_{i}(D'), $

因此

$ \Big(W_{i}(K, L)-m\widetilde{W}_{i}(D, D')\Big)^{n-i}\geq\Big(W_{i}(K)-m\widetilde{W}_{i}(D)\Big) ^{n-i-1}\Big(W_{i}(L)-m\widetilde{W}_{i}(D')\Big). $

这显示了若$ K = m-1 $时, (3.5)式成立,则$ K = m $时, (3.5)式也成立,故对于任意正整数$ K $, (3.5)式都成立.证毕.

定理3.1  若$ K\in {\cal K}^{n} $, $ D\in {\cal S}^{n} $且$ D\subseteq K $,则存在实数$ R > r\geq 0 $使得下式成立

(3.11) $ \begin{align} \left(\frac{RS(K)-rS'(D)}{R^{n}S(B)-r^{n}S(B)}\right)^{n}\geq\left(\frac{V(K)-V(D)}{R^{n}V(B)-r^{n}V(B)}\right)^{n-1}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ D $是$ n $ -维球,且$ V(rK) = V(RD) $.

证  令$ B' $和$ B'' $是两个质心在原点的$ n $ -维球且使得$ B''\subseteq B' $.在(3.5)式,令$ i = 0 $, $ k = 1 $, $ L = B' $且$ D' = B'' $,则有

(3.12) $ \begin{align} (V_{1}(K, B')-\widetilde{V}_{1}(D, B''))^{n}\geq (V(K)-V(D))^{n-1}(V(B')-V(B'')), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ D $是$ n $ -维球,且$ V(K)/V(D) = V(B')/V(B'') $.

由(1.2), (1.7), (2.3)和(2.5)式,得

$ nV_{1}(K, B) = S(K), \; \; \; n\widetilde{V}_{1}(K, B) = S'(K) $

和

(3.13) $ \begin{align} nV(B) = S(B). \end{align} $

明显地,对于这两个质心在原点球$ B' $和$ B'' $,一定存在实数$ R > r\geq 0 $使得$ B' = RB $且$ B'' = rB $,因此

(3.14) $ \begin{align} nV_{1}(K, B') = RS(K), \; \; \; \; n\widetilde{V}_{1}(K, B'') = rS'(K) \end{align} $

和

(3.15) $ \begin{align} nV(B') = R^{n}S(B), \; \; \; \; nV(B'') = r^{n}S(B). \end{align} $

由(3.12)–(3.15)式,有

$ \begin{eqnarray*} (RS(K)-rS'(D))^{n}&\geq & (nV(K)-nV(D))^{n-1}(nV(B')-nV(B''))\\ & = &(nV(K)-nV(D))^{n-1}(R^{n}S(B)-r^{n}S(B)), \end{eqnarray*} $

等号成立当且仅当$ K $和$ D $是$ n $ -维球,且$ V(rK) = V(RD) $.

于是

$ \left(\frac{RS(K)-rS'(D)}{R^{n}S(B)-r^{n}S(B)}\right)^{n}\geq\left(\frac{V(K)-V(D)}{R^{n}V(B)-r^{n}V(B)}\right)^{n-1}, $

等号成立当且仅当$ K $和$ D $是$ n $ -维球,且$ V(rK) = V(RD) $.证毕.

注3.1  当$ n = 3 $,即在立体空间,注意到此时$ B $变成立体单位球,则(3.11)式变成下列不等式

(3.16) $ \begin{align} (RS(K)-rS'(D))^{3}\geq 36\pi(R^{3}-r^{3})(V(K)-V(D))^{2}. \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是立体球,且$ V(rK) = V(RD) $.明显地, (3.16)式是下列立体等周不等式的一个推广:若$ K $是立体凸体,则(参见文献[3, p145])

