在本文中,除特别说明外, $ (X, \rho_X) $和$ (Y, \rho_Y) $总表示拟度量空间,有关拟度量空间更多的性质请参见文献[1-7],其具体的定义如下.

定义1.1  设$ X $是一个非空集合,常数$ K\geq 1 $, $ \rho_X:X\times X\rightarrow [0, \infty) $是一个映射.对于任意的$ x, y, z\in X $,如果

$ (1) $$ \rho_X(x, y)\geq 0 $,当且仅当$ x = y $时,有$ \rho_X(x, y) = 0 $;

$ (2) $$ \rho_X(x, y) = \rho_X(y, x) $;

$ (3) $$ \rho_X(x, z)\leq K\big(\rho_X(x, y)+\rho_X(y, z)\big) $.

则称$ \rho_X $为一个拟度量, $ (X, \rho_X) $是一个$ K $ -拟度量空间.对于任意的$ x, y\in (X, \rho_X) $, $ x $和$ y $之间的距离称为拟距离,记为$ \rho_X(x, y) $.

注1.1  如果定义$ 1.1 $中$ K = 1 $,则$ \rho_X $是一般的度量,此时$ (X, \rho_X) $是一个度量空间.

任意$ x\in X $, $ r > 0 $,令

$ \label{eq:ball} B(x, r) = \big\{y\in X, \rho_X(x, y)<r\big\} \quad {\mbox {和}}\quad \overline{B}(x, r) = \big\{y\in X, \rho_X(x, y)\leq r \big\} $

分别表示以$ x $为心, $ r $为半径的开球和闭球.

在文献[8]中,芬兰著名数学家Väisälä给出了度量空间中线性局部连通和条件$ M(c) $的定义,本文将在拟度量空间中给出如下的两个定义.

定义1.2  设$ (X, \rho_X) $是拟度量空间, $ \lambda\geq 1 $.对于任意的$ x_0\in X $和$ r > 0 $,如果拟度量空间$ (X, \rho_X) $还满足下面两个条件

(ⅰ)任意$ x, y\in X\cap\overline{B}(x_0, r) $,都存在一个紧的连通集$ E $包含$ x $和$ y $,且$ E\subset X\cap\overline{B}\big(x_0, \lambda r\big) $;

(ⅱ)任意$ x, y\in X\backslash B(x_0, r) $,都存在一个紧的连通集$ E $包含$ x $和$ y $,且$ E\subset X\backslash B\big(x_0, r/\lambda\big) $, \\则称$ (X, \rho_X) $是$ \lambda $ -线性局部连通的,或者简称$ \lambda $-LLC.

定义1.3  设$ (X, \rho_X) $是拟度量空间, $ c\geq 1 $,如果对于任意的一组元素$ y_1, y_2, x_1, x_2\in X $,使得$ \tau(y_1, y_2, x_1, x_2)\leq 1 $,且存在一个紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $, $ E\subset X $,使得对于任意的点$ y\in E\backslash\{x_1\} $,都有$ \tau(y_1, y, x_1, x_2)\leq c $,则称拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,或者简称$ X $是$ M(c) $.

设$ X $是拟度量空间,四元组$ (x_1, x_2, x_3, x_4)\in X $,定义交比

$ \tau(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{\rho_X(x_1, x_3)\rho_X(x_2, x_4)}{\rho_X(x_1, x_4)\rho_X(x_2, x_3)}. $

有关交比的更多性质,请参见文献[8-14].根据交比的定义有

$ \tau(x_1, x_2, x_3, x_4) = \frac{1}{\tau(x_2, x_1, x_3, x_4)} = \frac{1}{\tau(x_1, x_2, x_4, x_3)} = \tau(x_3, x_4, x_1, x_2). $

在本文中,还需要引入拟莫比乌斯映射的概念,请参见文献[10-14],其具体的定义如下.

