众所周知,凸体的等周不等式可以陈述为(参见文献[1, p382])

若$K$是${\Bbb R}^{n}$的一个凸体,则

等号成立当且仅当$K$是$n$维球,其中, $B$是质心在原点的单位球,并且$V(K)$表示凸体$K$的体积.凸体$K$的表面积表示为$S(K)$,且定义为(参见文献[1, p376])

其中和“$+$”表示通常的Minkowski和.

凸体著名的Mikowski不等式可以陈述为:若$K$和$L$是${\Bbb R}^{n}$的凸体,则

等号成立当且仅当$K$和$L$是相似的,其中,凸体$K$和$L$的混合体积表示为$V_{1}(K, L)$,定义为(参见文献[2, p357])

其中$S^{n-1}$表示${\Bbb R}^{n}$上的单位球面, $u$表示单位向量, ${\rm d}S(K, u)$表示凸体$K$的表面积微元,且$h(L, \cdot): S^{n-1} \rightarrow{\Bbb R}$表示凸体$L$的支撑函数(参见文献[1, 3])

其中$u\cdot x$表示${\Bbb R}^{n}$上$u$与$x$通常的内积.

近些年,凸体的等周不等式引起了许多数学家的关注与研究(参见文献[1-7]). 2004年,凸体$K$和$D$的体积差函数首次被冷岗松教授定义(参见文献[8]).

凸体的体积差函数的Minkowski不等式被建立如下.

定理1.1^[8]  若$K, L$和$D$是${\Bbb R}^{n}$的凸体或紧域,使得$D\subseteq K$和$D'\subseteq L$,且$D'$是$D$的一个相似的复本,则

等号成立当且仅当$K$和$L$是相似的,且$(V(K), V(D)) = \mu(V(L), V(D'))$,其中$\mu$是常数.

最近,体积差的等周不等式被建立成下列定理.这是一个非常有趣的凸体等周不等式的改进.

定理1.2^[7]  若$K$是${\Bbb R}^{n}$的凸体, $D$是一个$n$ -维球且$D\subseteq K$.令$B$和$B'$是${\Bbb R}^{n}$上质心在原点的球,使得$B\supseteq B'$且它们的半径分别是$r$和$r'$,则

等号成立当且仅当$K$是一个$n$ -维球,且$(V(K), V(D)) = \mu(V(B), V(B')),$其中$\mu$是常数.

不难看出:不等式(1.5)中, $D$必须限定是一个特殊凸体,即$n$ -维球.因此,一个很自然的问题被提出:如果不限制凸体$D$是球,让$D$是${\Bbb R}^{n}$的任意凸体,上述体积差的等周不等式是否存在?本文的主要目的就是给出了这个问题的正确回答.如果$D$换成任意星体不必限制为球,上面体积差的等周不等式仍是成立的.我们获得了下列凸体和星体混合的新的等周不等式.

定理1.3  若$K$是${\Bbb R}^{n}$的凸体, $L$是${\Bbb R}^{n}$的星体,并使得$L\subseteq K$,则存在实数$R > r\geq 0$使得下列不等式成立

等号成立当且仅当$K$和$L$是$n$ -维球,且$V(rK) = V(RL)$,其中$B$是质心在原点的单位球.

这里, $S'(L)$表示星体$L$的对偶表面积,定义为

其中和$\tilde{+}$表示径向Minkowski和.另外, $\widetilde{V}_{1}(K, L)$表示星体$K$和$L$的对偶混合体积,定义为(参见文献[9])

其中,对于$u\in S^{n-1}$,有

表示星体$K$的极经函数.

注1.1  若令$L$是单个的点且$r = 0$,则(1.6)式就变成等周不等式(1.1).这显示了(1.6)式是经典等周不等式的一个推广形式.

事实上,定理1.2存在一点问题.为了更正,我们提出如下一个改进与修正版本.

定理1.4  若$K$是${\Bbb R}^{n}$上的凸体, $D$是$n$ -维球, $\sqrt[n]{k}D\subseteq K$,且$k$是正整数.令$B'$和$B''$是${\Bbb R}^{n}$上的质心在原点$n$ -维球,使得$B'\supseteq \sqrt[n]{k}B''$,且它们的半径分别是$r$和$r'$,则

等号成立当且仅当$K$是一个$n$ -维球,且$(V(K), V(D)) = \mu(V(B'), V(B'')),$其中$\mu$是常数.

