在本文中,除特别说明外, $(X, \rho_X)$和$(Y, \rho_Y)$总表示拟度量空间,有关拟度量空间更多的性质请参见文献[1-7],其具体的定义如下.

定义1.1  设$X$是一个非空集合,常数$K\geq 1$, $\rho_X:X\times X\rightarrow [0, \infty)$是一个映射.对于任意的$x, y, z\in X$,如果

$(1)$$\rho_X(x, y)\geq 0$,当且仅当$x = y$时,有$\rho_X(x, y) = 0$;

$(2)$$\rho_X(x, y) = \rho_X(y, x)$;

$(3)$$\rho_X(x, z)\leq K\big(\rho_X(x, y)+\rho_X(y, z)\big)$.

则称$\rho_X$为一个拟度量, $(X, \rho_X)$是一个$K$ -拟度量空间.对于任意的$x, y\in (X, \rho_X)$, $x$和$y$之间的距离称为拟距离,记为$\rho_X(x, y)$.

注1.1  如果定义$1.1$中$K = 1$,则$\rho_X$是一般的度量,此时$(X, \rho_X)$是一个度量空间.

任意$x\in X$, $r > 0$,令

分别表示以$x$为心, $r$为半径的开球和闭球.

在文献[8]中,芬兰著名数学家Väisälä给出了度量空间中线性局部连通和条件$M(c)$的定义,本文将在拟度量空间中给出如下的两个定义.

定义1.2  设$(X, \rho_X)$是拟度量空间, $\lambda\geq 1$.对于任意的$x_0\in X$和$r > 0$,如果拟度量空间$(X, \rho_X)$还满足下面两个条件

(ⅰ)任意$x, y\in X\cap\overline{B}(x_0, r)$,都存在一个紧的连通集$E$包含$x$和$y$,且$E\subset X\cap\overline{B}\big(x_0, \lambda r\big)$;

(ⅱ)任意$x, y\in X\backslash B(x_0, r)$,都存在一个紧的连通集$E$包含$x$和$y$,且$E\subset X\backslash B\big(x_0, r/\lambda\big)$, \\则称$(X, \rho_X)$是$\lambda$ -线性局部连通的,或者简称$\lambda$-LLC.

定义1.3  设$(X, \rho_X)$是拟度量空间, $c\geq 1$,如果对于任意的一组元素$y_1, y_2, x_1, x_2\in X$,使得$\tau(y_1, y_2, x_1, x_2)\leq 1$,且存在一个紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$, $E\subset X$,使得对于任意的点$y\in E\backslash\{x_1\}$,都有$\tau(y_1, y, x_1, x_2)\leq c$,则称拟度量空间$(X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,或者简称$X$是$M(c)$.

设$X$是拟度量空间,四元组$(x_1, x_2, x_3, x_4)\in X$,定义交比

有关交比的更多性质,请参见文献[8-14].根据交比的定义有

在本文中,还需要引入拟莫比乌斯映射的概念,请参见文献[10-14],其具体的定义如下.

定义2.1  设$(X, \rho_X)$和$(Y, \rho_Y)$是拟度量空间, $f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y)$是一个同胚映射.如果存在一个同胚映射$\theta: [0, \infty)\rightarrow [0, \infty)$, $\theta(0) = 0$,使得

则称映射$f$是一个$\theta$ -拟莫比乌斯映射,或者简称$\theta$-QM映射.

1984年,芬兰著名数学家Väisälä在文献[8]中证明了如下的两个结论.

定理2.1  设$A\subset \dot{X}$满足条件$M(c)$,而且同胚映射$f:A\rightarrow \dot{Y}$是一个$\theta$-QM映射,则$f(A)$也满足条件$M(c')$,其中$c' = \theta(c)$.

定理2.2  如果集合$A\subset \dot{X}$是$c$-LLC,而且同胚映射$f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y)$是一个$\theta$-QM映射,则$f(X)$也是$c'$-LLC,其中$c'$仅依赖于$\theta$和$c$.

自然地,我们会问能否将结论中度量空间推广到``拟度量空间"?本文研究了该问题,证明了下面的定理.

定理2.3  设$(X, \rho_X)$和$(Y, \rho_Y)$都是$K$ -拟度量空间.如果集合$(X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,而且同胚映射$f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y)$是一个$\theta$-QM映射,则$f(X)$满足条件$M(c_1)$,其中$c_1$仅依赖于$\theta$和$c$.