定义2.1  设$ (X, \rho_X) $和$ (Y, \rho_Y) $是拟度量空间, $ f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y) $是一个同胚映射.如果存在一个同胚映射$ \theta: [0, \infty)\rightarrow [0, \infty) $, $ \theta(0) = 0 $,使得

$ \tau \big(f(x_1), f(x_2), f(x_3), f(x_4)\big)\leq \theta \big(\tau(x_1, x_2, x_3, x_4)\big), $

则称映射$ f $是一个$ \theta $ -拟莫比乌斯映射,或者简称$ \theta $-QM映射.

1984年,芬兰著名数学家Väisälä在文献[8]中证明了如下的两个结论.

定理2.1  设$ A\subset \dot{X} $满足条件$ M(c) $,而且同胚映射$ f:A\rightarrow \dot{Y} $是一个$ \theta $-QM映射,则$ f(A) $也满足条件$ M(c') $,其中$ c' = \theta(c) $.

定理2.2  如果集合$ A\subset \dot{X} $是$ c $-LLC,而且同胚映射$ f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y) $是一个$ \theta $-QM映射,则$ f(X) $也是$ c' $-LLC,其中$ c' $仅依赖于$ \theta $和$ c $.

自然地,我们会问能否将结论中度量空间推广到``拟度量空间"?本文研究了该问题,证明了下面的定理.

定理2.3  设$ (X, \rho_X) $和$ (Y, \rho_Y) $都是$ K $ -拟度量空间.如果集合$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,而且同胚映射$ f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y) $是一个$ \theta $-QM映射,则$ f(X) $满足条件$ M(c_1) $,其中$ c_1 $仅依赖于$ \theta $和$ c $.

定理2.4  设$ (X, \rho_X) $和$ (Y, \rho_Y) $都是$ K $ -拟度量空间.如果集合$ (X, \rho_X) $是$ \lambda $-LLC,而且同胚映射$ f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y) $是一个$ \theta $-QM映射,则$ f(X) $是$ \lambda_1 $-LLC,其中$ \lambda_1 $仅依赖于$ K, \theta $和$ \lambda $.

定理2.3的证明  假设对于任意的$ x_1, x_2, y_1, y_2 \in (X, \rho_X) $,使得$ \tau(y_1, y_2, x_1, x_2) $有定义.如果集合$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,而且同胚映射$ f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y) $是一个$ \theta $-QM映射.想要证明$ f(X) $满足条件$ M(c_1) $,即就是当$ \tau \big(f(y_1), f(y_2), f(x_1), f(x_2)\big)\leq 1 $时,且存在一个紧的连通集$ f(E) $包含$ f(y_1) $和$ f(y_2) $, $ f(E)\subset f(X) $,使得对于任意的点$ f(y)\in f(E)\backslash\{f(x_1)\} $,都有

$ \tau \big(f(y_1), f(y), f(x_1), f(x_2)\big)\leq c_1. $

对于任意的$ x_1, x_2, y_1, y_2 \in X $,不妨假设

(3.1) $ \begin{equation} \tau \big(f(y_1), f(y_2), f(x_1), f(x_2)\big)\leq 1. \end{equation} $

接下来对定理$ 2.3 $的证明分两种情形讨论.

情形1  $ \tau(y_1, y_2, x_1, x_2)\leq 1 $.

因为拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,则根据条件$ M(c) $的定义可知,存在一个紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $, $ E\subset X $,使得对于任意的点$ y\in E\backslash\{x_1\} $,有

(3.2) $ \begin{equation} \tau(y_1, y, x_1, x_2)\leq c. \end{equation} $

又因为同胚映射$ f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y) $是一个$ \theta $-QM映射,所以结合QM映射的定义以及不等式(3.2),有

$ \tau\big(f(y_1), f(y), f(x_1), f(x_2)\big)\leq \theta\big(\tau(y_1, y, x_1, x_2)\big)\leq \theta(c), $

同时存在紧的连通集$ f(E) $包含$ f(x) $和$ f(y) $,且$ f(E)\subset f(X) $.

情形2  $ \tau(y_1, y_2, x_1, x_2) > 1 $.