$ 36\pi V(K)^{2}\leq S(K)^{3}, $

等号成立当且仅当$ K $是一个立体球.在平面空间,注意到此时$ B $是单位圆,且$ V(B) $和$ S(B) $分别变成了单位圆的面积与周长,则(3.11)式变成下列不等式:若$ L $和$ L' $分别是封闭曲线$ C $和$ C' $的周界长, $ S $和$ S' $分别是封闭曲线$ C $和$ C' $的所围成的凸区域$ D $和$ D' $的面积且$ D\supseteq D' $,则

(3.17) $ \begin{align} (RL-rL')^{2}\geq 4(R^{2}-r^{2})\pi(S-S'), \end{align} $

等号成立当且仅当$ C $和$ C' $是圆,且$ S(rK) = S(RL) $. (3.17)式是下列著名平面等周不等式的推广:若封闭曲线$ C $围成一个凸域, $ L $是封闭曲线$ C $的周界长, $ S $表示封闭曲线$ C $所围成凸域的面积,则(参见文献[3, p145])

$ 4\pi S\leq L^{2}, $

等号成立当且仅当$ C $是一个圆.

定理3.2  若$ K $是$ {\Bbb R}^{n} $的凸体, $ D $是$ n $ -维球, $ \sqrt[n]{k}D\subseteq K $,且$ k $是正整数.令$ B' $和$ B'' $是$ {\Bbb R}^{n} $的质心在原点$ n $ -维球,使得$ B'\supseteq \sqrt[n]{k}B'' $,且它们的半径分别是$ r $和$ r' $,则

(3.18) $ \begin{align} \left(\frac{rS(K)-kr'S(D)}{r^{n}S(B)-k(r')^{n}S(B)}\right)^{n}\geq\left(\frac{V(K)-kV(D)}{V(B')-kV(B'')}\right)^{n-1}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $是一个$ n $ -维球,且$ (V(K), V(D)) = \mu(V(B'), V(B'')), $其中$ \mu $是常数.

证  由(1.3), (1.4)和(3.3)式,注意到$ D' $是$ D $的一个相似的复本,并应用引理3.5的证明思路,得

(3.19) $ \begin{align} (V_{1}(K, L)-kV_{1}(D, D'))^{n}\geq (V(K)-kV(D))^{n-1}(V(L)-kV(D')), \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $和$ L $是相似的,且$ (V(K), V(D)) = \mu(V(L), V(D')) $,其中$ \mu $是常数.令$ L = B $与$ D' = B' $,得

$ (n V_{1}(K, B)-nkV_{1}(D, B'))^{n}\geq n^{n}(V(K)-kV(D))^{n-1}(V(B)-kV(B')), $

等号成立当且仅当$ K $是一个球且$ (V(K), V(D)) = \mu(V(B), V(B')), $其中$ \mu $是一个常数.则

(3.20) $ \begin{align} \begin{array}[b]{rl} rS(K)-kr'S(D)&\geq n(V(K)-kV(D))^{\frac{n-1}{n}}(V(B')-kV(B''))^{\frac{1}{n}} \\ & = (r^{n}S(B)-k(r')^{n}S(B))(V(K)-kV(D))^{\frac{n-1}{n}}(V(B')-kV(B''))^{\frac{1-n}{n}}. \end{array} \end{align} $

由(3.20)式,易得(3.18)式.证毕.

注3.2  令$ k = 1 $, (3.18)式变成

(3.21) $ \begin{align} \left(\frac{rS(K)-r'S(D)}{r^{n}S(B)-(r')^{n}S(B)}\right)^{n}\geq\left(\frac{V(K)-V(D)}{V(B')-V(B'')}\right)^{n-1}, \end{align} $

等号成立当且仅当$ K $是一个$ n $ -维球,且$ (V(K), V(D)) = \mu(V(B'), V(B'')), $其中$ \mu $是常数.这正是(1.5)式的正确版本.比较(3.21)和(1.5)式,不难看出:在(1.5)式中,字母$ B $既表示单位球又表示任意球,导致问题.

另一方面,当$ D $是一个$ n $ -维球, (3.11)式变成(3.21)式.最后,值得一提的是:关于Wullf流情形下的等周不等式已经被建立在文献[12].