定理2.4  设$(X, \rho_X)$和$(Y, \rho_Y)$都是$K$ -拟度量空间.如果集合$(X, \rho_X)$是$\lambda$-LLC,而且同胚映射$f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y)$是一个$\theta$-QM映射,则$f(X)$是$\lambda_1$-LLC,其中$\lambda_1$仅依赖于$K, \theta$和$\lambda$.

定理2.3的证明  假设对于任意的$x_1, x_2, y_1, y_2 \in (X, \rho_X)$,使得$\tau(y_1, y_2, x_1, x_2)$有定义.如果集合$(X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,而且同胚映射$f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y)$是一个$\theta$-QM映射.想要证明$f(X)$满足条件$M(c_1)$,即就是当$\tau \big(f(y_1), f(y_2), f(x_1), f(x_2)\big)\leq 1$时,且存在一个紧的连通集$f(E)$包含$f(y_1)$和$f(y_2)$, $f(E)\subset f(X)$,使得对于任意的点$f(y)\in f(E)\backslash\{f(x_1)\}$,都有

对于任意的$x_1, x_2, y_1, y_2 \in X$,不妨假设

接下来对定理$2.3$的证明分两种情形讨论.

情形1  $\tau(y_1, y_2, x_1, x_2)\leq 1$.

因为拟度量空间$(X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,则根据条件$M(c)$的定义可知,存在一个紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$, $E\subset X$,使得对于任意的点$y\in E\backslash\{x_1\}$,有

又因为同胚映射$f:(X, \rho_X)\rightarrow (Y, \rho_Y)$是一个$\theta$-QM映射,所以结合QM映射的定义以及不等式(3.2),有

同时存在紧的连通集$f(E)$包含$f(x)$和$f(y)$,且$f(E)\subset f(X)$.

情形2  $\tau(y_1, y_2, x_1, x_2) > 1$.

由QM映射的定义,对于任意的一组$x_1, x_2, y_1, y_2\in X$,有

根据条件$M(c)$的定义,选择紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$,且$E\subset X$,使得对于任意的点$y\in E\backslash \{x_1\}$,有

再结合QM映射的定义和不等式(3.1),有

因此,定理2.3得以完整的证明.

为了完成定理2.4的证明,我们需要建立下面的引理.

引理4.1  设$(X, \rho_X)$是$K$ -拟度量空间, $\lambda\geq 1$, $c_1\geq 1$.

$(1)$如果$(X, \rho_X)$是$\lambda$-LLC,则$(X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,其中$c$仅依赖于$K$和$\lambda$;

$(2)$如果$(X, \rho_X)$满足条件$M(c_1)$,则$(X, \rho_X)$是$\lambda_1$-LLC,其中$\lambda_1$仅依赖于$K$和$c_1$.

证   (1)假设拟度量空间$(X, \rho_X)$是$\lambda$-LLC,则拟度量空间$(X, \rho_X)$是连通的.设四元组$y_1, y_2, x_1, x_2\in X$,使得

接下来需要证明$(X, \rho_X)$是满足条件$M(c)$.设

下面对引理的证明分三种情形来讨论.

情形1  $r\leq \frac{R}{4K^2(K+1)\lambda}$.

根据拟度量的定义,我们可以得到

和

其中由不等式(4.3),可以解得

根据不等式(4.2)和(4.4),得到

再结合不等式(4.1),以及不等式$r\leq \frac{R}{4K^2(K+1)\lambda}$,可以推出

由此可以得到$y_1, y_2\in X\cap\overline{B}\big(x_2, 2K^2r\big)$.

因此,再根据$\lambda$-LLC的定义,存在紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$, $E\subset X$,且有

对于任意的$y\in E$,有$\rho_X(y, x_2)\leq 2\lambda K^2r$.则有

进一步结合不等式$r\leq \frac{R}{4K^2(K+1)\lambda}$,解得

同时,还可以得到

因此,我们可以得到

即($X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,其中$c = 5K^4\lambda$.

情形2   $s\leq \frac{R}{2K}$.

令$t = \rho_X(y_2, x_1)$.如果$t\leq s$.根据拟度量的定义,可以得到

联合不等式$s\leq \frac{R}{2K}$和$t\leq s$,解得

同时还可以得到

结合不等式(4.5)和(4.6),可以得到

因此,再由不等式(4.1)和(4.7),可以推出

如果$t\geq s$.此时,显然有

因此,由以上的讨论和假设$s = \rho_X(y_1, x_1)$,可以得到

再根据$\lambda$-LLC的定义,存在紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$, $E\subset X$,而且有

对于任意的$y\in E$,有

接下来证明$\tau(y_1, y, x_1, x_2)$被一个上界所控制.