由QM映射的定义,对于任意的一组$ x_1, x_2, y_1, y_2\in X $,有

$ \tau(y_2, y_1, x_1, x_2) = \frac{\rho_X(y_2, x_1)\rho_X(y_1, x_2)}{\rho_X(y_2, x_2)\rho_X(y_1, x_1)} = \frac{1}{\tau(y_1, y_2, x_1, x_2)}<1. $

根据条件$ M(c) $的定义,选择紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $,且$ E\subset X $,使得对于任意的点$ y\in E\backslash \{x_1\} $,有

$ \tau(y_2, y, x_1, x_2)\leq c. $

再结合QM映射的定义和不等式(3.1),有

$ \begin{eqnarray*} \tau\big(f(y_1), f(y), f(x_1), f(x_2)\big) & = &\frac{\rho_Y\big(f(y_1), f(x_1)\big)\rho_Y\big(f(y), f(x_2)\big)}{\rho_Y\big(f(y_1), f(x_2)\big)\rho_Y\big(f(y), f(x_1)\big)}\\ & = &\tau\big(f(y_2), f(y), f(x_1), f(x_2)\big)\cdot\tau\big(f(y_1), f(y_2), f(x_1), f(x_2)\big)\\ &\leq&\theta\big(\tau(y_2, y, x_1, x_2)\big)\\ &\leq &\theta(c). \end{eqnarray*} $

因此,定理2.3得以完整的证明.

为了完成定理2.4的证明,我们需要建立下面的引理.

引理4.1  设$ (X, \rho_X) $是$ K $ -拟度量空间, $ \lambda\geq 1 $, $ c_1\geq 1 $.

$ (1) $如果$ (X, \rho_X) $是$ \lambda $-LLC,则$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,其中$ c $仅依赖于$ K $和$ \lambda $;

$ (2) $如果$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c_1) $,则$ (X, \rho_X) $是$ \lambda_1 $-LLC,其中$ \lambda_1 $仅依赖于$ K $和$ c_1 $.

证   (1)假设拟度量空间$ (X, \rho_X) $是$ \lambda $-LLC,则拟度量空间$ (X, \rho_X) $是连通的.设四元组$ y_1, y_2, x_1, x_2\in X $,使得

(4.1) $ \begin{equation} \tau (y_1, y_2, x_1, x_2)\leq 1. \end{equation} $

接下来需要证明$ (X, \rho_X) $是满足条件$ M(c) $.设

$ R = \rho_X(x_1, x_2), \quad r = \rho_X(y_1, x_2), \quad s = \rho_X(y_1, x_1). $

下面对引理的证明分三种情形来讨论.

情形1  $ r\leq \frac{R}{4K^2(K+1)\lambda} $.

根据拟度量的定义,我们可以得到

(4.2) $ \begin{equation} \rho_X(y_2, x_1)\leq K\big(\rho_X(y_2, x_2)+\rho_X(x_1, x_2)\big) = K\big(\rho_X(y_2, x_2)+R\big) \end{equation} $

和

(4.3) $ \begin{equation} R = \rho_X(x_1, x_2)\leq K\big(\rho_X(y_1, x_1)+\rho_X(y_1, x_2)\big) = K(s+r), \end{equation} $

其中由不等式(4.3),可以解得

(4.4) $ \begin{equation} \rho_X(y_1, x_1) = s\geq\frac{R}{K}-r. \end{equation} $

根据不等式(4.2)和(4.4),得到

$ \tau(y_1, y_2, x_1, x_2) = \frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y_2, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y_2, x_1)} \geq\frac{\left(\frac{R}{K}-r\right)\cdot\rho_X(y_2, x_2)} {r\cdot K\big(\rho_X(y_2, x_2)+R\big)}. $

再结合不等式(4.1),以及不等式$ r\leq \frac{R}{4K^2(K+1)\lambda} $,可以推出

$ \rho_X(y_2, x_2)\leq 2K^2r. $

由此可以得到$ y_1, y_2\in X\cap\overline{B}\big(x_2, 2K^2r\big) $.