注1.2  若$D$和$B''$都是单个的点, (1.8)式变成等周不等式(1.1).当$k = 1$, (1.8)式变成(1.5)式的正确版本.

该文之研究假设在$n$ -维欧式空间${\Bbb R}^{n}$范围内.令${\cal K}^{n}$是${\Bbb R}^{n}$上的凸体集合(所谓凸体是指${\Bbb R}^{n}$上的含有非空内点的紧致凸子集).令$\delta$表示${\cal K}^{n}$上的Hausdorff距离,即:对于$K, L\in {\cal K}^{n},$有

其中$|\cdot|_{\infty}$表示连续函数空间$C(S^{n-1})$的上界范数.

一个紧子集$K$具有有连续的径向函数且它相对于原点是星形的.它的极径函数$\rho(K, \cdot): S^{n-1}\rightarrow \mathbb{R},$对于$u\in S^{n-1}$,被定义为$\rho(K, u) = \max\{\lambda\geq 0: \lambda u\in K\}.$若$\rho(K, \cdot)$是正的,连续的, $K$被称为星体.令${\cal S}^{n}$表示$\mathbb{R} ^{n}$中所有星体的集合.另外,令$\tilde{\delta}$表示极径Hausdorff距离,若$K, L\in {\cal S}^{n}$,则

若$K_i\in {\cal K}^n$且$\lambda_i$是非负实数$(i = 1, 2, \cdots, r)$,则$\sum\limits_{i = 1}^r\lambda_iK_i$的混合体积是$\lambda_{i}$的一个齐次$n$次多项式,被定义为(参见文献[1, p280]或[10])

其中的和取遍所有$n$元组$(i_{1}, \cdots, i_{n})$, $n$是不超过$r$的正整数.系数$V_{i_{1}, \cdots, i_{n}}$是由(2.1)式唯一确定、非负且仅依赖于体$K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}}$.这里$V_{i_{1}, \cdots, i_{n}}$表示$V(K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}})$并称为$K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}}$的混合体积且写成$V(K_{i_1}, \cdots, K_{i_n})$.若$K_1 = \cdots = K_{n-i-1} = K$, $K_{n-i} = \cdots = K_{n-1} = B$且$K_{n} = L$,则混合体积$V(K_1, \cdots, K_n)$写成$W_i(K, L)$.若$K_1 = \cdots = K_{n-i} = K$且$K_{n-i+1} = \cdots = K_n = L$,则混合体积$V(K_1, \cdots, K_n)$写成$V_i(K, L)$.若$K_1 = \cdots = K_{n-i} = K$和$K_{n-i+1} = \cdots = K_n = B$,则混合体积$V_i(K, L)$写成$W_i(K)$且称为凸体$K$的$i$次均值积分.这个均值积分可用Steiner平行公式表示为(参见文献[3, p141])

若$K, L\in {\cal K}^{n},$则(参见文献[10])

对于$K_{1}, \cdots, K_{r}\in {\cal S}^{n}$且$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}\in {\Bbb R}$,星体$K_{1}, \cdots, K_{r}$的径向Minkowski线性组合, $\lambda_{1}K_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r} K_{r},$被定义为$\lambda_{1}K_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r} K_{r} = \{\lambda_{1}x_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r} x_{r}: x_{i}\in K_{i}\}.$容易得到下列性质: $\rho (\lambda_1K_1\tilde{+}\cdots \tilde{+}\lambda_rK_r, \cdot) = \lambda_1\rho (K_1, \cdot)+\cdots +\lambda_r\rho (K_r, \cdot)$.对$K_{1}, \cdots, K_{r}\in {\cal S}^n$和$\lambda_{1}, \cdots, \lambda_{r}\geq 0$,径向Minkowski线性组合$\lambda_{1}K_{1}\tilde{+}\cdots\tilde{+}\lambda_{r}K_{r}$的体积是$\lambda_{i}$的一个齐次$n$次多项式[2, p362]