由假设$s = \rho_X(y_1, x_1)$和不等式$s\leq \frac{R}{2K}$,有

进而解得

以下再分两种情形讨论.

情形2.1  $\rho_X(y, x_2)\leq 2KR$.

结合不等式(4.8)和(4.9),显然有

情形2.2  $\rho_X(y, x_2)\geq 2KR$.

根据拟度量的定义及假设$R = \rho_X(x_1, x_2)$,有

进而解得

于是,结合不等式(4.9)和(4.11),以及$s\leq \frac{R}{2K}$,我们得到

因此,根据情形2.1中不等式(4.10)和情形2.2中不等式(4.12),故有

即拟度量空间$(X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,其中$c = 4K^3(2K+1)\lambda$.

情形3  $s\geq\frac{R}{2K}$, $r\geq\frac{R}{4K^2(K+1)\lambda}$.

由所给的条件以及拟度量的定义,可以得到

和

联合不等式(4.13)和(4.14),可以得到

因此,由不等式(4.15),我们可得

结合不等式(4.1),可以推出

由拟度量的定义,又有

所以有

再结合条件$s\geq\frac{R}{2K}$,可以得知

因此,再根据$\lambda$-LLC的定义,存在紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$, $E\subset X$,而且有

对于任意的$y\in E$,有

以下分两种情形讨论.

情形3.1   $\rho_X(y, x_2)\leq 2KR$.

联立不等式(4.15)和(4.16),显然可得

情形3.2   $\rho_X(y, x_2)\geq 2KR$.

根据拟度量的定义,可以得到

所以有

再联立不等式(4.15)和(4.18),我们得到

因此,结合情形3.1中不等式(4.17)和情形3.2中不等式(4.19),有

即拟度量空间$(X, \rho_X)$满足条件$M(c)$,其中

$(2)$根据引理的条件可知拟度量空间$(X, \rho_X)$满足条件$M(c_1)$,要证明拟度量空间$(X, \rho_X)$是$\lambda_1$-LLC,则需要证明其满足LLC性质的两个条件.

先证明LLC性质的第一个条件.令$x_0\in X$, $r > 0$,且设

根据条件$M(c_1)$可知,拟度量空间$(X, \rho_X)$是一个连通集.因此,如果$X = \overline{B}(x_0, 3K^2c_1r)$,则$(X, \rho_X)$满足LLC性质的第一个条件,其中$\lambda_1 = 3K^2c_1$.如果$X\neq \overline{B}(x_0, 3K^2c_1r)$,则可选择$x_1\in X$,使得

由条件$M(c_1)$的定义,设$\tau(y_1, y_2, x_1, x_0)\leq 1$,则存在紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$, $E\subset X$.对于任意的$y\in E\backslash \{x_1\}$,有$\tau(y_1, y, x_1, x_0)\leq c_1$.因为

再由不等式(4.20),可以得到

结合$\tau(y_1, y, x_1, x_0)\leq c_1$,又有

进一步可以推出

即拟度量空间$(X, \rho_X)$满足$\lambda_1$-LLC性质的第一个条件,其中$\lambda_1 = 3K^2c_1$.

接下来我们证明拟度量空间$(X, \rho_X)$满足LLC性质的第二个条件.设

由假设拟度量空间$(X, \rho_X)$是满足条件$M(c_1)$,则根据其定义可知,存在$x_2\in X\backslash \{y_1\}$,使得$\rho_X(x_2, x_0) = r$,且$\tau(y_1, y_2, x_0, x_2)\leq 1$.因此,存在紧的连通集$E$包含$y_1$和$y_2$, $E\subset X$,使得对于任意的$y\in E\backslash \{x_0\}$,有$\tau(y_1, y, x_0, x_2)\leq c_1$.因为

于是,联立$\tau(y_1, y, x_0, x_2)\leq c_1$和不等式(4.21),可以得到

又因为$\rho_X(x_2, x_0) = r$,结合拟度量的定义,可得

故有

即可得

因此,拟度量空间$(X, \rho_X)$满足LLC性质的第二个条件,其中

引理4.1证毕.

定理2.4的证明  根据引理4.1的结论,我们知道条件$M(c)$和LLC性质之间存在着互推的关系.因此,再结合定理2.3的结论,我们就可以得到定理2.4的证明.