因此,再根据$ \lambda $-LLC的定义,存在紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $, $ E\subset X $,且有

$ E\subset X\cap\overline{B}\big(x_2, 2\lambda K^2r\big). $

对于任意的$ y\in E $,有$ \rho_X(y, x_2)\leq 2\lambda K^2r $.则有

$ R = \rho_X(x_1, x_2)\leq K\big(\rho_X(y, x_1)+\rho_X(y, x_2)\big) \leq K\big(\rho_X(y, x_1)+2\lambda K^2r\big), $

进一步结合不等式$ r\leq \frac{R}{4K^2(K+1)\lambda} $,解得

$ \rho_X(y, x_1)\geq \frac{R}{K}-2\lambda K^2r\geq\frac{R}{2K}. $

同时,还可以得到

$ \rho_X(y_1, x_1)\leq K\big(\rho_X(x_1, x_2)+\rho_X(y_1, x_2)\big)\leq K(R+r)\leq\frac{5}{4}KR. $

因此,我们可以得到

$ \begin{eqnarray*} \tau(y_1, y, x_1, x_2) = \frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y, x_1)} \leq 5K^4\lambda, \end{eqnarray*} $

即($ X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,其中$ c = 5K^4\lambda $.

情形2   $ s\leq \frac{R}{2K} $.

令$ t = \rho_X(y_2, x_1) $.如果$ t\leq s $.根据拟度量的定义,可以得到

$ R = \rho_X(x_1, x_2)\leq K\big(\rho_X(y_2, x_2)+\rho_X(y_2, x_1)\big) = K\big(\rho_X(y_2, x_2)+t\big). $

联合不等式$ s\leq \frac{R}{2K} $和$ t\leq s $,解得

(4.5) $ \begin{equation} \rho_X(y_2, x_2)\geq\frac{R}{K}-t\geq\frac{R}{K}-s\geq \frac{R}{2K}. \end{equation} $

同时还可以得到

(4.6) $ \begin{equation} \rho_X(y_1, x_2)\leq K\big(\rho_X(x_1, x_2)+\rho_X(y_1, x_1)\big) = K(R+s)\leq \left(K+ \frac{1}{2}\right)R. \end{equation} $

结合不等式(4.5)和(4.6),可以得到

(4.7) $ \begin{eqnarray} \tau(y_1, y_2, x_1, x_2)& = &\frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y_2, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y_2, x_1)}\\ &\geq&\frac{s\cdot\frac{R}{2K}}{\left(K+\frac{1}{2}\right)R\cdot \rho_X(y_2, x_1)}\\ & = &\frac{s}{K(2K+1)\cdot \rho_X(y_2, x_1)}. \end{eqnarray} $

因此,再由不等式(4.1)和(4.7),可以推出

$ t = \rho_X(y_2, x_1)\geq\frac{s}{K(2K+1)}. $

如果$ t\geq s $.此时,显然有

$ t = \rho_X(y_2, x_1)\geq\frac{s}{K(2K+1)}. $

因此,由以上的讨论和假设$ s = \rho_X(y_1, x_1) $,可以得到

$ y_1, y_2\in X\backslash B\left(x_1, \frac{s}{K(2K+1)}\right). $

再根据$ \lambda $-LLC的定义,存在紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $, $ E\subset X $,而且有

$ E\subset X\backslash B\left(x_1, \frac{s}{K(2K+1)\lambda}\right). $

对于任意的$ y\in E $,有

(4.8) $ \begin{equation} \rho_X(y, x_1)\geq\frac{s}{K(2K+1)\lambda}. \end{equation} $

接下来证明$ \tau(y_1, y, x_1, x_2) $被一个上界所控制.

由假设$ s = \rho_X(y_1, x_1) $和不等式$ s\leq \frac{R}{2K} $,有

$ \begin{eqnarray*} R & = &\rho_X(x_1, x_2)\leq K\big(\rho_X(y_1, x_2)+\rho_X(y_1, x_1)\big) \leq K\left(\rho_X(y_1, x_2)+\frac{R}{2K}\right), \end{eqnarray*} $

进而解得

(4.9) $ \begin{equation} \rho_X(y_1, x_2)\geq\frac{R}{2K}. \end{equation} $

以下再分两种情形讨论.