其中的和取遍所有$n$元组$(i_{1}, \cdots, i_{n})$, $n$是不超过$r$的正整数.系数$\widetilde{V}_{i_{1}, \cdots, i_{n}}$是(2.4)式唯一确定的、非负的且仅依赖于体$K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}}$.这里$\widetilde{V}_{i_{1}, \cdots, i_{n}}$表示$\widetilde{V}(K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}})$并称为$K_{i_{1}}, \cdots, K_{i_{n}}$的对偶混合体积.若$K_1 = \cdots = K_{n-i-1} = K$, $K_{n-i} = \cdots = K_{n-1} = B$且$K_{n} = L$,则对偶混合体积$\widetilde{V}(K_1, \cdots, K_n)$写成$\widetilde{W}_i(K, L)$.若$K_{1} = \cdots = K_{n-i} = K,$$K_{n-i+1} = \cdots = K_{n} = L$,这个对偶混合体积被写成$\widetilde{V}_{i}(K, L)$.若$L = B,$这个对偶混合体积$\widetilde{V}_{i}(K, L) = \widetilde{V}_{i}(K, B)$被写成$\widetilde{W}_{i}(K)$并且称为对偶均值积分.若$K, L\in{\cal S}^{n}$,由(2.4)式直接产生

若$K_{1}, \cdots, K_{n}\in {\cal S}^{n}$,则这个对偶混合体积$\widetilde{V}(K_{1}, \cdots, K_{n})$被定义为(参见文献[9])

引理3.1^[1]  若$K, L\in {\cal K}^{n}$且$0\leq i < n$,则

等号成立当且仅当$K$和$L$是相似的.

引理3.2^[2]  若$K, L\in {\cal S}^{n}$且$0\leq i < n$,则

等号成立当且仅当$K$和$L$是膨胀的.

引理3.3^{[11, p58]} (Popoviciu不等式)  若$p > 0, q > 0$, $1/p + 1/q = 1$, $a = \{a_{1}, \cdots, a_{n}\}$且$b = \{b_{1}, \cdots, b_{n}\}$是两个正实数列使得$a_{1}^{p}-\sum\limits_{i = 2}^{n} a_{i}^{p} > 0$且$b_{1}^{q}-\sum\limits_{i = 2}^{n} b_{i}^{q} > 0$,则

等号成立当且仅当$a = \mu b$,其中$\mu$是常数.

引理3.4^[9]  若$K_{1}, \cdots, K_{n}\in {\cal K}^{n}$,则

等号成立当且仅当$K_{1}, \cdots, K_{n}$都是相似的.

引理3.5  令$K, L\in{\cal K}^{n}$且$D, D'\in{\cal S}^{n}$并使得$\sqrt[n-i]{k}D\subseteq K$和$\sqrt[n-i]{k}D'\subseteq L$.若$k$是正整数且$0\leq i < n,$则

等号成立当且仅当$K$和$L$是相似的, $D$和$D'$是膨胀的,且

其中$\mu$是常数.

证  下面首先证明$k = 1$时, (3.5)式成立.注意到Minkowski不等式和它的对偶不等式,有

若$K, L\in {\cal K}^{n}$且$0\leq i < n$,则

等号成立当且仅当$K$和$L$是相似的,且若$D, D'\in {\cal S}^{n}$且$0\leq i < n$,则

等号成立当且仅当$D$和$D'$是膨胀的.因此

等号成立当且仅当$K$和$L$是相似的,且$D$和$D'$是膨胀的.由引理3.4并注意到$D\subseteq K$与$D'\subseteq L$,有

且

由(3.9)和(3.10)式,并用引理3.3,有

等号成立当且仅当凸体$K$和$L$是相似的,星体$D$和$D'$是相互膨胀的,并且$\Big(W_{i}(K), W_{i}(L)\Big)$$= \mu\Big(\widetilde{W}_{i}(D), \widetilde{W}_{i}(D')\Big),$其中$\mu$是常数.