情形2.1  $ \rho_X(y, x_2)\leq 2KR $.

结合不等式(4.8)和(4.9),显然有

(4.10) $ \begin{equation} \tau(y_1, y, x_1, x_2) = \frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y, x_1)} \leq 4K^3(2K+1)\lambda. \end{equation} $

情形2.2  $ \rho_X(y, x_2)\geq 2KR $.

根据拟度量的定义及假设$ R = \rho_X(x_1, x_2) $,有

$ \begin{eqnarray*} \rho_X(y, x_2)&\leq& K\big(\rho_X(y, x_1)+\rho_X(x_1, x_2)\big)\\ & = &K\big(\rho_X(y, x_1)+R\big)\\ &\leq& K\left(\rho_X(y, x_1)+\frac{1}{2K}\rho_X(y, x_2)\right), \end{eqnarray*} $

进而解得

(4.11) $ \begin{equation} \rho_X(y, x_2)\leq 2K\rho_X(y, x_1). \end{equation} $

于是,结合不等式(4.9)和(4.11),以及$ s\leq \frac{R}{2K} $,我们得到

(4.12) $ \begin{equation} \tau(y_1, y, x_1, x_2) = \frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y, x_1)} \leq 2K. \end{equation} $

因此,根据情形2.1中不等式(4.10)和情形2.2中不等式(4.12),故有

$ \tau(y_1, y, x_1, x_2)\leq\max\big\{4K^3(2K+1)\lambda, 2K \big\} = 4K^3(2K+1)\lambda, $

即拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,其中$ c = 4K^3(2K+1)\lambda $.

情形3  $ s\geq\frac{R}{2K} $, $ r\geq\frac{R}{4K^2(K+1)\lambda} $.

由所给的条件以及拟度量的定义,可以得到

(4.13) $ \begin{eqnarray} \frac{s}{r} = \frac{\rho_X(y_1, x_1)}{\rho_X(y_1, x_2)} \geq \frac{\rho_X(y_1, x_1)}{K\big(\rho_X(y_1, x_1)+\rho_X(x_1, x_2)\big)} \geq\frac{s}{K(s+2Ks)} = \frac{1}{K(2K+1)} \end{eqnarray} $

和

(4.14) $ \begin{eqnarray} \frac{s}{r} = \frac{\rho_X(y_1, x_1)}{\rho_X(y_1, x_2)} \leq\frac{K\big(\rho_X(y_1, x_2)+\rho_X(x_1, x_2)\big)}{\rho_X(y_1, x_2)} \leq K \big(4K^2(K+1)\lambda+1\big), \end{eqnarray} $

联合不等式(4.13)和(4.14),可以得到

(4.15) $ \begin{equation} \frac{1}{K(2K+1)}\leq \frac{\rho_X(y_1, x_1)}{\rho_X(y_1, x_2)} \leq K \big(4K^2(K+1)\lambda+1\big), \end{equation} $

因此,由不等式(4.15),我们可得

$ \tau(y_1, y_2, x_1, x_2) = \frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y_2, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y_2, x_1)} \geq\frac{1}{K(2K+1)}\frac{\rho_X(y_2, x_2)}{\rho_X(y_2, x_1)}. $

结合不等式(4.1),可以推出

$ \rho_X(y_2, x_2)\leq K(2K+1)\rho_X(y_2, x_1), $

由拟度量的定义,又有

$ \begin{eqnarray*} R& = &\rho_X(x_1, x_2)\leq K\big(\rho_X(y_2, x_1)+\rho_X(y_2, x_2)\big)\\ &\leq& K\big(\rho_X(y_2, x_1)+K(2K+1)\rho_X(y_2, x_1)\big)\\ & = &K\big(K(2K+1)+1\big)\rho_X(y_2, x_1), \end{eqnarray*} $

所以有

$ \rho_X(y_2, x_1)\geq \frac{R}{K\big(K(2K+1)+1\big)}. $

再结合条件$ s\geq\frac{R}{2K} $,可以得知

$ y_1, y_2\in X\backslash B\left(x_1, \frac{R}{K\big(K(2K+1)+1\big)}\right). $

因此,再根据$ \lambda $-LLC的定义,存在紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $, $ E\subset X $,而且有

$ E\subset X\backslash B\left(x_1, \frac{R}{K\big(K(2K+1)+1\big)\lambda}\right). $

对于任意的$ y\in E $,有

(4.16) $ \begin{equation} \rho_X(y, x_1)\geq\frac{R}{K\big(K(2K+1)+1\big)\lambda}. \end{equation} $

以下分两种情形讨论.

情形3.1   $ \rho_X(y, x_2)\leq 2KR $.

联立不等式(4.15)和(4.16),显然可得

(4.17) $ \begin{eqnarray} \tau(y_1, y, x_1, x_2)& = &\frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y, x_1)}\\ &\leq& K\big(4\lambda K^2(K+1)+1\big)\cdot\frac{2KR}{\frac{R}{K\big(K(2K+1)+1\big)\lambda}}\\ & = &2K^3 \big(4\lambda K^2(K+1)+1\big)\big(K(2K+1)+1\big)\lambda. \end{eqnarray} $

情形3.2   $ \rho_X(y, x_2)\geq 2KR $.

根据拟度量的定义,可以得到

$ \begin{eqnarray*} \rho_X(y, x_2)&\leq& K\big(\rho_X(y, x_1)+\rho_X(x_1, x_2)\big) = K\big(\rho_X(y, x_1)+R\big)\\ &\leq& K\left(\rho_X(y, x_1)+\frac{1}{2K}\rho_X(y, x_2)\right), \end{eqnarray*} $

所以有

(4.18) $ \begin{equation} \rho_X(y, x_2)\leq 2K\rho_X(y, x_1). \end{equation} $

再联立不等式(4.15)和(4.18),我们得到

(4.19) $ \begin{eqnarray} \tau(y_1, y, x_1, x_2)& = &\frac{\rho_X(y_1, x_1)\rho_X(y, x_2)}{\rho_X(y_1, x_2)\rho_X(y, x_1)}\\ &\leq &K\big(4\lambda K^2(K+1)+1\big)\cdot\frac{\rho_X(y, x_2)}{\rho_X(y, x_1)}\\ &\leq &2K^2\big(4\lambda K^2(K+1)+1\big). \end{eqnarray} $

因此,结合情形3.1中不等式(4.17)和情形3.2中不等式(4.19),有

$ \begin{eqnarray*} \tau(y_1, y, x_1, x_2)&\leq&\max\big\{2K^3 \big(4\lambda K^2(K+1)+1\big)\big(K(2K+1)+1\big)\lambda, 2K^2\big(4\lambda K^2(K+1)+1\big)\big\}\\ & = &2K^3 \big(4\lambda K^2(K+1)+1\big)\big(K(2K+1)+1\big)\lambda, \end{eqnarray*} $

即拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c) $,其中

$ c = 2K^3 \big(4\lambda K^2(K+1)+1\big)\big(K(2K+1)+1\big)\lambda. $

$ (2) $根据引理的条件可知拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足条件$ M(c_1) $,要证明拟度量空间$ (X, \rho_X) $是$ \lambda_1 $-LLC,则需要证明其满足LLC性质的两个条件.