假设$k = m-1$, (3.5)式成立,则

由(3.7)和(3.3)式,并注意到$\sqrt[n-i]{m}D\subseteq K$和$\sqrt[n-i]{m}D'\subseteq L$,有

且

因此

这显示了若$K = m-1$时, (3.5)式成立,则$K = m$时, (3.5)式也成立,故对于任意正整数$K$, (3.5)式都成立.证毕.

定理3.1  若$K\in {\cal K}^{n}$, $D\in {\cal S}^{n}$且$D\subseteq K$,则存在实数$R > r\geq 0$使得下式成立

等号成立当且仅当$K$和$D$是$n$ -维球,且$V(rK) = V(RD)$.

证  令$B'$和$B''$是两个质心在原点的$n$ -维球且使得$B''\subseteq B'$.在(3.5)式,令$i = 0$, $k = 1$, $L = B'$且$D' = B''$,则有

等号成立当且仅当$K$和$D$是$n$ -维球,且$V(K)/V(D) = V(B')/V(B'')$.

由(1.2), (1.7), (2.3)和(2.5)式,得

和

明显地,对于这两个质心在原点球$B'$和$B''$,一定存在实数$R > r\geq 0$使得$B' = RB$且$B'' = rB$,因此

和

由(3.12)–(3.15)式,有

等号成立当且仅当$K$和$D$是$n$ -维球,且$V(rK) = V(RD)$.

于是

等号成立当且仅当$K$和$D$是$n$ -维球,且$V(rK) = V(RD)$.证毕.

注3.1  当$n = 3$,即在立体空间,注意到此时$B$变成立体单位球,则(3.11)式变成下列不等式

等号成立当且仅当$K$和$L$是立体球,且$V(rK) = V(RD)$.明显地, (3.16)式是下列立体等周不等式的一个推广:若$K$是立体凸体,则(参见文献[3, p145])

等号成立当且仅当$K$是一个立体球.在平面空间,注意到此时$B$是单位圆,且$V(B)$和$S(B)$分别变成了单位圆的面积与周长,则(3.11)式变成下列不等式:若$L$和$L'$分别是封闭曲线$C$和$C'$的周界长, $S$和$S'$分别是封闭曲线$C$和$C'$的所围成的凸区域$D$和$D'$的面积且$D\supseteq D'$,则

等号成立当且仅当$C$和$C'$是圆,且$S(rK) = S(RL)$. (3.17)式是下列著名平面等周不等式的推广:若封闭曲线$C$围成一个凸域, $L$是封闭曲线$C$的周界长, $S$表示封闭曲线$C$所围成凸域的面积,则(参见文献[3, p145])

等号成立当且仅当$C$是一个圆.

定理3.2  若$K$是${\Bbb R}^{n}$的凸体, $D$是$n$ -维球, $\sqrt[n]{k}D\subseteq K$,且$k$是正整数.令$B'$和$B''$是${\Bbb R}^{n}$的质心在原点$n$ -维球,使得$B'\supseteq \sqrt[n]{k}B''$,且它们的半径分别是$r$和$r'$,则

等号成立当且仅当$K$是一个$n$ -维球,且$(V(K), V(D)) = \mu(V(B'), V(B'')),$其中$\mu$是常数.

证  由(1.3), (1.4)和(3.3)式,注意到$D'$是$D$的一个相似的复本,并应用引理3.5的证明思路,得

等号成立当且仅当$K$和$L$是相似的,且$(V(K), V(D)) = \mu(V(L), V(D'))$,其中$\mu$是常数.令$L = B$与$D' = B'$,得

等号成立当且仅当$K$是一个球且$(V(K), V(D)) = \mu(V(B), V(B')),$其中$\mu$是一个常数.则

由(3.20)式,易得(3.18)式.证毕.

注3.2  令$k = 1$, (3.18)式变成

等号成立当且仅当$K$是一个$n$ -维球,且$(V(K), V(D)) = \mu(V(B'), V(B'')),$其中$\mu$是常数.这正是(1.5)式的正确版本.比较(3.21)和(1.5)式,不难看出:在(1.5)式中,字母$B$既表示单位球又表示任意球,导致问题.

另一方面,当$D$是一个$n$ -维球, (3.11)式变成(3.21)式.最后,值得一提的是:关于Wullf流情形下的等周不等式已经被建立在文献[12].