先证明LLC性质的第一个条件.令$ x_0\in X $, $ r > 0 $,且设

$ y_1, y_2\in X\cap \overline{B}(x_0, r), \, \, y_1\neq y_2. $

根据条件$ M(c_1) $可知,拟度量空间$ (X, \rho_X) $是一个连通集.因此,如果$ X = \overline{B}(x_0, 3K^2c_1r) $,则$ (X, \rho_X) $满足LLC性质的第一个条件,其中$ \lambda_1 = 3K^2c_1 $.如果$ X\neq \overline{B}(x_0, 3K^2c_1r) $,则可选择$ x_1\in X $,使得

(4.20) $ \begin{equation} \rho_X(x_0, x_1) = 3K^2c_1r. \end{equation} $

由条件$ M(c_1) $的定义,设$ \tau(y_1, y_2, x_1, x_0)\leq 1 $,则存在紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $, $ E\subset X $.对于任意的$ y\in E\backslash \{x_1\} $,有$ \tau(y_1, y, x_1, x_0)\leq c_1 $.因为

$ \rho_X(x_0, x_1)\leq K\big(\rho_X(y_1, x_1)+\rho_X(y_1, x_0)\big) \leq K\big(\rho_X(y_1, x_1)+r\big) $

再由不等式(4.20),可以得到

$ \rho_X(y_1, x_1)\geq 3Kc_1r-r\geq 2Kc_1r. $

结合$ \tau(y_1, y, x_1, x_0)\leq c_1 $,又有

$ 2K\rho_X(y, x_0)\leq \rho_X(y, x_1)\leq K\big(\rho_X(y, x_0)+\rho_X(x_1, x_0)\big) = K\big(\rho_X(y, x_0)+3K^2c_1r\big). $

进一步可以推出

$ \rho_X(y, x_0)\leq 3K^2c_1r, $

即拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足$ \lambda_1 $-LLC性质的第一个条件,其中$ \lambda_1 = 3K^2c_1 $.

接下来我们证明拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足LLC性质的第二个条件.设

$ y_1, y_2\in X\backslash B(x_0, r), \, \, y_1\neq y_2. $

由假设拟度量空间$ (X, \rho_X) $是满足条件$ M(c_1) $,则根据其定义可知,存在$ x_2\in X\backslash \{y_1\} $,使得$ \rho_X(x_2, x_0) = r $,且$ \tau(y_1, y_2, x_0, x_2)\leq 1 $.因此,存在紧的连通集$ E $包含$ y_1 $和$ y_2 $, $ E\subset X $,使得对于任意的$ y\in E\backslash \{x_0\} $,有$ \tau(y_1, y, x_0, x_2)\leq c_1 $.因为

(4.21) $ \begin{eqnarray} \rho_X(y_1, x_2)&\leq &K\big(\rho_X(y_1, x_0)+\rho_X(x_0, x_2)\big)\\ & = & K\big(\rho_X(y_1, x_0)+r\big)\leq 2K\rho_X(y_1, x_0). \end{eqnarray} $

于是,联立$ \tau(y_1, y, x_0, x_2)\leq c_1 $和不等式(4.21),可以得到

$ \rho_X(y, x_2)\leq 2Kc_1\rho_X(y, x_0). $

又因为$ \rho_X(x_2, x_0) = r $,结合拟度量的定义,可得

$ \begin{eqnarray*} \label{eq:lemm4} r& = &\rho_X(x_0, x_2)\leq K\big(\rho_X(y, x_2)+\rho_X(y, x_0)\big) \\ &\leq& K\big(2Kc_1\rho_X(y, x_0)+\rho_X(y, x_0)\big) \\ & = &K\big(2Kc_1+1\big)\rho_X(y, x_0), \end{eqnarray*} $

故有

$ \rho_X(y, x_0)\geq \frac{r}{K\big(2Kc_1+1\big)}, $

即可得

$ y\in X\backslash B \left(x_0, \frac{r}{K\big(2Kc_1+1\big)}\right). $

因此,拟度量空间$ (X, \rho_X) $满足LLC性质的第二个条件,其中

$ \lambda_1 = K\big(2Kc_1+1\big). $

引理4.1证毕.

定理2.4的证明  根据引理4.1的结论,我们知道条件$ M(c) $和LLC性质之间存在着互推的关系.因此,再结合定理2.3的结论,我们就可以得到定理2.4的证明.